Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Kinetik – Härledda lagar
Utöver Newtons andra lag, kraftlagen, finns också andra samband som kan
användas för att lösa olika problem
Bland dessa s.k. härledda lagar finns
• Arbete – Energisamband
• Impuls – Rörelsemängdssamband
• (Impulsmoment – Rörelsemängdsmomentsamband)
Lagarna kallas härledda eftersom de kan härledas (tas fram) ur Newtons andra
lag (kraftlagen), F = ma.
Lagarna ger ingen information utöver det man kan få ur kraftlagen men erbjuder
ofta smidigare lösningar på problem och ger en större förståelse för olika
förlopp.
Eftersom lagarna härletts ur kraftlagen gäller de med samma begränsningar som
för kraftlagen.
• Det system vi studerar en rörelse inom ska fortfarande vara ett
inertialsystem. Stilla stående system eller system som rör sig med
konstant hastighet är alltså tillåtna.
Även om vi här härleder t.ex. sambanden mellan Arbete och Energi ur
kraftlagen visar det sig att för mer komplicerade system som kontinuerliga
medier (strömmande vätskor etc) är en sådan härledning inte längre möjlig.
• I sådan fall postulerar man sambanden som naturlagar på samma sätt som
Newtons andra lag, F = ma, har postulerats som en naturlag.
P. Carlsson
1
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Lite grovt kan man säga att användningen av de härledda lagarna har sina
speciella fördelar inom följande områden
• Arbete – Energilagen: Kraften
verkar under en viss sträcka.
• Impuls – Rörelsemängdslagen: Kraften verkar under en viss tid.
Stötförlopp kan också behandlas med detta samband.
Observera att det här inte handlar om accelerationssamband utan
hastighetssamband!
• Detta beror på att vi har, som vi ska se senare, integrerat oss upp ett steg
dv
dv
=v )
från acceleration till hastighet (som bekant är ju a =
dt
ds
• Som man kanske kan se från derivatorna ovan så integrerar man fram
dv
Arbete – Energisamband ur derivatan a = v
ds
• Impuls – Rörelsemängdssamband kommer från integrering av a =
P. Carlsson
dv
.
dt
2
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Energilagen, uttrycker samband mellan Arbete och Energi
Arbete
En partikel förflyttas från punkt P till punkt Q under
inverkan av en kraft F enligt figur. Kraften delas upp i en
komposant Fs i tangentialriktningen och i en komposant
utefter normalen.
Om vi tänker oss att rörelsen delas upp i små delsträckor
ds kan arbetet under den infinitesimala (oändligt lilla)
förflyttningen definieras som
dW = Fs ds
där Fs och ds alltså ligger utefter samma linje. Arbete mäts
i [Nm] eller [J].
Kraftens totala arbete under förflyttningen från P till punkt Q fås genom
addition av samtliga små delförflyttningar, eller
SQ
WPQ =
∫ F ds
s
SP
I det fall där Fs = konst. får vi det enkla sambandet
WPQ = Fs (sQ − s P )
P. Carlsson
3
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Observera att kraft och förflyttning ska vara utefter samma linje!
Om man skjuter på en bil är det förstås bara kraft i förflyttningens riktning som utför ett nyttigt arbete. Samma sak gäller
vid ett stavtag i längdlöpning.
Totala arbetet för förflyttningen av bilen i bilden ovan blir
W = F cos Θ ⋅ s
Tvångskrafter, som normalkrafter, uträttar inget
arbete vid förflyttning! Varför?
P. Carlsson
4
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Kan olika stora krafter uträtta samma arbete?
Ja, men det tar längre tid för myran att utföra samma arbete.
Effekt
Förmågan att uträtta arbete per tidsenhet mäts med effekt. Effekten mäts i watt
[W] och definieras som
P=
dW
dt
Då vi tidigare definierat dW som
dW = Fs ds
får vi följande uttryck för effekten:
P = Fs
ds
= Fs v
dt
Ifråga om effekt finns det förstås betydande skillnader mellan myror och
elefanter.
