Moment

Biomekanik, 5 poäng
Moment
Moment (kraftmoment)
En resulterande (obalanserad kraft) strävar
efter att ändra en kropps rörelsetillstånd.
Den kan också sträva efter att vrida en kropp.
Måttet på kraftens förmåga att vrida kroppen
runt en axel är dess moment runt den aktuella
axeln. Enhet för moment: Nm.
Moment = Kraft * hävstångsarm = F*d
Viktigt:
• Hävstångsarm är vinkelräta avståndet från kraftens verkningslinje till
vridaxeln (rotationspunkten)
• Om kraftens verkningslinje går igenom vridaxeln blir momentet noll
• Om flera krafter samtidigt verkar på en kropp bestäms krafternas
sammantagna vridningsverkan av det resulterande momentet. Detta
bestäms genom addition av samtliga verkande moment, M R = ∑ F ⋅ l
• Ett moment har alltid en viss vridningsriktning. När moment adderas
måste man ta hänsyn till vridningsriktningen (med- och moturs etc.).
• Om M R = 0 , dvs. om momenten tar ut varandra har vi momentjämvikt
(rotationsjämvikt).
P. Carlsson
1
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Varignons teorem
En krafts verkan på en kropp förändras inte om kraften ersätts med sina
komposanter.
Om detta gäller fullt ut måste det även gälla att:
En krafts moment med avseende på en viss axel är lika med summan av
komposanternas moment
Grafisk illustration av Varignons teorem
Ur figur b (positiv momentriktning medurs):
M O = R ⋅ d = −P ⋅ p + Q ⋅ q
P. Carlsson
2
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Ytterligare illustration av Varignons teorem
Ex 1.
Bestäm momentverkan av 600 Nkraften runt punkt O.
Svar: Mo = 2610 Nm
P. Carlsson
3
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Kraftsumma, momentsumma
Vi antar att flera krafter, ett s.k. kraftsystem, verkar på en kropp.
Deras gemensamma kraftverkan bestäms av kraftsumman ΣF.
n
Def:
∑F = ∑F
i =1
i
I figuren har vi tre verkande krafter:
3
∑F =∑F = F + F
i =1
i
1
2
+ F3
Summeringen delas lämpligen upp i komposanter:
∑F
n
x
= ∑ Fix ,
i =1
∑F
n
y
= ∑ Fiy ,
i =1
R=
(ΣFx )2 + (ΣFy )2
På samma sätt definieras momentsumman med avseende på (den godtyckliga)
axeln O.
n
M O = ∑ M Oi
i =1
Positiv momentriktning måste definieras. I fig.
får vi (moturs):
M O = − F1d1 − F2 d 2 + F3 d 3
P. Carlsson
4
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Ex 2.
Bestäm kraftsumma och momentsumma vid balkens infästning A.
Svar: Fx = 1,65 kN, Fy = 1,16 kN, R = 2,01 kN, MA = 2,22 kNm (moturs)
P. Carlsson
5
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Kraftpar, rent moment
Ett kraftpar bildas av två lika stora,
motriktade krafter.
Tecknas kraftparets momentsumma
runt en godtycklig axel O får vi
(moturs pos.):
ΣM O = F (a + d ) − Fa = Fd
Momentsumman beror endast på
krafternas belopp och avståndet
mellan deras verkningslinjer!
Mer om kraftsumma, momentsumma
I det generella fallet finns det både krafter
och (rena) moment som verkar på en kropp.
För krafter och system i figuren gäller:
3
∑F =∑F
i =1
i
M O = F1d1 + F2 d 2 − F3 d 3 − M 1 + M 2
(positiv riktning medurs)
P. Carlsson
6
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Reduktion av kraftsystem
Handlar om att omvandla komplicerade kraftsystem till enkla system som är
ekvivalenta (dvs. har samma verkan) som de ursprungliga.
Steg I
Vi behöver veta hur man flyttar angreppspunkten för en kraft.
I figuren vill vi flytta kraften F:s angreppspunkt från A till B.
• Lägg två motriktade krafter av F:s storlek och riktning i B (ändrar ej
kraft- och momentsumma)
• Ersätt det uppkomna kraftparet med ett rent moment med storleken
M = Fd.
