Buoyancy

Partikeldynamik
Dynamik är läran om rörelsers orsak.
En partikel är en kropp där utsträckningen saknar betydelse för dess rörelse. Den kan
betraktas som en punktmassa utan rotation.
Massa kan definieras på två sätt. Den ena baserar sig på att olika massor attraheras olika
starkt av jordens gravitation. Att två massor är lika kan tex bestämmas med en balansvåg
eller en fjädervåg där fjäderns uttänjning är proportionell mot massan.
Enligt denna definition är massa ett mått på hur gravitationen påverkar en kropp, man talar
om "tung massa".
Den andra definitionen är: Massan anger vilken kraft som åtgår för att ge en kropp en viss
acceleration, "trög massa".
Fjädervåg
Balansvåg
m
m
Newtons I:a lag (tröghetslagen)
En partikel är fri om den inte påverkas av några krafter (finns?)
Fnet  0
m
Fri partikel
v  konstant
En fri partikel befinner sig i vila eller rör sig med konstant hastighet (dvs i en rät linje)
Detta är Newtons I:a lag även kallad tröghetslagen.
Observera att även observatören av rörelsen måste vara fri (finns?), dvs. mätningen måste
göras i ett inertialsystem. Ett inertialsystem accelererar inte (och får därför inte rotera,
eftersom rotation innebär acceleration). Har man hittat ett inertialsystem kommer alla
system som rör sig med konstant hastighet relativt detta också att vara inertialsystem.
Newtons II:a lag
Om
F  F
i
net
 0 ändras hastigheten v i samma riktning som Fnet
i
Om en nettokraft verkar på en kropp ändras hastigheten (accelererar den) I
samma riktning som nettokraften.
a   Fi
i
Experimentellt har man visat att för en given kropp gäller:
Fnet
m
F
i
i
a
a
m
Om en extern kraft påverkar en kropp så accelererar den. Riktningen på
accelerationen är samma som kraften. Massan hos kroppen gånger accelerationen
hos kroppen är lika med nettokraften som påverkar kroppen
Newtons II:a lag
Newtons II:a lag
 F  ma
"Newton" N= [kg m/s2]
i
i
F
x
i
 max ,  Fy  may ,  Fz  maz
i
i
Detta ger en andra definition av massa: Massan anger vilken kraft som åtgår för att
ge en kropp en viss acceleration, "trög massa".
trög massa = tung massa
Därför får alla kroppar samma acceleration i ett gravitationsfält (ca 9.8 m/s2 på
jorden).
W=mg
Tyngden W är den kraft som krävs för att förhindra en kropp med
massan m att falla pga gravitationsaccelerationen.
Newtons III:e lag
Om en kropp påverkar en annan med en given kraft så återverkar den senare
kroppen på den första med en lika stor men motsatt riktad kraft F
2
F1  F2
F1
Newtons III:e lag
Exempel: 1
Kraftjämvikt
F1  F2  F3  F4  ...  0 eller
F
ix
0
i
F
iy
i
0
F  0
i
F
iz
i
0
i
Vid jämvikt är partikeln i vila eller rör sig med konstant hastighet
Exempel kropp på lutande plan
Jämvikt när F + W + N = 0
X: F  Wsin = 0 eller F = Wsin
Y: N  Wcos = 0 eller N = Wcos
Exempel: 2
Tröghetskrafter
Med tröghetskrafter menas krafter som uppstår i accelererade koordinatsystem. Betraktas
situationen från ett inertialsystem (utan acceleration) kommer tröghetskrafterna inte att
ingå i beskrivningen.
S´
S
ar
a´= a  ar
m a mätt i S
a´ mätt i S´
Från S mäts F = ma
Från S´ mäts F´ = ma´
F´ = ma´= m(a  ar)= F  mar
f =  mar Tröghetskraft
S är inertialsystem
S´ accelererar relativt S
m är massan hos kroppen
(Kallas även fiktiv eller skenbar kraft)
Tröghetskrafter
Ex. 1 Person i accelererande bil
S: Jorden
S´: Bilen
m: Personens vikt
a´= 0 eftersom personen sitter still i bilen
ar = bilens acceleration i positiv x-riktning
Betraktat utifrån (S): Personen accelererar med ar eftersom den påverkas med kraften F
=mar från bilen som verkar i positiv x-riktning
Personen inne i bilen: Jag sitter still men påverkas av en kraft f =  mar
(minustecknet visar att kraften verkar i negativ x-riktning)
S´
S
ar
S är inertialsystem
m a mätt i S
a´ mätt i S´
S´ accelererar relativt S
m är massan hos kroppen
Tröghetskraften centrifugalkraft
Ex. 2 Sten i ett snöre som snurrar runt
S är ett inertialsystem (accelererar ej)
S´ systemet roterar med stenen som är fäst med ett snöre i
centrum. Snöret har längden R.
