Elisabeth Samuelsson
PDAX51
Att ge problemlösning större utrymme i gymnasieskolans matematikkurser
Sammanfattning
Problemlösning ses som en viktig del av matematikämnet både traditionellt och i kursplaner för
matematik. Trots detta finns det tecken på att problemlösning inte får tillräckligt stort utrymme i
gymnasieskolans matematikundervisning idag. Jag upplever åtminstone att det är sant när det
gäller min egen undervisning. Därför vill jag koncentrera mig på hur problemlösning rent praktiskt
kan tillämpas i undervisningen. För att undersöka detta vill jag använda mig av aktionsforskning.
Jag kommer att planera problemlösningsaktiviteter med hjälp av den tidigare forskning som finns
inom området som jag kommer att genomföra i min matematikundervisning. Aktiviteterna kommer
att utvärderas både av mig och med hjälp av deltagande elever och kollegor. Under arbetets gång
kommer jag att föra loggbok för att samla reflektioner och kunna följa arbetets utveckling.
Bakgrund
Problemlösning har sedan lång tid en central roll i matematikämnet, detta finns det mängder av
exempel på. George Polya, framstående matematiker med stort intresse för undervisning, skrev
redan 1945 ”How to Solve It”, en gedigen beskrivning av hur matematiska problem kan hanteras i
undervisningen och vad detta kan leda till. Där beskriver han också hur Descartes hade påbörjat
ett liknande projekt som aldrig avslutades eller blev publicerat.
I Sverige har problemlösning varit en viktig del i läroplaner och kursplaner för matematik under de
senaste decennierna. I gällande kursplaner för gymnasieskolan (Skolverket, 1994), handlar två av
strävansmålen om problemlösning och det första uppnåendemålet för samtliga matematikkurser
innehåller frasen ”Eleven skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem… ” (exv.
Kursplan för Matematik A).
I grundskolans kursplan för matematik är ett av strävansmålen:
”Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven…
…– utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av
matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den
ursprungliga problemsituationen,…”(Kursplan för matematik)
Under rubriken ”Ämnets karaktär och uppbyggnad” handlar nära hälften av texten om
problemlösning.
I skolverkets remissförslag till ämnesplan för matematik i den kommande gymnasiereformen skrivs
under ”Ämnets syfte”:
”Det innefattar att utveckla förståelse av matematikens begrepp och metoder samt
att utveckla olika strategier för att kunna lösa matematiska problem…”
och
”Undervisningen ska stärka elevernas tilltro till sin förmåga att använda matematik
i olika sammanhang samt ge utrymme åt problemlösning som både mål och
medel.”
samt som ett av målen att eleverna ska ges förutsättningar att utveckla:
”Förmåga att formulera, analysera och lösa matematiska problem samt att värdera
valda strategier, metoder och resultat. ”( www.skolverket.se/sb/d/3398, 2011-01-04)
Trots att problemlösning skrivits fram så tydligt i kursplanerna fann Boesen (2006) i sin jämförelse
mellan nationella prov och lärarkonstruerade prov i matematik att problemlösningsuppgifter
Elisabeth Samuelsson
PDAX51
utgjorde en mindre del av de lärarkonstruerade proven än av de nationella proven. Detta kan
tolkas som att problemlösning har en mindre framträdande roll i undervisningen i gymnasieskolan
än vad som åsyftas i styrdokumenten.
Även skolinspektionen (2010) fann i sin rapport under hösten att matematikundervisningen i
majoriteten av de inspekterade gymnasieskolorna innehöll för lite problemlösning och för mycket
algoritmräkning:
”Uppgifter av problemlösande karaktär som utmanar och stimulerar till
diskussion är alltså vanligast på NV, men inte heller där förekommer det i
någon större omfattning.” (s 18)
Denna rapport bevisar inte att förhållandet är likadant i alla Sveriges gymnasieskolor men jag
upplever att beskrivningen stämmer väl överens med min egen undervisning och det jag känner till
om mina kollegors undervisning. Detta gör att jag upplever ett behov av utveckling min
matematikundervisning. Då problemlösning är ett så väletablerat område inom
matematikundervisning finns troligen omfattande forskning inom området. Trots detta verkar
implementeringen i undervisningen vara liten. Därför vill jag koncentrera mig på det konkreta
steget att införa mer av problemlösning i min undervisning.
