Design för lärande

rapport i FORSKNINGSCIRKELn
Design för lärande
– En forskningscirkel om matematik och språk
EVA RIESBECK (RED.)
Malin Appelin
Maria Dellrup
Wiveca Ek
Margaretha Gustafsson
Kajsa Johansson
Elisabeth Pettersson
Anna Roslund
© 2013. Utgiven av:
FoU Malmö-utbildning
Grundskoleförvaltningen
Malmö stad
www.malmo.se/fouutb
ISBN: 978-91-980444-3-0
Får ej spridas i kommersiellt syfte.
Omslagsfoto: iStockPhoto
Formgivning: PCG Malmö / Daniel Karlsson
Rapport i forskningscirkeln
Design för lärande
– En forskningscirkel om matematik och språk
EVA RIESBECK (RED.)
Malin Appelin
Maria Dellrup
Wiveca Ek
Margaretha Gustafsson
Kajsa Johansson
Elisabeth Pettersson
Anna Roslund
Innehåll
Förord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Inledning
av Eva Riesbeck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Matematik och språk
av Malin Appelin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Matematik, språk och lärande
av Maria Dellrup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Matematik och språk – en upptäcksresa
av Wiveca Ek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Att kommunicera, matematik i en kommunikationsklass
av Margaretha Gustafsson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Stärk det matematiska språket – stärk lärandet!
av Kajsa Johansson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Vad händer när man pratar matematik?
av Elisabeth Pettersson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Matematik, språket vi alla måste våga tala
av Anna Roslund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Avslutande diskussion
av Eva Riesbeck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Referenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Författarpresentation
Eva Riesbeck
Lektor i matematikdidaktik mot de yngre åren vid Malmö Högskola, Lärande och samhälle. Ledare
för forskningscirkeln.
Malin Appelin
Grundskollärare med inriktning mot undervisning i årskurserna l-7 i matematik och naturvetenskapliga ämnen. I tio år har hon arbetat på en skola i Fosie.
5
Maria Dellrup
Grundskollärare med inriktning matematik och naturvetenskapliga ämnen. Hon arbetar som
handledare i matematiklyftet 2013/2014.
Wiveca Ek
Förskollärare och arbetar på Ribersborgsskolan i Malmö.
Margaretha Gustafsson
Förskollärare och talpedagog och arbetar idag i en kommunikationsklass.
Kajsa Johansson
Grundskollärare med inriktning mot de tidigare skolåren och med matematik som huvudämne.
Elisabeth Petterson
Lågstadielärare med lång erfarenhet av att undervisa, framförallt i årskurs 1 – 3. Hon arbetar på
FOU Malmö- utbildning och som matematikutvecklare i Innerstaden.
Anna Roslund
Examen och lärarlegitimation i samtliga teoretiska ämnen år 1-6. Hon arbetar som klassföreståndare i en sjätteklass och är handledare i matematiklyftet 2013/2014.
Förord
6
_
I vår forskningscirkel Matematik och språk har vi under tre terminer betonat och velat belysa en
samtalskultur i matematik i skolan, där nyfikenhet och prövande tankar av olika slag har utvecklats.
Vi har kallat vårt arbete Design för lärande vilket för oss har inneburit att vi har diskuterat, prövat oss fram och analyserat vad vi har utforskat från våra elever. Vi vill med detta arbete visa andra
hur ett spännande arbetssätt har vuxit fram och vad vi har lärt oss utav detta.
Detta perspektiv är en social teori om lärande och utveckling som ger en förståelse av hur människor blir delaktiga i kunskaper och erfarenheter genom att samspela med andra i olika aktiviteter.
Interaktion och kommunikation blir nycklar till lärande och utveckling och som vi samspelar i och
som leder till kunskapsutveckling.
Denna forskningscirkel har ägt rum under tre terminer och vi har träffats fyra gånger varje
termin. Däremellan har deltagarna läst och genomfört uppgifter i sina klasser. Vid våra träffar har
vi diskuterat utifrån läst litteratur och genomförda uppgifter och min roll har varit att lyfta den
praktiska kunskapen till ett teoretiskt perspektiv. Detta har varit fascinerande för mig att återigen
upptäcka hur lärare lyfter när de ser på sin egen praktik med intressanta uppgifter och hur detta sedan kan kopplas till en mera abstrakt nivå. Vi kommer i denna text att visa hur kunskapen utvecklas
och förändras i gruppen.
Inledning
av Eva Riesbeck
Teoretiskt förhållningssätt
Vi har i vår forskningscirkel tagit del av hur lärande sker i ett sociokulturellt perspektiv vilket innebär att språk och tanke är centrala begrepp. Språk kan ha många olika definitioner och här kommer några av dessa att skrivas fram. Språk som lingvistiskt system är ett perspektiv där man följer
regler hur språk är uppbyggt och denna syn kommer vi inte att ägna något större intresse åt även
om matematik har många regler och system. Att se på språk som representationsform är en helt
annan sak. Här kan man se på representation med hjälp av handlingar där upplevelser och direkta
möten med det konkreta är det centrala. Vi kan även finna representation genom bilder men också
i bildlig gestaltning. Sedan har vi i matematiken symbolisk representation genom muntligt och
skriftligt genomförande. Den språkuppfattning som Bruner (2001) talar om med sin symboliska
representation är att språket betraktas som en kod för att representera något. Människor måste behärska någonting substantiellt för att kunna utvecklas språkligt. I både skriftlig och muntlig kommunikation förmedlas idéer, tankar, meningar, erfarenheter, värderingar och känslor som är knutna
till människor, händelser och handlingar. Vi måste behärska ett innehåll, en substans, ett lärostoff
för att kunna sätta ord på det. På det sättet hör stoffinlärning och språklig utveckling nära samman.
Därför menar vi att det är viktigt att elever i matematiken lär sig de matematiska begreppen och
symbolerna som hör till detta språk.
Vi talar om språk som kommunikationsmedel också. Språkets viktigaste funktion är kommunikation. Symboliskt tänkande och symboliska handlingar hör till de mest karakteristiska dragen
i människans liv. Språkliga handlingar är centrala när människor kommunicerar och därför är
språk ett socialt redskap för människans kommunikation. Språket bidrar också till perception och
problemlösning. Utvecklingen av abstraktionsförmågan på det teoretiska och det praktiska planet
hänger samman med hur väl utvecklat språk vi har.
Språk är tänkandets sociala verktyg. Centralt i Vygotskijs språksyn är att språk och tänkande
är oskiljaktiga (Vygotskij, 1986). Begreppsutvecklingen är för Vygotskij av avgörande betydelse för
barnets språkutveckling. Användningen av ord som funktionella redskap är nödvändig för såväl
begreppsbildning som tänkande i begrepp.
7
8
Språk i den sociokulturella traditionen ska förstås som ett dynamiskt och ständigt utvecklingsbart teckensystem som samspelar med andra uttrycksformer. Det finns ingen konflikt mellan bild,
talat och skrivet språk, formler och andra teckensystem. De är alla delar av vår förmåga att mediera
världen och de är beroende av varandra. Människan är en multimodal teckenskapare som ständigt
utvecklar nya sätt att uttrycka sig. Därför är skolundervisning alltid en dynamisk process. Vi utvecklar ständigt vårt tänkande och nya begrepp i kommunikation med andra.
Vad är övergången till att tänka i komplex till att tänka i begrepp? Tänkandet utvecklas genom
att elever själva konstruerar ordbetydelser på grundval av sociala processer. Tänkandets utveckling
kräver därför en kreativ bearbetning av det sociala. Enligt Vygotskij hör begreppsbildningen samman med ett funktionellt bruk av ordbetydelser för att lösa uppgifter. Begreppsbildningen är ett
resultat av en komplicerad aktiv intellektuell handling. Detta fordrar undervisning och aktiv del i
sociala sammanhang. Undervisningen ska därför ha en tydlig målfokusering mot något som elever
är på väg att lära sig nya begrepp inom. Spontana begrepp är omedvetna begrepp enligt Vygotskij
och därför är de osystematiska. De utvecklas genom att delta i sociala upplevelser i naturliga situationer i vardagslivet. Vidare har vi de vetenskapliga begreppen som kräver undervisning. Förhållandet mellan spontana och vetenskapliga begrepp påverkar varandra ömsesidigt i utvecklingen.
Undervisningen måste ställa större krav än eleven för ögonblicket kan uppfylla, genom att ha kravet
att nå ett vetenskapligt begrepp.
I ett sociokulturellt perspektiv förekommer begreppen kontext, mediering och artefakter. Begreppet kontext har stor betydelse för lärandet i matematik då vi i en lärandesituation ska få elever
att utveckla sina spontana begrepp till vetenskapliga matematikbegrepp och kunna kommunicera
och reflektera över dessa. Mediering innebär att människan samspelar med hjälp av olika redskap
och olika kontexter och där språket spelar en viktig roll. Det främsta redskapet för att göra barn
delaktiga i mer abstrakta kunskaper och färdigheter i samhället är språket. Det är genom kommunikation med andra som våra erfarenheter kan utvidgas bortom det vi själva varit med om och det
är med språkets hjälp som vi kan förstå och analysera världen. Vi kan börja tala om kulturella redskap. Att tänka och kommunicera innebär således att människor använder sig av kulturella redskap
när de förstår och analyserar omvärlden. De språkliga redskapen utvecklas således inom kulturella
gemenskaper. De är inte naturliga utan formas av traditioner och de ändras och utvecklas. Vygotsky
refererar till språket som redskapens redskap. Det är genom kommunikation med andra människor
som vi kan uttrycka oss och språkliga begrepp hjälper oss att organisera vår omvärld. Språket är
vår partner i det mesta vi gör. Ett språkligt redskap kan kallas för intellektuellt eller mentalt. Ett
språkligt eller mentalt redskap är en symbol, ett tecken eller ett teckensystem vi använder för att
tänka och kommunicera med. Dessa kallas i ett sociokulturellt perspektiv för artefakter. Språkliga
redskap är bokstäver, siffror, räknesystem och begrepp (triangel, +, procent). Att lära sig att mediera
matematiken genom dessa redskap är en viktig beståndsdel i att utveckla kunskapen.
Lärande i ett sociokulturellt perspektiv förstås som en fråga om hur individer tillgodogör sig
kunskaper och färdigheter som man exponeras för. Vad vi lär är hur man använder medierande redskap för specifika syften. Lärande, tänkande och andra mänskliga förmågor är delar av aktiviteter,
innehållsliga till sin karaktär och situerade i sociala praktiker.
I ett sociokulturellt perspektiv ligger tyngdpunkten på begreppet mediering. Det kan gälla interaktion mellan lärare och elever men också mellan matematikens språk som symboler, tecken och
text och hur elever skapar denna mediering. Begreppet reflektion kommer väl till pass inom detta
område då vi ska försöka få våra elever att med hjälp av matematik och reflektionsspråk lära sig
matematik. Det reflekterande medvetandet blir en struktur som ger tillfälle till kreativt tänkande
och förmågan att skapa sådant som ny kunskap ökar.
Vad är matematik?
Ja, vad är egentligen matematik? I vår nuvarande kursplan för grundskolan skriver man följande:
Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl
ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.
Matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet som är
nära kopplad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper i matematik ger
människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer och ökar
möjligheterna att delta i samhällets beslutsprocesser. (LGR-11).
Här skriver man om matematikens flertusenåriga historia där tecken och symbolsystem under
den mänskliga kulturens historia har skapats av människor. Högre psykologiska processer blir till
med hjälp av den kultur som utvecklas genom historien och kommer till uttryck via en rad tecken
och symbolsystem. När vi studerar matematikens historia kan vi följa hur människan har skapat
verktyg såsom tecken för att strukturera, organisera och förstå tillvaron. När vi ser till den semiotiska utvecklingen upptäcker vi snabbt att den semiotiska representationen var viktig för utvecklingen av matematiska tankar. Det enklaste sättet att notera ett antal var att sätta ut ett antal streck.
Detta är en form av matematisk representation. Resultatet blev en abstrakt bild av det som vi ville
återge. Genom att vi uppmärksammar hur matematiken har utvecklats i olika kulturer och hur den
9
10
abstrakta matematiken har tillkommit kan vi förstå den skolmatematik som våra elever ska lära sig
idag.
Enligt Wikipedia beskriver man matematiken som en abstrakt och generell vetenskap om problemlösning och metodutveckling men även att det är vetenskapen om kvantitativa relationer och
rumsliga strukturer i den verkliga världen.
När vi ser till matematikens natur hur den har uppkommit och generaliserats så kan vi se att
skolmatematiken är en pågående process och att våra elever utifrån olika tecken, symboler och
representationer skapar sitt matematiktänk genom att delta i en interaktion mellan symboler, ord,
och tydliga situationer. Vi har haft följande figur i tankarna när vi har arbetat med skolmatematiken och utformat den på ett sätt som vi har kallat design för lärande. Detta innebär att vi riktar
uppmärksamheten mot språkliga dimensioner i undervisningen i matematik. Elver kan genom att
gestalta och tolka sin matematiska kunskap lära sig ny kunskap i matematik. Vi vill nå kvalitet i
undervisningen och i detta sammanhang menar vi att det sker när lärare och elever aktivt använder
ord, tecken, begrepp och olika situationer i matematik. Våra sätt att lära får nya förutsättningar.
Lärande måste ses som innehållsberoende, situationsbundet och det måste också förstås som dynamiskt och föränderligt. I figuren nedan innehåller samtalskulturen(diskursen) begrepp, tecken, ord
och uttryck och olika företeelser alltså specifika ord som betyder något speciellt i just matematiken
samt varierande situationer. Allt detta i en samtalskultur.
BEGREPP
FÖRETEELSE
DISKURS
Gestalta och tolka i dialog
TECKEN, ORD,
Uttryck
SITUATION
Att lära är att bli delaktig i sätt att skapa mening inom ramen för
diskurser och praktiker.
Genom att använda ett undervisningsverktyg som ”fyrfältaren” kan vi utveckla olika matematikuppgifter och elevers olika sätt att tänka och kommunicera. Här kommer mediering väl till pass
då elever ska kommunicera mellan de fyra fälten och pendla mellan spontana och vetenskapliga
begrepp. I en modell som denna tränar elever sitt språk och tänkande till mer abstrakt nivå.
Bild
Text/situation
11
Konkret material
Symboler
Artefakt språk och tanke
Det viktiga i detta sätt som elever lär matematik är att kontexten alltså i det här fallet en problemlösningsuppgift har ett tydligt fokus i lärandet, så att mediering blir till. Genom att låta elever arbeta
med ”fyrfältaren” uppnår vi även olika artefakter som sätts i rörelse. I ett sociokulturellt perspektiv
får vi på så sätt elever att förstå matematik från konkret till abstrakt eller tvärtom beroende på var
vi börjar i ”fyrfältaren”.
När vi arbetar på detta sätt får vi också en stark beröring mot reflektion och bedömning, som är
så viktiga delar av lärandet. Genom att låta elever förklara hur de har tänkt i fyrfältaren för varandra
och för läraren får vi automatiskt syn på ett kunnande i begreppsutveckling, språk och reflektion.
Formativ bedömning utifrån delaktighet, variation och
självreflektion.
Det finns mycket forskning som visar på att formativ bedömning kan öka standarden på elevers
prestationer i matematik. Enligt den första principen för lärande är det att börja där eleven befinner sig och låta elever skapa nya kunskaper till sina tidigare kunskaper. Den andra principen är att
eleverna själva måste vara aktiva i processen och kunna samtala och interagera. Den tredje principen
är att elever måste samtala om sina uppfattningar i matematik och att använda det matematiska
12
språket. Den fjärde principen är att eleverna måste förstå syftet med det som ska läras. Den femte
principen är att feedback ska visa elever hur man kan förbättra sig. (Hodgen & Wiliam, 2012).
Att implementera ett sådant förhållningssätt till matematikundervisningen är komplext och
innefattar en rad olika aspekter såsom att använda sig av utmanande aktiviteter som främjar tänkande och diskussion, uppmuntra elevsamtal genom att ställa frågor och lyssna, att skapa strategier
som stöttar alla elever att delta i diskussioner och att ha ett klassrumsklimat där öppna diskussioner
kan öppna upp ännu mer kunskap.
Självbedömning spelar en viktig roll i ett formativt arbetssätt. Det kan vara av vikt att få elever
att diskutera och argumentera för ett svar, en lösning eller en fråga. Läraren är ansvarig för att
designa och implementera en effektiv lärandemiljö och eleven är ansvarig för sitt lärande i denna
miljö.
I vår forskningscirkel har vi försökt att ha fokus på språket och kommunikationen och vissa
försök i klassrummet har gått bra andra har öppnat upp ögonen på de lärare som har deltagit. Här
finns inga rätt eller fel utan genom att ha prövat uppgifter bland eleverna har vi genom presentationer av våra uppgifter kunnat kommunicera i grupp kring vad som hände och varför. Denna
kunskap som ständigt utvecklades i gruppen under varje tillfälle har fått lärarna att reflektera över
mycket och återigen pröva nya uppgifter i sina klasser. När inte dokumentationen av eleverna blev
tillräckligt tydlig började vi pröva att filma elevernas arbete och sedan gemensamt analysera hur
saker blev. Detta gav oss fantastiska diskussioner då vi såg olika saker och då vi inte minst jämförde
olika elever i olika åldrar och med olika förutsättningar. Vi har därför beslutat att skriva en reflektion över vad denna forskningscirkel ledde fram till både i fråga om matematikundervisningens
mysterium och om lärarnas egen utveckling.
Här följer nu en genomgång från de lärare som har deltagit i denna forskningscirkel och hur
deras resultat och upplevelse har varit. De beskriver först sin egen utveckling och sedan kommer
en beskrivning av de uppgifter i matematik som vi har testat. De är alla entusiastiska lärare från
förskola till årskurs 6 och med elever som har mycket olika förutsättningar för att lära matematik.
Deltagarnas arbeten
Här följer sju beskrivningar på de arbeten som vi har genomfört och lite presentationer av lärarna
som har deltagit i forskningscirkeln. Lärarna är från olika miljöer och har olika årskurser. De har
själva skrivit sina texter och här kan man då se olika utfall och resultat från de studier som vi har
genomfört. Presentation av lärarna sker före varje del av arbetet.
13
Matematik och språk
av Malin Appelin
På gymnasiet läste jag teknisklinje med kemiinriktning och jag har grundskollärarexamen (med
inriktning mot undervisning i årskurserna l-7) i matematik och naturvetenskapliga ämnen. I tio
år har jag jobbat på en skola i Fosie. Jag har jobbat på alla stadier från förskoleklassen till och med
högstadiet, men mest på mellanstadiet. Matematik är det enda ämne jag arbetat med hela tiden.
14
Uppläggning och genomförande
Jag har i min undersökning använt mig av deltagande observationer och även fokuserade intervjuer
av eleverna. Jag har genomfört alla uppgifterna på en kommunal skola, där drygt 90 procent har
svenska som andraspråk. Uppgifterna ”matteordlista” och ”problemlösning” är genomförda i en
årskurs 4, övriga uppgifter är genomförda i en förskoleklass. Detta på grund av att jag har arbetat i
dessa klasser, när undersökningen genomfördes.
Min resa
Att fyra gånger per termin, i ett och ett halvt år, träffa kollegor från andra stadsdelar och diskutera
matematik kanske inte låter så speciellt märkvärdigt. Men det har varit oerhört lyxigt att få diskutera ämnet matematik och olika strategier för att öka intresset hos eleverna. I många yrken ses det
nog som en självklarhet att man har kompetensträffar, och tillsammans diskuterar hur man kan
göra för att förbättra och göra arbetet mer effektivt. Det diskuterars och hålls ämneskonferenser
även på min skola, men ofta blir det inga djupa och totalt fokuserade diskussioner. Detta eftersom
tiden inte räcker till, och man allt för ofta måste diskutera akuta elevrelaterade ärende eller ta igen
planering som försvann pga. konflikthantering. När tanken är att man ska diskutera ett ämne och
hur vi kan få nytta av varandras kompetenser. Alla försöker vi, men det kommer ofta något emellan.
Jag tror att väldigt många lärare känner igen sig.
Att få hör hur man jobbar på andra skolor har varit intressant och lärorikt. Ofta vill man ut och
studera hur andra gör och bli inspirerad, men alla har för mycket att göra. Jag har också känt att
jag fått bekräftelse på att det jag tidigare gjort i min undervisning varit bra. Men den mest givande
resa är tankeresan. När vi träffats och diskuterat har flera tankar och idéer fötts. Ibland räcker det
att någon berättar om hur en elev tänkt eller löst en uppgift, för att man själv kommer på ett sätt
att presentera en ny strategi eller hur man kan introducera ett nytt begrepp. Efter varje gång har det
bubblat av positiv energi och matematiktänk i huvudet.
Vad är matematik?
Vad innebär det att var matematisk och vad är det som gör att en del
elever blir matematiska?
Ett enkelt svar på frågan finns inte. Inte heller kan man säga att det finns specifika arbetsformer
som främjar elevernas lust och nyfikenhet. Matematik handlar många gånger om att pröva sig fram
och upptäcka samband och se mönster. Att våga misslyckas och inte ge upp, är en egenskap som
främjar det matematiska tänkandet. Det är viktigt att man tidigt lär sig att det är så man jobbar för
att tillgodogöra sig matematikens värld. Många elever vågar/vill inte göra fel när de löser uppgifter i
matematik, självförtroendet är ibland avgörande för hur en del elever lyckas. Jag har många gånger
mött elever, som trots att de lyckats och kunnat redogör för hur de löst en uppgift, inte vågar tro att
de klara av att lösa matematiska problem.
”Matematikarbetet i skolan har ofta en stark inverkan på elevernas uppfattning om sig själva, sitt
tänkande och sin potential att lära.” skriver Ljungblad och Lennerstad i boken Matematik och respekt.
I boken ”Elefanten i klassrummet” skriver Jo Boaler i kapitlet ”Vad är matematik?” ett svar på vad
matematik är:
”Matematik är en mänsklig aktivitet, ett socialt fenomen, en uppsättning metoder som används
som hjälp för att göra världen mer begriplig. Den är en del av vår kultur.”
Matematik är inget som alltid har ett korrekt svar, där man endast kan gör rätt eller fel. Matematik
är en levande handling för att kunna tolka omvärlden. Att elever år efter år försöker memorera
räknesätt och metoder, är inget som främjar ett matematiskt tänk utan något som snarare tar dör
på ett intresse (Jo Boaler, 2008).
15
När jag jobbade i förskoleklassen, frågade speciellt en pojke när vi skulle börja ha riktig matematik. Att vi jobbade med mönster, symmetri, symboler, pussel, diskuterade olika begrepp och byggde
olika objekt, var kul men inte riktig matematik tyckte han. Det är rätt intressant att en sexårig, utan
äldre syskon, hade en så bestämd uppfattning om vad matematik är.
Samtal med elever i förskoleklassen
16
Jag frågade eleverna i min ena mattegrupp i förskoleklassen, vad de tror är viktigt att lära sig för att
kunna bli matematisk?
Vi sitter i ring och frågan går ett varv. Alla kommer inte på något att säga. När vi gått ett varv
får alla som vill säga något räcka upp handen.
Utdrag från det samtalet:
A: Man måste kunna räkna långt.
I: Jag vill lära mig gångra, det är viktigt.
Al: Plus och minus för att få svar.
A: Att man kan cirklar, trianglar och de andra.
Al: Vi kan cylinder och kvadrat med. Jag vill göra den leken igen.
I: Du(hon menar mig) sa att vi var duktiga på att se mönster och att det var matematik.
A: Att man kan göra mönster som vi gjorde igår. Jag gjorde en gul boll och sen en röd boll och sen en
gul boll…
Al: Klockan har vi också jobbat med. Det var roligt att rita.
S: Siffror
A: Att veta hur många pengar man ska betala.
Reflektion
Svaren visar att de litar på att det vi jobbar med under mattepassen har med matematik att göra. De
tittar sig runt om i klassrummet och försöker komma på vad vi gjort. De har gått i förskoleklassen i
två och en halv månad. Många säger saker som inte har med matematik att göra. När man är sex år
bubblar det av allt möjligt allt ifrån vad mamma/pappa gjorde igår till något som de lekt på rasten.
I mattegruppen finns tio elever, var av nio var närvarande, men i stort sett är det fyra elever som
kommer med förslag. De andra kan inte svenska speciellt bra. Tre kan endast säga enstaka ord, i
alla samanhang. Det är inte lätt att tillgodogöra sig det vi jobbar med under mattepassen, även om
mycket går ut på att rita och skapa. De har svårt med allt ifrån att be om en annan färg på kritan
till att fråga något de undrar över.
I boken Matematik och respekt av Ljungblad och Lennerstad står följande: ”För att barnet ska
förstå ett nytt begrepp måste det alltså ta hjälp av andra ord. Tänkande i begrepp är omöjligt utanför det språkliga tänkandet.”
Därför tycker jag det är så fantastiskt att se den entusiasm som ändå finns bland alla eleverna när
vi pratar om symboler, symmetri eller veckans objekt. De är ofta ivriga och nyfikna, vilket är härligt.