Sett från S: Stenen roterar med vinkelhastighet w, och har en
centripetalacceleration. Eftersom den accelererar in mot centrum
måste den påverkas av en kraft från snöret i denna riktning som är
lika med:
Fs  ma , a  w 2 Rrˆ  Fs  mw 2 Rrˆ
Sett från S ´ : Stenen står still och påverkas av två krafter: En
2
utåtriktad centrifugalkraft Fc  mw Rrˆ och en lika stor och
motriktad kraft i snöret Fs  mw 2 Rrˆ . Dessa krafter tar ut varandra
så stenen befinner sig i vila här.
R
Tröghetskraften corioliskraft
w
v
Sett utifrån.
Plattan roterar.
Kulan går rakt
fram och träffar
ej siktpunkten.
Sett från plattan.
Ingen rotation.
Kulans kurva tycks
böja av åt höger.
Tänk er att figurerna visar en platta fäst vid
nordpolen. Periferin kommer då att röra sig
moturs. Sett från ett inertialsystem
kommer en kula att färdas i en rät linje om
den skjuts ut från centrum. Skytten siktar
mot den röda punkten som roterar med
plattan.
Då plattan roterar kommer kulan att missa
siktpunkten.
Corioliskraften gör att
partikelbanor avlänkas åt höger på
norra halvklotet, vilket bl.a. leder
till den karaktäristiska rotationen
hos vädersystem.
Fundamentala krafter I naturen
Statistiska (makroskopiska) krafter orsakas av fundamentala krafter när ett väldigt stort
antal partiklar är involverade
Fundamentala krafterna
Gravitation
Elektromagnetisk (Delas ofta upp i elektrostatisk och magnetisk)
Starka krafter
Endast verksamma i atomkärnor
Svaga krafter
Friktionskrafter mellan fasta ämnen
N
Friktionskraften Ff är summan av en
enorm mängd individuella
växelverkningar mellan atomer och
molekyler i ytorna ("statistisk kraft"). Ff
är alltid motriktad rörelsen på kroppen.
W  mg
Empiriskt gäller:
|Ff|  mk|N|
vid glidning
|Ff|  ms|N|
i vila
mk är kinetisk friktionskoefficient
ms är statisk friktionskoefficient
Normalt är ms  mk
Exempel: 3
Rörelse uppåt
Rörelse nedåt
Friktionskrafter i vätskor och gaser
När en kropp rör sig i en vätska eller en gas kan friktionskraften ofta
approximeras som en kraft motriktad rörelsen och proportionell mot hastigheten.
För vätskor gäller för lägre hastigheter:
Ff = Khv
Ff
Viskositetskoefficienten h beror på vätskans egenskaper
"Drag coefficient" K beror på föremålets geometri
(OBS: För högre hastigheter gäller sambandet Ff = Dv2
där D är en motståndskoefficient)
F=mg
Kraftekvationen för rörelse i vätska med konstant
yttre kraft F:
ma = F  Khv
Nettokraften ger en acceleration som ökar v,
vilket i sin tur ger lägre nettokraft. Efter en tid
nås en maximal gränshastighet vL = F /Kh
Vid fritt fall är F = mg vilket ger vL = mg /Kh
Hastighet som funktion av t då en kropp faller
genom en viskös vätska
Arkimedes princip
Om kroppens och vätskans täthet är relativt lika måste hänsyn tas till vätskans lyftkraft
enligt Arkimedes princip.
När en kropp sänks ned delvis eller helt i en vätska (fluid) så kommer kroppen att
utsättas för en flytkraft av den omgivande fluiden. Den kraften är uppåtriktad och
lika stor som tyngden på den undanträngda fluiden.
Dvs. kroppen känner en uppåtriktad lyftkraft (eng. buoyancy) lika med det bortträngda
mediets tyngd m´g. Gränshastigheten vL blir då:
Kraftekvationen för rörelse i vätska (fluid) :
Ff
Fb=m’g
Newton II: ma = Ff + Fb +W=  Khv –m’g+mg
Gränshastigheten vL uppnås då kroppen slutar att accelerera (a=0).
W=mg
-KhvL –m’g+mg=0 -> vL(m - m´)g /Kh
Om V är kroppens volym, r dess densitet och r´ vätskans densitet:
vL = (r - r ´)Vg /Kh
Exempel: 4