Det matematiska språket

Lärarutbildningen
Skolutveckling och ledarskap
Uppsats
15 högskolepoäng
Det matematiska språket
Ett medel att nå ökad begreppsförståelse
The language of mathematics
An instrument to attain increased understanding of concepts
Agneta Lindqvist
Magisterkurs i specialpedagogik, 30 hp
2008-06-05
Handledare: Elsa Foisack
Examinator: Barbro Bruce
Malmö högskola
Lärarutbildningen
Skolutveckling och ledarskap
Magisterexamen
Vårterminen 2008
Lindqvist, Agneta (2008). Det matematiska språket. Ett medel att nå ökad
begreppsförståelse. (The language of mathematics. An instrument to attain
increased understanding of concepts).
Skolutveckling och ledarskap, Magisterexamen, Lärarutbildningen, Malmö
högskola.
Syftet med studien var att undersöka pedagogers uppfattning och erfarenhet
av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse.
Studien ger en översikt över tidigare forskning om det matematiska språkets inverkan på begreppsförståelsen. Med hjälp av enkätundersökning och
intervjuer ville jag ta reda på hur pedagoger arbetar för att utveckla det matematiska språket och därmed stärka elevernas begreppsförståelse, men
också vilka möjligheter eller hinder som pedagoger möter i detta arbete.
Jag ville också ta reda på vilka grundläggande förutsättningar som är betydelsefulla för att möjliggöra ett arbetssätt där man medvetet arbetar med det
matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse, samt vilken
betydelse ett sådant arbetssätt har för elever i matematiksvårigheter.
Sammanfattningsvis visar resultaten av mina undersökningar på samstämmighet hos pedagogerna att om pedagogen i matematikundervisningen arbetar medvetet med det matematiska språket och eleven får arbeta språkligt
aktivt i samspel med pedagog/kamrater finns förutsättningar för att elevens
matematiska begreppsförståelse utvecklas. Faktorer av betydelse är att eleven får arbeta i en liten flexibel grupp i en ändamålsenlig lokal med god
tillgång till konkret och laborativt material där arbetssättet är verklighetsbaserat och under ledning av en kompetent pedagog/specialpedagog. Vidare
framkom att dessa förutsättningar har särskilt stor betydelse för elever i matematiksvårigheter.
Nyckelord: begreppsförståelse, matematiksvårigheter, matematiskt språk,
specialpedagogik, språk
Agneta Lindqvist
Handledare: Elsa Foisack
Examinator: Barbro Bruce
FÖRORD
Jag vill tacka alla pedagoger som på ett så engagerat och positivt sätt ställt
upp på intervjuer för att dela med sig av sin kunskap om och erfarenhet av
hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse.
Jag vill tacka min handledare Elsa Foisack för sakkunnig hjälp med magisteruppsatsen.
Jag vill tacka Ann-Charlotte Pettersson, medförfattare till den c-uppsats
som jag refererar till i min studie, för hjälp med det datortekniska i mitt
skrivande.
Jag vill också tacka min familj som tålmodigt stått vid min sida under arbetets gång. Anders, ditt stöd har varit oumbärligt! Karin, din uppmuntran har
haft stor betydelse för mig i mitt skrivande! Erik, du finns i tanken!
INNEHÅLL
1 INLEDNING........................................................................................... 7
1.1 Bakgrund .......................................................................................... 7
2 SYFTE .................................................................................................... 9
3 LITTERATURGENOMGÅNG............................................................. 11
3.1 Definitioner..................................................................................... 11
3.1.1 Definition av ordet begrepp ...................................................... 11
3.1.2 Definition av organisations-, grupp- och individnivå ................ 12
3.2 Styrdokumenten .............................................................................. 14
3.3 Matematiska begrepp ...................................................................... 14
3.4 Matematiskt språk........................................................................... 16
3.5 Att utveckla det matematiska språket .............................................. 18
3.6 Möjligheter i arbetet med att utveckla det matematiska språket ...... 19
3.7 Hinder i arbetet med att utveckla det matematiska språket .............. 20
3.8 Grundläggande förutsättningar för att utveckla
det matematiska språket .................................................................. 22
3.9 Det matematiska språkets betydelse för elever
i matematiksvårigheter .................................................................... 24
4 TEORI................................................................................................... 27
4.1 Den sociokulturella teorin ............................................................... 27
4.2 Vygotskij och den sociokulturella teorin ........................................ 28
4.2.1 Vygotskij ................................................................................... 28
4.2.2 Språk och tänkande................................................................... 28
4.2.3 Begreppsutveckling................................................................... 29
4.2.4 Den närmaste utvecklingszonen ................................................ 30
5 METOD ................................................................................................ 33
5.1 Allmänt om metod .......................................................................... 33
5.2 Metodval......................................................................................... 34
5.3 Pilotstudie ....................................................................................... 36
5.4 Undersökningsgrupp ....................................................................... 36
5.5 Genomförande ................................................................................ 37
5.6 Databearbetning .............................................................................. 38
5.7 Reliabilitet och validitet .................................................................. 38
5.8 Etik ................................................................................................. 39
6 RESULTAT .......................................................................................... 41
6.1 Att utveckla det matematiska språket .............................................. 41
6.1.1 Matematiskt språk..................................................................... 41
6.1.2 Begrepp/språkliga uttryck som är viktiga
respektive svåra att lära............................................................ 42
6.1.3 Att utveckla det matematiska språket ........................................ 43
6.2 Möjligheter i arbetet med att utveckla det matematiska språket ...... 44
6.3 Hinder i arbetet med att utveckla det matematiska språket .............. 46
6.4 Grundläggande förutsättningar för att utveckla
det matematiska språket .................................................................. 48
6.5 Det matematiska språkets betydelse för elever
i matematiksvårigheter.................................................................... 50
7 DISKUSSION ....................................................................................... 51
7.1 Matematiskt språk........................................................................... 51
7.2 Att utveckla det matematiska språket .............................................. 52
7.3 Grundläggande förutsättningar - möjligheter - hinder ..................... 54
7.4 Elever i matematiksvårigheter......................................................... 58
7.5 Mina reflektioner på vald teori ........................................................ 60
7.6 Mina reflektioner på datainsamlingen ............................................. 61
7.7 Sammanfattning .............................................................................. 62
7.8 Fortsatt forskning ............................................................................ 62
REFERENSER......................................................................................... 63
BILAGOR
Bilaga A Enkät ......................................................................................... 67
Bilaga B Missivbrev till enkät .................................................................. 69
Bilaga C Intervjufrågor - huvudfrågor ...................................................... 71
Bilaga D Missivbrev till intervjufrågor..................................................... 73
Bilaga E Definition av ordet begrepp ....................................................... 75
Definition av organisations-, grupp- och individnivå ................. 77
1 INLEDNING
Matematik är en av våra äldsta vetenskaper och har en mer än femtusenårig
historia. Dess verksamhet är i ständig utveckling och idag används matematiska begrepp, metoder och modeller i såväl vardags- och yrkesliv som i
samhälleliga och vetenskapliga sammanhang. Matematisk kunskap ska bidra till självförtroende, kompetens och reella möjligheter att påverka och
delta i vårt samhälle (Skolverket, 2003). Lpo 94 (1999) föreskriver att skolan skall sträva efter att varje elev ska lära sig att använda sina kunskaper i
matematik som redskap för att formulera, pröva antaganden och lösa problem, reflektera över erfarenheter och kritiskt granska, värdera påståenden
och förhållanden. Lpo 94 föreskriver även att skolan ansvarar för att varje
elev efter genomgången grundskola behärskar grundläggande matematiskt
tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet.
Matematik har nära samband med andra skolämnen. Eleverna hämtar
erfarenheter från omvärlden och omsätter sina matematiska kunskaper i ett
meningsfullt sammanhang. För att utöva matematik med gott resultat krävs
att eleverna får kunskaper om matematiska begrepp, uttrycksformer och
metoder. Det är viktigt att utveckla elevernas intresse för matematik och
möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer
(Skolverket, 2000). Det finns ett viktigt samband mellan de två kärnämnena svenska och matematik, där språket har stor betydelse för utvecklandet
av det matematiska tänkandet. Det är därför viktigt att uppmärksamma
språkutveckling som en del av undervisningen i matematik (Myndigheten
för skolutveckling, 2008). Har eleven ett väl fungerande språk har han/hon
goda förutsättningar för en effektiv inlärning, medan eleven med ett bristfälligt ordförråd ofta får svårigheter att tillägna sig den grundläggande begreppsbildningen. (Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004). Det är således betydelsefullt att varje pedagog tar sitt ansvar för elevernas språkliga
utveckling och uppmärksammar att matematikämnet har en språklig dimension (Myndigheten för skolutveckling, 2008).
I den här studien kommer jag att undersöka pedagogers kunskap om och
erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till
ökad begreppsförståelse. Jag kommer att relatera pedagogers kunskap och
erfarenhet till aktuell forskning, litteratur och teori.
1.1 Bakgrund
I januari 2007 var jag klar med utbildningen till specialpedagog vid Lärarhögskolan i Stockholm. I utbildningen läste vi litteratur om matematik och
det gjorde mig intresserad av hur man i mötet med elever i matematiksvårigheter på bästa sätt kan hjälpa dem att utveckla sin begreppsförståelse och
därmed ge dem bättre förutsättningar att lösa matematiska problem. Därför
var ämnesvalet enkelt när jag tillsammans med Ann-Charlotte Pettersson
7
skrev examensarbetet Begreppsförståelse, Förutsättningar för elever i matematiksvårigheter (2006). Syftet med arbetet var att undersöka och kartlägga pedagogers uppfattning och erfarenhet av vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse och därmed bättre förutsättningar att lösa matematiska problem. Med hjälp av enkätundersökning och
intervjuer ville vi ta reda på vilka grundläggande förutsättningar och arbetssätt/strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter. Vi ville också se vilka hinder som pedagoger möter i arbetet
med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter.
Undersökningen omfattade pedagoger som arbetar från förskoleklass till år
6 samt i specialundervisningen inom alla rektorsområden i min kommun.
Sammanfattningsvis pekade resultaten av vår undersökning på att om resurser prioriteras så att en elev i matematiksvårigheter får arbeta språkligt
aktivt med varierat arbetssätt i en liten grupp under ledning av en kompetent pedagog/specialpedagog, har han/hon goda förutsättningar att nå en
god begreppsförståelse.
Arbetet med examensarbetet har gjort mig än mer intresserad av det matematiska språkets betydelse för att förstå matematiken. I de tidigare åren
arbetar ofta pedagogerna med multisensoriskt arbetssätt, dvs. eleverna lär
genom flera sinnen, för att på detta sätt låta eleverna få förståelse för
många av de matematiska begrepp som vi omger oss med i vardagen. I de
senare åren är detta arbetssätt inte lika förekommande. I mitt arbete som
specialpedagog möter jag elever som inte har förståelsen för många självklara ord, både i kommunikationen med pedagogen, när pedagogen undervisar eller i ord som förekommer i läromedel.
I min magisteruppsats kommer jag utifrån examensarbetet att ”dyka
djupare” i sambandet mellan matematik och språk. I Lusten att lära - med
fokus på matematik (Skolverket, 2003) poängteras att sambandet mellan
god språkbehärskning och matematisk förståelse är väl belagt såväl i pedagogiskt arbete som i forskning. Min studie kommer att behandla pedagogers kunskap om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på
elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse.
Jag arbetar som specialpedagog med övergripande ansvar för år 4-9 i en
liten kommun. Jag väljer att göra studien i min kommun för att på så sätt ta
till vara den kompetens som finns inom kunskapsområdet, synliggöra den
och visa på utvecklingsmöjligheter. Jag vill att alla pedagoger får del av
denna kompetens för att på så sätt ge dem fördjupad didaktisk kunskap om
det matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse. Det är
även viktigt att ledningen får del av denna kunskap eftersom ledningen förfogar över styrmedel och visar på den pedagogiska inriktningen i arbetet.
8
2 SYFTE
Syftet med den här studien är att undersöka pedagogers kunskap om och
erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till
ökad begreppsförståelse.
För att uppnå detta syfte används följande frågeställningar i arbetet:
• Hur arbetar pedagoger för att utveckla det matematiska språket och
därmed stärka elevernas begreppsförståelse?
• Vilka möjligheter möter pedagoger i arbetet med att utveckla det matematiska språket och därmed elevernas begreppsförståelse?
• Vilka hinder möter pedagoger i arbetet med att utveckla det matematiska språket och därmed elevernas begreppsförståelse?
• Vilka grundläggande förutsättningar är betydelsefulla för att möjliggöra
ett arbetssätt där man medvetet arbetar med det matematiska språket
som medel att nå ökad begreppsförståelse?
• Vilken betydelse för elever i matematiksvårigheter har ett arbetssätt där
man medvetet arbetar med det matematiska språket som medel att nå
ökad begreppsförståelse?
9
10
3 LITTERATURGENOMGÅNG
I följande kapitel redogör jag för den litteratur jag valt att utgå från när jag
beskriver det kunskapsområde som min studie behandlar; hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse. Litteraturgenomgången innehåller aktuell forskningslitteratur, matematikdidaktisk litteratur, styrdokument, rapporter och litteratur om elever i behov
av särskilt stöd. Då min studie är en fördjupning av den c-uppsats jag tidigare beskrivit, har jag använt mig av litteratur som också fanns med där
men gått mer på djupet denna gång.
Inledningsvis redovisar jag en beskrivning av hur jag enligt litteraturen
valt att definiera ordet begrepp samt varför jag valt den definitionen. Jag
motiverar också mitt val av hur jag enligt litteraturen valt att definiera organisations-, grupp- och individnivå. Därefter följer en beskrivning av vad
styrdokumenten föreskriver om matematiskt språk och kommunikation.
Vidare följer aktuell forskning om matematiska begrepp och matematiskt
språk. Jag relaterar min problemformulering till de mest relevanta kunskapskällorna inom området och fokuserar på utvecklingen av det matematiska språket, grundläggande förutsättningar, möjligheter och hinder samt
det matematiska språkets betydelse för elever i matematiksvårigheter.
3.1 Definitioner
I studien använder jag orden begrepp, organisations-, grupp- och individnivå. Innebörden av dessa ord kan ibland variera hos olika författare. För att
läsaren ska bli säker på vad jag menar följer här min definition enligt vald
litteratur. Dessa definitioner kommer jag fortsättningsvis att använda i studien.
3.1.1 Definition av ordet begrepp
Den beskrivning av ordet begrepp som jag valt att använda i min definition
har jag hämtat från tre källor, Lpo94 (1999), Rystedt och Trygg (2005) och
Malmer (2002).
I boken Matematikverkstad betonar Rystedt och Trygg (2005) att ett av
de viktigaste målen för matematikundervisning är elevernas begreppsutveckling. Författarna beskriver ordet begrepp enligt följande:
Ordet begrepp kommer ursprungligen från det fornsvenska begripa som i sin tur kan härledas
från det lågtyska begripen med betydelsen gripa (med tanken). Med begrepp menas ofta en
sammanfattning av utmärkande egenskaper hos exempelvis en grupp objekt, en grupp händelser eller en grupp beteenden. Förståelse för begreppet area innefattar t.ex. insikter i:
• att det är ett mått på storleken av en begränsad yta
• att områden med olika form kan ha samma area
• att även om två områden har samma omkrets kan arean variera
• vad som skiljer area från andra egenskaper hos ett geometriskt objekt
• hur area kan bestämmas och vilka enheter som kan användas
(s. 55)
11
Mitt val av författarnas definition av ordet begrepp grundar sig på Vygotskijs tankar om begreppsutvecklingens avgörande betydelse för barnets
språkutveckling. Vygotskij (2005) menar att begrepp hjälper oss att hålla
ordning i det sociala och materiella kaos som finns omkring oss. Begrepp
avspeglar den underliggande teorin om hur tingen kan grupperas, hur de
hänger ihop, vilka förhållanden de har till varandra och vilka gemensamma
särdrag som finns. Att lära begrepp innebär att olika erfarenheter binds
samman och att principerna förstås. I kapitel 4 redogör jag mer detaljerat
för den sociokulturella teorin, där Vygotskij är ett framträdande namn.
Mitt val av de här författarnas definition av ordet begrepp motiverar jag
också genom att relatera till c-uppsatsen (a.a.), där jag använde samma definition. Definitionen gav då, enligt respondenterna, en bra förförståelse
innan enkät- och intervjuundersökningen. Även jag själv hade stor nytta av
definitionen i arbetet med studien. Därför finner jag samma definition användbar i den här studien.
De begrepp med olika språkliga uttryck som ingår i strävansmålen i Lpo
94 (1999) är bl.a. area, volym, längd, massa, tid, procent, bråk, vinklar,
överslagsräkning, skala, tabeller, diagram, sannolikhet och ekvationer.
I boken Bra matematik för alla delger Malmer (2002) en matematikordlista med viktiga begrepp när det gäller benämningar för färg, form, storlek
och utseende; jämförelseord som svarar på frågan hur och ord som ofta används i kombination med jämförelseorden; lägesord som svarar på frågan
var och tidsord som svarar på frågan när.
3.1.2 Definition av organisations-, grupp- och individnivå
I boken Att möta barns olikheter beskriver Ljungblad (2003) orden organisations-, grupp- och individnivå enligt följande. Definitionen återfinns i sin
helhet i (bilaga E).
Organisationsnivå
Organisationsnivå är den nivå där politiker och ledning ger förutsättningarna för skolans arbete och den nivå där pedagogen inte själv kan bestämma
över eller förändra på egen hand. Förutsättningar som påverkar elevens situation på organisationsnivå är t.ex. styrdokumenten.
Gruppnivå
På gruppnivå är pedagogerna på skolan själva med och påverkar och förändrar. I den pedagogiska och didaktiska verksamheten har pedagogerna
inflytande över relationerna människor emellan. Det kan vara mellan pedagog och elev och mellan olika elever. Eleven påverkas på gruppnivån av
t.ex. gruppens struktur.
Individnivå
På individnivå är det pedagogens ansvar att se varje enskild elevs behov
och förutsättningar. Eleven påverkas på individnivå av t.ex. tillgång till
hjälpmedel och konkret, laborativt material.
12
Mitt val av Ljungblads definition av orden organisations-, grupp- och individnivå motiverar jag utifrån Bronfenbrenners utvecklingsekologiska teori
(Larsson – Svärd, 1999), där samspelet mellan eleven och dess utvecklingsmiljöer betraktas i ett helhetsperspektiv. Utvecklingen sker genom en
inre process som påverkas av mognad och arv men också genom en yttre
process där man talar om fysisk och social miljö. Miljöerna i elevens omgivning hänger samman, förenas till en helhet och samspelar med de individer som är delaktiga. Bronfenbrenner talar om makro-, meso- och mikronivå.
Figur 3.1 Bronfenbrenners makro-, meso- och mikronivåer (Larsson – Svärd, 1999, s. 41).
Bronfenbrenners makro-, meso- och mikronivå har tydliga paralleller till
Ljungblads beskrivning av organisations-, grupp- och individnivå. På makronivå är det enligt Bronfenbrenner samhället som påverkar elevens omgivning och möjlighet till utveckling genom t.ex. politik och ekonomi.
Makronivå hänger ihop med organisationsnivå, vilket enligt Ljungblads
beskrivning är den nivå där politiker och ledning ger förutsättningarna för
skolans arbete. Bronfenbrenners mesonivå består av olika förbindelser mellan olika mikrosystem, dvs. samspelet mellan närmiljöer. Detta hänger ihop
med gruppnivå, vilket enligt Ljungblads beskrivning är den nivå där den
pedagogiska och didaktiska verksamheten med relationer människor emellan finns. Bronfenbrenners mikronivå utgörs av situationer där individen
samspelar med familj, vänner och skola. Detta har enligt Ljungblads beskrivning sin parallell till individnivå, där individens behov och förutsättningar finns.
Mitt val av Ljungblads definition motiverar jag också genom att relatera
till c-uppsatsen (a.a.), där jag använde den definition vilken återfinns i sin
helhet (bilaga E). Definitionen gav då, enligt respondenterna, en bra förförståelse innan intervjuundersökningen. Även jag själv hade stor nytta av
definitionen i arbetet med studien. Därför finner jag samma definition användbar i den här studien.
13
3.2 Styrdokumenten
Genom läroplaner och kursplaner ger våra politiker riktlinjer för hur de
önskar sig inriktningen av och innehållet i skolans undervisning. I Lpo94
(1999) finns direktiv för hur undervisningen ska utformas.
Undervisningen skall anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den skall med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling …
(Lpo 94, 1999, s. 6)
I strävansmålen anges att skolan ska sträva efter att varje elev
•
•
utvecklar ett rikt och nyanserat språk …
lär sig att lyssna, diskutera, argumentera och använda sina kunskaper som redskap för
att
- formulera och pröva antaganden och lösa problem,
- reflektera över erfarenheter och
- kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden …
(Lpo 94, s. 11-12)
Uppnåendemålen visar att skolan ansvarar för att varje elev efter genomgången grundskola
•
behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet, …
(Lpo 94, s.12)
Kursplanen i matematik (Skolverket, 2000) poängterar betydelsen av att
använda det matematiska språket för att utveckla förståelse och därigenom
elevens kunskaper. I kursplanen står:
… Utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik och möjligheter att
kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. … Utbildningen i matematik
skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta
situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika
problem (Skolverket, 2000, s. 26).
Det står tydligt i styrdokumenten att eleverna ska få kommunicera med matematiskt språk och uttrycksformer för att få en djupare förståelse för de
olika begrepp som finns. Denna kommunikation ska vara meningsfull och
verklighetsanpassad så att eleverna även ska kunna resonera och dra slutsatser. Med stöd av de citat jag valt från styrdokumenten motiverar jag hur
både läroplan och kursplan explicit påvisar det matematiska språkets betydelse för elevernas begreppsförståelse samt att det är viktigt att eleverna lär
sig kommunicera både i och om matematik.