Det är inte många vuxna som orkat kämpa så hårt varje dag och ändå bara förstå en bråkdel av det
som sägs.
17
Matematikordlista
Syfte
Som lärare försöker man välja övningar och uppgifter för att eleverna ska utveckla en förtrogenhet
med matematikens olika begrepp. Det är inte alltid man förmedlar det man tror, hur pedagogisk
man än må vara. Ett sätt att få syn på elevernas tankar är att låta dem göra en matteordlista.
Enligt Lgr 11 ska undervisningen bidra till att eleverna utvecklar en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga
och matematiska sammanhang.
Uppgiftens genomförande
Eleverna delades in i mindre grupper om tre. Jag hade i förväg valt hur grupperna skulle se ut, för att
optimera chanserna till att skapa kommunikation mellan eleverna. Alla grupper arbetade samtidigt
och jag cirkulerade i klassrummet. Två grupper behövde extra stöd i början för att komma igång.
De andra grupperna kom igång direkt. Eleverna fick rita och beskriva de 18 olika matteorden.
Matteorden var hämtade från det aktuella arbetsområdet. Eleverna hade tidigare varit med och gett
förslag på vilka ord vi kunde ha med.
Exempel från elevernas beskrivningar:
Grupp A
Matteord:
18
Subtraktion: Man subtraherar tal på subtraktion och man får en skillnad.
Division: Man ska dividera tal och får fram kvotet. Man dividerar för att veta hur
mycket var och en får.
Algoritm: Algoritm är en uppställning med tal. Det är lättare att räkna ut svaret i
de olika räknesätten.
Bråk: Bråk är när man delar en helhet.
Diagram: Man visar resultat av sin undersökning ex i ett stapeldiagram.
Grupp C
Matteord:
Subtraktion: När man minskar tal får man fram en differens.
Division: Division är när man delar tal och får en kvot.
Algoritm: Man skriver upp ex två tal och räknar summan eller skillnaden.
Bråk: Bråk är när man delar in något i bitar.
Diagram: Det finns olika diagram t.ex. linjediagram och cirkeldiagram.
Eleverna i grupp C har svårare att sätta ord på sina tankar. De kan till exempel inte riktigt redogöra
för vad ett diagram är utan ger endast exempel. Jag vet att de på lektioner både gjort undersökningar
och utifrån dem redovisat sina resultat i olika typer av diagram.
Reflektion
Det var alldeles för många ord att starta med. Eftersom eleverna fick mycket tid att diskutera och
skriva orden, blev det väldigt lite tid för grupperna att delge varandra vad de kommit fram till. I
fortsättningen kommer jag att ta maximalt fem ord i taget. Istället för att jag som lärare försöker att
presentera och skapa upplevelser för att belysa till exempel ett begrepp, kan man regelbundet låta
eleverna själv sätta ord på den matematiska termologi som vi jobbar med. Det ger mer att eleverna
får delge varandra hur de tänker. Det är dock viktigt att man också skapar upplevelser, för alla lär
sig inte på samma sätt.
Språket är centralt när det gäller att utveckla en människas tänkande, kreativitet och lärande. Att
språket har en nyckelroll i skolarbetet är ingen nyhet. När man jobbar med elever som har svenska
som andra språk blir det väldigt tydligt hur viktigt språket är. Ibland är det inte lätt att avgöra om
det är den matematiska förmågan eller ordförståelsen som är problemet i undervisningen. Om man
inte vet vad ett badlakan är, är det svårt att bedöma om arean är rimlig. Det är inte lätt att göra kommunikationen levande i klassrummet, när många elever saknar ord för att uttrycka sig. Då gäller det
att hitta andra strategier för att kommunicera, till exempel med hjälp av kroppen eller med bilder.
Problemlösning
Syfte
Det är viktigt att skapa en lust och nyfikenhet för det livslånga lärandet. Det finns elever som tror
att matematik endast handlar om att lösa algoritmer. Eftersom undervisningen ska bidra till att
eleverna utvecklar kunskaper som gör att de kan formulera och lösa problem, måste de få chansen
att tänka fritt och lära sig att inte ge upp vid minsta lilla motgång.
I Lgr 11 står att eleverna ska undervisas så att eleverna har möjlighet att utveckla sin förmåga att
»» föra och följa matematiska resonemang, och
»» använda matematikens uttrycksformer för att samtal om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.
Uppgiftens genomförande
Vi var ute på skolgården för att alla grupper skulle få stor plats och ingen skulle bli påverkad av
någon annan grupps tankar. De är vana vid att vi göra uppgifter ute. Eleverna delades in i mindre
grupper om fyra. Jag hade i förväg valt hur grupperna skulle se ut, för att optimera chanserna till att
skapa kommunikation mellan eleverna. Eleverna fick 9 laminerade A4 papper med siffrorna 1 till 9
på. Deras uppgift var att lägga siffrorna i ett kors, så att summan vågrätt blev lika stor som summan
lodrätt. Korset skulle ha 5 siffror vågrätt och 5 siffror lodrätt.
Hur gick det
Alla grupperna började genast lägga ut siffrorna. I början placerade de flesta grupperna åttan eller
nian i mitten. Utan att ändra på siffran i mitten försökte de ändra de övriga siffrorna så att det skulle
stämma. Ibland blev någon grupp lite ivrig och trodde att de lyckats, men det var ofta någon som
kontrollräknade innan jag hade hunnit komma dit för att höra deras tankar. Efter ett tag började
de resonera tillsammans och prata om summor och tiokompisar. Sen gick det rätt snabbt att lägga
19
ut ett kors. De flesta grupper kom själv fram till att det hade varit bättre om de lyssnat på varandra
direkt.
Reflektion
20
Att vara ute är ofta en positiv upplevelse för eleverna. Eleverna tycker ofta tiden går fortare än om
man är inne. Det är viktigt att man försöker göra grupper där eleverna känner sig säkra och vågar
uttrycka sina tankar. Alla kände sig nöjda med lektionen och när vi gick in och gjorde en magisk
kvadrat med samma siffror gick det rätt snabbt att hitta en lösning. Då märkte man att eleverna
pratade med varandra och reflektera över hur de löst uppgiften ute.
”Ju mer skolan kan attrahera elever med kunskapsglädje som en stark positiv känsla, desto fler
elever kan ges möjligheter och vill söka kunskap, tänka självständigt och känna inspiration.” Är ett
citat hämtat ur boken Matematik och respekt – matematikens mångfald och lyssnandets konst av
Ljungblad och Lennerstad.
Utelektioner upplever jag skapar en stark positiv känsla hos eleverna. Speciellt om man kan leka/
tävla fram budskapet. Jag uppfattar att det ibland generera tydligare minnesbilder än om man gör
samma sak inne. Detta eftersom eleverna oftare refererar till utelektionerna, när de ställs in för olika
problem. Det krävs dock att man är tydlig och har strukturerade uppgifter, så att inte tiden används
till annat. Min erfarenhet är att när eleverna har kul, är de fokuserade och deltar.
Bilparkeringen
Uppgift från strävorna http://ncm.gu.se/media/stravorna/2/a/23A_bilparkering.pdf.
Syftet
Barn har ett behov att få skapa och är i grunden mycket kreativa. Eleverna måste få upptäcka och
uppleva med alla sina sinnen. Att tidigt upptäcka att det finns mönster i matematiken och lära sig
olika strategier för att upptäcka mönster är viktigt.
I Lgr11 under matematikämnets syfte står följande:
”Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar intresse för matematik och tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang. Den ska också ge eleverna möjlighet att uppleva
estetiska värden i möten med matematiska mönster, former och samband.”
Uppgiftens genomförande
Eleverna arbetade i par. Det var två par som arbetade samtidigt och jag satt bredvid båda paren.
Övriga elever fick i smågrupper arbeta med pussel eller rita. Eleverna skulle parkera en röd och en
blå bil på olika sätt på en parkeringsplats, där det fanns fyra tomma parkeringsfickor i två rader.
De fick ett arbetsblad där det fanns ett mindre antal bilparkeringsplatser, än det fanns möjligheter.
Jag ville se om de fortsatte att komma med förslag, eller om de trodde att de var färdiga när parkeringsplatserna tog slut. De skulle med hjälp av tuschpennor rita/markera in hur de parkerat bilarna
på olika sätt.
Hur gick det
21
Eftersom ungefär hälften av eleverna har väldigt svårt att kommunicera på svenska, var det bra
att de fysiskt kunde visa varandra hur de tänkte. Två grupper gjorde lika många förslag som det
fanns färdigritade bilparkeringar. När jag utmanade dem att komma på fler förslag, lyckades de rätt
snabbt och fortsatte till dess att det inte fanns fler. En grupp hade väldigt svårt att göra mer än fyra
förslag. Dem fick jag hjälpa och visa hur andra förslag kunde se ut, dessa elever har även tidigare
haft väldigt svårt att se mönster. De andra grupperna kom själv på att det fanns fler förslag och
ritade upp egna parkeringsplatser.
Denna grupp ritade själv fler parkeringsplatser när de på arbetsbladet tog slut. När
det inte fanns plats för fler på pappret hämtade de ett vitt papper och fortsatte. Det är
så man vill att elever ska jobba, kreativt och
ta självständiga beslut.
Denna grupp gjorde först lika många
förslag som det fanns parkeringsplatser.
Flickan i gruppen ville att de skulle försöka
göra fler förslag, men pojken var övertygad
om att de var färdiga. När jag uppmanade
dem att fortsätta, slutade de inte förrän de
kommit på alla sätt. Det var inte så mycket
samtal mellan eleverna, utan de flyttade
bilarna och skannade av de tidigare bilderna de gjort.
22
Denna grupp tog lång tid på sig och gjorde
fyra förslag. Jag försökte lirka lite och säga
att det kanske fanns fler. Jag trodde att de
hängt upp sig på att bilarna skulle stå bredvid varandra. Men de kom inte på något.
Jag visade först ett förslag och satte kryss,
men de kom inte på något annat förslag
ändå. Eleverna har svårt att se mönster och
har väldigt begränsat ordförråd.
Reflektion
Jag hade medvetet valt att ha olika färger på bilarna. Eleverna tyckte det var roligt att rita/markera
hur de parkerade. Kommunikationen var väldigt sparsam, men uppgiften kändes lyckad. Det är
intressant att se att sexåringarna inte tror att uppgiften är slutförd för att arbetsbladet inte har fler
parkeringsplatser. Jag tror man vinner oerhört mycket om man lär eleverna från början att inte styras av arbetsblad, hur man gör i matteboken eller dylikt. Lärdomen som eleverna fick med sig var
förhoppningsvis, att de vågar lita på sitt eget omdöme och gå sina egna vägar. Att de inte hittade
något mönster eller skapade en klar strategi över hur uppdelning av tal kan ske, känns underordnat
denna gång. Om något år kan man göra uppgiften igen med fler parkeringsplatser och fokusera på
mönster och uppdelningen av tal.
Fyrfältaren
Syftet
För att förankra matematiska begrepp hos eleverna är det bra att de på olika sätt jobbar med ett
nytt begrepp. En uppgift med både ord, bild och skapande, ger eleverna en ökad chans att lära sig
det nya begreppet.
23
I Lgr11 under matematikämnets syfte står följande:
”Genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och metoder och deras användbarhet.”
Uppgiftens genomförande
Eleverna arbetade i par. Det var två par som arbetade samtidigt och jag satt bredvid båda paren. Övriga elever fick i smågrupper arbeta med pussel eller rita. Eleverna fick ett färgat A3-papper som var
indelat i fyra fält – bild, symbol, ord och räknehändelse. Det fanns konkret material att använda,
såsom gummifrukter, olika objekt och klossar. Eftersom ingen av eleverna kan skriva fick jag skriva.
De kunde välja att rita direkt på A3-pappret eller rita på ett annat papper och sen klippa ut och
klistra fast det de skapat. Begreppet som de skulle jobba med var addition.
Hur gick det
Eleverna ritade och målade med stor entusiasm. Räknesagan och att beskriva med egna ord var en
utmaning. Alla kan inte ens prata i hela meningar. Två grupper klarade nästan helt själv att komma
på en räknehändelse/räknesaga. En grupp valde ut ett tema och jag fick stötta dem med en berättelse. När vi skulle skriva symbolerna för bilden, hade eleverna svårt att komma på att de kunde
använda siffror. Elevexempel:
Denna grupp hade väldigt svårt att
formulera sig. De kom endast på meningen: Vi har äpple och päron. När
de skulle göra räknesagan fick jag
fråga – Ska det handla om en bonde?
Ska de plocka frukt? Vem ska räkna
frukterna?
Eleverna har väldigt svårt att uttrycka sig i alla sammanhang.
24
Denna grupp formulerade sig helt
själv. Jag antecknade ordagrant vad
de sa. Det är två elever som kan uttrycka sig och hänger med väl i undervisningen. Deras objekt var bitar
till att bygga ett slott.
rEFLEKtioN
Eleverna tyckte om att arbeta med uppgiften. De lekte addition både på rasten efter och på fritids.
Eftersom de helt allmänt har svårt att kommunicera tyckte jag att uppgiften gick bra. Man får inte
glömma att de endast är sex/sju år. Om man vänjer eleverna att man jobbar så här med nya begrepp
tror jag att de lättare skapar en förståelse. Man behöver inte använda A3-papper var ända gång. Jag
kan tänka mig att man har en A4-bok med vita papper, då får eleverna en egen uppslagsbok.
Enligt Lgr11 under matematikämnets syfte står det:
”Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang. Eleverna ska genom undervisningen också ges möjlighet att utveckla en
förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera
om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang.”
När eleverna jobbar med fyrfältaren vandrar eleverna mellan matematikens olika uttrycksformer.
Räknehändelse ger en möjlighet att sätta begreppet i ett vardagligt och individuellt sammanhang.
När de redovisa för varandra tränas eleverna till att argumentera och föra matematiska resonemang.
Jeremy Hodgen och Dylan Wiliam pratar om de olika principerna för lärandet i sin bok ”Mathematics inside the black box”.
När man ska starta ett nytt arbetsområde, bör man börja med att få fram elevernas kunskaper
och erfarenheter kring ämnet. Då skapar man dels ett intresse för ämnet och dels ett meningsfullt
sammanhang, som eleven kan ha som grund för vidare kunskapsutvecklingen. Eleverna måste själva
vara aktiva i processen och få samtala om sina uppfattningar i matematik, för att skapa sig en förståelse och bygga upp det matematiska språket(Hodgen och Dylan, 2006).
Fyrfältaren uppfyller kraven för att tillgodo se de tre första principer för lärandet enligt Hodgen
och Dylan.
25
Matematik, språk och lärande
av Maria Dellrup
26
Jag är grundskollärare 1–7 med inriktning matematik och naturvetenskapliga ämnen som tog min
examen strax innan jul 1993. Sedan dess har jag arbetat på flera olika skolor, både privata och kommunala. Jag har arbetat i olika områden och haft elever med mycket skiftande bakgrund. De ämnen
jag är utbildad för att undervisa i tycker jag är intressanta, men mest brinner jag för matematikämnet. Roligast är att ta reda på hur eleverna tänker, se när de gör nya upptäckter och vara med när
”polletten trillar ner”.
Min resa
En dag i början på 2012 hittade jag några rader om att det skulle starta en forskningscirkel om
matematik och språk. Spännande och intressant, var mina första reflektioner. Ett mail senare var
jag anmäld. Det kändes lite som att hoppa rakt ut utan att veta var jag skulle landa. Inte ens i min
vildaste fantasi kunde jag föreställa mig den resan som detta skulle ta mig med på. Då hade jag
varit lärare i 18 år och arbetat på flera olika skolor, med elever med olika bakgrund och med olika
förutsättningar.
Idag har det gått mer än ett år sedan vår forskningscirkel startade. Vi har träffats många gånger,
läst böcker, samtalat, inspirerat varandra och utfört många uppgifter med elever, som sedan analyserats och diskuterats. Detta arbete har gett så otroligt mycket att jag i höstas kände att jag kunde stå
på egna ben i min matematikundervisning, så jag tog det sista steget och lät läroboken i matematik
få ligga orörd. Ja, ibland tar vi fram den och använder en sida men bara om den passar till det vi
arbetar med. Vi har så mycket att prata om i matematiken och det är så intressant att följa elevernas
matteresa att vi inte hinner med boken mer än då och då.
Om sanningen ska fram så såg jag fram emot de nationella proven i år 3 (eftersom jag arbetar i
år 3 i år) med skräckblandad förtjusning. Hur skulle det gå? Hade jag gjort rätt? I skrivandets stund
har klassen gjort alla proven utom ett och jag ser att det gått så otroligt bra. Det känns så skönt att
veta att de lärt sig det de ska och mer än så, dessutom (eller tack vare det det) har de arbetat med
roliga, utmanande och lärorika övningar där fokus legat på kommunikation. Matematik och kom-
munikation hänger ihop, vilket t.ex. Ljungblad och Lennerstad (2012) skriver i sin bok Matematik
och respekt:
”Man måste inse att man skapar aktivitet och lär i en gemenskap med andra samt att man bearbetar världen med olika verktyg, omarbetar verkligheter och ser saker på nya sätt. Elev och lärare äger
ju det matematiska språket gemensamt. Det är viktigt att även eleverna lär sig att intensivt lyssna
på andra människors uppfattningar. Det är dessutom viktigt att de lär sig våga argumentera för sin
åsikt och diskutera, förhandla och uttrycka sina föreställningar. Eleverna behöver utveckla sin kommunikationsförmåga och klä i ord, bilder, rita, skriva och visa sina upplevelser och sin matematiska
medvetenhet. Att så småningom nå en insikt om att man kan se saker och strukturer på olika sätt”
(sidan 254).
Vad är matematik?
Hur är man om man är matematisk?
På våren 2012 hade jag förmånen att få lyssna på Bengt Johansson från Nationell Centrum för
matematik. Det var på en konferens för matematikutvecklare i Malmö. Vi passade då på att ställa
frågan till honom och han svarade så här:
”Att kunna se mönster i tillvaron och tänkandet som kan abstraheras och generaliseras till en ”värld”
av matematiska begrepp och samband där man kan röra sig fritt, samt att kunna använda denna
värld för att i nästa steg kunna förklara, konstruera eller förändra världen.”
Uppgiftens genomförande
Mina elever i år fem fick också ta ställning till frågan. De fick sitta i smågrupper och diskutera. Här
är ett urval av elevernas förklaring:
»» Matematisk är man om man studerar matematik och är smart och duktig på matte.
»» Matematisk är man om man tänker och ser matte i allt man gör, t ex om en sitter
och pratar och de andra lyssnar så tänker man att det är X% som pratar och X%
som lyssnar.
27
»» Matematiskt är man om man tänker matte och är ett mattegeni!
Ett halvår senare hade dessa elever gått vidare till årskurs 6 och jag hade fått en årskurs 3 att undervisa. Jag beslöt mig för att låta dem ta ställning till samma fråga, samt skatta sig själv i hur matematiska de ansåg sig vara. Detta fick de göra enskilt på en stencil.
Sammanfattningsvis ansåg dessa elever att matematiska är de elever som kommit långt i matteboken. Många ansåg dessutom inte att de var matematiska (för de hade inte kommit så långt i
boken). Jag insåg att vi hade en lång resa framför oss, en resa som skulle bli utmanande för både mig
och dem.
28
Reflektion
Hur ska jag kunna skapa en bra matematikundervisning? Hur ska jag få dem att inse att matematik
är roligt? Detta och många andra frågor ställde jag mig efter att ha sett årskurs tre-elevernas svar.
Hur skulle jag gå vidare?
Jag förstod att dessa elever behöver få se samband, lära sig det matematiska språket och få utmaningar. Matematiska utmaningar och dess positiva effekt beskrivs av Jo Boaler i boken ”Elefanten i
klassrummet” och jag tänkte att det var här jag skulle börja. I oktober 2012 åkte jag på konferens i
Stockholm och fick lyssna på Bengt Draht. Det var då som allting föll på plats och mitt och elevernas arbetssätt stod klart:
»» Tänk enskilt.
Alla ska hinna sätta sig in i problemet och börja tänka ut en strategi.
»» Lös uppgiften i par eller trio.
Diskutera! Argumentera! Enas om den bästa lösningen.
»» Förbered redovisningen
Alla ska vara beredda att redovisa. Alla skriver och läraren väljer redovisare.
»» Redovisning
Läraren hjälper till att strukturera elevernas tankar och synliggöra innehållet.
Detta arbetssätt ger en struktur till varje lektion och ger mig och eleverna en trygg ram att arbeta
inom. Under våren införde jag mattekompisar (två och två eller max tre) i klassen så att eleverna
alltid vet vem de ska arbeta med när de löser uppgifter. Detta har vi precis utvärderat och det är
övervägande positivt. De lär av varandra och kan så mycket mer när du hjälps åt.
Begreppsutveckling
Syfte
Syftet är att göra eleverna medvetna om att de har ett vardagsspråk och ett matematiskt språk. På
detta sätt vill vi skapa en brygga mellan de båda språken.
Uppgiftens genomförande
Under två veckors tid lät jag eleverna vara detektiver och uppmärksamma alla ord som jag använde
och som tillhörde språket ”matematiska”. De ord som de reagerade på och lyfte skrevs ner på blädderblocksblad som satt uppsatta i klassrumet. Efter två veckor delade jag upp orden mellan eleverna
och de fick förklara dem. De fick arbeta i smågrupper under en lektion.
Matematiska
Ordens förklaring enligt elever i åk 5
5, 14 och andra
siffror
Siffror är tal.
Det är tal som är bestämda.
Lägst
Lägst är det som är längst ner.
9-1 så är 1 lägst.
Högst
Högst är det som är…
9-1 så är 9 högst.
Subtraktion
Subtraktion är minus, t ex 2-2=0.
Är som t ex 1 ta bort 1 = 0.
Addition
Addition är plus, t ex 13+7=20.
Plussa.
Det är när man plussar två tal, t ex 4+20=6.
Är t ex 1 plus 1 = 2.
Summera
T ex 13+7=20.
Är som att räkna ut ett tal.
Multiplicera
Gånga.
Det är när man tar en sak som kostar 7 kr, så kan man räkna ut hur mycket tre kostar.
Dividera
Dela.
Delat med.
Division
Är ett tal man dividerar.
Man delar något.
Kvot
Svar av division.
Kvot är svaret när man dividerar olika tal.
Heter svaret på division.
29
30
Matematiska
Ordens förklaring enligt elever i åk 5
Räkna
Det kan vara att plussa, dra ifrån, gånga, dela ett tal.
Man räknar ut svaret.
Täljare
Det man delar med i division.
Täljaren är det man delar nämnaren med.
Öre
En hundradels krona.
Det går 100 öre på en krona.
Klockan
Solur, sekunder, timme och minuter. Har visare. Kan ha 12 timmar eller 24. Kan se olika ut.
Man kan veta tiden.
Uträkning
Huvudräkning eller uppställning.
Man räknar ut något, t ex ställa upp.
Delbart
När man delar det så går det jämnt ut.
Något man kan dela.
Svar
Summan, skillnaden, kvoten eller produkten.
Man svarar på en fråga/tal.
Tal
En eller flera siffror.
Olika siffror. Man kan räkna ut olika tal, t ex 90+8=98.
Förklaring
När man förklarar, t ex 2+2=4.
Ett invecklat svar.
Process
En tanke, hur man tänker.
T ex när man gör något gör man olika saker under tiden och det är processen.
Matematisk
När man kan räkna ut ett tal på många olika sätt.
När man kan mycket matte och tänker: ”MATTEMATTEMATTE!!!”
Diameter
Längden/bredden på cirkeln.
Hur långt det är från sida till sida i en cirkel.
Nämnare
Nämnaren är 3 i 36/3=12.
Är det man delar täljaren med.
Jämnt
Lika mycket hos varje.
Jämnt är 2, 4, 6, 8, 10… eller att det går jämnt ut!
Ental
Entalet är 6 i 736.
Sista siffran i talet, gäller ej decimaler.
Tabell
Uppdelad uträkning.
En ”sak” med siffror som är uppradade lodrätt.
Räknesätt
Våra olika sätt att räkna med: division, multiplikation, addition och subtraktion.
Ett sätt att räkna på.
Förklarat av elever i åk 5.
Reflektion
Eleverna tyckte att det var roligt att vara detektiver och se mängden ord öka på blädderblocket och
de tyckte att det var roligt att resonera kring förklaringarna. För mig som lärare blev det emellanåt
lite jobbigt att bli avbruten mitt i olika diskussioner eller genomgångar för att gå bort och skriva på
blädderblocket. Detta kunde jag löst bättre genom att skriva ner orden som eleverna reagerade på,
på en lapp för att sedan skriva upp på blädderblocket efter lektionen eller genomgången.
Jag valde att låta eleverna fundera och reflektera över orden i grupp och sedan samlade jag in informationen. Jag kunde valt att arbeta vidare med orden och låtit eleverna redovisa sina förklaringar
i helklass. De kunde då fått ut en ordlista som de kunde klistrat in i sina matteloggböcker. Jag kunde
också låtit eleverna arbeta vidare med orden genom att låta dem dela upp orden i olika kategorier, t
ex vilka ord träffar vi på när vi pratar om geometri.
