Gymnasiets och högskolans matematik i samklang

Gymnasiets och högskolans
matematik i samklang
Några tänkbara konkreta
framtidsperspektiv
Matematikersamfundets
utbildningsdag 2005
Gerd Brandell
Lunds universitet/LTH
Tema
Matematik för fortsatta studier.
Gymnasiets mål : förbereda för fortsatta
studier vid högskola (och för
yrkesverksamhet)
 Detta föredrag behandlar inte
medborgarkunskaper i matematik

(ett annat viktigt mål för skolmatematiken)



Anknytning matematik – andra ämnen
Vilka behöver matematik i högskolan?
Gymnasiet




Högskolan







Dagens dolda kursplaner i gymnasiet
Gymnasiets matematikinnehåll i framtiden
Förstärkning av matematiken i dagens gymnasium
Högskolans behörighetskrav
Förutsättningar för förändringar inom högskolan
Synen på matematik – en ”massa formler”
”Vi är inte dumma- vi är ovana” – om matematiska
kompetenser
Lugnare start, flexibilitet
Teknologin i matematik – strutspolitik?
Om glappet gymnasium–högskola består?
Anknytning andra ämnen
Exempel - priselasticitet



Hur mycket minskar efterfrågan om priset höjs?
Modell: proportionalitet om det gäller små ändringar
Bäst att mäta ändringar i både pris och efterfrågan som
relativ förändring :
q  q0
p  p0

q0
p0
p är pris och q är kvantitet
 definieras som priselasticiteten
Anknytning andra ämnen
Exempel - priselasticitet
q  q( p), där p är pris och q kvantitet hos en vara
d(ln q)
dq p

(
)
d(ln p) dp q
ln q  ln p
ln q  ln q0 (ln p  ln p0 )
q q0
p  p0
ln(1
)   ln(1
)
q0
p0
Anknytning andra ämnen
Matematisk bakgrund
Matematiken i
priselasticiteten bygger
på begreppen
 Linjär approximation
 Derivata
 Logaritm(funktion)
som i sin tur bygger på
 Funktion
 Exponentialfunktion
 Invers funktion
 Räta linjen (lutning,
tillskott)
som i sin tur bygger på
 Proportionalitet
 Negativa tal
Anknytning andra ämnen
Väl utvecklad begreppskunskap
Annat
matematiskt
begrepp
Begrepp i
annat ämne
(tillämpning)
Matematiskt
begrepp
Annat
matematiskt
begrepp
Erfarenheter
från världen
utanför
skolan
Anknytning andra ämnen
Begreppskunskap, exempel
Kunskap om sambandet mellan
marginalkostnad och derivata ger ökad
kunskap både om derivata och om
marginalkostnad.
 Kunskap om ekonomiska modeller där en
matematisk behandling av
marginalkostnad ingår ger ytterligare
förstärkning av kunskapen om derivata.

Anknytning andra ämnen
Derivata - två tankesätt/skrivsätt
två olika matematiska definitioner

Derivata som gränsvärde av differenskvot
anknyter till förändringshastighet
s  f (t)
s
v  f ( t)  s 
t

Derivata som koefficient i differentialen
anknyter till marginaleffekter/linjär appr.
q  q( p)
q  q0  A( p  p0 )
q  q0  A( p  p0 )
Anknytning andra ämnen
Matematikinnehållet bör styras av
framtida studier
Verktyget
 Matematiken behövs i högskolestudierna
Studenten
 Motivationen ökar
Matematiken
 Ger bättre kunskaper i matematik
Vilka behöver matematik vid högskolan?
Grupp 1: Matte på högskolan Grupp 2: Natvet mm (ma D)
Grupp 3: Ekonomi mm (ma C ) Grupp 4: Vård mm (ma B)
ej läst i högskolan
54,2%
grupp 1
9,4%
övriga som läst i
högskolan
7,8%
grupp 4
8,3%
grupp 3
8,7%
grupp 2
11,6%
Kvinnor, andel av en årskull
Vilka behöver matematik vid högskolan?
Grupp 1: Matte på högskolan Grupp 2: Natvet mm (ma D)
Grupp 3: Ekonomi mm (ma C ) Grupp 4: Vård mm (ma B)
ej läst i
högskolan
65,3%
övriga som läst
i högskolan
3,8%
grupp 4
2,0% grupp 3
5,8%
grupp 2
5,6%
Män, andel av en årskull
grupp 1
17,5%
Vilka behöver matematik vid högskolan?
Hösten 2004 börjar cirka