3.3 Matematiska begrepp
Löwing (2008) beskriver hur skolans matematikundervisning har som mål
att eleverna ska lära sig förstå och använda ett antal matematiska begrepp
och modeller, vilka krävs för att de ska kunna begripa och bearbeta matematiska problem av olika slag. Först sker detta utifrån enkla och konkret
14
formulerade vardagsproblem för att successivt övergå i abstrakt formulerade matematiska problem. För att eleverna ska kunna lösa matematiska problem, var och en på sin kunskapsnivå, krävs att de begrepp som eleverna
möter i skolan inte är konstanta, utan att de förfinas och görs mer generella
och abstrakta under tiden som eleverna utvecklar sitt kunnande.
Figur 3.2. Vad som krävs för att lösa matematiska problem (Löwing, 2008, s.30).
Löwing visar vad som krävs för att lösa matematiska problem genom att
beskriva hur begrepp bildas på olika nivåer (figur 3.2). På begreppsnivå 1
kan eleven lösa problem på grundläggande kunskapsnivå, t.ex. bestämma
omkretsen på en kvadrat med sidan 3 cm genom upprepad addition. På begreppsnivå 2 krävs ny kunskap för att t.ex. räkna ut rektangelns area genom
vanlig traditionell algoritm. På begreppsnivå 3 krävs ytterligare ny kunskap för att t.ex. bestämma arean av en rektangel med sidorna 2 ⅓ cm och
3 ⅝ cm. För att en elev som befinner sig på begreppsnivå 1 ska kunna gå
vidare till begreppsnivå 2, krävs förutom förståelse på begreppsnivå 1 också ett antal byggstenar, dvs. erfarenheter och förkunskaper i form av termer
och delbegrepp (ringar mellan begreppsnivåerna). För att kunna gå vidare
till begreppsnivå 3 krävs ytterligare byggstenar. En finess är att man kan
lösa problem av en viss typ på olika nivåer och med olika djup. Det är i sin
tur beroende av vilka begrepp som behövs för att lösa problemet och vilken
grad av förståelse eleven har för begreppen. Denna process fortgår och förfinas under hela skoltiden. Med denna förklaringsmodell som grund menar
Löwing att det är av största vikt att den pedagog som grundlägger ett begrepp är medveten om hur detta begrepp kommer att utvecklas av andra
pedagoger under elevens skoltid, men även att mottagande pedagog känner
till vilka begrepp eleverna mött tidigare och hur eleverna uppfattat dessa
begrepp. Alla pedagoger bör ha en gemensam syn på skolmatematikens
innehåll, didaktik och språk med vars hjälp dessa begrepp kommuniceras.
Begreppen utgör stommen i vårt tänkande, framhåller Häggblom (2000)
och menar att det behövs erfarenheter som har något gemensamt för att ett
begrepp ska bildas. Begreppsförståelse inrymmer att en elev känner igen
15
begreppet i de olika representationsformerna, kan hantera begreppet inom
en enskild representationsform samt kan växla från en form till en annan.
Sterner och Lundberg (2004) betonar språkets roll för begreppsbildningen
och vikten av att tala, läsa och skriva i samband med matematik.
3.4 Matematiskt språk
Det finns ett viktigt samband mellan de två kärnämnena svenska och matematik, där språket har stor betydelse för utvecklande av det logiska tänkandet och därmed för hela personligheten (Malmer, 2002). Förmågan att
förstå matematik hänger nära samman med språklig förståelse. Särskilt ordförståelse har ett tydligt samband med elevernas matematikförståelse
(Skolutvecklingsenheten, 2003).
Matematiskt språk skiljer sig emellertid från vardagligt språk. Matematiskt språk kan betraktas som ett eget språk som till skillnad från det vardagliga språket är mycket ordknappt, exakt och specifikt till sin natur. Det
saknar redundans, dvs. det finns inget överskott på information i t.ex. lärobokens texter, utan informationen nämns bara vid ett tillfälle. En del ord i
svenska språket har både en vardaglig och matematisk betydelse. Då ett ord
finns representerat i båda språken kan eleven stöta på svårigheter att tolka
den matematiska innebörden. Ordet kan t.o.m. ha en helt ny innebörd i det
matematiska språket. När eleven stöter på ordet i den matematiska betydelsen finns risk att han/hon istället tolkar ordet i dess vardagliga betydelse.
Begrepp som volym, rymmer, och udda är exempel på sådana ord (Myndigheten för skolutveckling, 2008).
Löwing (2004) ser språk och kommunikation som viktiga element i matematiken. En förutsättning för att kunna abstrahera och bygga upp en mer
komplex matematik är att eleven behärskar de speciella begrepp och ord
som ger betydelse och precision till matematiken. Det är viktigt att de kan
använda det matematiska språket i praktiska situationer. Det betyder att de
måste kunna gå fram och tillbaka mellan olika språkliga miljöer. Det är
viktigt att elever och pedagog har ett gemensamt språk och är överens om
innebörden i de matematiska termer och begrepp som används i undervisningen. En av pedagogens stora utmaningar är att ”med hjälp av konkretiseringar och metaforer bygga en bro mellan elevens vardag och detta komplexa innehåll” (s. 117). Ganska mycket i matematiken kan beskrivas med
hjälp av ett vardagsspråk. När språket tappar sin precision, t.ex. när en rektangel kallas fyrkant, eller när matematiska termer associeras till vardagsspråket, t.ex. ordet volym blir högtalarens ljud, uppstår problem. Det blir
förvirrande för eleverna om de inte kan hålla isär begreppen och kan koppla orden till det matematiska språket. För att matematikundervisningen ska
fungera fordras att pedagog och elever använder ett korrekt språk. Ska eleven kunna kommunicera begrepp krävs ett språk med vars hjälp begreppen
kan lyftas fram och synliggöras. Då måste också pedagogen och eleverna
16
vara överens om de ord som används. Det är betydelsefullt att pedagogen
använder ett korrekt och för eleven förståeligt språk. När nya ord introduceras i skolan är det viktigt att eleverna lär sig deras fulla betydelse.
Löwing talar om register, dvs. en samling begrepp och ord som används
inom ett speciellt språkligt område. Inom geometrin kan t.ex. orden rektangel, triangel och cylinder ingå. Om eleven ska kunna behärska och utveckla ett nytt område eller ämne och kunna föra ett matematiskt resonemang, måste eleven lära sig det ämnets speciella register. Utifrån det språk
som pedagogen använder, bygger eleven på sikt upp ett eget språkbruk i
anslutning till innehållet i undervisningen. Pedagogen måste således behärska ett språk som fungerar för att förklara eller för att lösa problem på
ett formellt sätt men också fungerar för att konkretisera och verklighetsanpassa det som ska förklaras för eleverna. Det hjälper följaktligen inte att
pedagogen uttrycker sig matematiskt korrekt om han/hon använder ett
språk som inte når fram till eleverna. Därför är det oerhört viktigt att pedagogen gör språket synligt och tolkbart för eleverna. Denna språkliga process bör utgöra en röd tråd genom skoltiden (Löwing, 2004; 2006).
Det är viktigt att alla elever får hjälp med att erövra det matematiska
språket och så småningom lär sig att ord kan ha både en vardaglig och en
matematisk betydelse. Därför är det viktigt att arbeta med den matematiska
betydelsen av ett ord vid sidan om den vardagliga, så att orden införlivas i
det aktiva ordförrådet. (Myndigheten för skolutveckling, 2008). Kan eleven
använda flera olika sätt att beskriva samma begrepp har eleven en rikare
begreppsbild och därmed en mer funktionell begreppskunskap (Rystedt &
Trygg, 2005). Eleverna känner i många fall till och upptäcker mer än de har
förmåga att verbalt formulera. Det visar på vikten av att det är nödvändigt
att mycket medvetet arbeta för att utöka elevernas ordförråd (Malmer,
2002).
Genom att undvika ett matematiskt språk och i stället använda ett vardagsspråk hindras eleverna från att utveckla sitt kunnande. I stället för att
undvika det matematiska språket handlar det om att ge eleven tillfällen att
successivt utveckla detta språk och därmed göra det möjligt att kommunicera och hantera även lite mer formell matematik. Detta är en förutsättning
för att han/hon ska få ett funktionellt språk att använda vid problemlösning
under grundskolans senare del (Löwing, 2006; Myndigheten för skolutveckling, 2008).
Löwing (2004) undersökte i sin doktorsavhandling hur pedagoger kommunicerar med sina elever för att stödja deras lärande med fokus på det matematiska språket. Ett problem som hon uppmärksammade var att även om
elever och pedagog kommunicerade med varandra så var kommunikationen
bristfällig. Avsaknaden av ett gemensamt matematiskt språk att bygga kontakten på gjorde att elever och pedagog ofta talade förbi varandra. Pedagogerna hade inte heller någon grundläggande kunskap om elevernas förkun17
skaper och använde ett bristfälligt matematiskt språk i stället för att ge eleverna ett korrekt matematiskt språk att bygga vidare på. Detta kallar Löwing och Kilborn (2002) för lotsning, vilket innebär att pedagogen av olika
anledningar lotsar eleverna förbi olika svårigheter i stället för att lotsa dem
igenom svårigheterna.
När man talar om språket som styrinstrument är det betydelsefullt att
observera språkets roll som ett filter för inlärning. Med hjälp av talat eller
skrivet språk meddelas den information och de anvisningar eleverna får,
vilken de också måste tolka. Eleverna måste kunna uppfatta ett instruerande
språk, men också själva behärska ett relevant språk för att kunna resonera
med sig själva och för att kunna kommunicera med sin omgivning. Eftersom språket har avgörande betydelse för inlärningen, blir en av pedagogens
viktiga uppgifter att själv använda och bygga upp ett effektivt matematiskt
språk hos eleverna (Löwing, 2006). Detta tar jag fasta på i min studie där
syftet är att undersöka hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse. Hur pedagoger arbetar för att bygga upp
och utveckla det matematiska språket är en av huvudpunkterna i studien.
3.5 Att utveckla det matematiska språket
Matematik har en språklig dimension som man som pedagog måste vara
uppmärksam på. Det krävs en språklig lyhördhet för att vid rätt tillfälle introducera nya ord, begrepp och uttryck. Det gäller att skapa språkutvecklande miljöer där eleverna får använda och utveckla det matematiska språket. Genom att bygga ett klassrumsarbete med diskussioner, laborationer
och smågruppsarbete främjas utvecklingen av det matematiska språket
(Myndigheten för skolutveckling, 2008). Det sker en utveckling av det matematiska språket om eleverna i samtal får förklara hur de tänkt och hur de
löst uppgifter (Skolverket, 2003). Dialogen med pedagogerna och kamraterna är en resurs för utvecklingen av matematiska begrepp, problemlösning och annan matematisk förståelse. Genom samspel och kommunikation
med kamraterna och pedagogen, då eleverna diskuterar olika förslag på
lösningar och val av strategier, kan deras förståelse utvecklas när de möter
andras sätt att tänka. Därigenom kan de utveckla sitt eget tänkande, sin
egen förståelse (Ahlberg, 2001; Gran, 1998; Sterner & Lundberg, 2004). I
det flerstämmiga, dialogiska klassrummet har språket en central betydelse
för inlärningsprocessen. Det finns en nära koppling mellan språk och tanke
och språket är en skapande kraft i relationer till andra människor. Då dialogen, flerstämmigheten dominerar i klassrummet, får eleverna själva möjlighet att vara meningsskapande individer i samspel med varandra och
pedagogen (Dysthe, 1996).
Språk och konkretisering hör nära samman. Eleven ska få känna på,
handskas med och pröva konkret material för att därigenom iaktta skillnader och likheter, dvs. generalisera och diskriminera (NCM, 2005). Med
18
hjälp av språket tillägnar sig eleven matematisk information som han/hon
sedan bearbetar, kommunicerar med och konstruerar som ny matematisk
kunskap. Hur eleven tolkar den nya informationen beror på tidigare erfarenheter och förkunskaper. Därför är det viktigt att pedagogen konkretiserar undervisningen genom ett laborativt arbetssätt där det nya kunskapsfältet kan belysas. Det kan även ske genom att pedagogen anknyter till gemensamma erfarenheter som belyser det som ska läras. Det laborativa materialets funktion är att lyfta fram det matematiska tänkandet och stödja
språkliga förklaringar. Det viktiga i arbetet med det laborativa materialet är
att det formella språket och tänkandet knyts ihop med det informella språket och tänkandet. Då blir det laborativa arbetet ett stöd för eleven att utveckla sin förståelse (Häggblom, 2000; Löwing & Kilborn, 2002; Sterner
& Lundberg, 2004). När eleven sätter ord på tankar och idéer, lyfts de upp
och blir synliga för reflektion och eftertanke. På så sätt kan en djupare förståelse nås. Genom att kommunicera med sitt eget talade språk, använda
sina egna uttrycksformer, rita bilder eller arbeta laborativt, kan eleven nå
erfarenheter som sedan kan utvecklas till formella kunskaper och förståelse
(Sterner & Lundberg, 2004). Genom att skapa en språkutvecklande miljö
runt eleven på de sätt som jag har beskrivit får eleven goda möjligheter att
utveckla det matematiska språket.
3.6 Möjligheter i arbetet med att utveckla det matematiska språket
Matematik handlar om fantasi och kreativitet, att ställa hypoteser och pröva
dem för att se om de håller. Där finns utrymme för intressanta diskussioner
där det matematiska språket utvecklas (NCM, 2000). För att inte eleverna
ska uppfatta matematiken som ett främmande språk som de inte känner någon gemenskap med är det betydelsefullt att pedagogen tar vara på elevens
spontana berättande, då det ger kunskap om hans/hennes språkliga uttrycksförmåga och egen verklighet. Då eleven får syssla med och bearbeta
ett matematiskt innehåll får pedagogen värdefull information om elevens
språkliga utgångsläge. De uttrycksformer som eleven använder är ett betydelsefullt steg i den matematiska utvecklingen (Malmer, 2002).
I det flerstämmiga, dialogiska klassrummet har språket en central betydelse för inlärningsprocessen. Det finns en nära koppling mellan språk och
tanke och språket är en skapande kraft i relationer till andra människor. Om
pedagogen har höga förväntningar på vad eleverna säger och skriver i
klassrummet, uppmuntras eleverna att tänka själva och kontinuerligt integrera ny information med tidigare kunskaper och erfarenheter. Detta kräver
att pedagogen ger stöd till eleverna utifrån individuella förutsättningar, för
att därigenom säkerställa att eleverna har möjlighet att nå förväntningarna
(Dysthe, 1996). Åskådlighet och reflekterande samtal är nödvändiga på alla
nivåer i undervisningen (Sterner & Lundberg, 2004). När elever arbetar
med laborativ matematik kan det uppstå spontana diskussioner när de upp19
täcker att de behöver ha tillgång till ett större ordförråd. Eleverna kan arbeta i en matematikverkstad, dvs. en rymlig lokal som är välfylld med matematikmaterial. Den ska vara till hjälp för att locka fram nyfikenhet, fantasi
och kreativitet samt bidra till positiva upplevelser och erfarenheter av matematik. Den ska vara till för alla, både elever som behöver extra utmaningar och elever i matematiksvårigheter (Rystedt & Trygg, 2005).
Det är betydelsefullt att utgå från elevens verklighetsbild, bygga på
hans/hennes nyfikenhet och arbeta med problem som eleven själv ställer
(NCM, 2005). För många elever är texten i matematikuppgifterna svår att
läsa och därmed svår att förstå. Eleverna förstår inte innebörden i texten,
vissa ord och uttryck vållar bekymmer och förståelse för många matematiska begrepp saknas (Rystedt & Trygg, 2005). Om eleverna får undervisning i och om lässtrategier inom matematikundervisningen kan det hjälpa
eleverna att förbättra och fördjupa sin läsförståelse (Myndigheten för
skolutveckling, 2008). En av de viktigaste uppgifterna för pedagoger som
undervisar i matematik är just att hjälpa eleverna att utveckla sin läsförmåga (Lundberg & Sterner, 2006). Genom att uppmärksamma och arbeta med
det matematiska språket i undervisningen kan elevernas lärande gynnas
(Rystedt & Trygg, 2005).
3.7 Hinder i arbetet med att utveckla det matematiska språket
Att språket har stor betydelse för begreppsbildning påvisar all aktuell
forskning. Språklig kompetens utgör en god grund för all inlärning. En elev
med ett bristfälligt ordförråd eller en svag språklig medvetenhet får ofta
stora svårigheter med den grundläggande begreppsbildningen. Han/hon
saknar de viktiga verktyg som behövs, dvs. språket. Det är i många fall
brister i språket som gör att eleven inte kan uppfatta innehållet i textuppgifterna, även om han/hon behärskar de matematiska operationerna (Malmer,
2002; Magne, 1998; Sterner & Lundberg, 2004; Rystedt & Trygg, 2005).
Kombinationen av dålig språkförståelse, litet ordförråd och syntaktiska begränsningar är den verkliga riskfaktorn vid läsförståelse. Det som gör denna riskfaktor så förrädisk är att den är svåra att upptäcka (Nauclér & Magnusson, 2003). När en elev inte förstår texten i matematikuppgifterna medför det att det blir svårt att lösa uppgifterna. Det kan få allvarligare konsekvenser än så, då det påverkar elevens självkänsla, vilket i sin tur inverkar
på elevens förmåga att klara matematik över huvud taget. Någonstans i år
4-6 tycks det finnas en gräns där skillnaderna ökar mellan de elever som
förstår texterna och tycker matematik är spännande och utmanande och de
elever som inte förstår. En orsak till att eleverna har svårt att förstå är att
språket som de möter i skolan, i läroböcker och i uppgifter, ställer större
krav än tidigare då det blir mer avancerat vid de skolåren (Myndigheten för
Skolutveckling, 2008).
Många elever har inte förmågan att i ord beskriva eller motivera vad och
20
hur de gjort för att lösa ett matematiskt problem. Det blir uppenbart vilken
stor klyfta som råder mellan tanke och språk, mellan det konkreta hanterandet och den abstrakta formuleringen. Elever som upplever svårigheter
med matematiken har i många fall svag abstraktionsförmåga och oklara
föreställningar och deras ordförråd är ofta begränsat. Elever med svag matematisk förmåga har svårt att hantera information. Många saknar vanliga
ord för att uttrycka jämförelser (Malmer, 2002). Det kan också vara så att
en elev har ord i sitt passiva ordförråd men inte i det aktiva ordförrådet. Då
förstår eleven ord som används men använder dem inte spontant själv
(Malmer, 2000). Matematiska muntliga förklaringar och instruktioner, samt
kontrasten mellan de precisa matematiska orden och deras innebörd och
allmänna vardagliga ord kan då bli ett problem för eleven. Detta visar vikten av att pedagogen instruerar eleven på ett konkret sätt (Sterner & Lundberg, 2004). Ett hinder vid begreppsbildning kan också vara att eleven har
brister i fråga om generalisering och diskriminering (NCM, 2005). Ett annat hinder i arbetet med att utveckla det matematiska språket är att elever
och pedagog inte har ett gemensamt språk och att de inte är överrens om
innebörden i de matematiska ord och begrepp som ger betydelse och precision i matematiken. Det medför att eleverna får svårigheter att bygga upp
mer komplex matematik (Löwing, 2004). Ytterligare hinder kan uppstå om
språket användas för att lotsa eleven förbi de problem som ska behandlas,
vilket förhindrar en meningsfull inlärning (Löwing & Kilborn, 2002). Ett
hinder i arbetet med att utveckla det matematiska språket kan vara att eleven i dialog med pedagogen eller kamraterna inte får förklara hur han/hon
tänkt och löst uppgifter (Skolverket, 2003). Ytterligare hinder kan vara att
undervisningen bedrivs med mycket enskilt arbete och utan möjlighet till
samtal (Dysthe, 1996). Vid detta samtalsfattiga arbetssätt tar man inte i tillräckligt hög grad hänsyn till elevernas mycket olika behov, pedagogiskt,
kunskapsmässigt och socialt (Skolverket, 2003). Läroboken kan distansera
en elev från den praktiska användningen av matematik och underbygger
inte alltid elevens förståelse av matematiska begrepp (NCM, 2000). Många
pedagoger gör sig beroende av läroboken och räds för att inte hinna med
kursen i stället för att satsa på språkets betydelse för att nå fram till fasta
matematiska begrepp och förmåga att utveckla tankeprocesser. Läroboken
blir en måttstock för både elever och pedagogen för vad eleverna kan och
hur de utvecklas (Malmer, 2002).
Det sociala samspelet mellan eleverna har stor betydelse för möjligheten
att utveckla det matematiska språket. Om klimatet i gruppen visar negativa
värderingar så att eleverna inte vågar formulera sina tankar och inlägg, sker
ingen språklig utveckling och konsekvensen bli i stället stress, osäkerhet
och ångest (Malmer, 2002; Ljungblad, 2003). Extra utsatta är ofta elever i
svårigheter. Det kan också hända mycket eleverna emellan på rasterna som
kan påverka en del elevers möjlighet att fokusera tankarna på lektionen
21
(Ljungblad, 2003). Det är viktigt att pedagogen visar att det eleverna säger
är intressant och värt att kommentera, annars minskar elevernas självrespekt (Dysthe, 1996).
Det finns många olika förhållanden som kan orsaka att eleven får svårigheter med att utveckla det matematiska språket och därmed begreppsförståelsen. Individuella förutsättningar som kan försvåra inlärningen av matematik är brister i perceptionen, hur individen tolkar det han hör och ser
liksom den språkliga förmågan (Skolutvecklingsenheten, 2003). Språkliga
svårigheter hos barn i skolåldern påverkar språkförståelse och funktionell
språkanvändning på både muntligt och skriftligt plan. Ofta är svårigheterna
svåra att upptäcka. Det är vanligt att elever med språkliga svårigheter tenderar att undvika situationer där det ställs krav på språklig och kommunikativ förmåga. Följden blir då att eleverna inte får den språkliga och kommunikativa träning de så väl behöver. Skolans uppgift blir att på olika sätt
stödja och underlätta för eleverna, t.ex. i naturliga samspelssituationer utgå
från elevens egen drivkraft att vilja utveckla nya kunskaper och färdigheter
(Bruce, 2006).
