Föreläsning 10

1
Föreläsning 10
7.3.1-7.3.3, 7.3.6, 8.1.2 i Griffiths
Maxwells ekvationer (Kap. 7.3)
Våra modellagar, som de ser ut nu, är

∂B(r, t)


Faradays lag
∇ × E(r, t) = −



∂t

∇ × H(r, t) = J (r, t) Ampères lag


∇ · D(r, t) = ρ(r, t) Gauss lag




∇ · B(r, t) = 0 Flödeskonservering
Maxwell insåg att dessa ekvationer inte var kompletta!! Kontinutetsekvationen
∇·J =−
∂ρ
∂t
är ej uppfylld!! Vi ser att så är fallet genom att ta divergensen på Ampères lag.
0 = ∇ · (∇ × H) = ∇ · J
Motsägelse!!
Det fattas en term på höger sida. Gauss lag medför
∂ρ
∂
∂
= ∇·D =∇· D
∂t
∂t
∂t
Modifierad (korrekt) version av Ampères lag är
∇ × H(r, t) = J (r, t) +
∂D(r, t)
∂t
Notera kopplingen mellan H- och D-fälten.
Anmärkning: Den extra termen
ofta för förskjutningsströmmen.
Vi får Maxwells fältekvationer:
∂
D
∂t
fungerar som en strömtäthet, och kallas
∂B(r, t)
Faradays lag
∂t
∂D(r, t)
Ampères (generaliserade) lag
∇ × H(r, t) = J (r, t) +
∂t
∇ · D(r, t) = ρ(r, t) Gauss lag
∇ · B(r, t) = 0 Flödeskonservering
∇ × E(r, t) = −
2
eller på integralform
ZZ
Z
d
B · n̂ dS Faradays lag
E · dℓ = −
dt S
ZL
ZZ
d
H · dℓ = Ienc +
D · n̂ dS Ampères (generaliserade) lag
dt S
L
ZZ
D · n̂ dS = Qenc Gauss lag
S
ZZ
B · n̂ dS = 0 Flödeskonservering
S
Vi har nu samtliga ekvationer för de elektromagnetiska fälten.
Lösning av skenbar paradox
a
C
I(t)
d
Tidsvarierande strömkälla
A. Ampères lag (före Maxwell)
Z
B · dℓ = µ0 Ienc (t)
L
1. Om strömmen beräknas genom "plana ytan" Ienc (t) = I(t), vilket leder
till ett konsistent resultat
2. Om vi istället väljer en yta genom kondensatorn (ingen ström korsas!) blir
Ienc (t) = 0, vilket leder till en motsägelse, eftersom tangentlinjeintegralen
av B är skild från noll
B. Ampères lag (Maxwell)
Z
ZZ
∂E
· n̂ dS
B · dℓ = µ0 Ienc + ε0 µ0
L
S ∂t
Det elektriska fältet utanför kondensatorn är försumbart, E ≈ 0. Inuti kondensatorn gäller
E(t) =
ρS (t)
Q(t)
=
ε0
ε0 A
⇒
∂E(t)
1 ∂Q(t)
I(t)
=
=
∂t
ε0 A ∂t
ε0 A
3
eftersom strömmen I(t) =
dQ
.
dt
1. Om strömmen beräknas genom "plana ytan"
ZZ
∂E
·n̂ dS = µ0 I(t)
µ0 Ienc + ε0 µ0
∂t
S |{z}
≈0
2. Om vi istället väljer en yta genom kondensatorn (ingen ström korsas!)
blir
ZZ
∂E
I(t)
µ0 Ienc +ε0 µ0
· n̂ dS = ε0 µ0
A = µ0 I(t)
|{z}
ε0 A
S ∂t
=0
Båda resultaten är nu konsistenta.
Randvillkor (Kap. 7.3.6)
(Randvillkoren tas upp i föreläsning 12. Där används de för att bestämma reflektion
och transmission av elelktromagnetiska vågor) De till Maxwells ekvationer förenliga
randvillkor blir:
^
n
1
2
S
1.
n̂ × E 1 − n̂ × E 2 = 0
(tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)
2.
n̂ × H 1 − n̂ × H 2 = J Sf
(tangentialkomponenten av den magnetiska fältstyrkan är diskontinuerlig med
språng J Sf , fria ytströmmar)
3.
n̂ · B 1 − n̂ · B 2 = 0
(normalkomponenten av den magnetiska flödestätheten är alltid kontinuerlig)
4.
n̂ · D 1 − n̂ · D2 = ρSf
(normalkomponenten av den elektriska flödestätheten är diskontinuerlig med
språng ρSf , fria ytladdningar)
4
Poyntings teorem (Kap. 8.1.2)
Använd vektoridentiteten
∇ · (E × H) = (∇ × E) · H − E · (∇ × H)
Sätt in Faradays och Ampères lagar (index f slopas)
∂B
∂D
∇ · (E × H) = −
· H − E · Jf +
∂t
∂t
Antag, linjärt, isotropt (µ, ε konstanta) material, dvs.
(
D = εE
B = µH
Detta leder till
∇ · (E × H) = − µ
∂E
∂H
−E · J f
· H −ǫ E ·
|∂t{z }
| {z∂t}
∂
(H·H)
= 21 ∂t
=−
∂
(E·E)
= 21 ∂t
1∂
(B · H + D · E) − E · J f
2 ∂t
Här är J f den fria strömtätheten.
Antag en volym V som omsluts av en yta S med utåtriktad normal n̂. Integrera
uttrycket ovan över volymen V .
^
n
S
V
Resultatet blir
ZZZ
ZZZ
ZZZ
1
d
E · J f dv +
∇ · (E × H) dv = 0
(B · H + D · E) dv +
dt
V 2
| V {z
} |
{z
} | V
{z
}
term 1
term 2
term 3
(0.1)
Tolkning:
5
Term 1 Denna term
ZZZ
E · J f dv
V
visade vi tidigare var effektutvecklingen P , som det elektriska fältet utför på
de fria laddningsbärarna (jfr P = RI 2 )
Term 2 Denna term är tidsderivatan av den energi som är upplagrad (bunden) i
de elektriska och magnetiska fälten, dvs.
ZZZ
dWem
1 d
(B · H + D · E) dv
=
dt
2 dt
V
där
Wem
1
=
2
ZZZ
(B · H + D · E) dv
V
Term 3 Ny term relaterad till strålning. Divergenssatsen ger
ZZZ
ZZ
∇·(E×H) dv =
(E×H)·n̂ dS = effekten som försvinner ut ur ytan S
V
S
Effekten "bärs" av fälten E och H som växelverkar.
Effektbalans:
Effektutveckling +
d
(elektrisk och magnetisk energi) + utstrålad effekt = 0
dt
Definition: Poyntings vektor S(r, t) = E(r, t)×H(r, t) anger effektflödestätheten
(effekt per ytenhet) till både storlek och riktning, som det elektromagnetiska fältet
för med sig.
Kommentar: Griffiths härleder Poyntings teorem i avsnitt 8.1.2. I sin version av
teoremet har han den totala
strömtätheten
J och den upplagrade elektromagnetiska
1
1
ε0 E 2 + B 2 . Det är ingen konflikt mellan Griffiths
energitätheten uem =
2
µ0
relation och (0.1). Skillnaden ligger i definitionerna av upplagrad energitäthet och
effektförluster. Termen J f · E är den effekt som övergår i värme medan J · E är
effekten som fältet ger till både de fria och bundna laddningsbärarna.