Litteratur
Edman och Johansson (2009) har gjort en intervjustudie av några grundskollärares syn på
problemlösning. Där identifierar de några olika uppfattningar om vad som menas med problem i
matematikundervisning. Komponenter i uppfattningarna är att problem kan ha flera möjliga svar,
att de kan vara utan specifika beräkningar och att problemlösning kan ses som en matematisk
kompetens. De refererar också sju kriterier från Hagland m fl (Hagland m fl 2005 i edman och
Johansson 2009 s 14-16) om vad som bör utmärka matematiska problem. Problem som uppfyller
dessa kriterier kallas rika problem. Även Lindström (2009) har gjort en intervjustudie om
matematiklärares uppfattningar om och användning av problemlösning i undervisningen. De fem
lärare hon har intervjuat använder problemlösning på olika sätt och i skiftande omfattning och har
olika syner på vad som kan uppnås genom arbetet. Lindström refererar även Ryve (Ryve 2006 i
Lindström 2009 s 9) som menar att det saknas kurslitteratur om problemlösning för blivande
matematiklärare i Sverige.
Ett betydligt mer omfattande forskningsprojekt har genomförts av Wyndhamn, Riesbeck och
Schoultz (2000). De redogör för att problemlösning ses som något positivt och varför det är så
samt vad begreppet kan stå för med hjälp av ett postmodernt förhållningssätt. De väljer att dela in
problemlösning efter två olika dimensioner, en som handlar om i vilken utsträckning
problemlösningen tillämpar tidigare kunskap eller sker för att nå ny. Den andra dimensionen rör
hur problemlösningen sker, om det är arbetssättet eller tankeprocessen som är det
eftersträvansvärda. Med hjälp av dessa dimensioner ger författarna beskrivningar av fyra olika
kategorier av problemlösning i undervisningssammanhang, A, B, C, och D enligt följande figur.
Tillämpning
Tillämpning
B
A
Arbetssätt
Tankeprocess
C
D
Inlärning
Inlärning
De kopplar också sina kategorier till olika vetenskapliga eller pedagogiska synsätt som
konstruktivism för kategori D eller kognitivism för kategori A. Dessutom ger författarna en modell
Elisabeth Samuelsson
PDAX51
för hur relationerna mellan lärare, elev och problem kan hänga samman med syftet för
problemlösningen.
Förutom sina resonemang kring vad som menas med problemlösning ger Wyndhamn, Riesbeck och
Schoultz en bild av två olika ytterligheter eller poler som matematikundervisning kan variera
mellan, en som utmärks av lärargenomgångar och tyst, enskild räkning och en som utmärks av
matematiska samtal och problemlösning. Skolinspektionen (2010) menar att den förra är klart
förhärskande i majoriteten av de skolor rapporten omfattar.
Fokus i Boesens (2006) undersökning är inte framför allt problemlösning men i sin analys av
provuppgifter väljer han att kategorisera dem efter vilka kompetenser de testar. Han påpekar i sin
definition av problem att huruvida en uppgift är ett problem eller inte beror inte enbart på själva
uppgiften utan även på den som ska lösa den och förkunskaperna hos den personen. För att en
uppgift ska vara ett problem måste den innehålla något moment som skiljer den från välkända
standarduppgifter för den som ska lösa uppgiften. Denna aspekt skulle placera Boesen i
Wyndhamns m fl kategorier C eller D. Jag menar också att det är framför allt de kategorierna av
problem som behöver större utrymme i undervisningen. Även citatet ovan från Skolinspektionen
borde kunna tolkas som att det är den typen av problem de framför allt syftar på. Polyas
redogörelse hamnar framför allt i kategorierna A och D då hans problemlösningsmanual behandlar
problemlösning som en kompetens som eleverna kan tillägna sig med hjälp av hans metod.