För mig som lärare gav det mycket information om elevernas kunnande när de diskuterade och
skrev ner sina förklaringar. Detta är en uppgift som är mycket bra ut många aspekter, inte minst
ut bedömningshänseende. Mitt mål som lärare måste vara att på så många olika sätt som möjligt
få eleven att visa sin kunskap, för precis som Grevholm et al. (2012) skriver i boken ”Lära och
undervisa matematik från förskoleklass till åk 6” så är ”Ingen bedömning av en elevs kunskaper i
matematik är möjlig utan att eleven på något sätt visar sin kunskap.” (s. 258)
Utematematik och begrepp
Syfte
Syftet var att planera ett arbetsområde med matematiska begrepp som går från det konkreta till det
abstrakta.
Uppgiftens genomförande
Med utgångspunkt från Lgr 11 (2011) planerade jag ett arbete kring grundläggande begrepp som
till exempel stor, större, störst för mina elever i åk 3.
Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar
att utveckla sin förmåga att:
»» använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
»» använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.
31
Kunskapskrav för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3
Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda
dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt. Eleven kan beskriva
begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller bilder. Eleven kan även
ge exempel på hur några begrepp relaterar till varandra. (Lgr 11, 2011)
Planering
32
»» Utematte där eleverna arbetar två och två. De får samla lika många föremål av
samma sort. Sitta med ryggarna mot varandra. Den ena bygger en bild med föremålen på ett ritpapper. Eleven beskriver för den andre, som bygger. Sedan tittar de
på varandras bilder och ser hur det gick. Byt roller. Syfte: att använda begreppen
både i lyssnande och talande.
»» Läxa med samma innehåll som ovan, se bild 1
Syfte: att se hur de skriver ner, dokumenterar, det
de övat på i skolan.
»» Arbeta med begreppen två och två och visa dem fysiskt, men också olika grader av samma
begrepp. Eleverna får en lapp med vilka
begrepp de ska visa. Här visas lång, längre,
längst. Se bild 2
»» Eleverna skattar sig mot de olika begreppen vi arbetat med enligt skalan: öva mer,
kan, kan mycket bra. De får också fundera kring vad de behöver lära sig mer om.
»» Eleverna får ännu en bild som jag byggt och fotograferat.
Till denna finns en kortfattad beskrivning. Eleverna får arbeta två och två och
förbättra denna. Som steg två får de försöka komma på vad den som skrivit texten
behöver bli bättre på.
»» Egen dokumentation av de olika begreppen där de också får ge exempel, i sina
loggböcker.
Diskutera två och två och se hur dessa förklaringar kan förbättras/göras tydligare.
»» Gör om uppgift som liknar läxan och se om deras språk utvecklats.
»» Eleverna skattar sig återigen mot de olika begreppen vi arbetat med enligt skalan:
öva mer, kan, kan mycket bra. De får också fundera kring vad de behöver lära sig
mer om.
Reflektion
Denna planering har bara genomförts till viss del men har lett till många och nyttiga diskussioner
mellan eleverna. Vi arbetade med detta i början av terminen i årskurs 3 och min tanke var, förutom
de kunskapsmässiga, att eleverna skulle börja tycka att matematik var roligt och spännande.
Eleverna lärde sig mycket om de rumsliga begreppen och fick prata mycket med varandra. Idén
med att sitta rygg mot rygg, bygga och berätta har vi också använt i andra sammanhang bland annat
när vi arbetade med tvådimensionella geometriska figurer. De blev också mycket engagerade i sina
uppgifter som de många gånger upplevde som ovanliga mot vad de var vana vid. Den största framgången med detta arbete blev dock att alla i klassen blev engagerade i sina uppgifter och började
tycka att matematik var roligt, även om de nog många gånger tyckte att deras fröken sa till dem att
göra underliga saker.
Problemlösning – bilparkeringen
Syfte
Syftet med uppgiften var att låta eleverna arbeta med problemlösning och få öva på att se mönster i
matematiken. Eleverna skulle också rita sina olika lösningar för att visa dem att detta många gånger
är en användbar metod för att lösa ett matematiskt problem.
33
Uppgiftens genomförande
34
Jag lät eleverna göra uppgiften Bilparkering 2A, 3A från http://ncm.gu.se/media/stravorna/2/
a/23A_bilparkering.pdf.
Eleverna fick en uppritad tvåsidig parkeringsplats. På parkeringsplatsen skulle ett givet antal
bilar parkera. Eleverna skulle underöka på hur många olika sätt de kan dela upp/fördela bilarna på
parkeringsplatsens både sidor.
Det har ingen betydelse hur bilen ser ur eller vilken modell de är av. Det har heller ingen betydelse i vilken parkeringsruta bilden står utan bara på vilken sida av parkeringen.
Jag bestämmer mig för att först prova övningen med en halvklass. Jag ritar upp parkeringen på
tavlan. Eleverna får reda på att de har 4 bilar som de ska parkera på olika sätt på parkeringsplatsen.
Eleverna skrider till verket och ganska snart inser jag att de är mycket fokuserade på att just
parkera på olika sätt. De arbetar med papper och penna och i grupper om 2-3 elever. Alla grupper
tänker att de kan parkera sina bilar på ena sidan av parkeringen men tolkar det som olika sätt om de
ställer två till höger och två till vänster. Jag inser att jag måste begränsa uppgiften för att få dem att
fokusera på rätt saker men väljer att låta dem hållas och filmar dem under deras arbete för att vänja
dem vid filmandet.
Ett par dagar senare låter jag hela klassen arbeta med en parkeringsplats med fem parkeringsrutor uppe och fem nere. De får fem bilar som de ska parkera på så många olika sätt de kan komma
på. En grupp, som består av fem elever, får följa med mig ut i grupprummet för att filmas. De andra
arbetar vidare i klassrummet tillsammans med specialläraren och elevassistenten.
Vi kan kalla eleverna i grupprummet för Eskil, Simon, Lena, Lisa och Carin. Gruppen består av
två pojkar och tre flickor. Mitt urval baserades på att jag ville ha en grupp med elever av olika kön,
olika kunskapsnivå i matematik och olika självförtroende i ämnet. Simon och Eskil är pojkar. De
är på ungefär samma kunskapsnivå i matematik men Eskil har ett starkare självförtroende i ämnet.
Lena, Lisa och Carin är flickor. Carin och Lisa har ett lägre självförtroende i matematik än Lena.
Gruppen sitter i grupprummet och blir filmade samtidigt som de löser uppgiften enskilt. Eskil och
Lisa tävlar om vem som kan hitta flest sätt att parkera bilarna på. Återigen är de helt övertygade om
att det finns ett oändligt antal sätt, ” i alla fall 25!”
Eskil börjar rita stora parkeringsplatser och markerar sina bilar med streck. När han efter en
stund ska förklara sina tankar för mig är det svårt att se vad som är parkeringsruta och vad som är
bil. Han ändrar då sin strategi och börjar markera sina bilar med cirklar.
Med tiden blir det jobbigt att rita så stora parkeringsplatser så han börjar göra dem mindre och
mindre. Se bild 1 och 2.
35
Bild 1, Eskil i åk 3
Bild 2, Eskil i åk 3
Lena ritar först en bil med mycket detaljer men efter att jag betonat att det inte är så viktigt med
detaljerna så börjar hon rita enklare bilar, dock håller hon fast vid att alla bilar ska ha två lyktor där
fram.
Lena ändrar också om parkeringsrutornas placering utefter eget huvud och tycker att det är ett
annat sätt om hon parkerar bilarna på snedden inne i rutorna istället för rakt. Se bild 3.
36
Bild 3, Lena i åk 3
Simon gör som Lena i början och ritar mycket detaljer, men övergår snabbt till ett mer schematiskt
ritande. Han använder då samma sätt som Carin gör från början. Se bild 4 och 5.
37
Bild 4, Carin i åk 3
Bild 5, Simon i åk 3
Vid nästa lektionstillfälle arbetar vi i helklass. Jag ritar upp
parkeringsplatsen med fem rutor uppe och fem där nere, på
tavlan igen. Jag ber eleverna titta på sina lösningar och vi
fokuserar nu på hur många bilar de parkerat uppe och hur
många de parkerat där nere. Jag skriver orden vid bilden för
att det ska bli tydligt. I en tabell skrivs rubrikerna ”uppe”
och ”nere” och så fyller vi i den allt eftersom eleverna redogör för sina lösningar. Eleverna skriver på samma sätt i sina
häften. Så här Lisas tabell ut. Se bild 6.
Bild 6, Lisa i åk 3
38
Tillsammans drar vi slutsatsen att det går att parkera på 6 olika sätt med fem bilar.
Ett par dagar senare är det dags för ”min” grupp att träffas igen i grupprummet. De får då
samma uppgift som tidigare, men du ska de arbeta med sex parkeringsplatser uppe och sex nere och
det är 6 bilar som ska parkeras. De får också veta att de ska göra detta tillsammans.
Gruppen kommer överens om att Carin ska skriva. Gör en
tabell, föreslår Eskil och de andra samtycker. Carin, som tyvärr var sjuk när vi gjorde tabellen tillsammans i helklass förstår inte riktigt men Lisa visar henne och sedan sätter gruppen igång.
De låter ordet gå runt och kontrollerar hela tiden att nya
förslag inte redan finns med i tabellen. De kommer snabbt
fram till sina svar och letar sedan vidare efter fler möjligheter
en stund, innan de ger upp. Denna gång är det ingen som
tror att det finns 25 olika sätt. Gruppen sammanfattar att
med 6 bilar finns det 7 olika sätt. Se bild 7.
Bild 7, Carin i åk 3
Lisa säger då: ”Om det finns 6 sätt med 5
bilar och 7 sätt med 6 bilar så tror jag det
finns 5 sätt med 4 bilar.” (Det är så härligt
när eleverna själv driver arbetet framåt och
det blir mer naturligt än om jag skulle ställt
frågan för att leda in dem på spåret.) Jag
ritar upp en parkeringsplats med 4 platser
uppe och 4 nere och skriver upp Lisas teori.
Flickorna i gruppen sätter genast igång och
undersöker detta. De gör en tabell och kommer fram till att teorin stämmer. Se bild 8.
Bild 8, elev i åk 3
Pojkarna vill då prova om teorin
stämmer för 7 bilar och då ska det
i så fall finnas 8 olika sätt. De sätter
också igång på samma sätt. Se bild 9.
39
Bild 9, elev i åk 3
När grupperna är klara berättar de för varandra vad de kommit fram till. De ser mönstret och kan
då svaret för vilket antal bilar som helst. Jag frågar dem om olika antal bilar och de svarar i kör. Vi
samtalar också om att det de kommit fram till är att det finns ett sätt mer att parkera på, än det finns
antal bilar, dvs. n+1. Detta känns främmande för dem och jag släpper det för denna gång, nu har de
i alla fall hört det och det lämnar öppet för vidare diskussioner om detta en annan gång.
Reflektion
Eleverna har fått kommunicera mycket med varandra när de utfört uppgifterna, bortsett från den
stunden då de arbetade enskilt. De begrepp de använt i sin kommunikation är inte så matematiska
men eleverna har diskuterat mycket matematik. Om man vill träna specifika begrepp så finns det
andra och bättre uppgifter för just detta.
I elevernas kommunikation har jag inte kunnat upptäcka några olikheter mellan eleverna. Trots
olika kunskapsnivå och självförtroende inom ämnet har eleverna i gruppen klarat uppgiften lika
bra och alla har bidragit under arbetet. Det har varit intressant att se hur de alla hjälpts åt och gett
varandra råd och stöd under arbetet. Intressant har också varit att se hur lätt de kunde se mönstret
som uppstod och hur de fick nya teorier som de provade.
Ur ett socialt perspektiv var denna uppgift också mycket utvecklande.
40
Eleverna tränade på att undersöka och lösa en uppgift. De strukturerade upp sina lösningar
med hjälp av en tabell som gjorde det tydligt för dem och som sedan kunde hjälpa dem att dra en
slutsats. Eleverna kunde utifrån detta fundera vidare kring mönstret de såg, ställa en hypotes, undersöka om den stämde eller ej och dra nya slutsatser. De kunde också se mönstret för ett oändligt
antal även om denna ”formel” endast uttrycktes med ord. Eleverna upptäckte också att de hela
tiden delade upp antalet bilar i talkamraterna, men detta var ingen nyhet för dem utan mer ett faktum. Detta, tillsammans med den kommunikativa biten, är det viktigaste matematiska innehållet i
uppgiften.
Eleverna fick skriva ner sina hypoteser och sina slutsatser på det papper på vilket de arbetade.
Detta hade de lika gärna kunnat göra i en matematikloggbok eller liknande.
Jag tycker att det var mycket spännande att följa denna grupp i detta arbete. Det viktigaste jag
sett tycker jag är hur lätt eleverna anammade detta arbetssätt, då jag inte upplever att de varit vana
vid att presentera sina resultat i t ex en tabell eller få argumentera eller diskutera sina uppgifter. Det
jag sett stämmer väl överens med det som Ljungblad och Lennerstad (2012) skriver i ”Matematik
och respekt”:
”Upptäckarparadigmet innebär att elever är aktiva deltagare och upplever glädje, blir stimulerade
och får anta utmaningar, och med stöd från lärare och kamrater hanterar sitt matematikupptäckande så att det personliga lärandet kan leda till ny förståelse och utveckling” (sidan 29).
Problemlösning – Polkagrishusen
Syfte
Syftet med uppgiften var att låta eleverna arbeta med problemlösning och samtidigt få öva på att
dokumentera sin undersökning så att de efteråt kunde berätta för sina klasskamrater om vad de
kommit fram till. Min önskan är att de med tiden ska se vikten av att organisera sin undersökning
så att det går lätt för dem att hitta i sina anteckningar men också att jag kan se hur de arbetat och
följa deras tankegångar.
Uppgiftens genomförande
På hus med olika antal våningar målas fasaderna på följande sätt:
»» Varje våning får antingen röd eller vit färg.
»» Två på varandra följande våningar får ej vara röda.
»» Däremot för två eller flera våningar efter varandra vara vita.
På hur många olika sätt kan man måla hus med en våning, två våningar, tre våningar och så vidare?
Vi arbetar med uppgiften i halvklass och går igenom husen med en våning på tavlan. Eleverna
får uppgiften muntligt, och vi samtalar om de regler som gäller. Vi samtalar också om polkagrisar
och hur de ser ut. Jag ber dem arbeta med husen med två våningar tills eleverna anser att de hittat
alla sätt de kan måla dem på. Sedan får de gå vidare till tre hur osv. Eleverna får arbeta en och en
med uppgiften under cirka 10 minuter.
Eleverna ritar och funderar. Jag går runt och småpratar med vissa elever och ser hur husen växer
fram. ”Det här var roligt!” är kommentarer som hörs från flera håll. ”Jag är klar med mina tre-hus,
kan jag göra fyra-hus nu? ”Jag tror att det går 12 gånger.” ”Jag trodde det skulle bli 6 gånger, men
det blev det inte.” är andra kommentarer.
Denna elev är mycket koncentrerad på att alla husen
ska se ut som polkagrisar. För
henne är det mycket viktigt
att beskriva färgerna på husen.
Se bild 1.
Bild 1, elev i åk 3
41
Denna elev har tydligt visat sin tankegång och har sammanfattat antalet sätt. Viss komplettering
har skett efter vår gemensamma genomgång. Detta gäller även för nästa elevarbete. Se bild 2 och 3.
42
Bild 2, elev i åk 3
Bild 3, elev i åk 3
När vi gick igenom vad de kommit fram till på tavlan, tog vi en hustyp i taget. Eleverna fick berätta
hur husen kunde se ut och jag lät dem svara slumpvis, för att alla skulle få komma till tals. Jag uppmuntrade eleverna att rita till de förslag de inte hade bland sina lösningar.
Reflektion
Det var spännande att se hur eleverna tänkte men också hur de strukturerade sina lösningar. Denna
klass har inte arbetat på detta sätt så mycket tidigare och i början var det svårt för dem och mig att
tyda deras tankar på papperet, eftersom allting hamnade huller om buller. Nu har många av eleverna insett att det är av värde att de kan berätta vad de kommit fram till när vi sammanfattar vårt
arbete, och det har gjort att eleverna är mer noga i sina dokumentationer.
I det sista elevexemplet ovan kan vi tydligt se:
Hustyp
Ett-hus
Två-hus
Tre-hus
Fyra-hus
Fem-hus
Sex-hus
Antal sätt
2
3
5
8
13
?
Förändring
–
+1
+2
+3
+5
?
Med eleverna har vi ännu inte hunnit göra en tabell men när de såg hela sammanställningen framför sig på tavlan var det några som konstaterade: ”Med sex-hus blir det 17 sätt!”
Vi kommer att ta reda på det och se hur tabellen ser ut. Kan vi se något mönster?
I nuläget är jag glad att de ställer hypoteser, söker fakta och reviderar sina hypoteser. De tänker
och försöker se mönster, vilket är ett steg på vägen!
Tanketavla med valfri uppgift
Syfte
Syftet med uppgiften var att få eleverna att uttrycka sig på flera olika sätt inom matematiken och
att kunna växla mellan dessa uttryck.
Uppgiftens genomförande
Vid första lektionstillfället gjorde vi en gemensam tanketavla på tavlan där eleverna fick komma
med förslag på vad som kunde stå i de olika rutorna.
Vid nästa tillfälle fick eleverna lappar med färdiga förslag som de skulle lägga i rätt ruta. Det
fanns 16 olika lappar som skulle grupperas till fyra färdiga tanketavlor. Eleverna arbetade i par och
diskuterade sina lösningar innan de visade dem för mig. Tanketavlan och det färdiga tipset kommer
ur lärarhandledningen för Prima matematik för år 3.
Nu fick eleverna en tom tanketavla där de fick arbeta två och två med att fylla i fälten. Båda
skrev på var sitt papper för att alla skulle vara aktiva. Paret fick själv komma överens om vilket tal
de ville använda sig av. Alla elever fick komma ut till mig i grupprummet och redovisa sin uppgift.
När de berättat klart frågar jag vad de tycker att de lärt sig när de arbetade med detta.
Några av redovisningarna har jag skrivit ner och de redovisas här.
43
44
Laura berättar: Jag ska berätta om de två första. Tio gånger två är tjugo.
Och här har vi ritat 10 bollar med två prickar på och om man räknar alla prickarna så blir de tjugo.
Mika berättar: Om jag dubblerar 10 så blir det tjugo.
Och sen plockar jag äpplen. Jag plockar tio röda och tio gröna. Hur många äpplen har jag då?
De tycker att uppgiften var rolig.
Laura tycker att hon har lärt sig något när hon arbetade med rutan ”ord”.
Carina berättar: Fem plus fem är lika med tio.
När man adderar termen fem plus termen fem blir det summan tio.
Emil berättar: På varje sida finns det fem ballonger, tillsammans blir det tio ballonger.
Bella ville ha fem hjärtballonger och Lina ville ha fem runda ballonger. Hur många ballonger har
de tillsammans? Svaret är 10.
Eleverna har tyckt uppgiften var rolig och de har samarbetat bra.
De tycker att de lärt sig mest av att få uttrycka sig med de matematiska orden.
Lasse berättar: Pelle har tre påsar med sju fiskpinnar. Hur många fiskpinnar har Pelle tillsammans?
Tre gånger sju är lika med tjugoett.
Tora berättar: Multiplicerar med faktorn tre med faktorn sju blir produkten tjugoett.
Det är tre högar med kulor. I varje hög finns det sju stycken.
De har tyckt att det var bra att arbeta med uppgiften för att båda fick skriva.
Tora tycker att hon har lärt sig skriva räknehändelser. Lasse tycker att han har lärt sig mattespråket,
de rätta begreppen.
Linda berättar: Vi har valt talet fem gånger tre är lika med femton.
Lars berättar: Liam och Linnea går till glasskiosken och träffar Josse, Jacob och Gabriel. De köper var sin
glass med tre kulor. Hur många kulor har de tillsammans?
Och så har vi ritat fem glassar, en till varje, och tre kulor i varje glass.
Linda berättar: Om vi multiplicerar faktorn fem och faktorn tre, får vi produkten femton.
45
De tycker båda att uppgiften varit jätterolig.
Lars tycker att han har lärt sig de matematiska begreppen, t ex faktor. Linda tycker att hon också
lärt sig nya ord och så har de lärt sig att samarbeta.
Reflektion
46
Eleverna har blivit mer medvetna om att de kan uttrycka samma sak på olika sätt. Det var bra att
båda eleverna skrev för då kunde inte den ena koppla av och låta den andra göra jobbet. Det blev
också tydligt när de redovisade för mig. De var mycket noga med att de skulle läsa två rutor var, det
gjorde alla grupper genomgående.
Eftersom eleverna själva fick välja tal att arbeta med blev det mycket tydligt för mig som lärare
vilka som tog uppgiften på allvar och vilka som inte gjorde det. Eleverna går i årskurs 3 och deras val
låg på allt mellan 1+1=2 till 10*10=100. Intressant nog är det inte sällan som det är de elever som
jag upplever som starkast och som inte utmanar sig själv i dessa situationer, något som förbryllar
mig. Tyvärr kan jag i dagsläget inte svara på varför.
Tanketavla med given division
Syfte
Syftet med uppgiften var att få eleverna att uttrycka sig på flera olika sätt och att kunna växla mellan
dessa uttryck.
Uppgiftens genomförande
Vi arbetade vidare på samma sätt som med tanketavlan, två och två. Detta är så att säga nästa steg.
Denna gång fick eleverna: 24/4. De fick också själv skriva till: ”Detta har jag lärt mig” längst ner på
stencilen för metakognition.
Här visas några elevsvar som visar utfallet.
47
Avskrift från bild:
Bild: Eleverna har ritat fyra personer som har delat på 24 hjärtan och fått sex stycken var. Ord:
Dividerar täljaren 24 med nämnaren 4. Då får jag kvoten 6.
Räknehändelse: Linna, Liam, Jacob och Carl har vars 6 hjärtan. Hur många hjärtan har de tillsammans? Dom har 24 hjärtan tillsammans.
Det här har jag lärt mig: Att samarbeta med varandra.
När jag diskuterar med eleverna inser de att de skrivit räknehändelsen som en upprepad addition eller multiplikation, men de kan inte ändra den till en division på en gång. Då vet jag det, tänker jag!
Avskrift från bild:
Bild: Eleverna har ritat fyra personer och 24 kulor i mitten. På pilarna som går ut till personerna
står det 6 för att de får 6 kulor var.
Ord: Dividerar täljaren 24 med nämnaren 4. Då får jag kvoten 6.
Räknehändelse: Det var 4 barn. Dom skulle dela på 24 kulor. Hur många fick dom var? Det blev
6 kulor var.
Det här har jag lärt mig: Vi har lärt oss att dela på 4 sätt.
När jag pratar med dem frågar jag vad de menar med att de lärt sig att dela på 4 sätt. De förklarar
och säger att de menar att de lärt sig visa det på 4 olika sätt.
48
Avskrift från bild:
Bild: Eleverna har ritat 24 kulor som de delar upp i bitar om sex kulor.
Ord: Dividerar täljaren 24 med nämnaren 4. Då får jag kvoten 6.
Räknehändelse: Pelle, Lisa, Maja och Kalle (det) har 24 kulor. Dom ska dela det. Hur många kulor
får det var? Svar 6 kulor var. (Jag har inte skrivit av felstavat.)
Det här har jag lärt mig: Att 24/4=6
Detta är mattekompisen till bilden ovan. Han/hon har delat upp kulorna annorlunda i fältet för
ord. Han/hon tycker dessutom att han/hon lärt sig att räkna lättare med division.
49
Avskrift från bild:
Bild: Eleverna har ritat 24 kulor som de delar upp i fyra fält med 6 kulor i varje.
Ord: Dividerar täljaren 24 med nämnaren 4 då får jag kvoten 6.
Räknehändelse: Jag har 24 bollar jag ger 6 var till mina 3 kompisar och då har jag 6 bollar till mig.
Det här har jag lärt mig: Att man kan bygga upp saker som blir samma summa.
Här har eleverna inte skrivit någon fråga i sin räknehändelse men de har valt ett lite annorlunda
sätt att uttrycka sig på, jämfört med de andra eleverna.
Reflektion
Jag upplever att detta arbetssätt ger eleverna möjlighet att samtala om matematiken på olika sätt
och sätta ord på den. Det som hände i min klass när jag tog fram denna igen var att de suckade och
tyckte att de hade gjort det där, betat av det, innan de förstod att sättet var detsamma men utmaningen en annan. När eleverna arbetar med tanketavlan blir de tvungna att använda sig av andra
sätt att uttrycka sig på än det de annars gärna använder.
Eleverna tycker generellt att det är svårt att sätta ord på vad de lärt sig, men detta är något som
går lättare när de sitter två och två och kan prata om det. Det är viktigt att vi lärare tänker på att det
är viktigt att vi ger eleverna begrepp för att klara av även detta.
