1
KOMIHÅG 2:
!
--------------------------------• Kraft är en vektor med angreppspunkt och
verkningslinje.
• Kraftmoment: MP = rPA " F ,
rP =momentpunkt, rA angreppspunkt, rPA = rA " rP .
- Oberoende av om angreppspunkten flyttas längs
verkningslinjen.
!
!
!
Föreläsning 3:
ANALYS och FÖRENKLING av
KRAFTSYSTEM
Två elementära (grundläggande) kraftsystem:
• Ensam kraft: Ensam kraft kan inte förenklas, bara
flyttas längs sin verkningslinje.
• Ensamt KRAFTPAR: Ensamt kraftpar kan inte ersättas
med ensam kraft.
Exempel: Betrakta två lika, men motriktade, krafter som
angriper ett föremål med xy-axlar på följande fyra sätt:
y
O
x
Kraftparens egenskaper? Vilka kan vrida? Åt vilket håll?
2
Ett kraftpars totala kraftsumma = 0 , men det totala
kraftmomentet är i allmänhet inte noll. Med angrepp i r1
och r2 ger kraftparet ett moment:
MO = r1 " F + r2 "!(#F )
= (r1 # r2 ) " F
Byte av momentpunkt från O till P ?
MP = (r1 " rP ) # F + (r2 " rP ) # ("F )
!
!
= (r1 " r2 ) # F = MO
! av krafter kan skapa samma
Oändligt många olika par
moment=kraftpar (par). Storleken (abslutbeloppet) av
momentet beräknas enklast med formeln:
!
M = dF
F=kraftens belopp, d=avstånd mellan kraftparets
verkningslinjer. Vridningsriktningen kan förtydligas med
en bågformad pil för vridningar (moturs/medurs) i ett plan.
!
!
Ett kraftpar ligger alltid i ett plan och vridningsriktningen i
det planet kan beskrivas med en bågformad pil!
Förenkling av komplicerade system av krafter:
Hur än ett system av många krafter ser ut så är det viktiga
för dess verkan på stela kroppar hur totalkraften F ser ut
och hur den totala vridande förmågan MP ser ut, för
någon lämplig momentpunkt P.
Därför kan alla kraftsystem ersättas med
! en ensam kraft
F och ett ensamt (kraftlöst) kraftpar med moment MP i
!
den valda punkten P.
!
!
3
Speciellt vid JÄMVIKT.
Jämviktslag (Eulers lagar): för alla val av P :
MP = 0 .
1)
2)
F = 0,
I praktiken räcker det att välja en lämplig momentpunkt P
för beräkning av kraftmomentet.!Se slutet av denna
föreläsning.
!
!
•EKVIMOMENTA kraftsystem
Definition: Ekvimomenta kraftsystem är sådana att deras
totala kraftmoment är lika för godtyckligt val
av momentpunkt. Systemen har samma
kraftsumma (totalkraft).
M=Fd
F
d
F
De båda kraftsystemen i figuren är ekvimomenta. Det
vänstra kraftsystemet har bara en kraft, det högra
kraftsystemet har en lika stor kraft angripande i en annan
punkt med ett ’kompenserande’ kraftparsmoment.
• Reduktionspunkt: angreppspunkt för det förenklade
kraftsystemet, dvs RESULTANTEN
Flera val av ”reduktionspunkt” kan förekomma. Ett
förenklat, men ekvimoment system av en ensam kraft + ett
ensamt kraftpar i en vald reduktionspunkt kallas
resultant(-systemet) för denna reduktionspunkt.
4
Problem: Förenkla följande plana kraftsystem till ett
ekvimoment kraft+kraftpar system i origo. Om möjligt
hitta även en speciell reduktionspunkt så att inget kraftpar
behövs.
F
F
d
d
d
F
d
F
Lösning:
först
2F
M=-2Fd
sedan
2F
d
• ENKRAFTS-RESULTANT
Ett kraftsystem som kan reduceras till endast en ekvivalent
kraft F sägs ha en enkraftsresultant (kraftresultant) F .
!
!
5
Problem: Finns det fler enkraftsresultanter som
är ekvivalenta med ett givet kraftsystem.???
Svar: Ja!! Längs en linje av reduktionspunkter,
som ligger på kraftsummans verkningslinje.
Hur bevisas detta?
Problem: Har det plana kraftsystemet i figuren en
enkraftsresultant? Rita ut den i så fall.
Lösning: Ja! Se figuren:
6
Krafternas vridande förmåga beror av momentpunkten.
Hur ska man välja momentpunkt? Finns det enkla val?
Till exempel: Om man letar efter en enkraftresultant för
ett kraftsystem måste man hitta en (moment-)punkt som
kraftsystemet inte kan vrida kring!
Sambandsformeln for kraftmoment.
–Byte av momentpunkt:
Antag att vi har ett system av krafter och kraftpar. Detta
kan beskrivas av ett antal krafter med respektive
angreppspunkter: {r j ,F j } , där j = 1, 2, ..., N .
I momentpunkten O ’mäter’ vi det totala momentet
N
MO = # r j " F j ,
!
! j=1
för N krafter
utplacerade med angreppspunkter r j .
!
I momentpunkten P mäter vi det totala momentet
N
!
!
MP = $ (r j " rP ) # F j , för samma krafter.
j=1
!
Skillnaden
! blir i detta fall:
N
!
N
MO " MP = $ (r j " r j + rP ) # F j = # (rP " F j ) .
j=1
j=1
Detta uttryck kan lätt förenklas om vi inför totala kraften
N
!
!
!
F = "F j .
j=1
!
