Biomekanik, 5 poäng
Kinetik
Kinetik
Teori:
∑ F = ma
Dessutom gäller, som i statiken, Newtons 3: lag!
Newtons lagar
1. Tröghetslagen:
En kropp utan yttre kraftpåverkan förblir i sitt
tillstånd av vila eller likformig, rätlinjig
rörelse.
2. Accelerationslagen: En kropp som påverkas av kraften* F får en
acceleration a sådan att F = m a, där
konstanten m är kroppens massa. Eller:
Ändringen per tidsenhet av en kropps
rörelsemängd är proportionell mot den
verkande kraften och ligger i dennas riktning.
3. Lagen om verkan och motverkan:
Mot varje kraft svarar en annan lika stor och
motsatt riktad kraft, så att de ömsesidigt
mellan två kroppar verkande krafterna alltid
är lika stora och motsatt riktade.
P. Carlsson
1
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik
Vad säger egentligen Newtons 2:a lag?
Upprepade försök har visat
F
F1 F2 F3
=
=
= ... = n = C
a1 a 2 a3
an
a
där C är en konstant.
Konstanten C är ett mått på partikelns motstånd mot rörelseförändring eller
partikelns tröghet.
Med lämpligt val av enheter (m, N etc.) visar sig konstanten C vara lika med
föremålets massa.
Vi får då den vanliga formuleringen
∑ F = ma
Som vi senare ska se är denna lag så generell att den även gäller för t.ex.
roterande kroppar med icke försumbar utsträckning. Den får då formen:
∑ F = ma
där a står för tyngdpunktens acceleration. Ev. rotation av kroppen beskrivs
m.h.a. momentekvationen som vi kommer till senare.
P. Carlsson
2
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik
Trög och tung massa
Man inser att en kropps massa kan mätas på två principiellt olika sätt.
• Genom att väga kroppens t.ex. vid jordytan och på så sätt få fram den
tunga massan (med hjälp av allmänna gravitationslagen).
• Genom att utsätta kroppen för en känd kraft och mäta dess acceleration.
Denna beräkning ger den tröga massan.
Observera att det är ingenting som på förhand säger att dessa massor ska vara
lika stora, men de är alltid proportionella med varandra, och med lämpliga
enheter är den tröga och tunga massan är lika stora.
Kraftlagen vid rätlinjig rörelse
Med lämpligt val av koordinatsystem får kraftlagen följande utseende vid
rätlinjig rörelse:
∑ F = ma
∑F = 0
(∑ F = 0)
x
x
y
z
Ex 1.
En 75 kg:s man står på en våg i en hiss. Under
de tre första sekunderna av rörelse från vila är
dragkraften T i hisslinan 8300 N. Hur stor kraft
R kommer vågen (som mäter i N) att visa under
denna acceleration, och hur stor hastighet har
hissen efter de tre sekunderna? Hiss, våg och
man har en sammanlagd vikt av 750 kg.
Svar: R = 830 N, v = 3,78 m/s
P. Carlsson
3
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik
Ex 2.
Studera en 60 kg:s utförsåkares acceleration och hastighet i en backe med
konstant lutning Θ, dels om man försummar luftmotståndet och dels om
man tar hänsyn till det. Inga yttre
krafter utöver tyngdkraften påverkar hennes rörelse. Luftmotståndet R fås ur
sambandet R = kv2 där k är positiv en konstant och v hastigheten. Hur stor blir
gränshastigheten när man tar med luftmotståndet i beräkningen? Låt Θ = 40o,
friktion mellan snö och skida μk = 0.05 och k = 0.5 m-1.
Har en tyngre åkare en fördel vid glidning jämfört med en lättare när man tar
hänsyn till luftmotståndet? Enligt tidigare är R = 12 ⋅ AP ⋅ v 2 ⋅ C D ⋅ ρ där AP är den
projicerade arean i rörelseriktningen, v är hastigheten, CD är en konstant som
representerar strömlinjeformen och ρ är mediets densitet.
Svar: Utan luftmotstånd får vi den konstanta acc. a = g (sin Θ − μ k cos Θ) ,
v = gt (sin Θ − μ k cos Θ)
Med luftmotstånd får vi den icke konst. acc. a = g (sin Θ − μ k cos Θ) −
Gränshastighet v fås när a = 0, dvs. då v =
k 2
v
m
mg
(sin Θ − μ k cos Θ)
k
För åkare 1 och 2 med olika kroppsstorlekar fås förhållandet mellan deras
gränshastigheter ur uttrycket
v1 ⎛ m1 ⎞
⎟
=⎜
v2 ⎜⎝ m2 ⎟⎠
P. Carlsson
1
6
4
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik
Inertialsystem
Det kan verka som om Newtons första lag är överflödig eftersom man kan
samma information ur andra lagen om vi i den använder oss av att v = konst. Vi
får då nämligen:
dv
∑ F = ma = m dt
=0
vilket ju är detsamma som jämviktsvillkoret i statiken.