Bruce (2007) undersökte i sin doktorsavhandling hur och när språk- och
kommunikationsproblem hos barn kan identifieras. Undersökningen omfattade även hur man kan stödja och stimulera barn med språkstörning inom
ramen för dels naturliga och dela professionella samtalskontexter. Slutsatsen som Bruce fann är att det vid både identifiering och intervention är viktigt att lägga fokus på den funktionella språkförmågan inom ramen för både
naturliga och professionella samtal. På detta sätt är samtalet - att lyssna,
förstå och uttrycka sig - både problemet och behandlingsformen.
Ytterligare förhållanden som kan orsaka att eleven får svårigheter att
utveckla det matematiska språket och därmed begreppsförståelsen är dyskalkyli, specifika matematiksvårigheter. Har eleven en svag kognitiv utveckling får han/hon ofta stora svårigheter i matematik, då det är ett ämne
som både kräver omfattande abstraktionsförmåga och koncentrationsförmåga. Neuropsykiatriska problem är ett annat hinder som visar sig genom
att eleven får svårigheter med koncentration, uppmärksamhet och/eller hyperaktivitet (Malmer, 2002). Ännu en förklaring kan vara av sociologisk
karaktär som t.ex. brister i elevens hemmiljö (Ahlberg, 2001).
3.8 Grundläggande förutsättningar för att utveckla det matematiska
språket
I skolans matematikundervisning är det pedagogen som svarar för att undervisningens innehåll och syfte når fram till eleverna och att det sker en
inlärning. Förutom goda ämnesteoretiska, pedagogiska och didaktiska kunskaper i och om matematik, fordras att pedagogen är väl bekant med läroplaners och kursplaners mål (kapitel 3.2) där kommunikation och reflekte-
22
rande samspel är viktiga delar (Löwing, 2004; 2006; Sterner & Lundberg,
2004).
För att kunna kommunicera begrepp krävs ett språk som hjälper till att
lyfta fram och synliggöra begreppen. Kommunikationen mellan pedagog
och elev, enskilt eller i grupp, är den viktigaste. Den vanligaste kommunikationen ur elevernas synvinkel är dock den mellan elev och lärobok. Denna enkelriktade kommunikation kräver en viss läsfärdighet av eleverna och
att de har tillräckligt goda förkunskaper för att lösa uppgifterna. Pedagogens språk i kombination med språket i läroboken är mönsterbildande för
elevens språkbruk. Om pedagogen har ett otydligt språkbruk eller inte själv
behärskar ett matematikdidaktiskt språk, kan det leda till att eleverna får
problem med begreppsbildning och med att uttrycka sig inom detta språkområde. Kommunikation kan också ske mellan två eller flera elever. En
sådan kommunikation förutsätter att alla elever har ett språk som gör att de
kan delta och ha ett utbyte av kommunikationen. Sist men inte minst sker
hela tiden en inre kommunikation, när eleven bearbetar information. Det är
pedagogen som genom sitt sätt att använda det matematiska språket formar
den språkliga miljön i klassrummet. Pedagogen är elevernas språkliga förebild, men också den som hjälper eleverna att tillägna sig och hantera det
matematiska språket genom ett aktivt deltagande från elevernas sida och
genom att de tillåts använda språket vid olika typer av kommunikation i
klassrummet (Löwing, 2004; 2008). Dysthe (1996) betonar att språket är en
skapande kraft i relationer till andra människor och att om dialogen, flerstämmigheten får dominera i klassrummet, får eleverna möjlighet att samspela med varandra och pedagogen. Enligt Skolutvecklingsenheten (2003)
visar forskning att när man samtalar kring matematiska begrepp i klassrummet ökar elevernas förståelse. När eleverna får arbeta med problemlösning i grupp konfronteras de även med klasskamraternas sätt att tänka och
diskutera vilket kan ge dem kunskap om nya strategier. För att möjliggöra
ett varierat arbetssätt med alternativa metoder, t.ex. problemlösning i grupp
eller laborativt arbete krävs enligt pedagogerna i Skolverkets (2003) undersökning att elevgrupperna inte är stora, då det anses alltför betungande och
svårt att hantera stora grupper.
När eleverna får arbeta laborativt kan deras matematiska språk utvecklas. Rystedt & Trygg (2005) menar att en grundförutsättning är att det finns
god tillgång på laborativt material, dvs. vardagliga föremål och pedagogiska material. Det laborativa materialet ska fungera som stöd vid inlärning av
matematiska begrepp. Detta material kan användas i olika lokaler i klassundervisning, enskilt eller i grupp. Inte sällan måste dock matematiklektioner genomföras i lokaler avsedda för andra ämnen eller annan verksamhet.
Därför är ytterligare en grundförutsättning att det finns ändamålsenliga lokaler, vilket en matematikverkstad är ett bra exempel på. Genom att samla
allt material i en rymlig lokal där eleverna får arbeta laborativt i par eller i
23
grupp kan eleverna utveckla sitt matematiska språk. Häggblom (2000) betonar att genom att konkretisera undervisningen, dvs. verklighetsanknyta
med hjälp av bilder eller minneshändelser, kan elevernas matematiska
språk utvecklas. Det konkreta materialet fungerar som ett hjälpmedel som
stimulerar till reflektioner och diskussioner. Det ställer stora krav på pedagogens ämnesdidaktiska kunskaper att kunna vardagsanknyta undervisningen. Det handlar om att kunna se matematiken i elevens tankar och att
ge eleven ett redskap, ett matematiskt språk, för att kunna uttrycka sina
tankar och hjälpa dem att utveckla sin matematiska kunskap.
Muntligt och skriftligt språk har stor betydelse för bildandet av nya tankestrukturer. Betydelsefullt är att möta eleven där han/hon befinner sig i
utvecklingen. Undervisningen måste utformas utifrån pedagogens kartläggning av elevens totala situation så att pedagogen ser eleven i ett helhetsperspektiv. Detta gäller både prestation dvs. färdighet och förutsättningar dvs.
förmåga (Malmer, 2000; 2002).
Det sociala samspelet mellan eleverna fungerar inte alltid tillfredsställande. Några elever vill dominera, andra håller sig i bakgrunden. Om processen i gruppen ska fungera på ett tillfredställande sätt beror på hur arbetsklimatet är (Malmer, 2002). Det är viktigt att bevaka relationerna mellan eleverna och att pedagogen kontinuerligt utvärderar den grupprocess
som pågår mellan eleverna och känner in stämningen i gruppen. Eleverna
bör få träning i att samarbeta med olika kamrater och inte bara sin bästa
kompis (Ljungblad, 2003). För att eleverna ska våga ta risken att göra fel är
det mycket viktigt att det är ett öppet och tillitsfullt klimat i matematikundervisningen (Ljungblad, 2003; Sterner & Lundberg, 2004). Undervisningen måste vara individanpassad och möta eleverna på den nivå där de befinner sig (Malmer 2002).
Lusten att lära matematik och tilliten till den egna förmågan har nära
samband. I undervisning som utmanar, där det finns en glädje i att upptäcka
och där det finns utrymme för känslor och tankar stimuleras lusten att lära
(Skolverket, 2004). Motivation är grundläggande för lärandet, kanske minst
lika viktig som inlärningskapacitet och begåvning. Kreativitet och variation
är andra nyckelord i arbetet med att öka intresset för och att lära sig matematik (Magne, 1998).
3.9 Det matematiska språkets betydelse för elever i matematiksvårigheter
Ett väl utvecklat språk är en nödvändig förutsättning för matematiskt lärande. Med hjälp av språket utvecklas matematiska begrepp, eleven blir medveten om sitt kunnande och om hur man lär. Därför behöver eleverna få tid
att förklara hur de tänkt och hur de löst uppgifter. De behöver delta i samtal
kring matematik som ett led i att utveckla sitt matematiska språk, tänkande
och förståelse (Skolverket, 2003). Termer, begrepp och innebörd är ömse24
sidigt beroende av varandra. Kan eleven inte vissa matematiska begrepp
eller språkliga uttryck har han/hon svårigheter att förstå texten i läroboken.
Det är också svårt för eleven att förstå pedagogens förklaringar eller att
själv ställa frågor till pedagogen om han/hon saknar ord som förkunskaper
för att beskriva ett matematiskt problem. Eleven måste således behärska
både ett relevant språk för att kunna resonera med sig själv och kunna
kommunicera med sin omgivning (Löwing, 2006).
Ett medvetet språkbruk från pedagogens sida är till hjälp för elever i matematiksvårigheter (Johnsen HØines, 2002). Språket finns i interaktionen
mellan eleven och de situationer som finns i elevens omvärld. Det muntliga
språket i en social interaktion gör att eleven kan utveckla färdigheter och
föra ett matematiskt resonemang; att reflektera, beskriva, förklara och argumentera för sina lösningar (Häggblom, 2000). Detta är viktigt för alla
elever, inte minst för elever i matematiksvårigheter.
Sjöberg (2006) undersökte i sin doktorsavhandling om det stora antal
elever i matematiksvårigheter som har problem i matematik och misslyckas
med att uppnå en godkänd nivå i ämnet kunde hänga ihop med att de har
dyskalkyli. Detta är, enligt Sjöberg, en orsak som viss forskning påvisar
för ca. 6 % av grundskolans elever. Han drar slutsatsen att forskningen inte
kunnat bestämma dyskalkylibegreppet entydigt. I en longitudinell studie
fann han flera orsaker till att elever kommer i matematiksvårigheter. Det
jag väljer att lyfta fram från avhandlingens resultat är kommunikationsmönstren i klassrummet. Undersökningen visar att det finns ett tydligt
kommunikationsproblem, då många elever hellre väljer att vända sig till en
kompis när de behöver hjälp än att fråga pedagogen. Förklaringen kan enligt Sjöberg (2006) vara att eleverna inte förstår pedagogen och att pedagogen är omständlig och krånglar till begreppen. Sjöbergs observationer visar
att eleven som frågar i många fall redan befinner sig i närmaste utvecklingszonen och egentligen bara behöver få kommunikativa stöttor, dvs.
kommunikativ hjälp med att komma vidare i lösningen av problemet.
Sjöberg menar att det är en svår balansgång att veta när en elev i svårighet
behöver en kommunikativ stötta och när han/hon behöver mer hjälp. Det är
också svårt att avgöra om samtalen och lyssnandet mellan elever i svårigheter ger dessa elever möjlighet att låna förståelse från varandra. Sjöbergs
observationer kan relateras till Löwing och Kilborn (2002) som framhåller
faran av att pedagogen av olika anledningar lotsar eleverna förbi olika svårigheter i stället för att lotsa dem igenom svårigheterna. Vikten av att pedagogen ger eleven ett korrekt matematiskt språk att bygga vidare på är enligt
Löwing (2004) betydelsefull.
Det är vanligt att elever i matematiksvårigheter närmar sig läroboksuppgifter på ett mekaniskt sätt där han/hon bortser från innehållet i texten och
inte kopplar det till egna erfarenheter och kunskaper. Det leder till att eleven får svårt att välja lämpligt räknesätt (Sterner & Lundberg, 2004). För
25
eleven utgör en bristande textförståelse ett hinder som påverkar problemlösningsprocessen allra mest, betydligt mer än räkneförmågan (Rystedt &
Trygg, 2005). En elev med bristfälligt ordsinne har särskilt stora svårigheter att förstå ords uppbyggnad och har inte heller lätt att skifta uppmärksamheten från vad ord betyder till hur de låter. Elevens inre föreställningar
om hur orden låter saknar detaljskärpa (NCM, 2001). En elev med läs- och
skrivsvårigheter har svårigheter med att lära sig nya ord och införliva dem i
sitt ordförråd. (Sterner & Lundberg, 2004). För elever i matematiksvårigheter är kommunikationen viktig, där samspelet och dialogen hjälper eleverna att forma begrepp genom att använda det matematiska språket. Pedagogen måste se både språket och matematiken eftersom det finns ett viktigt
samband mellan dem (Ljungblad, 2003). Det är oerhört viktigt att pedagogen litar på sin kompetens och ger eleverna den tid de behöver för att i den
takt de har förutsättningar för lära och förstå de grundläggande begreppen.
Pedagogen måste också vara förtrogen med vad som kan bidra till läs- och
skrivsvårigheter och samband mellan sådana svårigheter och lärande i matematik (Sterner & Lundberg, 2004). Specialpedagogens uppgift är att
förebygga svårigheter så långt det är möjligt och undanröja svårigheter som
uppstår så fort som möjligt (Liljegren, 2000).
26
4 TEORI
Lpo 94 har påverkats av tre olika teorier om lärande, vilka är symbolisk
interaktionism, metakognitiv teori och socialkonstruktivistisk teori (Skolverket, 2003). George Herbert Mead grundade teorin om symbolisk interaktionism. Han menade att självmedvetande skapas genom ett symboliskt
samspel med människor i omgivningen. Att ta en annans perspektiv (rolltagande) är en viktig del. Genom att betrakta oss utifrån någon annans perspektiv, se oss själva med andra glasögon och anamma den andres attityder
gentemot oss utvecklas ett socialt medvetande. Teorins tyngdpunkt utgörs
av samspelet mellan individen och den sociala miljön. Genom det sociala
samspelet och genom att internalisera det vi lär av andra byggs vårt jag och
vårt medvetande upp. Här har språkutvecklingen en viktig roll. Det måste
finnas plats för kommunikation och social interaktion (Evenshaug & Hallen, 2005). Metakognitiv teori handlar om de tankefunktioner med vars
hjälp vi hanterar information. Metakognition innebär det generella uttryck
för en människas förmåga att se sin egen planering och förmåga till problemlösning. Detta inbegriper också att kunna övervaka sina egna handlingar och vara medvetet uppmärksam på sitt språk, sina känslor och avsikter. Det handlar om att kunna tänka på sitt eget tänkande vilket är beroende
av ett aktivt och engagerat själv för sin utveckling (Brørop, Hauge & Lyager Thomsen, 2006). Enligt socialkonstruktivistisk teori kan kunskap inte
förmedlas utan var och en ses som sin egen resurs i lärandet. Eleven själv
skapar sin kunskap. Den socialkonstruktivistiska synen på inlärning och
utveckling ligger till grund för den sociokulturella teorin (Evenshaug &
Hallen, 2005). Jag har valt att referera till den sociokulturella teorin, där jag
funnit Vygotskijs syn på språk och tänkande, begreppsutveckling och den
närmaste utvecklingszonen betydelsefulla för innehållet i min studie.
4.1 Den sociokulturella teorin
Säljö (2006) belyser att lärande ur ett sociokulturellt perspektiv är förmågan att se ny kunskap som en variant av något som redan är välkänt. Individen har tillgång till redskap och verktyg, dvs. språkliga, intellektuella och
fysiska hjälpmedel, för att kunna förstå sin omvärld och verka i den. När
individen lär sig behärska dessa redskap och verktyg utvecklar han/hon
förmågan att se på ny kunskap som något redan välkänt. Genom kommunikation införlivar individen kunskap och samspelet mellan grupp och individ
är i fokus. Det är genom kommunikation som sociokulturella resurser, dvs.
både det verbala och kroppsliga språket samt det intellektuella där ordförråd och begreppsförståelse byggs upp, skapas och att de förs vidare genom
kommunikation. ”Att lära sig kommunicera är därför att bli en sociokulturell varelse” (s.88). Detta är en grundtanke i ett sociokulturellt perspektiv.
Kommunikation är en länk mellan det inre (tanke) och det yttre (socialt
27
samspel). Språk, sociala faktorer och kultur påverkar vårt tänkande och
lärande.
Dysthe (2003) påvisar att det sociokulturella synsättet har sitt ursprung i
det konstruktivistiska sättet att se på lärande där man anser att kunskap
skapas inom varje individ där var och en ses som sin egen resurs i lärandet.
Det centrala är att kunskap utformas genom samarbete i ett sammanhang.
Samarbete och samspel är det primära för lärande. Dysthe (2003) beskriver
det sociokulturella synsättet på lärande kring följande punkter:
1. Lärande är situerat. Det betyder att inlärning sker i de sociala och fysiska sammanhang där aktiviteten är införlivad.
2. Lärande är huvudsakligen socialt. Det betyder att personer i ens tillvaro t.ex. kamrater eller läraren tillför mer i läroprocessen än de
skulle göra genom att uppmuntra individens införlivande av kunskap.
3. Lärande är distribuerat. Det betyder att kunskap är fördelad bland individer i gruppen och var och en har olika lärdomar som alla är viktiga för helhetsförståelsen. Därför bör lärande inte ske individuellt
utan i grupp.
4. Lärande är medierat. Det betyder att det är någonting som förmedlas
på olika sätt.
5. Språket är grundläggande i läroprocesserna. Det betyder att för oss
människor är språket det viktigaste redskapet som medierar kunskap.
6. Lärande är deltagande i en praxisgemenskap. Det betyder att lärande
sker även genom handling i en social gemenskap.
4.2 Vygotskij och den sociokulturella teorin
4.2.1 Vygotskij
Lev Vygotskij (1896-1934) har haft en central roll i den moderna psykologins och pedagogikens utveckling. Han hämtade inspiration från konstruktivismens syn på kunskapsbyggande. Liksom anhängarna av den teorin
menade han att kunskap är något som konstrueras av individen själv. Till
skillnad från den kognitiva konstruktionismen, ledd av Piaget, står Vygotskij för en social konstruktionism, där kunskap uppfattas som något som
skapas först i samspel med andra. Det är språket och de sociala förhållandena som möjliggör kunskapen (Evenshaug & Hallen, 2005). Med bakgrund som litteraturforskare menar Vygotskij att den kognitiva utvecklingen hos en individ är beroende av att individen behärskar språket. Språket
blir tänkandets sociala uttryck (Vygotskij, 2005).
4.2.2 Språk och tänkande
Vygotskij koncentrerade sig mer på vad som skedde mellan människor än
på vad som skedde inuti huvudet på varje enskild individ. Det betydelsefulla var samspelet mellan människorna. Genom att samspela med andra
28
kommer barnet i kontakt med kunskap och genom att samspela språkligt får
barnet kontakt med det sociala verktyg som vi kallar språk. Det språkliga
verktyget omformas av barnet till ett verktyg för dess tänkande. Det är i
språket och det sociala samspelet som tänkandet börjar och kunskap skapas
(Strandberg, 2006).
Språket är en av stöttepelarna i Vygotskijs teorier om mänsklig utveckling. Språket och tanken är starkt sammankopplade och tanken kommer till
uttryck i språket. Den kunskap som individen bygger upp utgår alltid från
en social aktivitet. Kunskapen förankras först i den sociala aktiviteten för
att sedan få fäste i medvetandet. Denna utveckling av kunskap kallar Vygotskij för internalisering (Øzerk, 1998).
Vygotskij (2005) hävdar språkets stora betydelse för allt lärande. Centralt i Vygotskijs språksyn är att språk och tänkande är oskiljaktiga. Språket
leder barnet framåt och språk och tanke utvecklas i en ständigt pågående
dialektik. Språket är ett kommunikationsmedel och förhållandet mellan
tanke och språk är en levande process. Först befinner sig barns tänkande på
ett icke-verbalt stadium och deras tal på ett icke-intellektuellt stadium. Senare blir tänkande och språk till ett, vilket Vygotskij benämner språkligt
tänkande. Varje individs tankeprocesser är ett slags inre tal som är överfört
och internaliserat med utgångspunkt i ett socialt samspel. Språket börjar
med en social och interaktiv process och övergår sedan till att bli en inre
förståelse. Först när tanken formuleras i ett samtal och uttrycks befästs det
egentliga lärandet.
En viktig del av människans begreppsbildning är att uttrycka sig verbalt.
När vi använder vårt språk utvecklar och utvidgar vi vårt begreppsinnehåll
och begreppsuttryck, dvs. vårt språk och vår kommunikativa förmåga. Att
utveckla ett begreppsinnehåll utan att utveckla ett språk är näst till omöjligt
(Säljö, 2006).
Johnsen HØines (2002) belyser Vygotskijs tankar om egocentriskt tal,
dvs. att barn pratar med sig själva, som en viktig funktion i begreppsbildningen. Efter hand slutar barnen att tala högt och går över i ett tyst, inre tal
och därefter i tänkandet. Talet försvinner inte, men tänkandet utvecklar sig
utifrån det och tar på så sätt över talet.
4.2.3 Begreppsutveckling
Vygotskij (2005) framhåller att den kognitiva utvecklingen hos barn hänger
samman med deras förmåga att använda språket. Barnets sociokulturella
upplevelser och erfarenheter har betydelse för deras språkliga utveckling.
Begreppsutvecklingen har avgörande betydelse för barnets språkutveckling.
Begrepp hjälper oss att hålla ordning i det sociala och materiella kaos som
finns omkring oss. Utvecklingen av begrepp är en aktiv del av de intellektuella processer som sker genom kommunikation, förståelse och problemlösning. Interaktionen mellan människor har en avgörande betydelse för
29
begreppsutveckling och för förmågan att skapa nya tankestrukturer. Begreppsutveckling sker genom växelverkan mellan teori och praktik.
Vygotskij (2005) skiljer mellan spontana och vetenskapliga begrepp.
Spontana begrepp utvecklas genom sociala upplevelser i naturliga situationer i vardagslivet. De är omedvetna därför att de är osystematiska. Deras
utveckling börjar med det konkreta och fortsätter till det generella. Vetenskapliga begrepp är medvetna därför att det finns systematik i dem. Begreppsmedvetandet uppnås genom generaliseringar, från det generella mot
det konkreta. Enligt Vygotskij är förhållandet mellan spontana och vetenskapliga begrepp sådant att de ömsesidigt påverkar varandra i utvecklingen.
