TSRT62 Modellbygge & Simulering Föreläsning 7 Christian Lyzell Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för Systemteknik Linköpings Universitet C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 1 / 28 Sammanfattning: Föreläsning 6 Modellutvärdering: Överanpassning Validering mot data som inte använts vid skattning Kriterier som bestraffar antalet parametrar Residualtester Fysikaliska modeller kontra svartlådemodeller C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 2 / 28 Föreläsning 7: Fysikaliska principer Innehåll Allmänna modelleringsprinciper Fysikaliska modeller: dimension, dimensionslösa variabler Modellförenkling Analogier mellan fysikaliska domäner Läsanvisning: Kapitel 4 – 5 i boken C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 3 / 28 TSRT62 Modellbygge och simulering Ickeparametriska metoder Bindningsgrafer Systemidentifiering Parametriska metoder C. Lyzell (LiTH) Fysikaliska principer Differentialalgebraiska ekvationer TSRT62 Modellbygge & Simulering Objektorienterat modellbygge 2013 4 / 28 Allmänna modelleringsprinciper: Trefasmetoden Övergripande princip för modellbygge Fas 1: Vilka variabler påverkar varandra? Uppdelning i delsystem. Allmän struktur. C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 5 / 28 Allmänna modelleringsprinciper: Trefasmetoden Övergripande princip för modellbygge Fas 1: Vilka variabler påverkar varandra? Uppdelning i delsystem. Allmän struktur. Fas 2: Fysikaliska basekvationer. Dimensioner. Approximationer. Idealiseringar. C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 5 / 28 Allmänna modelleringsprinciper: Trefasmetoden Övergripande princip för modellbygge Fas 1: Vilka variabler påverkar varandra? Uppdelning i delsystem. Allmän struktur. Fas 2: Fysikaliska basekvationer. Dimensioner. Approximationer. Idealiseringar. Fas 3: Strukturera ekvationerna. T.ex. en tillståndsbeskrivning. C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 5 / 28 Dimensionslösa variabler Några historiska passagerarfartyg: Kaiser Wilhelm der Grosse (1898), 22 knop, 200m Lusitania (1909), 25 knop, 240m Rex (1933), 27 knop, 269m Queen Mary (1938), 29 knop, 311m foto: Olivier Aumage Varför är kvoten hastighet/(roten ur längden) ungefär konstant (0:8 i SI-enheter)? Varför är värdet för Titanic avsevärt lägre? C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 6 / 28 Dimension Fysikaliska variabler har dimension (betecknas med hakparentes). C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 7 / 28 Dimension Fysikaliska variabler har dimension (betecknas med hakparentes). Exempelvis gäller att [densitet] = ML [kraft] = M · där M = [massa]; C. Lyzell (LiTH) 3 L = MLT T2 T = [tid]; 2 L = [längd] TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 7 / 28 Dimension Fysikaliska variabler har dimension (betecknas med hakparentes). Exempelvis gäller att [densitet] = ML [kraft] = M · där 3 L = MLT T2 M = [massa]; T = [tid]; Exempel: I Bernoullis lag v = p2gh gäller h p i 2 L = [längd] v = gh C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 7 / 28 Dimension Fysikaliska variabler har dimension (betecknas med hakparentes). Exempelvis gäller att 3 [densitet] = ML [kraft] = M · där L = MLT T2 M = [massa]; T = [tid]; Exempel: I Bernoullis lag v = p2gh gäller h p i p v = gh = LT 1 (LT 2 2 L = [längd] L) 0:5 = L0 T0 Alltså, v = gh är ett exempel på en dimensionslös storhet. C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 7 / 28 Buckinghams sats Fysikaliska samband måste vara dimensionsmässigt “korrekta”. Buckinghams sats: Dimensionsmässigt korrekta samband kan skrivas om som samband mellan dimensionslösa variabler. C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 8 / 28 Framdrivning av farkoster Hur beror motståndet vid framdrivning av fordon (t.ex. fartyg) av olika faktorer? Relevanta variabler: F kraften g tyngdkraftsaccelerationen V hastigheten d relevant längddimension viskositeten densiteten c ljudhastigheten C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 9 / 28 Framdrivning: Dimensionslösa variabler Bland de sju variablerna kan man bilda fyra oberoende dimensionslösa variabler: Pc = F V 2d 2 Vd Tryckkoefficienten Re = Reynolds tal M = Vc Machtalet Fr = V2 gd Froudes tal Kraften för att driva fram en farkost ges alltså av F = V 2 d 2 f (Re ; M ; Fr ) för någon funktion f . C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 10 / 28 Elektriska Kretsar: Komponenter Relation mellan spänning u(t) och ström i(t) C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 11 / 28 Elektriska Kretsar: Komponenter Relation mellan spänning u(t) och ström i(t) Spole: u(t) = L C. Lyzell (LiTH) d i(t); dt i(t) = 1 L Zt TSRT62 Modellbygge & Simulering u(s) ds 0 2013 11 / 28 Elektriska Kretsar: Komponenter Relation mellan spänning u(t) och ström i(t) Spole: d i(t); dt i(t) = d u(t); dt u(t) = u(t) = L 1 L Zt Kondensator: i(t) = C C. Lyzell (LiTH) 1 C TSRT62 Modellbygge & Simulering u(s) ds 0 Zt i(s) ds 0 2013 11 / 28 Elektriska Kretsar: Komponenter Relation mellan spänning u(t) och ström i(t) Spole: d i(t); dt i(t) = d u(t); dt u(t) = u(t) = L 1 L Zt Kondensator: i(t) = C 1 C u(s) ds 0 Zt i(s) ds 0 Motstånd (linjärt) u(t) = Ri(t) C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 11 / 28 Elektriska Kretsar: Sammankopplingar Kirchoffs lagar för ström och spänning Strömmar summeras till noll vid knutpunkt: X k ik = 0; k = k ( +1; ik inåtriktad 1; ik utåtriktad Spänningar runt en slinga summeras till noll: X k C. Lyzell (LiTH) k uk = 0; k = ( +1; ik spänningsökning 1; ik spänningsfall TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 12 / 28 Exempel: Elektrisk krets R C. Lyzell (LiTH) + vs L C TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 13 / 28 Exempel: Elektrisk krets L R + vs C Tillståndsmodell: di 1 = (vs dt L dvc 1 = i dt C C. Lyzell (LiTH) Ri vc ) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 13 / 28 Mekanik (Translation): Komponenter Relation mellan kraft F (t) och hastighet v (t) C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 14 / 28 Mekanik (Translation): Komponenter Relation mellan kraft F (t) och hastighet v (t) Newtons andra lag: d F (t) = m v (t); dt C. Lyzell (LiTH) 1 v (t) = m TSRT62 Modellbygge & Simulering Zt F (s) ds 0 2013 14 / 28 Mekanik (Translation): Komponenter Relation mellan kraft F (t) och hastighet v (t) Newtons andra lag: d F (t) = m v (t); dt 1 v (t) = m Fjäder: 1 d F (t); v (t) = k dt C. Lyzell (LiTH) Zt F (s) ds 0 Zt F (t) = k TSRT62 Modellbygge & Simulering v (s) ds 0 2013 14 / 28 Mekanik (Translation): Komponenter Relation mellan kraft F (t) och hastighet v (t) Newtons andra lag: d F (t) = m v (t); dt 1 v (t) = m Fjäder: 1 d F (t); v (t) = k dt Zt F (s) ds 0 Zt F (t) = k v (s) ds 0 Friktion (viskös) F (t) = bv (t) C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 14 / 28 Mekanik (Translation): Sammankopplingar Krafter summeras till noll vid knutpunkt: X k Fk = 0 k Hastigheter lika vid knutpunkt: 1 v1 = 2 v2 = = n vn C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 15 / 28 Exempel: Mekaniskt system m C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 16 / 28 Exempel: Mekaniskt system m Tillståndsmodell: dv 1 = (F dt m dFk = kv dt C. Lyzell (LiTH) bv Fk ) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 16 / 28 Hydraulik: Komponenter Relation mellan tryck p(t) och flöde Q(t) C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 17 / 28 Hydraulik: Komponenter Relation mellan tryck p(t) och flöde Q(t) Vätska i rör, acceleration genom tryckskillnad: p(t) = Lf C. Lyzell (LiTH) d Q(t); dt Q(t) = 1 Lf TSRT62 Modellbygge & Simulering Zt p(s) ds 0 2013 17 / 28 Hydraulik: Komponenter Relation