Kategori B skulle innebära problemlösning som ett arbetssätt för att befästa tidigare kunskaper.
Detta skulle man möjligen kunna se som de problemlösningsuppgifter som ofta avslutar avsnitt i
läromedel. Där är det givet vilket matematiskt innehåll som ska användas vid lösningen eftersom
problemet hör till ett visst avsnitt och lösningen handlar ofta om att följa en metod som också är
känd men där någon svårighet kanske dyker upp på vägen. Denna typ av problemlösning ser jag
inget behov av att ge ytterligare utrymme i undervisningen och Wyndhamn m fl menar också att
dagens läroplan knappast syftar på denna typ av problem.
Syfte
Syftet med arbetet är att undersöka hur jag kan ge problemlösning större utrymme i min
matematikundervisning i gymnasieskolan.
Delfrågeställningar som kan bli aktuella är:
Varför har problemlösning så litet utrymme i undervisningen idag?
Vilka effekter får det om problemlösning får ett större utrymme i undervisningen?
Hur identifierar man problemuppgifter med lämplig nivå?
Var kan man hitta problemuppgifter som är lämpliga för gymnasienivå?
Hur kan man konstruera problemuppgifter som är lämpliga för gymnasienivå?
Kan en problemlösningsmanual liknande Polyas utveckla elevers problemlösningsförmåga?
Metod
I min frågeställning förutsätter jag redan från start att inslag av problemlösning i
matematikundervisning är något positivt. Detta är långt ifrån ett objektivistiskt förhållningssätt. Då
problemlösning är en så central del av matematikämnet sedan så lång tid förutsätter jag att
forskningen inom området är omfattande och jag vill fokusera på hur den kunskap som redan finns
konkret kan implementeras i gymnasieskolan av idag.
Trots att jag uppfattar problemlösning som något positivt ger jag inte särskilt stort utrymme åt det
i klassrummet. Detta kan bero på mängder av omständigheter som styr mitt handlande.
Styrdokumenten anger hur det svenska samhället menar att matematikundervisning på gymnasiet
ska fungera. Trots detta är det möjligt att andra samhällsfaktorer påverkar min undervisning i
annan riktning. Det skulle kunna handla om faktorer som hur elever fördelas mellan olika grupper,
i vilken omfattning jag blir ersatt för mitt planeringsarbete eller vilket material som finns
tillgängligt för mig att använda i undervisningen. Samtidigt har jag förmåga att reflektera över
situationen och mitt handlande. Allt detta stämmer väl överens med hur människan och
människans situation uppfattas inom kritisk teori enligt Alvesson och Sköldberg (2009). Som en
gren från kritisk teori finns aktionsforskning som jag menar passar utmärkt för min
forskningsfråga.
Aktionsforskning har ofta ett syfte som ska leda till att stärka demokratiska förhållanden eller
motverka något missförhållande som gör en viss grupp förfördelad. Riktigt så kommer det inte att
fungera i denna studie men jag menar ändå att syftet kan kopplas till elevernas rättighet att få en
så god undervisning som möjligt.
Elisabeth Samuelsson
PDAX51
Både Rönnerman (2004), Mills (2007) och McNiff (2002) illusterar aktionsforskning som cykliska
processer. I enklaste form skulle den kunna se ut såhär:
utvärdera
reflektera
agera
McNiff påpekar dock att processen sällan följer en så behändig figur, dels liknar processen snarare
en spiral eftersom ett varv i cirkeln inte leder tillbaka till utgångspunkten, dels är det troligt att
delprocesser kommer att spinna iväg från huvudprocessen i egna minispiraler. I Rönnerman (2004)
och Mills (2007) påpekas också att det mellan stegen i processen vid olika tillfällen behöver
inhämtas kunskap om befintliga teorier, modeller eller ideér från andra källor.
Jag föreställer mig att hinna med två mer omfattande cykler under arbetets gång. Arbetet kommer
att sträcka sig från januari 2011 till januari 2012. Agerande-fasen måste med nödvändighet ska
när verksamheten är igång. Under sommaren behöver därför de andra faserna ske. Detta utesluter
inte att någon del av processen kan ha snabbare delcykler under arbetes gång.