Begrepp måste läras in. Begreppsinlärning gör vidare inlärning möjlig och
begreppen binder samman olika erfarenheter (Øzerk, 1998). Att uttrycka
sig genom språket är en viktig del av begreppsutvecklingen. När eleven
använder språket utvidgar han/hon förståelsen av olika begrepp och utvecklar sitt sätt att språkligt uttrycka det. Det är svårt eller omöjligt att utveckla
ett begreppsinnehåll utan att utveckla ett språk som täcker det. Genom olika erfarenheter och genom att använda begreppet i språket utvecklar eleven
begreppet, både den innehållsmässiga och den språkliga sidan. Det är eleven själv som utvecklar sina begrepp och som bygger upp sin begreppsvärld. Pedagogen fungerar som ledare och inspiratör. Nya begrepp bör alltid ha anknytning och ge associationer till det redan kända. Därför är det
betydelsefullt att pedagogen i sitt arbete ständigt är medveten om att det är
eleven som är utgångspunkten. När pedagogen talar till eleverna med ord
som de är välbekanta med kan de koncentrera sig på innehållet och därmed
orsakar språket ringa svårigheter (Johnsen Høines, 2002).
4.2.4 Den närmaste utvecklingszonen
Flera forskare (Bråten & Thurmann - Moe, 1998; Hydén, 1981) belyser att
Vygotskij förespråkar en undervisning som utformas för att utveckla högre
psykologiska processer genom aktivt samspel mellan pedagogen och eleverna eller mellan eleverna, där varje enskild elev stimuleras att nå allt högre i sin utveckling. Utrymmet mellan den nivå eleven redan har nått och
den nivå han/hon är på väg mot kallar Vygotskij den närmaste utvecklingszonen. Undervisning inom den närmaste utvecklingszonen utgår från de
processer som är under utveckling hos varje elev och stimulerar därigenom
till vidare utveckling. Den närmaste utvecklingszonen är således avståndet
mellan vad en elev kan utföra på egen hand utan hjälp och vad en elev kan
utföra under ledning av en vuxen eller i samarbete med kamraterna. Med
god vägledning kan en elev lösa problem som annars skulle vara för svåra
att lösa på egen hand.
30
Uppnådd
kompetens
Utvecklingszon
Framtida
kompetens
Figur 4. Utvecklingszon (Säljö, 2006, s. 122).
Säljö (2006) relaterar till Vygotskijs beskrivning av den närmaste utvecklingszonen där uppnådd kompetens är de kunskaper barnet redan besitter
eller kan uppnå. Ur ett psykologiskt perspektiv är det inte bara det som är
det intressanta, utan kapaciteten ett barn har i sin utveckling då det gäller
förståelse och handlande. I utvecklingszonen kan barnet genom handledning följa med i ett resonemang, men det kan dröja innan barnet själv kan
utföra den handling som grundar sig på resonemanget. När barnet befinner
sig i utvecklingszonen är det mottagligt för handledning. I en klass är variationen stor bland eleverna när det gäller var i den närmaste utvecklingszonen de befinner sig. Det menar Vygotskij är betydelsefullt för att eleverna
ska komma vidare i zonen. ”Det är den mer kompetente som vägleder den
mindre kompetente.” (s. 122).
31
32
5 METOD
Det här kapitlet inleds med en allmän metoddiskussion, där jag presenterar
olika alternativa metoder som kunde vara tänkbara för datainsamlingen.
Därefter beskriver jag den metod som jag valde att använda i undersökningen, samt motiverar varför jag valde just den metoden. Jag beskriver
även en pilotintervju. Vidare följer en redogörelse kring valet av undersökningsgrupp, samt hur själva undersökningen gick till. Därefter presenteras
hur jag bearbetade och analyserade alla data. Avslutningsvis diskuterar jag
reliabilitet, validitet och etik.
5.1 Allmänt om metod
Tre olika vetenskapsteorier är positivism, fenomenologi och hermeneutik.
Mycket förenklat handlar positivismen om att försöka förklara verkligheten, fenomenologin om att försöka beskriva verkligheten och hermeneutiken om att försöka förstå verkligheten (Alvesson & Sköldberg, 2007). Jag
utgår från den gren av vetenskapsteorin som kallas hermeneutik, som kan
översättas som tolkningslära. Inom vetenskapsteorin talas det om två olika
metodansatser vilka benämns induktiv, dvs. upptäckande och deduktiv,
dvs. bevisande (Holme & Solvang, 2006). De metoder som används vid
vetenskapliga undersökningar kan delas in i kvantitativa och kvalitativa
metoder (Trost, 2001). Alvesson och Sköldberg (2007) menar att man kan
använda sig av både kvantitativa metoder, vilka utgår från forskarens idéer
om vilka dimensioner och kategorier som ska stå i centrum och kvalitativa
metoder, vilka utgår från studiesubjektets perspektiv.
Holme och Solvang (2006) beskriver likheter och skillnader mellan de
två metoderna. Kvantitativ metod samlar sin information på ett sätt som
präglas av avstånd och urval och möjliggör generalisering. Forskaren iakttar det hela utifrån. Frågorna som ställs är lika för alla och ändras inte även
om andra frågor hade visat sig vara mer relevanta. Metoden vill beskriva
och förklara och ger ringa information om många undersökningsenheter,
dvs. den går på bredden. Kvalitativ metod visar på totalsituationen, vilken
är dess styrka. Denna helhetsbild möjliggör en ökad förståelse för sociala
processer och sammanhang. Forskaren iakttar det hela inifrån som deltagare eller aktör. Metoden präglas av flexibilitet, att kunna ändra på uppläggningen under genomförandet av undersökningen. Metoden vill beskriva
och förstå och ger riklig information om få undersökningsenheter, dvs. den
går på djupet.
En kartläggning av pedagogers kunskap och erfarenhet kan genomföras
på olika sätt. En möjlighet är att göra fallstudier, vilket är en användbar metod när man vill studera människors beteende och hur de samspelar med sin
omgivning (Kvale, 1997). Inom pedagogiken kan fallbeskrivningar användas vid utvärdering, då de kan förklara och beskriva den verkliga situatio33
nen. Arten av den frågeställning som ska undersökas avgör om fallstudien
är en användbar metod (Merriam, 1994). Dagböcker, en slags loggbok
över en människas professionella verksamhet, är en annan metod. Att skriva dagbok tar dock mycket tid i anspråk och ett ofullständigt skrivande påverkar tillförlitligheten (Bell, 2000).
En möjlig metod är att göra en kvantitativ enkätundersökning. En enkätundersökning ger kvantifierbara svar och går lätt att distribuera till
många (Trost, 2001). Detta utan att metoden behöver vara särskilt tidskrävande (Kvale, 1997). En annan vinst är att slippa omedveten styrning och
att resultaten relativt lätt kan bearbetas statistiskt. Risken för bortfall är
samtidigt större. Eftersom en enkät kommunicerar verbalt blir den språkliga utformningen betydelsefull. Frågeformuläret kan innehålla både frågor
med fasta svarsalternativ samt någon eller några enstaka öppna frågor
(Stukát, 2005).
Ytterligare en användbar metod är att genom intervjuer få ta del av den
intervjuades livsvärld och därmed få kunskap ur olika perspektiv. Den kvalitativa forskningsintervjun kan vara allt från helt öppen till delvis strukturerad. En halvstrukturerad intervju kan också kallas semi-strukturerad
(Stukát, 2005). Den finns även omnämnd av Merriam men kallas då delvis
strukturerad intervju. Den halvstrukturerade intervjun kännetecknas av ett
avgränsat tema för intervjun och att det finns förslag på huvudfrågor. Det är
betydelsefullt att ställa bra frågor för att intervjun ska ge god information,
vilket kräver erfarenhet och övning (Merriam, 1994). Frågorna ska vara
korta och enkla för att locka till utförliga svar, som följs upp och tolkas under loppet av intervjun. Informanten kan då verifiera eller förtydliga sina
uppfattningar. I den kvalitativa forskningsintervjun, som är som ett professionellt samtal med en struktur och ett syfte, är det möjligt att vara lyhörd
för de uppfattningar de intervjuade pedagogerna tar upp och på så sätt få
del av deras kunskap (Kvale, 1997). Precis som Alvesson och Sköldberg
(2007) menar Trost (2001) att det behövs undersökningar av såväl kvantitativ som kvalitativ natur och att de ofta kan användas i kombination med
varandra.
5.2 Metodval
Min studie är en fördjupning av c-uppsatsen, Begreppsförståelse. Förutsättningar för elever i matematiksvårigheter (a.a.). I den studien var syftet
att undersöka vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse. I den här studien ville jag tränga djupare in i kunskapsområdet
och fokusera på hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet
till ökad begreppsförståelse. Eftersom jag gjorde den här studien i samma
kommun som den förra studien, gav det möjlighet att kunna dra paralleller
från den förra studien med de resultat jag skulle uppnå med den här studien. Då jag hade erfarenhet av den förra studiens undersökningsmodell, vil34
ken fungerade mycket bra, bestämde jag mig efter noga överväganden för
att använda samma metod som vid den studien, alltså en kvalitativ undersökning som blev en uppföljning av en kvantitativ förundersökning.
Arbetet inleddes sålunda med en enkätundersökning där pedagogerna
gav svar på givna frågor om hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse. Genom enkätsvaren fick jag
hjälp med att välja lämpliga intervjupersoner. Eftersom jag på förhand hade
god kännedom om det jag ville fråga om användes ett strukturerat formulär
som innehöll frågor med fastställda svarsalternativ (Stukát, 2005). Med enkätundersökningen besvarades framförallt frågorna vad, hur och när (Bell,
2000). Dessa strukturerade frågor kompletterades med två öppna frågor,
där pedagogen själv formulerade sitt svar. När jag utformade enkätfrågorna
utgick jag från syftet och dess frågeställningar (Stukát, 2005). Målet med
enkätundersökningen var att få hjälp att välja intervjupersoner med kunskap om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers
möjlighet till ökad begreppsförståelse, samt ge lärdom om hur jag kunde
fördjupa mig i problemområdet.
Den inledande enkätundersökningen följdes av kvalitativa forskningsintervjuer, där jag fick ta del av de intervjuades livsvärld och därmed fick
kunskap ur olika perspektiv (Kvale, 1997). Intervjuerna hade sin grund i
hermeneutiken eftersom jag ämnade försöka förstå och tolka pedagogernas
syn på hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad
begreppsförståelse. Jag skulle tolka intervjuerna för att få en bild av verkligheten (Alvesson & Sköldberg, 2007). Utifrån hermeneutiken och en induktiv metodansats blev därför en kvalitativ forskningsintervju den huvudmetod som bäst uppfyllde syftet i studien (Kvale, 1997). Jag valde att
genomföra en halvstrukturerad intervju för att få del av de intervjuade pedagogernas kunskap ur olika perspektiv. Med den metoden kunde jag vara
lyhörd för de uppfattningar de intervjuade pedagogerna, informanterna tog
upp och på så sätt få del av deras kunskap. Intervjumetoden gav mig möjlighet att göra förändringar vad gällde frågornas form och ordningsföljd.
Den gav mig också möjlighet att följa upp vad informanterna tog upp genom att jag kunde ställa relevanta följdfrågor. Här kunde jag utnyttja samspelet för att få så fyllig information som möjligt (Stukát, 2005). Svaren
följdes upp och tolkades under intervjun. Den intervjuade kunde därmed
verifiera eller förtydliga sina ståndpunkter. Analysen blev på så sätt delvis
inbyggd i intervjun.
För att kvaliteten på intervjuerna skulle bli bra var det viktigt att jag som
intervjuare hade god kunskap om ämnet jag skulle undersöka, att jag var
empatisk och öppen för nya aspekter i samspelssituationen samt att jag
lyssnade kritiskt och tolkande (Kvale, 1997). Eftersom jag inte har stor erfarenhet som intervjuare var det särskilt viktigt att jag förberedde mig väl
för att kunna utföra ett gott hantverk.
35
5.3 Pilotstudie
För att en intervju ska ge god information krävs att jag som intervjuare kan
ställa bra frågor, vilket kräver erfarenhet och övning (Merriam, 1994). Jag
har inte stor erfarenhet av att göra intervjuer eller att utarbeta intervjufrågor. Därför bestämde jag redan i forskningsplanen att det skulle vara betydelsefullt att genomföra en pilotintervju före de egentliga undersökningsintervjuerna. Genom denna praktik skulle jag få självförtroende och ökad
förmåga till ett tryggt samspel (Merriam, 1994).
För att testa att mina intervjufrågor skulle ge god information och utförliga svar valde jag att göra en pilotintervju med en pedagog som har lång
erfarenhet av specialundervisning av elever år 7-9. I god tid innan intervjutillfället fick pedagogen den definition av ordet begrepp samt organisations-, grupp- och individnivå som jag valt enligt litteraturen (bilaga E).
Pedagogen fick också de huvudfrågor som skulle användas vid intervjutillfället (bilaga C). Detta för att kunna tänka över frågorna innan intervjutillfället, för att på så sätt ges möjlighet att lämna genomtänkta svar. Intervjun
spelades in på band. Jag lyssnade noga på den inspelade intervjun för att
göra tolkningar.
När jag analyserade intervjun märkte jag till min glädje att huvudfrågorna gav god information, då de lockade informanten att berätta utförligt om
sina erfarenheter och kunskaper till frågeställningarna (Kvale, 1997). Alltså
hade min intervjuguide, som jag utarbetat med huvudfrågor och delfrågor,
lockat till utförliga svar då den gav mig självförtroende att ställa relevanta
följdfrågor, vilket hjälpte mig att skapa ett tryggt och stimulerande samspel
med informanten (Merriam, 1994). För att kvaliteten på intervjun ska bli
bra menar Kvale (1997) att det är viktigt att jag som intervjuare har god
kunskap om det ämne jag ska undersöka. Självklart hade jag stor nytta av
den lärdom jag fick i arbetet med c-uppsatsen Begreppsförståelse, Förutsättningar för elever i matematiksvårigheter (a.a.). Eftersom pilotintervjun
gav god information och utförliga svar inom kunskapsområdet, bestämde
jag att den skulle ingå som en av de sju huvudintervjuerna i min studie.
5.4 Undersökningsgrupp
De intervjuade pedagogerna, vilka valdes genom den enkätundersökning
jag redovisat i kapitel 5.2, arbetar på de två största enheterna i en kommunal skola i en liten kommun i södra Sverige. Båda enheterna finns i centralorten. Den ena enheten har ca. 260 elever från förskoleklass till år 6. Den
andra enheten har ca. 220 elever från år 7 till år 9.
De intervjuade pedagogerna anges från A-G.
• Pedagog a arbetar i år 4.
• Pedagog b arbetar i år 6.
• Pedagog c arbetar i år 4 - 6 samt är kommunens matematikutvecklare.
• Pedagog d arbetar med specialundervisning år 4-6.
36
• Pedagog e arbetar i år 7-9 samt är kommunens matematikutvecklare.
• Pedagog f arbetar i år 7-9.
• Pedagog g arbetar med specialundervisning år 7-9.
De intervjuade pedagogerna har stor erfarenhet av undervisning i matematik och har arbetat många år som klass-, ämnes- eller speciallärare.
5.5 Genomförande
För att få hjälp att välja intervjupersoner med kunskap om och erfarenhet
av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse inledde jag studien med en enkätundersökning (bilaga A).
Enkäten lämnades personligen till 31 pedagoger som arbetar från år fyra till
år nio samt i specialundervisningen inom fyra enheter i en kommunal skola
i min kommun. Till enkäten lämnades ett missivbrev med information om
syftet med undersökningen (bilaga B), samt en beskrivning av hur jag enligt litteraturen valt att definiera ordet begrepp (bilaga E). Jag fick 31 svar
av de 31 enkäter som lämnades ut. Målet med enkätundersökningen var att
utifrån enkätsvaren få hjälp att välja intervjupersoner med stor kunskap och
erfarenhet inom problemområdet. Av alla dessa enkäter valde jag sju pedagoger, med vilka jag tog personlig kontakt. Alla var positiva till att bli
intervjuade. Fördelen med att välja intervjupersoner på detta sätt var att jag
med enkätsvaren som stöd verkligen kunde plocka ut de pedagoger som har
stort kunnande inom problemområdet. Nackdelen med detta förfaringssätt
var att valet av undersökningspersoner inte var slumpmässigt, vilket gjorde
att svaren inte representerar alla pedagogers uppfattning i kommunen.
De pedagoger jag valt att intervjua fick en kort information om syftet
med undersökningen samt att den skulle spelas in på band. Jag kom överens om tid och plats för intervjun. Jag valde att besöka varje pedagog som
skulle intervjuas på sin skola. Där i ett klassrum/arbetsrum försäkrade jag
mig om att få sitta och samtala ostört ungefär en timme. En vecka innan
intervjuerna ägde rum fick intervjupersonerna ett missivbrev, dvs. ett informationsbrev med information om kommande datainsamling (bilaga D).
Tillsammans med missivbrevet bifogades min enligt litteratur valda definition av ordet begrepp som tidigare följt enkäten. För tydlighetens skull fick
intervjupersonerna även en beskrivning av hur jag enligt litteraturen valt att
definiera organisations-, grupp- och individnivå (bilaga E). De huvudfrågor
(bilaga C) som skulle användas vid intervjutillfället lämnades också till intervjupersonerna via missivbrevet. När jag utarbetade intervjuguiden var
det väsentligt att frågorna formulerades så att de inbjöd de intervjuade pedagogerna, informanterna, att berätta utförligt om sina erfarenheter och
kunskaper till frågeställningarna. Fördelen med att använda huvudfrågor
vid intervjuerna var att de gjorde analysmetoden lättare, eftersom jag vid
analystillfället kunde jämföra de olika informanternas svar för att eventuellt
37
finna ett mönster inom problemområdet (Kvale, 1997). Intervjuerna spelades in på band. Alla intervjuer gjordes under loppet av tre veckor.
5.6 Databearbetning
Jag lyssnade på de inspelade intervjuerna och skrev ner svaren ordagrant.
Därefter läste jag igenom anteckningarna flera gånger. Analysen skedde,
utifrån syfte och frågeställningar, genom att jag först gjorde en meningskoncentrering. Det innebär att de meningar som intervjupersonerna uttryckt
formulerades mer koncentrerat, så att den väsentligaste innebörden av det
intervjupersonerna sagt omformuleras i några få ord (Kvale, 1997). Eftersom jag hade intervjuat sju pedagoger hade jag omfattande intervjutexter.
Genom att jag gjorde meningskoncentrering kunde alla mina större intervjutexter reduceras till mera koncisa formuleringar, ur vilka jag kunde
plocka ut de meningsbärande resultaten.
Databearbetningen fortsatte genom att jag sammanförde meningskoncentraten i kategorier. Kategoriseringen tjänade flera syften. Kategoriseringen strukturerade de sju intervjuerna och gav en överblick över pedagogernas syn på hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till
ökad begreppsförståelse. Kategoriseringen gav möjlighet att bedöma hur
typiska pedagogernas svar var för intervjumaterialet som helhet, men gav
också möjlighet att undersöka skillnader och göra jämförelser. Kategoriseringen gjorde det möjligt att kontrollera intervjuarens reliabilitet. Allt detta
för att ge en ökad tydlighet (Kvale, 19979. På detta sätt sammanförde jag
kategorierna i tabeller för att kunna göra jämförelser, söka efter likheter,
skillnader samt hitta mönster.
5.7 Reliabilitet och validitet
Den inledande enkätundersökningen gav en hundraprocentig svarsfrekvens.
Jag fick svar från alla pedagoger som arbetar från år fyra till år nio samt i
specialundervisningen inom fyra enheter i en kommunal skola i min kommun. Tack vare den höga svarsfrekvensen fick jag möjlighet att särskilja
intervjupersoner ur en bred urvalsgrupp, vilket jag anser stärker tillförlitligheten inför intervjuundersökningen som redovisas i det följande.
Innan intervjutillfället fick de pedagoger som valts ut för intervjun ett
missivbrev, där de fick information om undersökningens syfte. Där kunde
de även läsa definitionen av ordet begrepp, samt organisations-, grupp- och
individnivå, vilka jag valt enligt litteraturen. Avsikten med detta var att alla
skulle ha samma förförståelse vid intervjutillfället och att svaren därmed
skulle bli jämförbara. Å ena sidan anser jag att det stärker intervjuernas reliabilitet att alla fick samma definition, å andra sidan kan det ha varit begränsande att informanterna fick samma definition då det kanske likriktade
deras svar vid intervjutillfället. Jag skickade också intervjufrågorna till de
valda pedagogerna, så att de fick möjlighet att förbereda sig genom att tän38
ka över frågorna i förväg. På detta sätt ville jag försäkra mig om att få genomtänkta svar, vilket jag anser stärker intervjuernas reliabilitet.
All forskning rymmer skevheter, bias. Ett sätt att minimera dessa skevheter är att vara uppmärksam och medveten om dem (Merriam, 1994). Därför var min målsättning att ha en kritiskt granskande hållning och en medvetenhet om de tolkningar jag skulle göra under hela arbetet. Att använda
flera uttolkare för samma intervju är ett sätt att minimera faran för godtycklighet (Kvale, 1997). Eftersom jag var ensam intervjuare måste jag därför
vara observant vid de tolkningar jag skulle göra, då de vilar på mitt eget
omdöme, så att kvalitetskontrollen kunde upprätthållas. På så sätt skedde
under hela arbetet en löpande validering. Jag kunde säkra validiteten genom att ifrågasätta och svara på frågorna vad och varför före frågan hur för
att därigenom se till att innehåll och syfte kommer före metoden (Kvale,
1997). På samma sätt kunde jag stärka reliabiliteten genom att se till att resultatets innehåll stämde överens med det jag avsåg att undersöka (Stukát,
2005). Jag kunde även validera genom att teoretisera, dvs. jämföra resultaten med litteraturen.
Jag anser att jag hade möjlighet att stärka tillförlitligheten genom att använda mig av triangulering, dvs. att använda flera undersökningsmetoder
för att tränga djupare in i problemet och belysa det grundligare och från fler
sidor. (Stukat, 2005). De undersökningsmetoder jag använde i min studie
var enkät och intervju. Genom enkätundersökningen kunde jag hitta pedagoger med stor kunskap inom problemområdet som jag sedan kunde intervjua för att därigenom få ta del av de intervjuades livsvärld och därmed få
kunskap ur olika perspektiv. På så sätt anser jag att de båda metoderna
stärker varandra och tillförlitligheten kan upprätthållas.