mellan tryck p(t) och flöde Q(t) Vätska i rör, acceleration genom tryckskillnad: p(t) = Lf d Q(t); dt Q(t) = d p(t); dt p(t) = 1 Lf Tank, lagring av flöde Q(t) = Cf C. Lyzell (LiTH) 1 Cf TSRT62 Modellbygge & Simulering Zt p(s) ds 0 Zt Q(s) ds 0 2013 17 / 28 Hydraulik: Komponenter Relation mellan tryck p(t) och flöde Q(t) Vätska i rör, acceleration genom tryckskillnad: p(t) = Lf d Q(t); dt Q(t) = d p(t); dt p(t) = 1 Lf Tank, lagring av flöde Q(t) = Cf 1 Cf Zt p(s) ds 0 Zt Q(s) ds 0 Strömningsmotstånd (laminär strömning) p(t) = Rf Q(t) C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 17 / 28 Hydraulik: Sammankopplingar Flöden summeras till noll vid knutpunkt: X k Qk = 0 k Tryck lika vid knutpunkt: 1 p1 = 2 p2 = = n pn C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 18 / 28 Exempel: Hydraliskt system 6 6 Q1 pa - Q3 Q2 p1 - p2 Q4 - pb Q5 Vätskan är inkompressibel. pa , p1 , p2 och pb är tryck. Q1 , Q2 , Q3 , Q4 och Q5 är volymflöden. C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 19 / 28 Termiska system: Komponenter Relation mellan temperatur T (t) och värmeflöde q(t) C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 20 / 28 Termiska system: Komponenter Relation mellan temperatur T (t) och värmeflöde q(t) Uppvärmning (lagring av värmeflöde): q(t) = C C. Lyzell (LiTH) d T (t); dt T (t) = 1 C TSRT62 Modellbygge & Simulering Zt q(s) ds 0 2013 20 / 28 Termiska system: Komponenter Relation mellan temperatur T (t) och värmeflöde q(t) Uppvärmning (lagring av värmeflöde): q(t) = C d T (t); dt T (t) = 1 C Zt q(s) ds 0 Värmemotstånd (1=U) q(t) = AU(T1 C. Lyzell (LiTH) T2 ) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 20 / 28 Analogier Analogier: eletriskt – mekaniskt – hydrauliskt – termiskt Två typer av variabler I I A. Flödesvariabler ström hastighet volymflöde värmeflöde B. Intensitetsvariabler spänning kraft tryck(fall) temperatur För båda dessa finns additionsregler C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 21 / 28 Analogier: Flödesupplagring Flödesupplagring: C· d (intensitet) = flöde dt C “kapacitans” Elektriskt: kapacitans Mekaniskt: invers fjäderkonstant Hydrauliskt: flödeskapacitans A=(g ) Termiskt: värmekapacitet C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 22 / 28 Analogier: Intensitetsupplagring Intensitetsupplagring: L· d (flöde) = intensitet dt L “induktans” Elektriskt: induktans Mekaniskt: massa Hydrauliskt: inertans `=A Termiskt: — C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 23 / 28 Analogier: Förluster Förluster: intensitet = (flöde) flöde = (intensitet) Elektriskt: resistans Mekaniskt: friktion Hydrauliskt: strömningsmotstånd Termiskt: värmemotstånd Ofta linjärt samband i det elektriska fallet – olinjärt i de övriga (kan eventuellt approximeras med linjärt vid små förändringar av variablerna) C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 24 / 28 Modellförenkling Små effekter försummas; approximativa samband Separation av tidskonstanter Aggregering av tillstånd C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 25 / 28 Modellförenkling: Små effekter försummas; approximativa samband Detta sker alltid. Man antar t.ex. att något är masslöst friktionslöst inkompressibelt linjärt perfekt blandat ideal gas Viktigt: balanserade approximationer C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 26 / 28 Separation av tidskonstanter Långsamma storheter approximeras som konstanta. Snabba storheter approximeras som oändligt snabba – dynamiska samband blir statiska. C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 27 / 28 Aggregering av tillstånd Flera tillståndsvariabler sammanförs till en. Mest drastiskt exempel: rumsdiskretisering av partiella differentialekvationer – oändligt många tillstånd approximeras av ett fåtal. C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 28 / 28