Kurs 4

1
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
FY4 Rörelsens lagar
3.9.06
MÅL
Kursens mål är att de studerande skall
• förstå rörelsefenomen och kunna bearbeta modeller som beskriver dem
• kunna undersöka translationsfenomen experimentellt och med hjälp av dem förstå
Newtons lagar
• förstå konservationslagarnas betydelse i fysiken.
CENTRALT INNEHÅLL
• rörelsemodeller och Newtons lagar
• distans- och kontaktkrafter, speciellt krafter som motverkar rörelse, samt lyftkraft
• rörelsemängdens konstans och impulsprincipen
• kinetisk och potentiell energi samt begreppet arbete
• vibrationsrörelsens energi
4.1. Likformig rörelse (LR) och likformigt accelererad rörelse (LAR)
Likformig rörelse, dvs. rörelse med konstant hastighet följer
s = vt
M111
Likformigt accelererad rörelse, med sträckan s = x följer följande formler: Enligt
definitionen på acceleration som förändring i hastighet per den tid förändringen tog fås
a = (v - v0) / t
M111
vilket kan omformas till att
LAR I
Då för medelhastigheten gäller
v = v0 +at
M111
vm = (v0 + v)/2 M111
och sträckan s = x = vmt fås även
LAR II
x = (v0 + v)t/2
M-
Vi kan nu
 ersätta v i LAR II med u +at och få x = (u+u+at)t/2 = (2u + at)t/2
 förenkla vidare (2u +at)t/2 = 2ut/2 + at2/2 = ut + ½at2
vilket innebär
LAR III
x = v0t + ½at2M111
(vilket kan skrivas som x = x0 + v0t + ½at2 om x = x0 då t = 0)
Vidare kan vi
 lösa ut t = (v - v0)/ a ur LAR I
 insätta detta i LAR II så att x = (v0 + v)t/2 = x = (v0 + v)(v - v0)/2a
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
2
 dvs. x = (v +v0)(v - v0)/2a och vidare (kan göras kortare med konjugatregeln)
 x = (v2 - vv0 + v0v + v02)/2a = (v2 - v02)/2a
eller efter omformning
LAR IV
v2 = v02 + 2ax M-
4.2. Newtons lagar
Storheten kraft beskriver det som


förändrar rörelse (startar en rörelse, stoppar den, ändrar hastighetens riktning eller
storlek)
förändrar föremåls form, t.ex. töjer ut eller trycker ihop dem
Kraften är en vektorstorhet med enheten 1 newton = 1 N och kan mätas med en
newtonmeter eller dynamometer.
Resultanten eller resultantkraften (totala kraften, nettokraften) är summan av alla krafter
som verkar på ett föremål med hänsyn till riktningen. Ofta använder man en riktning som
positiv och den motsatta som negativ. Om tyngdkraften drar ett föremål nedåt med 5 N
och vi håller i det med en 5N kraft uppåt blir summan av dessa krafter - 5N + (+5N) = 0
N om uppåt är positiv riktning.
För krafter gäller Newtons tre lagar:
Newtons I. lag
Om resultantkraften på ett föremål är noll, förblir dess hastighet konstant
Detta kan innebära flere olika saker, den första delen "Om resultantkraften på ett föremål
är noll" kan bero på att


ingen kraft alls verkar på föremålet
två eller flere krafter verkar på föremålet så att de tar ut varandra i alla tänkbara
riktningar
Den andra delen, "...förblir dess hastighet konstant" kan innebära att


föremålet är i vila och förblir i vila (hastigheten har det konstanta värdet 0)
föremålet är i rörelse och förblir i rörelse med samma hastighet till både storlek
och riktning
En situation där Newtons I lag är uppfylld kallas translatorisk jämvikt.
Newtons II. lag
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
3
Om resultantkraften på ett föremål inte är noll kommer dess hastighet att förändras.
Hastighetens förändring per tid är accelerationen, och mellan resultantkraften och
accelerationen råder följande samband där m = massan i kg:
a=F/m
dvs.