Eftersom jag gjorde undersökningen i en liten kommun måste tillförlitligheten ifrågasättas, då valet av undersökningspersoner inte var slumpmässigt eller taget från en stor population. De pedagoger som jag valt att intervjua har jag valt utifrån enkäterna. Jag har valt att intervjua pedagoger som
har kunskap om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på
elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse, vilket gör att svaren inte
slumpmässigt representerar alla aktiva pedagogers uppfattning. Jag kan
dessutom inte säga något om resultatet om undersökningen skulle göras i
en annan kommun som har andra förutsättningar.
5.8 Etik
Min avsikt var att ta hänsyn till de olika etiska principer som enligt Stukát
(2005) är informationskrav, samtyckekrav, konfidentialitetskrav och nyttjandekrav. Till enkäten bifogades ett missivbrev med information om enkätundersökningens syfte och genomförande. Där gavs tydlig information
om att enkätundersökningen inte skulle genomföras anonymt, utan att det
skulle framgå vem som lämnar enkätsvaren. Detta för att jag genom enkät39
svaren skulle få hjälp att välja intervjupersoner till min fortsatta undersökning. Jag informerade också om att jag skulle behandla enkäterna konfidentiellt och att pedagogernas namn inte skulle röjas i mitt fortsatta arbete.
Jag tog personlig kontakt med sex valda pedagoger för att genom informerat samtycke (Kvale, 1997) be om deras medverkan och förklara villkoren för intervjun. Den sjunde pedagogen intervjuades före de andra i den
pilotintervju jag tidigare beskrivit i kapitel 5.3. Genom informerat samtycke kunde jag informera intervjupersonerna om syftet med min studie
och beskriva hur studien var upplagd i stort samt vilka risker och fördelar
som kunde finnas genom att delta i studien. Intervjupersonerna fick också
information om att deras deltagande i studien var frivilligt och att de hade
rätt att dra sig ur när som helst. De som skulle intervjuas garanterades
anonymitet och att alla uppgifter de lämnade skulle behandlas konfidentiellt och att jag inte skulle röja i vilken kommun jag genomförde undersökningen. Denna information sändes dessutom till intervjupersonerna i ett
missivbrev innan intervjutillfället. Jag berättade att min studie kommer att
publiceras och att alla uppgifter endast skulle användas för mitt forskningsändamål. Alla anteckningar och inspelningsband med de olika intervjuerna
lovade jag att förvara så att ingen utomstående kunde få tillgång till det under arbetets gång. Jag informerade också om att allt material skulle förstöras när arbetet var slutfört (Kvale, 1997).
Alla kommer att få ett arbete när det är klart. Däremot kunde jag inte
lova att skicka utskrifter av analysen under tiden pga. tidsbrist. Det skulle
annars vara ett bra sätt att verifiera tolkningarna (Kvale, 1997). Jag bestämde istället att jag kunde kontakta intervjupersonerna för att få ett förtydligande, om något i svaren var oklart. Som forskare måste jag tänka på
min hederlighet. När jag söker ny kunskap, vid analys, tolkning och presentation av egna resultat eller citering av andras, får jag inte förvränga eller
försköna resultaten (Gustafsson, Hermerén & Pettersson, 2004).
40
6 RESULTAT
Min studie inleddes med en enkätundersökning (bilaga A), vilken jag tidigare redogjort för i kapitel 5.2 och 5.5. Målet med enkätundersökningen
var att utifrån enkätsvaren få hjälp att välja intervjupersoner med kunskap
om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse. Urvalet skedde genom att jag analyserade enkätsvaren. Det jag fann var att alla enkätfrågor med fastställda svarsalternativ gav liknande svar från pedagogerna. De två öppna frågorna, speciellt fråga 10 gav vidare vägledning i mitt val av intervjupersoner. Där
beskrev flera pedagoger utförligt och varierat vad som behövs för att möjliggöra ett arbetssätt där man medvetet arbetar med det matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse. Jag hade således nytta av
enkäten för att finna pedagoger som gett intressanta svar men också för att
hitta intervjupersoner med spridning i arbetsfält från år 4 till år 9 samt inom
specialundervisningen. Eftersom målet med enkätundersökningen var att
välja intervjupersoner, förekommer ingen ytterligare resultatredovisning i
det här kapitlet.
I följande kapitel redovisar jag resultatet av intervjuerna med utgångspunkt från de frågeställningar som relaterar till studiens syfte. Resultatet
redovisas delvis i tabellform med förklarande text och valda citat av de intervjuade pedagogerna, delvis genom att enbart intervjusvaren citeras i sin
helhet. Bokstaven inom parantes anger den pedagog som uttryckt åsikten.
Varje intervjuad pedagog finns tidigare redovisad i kapitel 5.4, utifrån sitt
verksamhetsområde. Intervjufrågorna finns redovisade i bilaga C.
6.1 Att utveckla det matematiska språket
I det första området, hur pedagoger arbetar för att utveckla det matematiska
språket och stärka elevernas begreppsförståelse, ingår fråga 1 och 2.
6.1.1 Matematiskt språk
Fråga 1 inleddes med att pedagogerna svarade på frågan: Vad är matematiskt språk för dig? I det följande väljer jag att presentera svaren som citat
då de alla på sitt sätt utgör kärnan i min studie, hur det matematiska språket
inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse.
…när vi t.ex. inför ett nytt räknesätt, som addition. När vi börjar med det säger jag ordet addition och så förklarar jag ordet och ger kanske en synonym och så visar jag på tavlan, massor med exempel och vi pratar och räknar och då använder jag ordet addition och summa, de
matematiska orden. … Det är det matematiska språket man försöker få in vid olika tillfällen.
… de matematiska begreppen som inte finns i den andra världen. ... (a)
… Att man använder de rätta benämningarna när man pratar, på räknesätt och med enheter,
att man kanske inte säger fyrkant utan säger kvadrat eller rektangel. Att man säger att det här
är en addition och man försöker lära dom orden termer och summa. Vad blir summan? Att
41
försöka använda, att inte säga att man plussar utan använder de riktiga matematiska orden.
(b)
Att barn kan uttrycka sig bra med matematiska termer. Jag tror det är väldigt viktigt att man
börjar jättetidigt med de riktiga orden. Det är ju egentligen inte svårare för yngre barn att lära
sig det som är riktigt än att förvränga och använda enklare ord, ord som vi tror är enklare. …
Att barnen vet betydelsen av de matematiska orden. (c)
Eleverna ska kunna berätta utifrån ett uttryck med begrepp, siffertänk och siffersymboler hur
och varför de går tillväga för att komma framåt till ett resultat. Det finns matematik i språk
överallt, alltid, hela tiden i elevernas vardag. … Matematiskt språk är inget eget språk som
bara finns på matematiklektionerna. … det är svenska också dom matematiska orden. Språk
och matematik går hand i hand. (d)
Det är dom här matematiska begreppen och orden och sådant som man direkt kan koppla till
matematik. … allt som handlar om matematik. … Språket är ju viktigt och har väldigt stor
betydelse inom matematiken, för att förstå och för att kunna jobba med matten. (e)
Det är att man kallar saker för vad de egentligen heter inom matematiken. Om man menar en
kvadrat så säger man det, då är det matematiskt språk, man säger inte fyrkant utan det är en
kvadrat. De matematiska namnen har ju också en definition på vad det innebär, det blir avgränsat. Det är matematiskt språk att använda de rätta orden. Sedan är ju också matematiskt
språk att översätta från svenska till det här matematiska symbolspråket, alltifrån siffror till
våra tecken för räknesätt till x för den obekante osv. (f)
Det är alla ord eller glosor som behövs för att man ska informera en elev om vad han ska
räkna ut. Eller vilket problemet är som han ska lösa. Kan han inte få grepp om det i texten så
har han ju missat innehållet. Alltså är det ett antal ord som har med matte att göra och dom
orden är matematiskt språk för mig. (g)
6.1.2 Begrepp/språkliga uttryck som är viktiga respektive svåra att lära
Inför intervjuerna fick pedagogerna en beskrivning av hur jag enligt litteraturen valt att definiera ordet begrepp. Utifrån denna definition avslutade jag
fråga 1 med att samtala om vilka begrepp/språkliga uttryck som är särskilt
viktiga att eleverna lär sig samt vilka begrepp/språkliga uttryck som är speciellt svåra.
En pedagog (d) menar att det handlar om två slags begrepp som är viktiga att eleverna lär sig, de som är direkt riktade till matematiken, och de
ord som vi använder för att kunna förklara saker. En pedagog (f) berättar
att längd, massa och tid är grundbegrepp som är viktiga. ”En del ord bygger
på vartannat och har eleven inte förstått begreppet längd är det lönlöst att
tro att han eller hon ska förstå begreppet area.” Två pedagoger (c,g) uttrycker att talbegreppet är grundläggande för elevernas fortsatta utveckling.
”Det är alltför många elever som även upp i år 7 räknar fel i algoritmräkning, procenträkning och uppgifter som innehåller decimaler. De placerar
siffrorna fel i förhållande till varandra då positionerna, värdet inte är klara
begrepp för eleverna” (g). En pedagog (c) menar att rumsuppfattningen är
grundläggande. De begrepp/språkliga uttryck som flest, dvs. fem pedagoger
(a,b,d,e,f) anser är viktiga att eleverna lär sig är jämförelseorden, t.ex.
längd. Ord som används i kombination med jämförelseorden, t.ex. ungefär,
42
dubbelt, hälften anser två pedagoger (a,d) är viktiga och lägesord anser en
pedagog (d) som viktiga begrepp. Ytterligare begrepp som pedagogerna
tycker är viktiga att eleverna lär sig innebörden av är ordet enhet (a,b), uppskatta (a) och rimligt (d).
Fyra pedagoger (a,d,e,g) uttrycker att ord som ingår i matematikspråket
men inte används i vardagslag är svåra begrepp/språkliga uttryck för eleverna att lära sig. Tre pedagoger (b,c,e) menar att matematiska ord som används i vardagsspråket men betyder något annat där är svåra. En pedagog
(f) berättar att del av, andel är svåra begrepp för eleverna. ”Både bråk och
procent bygger på det. Att en andel kan vara olika stora. Jag tror att det är
där grunden ligger i problemet varför en del elever inte förstår bråk och
procent”. En pedagog (c) uppger att storlek, antal och ålder är svåra begrepp. Ytterligare exempel på svåra begrepp/språkliga uttryck är lägesorden (d), lika med (g) och egenskaper (f).
6.1.3 Att utveckla det matematiska språket
I det här området ingår också fråga 2 där pedagoger har besvarat frågan hur
de arbetar för att utveckla det matematiska språket och därmed stärka elevernas begreppsförståelse.
Tabell 6.1
Att utveckla det matematiska språket
Arbetssätt, metoder, strategier
Genomgång med förklaring av begrepp/ord
Dialog pedagog – elev
Eleven förklarar begrepp/ord för varandra
Verklighetsbaserat
Bilder, rita
Läromedel
Konkret/laborativt material
Gruppuppgifter med matteprat
Utomhuspedagogik
Datorn
Antal
7
7
7
7
7
6
6
4
2
1
Respondenter
a,b,c,d,e,f,g
a,b,c,d,e,f,g
a,b,c,d,e,f,g
a,b,c,d,e,f,g
a,b,c,d,e,f,g
a,b,d,e,f,g
a,b,c,d,e,g
a,b,c,e
b,c
d
Alla respondenter anser att det matematiska språket kan utvecklas då de
förklarar och använder begrepp/språkliga uttryck under genomgångar eller
vid tillfällen då de hjälper en elev som har svårigheter med en matteuppgift.
Detta uttrycker en pedagog (e) så här. ”Jag försöker vara tydlig med att
säga det korrekta matematiska begreppet både när jag hjälper eleverna och
vid genomgångar.” Alla respondenter menar att det matematiska språket
gynnas när eleverna förklarar begrepp/språkliga uttryck för varandra. En
pedagog (c) säger: ”Jag tvingar eleverna att berätta hur dom gör, de måste
använda de matematiska orden och förklara så kompisarna förstår.” Alla
respondenter tycker att när undervisningen är verklighetsbaserad och elever/pedagog ritar eller använder bilder tillsammans med matteprat utvecklas det matematiska språket. En pedagog (g) berättar: ”Jag försöker få in
det matematiska språket i verkligheten så gott det går, som mopeder och
43
hur fort dom går och hur mycket bensinförbrukning det är om man ska räkna division.” En pedagog (e) säger: ” Jag ritar jättemycket när jag förklarar
för eleverna och får in mycket matematiskt språk då.” Sex pedagoger anser
att läromedel gynnar utvecklingen av det matematiska språket. En pedagog
(b) uttrycker: Jag är inte styrd av läroboken utan tycker det är bra att ha en
bok. Men man måste jobba medvetet med det matematiska språket för att
det ska fastna, inte bara tro att boken gör det.” Lika många pedagoger anser
att användandet av konkret, laborativt material har betydelse för det matematiska språkets utveckling. ”Jag klipper, klistrar, använder mycket laborativt material och så pratar jag matte hela tiden för att komma åt eleverna,”
säger en pedagog (d). Fyra informanter använder gruppuppgifter med matteprat för att gynna det matematiska språket. En pedagog (e) berättar: ”En
gång i veckan pratar eleverna jättemycket matematik då de jobbar med
gruppuppgifter.” Två informanter svarar att de ibland använder sig av utomhuspedagogik för att gynna det matematiska språket. ”Vi går ut en hel
del, vi mäter, tittar på geometriska former, mäter dem, går in och ritar dom
och förminskar dom,” berättar en av informanterna. Endast en pedagog använder datorn i undervisningen för att därigenom utveckla det matematiska
språket. ”Jag har program där man behandlar begrepp. Jag använder datorn
ofta som avslutning när vi tränat in någonting. Då har jag först pratat och vi
har jobbat konkret,” berättar pedagogen (d).
6.2 Möjligheter i arbetet med att utveckla det matematiska språket
I det här området ingår fråga 3 som behandlar vilka möjligheter som pedagogen möter i arbetet med att utveckla det matematiska språket och därmed
elevernas begreppsförståelse. Resultatet redovisas på organisations-, gruppoch individnivå.
Tabell 6.2
Möjligheter på organisationsnivå
Möjligheter
Matematikverkstad, laborativt material
Mindre grupper
Fler pedagoger
Fortbildning
Antal
6
5
3
2
Respondenter
a,b,c,d,e,g
a,c,e,f,g
b,e,f
b,d
Sex informanter anser att en matematikverkstad och arbete med laborativt
material ger möjligheter att utveckla det matematiska språket. En pedagog
(c) uttrycker: ”Det är ett lyft att ha en matematikverkstad med allt laborativt material. Så bra att ha allt på samma ställe. Då kan jag verkligen använda just det material till just den eleven som har svårt att förstå ett moment just då.” Fem pedagoger menar att mindre grupper har betydelse för
det matematiska språkets utveckling. ”När vi jobbar i grupp ska alla i gruppen vara överens så vem som helst ska kunna redovisa. Ingen ska kunna
säga att jag inte förstår,” berättar en pedagog (e). Tre respondenter uttrycker att tillgång till fler pedagoger möjliggör utveckling av det matematiska
44
språket. En respondent (f) säger: ”Det är positivt att vara två, man kommer
åt eleverna på ett bättre sätt då.” Två informanter anser att fortbildning
möjliggör utveckling. ”Mina nya kunskaper ger jag till eleverna, men också
till kollegerna” menar en respondent (d).
Tabell 6.3
Möjligheter på gruppnivå
Möjligheter
Små grupper med matteprat
Arbetsklimatet
Laborativt arbetssätt
Flexibel matematik
Verklighetsanpassa
Antal
7
3
2
1
1
Respondenter
a,b,c,d,e,f,g
b,f,g
a,c
b
b
Sju pedagoger anser att små grupper med matteprat möjliggör utveckling
av det matematiska språket. En pedagog (a) uttrycker: ”Vid prat i grupp så
kommer jag åt det matematiska språket. Även när dom hjälper varandra två
och två, när jag ber någon förklara.” Tre respondenter menar att arbetsklimatet utgör en möjlighet till utveckling. ”Klimatet i mindre grupper, där
kan man vinna utveckling av det matematiska språket,” förklarar en informant (f). Två informanter tycker att ett laborativt arbetssätt möjliggör utveckling av det matematiska språket. Den ena informanten (c) berättar:
”När eleverna använder sig av det laborativa, då kommer jag åt det matematiska språket bättre. När eleverna sitter i smågrupper två och två går jag
runt och kanske sätter mig bredvid ett par och sitter och pratar matte en
stund. En pedagog (b) framhåller möjligheten att ha flexibel matematik.
”Att organisera arbetet så inte alla har matte samtidigt, att arbeta efter arbetsschema. Då jobbar två, tre elever tillsammans. Det är matteprat dom
emellan och dom förklarar ofta för varandra,” berättar pedagogen.
Tabell 6.4
Möjligheter på individnivå
Möjligheter
Självkänsla och självförtroende
Individanpassa
Ett positivt synsätt på språket
Ge eleven aha-upplevelse
Antal
5
3
2
1
Respondenter
a,d,e,f,g
c,d,g
b,e
a
Fem pedagoger anser att självkänsla och självförtroende är möjligheter de
möter i arbetet med att utveckla av det matematiska språket. En pedagog (f)
uttrycker: ”Om det är en bra grupp och ett tillåtande klimat kan eleven våga
prata det matematiska språket och ta till sig de matematiska orden och därigenom få självförtroendet att utvecklas. ”En annan pedagog (d) betonar:
”Om man lär eleverna att använda det matematiska språket ger man dom
bättre självförtroende. Att dom vågar mer.” Tre pedagoger menar att individanpassa undervisningen är en möjlighet att utveckla det matematiska
språket. En pedagog (d) uttrycker: ”När det är individanpassat kan jag prata
utifrån den elevens förmåga, när jag känner elevens kapacitet. Jag anpassar
mig efter elevens ålder och förmåga.” Två informanter tycker att ett posi45
tivt synsätt på språket ger möjlighet att utveckla det. En informant (b) säger: ”Det är viktigt att försöka få till det att det är kul med matte.” En informant (a) menar att genom att ge eleven en aha-upplevelse kan det matematiska språket utvecklas. ”Svaret, det blir ju dubbelt där med! Det var
häftigt att se hur han kommit på en slutsats alldeles själv.”
6.3 Hinder i arbetet med att utveckla det matematiska språket
I det här området ingår fråga 4 som behandlar vilka hinder som pedagogen
möter i arbetet med att utveckla det matematiska språket och därmed elevernas begreppsförståelse. Resultatet redovisas på organisations-, gruppoch individnivå.
Tabell 6.5
Hinder på organisationsnivå
Hinder
Stora grupper
Lokaler
Bristande resurser
Bristande kompetens hos pedagogen
Schema
Gruppens sammansättning
Ingen specialpedagogisk kompetens
Ledningens stöd
Antal
6
3
2
2
2
1
1
1
Respondenter
a,b,c,e,f,g
b,e,g
b,c
b,d
e,g
e
a
e
Sex pedagoger anser att stora grupper utgör ett hinder att utveckla det matematiska språket. ”Klassens storlek är en väldigt avgörande faktor för hur
mycket man har möjlighet att utveckla det matematiska språket. Är dom 20
får dom 1/20 av tiden i bästa fall”, uttrycker en pedagog (f). Tre respondenter menar att lokalerna kan vara ett hinder. En respondent (g) delger: ”Tillgång till en mattesal är något som har betydelse, att kunna vara på samma
ställe, kunna bygga upp laborativt material som finns till hands och att man
inte behöver springa runt och leta efter allt och att det är på fel ställe.” Två
pedagoger framhåller att bristande resurser, bristande kompetens hos pedagogen och schemat utgör hinder i arbetet med att utveckla det matematiska
språket. Detta kommenteras av pedagogerna så här: ”Det finns inte tillräckligt med resurser, för då skulle vi ju kunna få lite mindre grupper” (b). ”En
del kolleger har inte matematik i sin utbildning. Man kan höja kvaliteten
genom att byta ämnen med varandra (b). ”Det har att göra med var på dagen på schemat som lektionerna ligger, för det är stor skillnad om det är
sent på en fredag eller om det ligger tidigt en tisdagsmorgon (g). En pedagog (e) anser att gruppens sammansättning kan utgöra ett hinder. ”Det är
avgörande hur en klass fungerar men också hur man som pedagog kommer
in i en klass. Det första mötet är viktigt, att man känner att man har klassen
med sig”, uttrycker pedagogen. Brist på specialpedagogisk kompetens likväl som ledningens stöd anser en pedagog vara hinder på organisationsnivå.
Kommentarerna är: ”Det är ett hinder när jag inte får den specialundervisning som jag skulle behöva till dom här gråzonsbarnen som skulle behöva
46
en liten riktad grupp för att kunna utveckla sitt matematiska språk” (a). ”Att
inte få stödet från ledningen som vi borde blir ett hinder” (e).
Tabell 6.6
Hinder på gruppnivå
Hinder
Gruppens sammansättning
Relationer
Brist på medvetet och tydligt språk
Lokalerna
Nivågruppering
Antal
6
4
1
1
1
Respondenter
a,b,c,d,f,g
a,b,c,f
e
g
g
Sex respondenter anger att gruppens sammansättning kan utgöra ett hinder.
