Instuderingsfrågor i Komplex och Linjär analys för E ht 2000, del I
Anvisningar. Avsikten med dessa frågor är att ge dig möjlighet att kontrollera att du någorlunda behärskar
kursen. Frågorna på detta papper är ordnade efter kapitel i kursboken Konkret analys. Det kommer en annan
del med frågor på Linjär analys. På tentamen till och med augusti 2001 kommer eventuella teorifrågor att väljas
bland frågorna i dessa papper (möjligen något omformulerade).
Kap 1, Följder
1. Vad menas med en a) aritmetisk följd? b) geometrisk följd?. Härled formlerna för summorna
av ändliga följder av detta slag.
2. Vad är en teleskopsumma? Ge ett exempel.
3. Beskriv hur man kan uppskatta en summa genom jämförelse med en integral.
Kap 2, Rekursionsekvationer
4. Vad är en rekursionsekvation? Definiera begreppen a) homogen, b) linjär c) med konstanta
koefficienter d) ordningen för en rekursionsekvation.
5. Hur löser man en homogen linjär rekursionsekvation a) av första ordningen b) av andra ordningen?
6. Hur löser man en inhomogen linjär rekursionsekvation av första ordningen?
Kap 3,4 och 5, Komplexa tal och komplex differentialkalkyl
7. Hur definieras den komplexa exponentialfunktionen, e z då z är ett komplext tal?
8. Vad menas med en harmonisk svängning, och en dämpad harmonisk svängning? Hur kan man
uttrycka sådana funktioner med hjälp av komplexa exponentialfunktioner?
9. Vad menas med att en funktion i det komplexa planet är komplext deriverbar i z? Ge exempel
på funktioner som är komplext deriverbara och sådana som inte är det.
10. Formulera Cauchy-Riemanns ekvationer, och visa att en funktion f u iv är komplext deriverbar om och endast om u och v uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer.
11. Visa att ez är komplext deriverbar och beräkna dess derivata.
12. Vad är a) en analytisk funktion? b) en harmonisk funktion? Visa att realdelen av en analytisk
funktion är harmonisk.
13. Hur definieras sin z och cos z för ett komplext tal z? Vilka är derivatorna av dessa funktioner?
14. Hur definieras den komplexa logaritmen, log z? Vad menas med en gren av logaritmen? Visa att
elog z z, och d dz log z
1 z.
15. Hur definieras zw , då z och w är godtyckliga komplexa tal?
Kap 6, Serier
16. Vad menas med att en serie är a) konvergent? b) absolut konvergent? Visa att om en serie är
konvergent så går seriens termer mot 0. Visa att absolut konvergens medför konvergens, men
inte tvärtom.
17. Vilka oändliga geometriska serier är konvergenta, och vad är summan i så fall?
18. Redogör för följande konvergenskriterier: Jämförelsekriteriet, integralkriteriet, kvotkriteriet,
rotkriteriet och Leibniz kriterium.
Kap 7, Potensserier
19. Vad är en potensserie? Formulera huvudsatsen för potensserier och förklara vad konvergensradien är.
20. Härled två formler för konvergensradien för en potensserie från kvotkriteriet och rotkriteriet.
21. Analytiska funktioner som är definierade nära 0 kan utvecklas i en potensserie. Vad är sambandet mellan seriens koefficienter och funktionens derivator i 0?
Kap 8, Linjära system
22. Vad menas med ett tidsinvariant linjärt system (som har tvåsidiga följder som insignaler)?
23. Vad är θ-följden och δ-följden? Vad menas med stegsvaret och impulssvaret till ett tidsinvariant
linjärt system?
24. Hur får man utsignalen till ett tidsinvariant linjärt system från impulssvaret och insignalen?
Kap 9, Fourieranalys
25. Vad menas med att en funktion är periodisk, och hur definieras Fourierkoefficienterna av en
sådan?
26. Visa att om f kan skrivas
∞
f t
∑ ck eikΩt
∞
så är följden ck Fourierkoefficienterna för f .
27. Formulera följande räkneregler om Fouriertransformen: linearitet, fördröjning, derivation, modulation, frekvensfaltning, tidsfaltning. Härled dem från definitionerna (utom de två sista)
28. Vad är den trigonometriska Fourierserien för f och hur får man den från den exponentiella?
29. Ange några villkor på funktionen f som garanterar konvergens av f:s Fourierserie. Vad konvergerar serien i så fall mot?
30. Vad säger Parsevals formel för Fourierserier?
31. Vilka symmetriregler gäller för Fourierkoefficienterna av a) jämna b) udda c) reella funktioner?
Kap 11, Komplex integralkalkyl
32. Hur beräknar man en komplex kurvintegral,
f z dz?
33. Vad säger Cauchys integralsats och insättningsformeln för komplexa kurvintegraler?
34. Formulera Cauchys integralformel.
Kap 13, Residykalkyl
35. Vad menas med att en funktion f har en isolerad singularitet i a och vad är residyn till f i a?
36. Vad är residyn i 0 till f z
zk för olika heltal k?
37. Vad menas med att en funktion har en pol av ordning p i a?
38. Nämn några räkneregler för beräkning av residyer i poler.
39. Vad säger residysatsen?