P. Carlsson
5
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Verkningsgrad
Förhållandet mellan uträttad arbete och tillfört arbete under ett och samma
tidsintervall kallas för den mekaniska verkningsgraden η. De mekaniska
förlusterna kan bero på sådant som olika friktionsförluster i rörliga delar kan i
termer av mekanisk effekt skrivas som
η=
Put
Pin
och anges ofta i procent.
Lagen för kinetiska energin
Kinetisk energi
För att beskriva en partikels rörelse definieras en ny storhet, partikelns kinetiska
energi eller rörelseenergi.
T=
1 2
mv
2
som mäts i samma enheter som arbetet, dvs. [Nm] eller [J]. Går vi tillbaka till
Newtons andra lag, kraftlagen, kan vi enkelt härleda sambandet mellan
storheterna arbete och rörelseenergi för en partikel.
För en partikel gäller allmänt att
∑ F = ma
där accelerationen på känt maner kan skrivas som
a=
P. Carlsson
dv
dv dv ds
=
=v
ds
dt ds dt
6
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Sätter vi in detta i Newtons andra lag får vi
∑ F = ma = mv
dv
ds
eller
S2
v2
S1
v1
∫ (∑ F )ds = ∫ mvdv =
1 2 1 2
mv2 − mv1
2
2
vilket med tidigare beteckningar för arbete (W) och rörelseenergi (T) kan skrivas
W = T2 − T1 = ΔT
Detta är den s.k. lagen för den kinetiska energin. Lagen kopplar ihop krafter,
sträckor och hastigheter och säger att:
När en partikel förflyttas från ett läge till ett annat, så är ändringen i den
kinetiska energin lika med det arbete som har uträttats av samtliga krafter på
partikeln.
S2
v2
1
∫ (∑ F )ds = ∫ mvdv = 2 mv
S1
v1
2
2
1
− mv12
2
W = T2 − T1 = ΔT
eller
T1 + W = T2
Ett mycket användbart samband, som alternativ till Newtons andra lag!
P. Carlsson
7
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Ex 1.
Ett litet föremål har hastigheten
vA = 5 m/s vid A. Om vi bortser
från friktionen, bestäm hastigheten vB vid B. Behöver vi känna
till banans form för uträkningen?
Svar: vB = 3,05 m/s
Ex 2.
Intjänad lägesenergi
kan återvinnas som
rörelseenergi. Brädåkaren, kusin Throckmorton åker i en ramp
som har formen av en
kvarts cirkel. Den
totala massan av
Throckmorton och
brädan är 25 kg och
rampen har en radie av
R = 3,0 m. Beräkna Throckmortons hastighet vid läge 2 om han startar från
stillastående i läge 1 och brädan har en konstant rullmotstånd av FR =10 N.
Svar: v2 = 7,42 m/s
Krafter under nerfarten
P. Carlsson
8
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Potentiell energi i en linjär fjäder
För en linjärt elastiskt fjäder gäller
F = kx
Arbetet för att dra ut fjädern från viloläge till
töjningen (sträckan) x, dvs. den i fjädern lagrade
potentiella energin får vi ur sambandet
x
x
1 2
=
=
Fdx
kxdx
kx
∫0
∫0
2
Ex 3.
En elastisk lina med den naturliga längden (vilolängden) l0 som används vid så kallad ”bungee
jump” från en bro med höjden h testas med hjälp
av en provkropp med massan m1. Linans maximala
längd vid detta prov uppmäts till l1. Bestäm den
högsta tillåtna massan mmax en hoppare kan ha för
att han inte ska slå mot vattenytan. Bestäm
h
3
massans värde speciellt om l0 = , l1 = h
2
4
samt om provkroppens massa är m1 = 50 kg.
Betrakta hopparen som en partikel.
Svar: mmax = 150 kg. Delresultat, fjäderkonstanten
k för linan är:
2m1 gl1
k=
(l1 − l0 )2
P. Carlsson
9
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Impuls - Rörelsemängd
Ur Newtons andra lag kan ytterligare samband härledas som komplement till
denna.
Vi inför ett par nya begrepp, en partikels rörelsemängd och den impuls en kraft
ger upphov till under en viss tid.