”Om det i gruppen finns elever som alltid ska sabba för dom andra, bråka
och prata sönder tiden så fort dom får möjligheten”, säger en respondent
(a). Fyra pedagoger menar att relationerna kan vara ett hinder. ”Om man
har elever i gruppen som passar på varandra, dom vågar inte prata för dom
är rädda att svara fel, att göra bort sig” (a). En pedagog (e) uttrycker att
bristen på ett tydligt språk är ett hinder. ”Jag känner att om jag som pedagog är medveten om språket är det klart att jag förmedlar det, men om jag
inte själv är medveten om hur viktigt det är blir det ingen utveckling för
eleverna.” Lokalerna är ett annat hinder menar en pedagog (g) och uttrycker: ”Ett vanligt klassrum är möblerat för flera sorters ämnen så där kan jag
inte möblera som jag vill i tvågrupp eller fyrgrupp eller runt bord, för det
kanske inte passar ett annat ämne som också ska finnas där”. Även nivågruppering kan utgöra ett hinder att utveckla det matematiska språket, menar pedagogen (g). ”Om dom som är samstämmiga har svårigheter får dom
ingen draghjälp i hur de ska förklara och prata matte.”
Tabell 6.7
Hinder på individnivå
Hinder
Elevens förutsättningar
Sociala förutsättningar
Intresse och motivation
Antal
7
7
3
Respondenter
a,b,c,d,e,f,g
a,b,c,d,e,f,g
e,f,g
Alla pedagoger är överens om att elevens förutsättningar och sociala förutsättningar kan utgöra hinder på individnivå. En pedagog (b) uttrycker:
”Eleven har en tung ryggsäck att bära. Det kan vara läs- och skrivsvårigheter, koncentrationssvårigheter. Fysiska problem eller han har inte möjlighet
att komma ihåg. Kanske dyskalkyli eller ett dåligt ordförråd. Arbetar för
stunden men tar inte in kunskapen, förstår just då men kommer inte ihåg i
morgon. Eleven är kanske hungrig och trött på morgonen, kommer för sent,
den sociala situationen, har kanske bråkat hemma på morgonen.” Tre pedagoger anser att intresse och motivation också kan utgöra hinder att utveckla
det matematiska språket. ”När elevens intresse och motivation brister är det
inte lätt och då blir resultatet därefter”, säger en pedagog (e).
47
6.4 Grundläggande förutsättningar för att utveckla det matematiska
språket
I det här området ingår fråga 5 som behandlar vilka grundläggande förutsättningar som är betydelsefulla för att möjliggöra ett arbetssätt där man
medvetet arbetar med det matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse. Resultatet redovisas på organisations-, grupp- och individnivå.
Tabell 6.8
Grundläggande förutsättningar på organisationsnivå
Grundläggande förutsättningar
Antal
Gruppstorlek
7
Bra lokaler, grupprum
7
Material
5
Fortbildning
5
Styrdokumenten
3
Kompetent pedagog/specialpedagog
3
Kollegers stöd
3
Resurser
2
Ledningens stöd
2
Föräldrars stöd
2
Schema, lagom långa arbetspass
2
Diskussion mellan alla pedagoger i matte
1
Samarbete i arbetslag
1
Respondenter
a,b,c,d,e,f,g
a,b,c,d,e,f,g
a,b,c,d,f
a,c,d,e,g
b,d,g
a,b,c
d,e,g
a,c
d,e
d.g
e,f
e
g
På organisationsnivå anser alla pedagoger att gruppstorleken är en grundläggande förutsättning för att kunna utveckla elevernas matematiska språk.
En pedagog (g) uttrycker: ”Gruppstorleken är väldigt viktig när det handlar
om förutsättningar och möjligheter för olika arbetssätt. Har jag hela klassen
begränsar det möjligheterna att prata och att utveckla och få eleverna att
komma vidare”. Lika många pedagoger anser att det måste finna ändamålsenliga lokaler. ”Jag skulle kunna dela eleverna i grupper om jag hade möjlighet att placera ut dom. Nu sitter hela klassen och jobbar med en
gruppuppgift. Då skulle man kunna jobba ännu mer individualiserat”, uttrycker en pedagog (e). Fem respondenter menar att tillgång på material är
en grundläggande förutsättning. En pedagog (c) säger: ”Att ha material och
att ha ett bra ställe att vara på är grundläggande.” Lika många respondenter
ser möjligheten till fortbildning som grundläggande förutsättningar. ”För
att kunna utveckla eleverna och deras matematiska språk krävs att jag som
pedagog har kunskap. Fortbildning är viktigt då det har hänt mycket under
senare år, ny forskning så det är viktigt att få lära”, uttrycker en pedagog
(g). Tre pedagoger anger betydelsen av styrdokumenten. En pedagog (d)
säger: ”Jag måste vara införstådd med vad styrdokumenten vill få fram, så
jag kan luta mig mot dom.” Lika många anger betydelsen av kompetent
pedagog/specialpedagog och kollegers stöd som grundläggande förutsättningar. En pedagog (c) delger: ”Det är viktigt att ha pedagoger som är engagerade. ”En annan pedagog (a) betonar: Det är grundläggande att elever
48
som är i behov av specialpedagogiskt stöd får det för att kunna utveckla det
matematiska språket.” Ytterligare en pedagog (g) kommenterar: ”Att ha
stöd av kolleger, att jobba i lag med andra kolleger är viktigt, att man får ta
del av hur de tänker för det är så lätt att köra fast i egna spår annars”. Ytterligare förutsättningar på organisationsnivå som ett fåtal pedagoger lyfter
fram är resurser, ledningens stöd, föräldrars stöd samt schemat. Enstaka
pedagoger påtalar diskussioner mellan pedagoger i matematik och samarbete i arbetslagen som grundläggande förutsättningar.
Tabell 6.9
Grundläggande förutsättningar på gruppnivå
Grundläggande förutsättningar
Antal
Gruppens sammansättning
6
Gruppstorlek
4
Varierat arbetssätt teori-praktik
1
Laborativt arbetssätt
1
Respondenter
a,c,d,e,f,g
a,c,e,f
b
c
På gruppnivå anser sex respondenter att gruppens sammansättning har
grundläggande betydelse för utvecklingen av elevens matematiska språk.
”Viktigt att ha grupper som fungerar och ger varandra positiv utveckling”,
säger en pedagog (d). En annan grundläggande förutsättning som fyra pedagoger betonar är gruppstorleken. En pedagog (c) betonar: ”I matematik
ska grupperna inte vara större än 14, sedan tappar man dom och man hinner
inte med alla.” En respondent vardera ser varierat arbetssätt teori-praktik
och laborativt arbetssätt som grundläggande förutsättningar. ”Att man har
ett blandat, varierat arbetssätt där förhoppningsvis alla hittar ett sätt som
passar.” (b)
Tabell 6.10
Grundläggande förutsättningar på individnivå
Grundläggande förutsättningar
Antal
Elevens förutsättningar
7
Ge tid
7
Individanpassat,
5
Muntlig examination
1
Respondenter
a,b,c,d,e,f,g
a,b,c,d,e,f,g
a,b,c,e,g
g
På individnivå är alla överens om att elevens förutsättningar är av grundläggande betydelse, vilket en pedagog (g) uttrycker så här: ” Det handlar
om elevens rena faktakunskaper som dom har med sig sedan tidigare. Om
dom har någon vilja att försöka ta till sig något nytt och om dom har någon
vilja att försöka anstränga sig och göra ett bra jobb eller om det bara handlar om att komma längst ner på sidan så att pedagogen blir nöjd.” Alla pedagoger är också överens om att en grundläggande förutsättning för att utveckla det matematiska språket är att ge tid. ”En del elever skulle behöva
mer tid för att lära sig, att smälta kunskap innan ny läggs på”, betonar en
pedagog (f). En annan pedagog (g) uttrycker: ”Vi skulle vinna mer med det
matematiska språket om vi höll på längre med alla begrepp. Fem respondenter lyfter fram individanpassat lärande som grundläggande förutsätt-
49
ning. ”Att förklara på 20 olika sätt, kanske något passar”, menar en pedagog (b). En pedagog (g) anser att muntlig examination kunde vara betydelsefull för att utveckla det matematiska språket, ”där dom får prata eller
handgripligt visa på något annat sätt att dom kan, så jag vet att eleven förstår det han bör förstå”.
6.5 Det matematiska språkets betydelse för elever i matematiksvårigheter
I det sista området ingår fråga 6 där pedagogerna har besvarat frågan vilken
betydelse för elever i matematiksvårigheter ett arbetssätt har där man medvetet arbetar med det matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse.
En sammanfattning av intervjusvaren visar en samstämmighet från
samtliga pedagoger. Alla anser att ett arbetssätt där man arbetar med det
matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse har betydelse för elever i matematiksvårigheter.
För att förtydliga pedagogernas uppfattning väljer jag att presentera delar av intervjusvaren som citat, då de alla tydligt fokuserar på betydelsen av
det matematiska språket.
… det beror mycket på hur jag pratar det matematiska språket, hur jag väver ihop de matematiska orden med andra ord. (a)
Att eleven har möjlighet att utvecklas och lyckas … dom pratar matte och ritar och klipper
… utan prat och det matematiska språket skulle eleven vara förlorad. (b)
… Prata mycket med eleverna, fråga mycket, hur tänker du? Börjar man tidigt blir det en
vana att sätta ord på saker och ting. … (c)
Det är villkorslöst. Det är förutsättningen … Vilka ord ska hjälpa dom att förstå hur de sedan
ska kunna förklara för mig hur de förstår. … att dom kan både muntligt och skriftligt förklara
och argumentera vad de förstår. … Matematik är att samtala och ställa frågor där man synliggör tankarna. (d)
… jättestor betydelse. För dom är det kanske ännu mer som är oklart och luddigt, som omgivningen tar för givet att man förstår. Då handlar matte inte bara om matematik utan då blir
det verkligen ett främmande språk. Då är det omöjligt att utvecklas matematiskt om man
fastnar på alla begrepp. (e)
… att riktigt jobba med det matematiska språket skulle nog stärka dom och kanske stärka
dom en bit framåt. Just för att det är där dom snubblar. Dom förstår inte egentligen vad frågan handlar om, drygt och andra svåra ord … Vi kan vinna en del om vi arbetar med det matematiska språket. (f)
Jag har på senare år fått en helt annan och djupare förståelse för vad läsning, ord och begrepp
har för inverkan på elevers matematikkunskaper. … att verkligen sitta ner och lyssna, vad är
det eleven läser, eller vad är det egentligen eleven säger? Förstod dom det där som dom sa
eller var det bara en massa bokstäver staplade på varandra? … (g)
50
7 DISKUSSION
Syftet med min studie är att undersöka pedagogers kunskap om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till
ökad begreppsförståelse. I följande kapitel diskuterar jag studiens resultat,
vilket jag kopplar till aktuell forskning, litteratur och teori. Jag har valt att
dela upp diskussionen utifrån syftets frågeställningar i huvudgrupperna:
matematiskt språk, att utveckla det matematiska språket, grundläggande
förutsättningar - möjligheter - hinder, elever i matematiksvårigheter. Eftersom pedagogernas svar till frågeställningarna grundläggande förutsättningar, möjligheter och hinder vid flera tillfällen sammanfaller har jag valt att
diskutera dessa resultat gemensamt i en av huvudgrupperna. Av samma
skäl har jag valt att inte diskutera resultatet på organisations-, grupp och
individnivå. I slutet av kapitlet redovisar jag mina reflektioner på vald teori
samt mina reflektioner på datainsamlingen. Kapitlet avslutas med en sammanfattning samt förslag på fortsatt forskning.
7.1 Matematiskt språk
Det matematiska språket löper som en röd tråd genom den här studien och
väver ihop pedagogernas intervjusvar med teori och aktuell litteratur. De
intervjusvar jag tidigare redovisat i min studie visar pedagogernas samstämmighet när det gäller det matematiska språkets betydelse för att elever
ska nå ökad begreppsförståelse. De menar att språk och matematik går
hand i hand och att det är viktigt att pedagogen använder rätt begrepp och
språkliga uttryck så att eleverna lär sig och kan uttrycka sig med ett matematiskt språk. Det är också viktigt att eleverna förstår vad de matematiska
orden betyder. Pedagogernas tankar stämmer väl överens med vad som uttrycks i styrdokumenten, där det matematiska språkets betydelse för elevernas begreppsförståelse påvisas. Löwings (2006) synpunkt att språket har
avgörande betydelse för inlärningen och att det därför blir en av pedagogens viktiga uppgifter att själv använda och bygga upp ett effektivt matematiskt språk hos eleverna, stämmer väl med intervjusvaren. Precis som
pedagogerna betonar Löwing att i matematikundervisningen måste pedagog
och elever vara överens om de ord som används och att utifrån det språk
som pedagogen använder bygger eleverna på sikt upp ett eget språkbruk i
anslutning till innehållet i undervisningen. Detta styrks av Vygotskij (2005)
som framhåller att den kognitiva utvecklingen hos barn hänger samman
med deras förmåga att använda språket och att begreppsutveckling har avgörande betydelse för barnets språkutveckling.
51
7.2 Att utveckla det matematiska språket
I min studie är alla pedagoger helt överens om att de kan utveckla det matematiska språket och därmed stärka elevernas begreppsförståelse när de
har genomgångar i klassen och då förklarar begrepp/språkliga uttryck. Detta får stöd av Säljö (2006) som menar att när vi använder vårt språk utvecklar och utvidgar vi vårt begreppsinnehåll och begreppsuttryck, dvs. vårt
språk och vår kommunikativa förmåga. Löwing (2004) betonar att en förutsättning för att kunna abstrahera och bygga upp en mer komplex matematik
är att eleven behärskar de speciella begrepp och ord som ger betydelse och
precision i matematiken. Det är viktigt att elever och pedagog har ett
gemensamt språk och är överens om innebörden av de begrepp/språkliga
uttryck som används i undervisningen. Det är också viktigt att pedagogen
behärskar ett språk som fungerar för att förklara på ett formellt sätt, men
också fungerar för att konkretisera och verklighetsanpassa det som ska förklaras för eleverna. Därför är det oerhört viktigt att pedagogen gör språket
synligt och tolkbart för eleverna och att pedagogen vid genomgångar använder ett språk som verkligen når fram till eleverna. Jag menar att pedagogerna i min studie är medvetna om detta. Mina skäl till denna uppfattning är att forskningen under senare år har ökat medvetenheten om det matematiska språkets betydelse, men också för att pedagogerna har arbetet
många år med matematikundervisning och därför precis som Malmer
(2002) uttrycker har stor kunskap om sambandet mellan matematik och
språk.
Pedagogerna i min studie är också helt överens om att när elev och pedagog för en dialog då lösningar och val av strategier diskuteras eller när
elever förklarar begrepp/språkliga uttryck för varandra i samtal och förklarar hur de tänkt och hur de löst uppgiften kan elevernas matematiska språk
utvecklas. Intressant är att relatera pedagogernas uppfattning till Löwing
(2004) som i sin doktorsavhandling undersökte hur pedagoger kommunicerar med sina elever för att stödja deras lärande. Hon fann att pedagog och
elever hade en bristfällig kommunikation med varandra då de saknade ett
gemensamt matematiskt språk och därför ofta talade förbi varandra. De pedagoger jag intervjuat i min studie verkar medvetna om att detta och att
lotsning, dvs. att pedagogen lotsar eleverna förbi olika svårigheter i stället
för att lotsa dem igenom svårigheterna, är en fara speciellt i stressade situationer i stora grupper. Skolverket (2003) framhåller att det sker en utveckling av det matematiska språket om eleverna i samtal får förklara hur de
tänkt och hur de löst uppgifter. Genom samspel och kommunikation med
kamraterna och pedagogen, då eleverna diskuterar olika förslag på lösningar och val av strategier kan deras förståelse utvecklas när de möter andras
sätt att tänka (Gran, 1998; Sterner & Lundberg, 2004). Pedagogernas och
litteraturens uppfattningar finner stöd i den sociokulturella teorin, där Säljö
(2006) betonar att det är genom kommunikation som sociokulturella resur52
ser, dvs. både det verbala och kroppsliga språket samt det intellektuella där
ordförråd och begreppsförståelse byggs upp, skapas och förs vidare genom
kommunikation. Dyste (2003) påvisar att kunskap utformas genom samarbete i ett sammanhang och att samarbete och samspel är det primära för
lärande. Detta synsätt har sin grund hos Vygotskij, som menar att det är
språket och de sociala förhållandena som möjliggör kunskap (Øzerk, 1998;
Hydén, 1981; Vygotskij, 2005).
Alla pedagoger svarar samstämmigt att när undervisningen är verklighetsbaserad och elever/pedagog ritar eller använder bilder tillsammans med
matteprat utvecklas det matematiska språket. Dessa uppfattningar får också
stöd av Sterner och Lundberg (2004) som menar att därigenom kan eleven
nå erfarenheter som sedan kan utvecklas till formella kunskaper och förståelse. Litteraturen framhåller betydelsen av att eleven får använda matematiken i vardagsnära och meningsfulla sammanhang (Malmer, 2002; NCM,
2000; Rystedt & Trygg, 2005; Sterner & Lundberg, 2004) vilket en pedagog uttrycker: ”Jag försöker få in det matematiska språket i verkligheten så
gott det går, som mopeder och hur fort dom går och hur mycket bensinförbrukning det är om man ska räkna division.” Häggblom (2000) menar att
det ställer stora krav på pedagogers ämnesdidaktiska kunskaper att kunna
vardagsanknyta undervisningen. Det handlar om att kunna se matematiken
i elevens tankar och att ge eleven ett redskap, ett matematiskt språk, för att
kunna uttrycka sina tankar och hjälpa dem att utveckla sin matematiska
kunskap.
Nästan alla pedagoger anser att användandet av konkret, laborativt material gynnar utvecklingen av det matematiska språket. I litteraturen (Löwing & Kilborn, 2002; Sterner & Lundberg, 2004) beskrivs att det laborativa materialets funktion är att lyfta fram det matematiska tänkandet och
stödja språkliga förklaringar så att det formella språket och tänkandet knyts
ihop med det informella språket och tänkandet. Genom att skapa en språkutvecklande miljö runt eleven då han/hon arbetar med laborativt material
har eleven goda möjligheter att utveckla det matematiska språket.
Många pedagoger använder ett läromedel som grund i undervisningen
och vid sidan av det arbetar de medvetet för att utveckla det matematiska
språket hos eleverna. Pedagogerna uttrycker att läroboken inte är allt utan
att den kräver att man jobbar och förklarar vid sidan om. Deras uppfattning
är att de inte styrs av läromedlet utan använder det på det sätt som de anser
ger bäst utveckling för eleverna. Löwing (2004; 2008) menar att pedagogens språk i kombination med språket i läroboken är mönsterbildande för
elevernas språkbruk. Om pedagogen är slarvig med sitt språk eller inte
själv behärskar ett matematikdidaktiskt språk, kan det leda till att eleverna
får problem med begreppsbildning och med att uttrycka sig inom detta
språkområde. Intressant i detta sammanhang är att relatera till Myndigheten
för skolutveckling (2008) som delger att någonstans i år 4-6 tycks det fin53
nas en gräns där skillnaderna ökar mellan de elever som förstår texterna i
läroboken och tycker matematik är spännande och utmanande och de som
inte förstår. En orsak till att eleverna har svårt att förstå är att språket som
de möter i skolan, i läroböcker och i uppgifter ställer större krav än tidigare
då det blir mer avancerat vid de skolåren. Därför är det viktigt att varje pedagog arbetar medvetet för att utveckla elevernas matematiska språk.
Mer än hälften av pedagogerna anser att gruppuppgifter där eleverna får
prata matematik, där de får berätta och beskriva för varandra i gruppen, utvecklar det matematiska språket. Detta får stöd av (Ahlberg, 2001; Gran,
1998; Sterner & Lundberg, 2004) som framhåller att när eleverna pratar
och använder det matematiska språket utvecklas deras förståelse för de matematiska begreppen. Även Johnsen Høines (2002) instämmer i resonemanget och menar att när eleven använder språket utvidgar han/hon förståelsen för olika begrepp och utvecklar sitt sätt att språkligt uttrycka det. Eftersom en av uppgifterna på Nationella provet år 9 är en gruppuppgift med
matteprat kanske fler pedagoger borde anamma detta arbetssätt så att eleverna blir vana vid att arbeta så. Styrdokumenten lyfter dessutom fram ett
sådant arbetssätt.
Ett fåtal pedagoger nämner utomhuspedagogik och datorn för att utveckla det matematiska språket. Att inte fler pedagoger anammar datorn i
undervisningen kan bero på att tillgången på datorer i klassrummen är bristfällig. Här finns utvecklingsmöjligheter på organisations-, grupp, och individnivå för att göra datorn till det hjälpmedel som på andra sätt redan finns
i elevernas vardag. Att inte utomhuspedagogik används mer beror troligen
på att ju äldre eleverna blir desto svårare är det att utomhus hitta bra förklaringsmodeller för de begrepp/språkliga uttryck som då används. Därför
är det än mer betydelsefullt att den undervisning som eleverna möter i
klassrummet är verklighetsbaserad. Även här finns utvecklingsmöjligheter
som har stöd i forskningen.
7.3 Grundläggande förutsättningar - möjligheter - hinder
Gruppstorlekens betydelse är en av de grundläggande förutsättningar som
pedagogerna samstämmigt lyfter fram som gynnsam för att utveckla det
matematiska språket. De anser att små grupper med matteprat ger möjlighet
till utveckling och betonar även att stora grupper utgör ett hinder för elevernas matematiska språkutveckling. Detta påvisar samma uppfattning som
Skolverket (2003) redovisar i sin rapport, där pedagogerna upplever stora
grupper som hämmande för att kunna använda varierande arbetssätt.
Löwings (2006) synpunkt att det gäller att successivt utveckla elevens
språk och göra det möjligt för eleven att kommunicera och hantera även
mer formell matematik, anser pedagogerna hindras i den stora gruppen.