15 000 studenter på program inom teknik (cirka
hälften civ.ing.)
bakgrund fr gymn : NV
10 000 studenter på program inom ekonomi –
bakgrund fr gymn : SP, inriktn ek, sh
8000 studenter på program inom vården
(största gruppen blivande sjuksköterskor) –
bakgrund fr gymn : Omvårdnadsprogrammet
Dolda kursplaner





Trappstegsmodellen (kurs A-E) är dåligt
anpassad till innehållskraven
En flora av varianter på kurserna har vuxit fram
”Sanktionerade” avvikelser från kursplanerna
Speciell situation för matematiken
Svårigheter kvarstår



Tidsaspekten
Kompromisser om innehållet
Gemensamma prov
Gymnasiets matematikinnehåll i framtiden - inför kursplanereformen
Matematikinnehåll Vårdsektorn
Repetition och fördjupning grundskolekurs
 Statistik
 Algebra
 Tillväxt, tillbakagång, funktionssamband
 Modellering: biologi, fysiologi, genetik,
”läkemedelsräkning” och allmänt

Gymnasiets matematikinnehåll i framtiden - inför kursplanereformen
Matematikinnehåll Ekonomisektorn









Repetition och fördjupning grundskolekurs
Statistik
Algebra
Potenser och logaritmer
Räta linjen
Polynom, 2ra grad
Funktioner: linjära, polynom, potenser, exp, log, flera
variabler
Derivata, linjära approximationer: tillväxt, optimering,
konvexitet
Modellering: ekonomi och allmänt
Gymnasiets matematikinnehåll i framtiden - inför kursplanereformen
Matematikinnehåll Tekniksektorn











Repetition och fördjupning grundskolekurs
Statistik och sannolikhetslära
Algebra
Geometri
Potenser och logaritmer
Trigonometri
Funktioner: linjära, polynom, potenser, exp, log, trig
Derivata, förändringshastighet: Optimering, analys av
funktioners egenskaper
Integraler
Diskret matematik
Modellering: fysik, kemi, biologi, teknik och allmänt
Förstärkning i dagens gymnasium
Ma Breddning som högskoleförberedande


Kunskaperna från alla kurserna A–C, A–D eller
A–E (och grundskolans matematik) behöver
förstärkas
Valbar kurs: Matematik Breddning ger utmärkta
möjligheter




Innehållet kan styras
Man kan ge gott om tid
Plats både för procedurkunskap och
begreppskunskap
Rätt få läser Matematik breddning idag
Skapa en ”Lugn och ro”-kurs
Förstärkning i dagens gymnasium
Algebran




Satsa på stödprogram för elever med brister i
algebra redan från år 1
Följ upp individuella elever kontinuerligt
Ge gott om TID
Grunda algebrastödet på forskning:



Process - objekt
Olika representationer (symboler, bilder, tabeller,
diagram)
Påståenden och uttryck
Gymnasiet – högskolan
Behörighet, högskolan

Behåll/inför de ”rätta” behörighetskraven i
matematik





Ma E för civ.ing.utbildn
Ma C för ekonomutbildn och samhällsvetare i
allmänhet
Ma B för socionomer
Ma A för alla som inte har annat krav - även t ex
jurister
Relevant matematik måste ingå i nya
antagningsprovet för civilingenjörsutbildn.
Förändringar inom högskolan
Omvärldsengagemang



Påverka kursplanearbetet (Skolverket)
Samarbeta med gymnasieskolor
Följ med i den forskning/utveckling som sker
t. ex:



Uppföljning av förkunskaperna, Umeå
Projektet Gymnasiets mål och högskolans
förväntningar i matematik, KTH
Avhandlingar: om algebra (gymn), om elevers
läsförmåga (gymn), om probelmlösn (högskolan)
Synen på matematik
Matematik=formler och procedurer?
Många studenter får sin syn på matematik som en
samling regler förstärkt vid högskolan pga:

Glappet från gymnasiet - högskolan möter inte
studenten på hennes/hans nivå

”Pensumdöd” och tidsbrist
”Typtal” - löses med mönsterpassning
Litteraturen svårbegriplig/ studenterna läser den inte
eller inte på rätt sätt
Ytinriktat lärande



”Vi är inte dumma - vi är ovana”
Är det fel på studenterna?
De allra flesta studenter kan lära sig den matematik som
krävs, men många får inte rätt stöd och ökar därför inte
sin matematiska mognad
Attityderna hos lärarna viktiga


Första steget: Gör upp med arrogans och elitism!
Andra steget: Lyssna på studenterna för att lära!
Lärarna ska




Ha höga förväntningar på studenternas arbetsinsats
och engagemang
Ha höga förväntningar på att alla kan lära sig
Lyssna och föra dialog
Ställa realistiska krav (tid och omfång)
”Vi är inte dumma - vi är ovana”
Kompetenser i matematik
enligt danska KOM-projektet
Frågor och svar
 Tankegång
 Resonemang
 Modellering
 Problembehandling
Språk och redskap
 Representation
 Kommunikation
 Symbol- och
formalism
 Tekniska hjälpmedel
Lugnare start

Upphämtningskurser







”Lugn och ro”-kurser även på högskolan
Planera utifrån listan över KOMpetenser
Använd diagnosinstrument
Ge möjlighet till differentiering
Erbjud speciella handledningsgrupper
Använd nätbaserat material
Skola in i föreläsningskulturen


Korta föreläsningar
Uppföljning av föreläsningarna
Teknologi i matematiken
Datorer och miniräknare är här för att stanna strutspolitik att inte försöka hantera situationen
konstruktivt - man får prova sig fram
Princip: Låt datorn/miniräknare stödja lärandet av
begrepp, behåll delar av handarbetet
Gymnasiet: övergå från miniräknare till att också
använda datorer
 Högskolan: skapa kontinuitet i användningen av
miniräknare och datorer
 Satsa på egna (bärbara) datorer och bra program
Finns många bra program förutom de mer professionella
(Maple, Matlab, Mathematica): Cabri, Geometer´s
Sketchpad, Derive m fl

Om gymnasiet och högskolan inte
lyckas anpassa matematiken?
Det finns en flora av alternativ:
 Komvux, komplettering
 Basår på komvux
 Basår på högskolan
 Extra termin - collegetermin
 Överbryggningskurser (även nätbaserade)
 Mer grundläggande matematik i
tillämpningsämnena
Längre överbryggningsprogram mellan
gymnasiet och högskolan
Positivt
 Ger fler studenter
möjlighet att
förbereda sig bättre
 Ger fler studenter
möjlighet att skaffa
behörighet
Negativt
 Dyrbart för samhället
 Passar dåligt i ett
Bologna-system
 Stora grupper av
individer förlorar tid
 Skapar nya kulturklyftor

Material, matematikdelegationen, arbgrp 11-H
www.maths.lth.se/matematiklth/personal/gerd/

Algebra i gymnasiet
Per-Eskil Persson, Bokstavliga svårigheter, Luleå
tekniska univ, 2005

”Lugn och ro”-kurs
www.sm.luth.se/~harry/matog/
www.theducation.se/

Förberedelsekurser
www.netuniversity.se/
Sammanfattning
Vänta inte in förbättring
av grundskolans matematik!
Gymnasiet






A och O: nya kursplaner
Matematikinnehåll utifrån
tillämpningar
Anknyt till högskolans
stora avnämare
Pensumdöden kan ta kål
på alla goda ambitioner
KOM-petenserna!
Algebran
Högskolan






Rätta behörighetskrav
Möt studenterna på rätt
nivå
Lugnare start
Alternativa vägar till
samma mål
Komma bort från
mönsterpassningsstudier
Integrera teknologin