Matematik och språk – en upptäcksresa
av Wiveca Ek
50
Jag heter Wiveca Ek, är förskollärare och arbetar på Ribersborgsskolan i Malmö, där jag har arbetat
i snart 17 år. Jag har lång erfarenhet av att arbeta med barn i förskola, förskoleklass, i samverkan
med klasslärare i åk 1-3 och i fritidshemsverksamhet. Jag arbetar mycket med utomhuspedagogik
och tycker att det är ett självklart komplement till undervisning i klassrummet. Matematik finns i
allt och det är viktigt för mig att eleverna får olika uttrycksmöjligheter för att förstå, kunna kommunicera och använda sig av sin kunskap i matematik.
Min resa i forskningscirkeln
Den har varit otroligt givande! Jag är inte utbildad matematiklärare och har många gånger undrat
nu när jag arbetar i grundskolans värld om jag gör rätt, använder jag mig av rätt metod och framförallt använder jag rätt språk. Med de yngsta barnen har det varit viktigt att ge barnen det grundläggande matematiska begreppen och det fortsätter givetvis även i förskoleklass och uppåt i alla
årskurser. Av egen erfarenhet vet jag också hur viktig läraren är för att kunna förklara och inspirera
eleverna, så att inte det inneboende intresset, som jag är övertygad om finns, dör.
Under alla år jag arbetat med eleverna i förskolan och i förskoleklassen har jag arbetat laborativt
och med konkret material i matematik, både inne och ute. Jag har sett stora vinster av att använda
det material som finns i uteklassrummet och detta arbetssätt har jag fört med mig i mitt arbete även
i åk 1-3. Det blir en ny dimension för eleverna och mycket konkret, samtidigt ingår ju naturligt
rörelsemomentet för eleverna. En pojke sa för några år sedan ”Jag lär mig så bra när jag springer”.
Mina uppgifter i forskningscirkeln har skett både inne och ute och jag ser nu ännu mer vinsterna av att använda uteklassrummet. Uppgifterna vi gjort har varit intressanta och jag har haft
intressanta mattepratlektioner med eleverna. Att eleverna lär sig matematikens språk och innebörd
är självklart ett måste för att kunna kommunicera matematik. Det känns tryggt för mig att ha varit
med i cirkeln. I gruppen, som Eva Riesbeck har lett har vi haft ett mycket bra klimat, med många
givande diskussioner, otroligt lärorikt. Jag kommer att sakna våra träffar.
Vad är matematik?
Matematik är en vetenskap och ” en mänsklig aktivitet, ett socialt fenomen, en uppsättning metoder som används som en hjälp för att göra världen mer begriplig.” (ur Elefanten i klassrummet av Jo
Boaler, 2008). Vi upplever matematiken i de flesta sammanhangen under vår vardag, i affären, när
vi betalar räkningar, spelar spel, lyssnar på musik, i konsten, vi leker, vi köper skor, bygger hus osv.
I skolan blir det mera teoretiskt för att lära sig metoder för att lösa problem och göra beräkningar.
I diskussion med elever i åk 2 är deras definition av matematik såhär:
”För att kunna räkna pengar när man blir stor.”
”Man lär sig olika tal, en massa siffror”
”Man måste veta hur mycket man ska ha tillbaka när man handlar.”
”Det är kul.”
”Man måste räkna när man är arkitekt.”
”Om man har 100 kronor kan man bara handla för dem.”
”Om man ska bygga ett hus måste man kunna räkna.”
”Kilo och hekto är bra att kunna.”
För mig betyder matematik – ett sätt att uttrycka sig. Jag vill i mitt arbete ge eleverna ännu en
dimension genom utomhuslektionerna, jag vet av erfarenhet att fler elever kan förstå matematik
i uteklassrummet. Genom att använda många olika sinnen så blir undervisningen mera konkret.
Matematikord, åk 3
Syfte med uppgiften – Begreppsutveckling
Syftet är att eleverna ska utveckla förtrogenhet med olika begrepp inom matematiken för att kunna
föra matematiska resonemang, att kunna kommunicera om matematik både i vardagen och i matematiska sammanhang. Att eleverna tränar att använda språket på ett rikt och nyanserat sätt. De
ska använda ord som ofta förekommer i matematiska sammanhang, samt använda och analysera
matematiska begrepp och samband mellan begrepp.
51
Uppgiftens genomförande
Eleverna i åk 3 ska samla matteord i en egen ordlista. De ska kunna använda sig av den om de blir
osäkra på vad ett ord betyder och det ska vara lätt att hitta. Tillsammans ska vi inventera olika matteord som eleverna använder, vi ska skriva ner alla ord som eleverna kommer på och eleverna får en
anteckningsbok där de skriver orden. Eleverna ska arbeta i par eller i tre-grupper. De ska diskutera
vad orden betyder och skriv det i sin anteckningsbok. De ska använda de matematiska begrepp som
finns, som addition, multiplikation, osv. ej gånger och plus, osv. Under terminens gång fyller vi på
med ord som blir aktuella för eleverna.
52
Hur gick det?
Vi skrev ner ord som eleverna kom på. Tillsammans pratade vi om vad orden betyder, sedan skrev
eleverna det i sin bok när de arbetade tillsammans i par eller i tre-grupp.
Eleverna arbetade intensivt tillsammans och hjälpte varandra att förklara orden och hur de
skulle formulera sig. Ibland frågade de mig om hjälp. De kom också på ord efterhand som skulle
vara med i boken. I uppgiften med Tanketavlan hade de nytta av sin ordbok. Klassläraren berättade
att de också använder den i klassrummet när de arbetar med matte och att de har blivit säkrare i sin
kunskap om begreppen och använder dem i tal och skrift.
MATTEORD, ELEVERNAS DEFINITION
10-kompisar man lägger ihop två tal som blir 10, t.ex. 1+9, 2+8, 3+7 osv.
20-kompisar vi gör som med 10-kompisar men nu blir svaret 20, t.ex. 19+1, 2+18, 7+13 osv.
Udda tal
ett tal som inte är jämnt t.ex. 13 och som man inte kan dela upp i två lika stora
delar
Jämt tal ett tal som man kan dela lika t.ex. 22
Addition när man lägger ihop två eller flera tal och det blir ett tal, till skillnad från subtraktion är addition två tal som blir högre än de redan var
Subtraktion när man tar bort ett tal från ett annat, när ett tal blir mindre än det var
Är lika med,
lika som
skriver man när man ska skriva svaret
Mellanled när man delar upp ett tal så här: 19+20=10+20+9=39
Lika mycket när man har två tal som har lika mycket värde
Hälften är ena halvan av ett jämnt tal, om man har ett jämt tal och delar det då blir det
hälften
Dubbelt
när man tar något två gånger, om man har ett jämt tal och tar det två gånger
Närmast före talet man har före ett annat tal, t.ex. 99 är närmast före 100
Närmast efter talet man har närmast efter ett annat tal, t.ex. är 100 närmast efter 99
Multiplikation är när man tar ett tal flera gånger, istället för 3+3+3 skriver man 3x3
Division då delar man ett tal, 20:4=5
Algoritm är när man ställer upp talet
En-tal är ett tal som har en siffra i sig, är talen 1 upp t.o.m. 9
Tio-tal alla tal mellan 11-19
Hundra-tal alla tal mellan 1-100
Tusen-tal alla tal mellan 1-1000
Kvadrat en fyrkant med lika långa sidor
Cirkel en rund form, som ett hjul
Rektangel en avlång fyrkant, den har två lång och två korta sidor
Triangel den är som en pyramid, den har tre kanter, sidorna kan vara lika eller olika långa
Romb en konstig fyrkant, den är en sned kvadrat liksom hoptryckt
Omkrets man mäter runt om något, som när vi mätte runt om träd i parken
Reflektion
Detta var en bra uppgift, eftersom eleverna blev medvetna om det speciella med matematikens ord
och att använda de ”fina” orden, som t.ex. multiplikation istället för gånger och addition istället
för plus.
I Läroplanen för Grundskolan, 2011, 3.5 Matematik, står det:
Syfte 3:e stycket ”Genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet
med grundläggande matematiska begrepp och metoder och deras användbarhet.”
4:e stycket ” Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumenterar logiskt
och föra matematiska resonemang. Eleverna ska genom undervisningen ges möjlighet att utveckla en
förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om
matematik i vardagliga och matematiska sammanhang.”
53
6:e stycket ”Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna 2:a punkten ”använda och
analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,”
4:e och 5.e punkten ”föra och följa matematiska resonemang och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.”
Under våra lektioner har eleverna pratat om ordens innebörd och satt ord på vad de betyder, de har
inte räknat en uppgift, utan fått tänka efter vad ordet innebär. När de fick veta uppgiften så berättade jag för dem att de ska använda de matematiska begrepp som finns. Jag har inte rättat dem utan
det är deras definitioner. I deras diskussioner har de kommit fram till ordets innebörd.
54
Mäta i Rönneholmsparken, 12 elever i åk 3
Syfte
Att eleverna får kunskaper om matematikens användning i vardagen och att använda uterummet
som en användbar miljö att arbeta i när de mäter längd, höjd, bredd och omkrets på olika föremål
i parken och på lekplatsen. De ska mäta längden på stockar, bredden på parkbord, höjden på soptunnan och omkretsen på träd osv. Att lära sig begreppet ”uppskatta” innan vi använder 1 meters
rep och måttband.
Att eleverna ska ”känna” i kroppen hur mycket en meter är. Eleverna ska skriva ner sina iakttagelser och svar.
Uppgiftens genomförande (uppgift 1)
Vi samlas vid 3 stockar vid lekplatsen. Eleverna ska visa med sina armar hur mycket de uppskattar
att 1 m är. Vi ska göra samma övning med steglängd. Därefter ska eleverna uppskatta längden av
stockarna. Vi ska mäta stockarna med rep. Vi ska mäta en stock med måttband. Eleverna ska arbeta
i par och mäta längd, bredd och höjd på 5 olika föremål på lekplatsen, klätterställning, lekhus osv.
de ska använda sig av 1 meters repen.
1. uppskatta måttet
2. mäta med repet
3. skriva ner sina iakttagelser/svar
Uppgiftens genomförande (uppgift 2)
Eleverna ska mäta omkretsen av träden vid stockarna. Eleverna ska uppskatta omkretsen av ett träd,
därefter mäter vi trädet med måttband. Eleverna ska ställa sig runt trädet, hur många elever får plats
runt trädet? Därefter ska dessa elever ställa sig sidan om varandra för att vi ska se hur långt ledet blir.
Nu ska eleverna arbeta i par och mäta omkretsen på fem träd:
1. uppskatta omkretsen
2. mäta med måttband
3. skriva ner sina iakttagelser/svar
Hur gick det?
I första uppgiften visar eleverna med sina armar hur mycket de tycker att 1m är. Jag går runt med
repet och mäter och vi konstaterar att 7 av eleverna är nära att känna av hur mycket 1 m är. Vi gör
samma sak med steglängden och då är det fler som kommer nära 1 m. Därefter uppskattar eleverna
längden på stockarna och säger allt från 2-5 m. Första stocken som vi mäter med repet är ungefär
4½ m lång, andra stocken är ungefär 3 m lång och tredje stocken är ungefär 4 m lång. Eleverna
väljer andra stocken som vi mäter med måttband och svaret blir att stocken är 3m 28cm lång.
Eleverna arbetar i par och mäter fem olika föremål på lekplatsen, längd, bredd och höjd. De
skriver ner måtten, t.ex. ”Stubben är 1m hög. Staketpinnen är 1m lång. Sköldpaddans skal är 1m
bred. Snurrgrejen är 1m hög.” osv.
I uppgift 2 arbetar eleverna i par och de uppskattar omkretsen på fem träd och därefter mäter de
trädens omkrets med måttband. De skriver ner måtten.
55
56
Jag gick runt bland eleverna vid båda uppgifterna och lyssnade på deras diskussioner och jag fastnade för en diskussion mellan två pojkar A och B.
De mätte omkretsen av ett träd nära stockarna och kom fram till att de skulle använda armarna
till att uppskatta omkretsen som då blev ungefär 3 m. Sedan mätte de med måttbandet, de sa till
mig att det var svårt att komma runt om, ”kan du hjälpa oss att hålla?” jag gjorde så. Trädet mätte
3 m 38 cm i omkrets.
Pojke A vände sig till mig och sa att då är ju stocken och trädet nästan lika långa. Jag frågade hur
han tänkte och fick till svar att om man vecklade ut trädet så var de ju nästan lika långa, trädet var
10 cm längre.
Nu samlas vi alla vid just detta träd och pojkarna A och B fick berätta om sitt träd och hur de
mätte och vad de kom fram till. Ett av de andra barnen tyckte att det lät mycket med 3m 38cm, så
vi mätte en gång till. Därefter fick barnen ställa sig runt trädet och vi konstaterade att alla 12 fick
plats. De fick ställa sig bredvid varandra och jag mätte upp 3m 38cm med måttbandet framför dem
och de tyckte att det var fantastiskt att alla fick plats och det till och med var 5cm över.
Reflektion
Under lektionen använder eleverna hela kroppen och det blir väldigt konkret för dem när de känner med armar och ben hur mycket en meter är, när de mäter med 1metersrep hur långa stockarna
är eller när de omfamnar träden för att uppskatta omkretsen innan de mäter med 1metersrep eller
måttband.
Pojke A har ett matematiskt tänkande eftersom han ser samband och likheter och logiskt kan
resonera sig fram till ett svar.
Ur Läroplanen för Grundskolan 2011, Centralt innehåll, årskurs 1-3 Geometri, punkt 5
”Jämförelser och uppskattningar av matematiska storheter. Mätningar av längd, massa, volym,
tid med vanliga nutida och äldre måttenheter.”
Problemlösning 1: A punkten ”Strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer. ”
Bilparkeringen, åk 2
Uppgift från Strävorna, Nämnaren, nmc.gu.se/stravorna.
Syfte
Eleverna ska kunna dela upp hela tal på olika sätt. De ska arbeta från konkret till abstrakt.
Uppgiftens genomförande
Jag förklarade för eleverna att vi skulle undersöka på hur många sätt de kunde parkera sina bilar, 8
stycken, på parkeringsplatsen med 14 parkeringsplatser, sju på varje sida. Bilarna var i olika storlekar och olika färger. Parkeringsplatsen var uppritad på ett stort papper.
Vi gjorde uppgiften tillsammans. De åtta bilarna parkerades så att 5 bilar stod på den ena sidan och
3 på den andra.
Hur gick det?
Pojke A, berättade, ”Jag parkerar min gula bil i mitten på höger sida för att jag ville komma nära
kyrkan eftersom jag ska gifta mig.”
Pojke B, ”Jag parkerar min bil, den svarta, på höger sida om A:s bil, för jag är A:s Bestman.”
Flicka C, ”Jag ställer min bil på andra sidan om A, för jag är bruden, min bil är grön.”
Flicka D, Jag parkerar min vita bil sidan om C, för jag är tärna.”
Pojke E, ”Min röda bil ställer jag bredvid B, för jag ska också på bröllop”.
Flicka F, ”Jag parkerar min svarta bil i första fickan på vänster sida, för jag jobbar på banken och vill
vara nära bilen när jag ska hem.”
Pojke G och flicka H parkerade efter flicka F på vänster sida, ”bara för att deras bilar skulle stå där”.
57
Vi gjorde övningen en gång till och jag sa att de inte fick parkera sina bilar på samma plats denna
gång, de återkom till bröllopet och det var anledningen till var de placerade sina bilar. Även flicka
F, pojke G och flicka H hamnade i bröllopstanken och denna gång blev det 7 bilar på höger sida
och 1 bil precis vid infarten till parkeringen, för att det var den ende som var hyfsat nära kyrkan.
Vi gjorde övningen en gång till och jag satte papperet på tavlan och vi använde magneter som bilar,
men bröllopspratet återkom och då avbröt jag övningen.
Reflektion
58
De hamnade i ”görandet” och kunde inte komma ur det och kunde inte tänka abstrakt. Var jag
otydlig i min introduktion? När jag tittar tillbaka i mina anteckningar från övningen och läser om
vad jag gav för instruktioner så tycker jag inte att jag var otydlig, däremot skulle jag ha stoppat direkt andra gången vi gjorde övningen och förklarat en gång till och dessutom gjort övning 3 direkt,
då hade vi kanske kommit framåt dit övningen var ämnad, kanske gav jag upp för tidigt, skulle
nog återkommit till övningen vid annat tillfälle. Under den tid som vi höll på och de beskrev vad
de gjorde, hörde jag ord som, till höger, till vänster, bredvid, en gul bil osv. men inte mycket mer
av mattespråk.
Tanketavlan, åk 3
Hämtad ur ”Att förstå och använda tal – en handbok” av Alistair McIntoch, 2009
Syfte
Att eleverna ska uttrycka en uppgift på olika sätt, med ord, symboler, bilder och med konkret material, alltså i fyra fält. De ska göra det för att lättare förstå sambandet mellan de fyra fälten, att arbeta
från konkret till abstrakt.
Uppgiftens genomförande
Eleverna ska arbeta i par. De ska skriva en uppgift i symbolfältet, t.ex. 6x6=36, därefter skriva en berättelse i ordfältet om 6x6=36. I Bildfältet ska de rita uppgiften och i Föremålsfältet ska de använda
konkret material för att åskådliggöra uppgiften.
Hur gick det?
Vi gjorde först en uppgift tillsammans, för att eleverna skulle förstå
uppgiften. Vi pratade också om att de
skulle använda de matematiska ord
som vi skrivit ner i vår matteordbok.
Många av paren klarade uppgiften
själv genom att diskutera med varandra. De använde ord som addera, addition, multiplicera och multiplikation, ental och tiotal i fältet och när de använde föremål använde de stora föremål för tiotal och små
föremål för ental. Några av paren förstod inte uppgiften och då gjorde vi den tillsammans. Eleverna
fick skriva ner sina reflektioner av uppgiften.
Reflektion
Eleverna upptäckte sambandet mellan olika räknesätt, t.ex. addition – multiplikation. I diskussion
kom ett av paren på att de kunde använda det konkreta materialet så att stort föremål visade tiotal
och litet föremål visade ental för att de skulle få plats på papperet. Detta spred sig till några av de
andra paren när det första paret redovisade sin uppgift. I reflektionen förklarade det första paret
vad de gjort och vilket räknesätt de använt, samt att de använt olika storlekar på föremål för att visa
ental och tiotal. Detta visar, tycker jag, att de är matematiska.
Avslutning
Matematik finns i allt och det är viktigt för mig att eleverna får olika uttrycksmöjligheter för att
förstå, kunna kommunicera och använda sina kunskaper i matematik.
59
Att kommunicera, matematik i en
kommunikationsklass
av Margaretha Gustafsson
60
Jag är utbildad förskollärare och talpedagog och arbetar idag i en kommunikationsklass. Jag har
arbetat här i 15 år och varit med om att se verksamheten växa från 8 elever till idag 62. Jag började min lärarbana som förskollärare. Hela tiden har jag fascinerats av barns inlärning och hur
mycket det lilla barnet tar in. Att studera det lilla barnets självklara experimenterande skapade tidigt nyfikenhet till hur man lär sig och vad det är som gör att det för en del blir så svårt.
Jag ville lära mer och tyckte att det verkade spännande att arbeta med språket. På den tiden fanns tre
inriktningar till speciallärare och jag valde inriktningen till talpedagog. Denna utbildning gav mig
verkligen insikt i hur avgörande barns språk är för hela den kognitiva utvecklingen.
Under 12 år arbetade jag som talpedagog i både förskola och skola. Eleverna gick i vanliga klasser och när erbjudandet kom att få arbeta med språkstörda barn som gick i liten grupp så antog jag
utmaningen. Alla 6 eleverna i min klass har diagnosen grav språkstörning och är utredda av logoped
och psykolog. De har en generell språkstörning vilket innebär att de har en avvikande och försenad
språkutveckling inom alla språkliga områden (fonologi, grammatik, semantik, pragmatik.) Dessa
svårigheter påverkar elevernas inlärning och kräver bl.a. struktur, tid och tydlighet. Svårigheterna
ser olika ut för eleverna men gemensamt är att eleverna har svårt att tolka ord och begrepp. I matematiken blir det mycket tydligt hur svårt det är att tolka och förstå då matematiken bygger på
många språkliga begrepp.
Min resa
När jag såg att denna forskningscirkel skulle starta så var nyfikenheten väckt. Skulle jag här kunna
hitta vägar att underlätta inlärning och förståelse av matematikens förunderliga och abstrakta värld?
Det har jag verkligen gjort och under resans gång har många givande och utvecklande diskussioner
väckt frågeställningar och ahaupplevelser som definitivt har utvecklat min syn på matematik och
hur jag ska kunna göra den mer tillgänglig för mina elever.
Matteordlista
Syfte
Att kartlägga vilka matteord som finns i elevernas begreppsvärld. Detta ger en uppfattning över
vilka matematiska begrepp eleven känner till och kopplar till matematik. Denna uppgift gjordes på
vårterminen i årskurs 1.
61
Uppgiftens genomförande
Vi pratade vid en gemensam samling om vad matematik är och vilka matteord man kunde. Vi
hjälptes åt att skriva ner alla ord på tavlan. De ord som tillsammans kom fram var: plus, minus,
man skriver, man läser, man lär sig, man bygger, man räknar, roligt, kul, yes, klocka, ”5 blir 7 med
6, klossar, läxa.
Efter denna lektion så intervjuade jag fyra elever individuellt med frågan om de kunde några
matteord. De fick också rita. En del nya ord kom fram som inte togs upp i det gemensamma samtalet, t.ex. spela spel, siffror, ”hur många tror du?”, uppskatta, sortera, dela, dubbelt, lego, mattespråk,
räkna alla siffror, pussel.
62
Reflektion
Alla har svårt att spontant komma på matteord. Flera av eleverna kopplar ihop bokstäver och läsa
lika gärna som siffror och räkna. Det är inte klart för dem vad som är vad. Vi har tidigare pratat
mycket om detta och jag trodde att det skulle vara lättare att förklara än vad det var. Men med lite
hjälp och ledtrådar så väcks aha och minne till aktiviteter vi gör. Abstrakta funderingar kring vad
matematik är och vad vi använder det till är svårt och det behövs mycket stöd i kommunikationen.
Som jämförelse fick jag möjlighet att ställa samma fråga i en 2:a med 24 elever och ser man på
deras matteord så förstår man hur långt mina elever har kvar till abstrakt matematiskt tänk och
förståelse.
Här är listan från 2B:
Summa, dygn, siffror, tecken, våg, massa, puls, addition, multiplikation, division, subtraktion, differens,
mil, är lika med, avrunda, plus, växla, 10 tal, uppställning, gånger, ental, hundratal, tusental, tiotusental, objekt, kanter, instruktion, hörn, sidor, minus, 20 tal, kilo, term, cm, gram, tesked, matsked.
Ytterligare reflektion blir så klart att hur mina elever utifrån sina svårigheter, ska bibehålla lust,
motivation och tilltro till sin förmåga med de krav på måluppfyllelse de möter från omgivning och
i skriftliga omdömen från dag ett i skolans värld.
Fyrfältaren
Syfte
Att förklara och tydliggöra vad olika matematiska begrepp betyder.
Man ska på fyra olika sätt förklara:
1. Med ord
2.Rita
3.Symboler
4.Räknehändelse/föremål
63
Genom att förklara på olika sätt befästa kunskapen av ett nytt begrepp.
Uppgiftens genomförande
Eleverna har arbetat med fyrfältare med matteorden: matte, dubbelt, symboler.
Film ”Dubbelt”
D och K ska tillsammans göra en fyrfältare kring ordet ”dubbelt”. De har
var sitt papper.
– Vad ska vi göra nu, frågar K.
D svarar inte så jag frågar vilket ord
det var eftersom vi pratat om det tidigare. Intressant är att vi precis varit
vid skrivaren då vi skrivit ut pappren.
Jag upptäcker att skrivaren skriver ut
dubbelsidigt och vi pratar om att vi då
får dubbelt så många. K är med på noterna och dubblar spontant efter varje papper. När de nu sitter
vid bordet och ska prata med varandra då är det så mycket svårare.
D ger sig in på en förklaring vad dubbelt är.
– Om jag har 8 då får K 4 då har vi fyra var.
64
Jag visar på att om D har 8 och K 4 då har D dubbelt så mycket. Nu ska de skriva detta. Försöker
få även K att förklara vad dubbelt är.
– Om D har 9 och jag har 10… Då kan man… näej … om jag har 11 och D har 10 då kan man
byta …
– Är det dubbelt, frågar jag.
Det är 10, säger K.
– Dubbelt måste vara lika många till, säger jag.
– Om du har 10 och får 10 till hur många har du då?
– Om jag ger 10 D.
– Och du har dubbelt hur många hade du då?
Diskussionen fortsätter och D tycker nu att han har 5. De fortsätter med min hjälp att försöka
komma fram till hur mycket K har om D har 10 och K dubbelt så mycket.
De tänker och tänker – till sist säger jag att K har 20.
Han ska nu skriva – K vill alltid göra rätt så han försöker men vet inte vad han ska göra.