Även problemet med att språket används för att lotsa förbi de problem som
ska behandlas, vilket Löwing och Kilborn (2002) påtalar, är enligt pedago54
gerna en uppenbar fara i stora grupper. Pedagogernas och litteraturens uppfattningar får stöd av Dysthe (2003) som beskriver det sociokulturella synsättet på lärande där lärande är situerat, socialt, distribuerat, medierat och
att språket är grundläggande i läroprocessen samt att lärande är deltagande i
en praxisgemenskap. Kanske skulle dessa sex punkter, som redovisas utförligt i kapitel 4.1, förlora sin styrka eftersom kunskap utformas genom samarbete och samspel, vilket kan vara svårt i den stora gruppen. Skolverket
(2003) framhåller att ledning och politiker har det övergripande ansvaret att
ge resurser till verksamheten så att mindre grupper blir en möjlig strategi
för att utveckla matematikundervisningen.
Alla pedagoger lyfter också fram tillgången på bra och ändamålsenliga
lokaler, grupprum och klassrum, med stor tillgång till konkret och laborativt material som en grundläggande förutsättning för att utveckla det matematiska språket. På samma sätt ser de att avsaknad av bra och ändamålsenliga lokaler med brist på konkret och laborativt material blir ett hinder. Pedagogerna anser att genom att organisera matematikundervisningen i en
matematikverkstad och att arbeta med laborativt material får eleverna möjlighet att utveckla det matematiska språket. Deras uppfattning stämmer väl
överens med Rystedt och Trygg (2005) som beskriver att en matematikverkstad ska vara till hjälp för att plocka fram nyfikenhet, fantasi och kreativitet samt bidra till positiva upplevelser och erfarenheter av matematik.
En matematikverkstad är på detta sätt en gynnsam läromiljö, både för elever som behöver extra utmaningar och elever i matematiksvårigheter. Rystedt och Trygg menar att i arbete med laborativ matematik kan diskussioner kring ord och begrepp uppkomma spontant i en grupp med elever, då
de själva upptäcker att de behöver ha tillgång till ett större ordförråd. Resurser för utvecklande av en sådan stimulerande miljö är därför önskvärd.
Dessa synpunkter speglar också Vygotskijs teorier, där han förordar en undervisning som innehåller ett aktivt samspel mellan pedagogen och eleverna eller mellan eleverna (Bråten & Thurmann - Moe, 1998; Hydén, 1981;
Vygotskij, 2005). Strandberg (2006) menar att det är i språket och det sociala samspelet som tänkande börjar och kunskap skapas.
I min studie uppfattar pedagogerna att gruppens sammansättning är en
viktig grundläggande förutsättning för att utveckla elevernas matematiska
språk. På samma sätt uttrycker de att gruppens sammansättning och relationerna mellan eleverna kan utgöra ett hinder. Om eleverna passar på varandra och de inte vågar prata för att de är rädda att göra fel och att göra bort
sig blir det ett hinder menar en pedagog medan en annan pedagog betonar
hur viktigt det är att ha grupper som fungerar och ger varandra positiv utveckling. En orsak till svårigheterna i relationerna mellan eleverna kan vara
att pedagogerna har stora grupper där det finns många elever med olika
förutsättningar och på olika nivå i lärandet. Några pedagoger upplever arbetsklimatet som en möjlighet att utveckla det matematiska språket. Vikten
55
av goda relationer eleverna emellan påvisas i litteraturen (Dysthe, 1996;
Ljungblad, 2003; Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004). Litteraturens
och pedagogernas ståndpunkt angående vikten av goda relationer får även
stöd av Vygotskij (2005) som menar att kunskap förankras först i den sociala aktiviteten för att sedan få fäste i medvetandet. Språket börjar med en
social och interaktiv process och övergår sedan till att bli en inre förståelse.
Först när tanken formuleras i ett samtal och uttrycks, befästs det egentliga
lärandet. Med stöd av Vygotskij uppfattar jag att om relationerna är dåliga i
gruppen kan inte eleverna kommunicera och samspela med kamraterna och
därmed hindrar det möjligheten att utveckla det matematiska språket.
Flera pedagoger uttrycker att självkänsla och självförtroende är möjligheter de möter i arbetet med att utveckla det matematiska språket. Pedagogerna menar att om man lär eleverna att använda det matematiska språket
ger man dem bättre självförtroende så att de vågar mer. Om det är en bra
grupp med tillåtande klimat kan eleven våga prata det matematiska språket
och ta till sig de matematiska orden och därigenom få självförtroende.
Myndigheten för skolutveckling (2008) betonar att det gäller att skapa
språkutvecklande miljöer där eleverna får använda och utveckla det matematiska språket. Genom att bygga ett klassrumsarbete med diskussioner,
laborationer och smågruppsarbete främjas utvecklingen av det matematiska
språket. Dysthe (1996) menar att då dialogen, flerstämmigheten dominerar
i klassrummet, får eleverna möjlighet att samspela med varandra och pedagogen och språket blir en skapande kraft i relationer till andra människor.
Pedagogerna i min undersökning framhåller elevens förutsättningar och
sociala förutsättningar som grundläggande och av största betydelse på individnivå. De menar att det är elevens förutsättningar som utgör både möjligheter och hinder. Pedagogernas svar tolkar jag beror på att dessa förutsättningar är så märkbara i undervisningssituationen och även upplevs tydligt
av pedagogen i relation till eleven. Malmer (2002) påtalar att det finns
många individuella förutsättningar som påverkar elevens möjlighet att utveckla det matematiska språket och därmed stärka elevernas begreppsförståelse. Har eleven en svag kognitiv utveckling får han/hon ofta stora svårigheter i matematik, då det är ett ämne som både kräver omfattande abstraktionsförmåga och koncentrationsförmåga. Neuropsykiatriska problem
är ett annat hinder som ger eleven svårigheter med koncentration, uppmärksamhet och/eller hyperaktivitet. Ytterligare ett hinder för möjligheten
att utveckla en god begreppsförståelse är dyskalkyli, specifika matematiksvårigheter. Andra individuella förutsättningar som kan försvåra inlärningen av matematik är brister i perceptionen, hur individen tolkar det han hör
och ser liksom den språkliga förmågan (Skolutvecklingsenheten, 2003).
Det är vanligt att elever med språkliga svårigheter tenderar att undvika situationer där det ställs krav på språklig och kommunikativ förmåga. Följden blir då att eleverna inte får den språkliga och kommunikativa träning
56
de så väl behöver (Bruce, 2006). En elev med läs- och skrivsvårigheter har
svårigheter med att lära sig nya ord och införliva dem i sitt ordförråd (Sterner & Lundberg, 2004). För att möta eleverna krävs att pedagogen har goda
ämnesteoretiska, pedagogiska och didaktiska kunskaper i och om matematik och är väl bekant med läroplaners och kursplaners mål där kommunikation och reflekterande samspel är viktiga delar (Löwing, 2004; 2006; Sterner & Lundberg, 2004). Malmer (2000; 2002) anser att det är betydelsefullt
att möta eleven där han/hon befinner sig i utvecklingen och att undervisningen utformas utifrån pedagogens kartläggning av elevens totala situation
så att pedagogen ser eleven i ett helhetsperspektiv. Detta gäller både prestation dvs. färdighet och förutsättningar dvs. förmåga.
Ytterligare en förutsättning som kan påverka elevens möjlighet att utveckla det matematiska språket och därmed stärka elevens begreppsförståelse är av sociologisk karaktär som t.ex. brister i elevens hemmiljö (Ahlberg, 2001), vilket också pedagogerna är helt ense om och som en pedagog
uttrycker: ”Eleven är kanske hungrig och trött på morgonen, kommer för
sent, den sociala situationen, har kanske bråkat hemma på morgonen.” Skolan har en viktig roll att stötta de elever som inte har en tillfredsställande
hemsituation. Den sociokulturella teorin ger stöd även här när Vygotskij
poängterar att den kognitiva utvecklingen hos barn hänger samman med
deras förmåga att använda språket. Deras sociokulturella upplevelser och
erfarenheter har betydelse för deras språkliga utveckling. Kunskapen skapas i samspel med andra (Bråten & Thurmann - Moe, 1998; Hydén, 1981;
Vygotskij, 2005). Slutsatsen av detta resonemang är att i en hemmiljö som
inte fungerar sker inte det samspel och den utveckling av språket som möjliggör kunskap, vilket enligt litteraturen också påverkar elevens möjlighet
att utveckla det matematiska språket.
Några pedagoger anser att intresse och motivation också kan utgöra hinder att utveckla det matematiska språket. Detta hinder upplevs tydligt av de
pedagoger som arbetar i de senare åren. Skolverket (2004) redovisar i sin
rapport att lusten att lära matematik och tilliten till den egna förmågan är ett
samband som är mycket stort. I undervisning som utmanar, där det finns en
glädje i att upptäcka och där det finns utrymme för känslor och tankar stimuleras lusten att lära. Precis som Magne (1998) menar jag att motivation
är grundläggande för lärandet, kanske minst lika viktig som inlärningskapacitet eller begåvning.
Pedagogerna är även helt överens om att en grundläggande förutsättning
för att eleverna ska utveckla sitt matematiska språk är att ge tid i lärandet.
Sterner och Lundberg (2004) framhåller att det är oerhört viktigt att pedagogen litar till sin kompetens och ger eleverna den tid de behöver för att i
den takt de har förutsättningar för lära och förstå de grundläggande begreppen. Många pedagoger anser också att det är viktigt att individanpassa undervisningen. Pedagogernas uppfattning sammanfaller med litteraturen,
57
som framhåller vikten av att lärandesituationen för varje elev utgår från
hans/hennes individuella förutsättningar och ger utmaningar på rätt nivå.
Det är som Vygotskij menar viktigt att ge eleverna utmaningar i den närmaste utvecklingszonen, den zon som utgör utrymmet mellan den nivå eleven redan nått och den nivå han/hon är på väg mot i sin utveckling. Undervisning inom den närmaste utvecklingszonen utgår från de processer som
är under utveckling hos varje elev och stimulerar därigenom till vidare utveckling (Bråten & Thurmann - Moe, 1998; Hydén, 1981).
Jag urskiljer sedan att pedagogerna delger olika uppfattningar om vad
som är av grundläggande betydelse, möjligheter eller hinder för att på bästa
sätt utveckla det matematiska språk. Mindre än hälften av pedagogerna påtalar fortbildning och styrdokumenten som betydelsefulla i arbetet med att
utveckla elevernas matematiska språk. Att ha kompetenta pedagoger
och/eller specialpedagoger och tillgång till flera pedagoger anses möjliggöra utveckling av det matematiska språket likväl som att få stöd av kolleger.
Skolverket (2008) redovisar i sin rapport att lärarkompetens enligt forskningen är den enskilt mest betydelsefulla faktorn för pedagogiskt resultat.
Här har ledning och politiker det övergripande ansvaret att ge resurser så
undervisningssituationen kan organiseras på ett genomtänkt sätt så att pedagogens och specialpedagogens kompetens tas tillvara på bästa sätt utifrån
de möjligheter som finns.
Ytterligare varierande uppfattningar om vad som är grundläggande förutsättningar, möjligheter eller hinder för att utveckla det matematiska språket redovisas i min studie. Min tolkning är att de förutsättningar som pedagogerna anser är grundläggande eller utgör möjligheter kan upplevas som
hinder om pedagogerna upplever någon brist i förhållande till dem. De enstaka svaren är heller inte mindre viktiga för pedagogerna utan beror på att
för en pedagog känns en förutsättning viktigare än andra beroende på vilken utgångspunkt pedagogen har i sitt arbete.
7.4 Elever i matematiksvårigheter
Pedagogerna i min studie är alla överens om att ett arbetssätt där man arbetar med det matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse
har betydelse för elever i matematiksvårigheter. Pedagogerna menar att arbetet med att utveckla det matematiska språket för elever i matematiksvårigheter är en förutsättning för att de ska förstå begrepp och språkliga uttryck. Om eleverna snubblar på orden eller fastnar på begrepp och språkliga uttryck blir matematik ett främmande språk där det är svårt att utvecklas
matematiskt. Dessa uppfattningar får stöd av Skolverket (2003) som delger
att med hjälp av språket utvecklas matematiska begrepp, eleven blir medveten om sitt kunnande och om hur man lär. Därför behöver eleverna få tid att
förklara hur de tänkt och hur de löst uppgifter. De behöver få samtala om
matematik för att utveckla sitt matematiska språk, tänkande och förståelse.
58
Pedagogernas uppfattningar och litteraturen får stöd av Vygotskij (2005)
som hävdar språkets stora betydelse för allt lärande. Språket är ett kommunikationsmedel och förhållandet mellan tanke och språk är en levande process. Min tolkning av orsaken till att alla pedagoger ger liknande svar är att
de i undervisningen så tydligt kan få en bild av hur eleverna använder det
matematiska språket och därmed ser kopplingen mellan elevernas förmåga
att uttrycka sig, ordförståelse och begreppsförståelse.
Myndigheten för skolutveckling (2008) påtalar betydelsen av att alla
elever får hjälp med att erövra det matematiska språket och att de lär sig att
ord kan ha både en vardaglig och en matematisk betydelse. Därför är det
viktigt att arbeta med den matematiska betydelsen av ord så de införlivas i
det aktiva ordförrådet. Löwing (2006) beskriver hur termer, begrepp och
innebörd är ömsesidigt beroende av varandra. Kan eleven inte vissa matematiska begrepp eller språkliga uttryck har han/hon svårigheter att förstå
texten i läroboken. Det är också svårt för eleven att förstå pedagogens förklaringar eller att själv ställa frågor till pedagogen om han/hon saknar ord
som förkunskaper för att beskriva ett matematiskt problem. Eleven måste
behärska ett relevant språk för att kunna resonera med sig själv och kunna
kommunicera med sin omgivning. Det är viktigt att pedagogen gör språket
synbart och tolkbart för alla elever, speciellt för elever i matematiksvårigheter. Bruce (2007) fastställer i sin doktorsavhandling, som handlar om
språk- och kommunikationsproblem hos barn och ungdomar, att nyckeln
till hur en elev klarar sig och trivs både i skolan och med sina kamrater är
att han/hon kan förstå och göra sig förstådd i både tal och skrift.
Intressant är att relatera pedagogernas uppfattning till Sjöberg (2006)
som i sin doktorsavhandling undersökte om det stora antal elever i matematiksvårigheter som inte når godkänd nivå i sitt lärande kunde hänga ihop
med att de har dyskalkyli. Det jag vill lyfta fram från avhandlingen är att
undersökningen visar att det finns ett tydligt kommunikationsproblem, då
många elever hellre väljer att vända sig till en kompis när de behöver hjälp
än att fråga pedagogen. Förklaringen är att eleverna inte förstår pedagogen
och att pedagogen är omständlig och krånglar till begreppen. Sjöbergs observationer visar att eleven som frågar i många fall redan befinner sig i
närmaste utvecklingszonen och egentligen bara behöver få kommunikativ
hjälp med att komma vidare i lösningen av problemet. Säljö (2006) beskriver att i utvecklingszonen kan eleven genom handledning följa med i ett
resonemang, men det kan dröja innan eleven själv kan utföra den handling
som grundar sig på resonemanget.
Löwing (2008) menar att för att elever ska kunna lösa matematiska problem, var och en på sin kunskapsnivå, krävs att de begrepp som eleverna
möter i skolan inte är konstanta, utan att de förfinas och görs mer generella
och abstrakta under tiden som eleverna utvecklar sitt kunnande. Häggblom
(2000) konstaterar att det muntliga språket i en social interaktion gör att
59
eleven kan utveckla färdigheter och föra ett matematiskt resonemang: att
reflektera, beskriva, förklara och argumentera för sina lösningar. Detta är
viktigt för alla elever, inte minst för elever i matematiksvårigheter. Ljungblad (2003) anser att för elever i matematiksvårigheter är kommunikationen
viktig, där samspelet och dialogen hjälper eleverna att forma begrepp genom att använda det matematiska språket. Pedagogerna måste se både språket och matematiken eftersom det finns ett viktigt samband mellan dem.
7.5 Mina reflektioner på vald teori
Sammanfattningsvis menar jag att de pedagoger jag intervjuat, med den
kunskap om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse, väl stödjer sig på den sociokulturella teorin. Speciellt Vygotskijs idéer har framstått som betydelsefulla.
Hans syn på det dialogiska mötet, meningsfulla interaktioner och utvecklingszoner, liksom språkets betydelse för begreppsutveckling och begreppsförståelse, återfinns hos pedagogerna i min studie. Vygotskijs syn stämmer
väl överens med de resultat jag fått i min studie på följande sätt.
Det dialogiska mötet lyfts samstämmigt fram av pedagogerna i min studie. Pedagogerna uttrycker betydelsen av en undervisning där aktivt samspel mellan pedagogen och eleverna eller mellan eleverna stimulerar varje
enskild elev att nå allt högre i sin utveckling. Genom att samspela med
andra kommer eleven i kontakt med kunskap och genom att samspela
språkligt utvecklas språket. Det är i språket och det sociala samspelet som
tänkandet börjar och kunskap skapas. Meningsfulla interaktioner samt utvecklingszoner lyfter också pedagogerna fram i min studie. Genom att skapa en språkutvecklande miljö runt eleven där språket och de sociala förhållandena möjliggör kunskap då eleven i samspel med kamrater får använda
t.ex. bilder, laborativt material eller rita tillsammans med matteprat, anser
pedagogerna att det matematiska språket utvecklas. Pedagogernas uppfattning är att det är betydelsefullt att i matematikundervisningen ge varje elev
utmaningar på rätt nivå inom den närmaste utvecklingszonen. Undervisning inom den närmaste utvecklingszonen utgår från de processer som är
under utveckling hos varje elev och stimulerar därigenom till vidare utveckling. När det gäller språkets betydelse för begreppsutveckling och begreppsförståelse återfinns pedagogernas samstämmighet i Vygotskijs syn
där han framhåller att den kognitiva utvecklingen hos barn hänger samman
med deras förmåga att använda språket och att begreppsbildning har avgörande betydelse för elevernas språkutveckling.
Sammanfattningsvis framträder teorierna i pedagogernas samstämmighet att om pedagogen i matematikundervisningen arbetar medvetet med det
matematiska språket och eleven får arbeta språkligt aktivt i samspel med
pedagog/kamrater finns förutsättningar för att elevens matematiska begreppsförståelse utvecklas. Pedagogerna i min studie anser att faktorer av
60
betydelse för att utveckla elevens matematiska begreppsförståelse är att
eleven får arbeta i en liten grupp i en ändamålsenlig lokal med god tillgång
till konkret och laborativt material där arbetssättet är verklighetsbaserat och
under ledning av kompetent pedagog/specialpedagog. Dessa faktorer är resultatbaserade men inte teoribaserade och finner således inget stöd i den
sociokulturella teorin. Det som ändå är intressant att lyfta fram att diskutera
är att pedagogerna är så eniga i att en liten grupp är bäst för att utveckla
elevernas matematiska språk. I min studie framkommer att gruppsammansättningen också har betydelse, inte bara gruppstorleken. En liten grupp kan
vara en fast indelning som ofta tillämpas för elever i särskilda behov. Det
kan också vara så att man delar in klassen i smågrupper för att göra vissa
uppgifter. Forskningen i enlighet med Salamancadeklarationen är ganska
samstämmig i att för de lågpresterande eleverna är det bästa att vara i den
vanliga klassen och inte i särskild undervisningsgrupp. I svensk grundskola
finns idag en tendens att man löser problem med att skapa särskilda undervisningsgrupper för de elever som på något sätt avviker. En sådan åtgärd
motiveras med att det blir bättre för de elever som flyttas till den särskilda
undervisningsgruppen och bättre för de elever som är kvar i klassen. Skolverket (2008) anser att särskilda undervisningsgrupper måste vara tillfälliga
och att undervisningen där måste utvärderas kontinuerligt. Jag uppfattar
inte att pedagogerna i min studie eftersträvar att ha fasta små grupper utan
att de vill ha flexibla gruppstorlekar som kan förändras beroende på det arbete eleverna ska utföra och de behov eleverna har. Målet är att utveckla
det matematiska språket och därmed stärka elevernas begreppsförståelse.
7.6 Mina reflektioner på datainsamlingen
Jag inledde min studie med en enkätundersökning till 31 pedagoger som
arbetar med matematik i år 4 till år 9 samt i specialundervisningen i kommunen. Tack vare en hundraprocentigt svarsfrekvens kunde jag utifrån enkätsvaren välja ut pedagoger att intervjua som har stor kunskap om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till
ökad begreppsförståelse. När jag utarbetade enkäten var min avsikt att den
enbart skulle användas för att finna pedagoger till urvalet i min studie. Enkäten skulle utgöra en kvantitativ förundersökning till en kvalitativ undersökning och fick därför ingen noggrann utformning. Kanske kan detta ha
styrt mitt resultat då frågorna på enkätformuläret hade olika många svarsalternativ och det inte framgick hur många svar som förväntades på varje
fråga. Kanske hade min urvalsgrupp sett ut på ett annat sätt om enkätfrågorna hade utformats mer noggrant.
När jag gjorde min pilotintervju gav huvudfrågorna god information och
utförliga svar, vilket jag menar berodde på att den tidigare c-uppsatsen gett
mig kunskap som jag kunde använda vid intervjutillfället. Jag bedömer att
jag genom de sju intervjuerna fick upplysningar som svarade på mitt syfte
61
och mina frågeställningar. Min erfarenhet från intervjuerna är att pedagogerna har till stora delar samstämmig kunskap när det gäller hur elever kan
utveckla det matematiska språket. Denna kunskap överensstämmer också
väl med forskning inom området. Eftersom jag i intervjuerna ville ha en
spridning från år 4 till år 9 samt i specialundervisningen valde jag att intervjua sju pedagoger. Med facit i hand borde jag kanske ha intervjuat färre
pedagoger då alla intervjuer gav mig stort material att analysera. Eftersom
pedagogerna till stora delar gav samstämmiga svar hade troligen färre intervjuer inte påverkat resultatet negativt.