• Kvar i B finns (den flyttade) kraften F samt momentet M = Fd (som ej är
knutet till B).
P. Carlsson
7
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Steg II
Vi ska nu visa att ett godtyckligt kraftsystem kan reduceras till ett kraftsystem
som består av högst en kraft och ett rent moment.
Vi antar att fig a) innehåller n st krafter och m st rena
moment (i figuren är 3 krafter och 2 moment utritade).
Enligt steg I kan varje kraft flyttas så att den angriper i en
godtycklig punkt O om vi samtidigt adderar ett rent
moment för vaje kraft. Mot kraften Fi svarar alltså
momentet Fidi osv. Resultatet av operationen visas i fig b)
Därefter adderas krafterna till en enda kraft och momenten
adderas till ett enda moment enligt (se fig. c):
n
R = ∑ Fi
i =1
n
m
i =1
i =1
M O = ∑ Fi d i + ∑ M i
Man kan också räkna fram en angreppspunkt för
krafternas resultant (P i figur), där resultanten får
ett moment lika med MO runt punkt O. Avståndet
d till angreppspunkten fås ur det enkla sambandet MO = Pd, där d är avståndet från resultant
till punkt O. Denna enda kraft ersätter då även
momentet MO (benämt M i figuren).
P. Carlsson
8
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Ex. 3
Bestäm kraftsumma och
angreppspunkt för krafternas resultant samt
momentsumma för balken
i figuren. Utgå från
infästningspunkten vid
momentberäkningen.
Svar: Fy = -3 kN (riktad nedåt), M = 13 kNm (medurs)
Resultantens angreppspunkt: d = 4,33 m från infästningen.
P. Carlsson
9
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Sammanfattning
• Ett godtyckligt, tvådimensionellt kraftsystem kan alltid reduceras till en
kraft och ett rent moment. Kraftens angreppspunkt, reduktionspunkten,
kan väljas godtyckligt. Observera dock att momentsumman får olika
värden beroende på vald reduktionspunkt.
• Om kraftsumman är skild från noll, kan systemet reduceras till enbart en
kraft med given verkningslinje.
• Om kraftsumman är lika med noll, kan systemet reduceras till ett rent
moment.
P. Carlsson
10
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Studium av krafter – moment i armbåge
15g
15g
Med hur stor kraft Fm måste bicepsmuskeln verka för att hålla emot en
massa om 15 kg i de båda fallen ovan?
Avstånd mellan armbågsled och
kraftens angreppspunkt är 40 cm i
både A och B.
Svar: FmA = 150g, FmB = 100g
Hur skiljer sig personerna A och B sig åt vad gäller styrka
och snabbhet? Vi antar att biceps utvecklar samma kraft i
båda fallen.
P. Carlsson
11
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Ex 4.
En tyngd mg hålls uppe med armens
muskelkraft. Vilken är tyngdens verkan i
leden A resp. B? (Övriga massor
försummas.)
Ersätt alltså i tur och ordning i dessa
punkter kraften mg men en kraft och ett
rent moment!
Svar:
Punkt A vid armbågen: FA = mg, MA = mgd
Punkt B vid axel: FB = mg, MB = mg(c+d)
P. Carlsson
12
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Ex 5.
En man som tränar axelmuskulaturen börjar
övningen med armen i
vertikalt, avslappnat läge
OA enl. figur (gummibandet är då nätt och jämt
sträckt). Han lyfter sedan
armen till det horisontella
läget OB. Gummibandets
fjäderkonstant är k = 60
N/m, dvs. det går åt kraften
60 N för att sträcka
gummibandet sträckan 1
m. Beräkna momentet runt
axeln i punkt O, dvs. Mo,
med hjälp av den kraft
som bandet drar i handen
vid B.
Svar: Mo = 26,8 Nm
(moturs)
P. Carlsson
13
Biomekanik, 5 poäng
Moment
Inre och yttre krafters moment
Rörelse i kroppen uppstår genom att musklerna producerar (inre) moment runt
en ledaxel.
• Hävstångens längd är till stor del avgörande för muskelns förmåga att
utveckla ett moment.
Armbågsböjare
Knäled
Yttre moment kan t. ex. produceras av tyngdkrafter, normalkrafter etc.
P. Carlsson
14