Specialarbete
i matematik
LENNART RÅDE
Hur stimulerar vi de elever som är speciellt intresserade av matematik och dess
tillämpningar? Stimulansuppgifter, specialarbete och fritt valda områden (på 2och 3-åriga gymnasielinjer) är några möjliga sätt. Men det kan vara svårt att hitta
lämpliga uppgifter och texter.
Lennart Råde ger förslag på lämpliga områden, där det finns elevinstruktioner
och lärarhandledningar att tillgå.
Ett delprojekt inom ARK
Specialarbete, som förhoppningsvis bara tillfälligt utgått ur gymnasieskolans verksamhet, innebär att eleverna under en vecka självständigt får
arbeta med ett projekt inom ett för dem intressant ämnesområde. Specialarbeten inom matematik har väl inte förekommit så ofta, möjligen på
grund av svårigheter att hitta lämpliga projekt.
Men med tillgång till datorer och programmerbara miniräknare föreligger rika möjligheter att ge
eleverna spännande projekt med matematisk anknytning. Ett delprojekt inom ARK-gruppens arbete har avsett att utforma instruktioner till sådana specialarbeten. Inom projektet har elevinstruktioner med lärarhandledningar utarbetats
för följande specialarbeten:
1 Fibonacci
2 Nikomachos och Euklides
3 Primtal
4 Flicka eller pojke
5 Ekonomi
6 Stokastisk geometri
7 Statistisk databehandling.
Här följer några exempel på aktiviteter som
eleverna får genomföra i dessa specialarbeten.
Fibonacci
I det här specialarbetet får eleverna genomföra
olika undersökningar, som avser följden av Fibonaccital, dvs talföljden
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .
Talföljden definieras av den rekursiva formeln
Till att börja med får eleverna beräkna talföljden, vilket kan ske på många olika sätt. I figuren
visas två olika möjligheter att utforma ett program i basic för beräkning av talföljden
Eleverna får sedan bl a utforma ett program som
undersöker följden av kvoter Fn+ 1 / Fn som
konvergerar mot gyllene snittet (1 + 5) / 2. Vidare
får de genomföra en mera omfattande undersökning, som avser Fibonaccitalen (modulo m), dvs
en talföljd, som t ex definieras rekursivt av
Fn + 2 = Fn + 1 +
10Fn,
F1 = F2 = 1,
där additionen ska ske modulo 10. Talföljden blir
då periodisk, och eleven får utforma ett program
som bestämmer perioden då additionen sker modulo m. Slutligen får de undersöka vilka av t ex
de 50 första Fibonaccitalen som är primtal samt
bestämma primtalsfaktoriseringen av de 50 första
Fibonaccitalen, som inte är primtal.
Ekonomi
Det här specialarbetet avser ekonomiska beräkningar på programmerbar miniräknare, t ex
sammansatt ränta, sparande, rabatt och priskalkylering. Eleverna får t ex arbeta med följande
problem, som avser rabatt.
"En postorderfirma tillämpar följande rabattsystem på inkommande order. Vid inköp upp
till högst 1 000 kr ges 5 procent rabatt. På ett
inköpspris överstigande 1 000 kr men högst
2 000 kr ges 8 procent rabatt. På ett inköpspris överstigande 2 000 kr men högst 5 000 kr
ges 10 procent rabatt och på inköp överstigande 5 000 kr ges 12 procent rabatt. Skriv ett
program, som för ett godtyckligt inköpspris
ger det rabatterade inköpspriset.
Använd programmet för att upprätta en
tabell över inköpspris och motsvarande rabatterade inköpspris."
Programmet för uppgiften kan utformas enligt
det här flödesdiagrammet:
Flicka eller pojke
I det här specialarbetet får eleverna arbeta med en
demografisk frågeställning. De får med simulering genomföra undersökningar av vad som gäller
för familjestorleken och könsfördelningen i ett
Vidare studeras könsproportionen i fyra-, femoch sexbarnsfamiljer samt en matematisk modell
för tvillingfödslar, se diagram:
samhälle där konsekvent familjeplanering tillämpas, t ex enligt regeln "minst en pojke och minst
en flicka". Flödesdiagrammet visar hur man kan
simulera en familj enligt denna "stoppregel".
Primtal
I detta specialarbete får eleverna bl a utforma
program för att undersöka om ett givet positivt
heltal är primtal eller ej. Vidare bestämmer de
stora primtal och primtal bland Fibonacci-talen
och Mersenne-talen samt utformar program för
beräkning av en tabell över primtalstvillingar.
Vidare undersöker de vissa talteoretiska funktioner samt utformar program för att bestämma
uppdelningen i primtalsfaktorer av ett givet positivt heltal n. Slutligen beräknar eleverna de s k
superprimtalen. Talet 3793 är ett sådant tal. Det
är nämligen ett primtal, och det är också talen
379, 37 och 3, som man får genom att successivt
stryka siffror från höger i det ursprungliga talet.
Stokastisk geometri
Detta specialarbete anknyter till både sannolikhetslära och geometri och avser simulering av
slumpförsök med geometrisk anknytning.
Eleverna får t ex simulera försöket att välja två
punkter på måfå i en kvadrat och sedan bestämma avståndet mellan de valda punkterna. Flödesdiagrammet visar hur ett datorprogram i basic
kan utformas för denna simulering.
Vidare får de genomföra motsvarande undersökningar i rum av tre och högre antal dimensioner.
Det följande är ytterligare exempel på slumpmässiga försök med geometrisk anknytning som
eleverna studerar genom simulering i detta specialarbete.
En sträcka av längden 1
delas på måfå i tre delar.
Skatta med simulering
sannolikheten att man kan
bilda en triangel av de tre
delarna.
Tre punkter A, B och C
väljs på måfå i en kvadrat
med sidan 1. Skatta med
simulering väntevärdet av
den bildade triangelns
area.
Fyra punkter A, B, C och
D väljs på måfå i en kvadrat med sidan 1. De fyra
punkterna
bestämmer
fyra trianglar. Skatta med
simulering väntevärdet av
den största
triangelns
area.
Tre punkter A, B och C
väljs på måfå i en kvadrat. Skatta med simulering sannolikheten att den
bildade
triangeln
är
trubbvinklig.
Elevinstruktioner — lärarhandledningar
Ett stort antal elever har utnyttjat de framställda
specialarbetena, som för övrigt har varierande
svårighetsgrad. T ex är specialarbetet "Ekonomi" väl tillrättalagt för eleverna med utförliga
instruktioner, medan t ex specialarbetet "Primtal" är betydligt mer krävande.
Anm:
Elevinstruktioner och lärarhandledningar till de
olika specialarbetena kan kostnadsfritt beställas
från artikelförfattaren. (Adress finns i detta nummers innehållsförteckning.)
Eleverna får också utforma program för simulering av t ex 1 000 upprepningar av försöket och
beräkna medelvärde av de erhållna avstånden.
