Geometri, talteori och kombinatorik
Föreläsning 2: Primtal
Eric Järpe
C 2015 Eric Järpe
MPE-lab
ITE-akademin
Högskolan i Halmstad
January 14, 2015
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
1 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
I
Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1
kallas primtal.
I
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I
Exempel 7 är ett primtal
för det det delas endast av sig självt och 1:
7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div
med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2.
I
Exempel 8 är inte ett primtal
eftersom 8 delas av 2 och 4.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
2 / 13
Primtal
Sats 5
Det finns oändligt många primtal.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
3 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
Primtalsbestämning
I
Snabbast: AKS-algoritmen (2002).
Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr).
I
Eratosthenes såll
Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal.
1. Beräkna det största heltalet n ≤
√
N.
2. Lista alla heltal 2, 3, 4, . . ., n.
3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal.
Gå till 6.
4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan
och kolla om k delar N.
5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6.
Om nej: stryk alla multipler av k ur listan
och gå till 3.
6. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
4 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
9
10 11
7
8
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
9
10 11
7
8
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
9
10 11
7
8
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
9
10 11
7
8
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
9
10 11
7
8
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
9
10 11
7
8
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
9
10 11
7
8
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
9
10 11
7
8
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
9
10 11
7
8
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
I
I
Exempel
Avgör om talet 199 är ett primtal.
Lösning
√
1. Först n = [ 199] = 14.
2. Lista talen 2, 3, . . ., 14.
2
3
4
5
6
8
9
10 11
7
12 13 14
3. Alla tal ej strukna ännu.
4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2.
5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2
⇒ stryk alla multipler av 2. Gå till 3.
6. Fortfarande alla ej strukna.
7. k = 3 lägsta ostrukna.
8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3.
× × × × ×
× × × × ×
× × ×
osv med k = 5, 7, 11, 13.
11. Alla strukna ⇒ Ja, 199 är ett primtal!
12. Terminera.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
5 / 13
Sammansatta tal
I
Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt.
I
Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c
vilket innebär att a delas jämnt av b och c,
varmed b och c kallas delare av a.
I
Att b och c är delare till a kan skrivas b|a och c|a.
I
Om b|a och 1 < b < a så kallas b äkta delare av a.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
6 / 13
Sammansatta tal
I
Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt.
I
Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c
vilket innebär att a delas jämnt av b och c,
varmed b och c kallas delare av a.
I
Att b och c är delare till a kan skrivas b|a och c|a.
I
Om b|a och 1 < b < a så kallas b äkta delare av a.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
6 / 13
Sammansatta tal
I
Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt.
I
Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c
vilket innebär att a delas jämnt av b och c,
varmed b och c kallas delare av a.
I
Att b och c är delare till a kan skrivas b|a och c|a.
I
Om b|a och 1 < b < a så kallas b äkta delare av a.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
6 / 13
Sammansatta tal
I
Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt.
I
Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c
vilket innebär att a delas jämnt av b och c,
varmed b och c kallas delare av a.
I
Att b och c är delare till a kan skrivas b|a och c|a.
I
Om b|a och 1 < b < a så kallas b äkta delare av a.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
6 / 13
Sammansatta tal
I
Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt.
I
Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c
vilket innebär att a delas jämnt av b och c,
varmed b och c kallas delare av a.
I
Att b och c är delare till a kan skrivas b|a och c|a.
I
Om b|a och 1 < b < a så kallas b äkta delare av a.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
6 / 13
Sammansatta tal
I
Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt.
I
Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c
vilket innebär att a delas jämnt av b och c,
varmed b och c kallas delare av a.
I
Att b och c är delare till a kan skrivas b|a och c|a.
I
Om b|a och 1 < b < a så kallas b äkta delare av a.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
6 / 13
Sammansatta tal
I
Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt.
I
Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c
vilket innebär att a delas jämnt av b och c,
varmed b och c kallas delare av a.
I
Att b och c är delare till a kan skrivas b|a och c|a.
I
Om b|a och 1 < b < a så kallas b äkta delare av a.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
6 / 13
Sammansatta tal
Sats 2
Om a|b och a|c så a|(b+c).
Sats 3
Minsta äkta delaren av ett tal är ett primtal.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
7 / 13
Sammansatta tal
Sats 2
Om a|b och a|c så a|(b+c).
Sats 3
Minsta äkta delaren av ett tal är ett primtal.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
7 / 13
Sammansatta tal
Sats 2
Om a|b och a|c så a|(b+c).
Sats 3
Minsta äkta delaren av ett tal är ett primtal.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
7 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
I
Centralt vid modern kryptering är faktorisering.
I
Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen
I
Allmänna faktoriseringsmetoder är:
Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig
Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981
Dixon’s faktoriseringsmetod, 1981
Continued fraction factorization method, 1975 (1931)
Fermat’s faktoriseringsmetod . . . och dess utvecklingar.
I
År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian
Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för
primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
8 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod
1. Vi får ett heltal n
och vill hitta heltal a, b så att ab = n.