Arbetet kommer att starta med en reflektionsfas då jag inhämtar kunskap om problemlösning från
litteratur och planerar för delaktiviteter som kan genomföras i de olika kurser som är igång under
vårterminen. Under den fasen behöver jag också få tillåtelse av skolledningen för mitt arbete och
informera berörda elever om vad jag tänker göra och vad jag vill uppnå. Därefter vidtar en
agerandefas då jag genomför problemlösningsaktiviteter på olika sätt i undervisningen. Jag
föreställer mig att aktiviteterna kan se ut på många olika sätt. Vara aktiviteter i helklass, mindre
grupper eller individuellt, ske på lektionstid eller frivilligt utanför lektionstid, vara rena
tankeövningar eller utnyttja konkret material och variera på fler liknande sätt. Innan terminsslut
behöver jag också hinna med vissa valideringsaktiviteter som kan vara enkäter eller korta
intervjuer med deltagande elever om hur de har uppfattat aktiviteterna eller att be någon kollega
observera någon aktivitet och reflektera tillsammans med mig efteråt. Under sommarlovet blir det
sedan dags för en utvärderingsfas och nästa reflektionsfas. När höstterminen startar är det dags
för nästa agerandefas och sedan en sista utvärderingsfas innan arbetet ska avslutas. Efter att
uppsatsarbetet är avslutat hoppas jag att det är möjligt att fortsätta arbetet på liknande sätt men i
mindre omfattning.
Under hela arbetets gång ska jag skriva loggbok över det jag läser och observerar och över mina
reflektioner. Beroende på hur varje specifik aktivitet ser ut kommer det också att vara lämpligt att
kanske ibland göra ljudinspelningar och någon annan gång kanske samla in skriftlig
dokumentation.
Jag ser ett tydligt dilemma med metoden. Då undersökningen sker i min egen verksamhet kommer
de elever som deltar i aktiviteterna att stå i beroendeställning till mig. Trots detta är det viktigt att
de deltar i aktiviteterna för att de själva vill och att de i utvärderingar är ärliga om hur de har
upplevt aktiviteterna. För att underlätta detta vill jag försöka vara så tydlig som möjligt med vad
som är arbetets syfte och att det är beroende av att de inte skönmålar det de upplever under
aktiviteterna. Jag vill också i så hög utsträckning som möjligt låta eleverna delta när beslut ska
fattas om vilka aktiviteter som ska genomföras och huruvida de själva ska delta.
Den valda metoden kommer att medföra vissa svårigheter när det gäller valideringen.
Undersökningen gäller min verksamhet och ingen annan har möjlighet att överblicka den så att det
går att ta ställning till i hur hög utsträckning jag når mitt syfte. Validiteten blir beroende av att jag
ger en ärlig beskrivning av hur processen har gått till och redogör för både positiva och negativa
resultat på ett tydligt sätt. Det hade varit önskvärt att ha tillgång till någon eller några andra som
kunde granska arbetet i sin helhet. Detta saknas det resurser till och jag blir beroende av om
exempelvis någon kollega kan tänka sig att granska någon del av arbetet samt att samla på mig
material under arbetets gång som kan stödja mina påståenden.
När det gäller etiska ställningstaganden måste jag självklart få tillåtelse av skolledning och
deltagare för att genomföra min undersökning. Det kan också bli aktuellt att be vårdnadshavare
om tillåtelse i fall då eleverna är omyndiga och deltar på något specifikt sätt i någon aktivitet eller
utvärdering av någon aktivitet. Ett svårare problem kommer konfidentialiteten att vara. När min
undersökning ska rapporteras kan jag inte vara anonym, därmed kommer eleverna som grupp inte
heller att kunna vara anonyma och ibland kommer det troligtvis att vara viktigt att ange i vilken
kurs eller kanske på vilket program en viss aktivitet genomförs och därmed ringa in elevgrupperna
Elisabeth Samuelsson
PDAX51
ganska tydligt. För att inte hänga ut enskilda elever behöver jag undvika att kommentera enskilda
elevers åsikter och agerande och hellre sammanfatta observationer för en hel grupp. Om det finns
anledning att använda något från en specifik individ måste jag vara tydligt med att de skulle kunna
bli identifierade och be om tillåtelse för det.