Ty nu ser vi sambandet:
MO = MP + rP " F . (Sambandsformeln för M)
Kom ihåg att rP = rOP ! Ifall man vill jämföra andra val av
momentpunkter.
!
7
Problem: Bestäm enkraftsresultanten för de två
verkande krafterna på balken.
8 kN
2m
4m
5 kN
Lösning: Den ekvimomenta enkraftsresultanten
måste vara lika stor som kraftsumman av de
ursprungliga krafterna, dvs Fy =-3 kN. Antag att den
angriper på avståndet x från väggen. Då måste gälla
att totala momenten m a p väggfästet är lika:
Fy x = 5 " 2 kNm# 8!" 6 kNm = #38 kNm
x = 12.67 m
!
HOPPSAN! Enkraftsresultanten kanske inte
alltid är förknippad med en fysikalisk punkt!
Anmärkning: Enkraftsresultanten kan ju inte vrida map sin
egen angreppspunkt. Det måste då även gälla det
ursprungliga kraftsystemets totala moment i den
angreppspunkten.
8
KOMIHÅG 3:
• Ekvimomenta kraftsystem: Lika kraftsumma och
momentsumma.
• Sambandsformeln: MO = MP + rP " F .
eller MQ = MP + rQP " F , för momentpunkter Q , P .
• Enkraftsresultant.
!
!
Föreläsning 4:
! !
Enkraftsresultant finns inte alltid!
Antag att det finns en enkraftsresultant F som angriper i
rA . Då kan denna ensamma kraft återskapa momentet MO
för det ursprungliga kraftsystemet.
Dvs: MO = rA " F .
!
För kraftsystem med enkraftsresultant gäller således:
!
MO "F (kryssproduktens egenskap).
!
Egenskapen är ett användbart villkor för att testa om ett
!
!
kraftsystem har en enkraftsresultant eller inte.
Hur hittar man placeringen rA av en kraftresultant?
För att bestämma denna behöver man räkna ut
kraftsumman och momentsumman av det ursprungliga
!
kraftsystemet. Vi kan alltid använda origo som momenpunkt. Sedan ställer vi upp ekvationen:
MO = rA " F
!
9
Använd komponenter i ekvationen. För ett plant
kraftsystem förenklas vektorekvationen till den 'skalära'
ekvationen för z-riktingens komponent (upp ur xy-planet):
x A Fy " y A Fx = MO
Detta är ett samband för en linje i ( x, y )-planet, men det
!
!
räcker att hitta en punkt på linjen, t.ex där y = y A = 0.
Alltså har vi resultantens läge i planet givet av
"M
%
!
O
,
samt
längs verkningslinjen.
rA = $$
,0''
!
# Fy &
Komihåg: En krafts angreppspunkt kan fritt väljas längs
kraftens verkningslinje!!
• JÄMVIKTER
Definition: Föremål i jämvikt: Det finns en icke-roterande
och icke-accelererande referensram (dvs inertialsystem)
där föremålet befinner sig i vila.
Jämviktslag: Jämvikt kräver (nödvändigt) för godtycklig
resultant
1)
F=0
2)
(alla momentpunkter P)
MP = 0
!
!
Detta är förutsättningen för att ett föremål ej börjar
röra sig = börjar translation+rotation.
10
•Jämviktsproblem
3 kN
A
2.4 m
1.2 m
B
Problem: En homogen och likformig balk har en massa
/längd given av 60 kg/m. Bestäm reaktionskrafterna i
stödpunkterna A och B.
Lösning: Fritt vridbar led i A representeras av en s.k. enkraftsresultant i planet. Fri rullkontakt i B representeras av
en vertikal normalkraft. Totala tyngdkraften kan skrivas
som en enkraftsresultant W som angriper i mitten på
balken. 3 obekanta! 3 ekvationer krävs! Frilägg balk!
F
Ay
Ax
2d
B
d
W
3d/2
Jämvikt kräver:
" Ax = 0 , " Ay + B # F # W = 0 ,
A
!
!
! Fd ! W (3d / 2) + B(3d ) = 0
och
där vi infört: d = 1.2 m, W = 60 " 9.81" 3.6 N = 2120 N
!
Vi löser ut obekanta ur de två sista ekvationerna:
2
1
1
1
Ay = F + W , B = F + W
3
2
3
2
!
11
NB
B
NA
mg
A
α
Problem: Ett glatt homogent klot med massan m vilar mot
två plana hårda ytor enligt figuren. Bestäm
kontaktkrafternas storlek.
Lösning:
Kraftanalys:
Det finns ingen friktion vid kontaktytorna enligt uppgift,
endast tyngdkraften och normalkrafterna beaktas. Vi
bestämmer N A > 0 och N B > 0 på följande sätt.
Den plana jämvikten kräver:
N A cos" # mg = 0 ,
N A sin " # N B = 0 ,
!
!
dvs
mg
NA =
, N B = mg tan " .
!
cos"
!
!
!
12
Typiska resultanter
• Leder
- Glatt led:
- Ej glatt led:
• Inre spänningskrafter
De krafter som uppkommer i och verkar på en snittyta
mellan två delsystem i samma kropp representeras av två
motriktade resultanter, som verkar på vardera delsystem.
Fj
M
R
M
R
13
Problem: Betrakta en smal, homogen balk i jämvikt
som är infäst i en betongvägg. Den synliga delen av
balken har längd L och massa m . Rita krafter på den
delen av balken som ligger bortom snittet sett från
väggen!
!
!
Lösning: Vi frilägger (ritar krafter, kraftmoment och
identifierar dessa) den högra (fria) delen av balken.
R
M
L-x
W
W betecknar tyngdkraft. R och M utgör resultant från
den andra delen av balken som angriper i snittet.
