Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Jämvikt
Vid jämvikt (ekvilibrium) är en kropp i vila eller i rätlinjig rörelse med konstant
hastighet.
Jämvikt kräver att:
• Alla verkande krafter tar ut varandra, Σ F = 0 (translationsjämvikt)
• Alla verkande moment tar ut varandra, Σ M = 0 (rotationsjämvikt)
Ofta delar man upp krafterna i t. ex. horisontellt och vertikalt verkande
komposanter. Detta ger tre jämviktsvillkor (i det tvådimensionella fallet):
• Σ FV = 0
• Σ FH = 0
• ΣM=0
I det tredimensionella fallet finns det 6 jämviktsvillkor att ställa upp, krafter i tre
riktningar och moment längs tre axlar.
Inre och yttre krafter
En kropp påverkas av både yttre och inre krafter
• Yttre krafter
o tyngdkrafterna på delarna, representerad av deras
resultant
o kontaktkrafter
o olika yttre, pålaga krafter
• Inre krafter
• krafter som verkar mellan kroppens olika, inre
delar
Vad som är inre och yttre krafter beror på vilket system man
studerar!
P. Carlsson
1
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Reaktionslagen. Vid en dragtävling påverkar person A person B med kraften
SBA. Denna kraft ger enligt Newtons 3:e lag upphov till en lika stor och
motriktad reaktionskraft SAB på personen A från personen B.
Leder då inte Newtons 3:e lag till en paradox? Hur kan någon av dem vinna?
Här är det viktigt att förstå att Newtons 3:e lag beskriver verkan och motverkan
på olika kroppar. För att se vilken av dem som vinner måste man betrakta den
totala kraften på var och en av dem. Om friktionskraften på B, FB är större än
friktionskraften på A, FA då vinner B i enlighet med Newtons 2:a lag.
Kraftekvation för A och B:
A:
mA a = SAB - FA
B:
mB a = FB - SBA
Vilket ger:
a=
FB − FA
m A + mB
a = 0 ⇒ FA = FB = SAB = SBA (jämvikt,
⇒ statik)
Alternativt betraktelsesätt:
Kraftekvation för A och B
tillsammans ger:
A och B:
(mA+mB) a = FB - FA
Vilket ger:
a=
P. Carlsson
FB − FA
m A + mB
2
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Friläggning
Problemlösandet underlättas betydligt av en ordentlig friläggning!
Välj ut det system som ska studeras, det är på det systemet jämviktsvillkoren ska
tillämpas.
En förenklad bild av det system som ska studeras ritas, samtliga yttre krafter
ritas in och så kallade snittkrafter förs in i snittytorna. (Obligatoriskt!)
Inledande exempel:
Hur stora krafter påverkas de båda lådorna av i figuren på första sidan, om den
övre lådan väger 3 kg och den undre 8 kg?
Ex 1.
En person tränar överarmen med
en 10 kg:s hantel på det sätt som
visas i figuren. Brachialismuskelgruppen (som består av
brachialis och biceps) är de
muskler som har störst påkänning
under övningen. Bestäm
storleken på kraften F som
10 kg
brachialismuskelgruppen utövar i
läget i figuren samt storleken på
den påkänning som uppstår i
armbågen vid punkt E i samma
läge (rörelsen anses ske så
långsamt att statikens lagar
gäller). Använd de angivna
måtten som angreppspunkter för de två muskelgrupperna, alltså 8” direkt
ovanför E och 2” rakt höger om E. Inkludera inverkan av underarmens massa
om 1,5 kg med masscentrum vid G.
Svar: F = 753 N, E = 644 N
P. Carlsson
3
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Ex 2.
Beräkna dragkraften T i de rep som lyfter
500 kg:s vikten i figuren. Varje hjul rullar
utan friktion och alla massor är försumbara
jämfört med lasten. Beräkna även storleken
på den totala kraft som verkar på övre
hjulets lagring vid C.
Svar: T = 1226 N, resulterande kraft vid
övre hjulets lagring vid C, R = 1226 N
500 kg
P. Carlsson
4
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Tyngdpunkt
Parallella krafter kan enligt tidigare reduceras till
en enda kraft.
Tyngdkrafterna på ”smådelarna” i en kropp bildar
ett parallellkraftsystem. De kan därför ersättas
med en enda, linjebunden kraft Q.
storleken på denna resulterande kraft blir:
Q = ∑ (mi g ) = ∑ (mi )g = mg
Var resultanten hamnar för oregelbundna kroppar
kommer senare!