Första lagen kan dock ses som en definition av ett s.k. intertialsystem, ett system
där tröghetslagen gäller.
Det visar sig också att det är omöjligt att mekaniska experiment skilja mellan
”vila” och ”likformig rörelse”.
Man kan heller inte hävda att en enskild inertialram är mer rätt än en annan.
Konstant hastighet (inertialsystem): Den fritt hängande bollen i lastbilen uppför
sig helt normalt, både för iakttagaren i lastbilen och för den stillastående
iakttagaren utanför.
P. Carlsson
5
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik
Accelererad rörelse (ej inertialsystem): För en yttre, stillastående iakttagare är
det förklarligt att bollen pendlar ut under accelerationen, för den inre iakttagaren
känns det som om en kraft drar allt mot lastutrymmets bakre vägg. Newtons
lagar gäller inte för personen inne i lastbilen!
Ex 3.
Vilken vinkel Θ kommer den fritt hängande kulan att bilda med vertikallinjen
om järnvägsvagnen accelererar med en jämn acceleration a som visas i figuren?
a
⎛a⎞
⎝g⎠
Svar: Θ = arctan⎜⎜ ⎟⎟
P. Carlsson
6
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik
Kraftlagen vid kroklinjig rörelse
Här, liksom i kinematiken, underlättas problemlösningen om vi håller oss till de
naturliga n- och t-riktningarna (normal- och tangentialriktningarna).
Om t.ex. r är krökningsradien för
kurvan vid punkt B ser kraftekvationerna ut på följande sätt för en
partikel med massan m i det läget:
∑F
t
= mat
v2
∑ Fn = man = m r = mrω 2
där v är partikelns hastighet i B och ω är dess vinkelhastighet runt den tänkta
cirkelns centrum.
Det går alltså åt en kraft Fn för att partikeln ska följa kurvans krökning vid
exempelvis B!
I exemplet nedan tvingar en hand pucken att följa en cirkelbana genom att hela
tiden lägga kraften F i normalens riktning.
P. Carlsson
7
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik
Alternativt kan handen ersättas med ett snöre som håller pucken i banan. För
krafterna i de båda fallen gäller förstås att F = S k (förutsatt att rörelsen sker
med samma hastighet och att radien är densamma).
Kom alltså ihåg att rörelse i en krökt bana alltid kräver en acceleration tvärs
rörelseriktningen, dvs. i rörelsens normalriktning, och att det krävs en kraft för
att åstadkomma den accelerationen! (Fn = man).
Finns det verkligen inte centrifugalkrafter?
Om det inte finns centrifugalkrafter, vad är det då för en
kraft som föraren av bilen känner av under kurvan?
Vilken kraft är det som får
korgarna att slungas ut
under rotationen?
P. Carlsson
8
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik
Ex 4. I ett avsnitt av en skidbacke finns
formationer enligt figur. Om en 75 Kg:s
skidåkare kommer till punkt A med 75
km/h, hur många gånger större kraft än
sin egen tyngd måste han bära upp i det
läget? Hur stor är den största hastighet
åkaren kan ha när han passerar B utan att
hoppa? Friktion mellan skidor och snö
försummas. Åkarens tyngdpunkt befinner
sig 1 m ovanför snön.
90 m
135 m
Svar: Ökad tyngd i svackan vid A är 1,5 ggr, max hast. i B är 132 km/h.
Ex 5.
Under en cykeltävling kommer
åkarna in i en kurva med krökningsradien ρ = 30 m. Beräkna hur
stor hastighet åkarna maximalt kan
ha om friktionen mot vägbanan är
nedsatt efter en regnskur och μs =
0,4. Hur stor vinkel Θ får cyklisterna luta sig inåt under kurvan för
att hålla balansen?
Svar: vmax = 39 km/h, Θ = 21,8o
P. Carlsson
9
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik
Varning för jämviktstänkande vid lösning av dynamiska problem!
Ex 6.
En lättrörlig kropp på ett bord accelereras
genom förbindelse med en lika tung, fritt
hängande kropp. Hur stor (gemensam)
acceleration a får kropparna, och hur stor
blir linkraften S under den accelererade
rörelsen?
Svar: a= 0,5g, S = ma = 0,5mg
P. Carlsson
10