√
2. Låt x = [ n] + 1
(“heltalsdelen av roten ur n plus 1”)
3. Beräkna x 2 − n.
4. Blir det en jämn kvadrat?
√
5. Om ja: Låt a = x + √x 2 − n
b = x − x2 − n
Om nej: x++(ticka upp 1 steg)
Gå tillbaks till steg 3.
6. Då är ab√=
√
= (x + x 2 − n)(x − x 2 − n) = x 2 − (x 2 − n) = n
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
9 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
I
I
I
I
Exempel Faktorisera talet 1 971 061.
√
Lösning: 1 971 061 = 1403.945
så vi börjar med x = 1403 + 1 = 1404.
x
1404
1405
1406
..
.
x2 − n
155
2 964
5 775
..
.
Primtal?
Nej
Nej
Nej
..
.
1443
1444
1445
111 188
114 075
116 964
Nej
Nej
Ja!
Alltså är √
√
a = x + x2√
− n = 1445 + 116
√964 = 1787
och b = x − x 2 − n = 1445 − 116 964 = 1103
Check: 1787 · 1103 = 1 971 061 ok!
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
10 / 13
Faktorisering
Sats 4 (Existens av primtalsfaktorisering)
Alla tal kan faktoriseras i sina primtal.
Sats 6 (Aritmetikens fundamentalsats)
Primtalsfaktoriseringen är entydig sånär som på ordningen.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
11 / 13
Faktorisering
Sats 4 (Existens av primtalsfaktorisering)
Alla tal kan faktoriseras i sina primtal.
Sats 6 (Aritmetikens fundamentalsats)
Primtalsfaktoriseringen är entydig sånär som på ordningen.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
11 / 13
Faktorisering
Sats 4 (Existens av primtalsfaktorisering)
Alla tal kan faktoriseras i sina primtal.
Sats 6 (Aritmetikens fundamentalsats)
Primtalsfaktoriseringen är entydig sånär som på ordningen.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
11 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x√2 − n = 36
x =6:
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x√2 − n = 36
x =6:
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x√2 − n = 36
x =6:
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x√2 − n = 36
x =6:
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x√2 − n = 36
x =6:
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
I
Ett problem med Fermats faktoriseringsmetod: om n jämnt så kan det hända
att alla faktoriseringar har en jämn och en udda.
I
Exempel Faktorisera n = 18. Då är de möjliga faktoriseringarna 2 · 9 och
3 · 6 med 2 äkta delare. Dvs vi kan inte undvika en jämn och en udda.
Vad händer
då med Fermats
faktoriseringsmetod?
√
√
√
x = [ 18] + 1 = 5 : √x 2 − n = √25 − 18 6∈ Z
x =6:
x√2 − n = 36
√ − 18 6∈ Z
x = 7 : √ x2 − n =
√ 49 − 18 6∈ Z
2
x = 8 : √x − n = √64 − 18 6∈ Z
x = 9 : √x 2 − n = √81 − 18 6∈ Z
x = 10 :
x 2 − n = 100 − 18 6∈ Z
√
2
Terminerar
√försöken, eftersom den ena faktorn x + x − n måste vara < n,
och 10 + 100 − 18 > 18.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
12 / 13
Faktorisering
Algoritm för primtalsfaktorisering:
1. Bryt ut 2 ur n tills en udda faktor m erhålls
2. Gör Fermat på m ⇒ m = a · b
3. Om a eller b > 1, fortsätt med med Fermat
4. Terminera när alla faktoriseringar givit en faktor 1.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
13 / 13
Faktorisering
Algoritm för primtalsfaktorisering:
1. Bryt ut 2 ur n tills en udda faktor m erhålls
2. Gör Fermat på m ⇒ m = a · b
3. Om a eller b > 1, fortsätt med med Fermat
4. Terminera när alla faktoriseringar givit en faktor 1.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
13 / 13
Faktorisering
Algoritm för primtalsfaktorisering:
1. Bryt ut 2 ur n tills en udda faktor m erhålls
2. Gör Fermat på m ⇒ m = a · b
3. Om a eller b > 1, fortsätt med med Fermat
4. Terminera när alla faktoriseringar givit en faktor 1.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
13 / 13
Faktorisering
Algoritm för primtalsfaktorisering:
1. Bryt ut 2 ur n tills en udda faktor m erhålls
2. Gör Fermat på m ⇒ m = a · b
3. Om a eller b > 1, fortsätt med med Fermat
4. Terminera när alla faktoriseringar givit en faktor 1.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
13 / 13
Faktorisering
Algoritm för primtalsfaktorisering:
1. Bryt ut 2 ur n tills en udda faktor m erhålls
2. Gör Fermat på m ⇒ m = a · b
3. Om a eller b > 1, fortsätt med med Fermat
4. Terminera när alla faktoriseringar givit en faktor 1.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Geometri, talteori och kombinatorik
January 14, 2015
13 / 13