Relevans
De resultat jag kommer att nå kommer att vara starkt kopplade till den speciella situation där de
har visats. Trots detta menar jag att undersökningen kan ha stor relevans för
matematikundervisning i gymnasieskolan eftersom bland andra skolinspektionen pekar på att
problemlösning är eftersatt i majoriteten av undervisningen. Om jag då kan indentifiera orsaker till
varför det är så trots de tydliga skrivningarna i styrdokumenten och hitta sätt att ändra på det i min
undervisning borde det kunna inspirera till liknande lösningar för andra eller om jag misslyckas till
tankar om hur man kan göra istället.
Tidsplan
Februari-mars
Litteraturstudier, samtal med skolledning för att få tillstånd
April
Utformande av några lektionsplaneringar
Maj
Genomförande av lektionsplaneringar
Juni-juli
Reflektion och analys av genomförda lektioner, ytterligare
litteraturstudier
Augusti
Utformande av ytterligare aktiviteter
Sept-Okt
Genomförande av ytterligare aktiviteter, även med ytterligare kollegor?
Nov-Dec
Reflektion och analys, utformning av slutrapport
Elisabeth Samuelsson
PDAX51
Referenser
Alvesson, M. och Sköldberg, K. Tolkning och reflektion. Vetenskapsfilosofi och kvalitativ metod. Lund:
Studentlitteratur.
Boesen, Jesper. (2006) Assessing Mathematical Creativity. Comparing national and teacher-made
tests, explaining differences and examining impact. Doctoral thesis no.34, 2006. Department of
Mathematics and Mathematical Statistics. Umeå: Umeå universitet.
McNiff, J. with Whitehead, J. (2002). Action Research. Principles and Practice. London: Routledge
Farmer.
McNiff, J., Whitehead, J. (2005). Action Research for Teachers. A practical guide. London: David
Fulton Publishers.
Mills, G. (2007). Action Research. A Guide for the Teacher Researcher. Upper Saddle River: Pearson
Education, Inc.
Polya, G. (1988). How to Solve It. A New Aspect of Mathematical Method.Princeton: Princeton
University Press.
Rönnerman, K. (red). (2004) Aktionsforskning i praktiken – erfarenheter och reflektioner. Lund:
Studentlitteratur.
Skolinspektionen. (2010). Undervisningen i matematik i gymnasieskolan. Skolinspektionens rapport
2010:13. Stockholm: Skolinspektionen.
Skolverket. (2000). Kursplaner för matematik. Stockholm: Skolverket
(från
http://www.skolverket.se/sb/d/726/a/13845/func/amnesplan/id/MA/titleId/Matematik och
http://www.skolverket.se/sb/d/726/a/13845/func/kursplan/id/3202/titleId/MA1201%20-%20Matematik%20A
2011-01-04)
Skolverket. (2010). Ämnesplan för matematik. Remissversion. Stockholm: Skolverket. Hämtat från
http://www.skolverket.se/sb/d/3398 2011-01-03
Wyndhamn, J., Riesbeck, E., och Schoultz, J. (2000). Problemlösning som metafor och praktik. Studier
av styrdokument och klassrumsverksamhet i matematik- och teknikundervisningen. Linköping:
Linköpings universitet.
Uppsatser:
Edman, E. och Johansson, H. (2009) Problemlösning i matematik – en kvalitativ studie med fokus på
de erfarna lärarnas syn på problemlösning, dess förhållande till kursplan och roll i undervisningen.
Högskolan i Halmstad.
Lindström, L. (2009) Matematiklärare om problemlösning – Åsikter och användning i undervisningen.
Mälardalens högskola.
Elisabeth Samuelsson
PDAX51