ju större resultantkraft som verkar, desto större acceleration får en bil med en viss
massa (en bil accelererar snabbare om man gör kraften som verkar framåt större
genom att trimma motorn eller skaffa bättre däck - eller om man gör
luftmotståndets kraft bakåt mindre genom att göra den mer strömlinjeformad. Allt
detta bidrar till att göra resultantkraften framåt större).
ju större massa, desto mindre acceleration. En bil som är tyngre t.ex. för att den
har en större bränslemängd har lägre acceleration än en annan där resultantkraften
är densamma men massan lägre.
Notera att detta även gäller negativ acceleration (att bromsa in när man närmare sig en
kurva) och acceleration som endast förändrar hastighetens riktning (att köra genom en
kurva med samma värde på hastighetsmätaren.
Sambandet kan även skrivas som
F = ma
M112
Newtons II. lag inkluderar allt som den I. lagen säger - om F = 0 och m inte är 0, så måste
a = 0 och därmed hastigheten vara konstant.
Newtons III lag ("aktion och reaktion")
För föremålen A och B gäller:
Om A verkar på B med kraften F, så verkar B på A med - F
Exempel på detta är rekylen från ett gevär (geväret verkar på kulan med F och ger det en
stor acceleration, kulan verkar tillbaka på geväret med -F som har samma storlek som F
men ger geväret en mindre acceleration då det har en större massa), och raketer (raketen
verkar på de utströmmande gaserna, vilka återverkar på raketen).
4.3. Distans- och kontaktkrafter; typer av växelverkan
Distanskrafter
De fyra grundläggande typerna av kraft eller växelverkan i universum är

1. Tyngdkraft eller gravitation. Alltid attraktiv, verkar mellan alla föremål som
har massa.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR



4
2. Elektromagnetisk kraft. Attraktiv eller repulsiv beroende på de elektriska
laddningarnas tecken. Egentligen en och samma kraft - den magnetiska kraften är
en relativistisk förvrängning av den elektriska kraften för laddningar i rörelse.
3. Stark kraft eller växelverkan ("kärnkraft"). Håller samman atomkärnor trots
den elektriska repulsionen mellan de positiva protonerna. Attraktiv på lämpliga,
mycket korta avstånd. Se vidare kurs 8.
4. Svag kraft eller växelverkan. Åstadkommer vissa typer av radioaktivt
sönderfall.
Samtliga dessa verkar på (varierande stort) avstånd (genom utbyte av virtuella
fältpartiklar, se kurs 8).
Kontaktkrafter:
Mellan olika föremål och material i kontakt med varandra verkar krafter som är
konsekvenser av främst tyngdkraften och elektriska krafter mellan materiens atomer och
molekyler:
 normal- eller stödkraft från en yta
 friktion
 luft- och vätskemotstånd
 hydrostatisk kraft och lyftkraft
4.4. Arbete,kinetisk och potentiell energi
Arbete
När en kraft F förflyttar ett föremål sträckan s i kraftens riktning utförs ett arbete
W = Fs
Om kraften inte är i samma riktning som s ges arbetet av den komponent av kraften som
är i samma riktning:
W = Fss
M112
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
5
(Egentligen bör både F och s ses som vektorstorheter och arbetet som deras skalära
produkt). I figuren ovan är

Fs/F = cos θ vilket ger Fs = Fcosθ och här
W = Fscosθ
Arbetet är en skalär storhet och har enheten 1 Nm = 1 joule = 1 J. Arbete och energi är
mycket närliggande storheter - "arbete" är den mängd energi som omvandlas från en form
till en annan.
Potentiell energi (i gravitationsfält)
Om ett föremål lyfts uppåt med konstant hastighet måste den lyftande kraften ha
storleken Fg = mg och om den lyfts en sträcka s rakt uppåt till höjden h = s från startnivån
uförs arbetet W = Fs = mgh. Detta arbete "lagras" som potentiell energi eller
lägesenergi Ep :
Ep = mgh
M112
Kinetisk energi
Om ett föremål med massan m accelereras horisontellt från vila, dvs. utgångshastigheten
v0 = 0 gäller enligt LAR IV:
 v2 = v02 + 2ax där om sträckan kallas s vi har v2 = v02 + 2as = 2as här
 detta ger a = v2/2s
 enligt Newton II har vi F = ma = mv2/2s
 arbetet W = Fs = mas = m(v2/2s)s = mv2/2
Detta arbete lagras som kinetisk energi eller rörelseenergi Ek :
Ek = ½mv2
M112
En konservativ kraft (t.ex. tyngkraften) verkar så att den totala mekaniska energin Etot =
Ep + Ek förblir konstant. Friktion och luftmotstånd kommer dock att förvandla mekanisk
energi till annan energi, närmast värmeenergi (vilken dock kan beskrivas som kinetisk
och potentiell energi på atom- eller molekylnivå. Där är dock den potentiella energin
närmast relaterad till elektriska krafter mellan atomerna). Å andra sidan kan en motor ge
ett tillskott av energi omvandlad från t.ex. kemisk energi i bränslet.
Sambandet mellan den totala mekaniska energin i två situationer angivna med indexen 1
och 2 är
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
6
där W = Fs, s = den sträcka som kroppen rört mellan situation 1 och 2 och F =
resultantkraften av "yttre" krafter (friktion, motorkraft); räknad positiv i rörelseriktningen
och negativ mot den.
4.5. Rörelsemängd och impuls
Om ett föremål med massan m rör sig med hastigheten v har den rörelsemängden (eng.
'momentum') p enligt
p = mv
M112
Rörelsemängden är liksom hastigheten en vektorstorhet och har enheten 1 kgm/s. Med
hjälp av denna kan Newtons II. lag omskrivas:


F = ma = mv/t om massan är konstant, vilket ger
F = m(v - v0)/ t = (mv - mv0)/ t = (p - p0)/ t = p/t
Ur detta följer att förändringen i rörelsemängd p = kraftens impuls I ges av
I = Ft
M112
Om kraften är konstant kommer en graf av F som funktion av t att ge en horisontell rät
linje, och den rektangelformade ytan under den är impulsen I med enheten 1 Ns = 1
kgm/s. Om kraften inte är konstant kommer arean under motsvarande graf fortfarande att
vara impulsen I:
Detta är betydelsefullt då en varierande (resultant)kraft även med konstant massa inte ger
en konstant acceleration, varför LAR I - IV då inte gäller. Istället har vi
I = mv - mv0
vilket kan utnyttjas om I fås ur en graf enligt ovan.
4.6 Rörelsemängdens bevarande och kollisioner
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
7
När två föremål, nr 1 och 2 kolliderar eller på något annat sätt växelverkar med varandra
utan att någon yttre kraft nämnvärt inverkar (t.ex. friktionen och tyngdkraften kan
försummas under kollisionsögonblicket) kommer den totala rörelsemängden att bevaras:








under kollisionsögonblicket verkar 1 på 2 med kraften F, medan 2 verkar på 1
med kraften - F enligt Newtons III. lag
om andra krafter försummas är F den enda kraften på föremål 2 och därmed
resultantkraft
enligt Newtons II. lag är då F = m2a2 och på motsvarande sätt - F = m1a1
eller med den alternativa formuleringen av NII och insikten att tiden för
kollisionen t är densamma för både 1 och 2:
F = p2/t och - F = p1/t men då F + (-F) = 0 även att
p2/t + p1/t = 0 och därmed
p2 + p1 = 0 eller
ptot = 0
Alltså bör den totala förändringen i rörelsemängd inte förändras, vilket ofta används i
formen:
m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2v2
M-
Om rörelsen sker i två eller fler dimensioner kan samma ekvation ställas upp både i x-led
och y-led. Notera att hastigheterna bör behandlas som vektorstorheter här - om två
föremål som rör sig i motsatt riktning kolliderar "central" kan man behandla problemet i
en dimension med en positiv och en negativ riktning.
Under antagandet att inga yttre krafter verkar nämnvärt gäller ovanstående för alla
kollisioner eller andra fall där två föremål växelverkar på varandra. I elastiska
kollisioner gäller även att den totala kinetiska energin bevaras:
½m1v012 + ½m2v022 = ½m1v12 + ½m2v22
M-
Om all kinetisk energi försvinner i kollisionen är den fullständigt inelastisk. De flesta
verkliga makroskopiska kollisioner varken fullständigt elastiska eller inelastiska, men på
atomnivå - där ingen friktion finns och tyngdkraften är försumbar då den är mycket
svagare än andra relevanta krafter - kan många kollisioner betraktas som elastiska.
Vi har även att
 p2 = m2v2 varför
 p2/2m = m2v2/2m = ½mv2 så
Ek = p2/2m
För elastiska kollisioner gäller därför allmänt
M-
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
8
p01 + p02 = p1 + p2
och
p012/2m1 + p022/2m2 = p12/m1 + p22/2m2
eller fullt utskrivet:
m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2v2
och
½m1v012 + ½m2v022 = ½m1v12 + ½m2v22
[A]
[B]
Allmän elastisk kollision
Vi antar att m1, m2, v01 och v02 är kända samt att kollisionen faktiskt inträffar dvs. att v1 ≠
v01 och v2 ≠ v02. Att beräkna v1 och v2 är ganska komplicerat (lös ut ett uttryck för t.ex. v2
ur [A], insätt detta i [B] vilket ger en lång andragradsekvation där en av lösningarna
representerar en kollision som inträffar och den andra att utgångsvärdena stämmer men
m1 missar m2 och hastigheterna är oförändrade) om vi inte gör en viktig förenkling först:
Först omskrivs [A]:



m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2v2 ; samla termer med samma massa på var sin sida
m1v01 - m1v1 = m2v2 - m2v02 ; faktorisera ut massorna
m1(v01 - v1 ) = m2(v2 - v02) ; kalla detta ekvation [C]
Sedan görs motsvarande i [B]:
 ½m1v012 + ½m2v022 = ½m1v12 + ½m2v22
; detta ger
 m1v012 - m1v12 = m2v22 - m2v022
; faktorisera ut massorna
2
2
2
2
 m1(v01 - v1 ) = m2(v2 - v02 )
; använd konjugatregeln
 m1(v01 + v1 )(v01 - v1 ) = m2(v2 + v02)(v2 - v02)
; kalla detta ekvation [D].
Nu kan vi dividera ekvation [D] med [C] och får



(v01 + v1) = (v2 + v02)
v01 - v02 = v2 - v1
v2 = v01 - v02 + v1
; samla utgångshastigheterna på ena sidan
; detta ger
Detta kan insättas i ekvation [A] och ger



m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2v2
;[A] som med det insatta ger
m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2(v01 - v02 + v1) ;distribuera i parentesen
m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2v01 - m2v02 + m2v1 ;
Samla nu termer med v1 till vänster sida, övriga till höger sida:

- m1v1 - m2v1 = - m2v02 + m2v01 - m2v02 -m1v01
; multiplicera med -1
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR


m1v1 + m2v1 = 2m2v02 + m1v01- m2v01
v1 = (2m2v02 + m1v01 - m2v01) / (m1 + m2)
9
;faktorisera ut v1 och dividera
Detta ger oss det allmänna resultatet för hastigheterna efter en elastisk kollision:
v1 = (2m2v02 + m1v01- m2v01) / (m1 + m2)
och
v2 = v01 - v02 + v1
[E]
[F]
Elastisk kollision med identiskt föremål i vila
Metod 1
Om en biljardboll kolliderar med en annan i vila (centralt och elastiskt) är m1 = m2 = m
och vi har nu enligt det allmänna resultatet för elastisk kollision med v02 = 0 att


v1 = (2m2v02 + m1v01- m2v01) / (m1 + m2)
v1 = (0 + mv01 - mv01) / 2m = 0
enligt [E] och alltså
vilket enligt [F] ger

v2 = v01 - v02 + v1 = v01
dvs. föremål 1 stannar och 2 fortsätter med den hastighet 1 hade före kollisionen.
Situationen är mer komplicerad om kollisionen inte är central då hastigheter och
rörelsemängder behöver behandlas i två dimensioner, eller om föremål 1 roterar.
Metod 2
Vi använder:
p01 = p1 + p2 vilket efter kvadrering ger p012 = (p1 + p2)2 = p12 + 2p1p2 + p22
p012/2m = p12/2m + p22/2m där vi multiplicerar med 2m och får p012 = p12 + p22
vilket ger
 p12 + 2p1p2 + p22 = p12 + p22
med slutsatsen
 2p1p2 = 0
dvs antingen är p2 = 0 (kollisionen äger inte rum) eller p1 = 0 (föremål 1 stannar och 2
fortsätter med den hastighet 1 hade före kollisionen).
Elastisk kollision med tyngre föremål i vila
Antag att m1 = m och m2 = 10m samt v02 = 0. Enligt det allmänna resultatet för elastiska
kollisioner får vi nu:
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR



v1 = (2m2v02 + m1v01- m2v01) / (m1 + m2)
v1 = (0 + mv01 - 10mv01) / (m + 10m)
v1 = (-9/11)v01
10
[E], vilket ger
och därmed
Det betyder att vid kolllision med ett klart tyngre föremål i vila kommer det lättare efter
kollisionen att ha nästan samma fart som före, endast i annan riktning. Detta har
betydelse i kärnkraftverk där de neutroner som bildas vid klyvning av en urankärna är för
snabba för att vara användbara, och måste bromsas upp av ett tillsatt material som kallas
moderator. Lätta atomer är bättre än tyngre (t.ex. vatten som innehåller två väteatomer).
Andra kärnfysikaliska tillämpningar av elastiska kollisioner: neutronen och neutrinon
Neutronen är svår att upptäcka eftersom den är elektriskt neutral och de flesta detektorer
för partikelstrålning reagerar på laddade partiklar. Genom att låta ett material som (skulle
det visa sig) avgav neutroner vid radioaktivt sönderfall och sedan låta dessa träffa ett
material som avgav "sekundära" protoner vilka kunde detekteras upptäckte man på 1930talet att en elektriskt neutral partikel med ungefär samma massa som protonen måste
finnas - det som vi kallar neutron. I beräkningarna användes teorin för elastiska
kollisioner.
I en kollision (eller annat fenomen) på atomnivå där energi frigörs eller absorberas i en
kärnreaktion eller radioaktivt sönderfall kan skillnaden i energi uttryckas med hjälp av de
inblandade massorna då E = mc2. En analys av detta visar att vid betasönderfall (se kurs
8) borde partiklarna få en viss kinetisk energi efter sönderfallet vilken endast beror på
massorna och för en given atoms betasönderfall borde vara konstant. Då den i själva
verket kan ha ett stort antal värden är detta ett tecken på att en ytterligare partikel bildas,
neutrinon. Det tog dock några decennier att konstruera en detektor för neutrinon, som
endast reagerar med svag växelverkan och även det mycket sällsynt.
4.7. Friktion
Friktionskraften beror på att materialet i ytor som trycks mot varandra inte är helt slätt
utan griper in i eller på annat sätt växelverkar med varandra vilket ger upphov till en kraft
som motverkar rörelse. För ett föremål på ett horisontellt underlag verkar följande
krafter:

FG = mg = tyngdkraften
11
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR



FN = N = normalkraften eller stödkraften, den kraft med vilken underlaget enligt
Newton III återverkar på föremålet då någon kraft trycker detta mot underlaget.
Om ytan är horisontell är FN = (-) FG.
FP = en eventuellt verkande yttre dragkraft ("pull or push")
Ffr = F = friktionskraften.
För friktionskraften gäller:
F = N
M112
där  är en enhetslös friktionskoefficient som vanligen är ett litet decimaltal. För
friktionskraften och -koefficienten skiljer man mellan två fall:
1. Vilofriktion (statisk friktion) där föremålet inte satts i rörelse men någon kraft (eller
resultant av krafter) verkar, och skulle sätta föremålet i rörelse om denna kraft (i figuern
FP) inte fanns. Vilofriktionskraften är p.g.a. Newton III lika stor och motsatt riktad till FP
vilket ger en resultantkraft som är noll. Om FP ökas kommer vid något maximalt värde
för vilofriktionskraften föremålet att börja röra sig. Vilofriktionskoefficienten anges
vanligen för denna situation, där s,max = Fs ,max /N
2. Rörelsefriktion (kinetisk friktion) där
rörelsefriktionskoefficienten k = Fk / N gäller:


föremålet
rör
sig
och
för
den är alltid i motsatt riktning till hastigheten
dess värde är oberoende av hastigheten och en eventuellt verkande FP.
I regel gäller att Fk < Fs ,max Notera att eftersom FG och FN respektive F , eventuell FP,
eventuell hastighet, acceleration eller tillryggalagd sträcka längs ytan är i två dimensioner
vinkelräta mot varandra kommer riktningstecken i den ena inte att vara relevant i den
andra. Ofta anges därför endast
F = N = (-) mg = mg
och formeln används endast för att beräkna storleken av ingående vektorstorheter.
Alternativt måste eventuella riktningstecken ibland väljas så att de stämmer överens med
den fysikaliska situationen.
4.8 Lutande plan
Om ett föremål är i vila eller glider uppför eller nerför ett lutande plan kommer
normalkraften FN inte längre att vara motsatt riktad till och lika stor som tyngdkraften F G,
utan endast en komponent av den:
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
12
Istället för vertikal och horisontell riktning som för kaströrelsen väljer vi nu att använda
en riktning parallell med det lutande planet, en annan vinkelrät mot det. För
tyngdkraftens komponenter får vi:


parallellt med planet FGX/FG = sinθ => FGX = FGsinθ = mgsinθ
vinkelrätt mot planet FGY/FG = cosθ => FGY = FGcosθ = mgcosθ
Då fås för för (rörelse- eller vilo-) friktionskraften att
 F = N = (-) mgcosθ
Resultantkraften ned längs planet blir då med en yttre kraft FP i den riktningen fås om
föremålet är i rörelse nedför planet eller i vila att:



Ftot,X = FGX - F + FP vilket om FP = 0 ger
ma = mgsinθ - mgcosθ eller
a = gsinθ - gcosθ = g(sinθ - cosθ)
Om rörelsen är uppför planet kommer friktionskraften i stället att vara ned längs det.
Denna beräkning av accelerationen längs planet kan sedan kombineras med LAR I - IV
för rörelsen längs det.
Experimentell bestämning av vilofriktionskoefficienten
Metod 1: Föremålet placeras på ett horisontellt underlag, en horisontell dragkraft FP
appliceras med newtonmeter tills det kommer i rörelse. I detta kritiska ögonblick är FP =
F = smg så s = FP/mg. Metoden kan bli noggrannare om FP levereras av tyngdkraften
på en behållare av t.ex. sand som via ett snöre över ett lättrörligt block drar horisontellt i
föremålet. Denna dragkraft kan bestämmas noggrannt om behållaren med sand vägs efter
att lite sand i taget tillsatts tills föremålet kommer i rörelse.
Metod 2: Föremålet placeras på ett underlag som försiktigt lutas i allt högre vinkel. Den
kritiska vinkel θ då det kommer i rörelse bestäms. Då gäller:
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR



13
Fs = FGX eller
mgcosθ = mgsinθ vilket ger
 = sinθ / cosθ = tanθ
Experimentell bestämning av rörelsefriktionskoefficienten
Metod 1
Ett föremål sätts i horisontell rörelse längs ett underlag (t.ex. en träkloss som sparkas iväg
över golvet i korridoren) med en okänd utgångshastighet v0. Man mäter med stoppur
tiden t samt på lämpligt sätt sträckan x som föremålet rör sig tills det stannar. Det gället
då att den kinetiska energi föremålet har i början av rörelsen helt åtgår till arbete emot
friktionskraften eller:
 ½mv02 = Fkx = mgx
Dessutom om rörelsen antas vara likformigt negativt accelererad enligt LAR II att
 x = (v0 + v)t/2 där nu v = 0 vilket ger v0 = 2x/t och vidare
 ½m(2x/t)2 = mgx så att
 2x2/t2 = gx och efter vidare förenkling att
  = 2x/gt2
Metod 2
Om man kan låta föremålet glida från vila ner längs ett lutande plan med lutningsvinkeln
θ och vidare ut på ett golv av ungefär samma material gäller att ursprungliga potentiella
energin med golvet som nollnivå helt åtgår till först arbete mot friktionskraften på det
lutande planet (index 1) och därefter till arbete mot densamma på det horisontella golvet
(index 2). Låt nu h vara startpunktens höjd över golvet, x1 sträckan föremålet rör sig
längs det lutande planet och x2 sträckan det rör sig längs golvet tills det stannar. Vidare
får y = avståndet längs golvet från en punkt rakt under startpunkten till den punkt där det
lutande planet övergår i horisontellt golv. Sidorna y, h, och x1 bildar en rätvinklig
triangel. Vi har nu att
 mgh = W1 + W2 = F1x1 + F2x2 = mgcosθx1 + mgx2 så
 h = cosθx1 + x2
Men i den nämnda rätvinkliga triangeln gäller att cosθ = y/x1 så vi får
 h = (y/x1)x1 + x2 = y + x2 och därmed
  = h /(y + x2)
Rullfriktion
Speciellt metod 2 kan vara lättare att genomföra med rullande föremål (cylindrar =
batterier, modellbilar) istället för glidande föremål (möjligen kan pulka på snö utomhus
vara lämpligt). För cylinderformade föremål kan man ungefärligen använda
F = N/r
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
14
där r = cylinderns radie. För modellbilar kommer en stor del av friktionen från
hjulaxlarna och friktionskoefficienten gäller endast en viss bil eller biltyp. Om bilen eller
cylindern rullar på ett hårt och jämnt underlag kan man anta att koefficienten är ungefär
konstant.
4.9. Mediets motstånd: Luft- och vätskemotstånd
För motståndskraften FD (eng. drag force) gäller ungefär (enligt en förenklad "kvadratisk
modell")
FD = ½cDAv2
M-
där cD = en dimensionslös motståndskoefficient (drag coefficient), A = föremålets
tvärsnittsyta i m2,  = densiteten i kg/m3 (se nedan) , v = hastigheten i m/s.
Motståndskoefficienten beror på ett antal faktorer såsom mediets viskositet (hur
"tjockflytande" det är) och densitet, föremålets form samt dess hastighet (varför det totala
hastighetsberoendet inte alltid är kvadratiskt.
4.10. = 2.7. Tryck, densitet och lyftkraft, Arkimedes lag (FY5 s. 16-32)
För storheten tryck (pressure) p gäller att
p = F/A
M114
där F = den kraft som verkar vinkelrätt mot ytan A med. Enhet 1 pascal = 1 Pa = 1 N/m2.
Andra enheter: 1 bar = 100 kPa (på väderkartor ofta millibar = mb, ca 1000 mb är
normalt atmosfärtryck). 1 atmosfär = 1 atm = 760 mmHg = 760 torr (efter den italienske
fysikern Torricelli) = 101.325 kPa. I anglosaxiska länder ofta 1 psi (pound per square
inch) = 6895 Pa. Se M70.
Redan tidigare torde densiteten ρ (rho) vara känd som kvoten av ett ämnes massa m och
volym V:
 = m/V
M114
På djupet h under ytan av en vätska med densiteten ρ är det hydrostatiska trycket p
p = hg
M114
där g = tyngdaccelerationen, eftersom:
 en yta A vinkelrätt mot vätskeytan ovanför sig har en vätskekropp med volymen
V = Ah
 dess massa är m = ρV = ρAh och tyngden F = mg = ρAhg
 trycket på A blir då p = F/A = ρAhg/A = ρhg = hρg.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
15
Från detta kan härledas lyftkraften N (noste, nostovoima?) på en i en vätska med
densiteten ρ nedsänkt kropp med volymen V:
N = Vg
M114
Antag att kroppen är formad som ett rätblock med höjden x = h2-h1 och övre = under ytan
A. (Om den har en annan form kan den antas uppbyggd av ett stort antal oändligt smala
rätblock) Vi har då:



dess volym V = Ax = A(h2-h1), trycket på ovansidan p1 = h1ρg och kraften som
därför verkar nedåt på ovansidan F1 = p1A = h1ρgA
motsvarande kraft uppåt på undersidan F2 = h2ρgA
resultantkraftens belopp N = F2-F1 = ρgA(h2-h1) = ρgV = ρVg
Detta kan även uttryckas så att
N = mdeplacementg = Fdeplacement, dvs lyftkraften = tyngdkraften på den undanträngda
(displaced) vätskan.
4.11. (=3.1.) Harmonisk kraft och svängningsrörelsens energi
För t.ex. spiralfjädrar gäller (s = x = avståndet från jämviktsläget)
F = -kx
M112
där k = fjäderkonstanten i enheten N/m. Minustecknet anger att fjäderns kraft är i motsatt
riktning till x. F = (-) kx och W = Fs = Fx ger E = ½kx2 grafiskt genom triangelns area:
den elastiska potentiella energin
Ep = ½kx2
M112
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
16
Vid harmonisk svängningsrörelse är den totala energin summan av kinetisk
(rörelse)energi och elastisk potentiell energi. Det maximala x-värdet kallas amplitud = A.
Etot = Ep + Ek = ½kA2 = ½mvx2 + ½kx2
M-
4.12. Härledning av svängningstiden för en massa på en fjäder
Enligt ovan har vi att


½kA2 = ½mvx2 + ½kx2 vilket ger
vx2 = k/m(A2- x2 ) = kA2/m(1 - x2/A2)
Men då den maximala hastigheten då massan passerar jämviktsläget ges av


½kA2 = ½mv2 vilket ger v2 = kA2/m har vi att
vx2 = v2(1 - x2/A2)
Studera sedan en massa m som rör sig med hastigheten v i cirkel med omloppstiden T
och radien r = A. Låt cirkelrörelsen gå motsols i ett koordinatsystem med start på x-axeln
(som i en trigonometrisk enhetscirkel). Väljer vi att beteckna x-komponenten av
hastigheten med vx gäller i en godtycklig punkt i den första kvadranten av cirkelrörelsen i
att






x-koordinaten, y-koordinaten och cirkelns radie bildar en rätvinklig triangel
den är likformig med en triangel som bildas av vx, vy och v
förhållandet mellan motsvarande sidor är lika så
vx/v = y/r = y/A och enligt Pytagoras
x2 + y2 = r2 = A2 så y = √(A2 - x2) vilket ger
vx = v√(A2 - x2)/A = v√(1 - x2/A2) dvs. :
För en massa i cirkelrörelse med konstant hastighet (till storleken) förljer hastighetens xkomponent samma ekvation som hastigheten för en massa som oscillerar på en fjäder. Vi
kan då utnyttja vad vi vet om cirkelrörelsens hastighet för att få ett nytt samband som
gäller även för massan som oscillerar:





v = 2πr/T = (2πA/T) vilket för oscillationen blir
v2 = kA2/m = (2πA/T)2 så att
kA2/m = 4π2A2/T2 och vidare
T2 = 4π2/(k/m) och därmed
T = 2π√(m/k)
T = 2(m/k)
M113
4.13. Härledning av svängningstiden för en matematisk pendel (simple pendulum)
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
17
För en "matematisk" pendel gäller att en massa m är upphängd i ett "masslöst" snöre med
längden l, vilket förs åt sidan till en inte alltför stor vinkel θ från lodrät riktning. Vi har då
att







på m verkar tyngdkraften mg rakt nedåt
ur situationens geometri följer att den kan delas upp i en komponent mgcosθ i
snörets riktning, vilken balanseras av spännkraften i snöret
samt komponenten mgsinθ vinkelrätt mot snöret.
denna komponent strävar till att återföra massan m till det lodräta jämviktsläget
för små vinklar gäller mätt i vinkelenheten radianer att sin θ ≈ θ så att
komponenten ungefär kan skrivas som mgθ
i radianer ges båglängden från jämviktsläget till massan m:s position, x, av
θ = x/l vilket ger kraftkomponenten mgx/l = (mg/l)x
Denna kraftkomponent är alltid motsatt riktad till förskjutningen x längs bågen bort från
jämviktsläget, och fungerar alltså för små vinklar som en harmonisk kraft med
"fjäderkonstanten" i formeln F = (-)kx ersatt av uttrycket mg/l. Vi kan då använda den
tidigare formeln här:

T = 2π√(m/k) = 2π√(m/(mg/l)) vilket ger
T = 2(l/g)
M113
Notera att enligt tidigare det finns en parallell mellan harmonisk svängningsrörelse hos
massan m på en fjäder, den nu behandlade pendelrörelsen för små vinklar, men även
cirkelrörelse som behandlas på kurs 5. Där kommer att härledas en formel för en
centripetal acceleration som

ac = v2/r = 42r/T2 vilket kan omformas till
T = 2√(r/ac)
M-
4.14. Förslag till experiment
Några av dessa kan ha gjorts redan på kurs 1, 2 eller 3:
1. Bestäm tyngdaccelerationen genom att låta ett föremål falla från vila och mäta tiden
och fallsträckan (x = ½at2)
2. Låt ett batteri rulla från vila längs ett längre bord, mät rullsträckan och rulltiden. x =
(v0 + v)t/2 ger sluthastigheten. Hur förändras sluthastigheten om rullsträckan fördubblas?
Gör en hypotes och testa den.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR
18
3. Låt ett batteri rulla från vila på ett lutande bord, mät rullsträcka och tid samt beräkna
accelerationen som i nr 1. Jämför med tyngdkraftens komponent längs bordet (bestäm
lutningsvinkeln). Är värdena signifikant olika? Varför?
4. Skjut iväg ett gummiband rakt uppåt och mät stighöjden h. Beräkna dess
utgångshastighet under antagande att dess kinetiska energi helt övergår i potentiell energi.
Detta sätt att bestämma utgångshastigheten för ett gummiband kan även kombineras med
projektilrörelse för gummiband i kurs 5.
5. Följer gummibandets uttöjning Hooke's lag F = -kx? Undersök detta genom att hänga
olika massor på det och beräkna även grafiskt den elastiska potentiella energi som lagras i
gummibandet, jämför med föregående laboration.
6-9. Beräkna vilo- och rörelsefriktion enligt metoderna som beskrivs i avsnitt 4.8 ovan.
10. Mät svängningstiden för olika massor på en spiralfjäder. Bestäm fjäderkonstanten k
enligt T = 2(m/k) och jämför med en bestämning baserad på uttöjningen (F = -kx).
11. Bestäm tyngaccelerationen med en pendel och formeln T = 2(l/g).
12. Gör ett kalkylblad som simulerar a) fallrörelse från vila med luftmotstånd b) vertikal
kaströrelse med luftmotstånd.
13. Bestäm densiteten för ett okänt föremål och en okänd vätska genom vägning med
balansvåg i luft, vatten, och okänd vätska.