– Jag har mest, säger K. Jag har 10 – han skriver detta.
Vi fortsätter att försöka komma fram till hur mycket då D har och till sist med min hjälp är K med
på att D har 20. Tio + tio är det som gör att K säger 20.
Jag får visa hur han ska skriva.
K ska rita en bild. Tittar på D. Då säger D – Det är nästan man tror det är minus.
D är låst vid vad han ska skriva för ord. Osammanhängande når han fram till ett exempel som
handlar om fotbollsskor.
– 20 fotbollsskor. Jag har nästan köpt 700.
Nu har K ritat och säger 5 + 5 = 10. D blir intresserad och frågar om det är zombie.
– Vad är det då som är dubbelt, undrar jag. Jag pekar och visar att 10 är dubbelt så mycket som
5.
Jag får K att komma fram till en händelse som jag vill att han ska berätta för D för att få respons
men … så svårt så svårt. Till sist är där ritat 5 bovar och 10 poliser och orken är slut.
Reflektion
Sammanfattning av denna inspelning visar på hur svårt det är att kunna använda begrepp i olika
sammanhang och att förklarar och berätta. Det som är klart i ett sammanhang eller en dag är inte
alls säkert att det finns förståelse för en annan dag eller i ett annat sammanhang. Därför blir det så
tydligt att begreppen måste arbetas med på olika sätt och förklaras om och om igen samt hela tiden
visa på kopplingen till matematiken. Eleverna har stora svårigheter att kommunicera med varandra.
Turtagning och att lyssna in vad den andre säger är svårt och därför drar de inte nytta av varandras
tankar.
Film ”matte” M och D ska skriva en fyrfältare om
ordet matte. Vi har på tavlan gått igenom hur man ska göra med olika exempel. De har nu pappret framför sig
med fyra rutor ord, symbol, föremål,
bild.
Instruktionen har också varit att
de ska prata med varandra.
M börjar med att fråga D – Vad vi
skriva?
De börjar med rutan ”ord” och ska
förklara ordet ”matte”. Han läser först ordet matte och pratar osammanhängande kring ordet. Hittar ingen röd tråd. M sitter intill och tittar på D. Jag får upprepa och fråga om han kan förklara
ordet matte.
D:s förklaring: – Matte är att man lär folk ord, siffror och lika …
Det tar nu lång tid att skriva ner förklaringen och han frågar vid ett tillfälle hur man skriver
ordet lär. Han vänder sig till mig och jag föreslår att han ska fråga M. Det gör han och hon tar över
pennan och skriver. D fortsätter.
Nu ska de fortsätta till nästa ruta. De samspelar inte utan vill fortsätta i olika rutor. M ger sig
och de tar sig an rutan symboler.
– Vad är symboler? frågar jag.
– Symboler är frågetecken, säger D.
65
66
– Äh, äh ä, dom ä röra, säger M.
Jag försöker att ge lite ledtrådar.
– Som teckenspråk, säger D.
Vad använder du när du skriver matematik undrar jag.
– Klossar! säger M.
D är nu mest upptagen av en penna och M föreslår penna.
Det är otroligt svårt att i detta moment få dem att förstå det abstrakta ordet symbol.
M hittar olika konkreta saker som förslag som passar i rutan föremål men vet inte vad jag frågar
efter.
D ger nu upp och säger – Jag fattar ingenting.
Vi stoppar filmen där och jag får fortsätta med förklaringar av begreppen i andra sammanhang
för att återkomma till övningen.
Reflektion
Att filma och studera vad som händer är till stor nytta i olika analyser. Det jag tydligt ser är hur
svårt det är att samarbeta. M visar så stor vilja men vet inte hur hon ska delge D sina tankar. D är
inte intresserad av att ta in M i arbetet. Båda saknar förmågan att med ord hitta förklaringar och
få ett sammanhang i sin förklaring. Övergången från konkret till abstrakt finns inte i nuläget och
kräver så mycket mer av förklaringar, tydliga genomgångar på varierade sätt. Det är även stor nytta
att studera filmerna för att tydliggöra min roll som pedagog. Förklararar jag så att det blir tydligare?
Använder jag rätt begrepp? Ger jag enklare strategier? Jag tror att vi i arbetslaget skulle utveckla vår
syn på lärande genom att använda filmsekvenser, för att tydliggöra och ha som underlag i lärande
samtal tillsammans.
Film ”Symboler”
Här har vi tidigare jobbat med ordet symboler. D och M ska göra en fyrfältare kring ordet symboler.
Jag märker att de inte vet vad symboler är och vi jobbar en del med det för att ge förförståelse. D
har låst sig vid att symbol är frågetecken och vi visar andra symboler. Jag tror att vi kommit en bit
och skriver talet fem plus fem är lika med tio med ord. Detta är en uppgift som D inte har några
problem med när det är skrivet med siffror. Han får gå fram till tavlan för att med symboler skriva
talet som är skrivet med ord.
Filmen visar så tydligt hur det helt låser sig. Han vet inte vad han ska göra. Hur jag än försöker
att ge nya sätt. De andra i gruppen är deltagande i samtalet men har inga lösningar att komma med.
Till sist säger nog någon några siffror och då kommer aha upplevelsen och det är så lätt. Jag kunde
ha låtit de andra komma in mer i diskussionen för att hitta en gemensam lösning.
Film ”100”
Här har D och I uppgiften att tillsammans göra
fyrfältaren om ordet 100. De är på rutan föremål. D har tagit några ärtpåsar och försöker
komma på varför det är 100. Förklaringen var
inte helt hållbar men I ger sig ut i rummet och
hittar vårt 100 spel och förklarar med att visa tiostavarna och räknar till 100. D har också hittat
stora meterlinjalen och visar siffrorna till 100.
Reflektion
Att jobba med fyrfältare har varit mycket lärorikt och givande. Det blir väldigt tydligt hur
många språkliga begrepp och nivåer som måste
behärskas för att nå förståelse i matematikens
värld. Elever med språkstörning har en mödosam väg att vandra för att nå möjligheterna att
förklara och föra matematiska resonemang. Det
krävs mycket utmanande uppgifter tidigt som lägger grunden och vi måste jobba med begrepp tidigt på många olika sätt med ständigt närvarande kommunikation. Att gå från konkret till abstrakt
förståelse kräver många språkliga begrepp som inte mina elever behärskar i nuläget. Det kräver
många praktiska arbeten kopplade till det abstrakta för att ge förklaringar och möjligheter till att se
sammanhang i små steg.
67
Bilparkering
Uppgiften är tagen från Strävorna NCM.
Uppgiftens genomförande
68
Eleverna skulle två och två parkera fem bilar
på olika sätt.
De skulle tillsammans dokumentera och
skriva/rita vilka olika lösningar de fann. Samarbete är svårt och det behövs hjälp för att
komma vidare. Vi redovisade sedan på tavlan
de lösningar grupperna kommit fram till. Som
sista del översattes övningen till mattespråk.
Alla elever var delaktiga och försökte på
sin nivå att förklara och se sammanhangen
men det är en elev som tydligt visar att han
ser sambandet och kan förklara på ett tydligt
och adekvat sätt. En elev har stark tilltro till
sin förmåga och gör en egen slutsats som man
kan se i filmen. Hon tolkar sambandet till sin
kunskap om talraden 1-5 och är övertygad om
att hon löst problemet. När hon får frågan om
hur hon gjort så håller inte strategin längre och
hon vet inte hur hon ska förklara. En elev visade så tydligt att han inte kunde gå från konkret
över till abstrakta symboler och vi backade och
gjorde nya övningar med konkret material.
Reflektion
Att få eleverna att förstå kopplingen mellan det konkreta materialet och bygga broarna över till det
abstrakta mattespråket kräver stor språklig förmåga och behärskande av många begrepp. Vi behöver arbeta med många upprepningar och övningar med kommunikativa och visuella förklaringar.
Upprepningar där man hela tiden vandrar på broarna fram och tillbaka för att till sist nå ahaupplevelsen. Det är svårt att bygga aha – upplevelser som kan överföras i en ny situation då eleverna
har stora brister i minneskapacitet och även få begrepp som ger associationer.
Jag märker ofta i arbetet med mina elever att om det låst sig i en tankegång så är det svårt i stunden att komma vidare. Låsningen blir bara större. Ofta får man släppa det just då och återkomma
vid ett annat tillfälle.
69
Bygg en ”trappa”
Syfte
Att förstå talraden och konkret uppleva +1
Uppgiftens genomförande
Vi jobbar i egna böcker med taluppfattning. Delar upp talen 1-9. Arbetet följer några inarbetade
steg där man först ”bygger” talet på olika sätt. Piprensaren med pärlor används sedan i boken för att
dela talet på olika sätt. Man ska också rita antalet och skriva siffran. När man är klar med talen 1-5
ska man bygga en trappa med talstavar och sedan rita av. Likadant när man är klar med talen 6-9.
J blir intresserad av stavarna och börjar spontant bygga medan jag visar M. M behöver många
instruktioner för att bygga och ser inte alls förhållandet mellan stavarna. (Se film) J har på ett ögonblick byggt detta. När han sedan ska rita av vill han absolut inte. Han vägrar och säger – Tråkigt!
Till sist med mycket hjälp och löfte att få fortsätta att bygga ritar han klart och får då bygga fritt
med flera brickor. Titta vilken fantastisk kreativitet och förståelse av principen!
Reflektion
J är visuellt stark och ser mönster och sammanhang. Han har dock inte språklig förmåga att uttrycka och förklara. Han är osäker och vill oftast inte göra uppgifter som ställer krav som han inte
tror han klarar. Uppgifter med penna undviker han oftast.
70
M ger sig på alla uppgifter med glädje och entusiasm men har väldigt svårt att ha överblick och
strategi över vad hon ser eller gör. Olikheterna att angripa problem är stora och olika typer av begränsningar påverkar. Förmåga, perception, tilltro, självkänsla, språkliga begrepp m.m.
Placera tal på tallinje
Uppgiftens genomförande
Vi har pratat om talens plats på tallinjen
0–20.
Vi har arbetat med flera olika övningar
både i grupp och individuellt. Idag ska två
och två hjälpas åt att placera talen 0–10 på
ett snöre.
71
M och D löser uppgiften utan några större
problem. M frågar vid ett tillfälle om det
är 6 eller 9 och får då svaret av mig. Annars försöker de att hjälpas åt. De andra
eleverna får kontrollera om det blivit rätt. De engagerar sig i uppgiften.
Nu är det I och M som ska placera 11–20 på snöret. De har inga problem med ordningen men
att motoriskt hänga dem på snöret skapar en del problem. De tittar på sina egna tal och väntar in,
pratar inte med varandra.
När alla elever har gjort denna uppgift och löst den utan problem får de nästa uppgift där jag
tagit bort alla ojämna tal. De får nu de jämna talen 2–20 och ska hänga dem i rätt ordning på snöret. 4 elever deltar. En av dem börjar hänga upp 10. Nu finns ju ingen 11 och det skapar förvirring.
De frågar mig men jag svarar att de ska prata med sina kompisar. De nämner 9 men vet inte vad de
ska göra. Det finns ju ingen 9. Stina tittar på D som vanligtvis löser alla matteuppgifter. M säger
plötsligt – Aha det är 12! Hon får inget gehör från de andra. Hon ropar flera gånger och försöker
visa. – Titta! 10 säger hon och pekar sedan på snöret och säger 11 och nu 12! Hon drar sig bakom
och är arg på de andra som inte lyssnar. De andra är fokuserade på vad D ska göra då de uppenbart
förlitar sig på honom. Till sist förstår de ändå vad M försökt visa dem och då flyter det på med de
andra siffrorna och de kommer till 20. Nu har de talen 2, 4 6 8 kvar. De vill fortsätta efter 20 och
letar efter 21. De går fram och tillbaka utefter tallinjen och blir mer och mer frustrerade. Men Nej!
Ropar M. Titta! Säger hon och pekar och räknar alla talen 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20. –
Det är klart! Ja det är klart säger de andra. – Men ni har ju fler tal i händerna säger jag. – Var ska de
vara? Nu tittar de på talen och säger vilka de har. Med lite mer hjälp från mig kommer de på och
får dem på rätt plats. Kontrollerar med att peka på tallinjen och säger högt. 1 tomt, 2, 3 tomt osv.
Det är Maja som tar ledningen.
Reflektion
72
Det är intressant att studera
hur de angriper problemet.
Det blev tydligt under arbetets gång vilken status eleverna har i gruppen. Ingen
ville lyssna på M eftersom
de ville ha stöd från D som
de vet är stark i matte. Till
sist var det M som ändå ledde arbetet. Om D hade svårt
för samarbetsövningen och
ej förstod vad som skulle
göras eller om han medvetet
höll sig passiv är jag osäker på.
Mina elever behöver många liknande uppgifter där samarbete och språklig kommunikation krävs.
Det ökar definitivt förståelsen av matematiska begrepp att konkret få experimentera och prova sig
fram med flera sinnen.
Stärk det matematiska språket – stärk
lärandet!
av Kajsa Johansson
Jag är utbildad som grundskollärare med inriktning mot de tidigare skolåren och med matematik
som huvudämne. Jag har alltid haft ett speciellt intresse för matematik och blev under utbildningen
på Malmö Högskola inspirerad till ett lustfyllt och motivationshöjande arbetssätt med förståelsen i
fokus. Långt tidigare har jag en förskollärarutbildning och kom då i kontakt med de yngre barnen.
Sedan grundskollärarutbildningen har min anställning varierat mellan att arbeta på lågstadiet och
mellanstadiet, och jag arbetar för närvarande som klasslärare för en årskurs 4.
Min resa
Direkt när jag fick höra om att en forskningscirkel med tonvikt på det matematiska språket skulle
starta, anmälde jag mitt intresse för att delta. Mitt stora intresse för att skapa en undervisning som
hos eleverna väcker ett genuint intresse för matematiken, har funnits sedan lärarutbildningen. Där
hade vi en mycket entusiastisk didaktikutbildare som inspirerade till ett sådant genuint intresse
hos oss studenter. Vi är några som fortfarande träffas och utbyter ”matematik” trots att vi arbetar
i olika kommuner, och vi uppmärksammar varandra på olika former av fortbildningar. Språkets
och kommunikationens betydelse i matematiken låg även som grund för mitt examensarbete på
lärarutbildningen.
Att träffas på detta sätt som vi gjort i cirkeln har inneburit en möjlighet att på ett djupare plan
diskutera undervisningens utformning med beaktande av styrdokumenten. Vi är alla i gruppen
överens om att det borde finnas en möjlighet att på detta sätt träffas och lära av varandra, inom ramen av arbetsveckan. Det är mycket inspirerande och en tillgång i utformningen av undervisningen. Att vi har diskuterat litteratur, genomfört uppgifter med elever och sedan återigen diskuterat
samt kommit till vissa slutsatser är ett bra exempel på hur man kan föra undervisningen framåt med
kollegialt stöd. Jag har personligen utvecklats i min undervisning och känner större självförtroende
i min profession som lärare.
73
Att vara matematisk – intervju med ”matematisk” elev
74
Jag har upplevt att flertalet elever i de yngre åldrarna nämner matematik som ett av de bästa ämnena
i skolan. De vill gärna arbeta extra med matematiken om det uppstår valsituationer och de frågar
ofta om vi kan ha mer matematik trots att vi redan haft dagens beskärda del. Det är även intressant
att höra elever som verkligen får anstränga sig för att förstå det basala ändå nämner matematik som
ett favoritämne. Och det är ju det vi vill nämligen att skolans matematik ska vara till för alla och att
det ska knyta an till verkligheten och ge eleverna förståelse för hur kunskaperna i matematik hänger
samman med vardagen.
När elever kommer upp i ålder har det många gånger visat sig att en del tänker att matematikämnet är till för de ”smarta” och ingenting för ”mig”. Det har även visat sig att en del elever med
särskild fallenhet för matematik tappar lusten att utveckla sin matematik trots att de har ytterst
goda förutsättningar inledningsvis. Det vore intressant att undersöka detta på djupet och få information om vad det är som händer i en viss ålder. I lärarens profession ligger att kunna ge eleverna
utmaningar på nästa utvecklingssteg, även om spridningen är stor och eleverna befinner sig på olika
nivåer.
Jag var hösten 2012 på en föreläsning av Eva Pettersson som pratade just om elever som är
särskilt begåvade i matematik. Hon har i sin forskning undersökt vilket bemötande dessa elever får
i skolan och hur det påverkar deras matematiska utveckling. Hon menar att det ofta finns en schablonbild av hur dessa elever är, trots att de liksom alla andra elever är unika varelser och att även de
behöver stöd och stimulans för att utvecklas vidare matematiskt. Jag har tänkt mycket på hennes
föreläsning och speciellt det hon berättade om elever som skolan tappar pga. att de får för lite stimulans på sin nivå och får arbeta med alltför ”enkla” uppgifter. Det har även visat sig att unga elever
som beskrivits vara i stora matematiksvårigheter tvärtom med rätt förutsättningar har blomstrat och
visat särskild fallenhet för matematik. (Ljungblad & Lennerstad, 2011)
Uppgiftens genomförande
Vi bestämde att vi skulle intervjua ”speciellt matematiska” elever och den elev jag valde att intervjua
hade visat ett enastående intresse för matematik. Jag hade beställt en uppsättning av ”statistik för
alla” från statistiska centralbyrån (gratis material) som han intresserat satt och läste vid tillfället för
intervjun.
Lä: – Du visar stort intresse för all matematik! Hur kommer det sig tror du?
El: – Jag har alltid älskat matematik. Jag brukar be min pappa att vi ska tävla om vem som kan
klara multiplikationstabellerna snabbast.
– Vad tycker du om att göra under matte-lektionerna i skolan?
– Kluringar är jätteroliga. Det är roligt när det är svårt och man behöver läsa flera gånger. När
jag gick i ettan tyckte jag också om matte men då tyckte jag att det var jättesvårt.
– Tror du att det är många i klassen som tycker om matte?
– Alla tror jag … (spontant och bestämt)
– Vi gör ju lite olika saker under våra matematiklektioner. Vad tycker du är bäst?
– Det är mycket som är roligt t.ex. när man får arbeta tillsammans med någon som kan ungefär
lika mycket. Det är roligt när man nästan inte kan klara det från början. Det är också roligt att spela
matte-spel vid datorn tillsammans med någon annan.
– Vilken hjälp tycker du om att få av läraren?
– Jag tycker om när vi får lära oss olika strategier för att kunna lösa samma uppgift. Då kan man
själv prova sig fram.
Eleven vill alltid arbeta med matematik när tillfälle ges. Han arbetar fokuserat och drivs framåt av
en speciell vilja. Han vill arbeta hemma så ofta det är möjligt och frågar vad han får göra. Han vill
gärna arbeta med svåra uppgifter. Han tycker om att samarbeta med andra elever men klarar även
att arbeta självständigt. Han visar tydligt sin glädje när han lär sig något nytt. T.ex. sa han till mig:
– Så bra att du lärde mig den andra strategin, det gjorde att jag klarade uppgiften. Eleven visar även
stor glädje över att förklara matematik för någon annan i klassen, och lyckas många gånger få andra
att uppnå förståelse.
Analys och reflektion
Som lärare kan jag se att det som sporrar honom mest är att arbeta med uppgifter som ligger en
nivå över det han kan för tillfället (jfr Lev Vygotskij och den proximala utvecklingszonen – ZPD).
Jag försöker sträva efter att ha en varierad undervisning i matematik där eleverna på många olika
sätt tränar sina förmågor t.ex. att formulera och lösa problem, att analysera, att beräkna och lösa
rutinuppgifter, att föra och följa resonemang, allt med hjälp av matematikens uttrycksformer. Vissa
uppgifter löser de parvis andra i grupp ibland för vi diskussioner i helklass osv. Dock behövs även
en del färdighetsträning där var och en enskilt behöver reflektera över vad han/hon är säker på res-
75
pektive behöver träna mer på. Man får vara lyhörd för att ingen arbetar med alltför lätta uppgifter
”på dess nivå” så att de tappar lusten att ge sig i kast med mer utmanande uppgifter.
Matematisk terminologi – begreppsutveckling
76
Det talas en del i forskningen om ”matematiskan”, matematikens språk som behöver förankras hos
eleverna (Ljungblad & Lennerstad, 2011). Bland annat ges exempel på vilka konsekvenser det kan
få för eleven om de lärt sig likhetstecknets betydelse som ”blir” istället för är (lika med). Lennerstad
(Matematiska språk, 2008) menar att ”matematiskan” kan jämföras med ett främmande språk som
gradvis introduceras för eleverna. Han förespråkar att ställa modersmålet direkt bredvid ”matematiskan” så att samma betydelse är synlig i båda.
Syfte
Att arbeta med en matematisk ordlista är ett sätt att hjälpa eleven att bygga upp det formella matematiska språket. Som lärare är det viktigt att själv använda ett korrekt matematiskt språk i samtal
med eleverna medan eleverna själv gradvis övergår till att använda rätt terminologi efterhand som
de får en djupare förståelse för begreppen.
Uppgiftens genomförande Vi lät eleverna i grupp upprätta en lista över
matematiska begrepp som vi använt under några veckors tid. Vi sammanställde därefter deras
ord/begrepp på en blankett med plats för att
göra en bild samt en beskrivning för varje ord.
De arbetade sedan tillsammans med att fylla i
blanketten.
Exempel på några elevbeskrivningar
Ett urval av elevernas beskrivningar med deras egna ord och stavning:
Matteord
Grupp 1
Grupp 2
Division
Täljare+nämnare=kvot
Hur många gånger den får plats
Multiplikation
Faktor*faktor=produkt
När man använder multiplikation så räknar
man gånger hur mycket t.ex. 9*3=27
Subtraktion
Subtraktion är när man drar ifrån tal
Subtraktion aderar man bårt tal tills man
kommer på vad differensen är
Addition
Man adderar talen och talen blir större
Addition är när man läger ihop tal
Algoritm
Algoritm är ett mycket lätte att räkna höga
tal på subtraktion, addition och multiplikation och det är väldigt lätt att ställa upp
Algoritm är ett enklare sätt att addera och
sudtrahera högre tall
Vinkel
Vinkel är en del av en figur som finns i
utkanten av figuren
En vinkel är en kant. Det finns rät, traddig
och spetsiga vinklar. De har olika grader.
Skala
På en skala ska man förstora och förminska
skalan. 1:1 är naturlig storlek
Skala använder man när man ska förminska en sak eller förstora
Sekund
En sekund är en sextiondel av en minut.
60 s=1min
En sekund har 60 millisekunder
Kvartal
En kvart av ett år. På ett år finns det fyra
kvartal.
Tre månader i en rad
Diagram
Diagram är när man ska jämföra något t.ex.
ekonomin i olika länder
Ett föremål som mäter en förbättring
Analys och reflektion
En uppgift som denna ger många fördelar. Dels tänker eleverna till när de ska ge en beskrivning och
jämför det med en annan representationsform; bilden. Som lärare får jag många signaler om vad
som är förankrat hos eleverna, eventuella missuppfattningar samt vad vi behöver lägga mer tid på.
Som man kan se på några av de beskrivningar eleverna gav är det ibland tydligt att det verkligen har
skett en missuppfattning t.ex. att en sekund har sextio millisekunder. Då kan man ta tillfället i akt att
prata om prefixen och vad de står för.
En annan beskrivning som tyder på att man inte har förstått är att ett diagram är ett föremål som
mäter en förbättring. Då behöver man ställa vissa följdfrågor som vad eleven lägger för betydelse i
ordet föremål samt om det endast är förbättringar som visas. Eleven har förmodligen en förförståelse om diagram, som han/hon bygger på någon specifik iakttagelse. Ibland är det kanske inte den
elev som lärt sig den korrekta terminologin som har den bästa förståelsen för vad det egentligen
77
innebär. Den grupp som lämnar en beskrivning på division; hur mycket som får plats kanske egentligen förstått mer än den grupp som skriver täljare, nämnare och kvot. De har uppenbarligen lärt
sig terminologin men kan de även förklara när man behöver använda sig av division? Om vi arbetar
regelbundet med att dokumentera ord och begrepp på detta sätt ger vi eleven en bättre möjlighet
att återkoppla.
78
Med svenska som andraspråk
En annan aspekt på att arbeta med ord/begreppsförståelse ser jag i de klasser där endast ett fåtal eller
ens ingen har svenska som modersmål. Det är inte alls ovanligt att man varje lektion behöver förklara vanligt förekommande ord som den, som är uppvuxen med svenska som modersmål, har i sitt
ordförråd sedan flera år tillbaka i tiden. Det kan vara i textuppgifter och problemlösnings-uppgifter
där ett ord har en bärande betydelse för att kunna lösa uppgiften.
