Föreläsning 15

Endimensionell analys (FMAA005)
Anders Källén
Föreläsning 15
Innehåll: Kontinuitet och differentierbarhet
Kapitel 9.3, 10.1, 10.7
1. Definitioner
2. Grundläggande satser om kontinuerliga funktioner
3. Exempel på funktion som inte är deriverbar någonstans
Efter dagens föreläsning måste du
- kunna definiera vad som menas med att en funktion är kontinuerlig i en punkt, och vad som menas med att den är differentierbar i
punkten
- veta hur differentialer och derivator förhåller sig till varandra
- känna till de grundläggande satserna om kontinuerliga funktioner
Definitioner
Löst uttryckt gäller att en funktion är kontinuerlig i en punkt om dess
graf “hänger ihop” i den punkten och en funktion är differentierbar
i en punkt om dess graf har en (entydigt bestämd) tangent i motsvarande punkt.
Definition En funktion f är kontinuerlig i en punkt a om det gäller
att
f ( x ) → f ( a) då x → a.
Notera att vi har två villkor: (1) f har ett gränsvärde då x → a och (2)
detta gränsvärde är värdet av funktionen i punkten!
Vad gäller differentierbarhet ska det alltså finnas en entydigt bestämd tangent till grafen i punkten ( a, f ( a)). En sådan har ekvationen
y − f ( a) = k ( x − a) för någon riktningskoefficient k. Kordan som går
genom ( a, f ( a)) och ( a + h, f ( a + h)) har samma sorts ekvation med
k = ( f ( a + h) − f ( a))/h. Tangentens riktningskoefficient får vi då vi
låter h → 0:
Notera att k ( a, 0) = f 0 ( a). Detta betyder att för små h gäller att
f ( a + h) − f ( a) ≈ k ( a, 0)h = f 0 ( a)h.
Man inför därför också differentialen d f ( a) som funktionen (av h)
d f ( a)[h] = f 0 ( a)h.
Exempel Om f ( x ) = x gäller att f ( a + h) − f ( a) = ( a + h) − a =
h, d.v.s. dess differential är funktionen h → h. Annorlunda uttryckt:
dx ( a) beror inte på a och dx [h] = h. Vi kan därför skriva d f ( a)[h] =
f 0 ( a)dx [h] och sedan ta bort h från beteckningarna:
d f ( a) = f 0 ( a)dx.
Att vara differentierbar är samma sak som att vara deriverbar i den
endimensionella analysen. Begreppen skiljs åt i flerdimen. Likaså blir att
räkna med differentialer och att räkna med derivator i princip samma
sak, men det finns vissa begreppsmässiga fördelar med differentialen
som vi ska exploatera. Men den stora vinsten kommer i den flerdimensionella analysen.
I nedanstående figur illustreras differentialen grafiskt. Här har vi
använt beteckningen
∆ f ( a) = f ( a + dx ) − f ( a), a = 2.
3
y
2
dx
Definition En funktion f är deriverbar i en punkt a om
f 0 ( a) = lim
h →0
d f ( a)
∆ f ( a)
1
x
1
f ( a + h) − f ( a)
h
2
3
4
5
6
7
−1
existerar, och gränsvärdet kallas då derivatan av f i punkten a.
Exempel Är funktionen f ( x ) = e x deriverbar i en godtycklig punkt
a? För att avgöra det ska vi avgöra om gränsvärdet
lim
h →0
f ( a + h) − f ( a)
e a+h − e a
= lim
.
h
h
h →0
existerar. Men använder vi ett standardgränsvärde ser vi att detta
finns och är lika med e a . Vi har alltså att f 0 ( x ) = f ( x ).
Exempel Är funktionen f ( x ) = ln x deriverbar i en godtycklig punkt
a > 0?
Ett annat sätt att formulera definitionen av deriverbarhet är att sätta
k ( a, h) =
f ( a + h) − f ( a)
.
h
Exempel Bestäm tangent och normal till funktionen f ( x ) = x2 i
punkten (1, 1).
Grafen till funktionen är y = x2 , vilket betyder att tangenten i
punkten är dy = f 0 (1)dx = 2dy, där dy = y − f (1) = y − 1 och
dx = x − 1. Ekvationen för tangenten är därför y − 1 = 2( x − 1),
dvs y = 2x − 1. Normalens ekvation är enligt enpunktsformeln
y − 1 = k ( x − 1), där vi vet att k = −1/ f 0 ( a) = −1/2. Normalens
ekvation är därför y = − x/2 + 3/2.
Viktiga satser om kontinuerliga funktioner
Ett intervall a ≤ x ≤ b där a, b är reella tal (ej oändligheter) kallas
ett kompakt intervall. (Kompakt = slutet + begränsat.) Följande sats är
sann, men dess bevis kräver djupare insikt om de reella talen än vad
vi har här.
Sats Om f är kontinuerlig på ett kompakt intervall I = [ a, b], så gäller att
Kravet för att f ska vara deriverbar är då att funktionen k ( a, h) ska
vara en kontinuerlig funktion i h = 0 (a hålls fix). Definitionen av
deriverbarhet är därför ekvivalent med
(A) f antar varje värde mellan f ( a) och f (b)
(B) f antar ett största och ett minsta värde på I.
Definition Om vi kan skriva
(A)-delen kallas satsen om mellanliggande värden.
f ( a + h) − f ( a) = k ( a, h)h
där funktionen k ( a, h) är kontinuerlig i h = 0, så säger vi att f är
differentierbar i a.
Exempel Ekvationen 3x3 − x + 1 = 0 har (minst) en lösning i [−1, 1],
ty polynomet är en kontinuerlig funktion och dess värde i −1 är −1
och dess värde i 1 är 3. Eftersom −1 < 0 < 3 antas värdet 0 enligt
satsen om mellanliggande värden.
Exempel För funktionen f ( x ) = 1/x gäller att f (−1) = −1 och
f (1) = 1. Trots det finns inget a sådant att f ( a) = 0. Borde det inte det?
Sats Om f är differentierbar i a så är den kontinuerlig där.
Självklart: f ( a + h) − f ( a) = k ( a, h)h → f 0 ( a) · 0 = 0 då h → 0.
Omvändningen gäller inte!!! Ett exempel är f ( x ) = | x | som är kontinuerlig i x = 0 men inte differentierbar där.
Kontinuerliga funktioner som inte går att derivera
någonstans
En funktion som är kontinuerlig kan vara hur “hackig” som helst och måste vara det om den inte ska vara deriverbar. Illustrationer
med Koch-kurvan (som inte är en funktion) och med Weierstrass berömda exempel.
Att fundera på till nästa gång
1. Den funktion som definieras av
∞
f (x) =
∑
k =1
x2
,
(1 + x 2 ) k
är den kontinuerlig? Om inte, kan vi göra den kontinuerlig (med
små medel)?