Linkrafter – stångkrafter
I stänger, liksom i linor, där tyngden är
försumbar och inga krafter verkar utom i
ändarna, ligger krafterna alltid utefter
den linje som sammanbinder ändarna.
Varför?
Vad händer om tyngden inte är
försumbar?
P. Carlsson
5
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Ex 3.
Gymnasten i figuren som övar romerska ringar
är under en kort stund i vila i ett läge då
armarna bildar vinkeln α med vertikalen.
Bestäm den kraft F och det moment M som
krävs i punkt A vid axeln om varje arms massa
är m1 och massan av resten av kroppen förutom
armarna är m2. Symmetri kring mittlinjen
förutsätts.
F=
Svar:
m2 g
2
m (b + c) ⎞
⎛
M = g sin α ⎜ m1c + 2
⎟
2
⎝
⎠
P. Carlsson
6
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Ex 4.
En träningsmaskin är konstruerad med en lätt vagn som rullar utan nämnvärt
motstånd på ett sluttande plan enl. figuren ovan. Två vajrar är fastade vid
vagnen, en för varje hand. Om händerna hålls tillsammans så att vajrarna är
parallella och varje vajer ligger nära ett vertikalt plan, beräkna med hur stor kraft
P varje hand måste dra för att vagnen med mannen på ska vara i jämvikt i det
utritade läget. Mannen väger 70 kg, planet lutar Θ = 15o och vinkeln β = 18o.
Beräkna även storleken på den kraft R som det sluttande planet måste ta upp från
vagnen.
Svar: P = 45,5 N, R = 691 N
P. Carlsson
7
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Mer om friläggning – utritande av krafter och moment
P. Carlsson
8
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Finn fem fel!
P. Carlsson
9
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Olika kontakt- tvångskrafter
P. Carlsson
10
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Alternativa jämviktsekvationer
I systemet bredvid kan t.ex. följande tre
jämviktsekvationer tecknas:
∑F = 0
∑F = 0
∑M = 0
x
y
A
Följande alternativa ekvationer ger dock
precis samma resultat:
∑F
x
∑M
=0
A
=0
∑M
A
∑M
=0
B
=0
∑M
B
∑M
=0
C
=0
(en kraft- två momentevkationer)
(tre momentevkationer)
eller, om en alternativ koordinatriktning, ξ, används:
∑F
x
=0
∑ Fξ = 0 ∑ M
A
=0
(två kraft- en momentekvation)
Fler ekvationer än tre går inte att ställa upp, tillkommande ekvationer kommer
att vara linjärt beroende av de tre första!
P. Carlsson
11
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Ex 5.
En lastbom bär upp en vikt med massan
m. Bommen är fäst vid O med en
cylinderled så den kan rotera fritt kring
en horisontell axel runt O. Bommen hålls
i jämvikt med hjälp av en vajer BC enligt
figur. Bestäm dragkraften i vajern samt
reaktionskraften på bommen vid O.
(Bommens massa försummas.)
Friläggning
I detta fall är tre olika
lösningar möjliga.
I. Lösning med två
kraftekvationer och en
momentekvation.
II. Lösning med två
momentekvationer och en
kraftekvation.
III. Lösning med tre
momentekvationer.
Svar: Rx = 2mg, Ry = -mg
S=
4
mg
2
P. Carlsson
12
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
P. Carlsson
13
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Ex 6.
Bestäm storleken på den kraft P
som krävs för att lyfta den ena
ändan på 250 kg:s lådan i figuren
så den nätt och jämt lättar från
golvet vid A.
Svar: P = 225 N
P. Carlsson
14
Biomekanik, 5 poäng
Jämviktslära
Statisk obestämdhet
Vi studerar en vikt med massan m som i fallet a) är upphängd med två linor och
i fallet b) med tre linor.
Fall a):
Fall b)
Antalet ekvationer vi kan ställa upp är detsamma, nämligen ΣFx och ΣFy. En
momentekvation ger ingen ytterligare information då krafterna angriper i samma
punkt!
Vi har alltså 3 obekanta krafter men bara tillgång till två jämviktsekvationer.
Problemet är vad man kallar statiskt obestämt.
För att lösa problemet måste man ha information om linornas elasticitet. Vi
hamnar då inom belastningsanalysen (hållfasthetsläran).
P. Carlsson
15