Jag ser varje dag, i alla skolämnen, exempel på försvårad inlärning p.g.a. att eleven saknar grundläggande kunskap i det svenska språket. I många fall är det även så att de saknar förståelse för ordet
även på sitt modersmål. Det är ofta så att eleven inte heller har förståelse för synonymer och då är
en utväg att rita bilder. Exempel på ord jag har behövt lägga en lång stund på att förklara har varit
om eleven ska beräkna area av en uteplats, ett badlakan eller en tegelsten. Eller om man ska uppge
ungefärlig längd på en purjolök, ett vardagsrum eller en simbassäng. Eller ungefärlig volym i en
bensintank eller en sirapsflaska. Eller om man ska uppge vilket tal som kommer efter ett annat.
Hur ska man kunna lösa uppgifter om man inte vet vad ett badlakan eller före, efter mm. betyder?
Även av denna anledning är det alltså ett ypperligt tillfälle att utveckla språket genom dessa ordbild-listor, inte bara inom matematiken utan även allmänspråkligt sett. När vi stimulerar språket
stimulerar vi också lärandet vilket vi glädjande nog ser exempel på dagligen.
Geografi i Sverige sett i tabeller och diagram
Syfte
Jag valde att integrera geografi och matematik i en uppgift som ger eleverna möjlighet att träna alla
förmågorna som är angivna under syftet med matematikundervisningen i styrdokumenten. Det
skulle mynna ut i att grupperna gjorde var sin plansch som de redovisade för varandra. Vi passade
även på att ge konstruktiv kritik med hjälp av kamratbedömning med två stjärnor och en önskan
(Hodgen & Williams, 2006) vid redovisningen, vilket fanns med i beskrivningen av arbetsgången.
Matematikområdet som behandlades var ”sannolikhet och statistik” och i vårt fall skulle eleverna
tolka data i tabeller och diagram samt själv utforma tabeller och diagram för att beskriva resultat
från undersökningar.
Uppgiftens genomförande
Vi arbetade med Sverige ur olika aspekter och här skulle eleverna parvis välja ett, för dem, intressant
område att arbeta med. Grupperna valde ett varierat antal områden att undersöka exempelvis storlek på svenska städer, höga byggnader i landet, storlek på svenska sjöar, representerade religioner,
svenska djur mm. Nu fick eleverna söka fakta på olika sätt via sökningar på internet samt i böcker
och tidningsartiklar. Eftersom det var en öppen uppgift utan tillrättalagda tal stötte vi
på en del svårigheter. Exempelvis
hade ”religionsgruppen” svårigheter att hitta fakta som de kunde
bearbeta och ordna i en tabell.
Deras diagram visade inte heller
verkligheten och det uppkom en
diskussion om hur diagram kan
”luras”. Gruppen som arbetade
med sjöar upptäckte ett nytt matematiskt begrepp nämligen kvadratkilometer. Även där följde en
intressant diskussion. Flera grupper stötte på väldigt stora tal som
de hade svårigheter att läsa ut.
Höga byggnader i Sverige
79
80
Flygtrafik
Höjd på svenska djur
Analys och reflektion
I denna typ av arbetsuppgifter stöter eleverna på svårigheter som de inte är vana vid när de löser tillrättalagda uppgifter från läromedel. T.ex. fick de (och även jag som lärare) fundera ganska mycket
över hur de skulle gradera sina diagram, nya för dem okända begrepp synliggörs osv. Ibland inser
de faktiskt att de måste göra på ett annat sätt och kanske får börja om. Jag ser dessa svårigheter som
tillfällen till lärande och jag visar att jag som lärare inte omedelbart sitter inne med svaret utan att
även jag måste tänka till (som i graderingen av diagrammen). Under arbetets gång märkte jag att
flera elever hade svårigheter att läsa ut de höga talen vilket blev en bra träning men även en signal
till mig att vi får arbeta mer med förståelsen av höga tal.
Bedömning för lärande – Formativ bedömning
Högt rankade framgångsfaktorer för elevers lärande i skolan, är den formativa bedömningen, vilket
betydande forskning visar. I litteraturen (Hodgen & Williams, 2006 samt Harrison & Howard,
2009) ges en god insikt i hur man kan arbeta med formativ bedömning för lärande. Här ges vägledning om hur man som lärare kan använda sig av framåtsyftande återkoppling och reflektion samt
själv- och kamratbedömning. Att ge två stjärnor och en önskan är ett sätt att skapa balans och god
stämning vid gruppkommentarer. Då väljer eleverna ut två saker som de lyckats bra med och en
som de behöver utveckla. Det ger även upphov till intressanta diskussioner där synliggörs att det
ofta gäller många elever som behöver utveckla samma förmågor.
I ”Mathematics inside the black box” ges exempel på hur man kan komma ifrån en skolmatematik
som handlar om att svara på frågor istället för det egentliga syftet att eleverna ska lära sig matematik.
Läroboken kan då användas på ett mångsidigt sätt t.ex. genom att välja ut ”lätta” respektive ”svåra”
uppgifter som bearbetas på olika sätt för att eleven ska få förståelse för olika strategier och lösningsmetoder. Här ges även exempel på hur man kan använda slutna frågor på ett användbart sätt.
Bilparkeringen – en av strävorna från NCM
Vi bestämde att vi alla skulle genomföra samt filma samma uppgift i våra elevgrupper och valde
Bilparkeringen från Strävorna 11. Strävorna, som utarbetats med anknytning till tidigare kursmål
att sträva mot, är nu reviderade med anknytning till Lgr11 med sitt centrala innehåll och de förmågor som eleverna ska få utveckla. Då vi har ganska olika sammansättningar på elevgrupper i olika
åldersspann, var det spännande att var och en på sitt sätt skulle genomföra uppgiften. http://ncm.
gu.se/media/stravorna/2/a/23A_bilparkering.pdf
Uppgiftens genomförande
Den grupp jag filmade bestod av tre pojkar som är väldigt intresserade av i princip allt som har med
matematik att göra. Jag valde att introducera uppgiften med en genomgång av, hur man kunde
arbeta med uppgiften om man endast hade en respektive två bilar att parkera. Eleverna pratade och
jag skrev på ett blädderblock och därmed visade jag dem hur man kunde dokumentera undersökningen. (Nästa gång kanske jag låter eleverna själv komma underfund med hur de kan dokumentera i en tabell.) Jag överlät till eleverna att finna ut hur de rent konkret skulle prova sig fram för att
hitta olika lösningar dvs. olika uppdelningar av hela tal. De lade i början väldigt stor vikt vid att rita
en fin parkeringsplats med minutiöst uppmätta parkeringsfickor samt en fin P-skylt. När de sedan
81
82
började ”parkera” bilar använde de sig av diverse föremål som suddgummin, pennor och linjaler. De
arbetade systematiskt på så sätt att två av dem flyttade föremålen medan den tredje dokumenterade
i en tabell. De började med två bilar och parkerade 2-0, 1-1, 0-2 och hade först lite olika uppfattning hur de skulle skriva de olika alternativen. Dock kom de snabbt fram till ett gemensamt synsätt
och fortsatte i rask takt med tre föremål. Där kom de snabbt överens om att det gick på två sätt
samt tvärtom och skrev 2-1, 1-2, 0-3,3-1 sedan sa en av dem direkt att på ”trean” går det bara på
fyra sätt så vi får prova med fler bilar. De började lite olika men använde hela tiden kunskapen att
det gick att göra tvärtom. Med fyra föremål: 2-2, 3-1, 1-3, 4-0, 0-4 och med fem föremål 3-2, 2-3,
4-1, 1-4, 5-0, 0-5. När de kom till sex bilar fyllde de snabbt i 6-0, 0-6, 5-1, 1-5, 4-2, 2-4, 3-3 (de
gjorde dock snabba förflyttningar med föremålen samtidigt som de skrev). En av dem sa tvärtom
även vid 3-3 men då sa en annan direkt 3-3 funkar inte tvärtom och så gick de vidare till sju. En av
dem konstaterade nu att desto högre tal vi har desto fler sätt går det att parkera på, alltså behöver
vi större och större rutor i vår tabell. De fortsatte ivrigt att arbeta med uppgiften på liknande sätt
tills parkeringsrutorna inte räckte. Då gick jag in och frågade om de kunde fortsätta fylla i tabellen
utan att använda parkeringsfickor. Det kunde de och de fortsatte så upp till elva bilar då jag frågade
om de kunde dra någon slutsats av det de undersökt. De funderade och sa att det var nollan som
”hoppade” in och gjorde att det hela tiden blev ett parkeringssätt mer, än antalet bilar.
Analys och reflektion
En av anledningarna till att genomföra denna uppgift var att observera hur eleverna samtalade med
varandra. Använde de det matematiska språket åldersadekvat i den utsträckning som vi förväntade
oss? Min uppfattning var att det matematiska språket emellanåt känns torftigt och att jag behöver arbeta ännu mer med att befästa den korrekta matematiska terminologin. Dock kändes deras
logiska resonemang helt adekvat och det saknades verkligen inte motivation och arbetsglädje. De
var fullt ut koncentrerade på sin uppgift trots att tidsåtgången blev långt över beräknad. De kunde
även dra slutsatser av sitt arbete vilket förhoppningsvis leder till en djupare förståelse för tals uppdelning. Det är naturligtvis önskvärt att eleverna får ett så precist matematiskt språk som möjligt
dels för den egna förståelsen men även i kommunikation med andra (läs mer om den matematiska
diskursen i Eva Riesbecks avhandling (2008)På tal om matematik: matematiken, vardagen och den
matematikdidaktiska diskursen).
Matematik i närområdet – med verkligheten som bas
För att förena matematiken som vi arbetar med i klassrummet med verkliga, vardagliga händelser
har jag utarbetat uppgifter att arbeta med i närområdet. Det kan handla om att på olika sätt behöva
använda den matematiska kunskapen ute i samhället. Det finns uppgifter där man behöver ha
förståelse för busstidtabeller, parkeringsautomater, öppettider eller priser för att kunna göra en beräkning. En stor fördel med att arbeta utomhus är att diskussionen kan vara ljudlig utan att någon
blir störd. Det som kan ställa till det kan vara ”vädret” eller någon oförutsedd händelse som drar
uppmärksamhet till sig så det blir svårare att hålla fokus. Dock är fördelarna större än eventuella
nackdelar.
Det har uppkommit intressanta diskussioner om anställdas arbetstider i förhållande till öppettiderna. Kan en anställd arbeta i ett sträck från 09.00-18.00 eller behöver man göra uppehåll för att
äta? Eller… hur mycket pengar behöver du betala för bilparkering när du veckohandlar? En annan
intressant diskussion uppstår när man behöver räkna ut vilken buss man ska ta för att vara framme
vid en speciell hållplats på ett speciellt klockslag. Eller när man till och med behöver byta buss
längre fram för att komma till en speciell hållplats. Detta är ett sätt att knyta matematiken till det
konkreta och eleverna uppskattar oftast mycket att få lösa denna typ av uppgifter. Det krävs dock
en vana hos eleverna att arbeta självständigt utan den översikt och möjlighet till kontroll som finns
i klassrummet. (se meramatte.se)
Prov utan bedömning i poäng
Efter att här i forskningscirkeln och av olika forskare hört och läst mycket om den låga effekt det ger
med poängberäkning på prov, bestämde vi oss i arbetslaget för att prova något nytt. Vi rättar proven
som vanligt, dock utan att sätta ut poäng, men med kommentarer. När eleverna får tillbaka sitt prov
(gärna snarast möjligt) får de gå igenom uppgifterna för att kunna besvara vissa reflekterande frågor
som exempelvis vad du är säker på, vad du behöver träna mer på, vilket var lätt respektive svårt, kan
du göra en liknande uppgift och visa hur man kan lösa uppgiften osv.
Detta sätt att arbeta med prov, ger möjlighet för eleven att skriftligen reflektera och kommunicera vad han/hon har förståelse för, respektive behöver mer träning i för att uppnå förståelse. Man
kan som lärare använda provresultaten summativt samtidigt som möjlighet ges att arbeta med formativ bedömning (Boaler, 2008 samt Harrison & Howard, 2009).
83
Bedömning för lärande – Formativ bedömning
84
Det har i forskning visat sig att när elever får tillbaka prov som är rättade med poängangivelse, tittar
de i stor utsträckning endast på poängantalet och tenderar att jämföra sitt resultat med kamraterna
istället för att fokusera på innehållet i lärandet. Är provet rättat med poängangivelse men även
innehåller kommentarer skulle man vilja tro att eleven tar till sig kommentarerna och på så sätt
utvecklar sitt lärande. Dock menar ovan nämnda författare med hänvisning till forskningsresultat
i flertalet studier, att så inte är fallet utan att man istället som lärare ska ge enbart kommentarer
med konstruktiv feedback som hjälper eleven att få syn på sitt eget lärande. ”Jo Boaler” visar på en
tredelning av bedömning för lärande där den första delen handlar om att kommunicera om vad det
är man lär sig och vart eleverna är på väg. Sedan handlar det om att medvetandegöra eleverna och
slutligen att ge tydliga råd om hur de ska bli mer framgångsrika.
Fyrfältsblad med bråk
Syfte
Att arbeta med fyrfältsblad är meningsfyllt och vi hade genomgång av detta under lärarutbildningen. Dock är det så som lärare att man själv utvecklas hela tiden och ser meningen och tyngden
med vissa aktiviteter först när man verkligen kan se hur elevernas förståelse påverkas positivt. När
vi i forskningscirkeln bestämde att vi skulle arbeta med fyrfältsblad (Förstå och använda tal-NCM:
Tanketavla) kände jag att det var ett förstärkt sätt att arbeta med olika representationsformer jämfört med räknesagor/räknehändelser som vi vanligtvis gör. Alla elever har olika sätt att tänka på och
när man arbetar med fyrfältsblad får individen en bättre möjlighet att komma fram till en lösning
med god förståelse.
Uppgiftens genomförande
Vi gjorde först ett gemensamt fyrfältsblad med hela klassen. Det var eleverna som hittade på räknehändelsen och sedan utgick vi från den när vi genomförde de övriga fälten (representationsformerna). När eleverna sedan parvis skulle genomföra en egen uppgift lämnade jag uppgiften helt
öppen. De flesta grupperna valde att arbeta med bråk som vi vid tillfället för uppgiften arbetat med.
Varianter på fyrfältsblad
Det fungerade olika bra för olika grupper. Några grupper tog sig an uppgiften och genomförde den
utan att behöva hjälp medan andra grupper (som valde addition och subtraktion) inte hade en lika
tydlig arbetsgång. Några lade allt för stor vikt vid hur bilden skulle se ut och förlorade matematiken. När de sedan redovisade för varandra fick de berätta hur de hade tänkt i genomförandet av
uppgiften och de fick även svara på frågor från klasskamraterna.
Analys och reflektion
Som lärare fick jag signaler om några brister i förståelse hos vissa elever t.ex. de som inte kunde gå
mellan de olika representationsformerna och se sambandet utan istället färdigställde fälten var för
sig helt utan samband. Det framgick även hos någon grupp att de inte från början kunde reda ut om
det var 30÷6=5 eller 30÷5=6. Här kunde jag som lärare dock se hur förståelsen infann sig.
Jag har på olika sätt använt mig av detta sätt att arbeta med matematik därefter t.ex. genom
att eleverna har valt uppgifter ur boken men även gjort egna, enskilt och i grupp. Min avsikt är att
använda mig än mer av fyrfältsblad i framtiden då jag kan se vinsterna i förståelsen hos eleverna,
samt att jag själv får så mycket information om var eleverna befinner sig i sin kunskapsutveckling.
85
Vad händer när man pratar matematik?
av Elisabeth Pettersson
86
Jag är lågstadielärare med lång erfarenhet av att undervisa, framförallt i årskurs 1–3. När forskningscirkeln startade våren 2012 arbetade jag som lärare på Mellanhedsskolan i Malmö. Jag undervisade
då huvudsakligen i matematik och no och var samtidigt matematikutvecklare i Västra Innerstaden
och på FoU Malmö-utbildning. Sedan höstterminen 2012 arbetar jag enbart som matematikutvecklare i Västra Innerstaden och på FoU Malmö-utbildning.
Språket är ett redskap för att kommunicera. Matematikens specifika terminologi är en del av
språket. Att kunna förstå och använda både det vardagliga språket och det matematiska språket är
viktigt för att utveckla matematisk förståelse. Kommunikationsförmågan, som lyfts fram i Lgr11,
kan vara både muntlig och skriftlig. Hur kan man stärka språkutvecklingen i matematikundervisningen och ge samtalet en större plats? Hur kommer man bort från det tysta individuella räknandet
i matteboken som är så vanligt i våra klassrum? Våra elever måste få möjlighet att förstå genom att
se, gestalta, upptäcka och kommunicera. Det är en del av de frågor och tankar som jag funderat
kring när jag medverkat i denna forskningscirkel om matematik och språk.
Att få delta i en forskningscirkel är något som fler lärare borde få möjlighet att göra. Syftet med
en forskningscirkel är att höja kompetensen hos lärarna så att det i sin tur kan leda till skolutveckling. För min egen del har detta varit ett fantastiskt stimulerande sätt att höja min egen kompetens
inom ett på förhand givet tema, matematik och språk. Vilka spännande och intressanta träffar vi
haft! Vi har fått möjlighet att diskutera och reflektera över läst litteratur och över våra erfarenheter
av genomförda aktiviteter i olika typer av barngrupper. Många av de aktiviteter som jag genomfört i
barngrupp har jag dokumenterat med film. För mig har det varit en riktig aha-upplevelse att själv få
titta på filmerna och verkligen försöka få syn på vad som händer och framförallt när det händer. Att
sedan få möjlighet att tillsammans med de andra cirkeldeltagarna diskutera, analysera och reflektera
över vad som händer på filmen har varit spännande. Det är inte säkert vi har samma glasögon på
trots att vi ser samma film!
Vad innebär det att var matematisk och vad är det som gör att en del
elever blir matematiska?
Vi föds inte som matematiker utan den matematiska förmågan är något som kan utvecklas hela
livet. Att vara matematisk innebär för mig att man har ett bra logiskt tänkande vilket gör att man
kan tänka kreativt och flexibelt, se problem från olika håll och hitta olika lösningsmetoder. Man
ska kunna använda matematiken i vardagen och i verkligheten. Man ska kunna resonera och argumentera för sin lösning, se mönster och kunna generalisera. En annan förutsättning är att man
har en god taluppfattning. Däremot tror jag inte det är nödvändigt att man har automatiserat alla
tabeller utan att man har förståelsen, så att man lätt kan räkna ut uppgiften om man inte skulle
kunna den direkt.
Bengt Johansson från Nationellt centrum för matematikutbildning beskrev, på NCM:s konferens för matematikutvecklare 2012, innebörden i att vara matematisk bland annat som att man har
utvecklat en förtrogenhet med ett matematiskt landskap, att man kan röra sig fritt bland matematiska begrepp och påståenden.
Jag har pratat matematik med en av mina elever i årskurs 3, som jag upplever som matematisk.
Så här säger Fia:
Vanlig matte, att räkna i matteboken är inget kul. Det är trist och enformigt. Att arbeta med problem t ex ”kängurumatte”, det är kul för då får man tänka. Jag brukar rita för det är lättare att förstå
då. Det är roligt att jobba ihop med andra när man löser problem för då kan man lära sig mer,
men jag vill inte jobba med vem som helst. Flickor är nog bättre i matte än pojkar för flickor kan
koncentrera sig bättre. Jag använder matte när jag går och handlar. Jag brukar få hundra kronor
och då måste jag tänka så att det räcker. Annars använder jag matte när jag spelar dataspel för där
handlar man olika saker och då måste pengarna också räcka. Mamma och jag brukar sitta och lösa
kluringar tillsammans. Jag ska nog bli pilot eller författare när jag blir stor. Om jag ska bli pilot måste
jag kunna matte, hastighet och höjd och sånt.
Vad är det då som gör att Fia enligt mig är matematisk?
Fia har de förmågor som jag nämnt tidigare, men hur har hon kunnat utveckla dem? Finns det
några andra faktorer än undervisningen i förskola/skola som kan ha påverkat Fias matematiska utveckling.? Fia har fått möjlighet att arbeta med matematik hemma sedan hon var liten. Föräldrarna
87
har en positiv grundinställning till matematik och man pratar och lyfter matematiken i vardagliga
sammanhang i hemmet. Fia har ett rikt språk och är van att kommunicera och bli lyssnad på. Hon
är uthållig och har tålamod när hon arbetar med problemlösning. Hon kan lyssna och lär av andra.
Hur kan vi hjälpa våra elever att bli matematiska?
Forskning visar att ska man göra något för att barn ska lyckas i skolan, ska man börja med matematik tidigt. Det gör större skillnad än att börja tidigt med läs- och skrivövningar. I förskolans läroplan
1998 (rev 2010) utgår man från Bishops sex matematiska aktiviteter.
»» Räkna – att systematiskt urskilja, jämföra, ordna och utforska mängder av föremål
88
»» Lokalisera – att uppleva, jämföra och karakterisera egenskaper hos rummet, inomhus, utomhus, i planerad miljö och natur.
»» Mäta – uppmärksamma och undersöka olika typer av egenskaper hos föremål och
fenomen, t.ex. storlek, temperatur, längd, bredd, höjd, vikt, volym, hållfasthet och
balans.
»» Konstruera – sortera och karakterisera objekt med tanke på egenskaper som storlek, form, mönster och samband.
»» Leka – fantisera, uppfinna, uppleva och engagera sig i lekar med mer eller mindre
formaliserade regler.
»» Förklara – utforska vägar för att finna förklaringar på egna och andras frågor genom att experimentera, testa, föreslå, förutsäga, reflektera, granska, generalisera,
argumentera och dra slutsatser.
Om man i alla förskolor och förskoleklasser lade fokus på att arbeta efter dessa aktiviteter skulle
alla barn ha goda möjligheter att bli matematiska. Matematik är så mycket mer än tal och räkning.
Barnen behöver praktiskt få möta olika begrepp så att de kan sätta ord på sina upplevelser. Den
matematik barn möter i vardagen behöver synliggöras. Genom att samtala om olika händelser och
erfarenheter utvecklas förmågan att reflektera, dra slutsatser och resonera. I vardagssituationer finns
många möjligheter att lyfta fram och sätta ord på matematiska egenskaper t.ex. att jämföra olika
föremål när det gäller färg, form, längd, vikt, antal, mönster osv. Detta ger barnen en god grund
att stå på inför det fortsatta matematiklärandet och öppnar för att de blir matematiska. De får även
möjlighet att börja utveckla ett matematiskt språk tidigt.
I boken ”Elefanten i klassrummet” skriver Jo Boaler i kapitlet ” Ge eleverna bästa möjliga start
i matematiken” följande:
”Framgångsrika problemlösare gör sedan en del mycket matematiska saker – såsom att rita upp problemet, göra ett diagram eller en tabell eller pröva med ett enklare fall – medan lågpresterande
elever inte tänker efter vad det är de ska göra.
Det kändes bra att läsa att Jo Boaler poängterar hur viktig strategin att rita sig till lösning är. Det
är något som jag alltid använt som hjälpmedel själv och även lär mina elever. Fia tog också upp det
som en av hennes strategier för att lösa problem. Att rita till uppgifter hjälper till att se sammanhang
och skapa förståelse och ger underlag för diskussioner. Boaler betonar också hur viktigt det är att
eleverna verkligen får strategier för problemlösning i kombination med kunskaper om matematiska
metoder. Detta måste vi undervisa om! Vi måste ge dem intressanta övningar som kräver att de
använder framgångsrika metoder och strategier. Eleverna behöver ha en plan för sitt arbete så att
de får struktur.
Att rita sig till lösning är något jag börjar med redan i årskurs 1. Alla elever har ett kladdpapper
i matteboken som de tar fram när vi börjar mattelektionen. Därefter ger jag eleverna problemet och
sedan sätter de igång med att försöka rita sig till en lösning. Om man kan får man förutom att rita,
skriva med symboler (räkne språk). Oftast arbetar de individuellt en stund – tänk själv – därefter i
par – tänk tillsammans. Under tiden går jag runt för att se och lyssna vad de har för strategier och
för att förvissa mig om att alla har förstått uppgiften. Tiden för att lösa problemet varierar naturligtvis mellan eleverna, men för att alla ska få den tid de behöver brukar de som är snabba få fundera
på om de kan lösa uppgiften på ett annat sätt. En viktig aspekt att betona är att det inte är några
konstverk som ska ritas utan en enkel bild.
När det är dags för redovisning får eleverna komma fram och visa sitt sätt att rita och lösa problemet. Finns det någon som har löst det på ett annat sätt? Detta leder naturligt till en diskussion
om strategier och att det kan finnas många lösningsmetoder. Vi diskuterar också om vi kan skriva
uppgiften med symboler, vilket naturligtvis inte alltid går, och om det finns fler svar på problemet. Många av problemen som eleverna får är också öppna och då finns det självklart flera olika
lösningar och svar. Med detta undervisningssätt tror jag att eleverna upplever matte som roligt, får
större självförtroende, lär av varandra och därigenom kan klara större utmaningar.