7.7 Sammanfattning
Avslutningsvis vill jag påstå att jag nått resultat som motsvarar mitt syfte,
att få en bild av pedagogers kunskap om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse. De
paralleller jag kan dra från den förra studien (kapitel 1.1) med de resultat
jag fann i den här studien är att pedagogerna anser att det matematiska
språket är oerhört viktigt för att eleverna ska förstå matematiken. När eleverna arbetar språkligt aktivt kan deras begreppsförståelse stärkas. Den här
studien ger liknande svar som den förra studien, men är nu mer besvarad på
djupet. Faktorer av betydelse för att stärka elevernas begreppsförståelse är
t.ex. att eleven får arbeta verklighetsbaserat i liten flexibel grupp i en ändamålsenlig lokal med god tillgång till konkret och laborativt material. En
skillnad i resultatet av de båda studierna visar att det inte är lika vanligt att
arbeta med utomhuspedagogik på högre stadier. En förklaring kan vara att
ju äldre eleverna blir desto svårare är det att utomhus hitta bra förklaringsmodeller för de begrepp/språkliga uttryck som då används. Att arbeta med
gruppuppgifter med matteprat är också ett arbetssätt som förekommer mer
sällan ju äldre eleverna blir. Organisatoriska svårigheter hindrar ett sådant
arbetssätt, enligt pedagogerna i min studie. Då jag har gjort min studie i en
kommun som har matematikutvecklare finns goda möjligheter att med deras hjälp ge pedagogerna ökad kunskap inom dessa områden. Mitt arbete
som specialpedagog blir betydelsefullt när det gäller att visa på utvecklingsmöjligheter med fokus på det matematiska språket. Min studie har
gett mig många tankar och kunskaper som jag har stor nytta av då jag i mitt
fortsatta specialpedagogiska arbete undervisar elever, handleder pedagoger
samt i utvecklingsarbete bidrar till att stärka det matematiska språket i matematikundervisningen.
7.8 Fortsatt forskning
Det vore intressant att forska vidare för att longitudinellt undersöka hur ett
medvetet språkligt arbete för elever i matematiksvårigheter skulle främja
utvecklingen av elevernas matematiska språk så att det påverkar deras möjlighet att nå godkänt resultat i matematik.
62
REFERENSER
Ahlberg, Ann (2001). Lärande och delaktighet. Lund: Studentlitteratur.
Alvesson, Mats & Sköldberg, Kaj (2007). Tolkning och reflektion.
Vetenskapsfilosofi och kvalitativ metod. Lund: Studentlitteratur.
Bell, Judith (2000). Introduktion till forskningsmetodik. Lund:
Studentlitteratur.
Bruce, Barbro (2006). Språkliga svårigheter hos skolbarn. I: Louise
Bjar (red.) Det hänger på språket! Lund: Studentlitteratur.
Bruce, Barbro (2007). Problems of language and communication in
children. Identification and intervention. Doktorsavhandling. Lund:
Lund University, Faculty of medicine Doctoral Dissertation Series.
No 14.
Bråten, Ivar & Thurmann – Moe, Anne Cathrine (1998). Den närmaste
utvecklingszonen som utgångspunkt för pedagogisk praxis. I: Ivar
Bråten (red.) Vygotskij och pedagogiken. Lund: Studentlitteratur.
BrØrup, Mogens, Hauge, Lene & Lyager Thomsen, Ulrik (2006).
Psykologiboken om barn, unga och vuxna. Lund: Studentlitteratur.
Dysthe, Olga (1996). Det flerstämmiga klassrummet. Lund:
Studentlitteratur.
Dysthe, Olga (2003). Dialog, samspel och lärande. Lund:
Studentlitteratur.
Evenshaug, OddbjØrn & Hallen, Dag (2005). Barn- och ungdomspsykologi. Lund: Studentlitteratur.
Gran, Bertil (1998). Matematik på elevens villkor. I: Bertil Gran (red.)
Matematik på elevens villkor. Lund: Studentlitteratur.
Gustafsson, Bengt, Hermerén, Göran & Petersson, Bo (2004). Vad är god
forskningssed? Synpunkter, riktlinjer och exempel. Stockholm:
Vetenskapsrådet.
Holme, Idar Magne & Solvang, Bernt Krohn (2006). Forskningsmetodik.
Lund: Studentlitteratur.
Hydén, Lars-Christer (1981). Psykologi och Dialektik. L. S. Vygotskij.
Malmö: Norstedt & Söners Förlag.
Häggblom, Lisen (2000). Räknespår. Barns matematiska utveckling från 6
till 15 års ålder. Doktorsavhandling. Åbo: Åbo Akademiska tryckeri.
Johnsen HØines, Marit (2002). Matematik som språk. Verksamhetsteoretiska perspektiv. Malmö: Liber AB.
Kvale, Steinar (1997). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund:
Studentlitteratur.
Larsson – Svärd, Gunnel (1999). Åtgärdsprogram för barn med behov av
särskilt stöd. Lund: Studentlitteratur.
Liljegren, Britta (2000). Elever i svårigheter. Lund: Studentlitteratur.
63
Lindqvist, Agneta & Pettersson, Ann-Charlotte (2006). Begreppsförståelse. Förutsättningar för elever i matematiksvårigheter.
(Examensarbete i specialpedagogik) Malmö: Lärarutbildningen,
Ljungblad, Ann -Louise (2003). Att möta barns olikheter.
Varberg: Argument.
Lpo 94 (1999). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet. Stockholm: Utbildningsdepartementet.
Lundberg, Ingvar & Sterner, Görel (2006). Räknesvårigheter och lässvårigheter under de första åren – hur hänger de ihop?
Stockholm: Natur och Kultur.
Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2002). Baskunskaper i matematik
förskola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur.
Löwing, Madeleine (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. En studie av kommunikation lärare – elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Doktorsavhandling.
Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.
Löwing, Madeleine (2006). Matematikundervisningens dilemman. Hur
lärare kan hantera lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur
Löwing, Madeleine (2008). Grundläggande aritmetik. Matematikdidaktik
för lärare. Lund: Studentlitteratur.
Magne, Olof (1998). Att lyckas med matematik i grundskolan. Lund:
Studentlitteratur.
Malmer, Gudrun (2000). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds förlag AB.
Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla. Nödvändig för elever
med inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur.
Merriam, Sharon. B (1994). Fallstudien som forskningsmetod. Lund:
Studentlitteratur.
Myndigheten för skolutveckling (2008). Mer än matematik – om språkliga
dimensioner i matematikuppgifter. Stockholm: Liber Distribution.
NCM, Nationellt centrum för matematikutbildning (2000). Matematik från
början. Nämnaren Tema. Göteborg: Nationellt centrum för
matematikutbildning.
NCM, Nationellt centrum för matematikutbildning (2001). Hög tid för
matematik. NCM-rapport 2001:1. Göteborg: Nationellt Centrum för
matematikutbildning.
NCM, Nationellt centrum för matematikutbildning (2005). Matematik – ett
kommunikationsämne. Nämnaren Tema.
Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning.
Nuaclér, Kerstin & Magnusson, Eva (2003). Språkstörningar i tal och
skrift. I: Louise Bjar (red.) Barn utvecklar sitt språk. Lund:
Studentlitteratur
Rystedt, Elisabeth & Trygg, Lena (2005). Matematikverkstad. Göteborg:
Nationellt centrum för matematikutbildning.
64
Sjöberg, Gunnar (2006). Om det inte är dyskalkyli – Vad är det då? En
multimetodstudie av eleven i matematikproblem ur ett longitudinellt
perspektiv. Doktorsavhandling. Umeå: Institutionen för matematik,
teknik och naturvetenskap, Umeå universitet.
Skolutvecklingsenheten (2003). Vän med matematiken. Rapport 1. Tema:
Matematik. Göteborgs stad: Skolutvecklingsenheten.
Skolverket (2000). Grundskolan Kursplaner och betygskriterier.
Stockholm: Skolverket och Fritzes.
Skolverket (2003). Lusten att lära - med fokus på matematik. Nationella
kvalitetsgranskningar 2001 - 2002. Rapport nr. 221.
Stockholm: Skolverket och Fritzes.
Skolverket (2004). Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens.
SOU 2004: 97. Stockholm: Skolverket och Fritzes.
Skolverket (2008). Särskilt stöd i grundskolan. En sammanställning av
senare års forskning och utvärdering. Stockholm: Skolverket och
Fritzes.
Sterner, Görel & Lundberg, Ingvar (2004). Läs- och skrivsvårigheter och
lärande i matematik. NCM-rapport 2002:2. Göteborg:
Göteborgs universitet.
Strandberg, Leif (2006). Vygotskij i praktiken. Bland plugghästar och
fusklappar. Finland: Norstedts Akademiska Förlag.
Stukát, Staffan (2005). Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. Lund: Studentlitteratur.
Säljö, Roger (2006). Lärande i praktiken. Ett sociokulturellt perspektiv.
Stockholm: Norstedts Akademiska förlag.
Trost, Jan (2001). Enkätboken. Lund: Studentlitteratur
Vygotskij, Lev (2005). Tänkande och språk. Uddevalla: Bokförlaget
Daidalos AB.
Øzerk, Kamil Z (1998). Olika språkuppfattningar, begreppsteorier och ett
undervisningsteoretiskt perspektiv på skolämnesinlärning. I: Ivar
Bråten (red.) Vygotskij och pedagogiken. Lund: Studentlitteratur.
65
66
Bilaga A
Enkät
Jag arbetar med matematik tillsammans med elever i
år 4-6
år 7-9
GRS
Specialundervisningen År ________
•
På varje fråga markerar du ditt svar med ett eller flera kryss!
1. Hur är arbetet tillsammans med eleverna organiserat?
i helklass
i halvklass
i liten grupp, ca. 2-5 elever
enskilt
2. Arbetar du medvetet för att utveckla det matematiska språket hos dina elever?
ja
nej
3. Hur undervisar du vid muntlig genomgång av nytt eller redan känt inlärningsstoff?
utan dialog med eleverna.
eleverna inkluderas genom dialog.
genom olika exempel från läroboken.
genom att hämta exempel från elevernas verklighet.
genom att ställa frågor till eleverna av typen: Vad är area? Vad betyder procent?
genom att visa olika sätt att förklara, t.ex. symboliskt, numeriskt, verbalt och/eller
bildligt.
genom att endast använda numeriskt uttryckssätt.
4. Hur ofta diskuterar eleverna matematik i par/grupp?
ofta
ibland
sällan
5. Hur hjälper du oftast en elev som har svårigheter med en matematikuppgift?
har dialog med eleven men använder inte matematiskt språk.
har dialog med eleven och använder matematiskt språk.
har monolog med eleven, vilket gör att eleven lotsas fram till rätt svar.
6. Hur arbetar du med det matematiska språket för att utveckla elevernas begreppsförståelse?
enskilt räknande i läroboken som utgångspunkt, därifrån förtydligas aktuella
begrepp.
har dialog/samtal med eleverna, då begrepp förtydligas.
har dialog/samtal med enskild elev, då begrepp förtydligas.
eleverna diskuterar och löser en matematisk uppgift i grupp.
eleverna diskuterar och löser en matematisk uppgift i par.
67
Bilaga A
7. Hur upptäcker du att en elev har en bristfällig förståelse av begrepp?
genom kartläggning
genom prov eller test
vid samtal i vardagliga situationer
vid samtal/diskussioner i matematikundervisningen
8. Hur stor del av de elever som du arbetar tillsammans med upplever du har svårigheter med
begreppsförståelse?
alla
de flesta
ett fåtal
ingen
9. Vilka av dessa organisatoriska exempel anser du gynnar utveckling av det matematiska
språket och därmed begreppsförståelsen?
helklass
halvklass
resurs i klassen av speciallärare eller pedagog
enskild tid för eleven hos speciallärare
grupp hos speciallärare
10. Vad behövs för att möjliggöra ett arbetssätt där man medvetet arbetar med det matematiska språket som verktyg för begreppsförståelsen?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
11. Vilken betydelse för elever i matematiksvårigheter har ett arbetssätt där man medvetet
arbetar med det matematiska språket som verktyg för begreppsförståelsen?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Namn:_______________________________ Enhet:________________________________
Ett stort TACK för att Du svarade på enkäten!
Med vänliga hälsningar
Agneta Lindqvist
68
Bilaga B
xxx 2 februari 2008
Bästa kollega!
I januari 2007 var jag klar med utbildningen till specialpedagog. I utbildningen läste vi litteratur om matematik och det gjorde mig intresserad av vad som i mötet med elever i matematiksvårigheter på bästa sätt kan utveckla deras begreppsförståelse och därmed ge dem bättre förutsättningar att lösa matematiska problem. C-uppsatsen kom därför att handla om Begreppsförståelse. Förutsättningar för elever i matematiksvårigheter.
Arbetet med c-uppsatsen har gjort mig än mer intresserad av språkets betydelse för att förstå
matematiken. Därför började jag en magisterutbildning på distans hösten 2007. Jag har nu
påbörjat en magisteruppsats, där jag utifrån c-uppsatsen kommer att ”dyka djupare” i sambandet mellan matematik och språk.
Inom detta ämnesområde vill jag fördjupa mig genom att intervjua pedagoger som arbetar
med matematik från år 4 till år 9 samt i specialundervisningen inom alla enheter i vår kommun. För att få insikt i pedagogers uppfattning och erfarenhet av hur det matematiska språket
inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse kommer jag att inleda arbetet med
en enkätundersökning.
För mig är det mycket värdefullt att få veta Din uppfattning inom detta område och jag är därför mycket tacksam om Du vill hjälpa mig i undersökningen genom att fylla i enkäten.
Målet med enkätundersökningen är att jag genom svaren ska få hjälp att välja intervjupersoner. Därför är enkätundersökningen inte anonym. Däremot behandlas alla enkäter konfidentiellt och inga namn kommer att röjas i mitt fortsatta arbete.
Enkäten innehåller frågor med fastställda svarsalternativ och kompletteras med två öppna
frågor där Du själv formulerar Ditt svar.
Du får tillsammans med detta brev en beskrivning av hur jag enligt litteraturen valt att definiera ordet begrepp. Detta för att alla ska ha samma förförståelse när enkäten ska fyllas i.
Jag är mycket tacksam för Din hjälp och sänder ett stort TACK på förhand!
Med vänlig hälsning
Agneta Lindqvist
tel. xxx
xxx@xxx
69
70
Bilaga C
Intervjufrågor - huvudfrågor
1. Vad är matematiskt språk för dig?
Vilka begrepp/olika språkliga uttryck är särskilt viktiga att eleverna lär sig?
Vilka begrepp/olika språkliga uttryck är speciellt svåra?
2. Hur arbetar du för att utveckla det matematiska språket och därmed stärka elevernas
begreppsförståelse?
(metoder - arbetssätt - läromedel - hjälpmedel - kommunikation …)
3. Vilka möjligheter möter du i arbetet med att utveckla det matematiska språket och
därmed elevernas begreppsförståelse:
•
på organisationsnivå?
•
på gruppnivå?
•
på individnivå?
4. Vilka hinder möter du i arbetet med att utveckla det matematiska språket och därmed
elevernas begreppsförståelse:
•
på organisationsnivå?
•
på gruppnivå?
•
på individnivå?
5. Vilka grundläggande förutsättningar är betydelsefulla för att möjliggöra ett arbetssätt där
man medvetet arbetar med det matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse:
•
på organisationsnivå?
•
på gruppnivå?
•
på individnivå?
6. Vilken betydelse för elever i matematiksvårigheter har ett arbetssätt där man medvetet
arbetar med det matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse?
71
72
Bilaga D
xxx 15 februari 2008
Bästa kollega!
Med utgångspunkt från den enkätundersökning Du deltog i har jag valt ut sju kolleger att intervjua, vilka arbetar med matematik från år 4 till år 9 samt i specialundervisningen i xxx
kommunala skola. Din intervju, tillsammans med de övriga, kommer att utgöra underlag för
min studie. Syftet med studien är att undersöka pedagogers kunskap om och erfarenhet av hur
det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse och därmed
skapar bättre förutsättningar att lösa matematiska problem.
När vi talades vid och bestämde tid för intervjun fick Du information om de villkor som gäller
för intervjun. Jag kommer att spela in intervjuerna på band, för att kunna göra noggranna analyser. Banden kommer att förstöras efter min examination. All information som jag får ta del
av under intervjuerna kommer att behandlas konfidentiellt. Givetvis kommer inga namn att
förekomma i studien som kan härledas till Dig eller Din skola.
Du får tillsammans med detta brev de huvudfrågor som jag kommer att ställa under intervjutillfället. Du får också en beskrivning av hur jag enligt litteraturen valt att definiera ordet begrepp samt ett förtydligande av hur jag enligt litteraturen valt att definiera organisations-,
grupp- och individnivå. Detta för att alla ska ha samma förståelse vid intervjutillfället.
Jag ser fram emot att få ta del av Din erfarenhet och kunskap. Om Du är intresserad skickar
jag gärna ett färdigt arbete till Dig.
Om Du undrar över något, så tag gärna kontakt med mig.
Jag är mycket tacksam för Din hjälp och sänder ett stort TACK på förhand!
Med vänliga hälsningar
Agneta Lindqvist
tel. xxx
xxx@xxx
73
74
Bilaga E
Definition av ordet begrepp
Ordet begrepp kommer ursprungligen från det fornsvenska begripa som i sin tur kan härledas
från det lågtyska begripen med betydelsen gripa (med tanken). Med begrepp menas ofta en
sammanfattning av utmärkande egenskaper hos exempelvis en grupp objekt, en grupp händelser eller en grupp beteenden. Förståelse för begreppet area innefattar t.ex. insikter i:
• att det är ett mått på storleken av en begränsad yta
• att områden med olika form kan ha samma area
• att även om två områden har samma omkrets kan arean variera
• vad som skiljer area från andra egenskaper hos ett geometriskt objekt
• hur area kan bestämmas och vilka enheter som kan användas
(Rystedt & Trygg, 2005, s. 55)
De begrepp med olika språkliga uttryck som ingår i strävansmålen i Lpo 94 är bl.a.: area, volym, längd, massa, tid, procent, bråk, vinklar, överslagsräkning, skala, tabeller, diagram, sannolikhet och ekvationer.
Att förstå begrepp är viktigt för att kunna jämföra och se skillnader i vardagliga situationer. I
matematiken behövs en god begreppsförståelse när det gäller benämningar för t.ex.:
• färg, form, storlek och utseende
• jämförelseord som svarar på frågan hur, t.ex.
storlek, t.ex. liten - mindre - minst
antal, t.ex. flest, färre
kvantitet (volym), t.ex. litet - mindre - minst
massa (vikt), t.ex. tyngre, lättare
längd, t.ex. lång- längre - längst
höjd, t.ex. låg - lägre - lägst
bredd, t.ex. bred - bredare - bredast
tjocklek, t.ex. tunn - tunnare - tunnast
ålder, t.ex. gammal - äldre - äldst, ung - yngre - yngst
pris, t.ex. dyr - dyrare - dyrast, billig - billigare - billigast
och
ord som ofta används i kombination med jämförelseorden,
t.ex. hälften, halv, udda, ringa, drygt, knappt
• lägesord som svarar på frågan var, t.ex.
i, på, över, först, sist, före, efter, överst, i början, i slutet, framför, bakom, bredvid,
mellan, närmast, utanför, ovanför
• tidsord som svarar på frågan när, t.ex.
varannan, i förrgår, i fjol, i övermorgon, ständigt, sällan, ibland, emellanåt
(Malmer, 2002)
75
76
Bilaga E
Definition av organisations-, grupp- och individnivå
Organisationsnivå
Organisationsnivån är den nivå där politiker och ledning ger förutsättningarna för skolans
arbete och den nivå där pedagogen inte själv kan bestämma över eller förändra på egen hand.
Det kan vara svårt att avgöra vad som hör till organisationsnivå och vad som hör till gruppnivå då det inte finns några tydliga gränser utan kan variera från skola till skola. Förutsättningar
som påverkar elevens situation på organisationsnivå är:
- styrdokumenten
- timplanen
- skolans värdegrund
- skolans syn på elever i svårigheter
- skolans starka och svaga sidor
- skolans resurser
- pedagogernas kompetens
- arbetslaget
- samarbete mellan arbetslag
- specialpedagogisk kompetens
- elevhälsoteam
- tillgång till annan yrkeskompetens ex. psykolog
- pedagogisk handledning
- flexibla gruppstorlekar
- lokalernas utformning.
Gruppnivå
På gruppnivå är pedagogerna på skolan själva med och påverkar och förändrar. Den pedagogiska och didaktiska verksamheten i arbetslaget ligger på gruppnivå, där pedagogerna har
inflytande över relationerna människor emellan. Det kan vara mellan pedagog och elev och
mellan olika elever.
Eleven påverkas på gruppnivån av:
- relationerna mellan eleverna
- arbetet i arbetslaget
- arbetet mellan arbetslaget
- relationerna mellan eleverna och läraren
- att ta tillvara på den specialpedagogiska kompetensen i gruppen
- reflektion i arbetslaget
- läromedlets roll i gruppen
- arbetsformer och arbetssätt
- möjlighet till ämnesöverskridande temaarbete
- pedagogisk differentiering, nivågruppering
- elevernas delaktighet
- gruppens struktur
- gruppens planering
- kontinuerlig dokumentation
- provtillfällenas utformning och variation
- inköp av material och läromedel
- läxhjälp och
- tillgången av vikarier.
77
Bilaga E
Individnivå
På individnivå är det pedagogens ansvar att se varje enskild elevs behov och förutsättningar.
Eleven påverkas på individnivå av:
- hela sin situation
- sina individuella förutsättningar gällande; syn, hörsel, motorik, social förmåga, kognitiv förmåga, koncentrationsförmåga och förmåga till uppmärksamhet
- sin förmåga att utvecklas i matematik
- sina starka sidor
- sin delaktighet i matematikarbetet
- provsituationernas utformning
- hur arbetet är organiserat
- vilka arbetssätt och metoder som används
- tillgången till hjälpmedel, ex. miniräknare, bilder
- tillgången till konkret, laborativt material
- att kunna se sin egen utveckling
- matematiksvårigheter
- kommunikationssvårigheter
- läs- och skrivsvårigheter
- sina upplevelser av matematikarbetet.
(Ljungblad, 2003)
78