Rörelsemängd
En partikels rörelsemängd p definieras som
p = mv
Rörelsemängden är alltså en vektor som hela
tiden är parallell med hastighetsvektorn.
Enheten blir [kgm/s].
Derivering av p med avseende på tiden ger
p& = mv& = ma
vilket med Newtons andra lag ger
F = p&
och kan på vanligt sätt delas upp i komposanter så att
Fx = p& x = mv x
osv. för övriga koordinater.
P. Carlsson
10
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Går vi tillbaka till Newtons andra lag får vi:
F = p& = mv& = m
dv
dt
eller
F dt = m dv
som kan integreras till
t2
v2
∫ F dt = ∫ m dv = mv
t1
2
− mv 1 = p 2 − p1
v1
Integralen i vänsterledet kallas impulsen och sambandet
t2
∫ F dt = p
t2
2
t1
− p1 eller p1 + ∫ F dt = p 2
t1
kallas impulslagen och säger att den impuls som tillförs partikeln, är lika med
ändringen av rörelsemängden.
Också här kan uttrycken delas upp i komposanter utefter valda koordinatriktningar som
t2
∫ F dt = p
x
x2
− p x1
t1
P. Carlsson
11
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Om kraften är konstant och det handlar om
rätlinjig rörelse får vi de enkla sambanden
Fx t = mv − mv0
Lagen har också sin användning i situationer där en kropp påverkas under ett
mycket kort tidsintervall, t.ex. stötförlopp eller kollisioner av olika slag
Ex 4.
En 1500 kg:s personbil har
hastigheten 30 km/h uppför en
backe med lutningen 10% när
föraren gasar under 8 s och får
upp hastigheten till 60 km/h.
Beräkna hur stor medelkraft som
verkar mellan drivhjul och asfalt under de 8 s. Behandla bilen som en partikel
och bortse från luftmotståndet.
Svar: Medelkraft F = 3,03 kN
P. Carlsson
12
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Ex 5
En tennisspelare slår till bollen
med sitt racket medan bollen ännu
är på väg uppåt. Bollens hastighet
före tillslag är v1 = 15 m/s och efter
tillslaget har hastigheten ökat till
v2 = 22 m/s, med riktningar som
framgår av illustrationen. Om 60-gr bollen är i kontakt med racketen under 0,05
s, bestäm storleken på den medelkraft R som påverkar bollen under tillslaget.
Bestäm också vilken vinkel β som R bildar med horisontalplanet.
Svar: Medelkraft R= 43,0 N, β = 8,68o
P. Carlsson
13
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Konservering av rörelsemängd
Om den totala kraft som verkar på en partikel (eller ett partikelsystem) under ett
visst tidsintervall är noll, ger villkoret F = 0 insatt i impulslagen att
rörelsemängden p är konstant under det aktuella tidsintervallet.
t2
∫ F dt = p
2
− p1 = 0 ⇒
p1 = p 2
t1
Detta är t.ex. fallet under stötförlopp: Lika stor kraft som den ena kroppen
påverkar den andra med, lika stor kraft får den själv känna av enligt Newtons
tredje lag.
I fallet med kolliderande kroppar står p1 resp. p1 för totala rörelsemängden för
de inblandade kropparna före och efter stöten. Vi betraktar alltså hela systemet
samtidigt.
För stöten ovan gäller
t2
p1 + ∫ ( − F + F ) dt = p 2
t1
⇒ p1 = p 2
eller
m1v1 + m2 v2 = m1v1' + m2 v2'
P. Carlsson
14
Biomekanik, 5 poäng
Kinetik – Härledda lagar
Ex 6.
En 75-g projektil med
hastigheten 600 m/s slår in i
och fastnar i en 50 kg:s vagn
som står stilla före kollisionen.
Beräkna hur stor hastighet v’ vagnen med den inbäddade projektilen har efter
kollisionen samt hur stor energiförlusten är under kollisionen uttryckt i procent.
Svar: v’ = 0,899 m/s, Procentuell energiförlust är 99,9 %.
P. Carlsson
15