89
Matematikordlista
90
I boken ”Matematik och respekt – matematikens mångfald och lyssnandets konst” skriver AnnLouise Ljungblad och Håkan Lennerstad om hur vi ska kunna förändra matematikundervisningen,
få den från en nästan enbart görande-kultur till även en förståelse-kultur. Tyst ensamarbete dominerar i klassrummen. Många svårigheter kommer inte fram utan man lär sig rent mekaniskt hur
uppgifter ska lösas, eftersom man tränar flera uppgifter som ska lösas på samma sätt. Enligt författarna är matematikämnets allvarligaste problem att dialogen är så svag i matematikämnet. Den
muntliga kulturen är ofta envägskommunikation, eleven lyssnar på läraren. Enligt författarna finns
det i matematiken minst två språk, modersmålet och det matematiska formelspråket, matematiskan. Modersmålet har en central roll i matematiken och eleverna behöver använda det för att förstå
matematiskan och utveckla matematisk förståelse.
Jag har låtit eleverna i klass 3 göra en matematisk ordlista där de förklarar ord och begrepp på
sitt eget sätt.
Uppgiftens genomförande
Uppgiften genomfördes i klass 3 i maj 2012. Uppgiften var att tänka efter vilket ”mattespråk” som
lärarna och eleverna i klassen använder och sedan skriftligt förklara vad de olika orden betyder. Jag
gav inga förslag utan eleverna fick fundera helt själva. Eleverna arbetade ihop två och två.
Ett urval av elevernas förklaringar.
»» Addition: när man plussar ihop tal, betyder att man lägger ihop.
»» Multiplikation: när man gångrar ett tal, man tar ett tal flera gånger.
»» Summa: det slutgiltiga svaret.
»» Mattekluring: ett svårt mattetal.
»» Bråk: uppdelning av en del, är delar av olika saker, om man har en hel pizza och ska
dela den på tre delar, då blir det en tredjedel.
»» Hälften: när man delar talet på mitten så att det blir två lika stora tal.
»» Dubbelt: när man tar och plussar med samma tal, när man lägger ihop två lika
stora tal.
»» Problemlösning: är när man listat ut svaret på en fråga.
»» Area: fyllningen i figuren.
»» Omkrets: runt omkring
»» Cirkel: en figur utan hörn och kanter, är rund
»» Triangel: har tre hörn och tre sidor och sidorna behöver inte vara lika långa
Reflektion
Totalt sett hittade eleverna i klassen 41 matematiska ord och begrepp som de förklarade. Ord som
har med geometri är klart dominerande. Troligen beror detta på att klassen under våren arbetat
mycket med geometri. Vid tillfället när uppgiften genomfördes ingick alla uppräknade geometriord
i de flesta elevers aktiva ordförråd. Kommer det att fortsätta vara så eller blir det ett passivt ordförråd om ett tag, eller kommer ordet att försvinna helt från ordförrådet? Jag tror att det är viktigt
att inte ”glömma” dessa ord nu bara för att geometriområdet är avslutat, utan att man som lärare
återkommer och tar upp dessa ord med jämna mellanrum i matematikundervisningen, så att orden
och dess betydelse riktigt befästs.
Matematik har ett eget språk som eleverna måste få möjlighet att lära sig. För att lära sig detta
måste vi låta samtalet få en större plats i matematikundervisningen. Den tysta individuella räkningen som är så vanlig i våra klassrum måste minska. Matematikens språk är abstrakt och en del
ord har också en annan betydelse i sammanhang som inte är matematiska, t ex rymmer, volym och
axel. Eleverna måste bli medvetna om att det är så, och få möjlighet att samtala och få kunskap om
sådana ord och begrepp. Det är också viktigt att vi accepterar att eleverna försöker förklara och uttrycka sina tankar med ett samtalspråk som kanske inte är så matematiskt. Detta utesluter inte att vi
ska försöka bygga upp ett matematiskt språk från början hos våra elever. Det är inte svårare att lära
sig att det heter triangel än trekant. Små barn brukar också vara fascinerade av svåra och ovanliga
ord.
Eva Riesbeck visar i sin avhandling vilka svårigheter lärare och elever har att kommunicera med
både vardagligt och matematiskt språk. Det är först när man i samtal formulerar sina tankar och
får respons på dem som kunskap utvecklas skriver hon. Hon visar också hur små förskjutningar i
språket gör att eleverna inte alls förstår vad det handlar om. Ibland lyckas de trots detta göra rätt
vilket antagligen beror på att de lärt sig mekaniskt hur de ska göra utan att förstå varför.
Problemlösning
I läroplanen (Lgr11) under matematikämnets syfte står följande:
91
Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och
matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycks­
former.
Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och föra
matematiska resonemang.
Enligt Lgr11 ska eleverna undervisas så att bland annat nedanstående förmågor utvecklas:
»» föra och följa matematiska resonemang
»» använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra
92
för frågeställningar, beräkningar och slutsatser
För att eleverna ska få möjlighet att utveckla dessa förmågor har jag valt att arbeta med tre olika problemlösningsuppgifter med elevgrupper från årskurs 2. Jag har valt att arbeta med ”bilparkeringen”
”leksaksfabriken” och ”tankekartan”. Uppgifterna är valda så att kommunikation och resonemang
ska lyftas fram. Tanken är också att eleverna på olika sätt ska få gestalta sin kunskap. Uppgifterna
har genomförts i elevgrupper med två eller tre elever i varje grupp. Jag har valt små grupper för att
alla elever ska få tid och möjlighet att samtala om uppgiften och lyssna på varandra. En stor fördel
för mig har varit att jag endast haft några få elevgrupper samtidigt. I en vanlig klassrumssituation är
det svårt att koncentrera sig på en eller två elever, och låta de få den tid som behövs och samtidigt
ha en hel klass som man också har ansvaret för. När eleverna arbetat med uppgiften har jag försökt
hålla mig i bakgrunden och inte lägga mig i. Det är svårt att vara tyst och bara lyssna när man har
tankar och förväntningar på hur eleverna ska angripa uppgiften. En annan svårighet i lyssnandet är
att följa med i hur någon tänker, som kanske inte tänker som jag. Jag har dokumenterat genom att
filma när eleverna arbetar, förklarar och reflekterar över uppgiften.
Bilparkeringen – årskurs 2
Uppgift från strävorna http://ncm.gu.se/media/stravorna/2/a/23A_bilparkering.pdf.
Denna uppgift genomförde jag i en årskurs två i oktober. Jag genomförde den i två olika elevgrupper. Uppgiften går ut på att eleverna ska kunna dela upp hela tal på olika sätt, i första hand talen
upp till tio. De förkunskaper som eleverna behöver är att de kan och har förståelse för talraden till
tio samt förståelse för nollan.
Uppgiftens genomförande
Uppgiften består i att elevgruppen får ett antal leksaksbilar och en uppritad parkeringsplats med
fjorton parkeringsrutor, sju på var sida. Uppgiften för eleverna är att undersöka på hur många olika
sätt de kan parkera/ dela upp bilarna. De ska parkera bilarna och samtidigt berätta vad de gör. I
instruktionen får eleverna reda på att de ska samarbeta och att det inte spelar någon roll vilken färg
eller modell det är på bilen. Det är enbart antalet bilar som eleverna ska bry sig om. Det har ingen
betydelse vilken parkeringsruta bilen står i, enbart vilken sida av parkeringen som bilen står på.
Elevgrupp 1
Den första gruppen med elever som jag träffade består av två flickor (Anna och Isa) och en pojke
(Johan). Enligt klassens lärare tillhör de gruppen elever som klarar matematiken utan problem. De
får sju bilar att parkera.
Utdrag ur samtalet:
Jo: Vi tar först sju och noll.
Is: Jo, det kan vi göra.
Johan ställer sju bilar på höger sida av parkeringen.
An: Så nu är det sju och noll.
Lär: Kan ni hitta på något annat sätt att parkera?
An: Då kan vi köra sex här och en där och sen tar vi över en och en.
Anna visar med handen, sex bilar kvar på höger sida.
Lär: Kan ni hitta på ännu fler sätt?
Is: Ja, tre och fyra.
Jo: Nej vi kör fem och två.
An: Okej då!
De låter först fem bilar stå kvar på höger sida och ställer två på vänster sida för att sedan flytta över
så det blir tvärtom.
Lär: Hur många sätt har ni hittat på nu?
Alla: Fyra!
Lär: Kan ni hitta på ett femte sätt?
Jo: Jag vet fyra, tre.
93
94
Lär: Finns det något mer sätt?
Det blir tyst en liten stund.
Jo: Man måste prova alla sätt två gånger.
Is: Jaha!
Jo: (pekar)Om vi hade sex här och en där så måste vi ha sex här och en där.
Jo: Ska vi ha tio sätt?
Lär: Hur många sätt kan det finnas? Finns det något mer?
An: Jo det finns ett till.
Jo: Ett till? (tänker) Då vet jag precis hur vi ska göra, sju och noll. Sju här och noll där.
An: Så där nu har vi åtta sätt.
Eleverna sätter igång och ritar parkeringen och de olika parkeringssätten. De delar in sina ritpapper
i åtta rutor och börjar sedan dra streck i varje ruta för att markera parkeringsrutorna.
Is: Det ska vara sex stycken pinnar.
An: (räknar sina parkeringsrutor) Nej! Jag har gjort fel. Jag har gjort sex stycken rutor på alla. (Kontrollräknar på den parkeringsplats som användes när bilarna parkerades). Då får jag sudda alla!
Anna börjar sudda men slutar efter några sekunder.
An: Nej det behöver jag inte! (ritar dit ett streck extra i varje ruta). Det blev en liten parkeringsplats!
Lär: Johan, varför ritar du sex streck i varje ruta?
Jo: För att det blir sju rutor då.
Lär: Isa, kan du berätta vad ni har gjort?
Is: Vi har parkerat bilar.
Lär: Vad har du gjort sen då?
Is: Vi har ritat parkeringar och målat sju bilar på olika sätt.
Lär: Hur många olika sätt har du hittat på?
Is: (pekar och räknar på sitt papper) Åtta!
Lär: Om du hade haft sex bilar. Hur många olika sätt tror du att det funnits då?
Is: (tyst och funderar, svarar sedan tveksamt) Sju!
Lär: Om du hade haft fem bilar då?
Is: Sex!
Lär: Varför tror du att det blir så?
Is: För att det är sju och det blir åtta sätt, så borde det ju bli lika många sätt fast plus ett då.
Efter detta ritade de bilar i sina parkeringsrutor och därefter skrev de med addition hur de hade
delat upp bilarna. Sedan fick de muntligt förklara vad de gjort. Alla tre förklarade på ett tydligt sätt
hur de tänkt och gjort.
95
Annas bild
Elevgrupp 2
Den andra gruppen med elever som jag träffade bestod av två flickor (Hedvig och Petra) och en
pojke (Daniel). Enligt klassens lärare tillhör de gruppen elever som har vissa svårigheter med matematik.
Uppgiften och instruktionen är densamma till dessa elever men de får fem bilar istället för sju.
Eleverna sätter genast igång med att parkera bilarna på olika sätt. De ställer bilarna på olika sätt,
men inte som jag tänkt mig utan fokuserar helt på hur bilen kan stå på parkeringsplatsen (framåt,
bakåt, snett, på tvären, olika mellanrum mellan bilarna, smala bilar, tjocka bilar, rostiga, olika färg
mm ).
96
Utdrag ur samtalet:
Bilarna har parkerats tre på en sida och två på en sida.
Da: Det blir ojämnt!
Pe: Vi tar den bak så, och den sned, och de mot varandra.
Da: Denna blir så här. Då blir det bra!
Pe: Denna mot varandra! Och de här mot varandra bak och fram.
Lär: Hur många har ni på varje sida nu?
Alla: Två, tre!
Lär: Kan ni parkera på något annat sätt?
Pe: Vi kan parkera en där, så det blir lite mellanrum mellan varje.
Da: Så kan vi göra där också.
He: Ja!
Pe: Så kan vi parkera den på sidan.
Lär: Hur många har ni på varje sida nu?
Alla: Tre, två!
Lär: Vad blev det för skillnad?
Da: De två är mot varandra (pekar på vänstra sidan).
Pe: De två är mot varandra och den är i mitten (pekar på högra sidan).
Eleverna fortsätter sedan på liknande sätt med att parkera bilarna i mönster och efter olika egenskaper. Hedvig deltar hela tiden genom att parkera bilar men deltar inte i diskussionen. De återkommer flera gånger till tre-två parkering trots att jag som lärare, efter att ha varit tyst länge, försöker
förtydliga genom att säga att det är antalet bilar som de ska tänka på, inte hur bilarna står. Så
småningom kommer man fram till att bilarna kan stå både som fyra och ett, och som fem och noll
men fokus är fortfarande på hur de är parkerade, inte antalet. Man ställer t ex flera bilar i samma
ruta och bildar mönster med bilarna.
Eleverna fick sedan i uppgift att rita parkeringsplatsen och hur de parkerat. Daniel och Petra
löste detta utan problem och ritade in bilarna på de sex olika sätten som de kan parkeras, skrev
som en addition och förklarade muntligt. När de ritade tog de ingen hänsyn till utseende eller hur
bilarna hade placerats som när de gjorde uppgiften praktiskt med bilarna. Hedvig däremot tog
bilarna till hjälp och parkerade på ett sätt och därefter ritade hon det sättet. Hon ritade inga bilar
utan kvadrater och kunde sedan utan svårighet förklara hur man delade upp talet 5 på olika sätt.
97
Hedvigs bild
Daniels bild
Denna grupp med elever fick vid ett senare tillfälle göra samma uppgift igen, men för att de inte
skulle fastna i samma mönster som första gången fick de denna gång sex blå kuber som skulle
parkeras. De fick också direkt efter varje uppdelning av talet skriva additionen, för att koppla sammanhanget. Då hade de inga problem med att dela upp talet, utan resultatet blev som jag förväntat
mig. Det som jag trodde skulle ske redan vid parkerandet av bilar.
Reflektion
Efter att ha genomfört denna uppgift i två olika grupper ser jag att de löser uppgiften på helt skilda
sätt. Matematik är ett abstrakt ämne därför är det viktigt att konkretisera och gå från konkret
(parkera leksaksbilar) till halvabstrakt (rita) till abstrakt (skriva med symboler). För grupp ett var
uppgiften inget problem. De har en förförståelse om hur man delar upp tal och förstår precis vad jag
är ute efter. De har en klar strategi som utgår från att alla bilar är parkerade på en sida och därefter
flyttar man över en bil i taget. Den strategin stöttar tänkandet för en av flickorna (Isa) i gruppen
som inte riktigt hängde med från första början. Dessa elever har förstått skolmatematiken och vet
vad ”fröken” vill. Mina förväntningar på hur de ska lösa uppgiften stämmer. De kan översätta parkeringssituationen till symbolspråk. Förståelsen syns tydligt i vad de gör. De ser samband och kan
reflektera över hur det skulle bli om man hade fler bilar.
När det gäller grupp två försöker jag skapa samma lärandesituation med samma förutsättningar
och förväntningar, men de tolkar och genomför uppgiften på ett helt annat sätt. De har ingen
strategi för uppdelning av antalet bilar utan fokuserar på hur bilarna ser ut och hur de kan parkera
98
på snedden, tvärs över parkeringsrutan osv. Istället för uppdelning av tal arbetar de med att placera
bilarna i mönster och där har de en strategi i hur bilarna placeras. Är det så att de inte riktigt förstår
vad jag menar, vad jag är ute efter? Har jag varit för otydlig, har jag använt ett skolspråk som de inte
förstår? Problemet kanske inte är så vardagsnära som jag tänkt? Hur ofta går det till på det här sättet
på en parkering? För denna grupp blev parkerandet ett görande utan förståelse, en rolig lek. De kan
inte se sambandet som jag förväntat mig.
En kritisk aspekt i genomförandet, som jag kanske borde tänkt på, var att bilarna inte såg likadana ut. Hade alla bilar sett likadana ut, samma färg och modell så hade jag kanske fått det resultat
som jag förväntade mig. Den slutsatsen känns trolig eftersom det inte var några problem när de
parkerade likdana blå kuber. Då kände de igen sig från skolmatematiken och fastnade inte i leken.
Hedvigs bild där hon redovisar sin parkering påminner för övrigt om en sida i en matematikbok.
Jag tror att Hedvig ritade sig till sin förståelse genom att hon efter att ha parkerat bilarna, översatte
bilarna till kvadrater och därefter till symbolspråk. Hon hade därefter inga problem att förklara hur
hon delat upp talet fem sin bild.
Tanketavlan – årskurs 2
Tanketavlan från ”Förstå och använda tal” av Alistair McIntosh.
I tanketavlan, eller fyrfältaren som den också kallas, får eleverna använda fyra olika representationsformer. Eleverna ska visa en matematisk idé på olika sätt, kunna förklara sambanden mellan de fyra
fälten. Man utgår från ett matematiskt uttryck som eleverna ska tolka på olika sätt. Eleverna får
sedan genom att arbeta laborativt med konkreta föremål, rita, skriva och diskutera sin lösning, gå
från konkret till abstrakt.
Uppgiftens genomförande
Denna uppgift gjorde jag i fyra olika grupper i årskurs 2 i januari. Vi började med att göra en tanketavla gemensamt innan eleverna parvis fick ge sig på uppgiften. Elevparen fick olika matematiska
uttryck att arbeta med. Uttrycken och beräkningarna fanns inom talområdet 0-100 och alla fyra
räknesätt användes.
Föremål
Symboler
Räknehändelse
Samband/bild
Modell på tanketavlan
När alla fält i tanketavlan är ifyllda fick eleverna berätta och förklara sin tanketavla samt reflektera
över vad de lärt sig. Jag filmade eleverna när de redogjorde för sin tanketavla.
Utdrag från en redovisning av uttrycket 62-17 med Johanna och Niklas.
Ni: Vi har gjort talet 62-17 och 62-17 är 45.
Lär: Vad gjorde ni först?
Ni: Först räknade vi ner 17 minus 2. Då blir det 60 minus 15.
Lär: Och sen har ni byggt talet ser jag. Vad byggde ni med?
Ni: Vi byggde talet med tiostaplar och enklossar.
Niklas läser sedan räknesagan och Johanna berättar sedan följande till bilden som de ritat.
Jo: Det var 62 bilar i en bilkö. Så körde 17 iväg så var det 45 kvar.
Lär: Nu har ni använt subtraktion om man skulle använda addition istället hur skulle det bli då?
Ni: Man skulle kunna göra 17 plus 45 är lika med 62 eller 45 plus 17 är också 62.
Lär: Hur skulle sagan bli då?
Ni: Då skulle det blivit. Det var en gång 17 bilar i en bilkö och så kom 45 bilar. Då var det 62 bilar
i kön.
99
100
Johanna och Niklas tanketavla
Ett annat exempel
Reflektion
Förmågan att kunna vandra mellan olika representationsformer är viktig för att skapa och visa
förståelse i matematik. Eleverna behöver få möjlighet att upptäcka, se samband och reflektera. I
ovanstående exempel kan man se att Niklas är helt på det klara med sambandet mellan räknesätten.
Om Johanna också har upptäckt sambandet kan jag inte se eftersom Niklas tar över föreställningen.
Att en elev tar över såg jag också i de övriga gruppernas redovisningar, den som var mest verbal och
säkrast i matematik.
För en del elever är det svårt att uttrycka vad de lärt sig och dra slutsatser. Samarbete gör att man
kan diskutera, dra slutsatser och lära av varandra. På det viset kan eleverna öka sin förståelse och
kommunikationsförmåga. Samtalet leder framåt när man delger varandra. Jag tror att det även hade
varit bra om jag låtit eleverna skriftligt fått dokumenterat sitt lärande och sina reflektioner. Det är
viktigt att man gör uppgifter som denna ofta och låter alla få utveckla sin förmåga att kommunicera
muntligt. Man kan låta eleverna träna redovisningen av sin tanketavla i par med en tydlig instruktion att båda ska vara beredda att redovisa. För att utveckla sitt tänkande är det en förutsättning att
eleverna får möjlighet att berätta om sina lösningar.
Leksaksfabriken – årskurs 2
Uppgift från Familjematematik NCM.
Denna problemlösningsuppgift genomförde jag i årskurs två i februari. Jag genomförde den i två
olika elevgrupper, en grupp med två flickor och en grupp med två pojkar. Jag placerade grupperna
så att den ena gruppen helst inte skulle se och höra vad den andra gruppen sa och gjorde. Uppgiften är öppen och det finns många rätta svar. Syftet med uppgiften är att eleverna ska få samtala,
diskutera och fundera på hur de tillsammans kan lösa uppgiften. Jag vill speciellt uppmärksamma
vad de har för strategier när de löser en öppen uppgift. De förkunskaper som eleverna behöver är
att de kan och har förståelse för talraden till 100 samt kan räkna två-hopp, tre-hopp, fyr-hopp osv.
Uppgiftens genomförande
Vi började med att prata om fordon. Vad är ett fordon? Vilka fordon har många hjul, vilka har få
och så vidare? Därefter fick eleverna papper och penna och en hög med hjul (platta glaspärlor).
Uppgiften var sedan att bygga fordon med dessa hjul och dokumentera med bild och symboler.
Vilka fordon bygger man i leksaksfabriken just idag?
Eleverna angrep uppgiften på olika sätt. Flickorna började med att räkna hjulen och kom fram
till att det var 34 hjul. Därefter började de lägga hjulen i högar efter vad det skulle vara för fordon,
4-högar för bilar, limousiner och ufon, 3-högar för flygplan, 2-högar för cyklar. Därefter började
man rita sina fordon och lägga på hjulen vartefter för att kontrollera att det stämde. När man hörde
att pojkarna gjorde enhjulingar tog man genast och gjorde två enhjulingar från cykelhögen.
Pojkarna gjorde på samma sätt som flickorna från början, det vill säga räknade hjulen och kom
fram till att det var 44 stycken. Därefter började man rita ett fordon i taget och la dit så många
hjul som fordonet behövde. Man började med en limousin och en jeep. Sedan en lastbil med sex
hjul, en personbil med fyra hjul och en moped med två hjul. Därefter blev det vanliga cyklar och
enhjulingar av återstående hjul.
Utdrag från samtalet mellan pojkarna (Olle och Henrik). Pojkarna pekar hela tiden på de fordon
som de beskriver:
Lär: Berätta vad ni gjort för fordon!
Henrik: Det här är en cykel som har två hjul.
101
102
Henrik och Olle i kör: Det här är en limousin som har sex hjul
Henrik: Det här är en lastbil som har sex hjul.
Olle: Det här är en jeep med ett extra hjul.
Olle: Vi har gjort väldigt många enhjulingar och cyklar.
Lär: Hur många hjul går det åt till alla enhjulingar?
Henrik: Nio, det är nio encyklingar.
Lär: Hur många går det åt till de vanliga cyklarna?
Olle: Tio stycken
Lär: Hur tänkte du då Olle?
Olle: Jo jag tänkte jag gjorde en slarvig sadel. Sen bara langade jag på hjul, mer hjul och så.
Lär: Men när du räknade hjulen, hur tänkte du då? När du sa tio så där fort.
Olle: Jo, jag tog två, fyra, sex, åtta, tio, tolv. För alla vet ju att två gånger fem är lika med tio!
När de skulle dokumentera uppgiften fick de själva bestämma hur de skulle visa matematiken i
uppgiften, gå från det konkreta till det abstrakta. Båda grupperna gjorde olika former av tabeller där
de skrev vilka olika fordon de tillverkat och hur många hjul som gått åt till varje slags fordon. Slutligen skrev de en addition för att räkna ut summan av antalet hjul som använts i leksaksfabriken.
Båda grupperna upptäckte då att de räknat fel när de räknade hjulen första gången.
Detta var en mycket spännande uppgift. Flickorna och pojkarna genomförde uppgiften på olika
sätt. De hade olika matematiska strategier för att lösa uppgiften. Pojkarna kastade sig över uppgiften och började nästan genast att rita utan att tänka efter hur många fordon man behövde rita.
Det blev därför en hel del stora fordon som man satt extrahjul på när man upptäckte att man inte
skulle få plats på papperet. Av denna anledning blev det också många cyklar och enhjulingar. Man
resonerade som så att det var lättast att rita cyklar och de kunde man klämma in lite här och där.
Flickorna genomförde uppgiften mer som jag hade förväntat mig. De började med sortering i
grupper så att de visste hur många fordon av varje sort de skulle rita och därför fick de också plats
på papperet.
När de skriftligt skulle dokumentera vad de gjort, gjorde pojkarna en tydlig tabell. De berättade
också att de gjort en tabell för det syntes bra hur många hjul som gått åt och att de använde addition
för att räkna ut hur många hjul som behövdes sammanlagt till alla fordon. Flickorna gjorde små
rutor där de skrev varje fordonsslag och antalet hjul som gått åt. De gjorde också en addition men
använde ordet plus när de berättade vad de gjort.
103
Pojkarnas tabell och uträkning
Reflektion
När jag reflekterar över resultatet på denna uppgift blev slutresultatet ungefär som jag förväntat
mig. Det var en bra samarbetsövning som ledde till kommunikation och diskussion. Båda grupperna dokumenterade resultatet så att det gick att förstå. Pojkarna använde fler matematiska begrepp
och var tydligare när de redogjorde. Jag kan även få syn på förståelsen när Olle till exempel räknar
hjulen med två-hopp för att sedan översätta till multiplikation. Däremot hade jag inte förväntat
mig att pojkarna skulle lösa uppgiften som de gjorde utan jag trodde att de på något vis skulle sortera och bestämma vilka fordon de skulle göra innan de började rita. Kan det vara så att uppgiften
med fordon var så intressant för dem att de kastade sig över den bara för att de är pojkar. Det kanske
var en ur genusperspektiv dålig uppgift!
Matematik, språket vi alla måste våga tala
av Anna Roslund
104
Då jag efter min gymnasiala utbildning fick arbete som barnskötare trodde jag att det var det jag
skulle göra resten av mitt liv, fel hade jag. Jag har efter ett antal år på förskola utbildat mig till barnsköterska och arbetade på barnmedicinen i Lund för att slutligen då jag väntade mitt andra barn
kom till insikten att jag av olika anledningar måste sätta mig i skolbänken igen. Så, 33 år gammal
påbörjade jag min utbildning till lärare. Har examen och lärarlegitimation i samtliga teoretiska ämnen år 1-6 samt sv. A år 1-3. Arbetar nu som klassföreståndare i en skatteklass. Kommer till hösten
att arbeta som matematikhandledare 20 % vilket är en satsning från Skolverket, där fokus ska ligga
på lärarens lärande för att öka elevernas måluppfyllelse. Resterande tid kommer jag att arbeta i klass.
Att jag överhuvudtaget är matematiklärare idag är i sig en triumf. Min högstadielärares röst
under en matematiklektion ekar fortfarande i mitt huvud, ”Anna Roslund, du är dum i huvudet!”
Detta var en sanning för mig under många år tills jag en dag stod inför valet att bli lärare. Jag har
nu undervisat elever i bl.a. matematik i sju år och är så inspirerad var dag av mina elever. De senaste
två terminerna har jag gjort en fantastisk resa som mattelärare, jag har vuxit, jag har kommunicerat,
jag har vågat och jag är en bättre matematiklärare än någonsin. Mötena med kolleger i forskningscirkeln, fantastiska föreläsningar av forskare och eldsjälar till lärare samt kontinuerliga träffar på
skolan har format mig. Det blommar i klassrummet, året runt. Jag har verkligen insett betydelsen
av att kommunicera matematik kan vara direkt avgörande för många elever för att lyckas.
Idag förstår jag varför min mattelärare tyckte jag var dum i huvudet. Jag ställde för många frågor
och han hade inte förmågan att ta vara på min kompetens. Tänk om han bara sagt, Anna, förklara
hur du ser problemet, så kan vi lösa det tillsammans…
”Det är mycket svårt att föra en matematikdialog – där människors varierande tankar tas tillvara”
Matematik och respekt i praktiken (2012)
Varje lektion börjar alltid med en gemensam uppgift. Eleverna ges tid att tänka själv för att sedan
diskutera med sin bänkkompis för att sedan ha klassrumsdiskussioner. Som lärare svarar jag sällan
på barnens frågor, det gör de själva. De har vant sig vid att jag är ett verktyg, precis som de själva är.
Fröken är inte en svarsmaskin. Även om det gäller nya utmaningar som t.ex. kortdivision frågar jag
hur de tror/vet hur man kan utföra den. Jag häpnar ständigt av barnens kunskap.
Matematikordlista, vad kan vi? Årskurs 6
Vår första gemensamma uppgift från vår forskningscirkel var att tillsammans med barnen utföra
en matematikordlista. Syftet med detta var att få syn på elevernas egna ord. Hur många ord kan
dem? Att barnen kunde en massa ord och begrepp visste jag, de har ju hört mig säga ett antal under
årens gång. Men, jag ville veta om de kunde förklara, förstår de orden de svänger sig med? Jag satte
upp stora skrivpapper på väggarna i klassrummet och uppmanade barnen att när helst som skriva
ner de ord de kände till i språket matematik. Och många blev det, glädjande nog. Men att låta det
stanna här är som att bara låta elever lära sig glosor men inte vad de betyder. Några veckor senare
valde jag ut ett antal ord som jag bad eleverna förklara. Dessa ord skulle förklaras som om jag aldrig
hört dem.
En del av de ord de skulle förklara var:
»» Addition
»» Före
»» Likhetstecken
»» Formel
»» Bråk
»» Uppskatta
En flicka svarade på frågan addition, ”Det är när man adderar ett tal. När man adderar så lägger
man till, t.ex. 1+5, då lägger jag till 5 till 1 så får jag 6.”
En annan svarade, ”Addition är när man adderar ett tal med siffror. Man lägger till, t.ex. jag har
tre pennor, jag får sedan tre pennor till av min kompis. Hur många pennor har jag då sammanlagt?
Då, för att lista ut svaret måste jag lägga till de pennorna jag fick med dem jag hade sedan tidigare.
Det skrivs så här på mattespråket 3+3 (de tre jag hade plus de tre jag får).
”Tecknet + är det tecken man använder för att visa att jag lägger till saken och inget annat. ”
”Likhetstecken kommer efter att man har räknat ut ett tal. Det är till för att visa att det är lika
mycket på båda sidorna”.
”Likhetsteckenet är ett tecken som visar av vad summan är av någonting.”
105
106
”Likhetstecknet eller = är ett tecken man använder för att visa att det är lika mycket på båda
sidor av det. Det används ofta som tecken för att man ska skriva svaret efter det. 1+ 1=2. Alltså 2 är
lika mycket som 1+1.”
”Likhetstecknet är det tecken som visar vilket som svaret på fråga. Tecknet ser ut så här = och
när man ser det tecknet före det man har skrivit vet man att det är svaret.”
Eleven som skrev ”visar vad summan är av någonting” har visat att hon inte förstår vad tecknet
betyder. Enligt Skolverket (www.skolverket.se/polopoly_fs/1.106546!/Menu/article/attachment/
likhetstecknet.pdf ) kallas detta dynamisk uppfattning, någonting blir. Motsatsen är att eleverna
ska äga kunskapen om att detta tecken innebär ”lika mycket som”. D.v.s. båda sidor om tecknet
beräknas och resultaten är lika stora.
Än en gång visar detta på hur viktig kommunikationen är. För vid samtal med denna elev inser
jag att hon har en god uppfattning om att resultatet ska vara lika stora på båda sidor av tecknet.
Men då hon skriver så är det svårare att formulera.
De olika svaren kan man såklart ifrågasätta då de skiljer sig en aning. Jag vet att de blivit undervisade av samma lärare, haft samma klassrumsdiskussioner, alltså fått samma information, men huruvida elever tolkar information och sedan visar de, där är vi maktlösa. Vad vi har makt över är att
vara tydlig och kunnig. Kanske är det även så att de elever som inte förklarar i detalj, kan begreppen
men förklarar dem inte så ingående då de själva är säkra. Glädjande är att de använder symbolerna
som finns i språket för att förklara ordens innebörd.
Då vi skolan ständigt måste arbeta med förhållande till målen och att ge återkoppling som
talar om hur eleven ska komma vidare mot målen, behövs det ständigt nya vägar för att eleverna
ska få chans att visa var de befinner sig. Hur många lärare använder svarsresultat för att meddela
en elev vad den inte kan? Är det inte vår skyldighet att använda detta resultat formativt? Hur ska
denna elev arbeta för att komma vidare? Tysta mattediagnoser är ett sätt men jag har verkligen fått
bekräftat att kommunikationen tydligt visar var eleverna befinner sig. Det krävs mer av läraren för
att se och höra varje elev, men det finns enkla tips som man kan använda. I mitt klassrum råder ofta
tystnaden, eleverna måste få hinna tänka innan de svarar, och alla tänker såklart olika länge. Många
gånger så svarar eleverna, ähh jag kan inte, jag kan inte förklara. Eleverna kan kanske inte svaret,
men det vet något, och detta något kan leda dem själva eller någonannan i klassrummet vidare för
att så småningom nå en lösning. Tystnaden är inte farlig, den är nödvändig. Jag brukar fokusera på
fem elever/vecka där jag lyssnar/läser in lite extra för att sedan dokumentera detta.
Föds vi matematiska?
Att vara matematisk var en fråga som vi i gruppen skulle svara på. Vi skulle välja ut en elev i vår
klass och förklara varför denna elev är matematisk. Detta är verkligen inte synonymt med att ” bara
vara” duktig i ämnet matematik, det behövs mer än så. Att bli matematisk är något man kan/måste
utveckla, en ständig process och min förhoppning ställs till lärarna. En lärare som är trygg i sin roll
som mattelärare är såklart mer behjälplig för eleverna än en lärare som har en motvilja till ämnet.
En del har det med sig från början andra behöver hjälp med att stärka den. Vilket som, det går att
förändra.
En av mina elever är oerhört strukturerad, målmedveten och vill alltid klara uppgifterna. Hon
ställer sig ständigt frågorna som, vad vet jag? Vad vill uppgiften att jag ska göra/ta reda på? Är det
rimligt? Hon är noga med att vrida ur det absolut sista ur var uppgift. Hon ställer ständiga krav att
läraren ska stötta henne i processen att utvecklas, be henne förklara, fördjupa hennes kunskaper.
Hon välkomnar allas tankar och funderingar. Hon kan se möjligheter i det omöjliga genom att dela
upp sina uppgifter, det ska gå!
Alla barn har inte logiskt eller strukturerat tänkande som skolan menar behövs för att komma
vidare, men det innebär inte att de inte kan lära sig. Skolan har i uppgift att lära eleverna att bli
matematisk för att höja kunskapsnivån i ämnet. Än en gång, kommunicera mera.
Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och föra
matematiska resonemang. Eleverna ska genom undervisningen också ges möjlighet att utveckla en
förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera
om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang. (Lgr 11)
Bilparkeringen, årskurs 6
Uppgift från strävorna http://ncm.gu.se/media/stravorna/2/a/23A_bilparkering.pdf.
Denna uppgift föll inte väl ut i min klass, från början. Jag bad fyra elever bilda en grupp, förklarade
uppgiften och gav dem leksaksbilar de kunde använda. Mitt misstag här var att jag lät eleverna sitta
själva i ett eget rum och uppgiften var ”På hur många olika sätt kan dessa bilar parkera i de tio parkeringsrutorna”? Jag filmade barnen och uppmanade såklart dem att fråga vid behov. Filmen visar
hur två av dem leker med bilarna, två försöker lösa uppgiften. Här blev det tydligt hur viktig läraren
är. Eleverna hade inget klart syfte med uppgiften. Vid närmare analys av detta uppdrag så inser jag
107
108
att mina elever har kommit längre i sin kunskapsutveckling vilket påverkade resultatet. De behövde
inga bilar, de har trätt in i den abstrakta världen och här kunde de luta sig mot den kunskapen. Då
vi i helklass vid ett senare tillfälle tog oss an uppgiften blev utfallet bättre. Alla grupper fick gå fram
till tavlan och demonstrera hur det löst sin uppgift. Barnens teorier om vad som var viktigt i denna
uppgift var, veta vad man gjort så man inte gjorde det igen, ha ett system på hur man gör (tabell),
att förstå att det fanns samband och mönster. Vi diskuterade oss fram till en lösning där vi var överrens om mönstret och sambandet i uppgiften. Det som skedde på den ena sidan parkeringen var
ju självklart att det skedde på andra sidan. Ett mönster som upprepade sig och gångrades med två.
Enligt Ann-Lousie Ljungblad och Håkan Lennerstad är det viktigt att utveckla en samtalskultur
i matematik där nyfikenhet och prövade tankar av olika slag blir naturliga. Detta leder till att man
som elev kan känna att det egna matematiska tänkandet kan vara relevant för andra. (Matematik
och respekt – matematikens mångfald och lyssnandets konst). Då vi hade genomgång på uppgiften
för varandra i helklass förstod barnen att det var viktigt att de gjorde sig förstådda vilket ledde till
ett samförstånd bland eleverna på hur de kom fram till en läsning.
Problemlösning – pardiagnos, årskurs 6
Mina elever fick vid ett tillfälle testa på att utföra en mattediagnos i par. Syftet med detta var för
att jag ville ge eleverna möjligheten att kommunicera sin kunskap tillsammans med en kompis.
Och med hoppet att skapa trygghet samt, förhoppningsvis se ett ökat resultat. De fick uppgifter
med tillhörande fyra svarsalternativ/fråga. Det svar de ansåg rätt skulle ringades in, sedan skulle de
förklara varför det var rätt.
Här blev det klart för mig hur fel jag bedömt en del av mina elever. Jag bevittnade tysta (svaga?)
elever fullkomligen blomma upp. De talade, lyssnade och visade på stor kompetens i ämnet. Tänk
vad jag missat, tänk vad jag kan ge fel bedömning av elever. Jag insåg snabbt vilka som hade språket
i matematik genom detta test, en del var otroligt duktiga på att förklara medan andra visade på ett
magert språk. Detta var såklart även ett ypperligt tillfälle att lära av varandra.
109
Då alla test rättats av mig hade vi en klassgenomgång där vi visade varandra via vita tavlan. Dessutom så hjälptes vi åt att betygssätta svaren. Jag hade skrivit av en del svarsalternativ och sedan fick
barnen se i betygsmatrisen och tillsammans diskuterade vi vad E-A kräver.
För en elev som kan ha problem med att hålla allt i huvudet blir detta ett tydligt hjälpmedel på att
strukturera. Skulle det sedan bli fel är det lättare att gå tillbaka och se var felet är och ev. rätta till det.
Kortdivision med decimal,
hur gör man? Årskurs 6
110
Vid arbete med kortdivision av decimaltal
kom frågan hur det fungerar vid tvåsiffrigt
tal i nämnaren. En av mina elever gick fram
till tavlan och skrev 90,2/10. En del av
eleverna guidade honom. Ord som ”Hur
många 10 går i 90? Det är ju 9! Hur många
10 i 2? Inga, alltså sätter man en nolla efter
2 för 90,2 är samma som 90,20. Alltså hur
många 10 i 2 = 2. Svar: 9,20!
Jag frågade om alla hängde med? Är det rätt? En del elever svarade nej. En tjej sa att man måste
se till rimligheten! Hon menade att 9,20 gånger 10 blir mer än 90,2. Så jag undrade om det var fel
och eleverna svarade ja! Men, VAD är fel.
Tillsammans gick vi igenom, att vid frågan hur många 10 det går i 2 är noll, måste detta noteras/
skrivas. Här uppkom en bra diskussion om nollans värde före/efter/mitt i ett tal. En nolla har betydelse beroende på var i talet den finns, den kan i detta fall inte ignoreras. Så barnen löste själva divisionen 90,2/10 utan att jag stod och ”bara” visade, de hittade ett fel och de rättade det tillsammans.
En lektion där de big five stod i centrum, analys-kommunikation-metakognitiva förmågan-hantera
information- begrepps förmåga. Igen blir det så tydligt att fler elever förstår då de först själva får
tänka, tala i par och sedan klassrumsdiskutera. Vi måste låta våra elever tänka, tystnaden måste få
råda.
Fiskebodar, årskurs 6
Uppgift från strävorna http://ncm.gu.se/media/stravorna/4/b/4B5B_fiskebodar.pdf.
En strålande uppgift från strävorna som handlar om problem-generalisera-algebra-mönster.
Uppgiftens genomförande
Alla elever fick stickor i olika färger. Roligt
att se att så gott som alla börjar direkt sortera dem i färger, antal. Så detta lät jag dem
göra en stund innan vi satte igång. Först
diskuterade vi deras förkunskaper. Jag frågade barnen vad mönster är, de svarade
multiplikationstabell, två hopp (2-4-6-8
osv), geometri, 10-100-100-10000, något
som återkommer, som kan följas, talföljd.
Att vara förtrogen menade barnen att det
var att känna att man kan, det känns igen,
känns avslappnat. Tabeller visste det att det var ett hjälpmedel, ett mönster, en avlastning, struktur/
organiserat.
Barnen fick bygga en fiskebod av fem stickor för att sedan bygga två till där en fiskebod ska dela vägg med den föregående boden. Barnen uppmanades att gör en tabell
och skriva in antalet stickor som behövs för
att bygga sex fiskebodar. Sedan skulle de
med egna ord beskriva hur mönstret växte,
d.v.s. hur antalet stickor ökar när längan
med fiskebodar växer.
Tills sist kom frågan, ”Hur många stickor
behövs för att bygga 99 bodar”? Barnen
hittade själv formeln för figur nr n. Sådana
här övningar är fantastiska för att visa importansen av att hitta mönster i uppgifter.
111
112
Uppgiften tankekarta/fyrfältaren årskurs 6
Bild
Föremål
Ord
Tanketavlan från ”Förstå och använda tal” av Alistar Mcintosh.
I tankekartan eller fyrfältaren som den också kan kallas, ska eleverna uttrycka en given matematisk idé på olika sätt såsom ord,
symboler, olika bilder och med konkret material. Bilderna kan
vara skisser, teckningar. Denna aktivitet kan med fördel användas
för gemensamt arbete i klassen och vid grupparbete.
Symbol
Denna uppgift är viktig att utföra framför allt med yngre barn. Detta för att få kunskapen om vad
symbol-föremål-ord-bild innebär i matematiksammanhang. Men också för att analysera enskilda
elevers kunnande (Förstå och använda tal – en handbok, 2009)
Jag gav eleverna symbolen 9 och deras uppgift var att med ord beskriva ett problem som skulle
visas med bild och ord. Även här känner jag att vi arbetar så, jag undervisar med detta i tanken hela
tiden, MEN jag har aldrig använt mig av fyrfältaren. Dock är det viktigt att det alltid finns med
i undervisningen för att skapa förståelse för matematiken. Att den kan utgå från tecken, ord och
symboler för att ge eleverna en tydligare bild över problemet. Att ha denna modell framför sig redan
113
i förskolan är att föredra. Kommunikation i matte är så viktig och vi måste hjälpas åt för att alla
lärare ska använda sig av det varje lektion. …”utveckla det matematiska språket i samklang med det
vardagliga” … gestalta och tolka.” (Eva Riesbeck) Vidare gav jag dem symbolen 15×140. Eleverna
uträttade uppgiften som en räknesaga, d.v.s. de hittar på ett problem till symbolerna och löser det.
Det som är svårt med dessa relativt höga tal är att det behöver inte använda sig av föremålen, det blir
mer som ett hinder för dem. De äger en säkerhet och visar detta genom den inlärda systematiska
proceduren för hur man genomför en beräkning.
Reflektion
114
Jag har som tidigare nämnt att den inre resa jag gjort som matematiklärare är ovärderlig och jag
önskar att alla lärare hade kravet att möta forskare och kolleger kontinuerligt för att vi ska skapa
världens bästa mattelärare. Jag har verkligen insett värdet av att läraren är så oerhört viktig för eleverna och att det måste ske diskussioner varje dag i våra klassrum. Att läraren själv förstår uppgifterna
de lär ut är ett måste. Vi kan inte blint lita på matteböcker eller andra skrifter, vi har ett ansvar att
eleverna ska nå målen och om vi inte kan dem är barnen förlorade. Men i en tid där lärare känner
sig mer och mer pressade av pappersarbete är det svårt att våga släppa böcker och våga ”släppa loss”
sina elever. Men tro mig, det är värt det och det är ett måste.
Avslutande diskussion
av Eva Riesbeck
Vi har nu slutfört vår forskningscirkel. Jag skulle önska att fler lärare fick möjligheten att uppleva
detta. Men det fordrar mycket engagemang och lite ersättning men samtidigt utveckling av den
egna verksamheten i matematik. Det teoretiska perspektiv som vi har arbetat efter stipulerar att
utvecklingen av elevens högre mentala processer är beroende av vilka medierande resurser i dess
interaktion med omgivningen som används. Enligt detta perspektiv kan lärande sägas följa tre
medierande aspekter. 1. Erövring av symboliska redskap och erövring av dessa i form av inre tankeredskap 2. Klassrumsundervisningen organiseras kring en speciellt utformad lärandeverksamhet
som spelar rollen av medierande resurs mellan eleverna och innehållet. Enligt detta skulle alltså
deltagande i en lärandeverksamhet främja elevernas kognitiva utveckling. 3. Lärarens roll förändras
från att förmedla information till att vara en resurs för medierade lärandeerfarenheter (Kinard &
Kozulin, 2012).
Då vi i vår forskningscirkel har haft fokus på språk, matematik och kommunikation har vi i
diskussioner utvecklat ny kunskap och därmed har läraren sedan blivit en resurs för sina elever i
klassrummet. Vi har kallat detta arbete Design för lärande och detta har inneburit att vi har förändrat arbetssätt och uppgifter i matematik och därmed fått våra elever mera engagerade och ökat deras
självrespekt.
Vad är det som gör läraryrket så unikt och vad är det som gör att lärare stannar kvar i sitt yrke?
Det är just att kunna utvecklas tillsammans med andra och skapa ny kunskap men det finns ytterligare en dimension och det är när eleven skiner upp och säger ”Nu förstår jag”. Då vill man aldrig
byta yrke. Enligt Vygotsky sker övergången från medfödda kognitiva processer genom mediering
av sociokulturellt skapade symboliska redskap. I grunden finns det fyra kategorier av matematikspecifika redskap med potential att bli elevernas inre tankeredskap nämligen, tecken och symboler,
grafiska/symboliska konstruktioner, formler och ekvationer samt matematiskt språk. Detta har vi
tagit fasta på och utvecklat en samtalskultur hos våra elever och i våra klassrum.
115
Referenser
_
Bishop, Alan (1991). Mathematical enculturation: A cultural perspective on mathematics education.
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Boaler, Jo (2011). Elefanten i klassrummet. Stockholm: Liber
Bruner, Jerome (2001). Language, culture, self. London: Sage Publications Inc.
116
Grevholm Barbro (red) (2012). Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Stockholm:
Norstedts
Harrison, Christine och Howard, Sally (2012). Bedömning för lärande I årskurs F-5. Stockholm:
Stockholms universitets förlag
Hodgen, Jeremy och William, Dylan (2012). Mathematics inside the black box. Stockholm: Stockholms universitets förlag
Jonsen- Höjnes, Marit (2000). Matematik som språk. Verksamhetsteoretiska perspektiv. Stockholm:
Liber
Kinard, James, T. & Kozulin, Alex (2012). Undervisning för fördjupat matematiskt tänkande. Lund:
Studentlitteratur.
Lennerstad, Håkan & Bergsten, Christer (red.)(2008). Matematiska språk. Stockholm: Santeus förlag.
Ljungblad, Ann-Louise & Lennerstad, Håkan (2012). Matematik och respekt – matematikens mångfald och lyssnandets konst. Stockholm: Liber
Läroplan för förskolan, Lpfö 98, reviderad 2010. Stockholm: Skolverket.
Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm: Skolverket.
Mc Intosh, Alistair, (2008). Förstå och använda tal – en handbok. Göteborg: NCM
Pettersson, Astrid (red.) (2010). Bedömning av kunskap – för lärande och undervisning i matematik.
Stockholm: Stockholms universitet
Riesbeck, Eva (2008). På tal om matematik. Matematiken, vardagen och den matematikdidaktiska
diskursen. (Avhandling). Linköpings universitet: Linköping Studies in Education 129.
Riesbeck, Eva (2011). Lärande i matematik genom redskap. I Berit Bergius, Göran Emanuelsson,
Lillemor Emanuelsson, Ronnie Ryding (red.). Matematik – ett grundämne. Nämnaren Tema 8. Göteborg: NCM
Vygotsky, L.S. (1934/1986). Thought and language. Cambridge, Massachusetts London: The Mit
Press.
117
rapport i FORSKNINGSCIRKELn
Design för lärande
– En forskningscirkel om matematik och språk
Under tre terminer har sju förskollärare och lärare träffats under handledning av Eva
Riesbeck, lektor i matematikdidaktik vid Malmö högskola.
Rapporten inleds med att matematiken sätts in i det språkliga och sociokulturella sam­
manhang som forskningscirkeln har bedrivits inom. Därefter presenterar de sju deltagarna
sina genomförda studier med intressanta iakttagelser kompletterade med ett rikt bild­
material.
De olika studierna sammanfattas på ett träffsäkert sätt i en utgångspunkt för arbetet på
sid 6 i rapporten:
I ett sociokulturellt perspektiv ligger tyngdpunkten på begreppet mediering. Det
kan gälla interaktion mellan lärare och elever men också mellan matematikens
språk som symboler, tecken och text och hur elever skapar denna mediering. Begreppet reflektion kommer väl till pass inom detta område då vi ska försöka få
våra elever att med hjälp av matematik och reflektionsspråk lära sig matematik.
Matematik och språk – Malin Appelin
Matematik, språk och lärande – Maria Dellrup
Matematik och språk – en upptäcksresa – Wiveca Ek
Att kommunicera matematik i en kommunikationsklass – Margaretha Gustafsson
Stärk det matematiska språket – stärk lärandet! – Kajsa Johansson
Vad händer när man pratar matematik? – Elisabeth Petterson
Matematik, språket vi alla måste våga tala! – Anna Roslund
FoU Malmö-utbildning
Grundskoleförvaltningen
Malmö stad
www.malmo.se/fouutb