Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Matematikcentrum
Matematik NF
Tentamensuppgifter, Matematik 1 α
Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert
Aritmetik
1.
Bestäm en största gemensam delare till heltalen
a) 54321 och 12345,
b) 4941 och 2463
Mat 1 α, aug 01:1
2.
a) Förkorta bråket 2491
3478 så långt som möjligt.
b) Hur vet man att ekvationen
3478x + 2491y = 161
saknar heltalslösningar (x, y)?
Mat 1 α, april 02:1
3.
Avgör om följande diofantiska ekvationer har lösningar och ange i så fall samtliga
lösningar.
a) 15x + 27y = 1.
b) 25x + 9y = 1.
Mat 1 α, mars 00:2
4.
Lös den diofantiska ekvationen
18x + 23y = 13.
Mat 1 α, dec 98:1
5.
Lös den diofantiska ekvationen
317x − 135y = 10.
Mat 1 α, aug 99:2
6.
Lös den diofantiska ekvationen
323x − 187y = 34.
Mat 1 α, nov 00:4
1
7.
Lös den diofantiska ekvationen
98x + 133y = 427.
Ange särskilt de lösningar (x, y), för vilka x > 0 och y > 0.
8.
Mat 1 α, okt 01:2
Bestäm alla heltal x och y som uppfyller
217x2 + 496y 2 = 15872
Alg 1, nov 95:7
9.
Bestäm alla par (x, y) av heltal sådana att
19x2 + 21y 2 = 4080.
Mat 1 α, nov 03:6
10.
Finn alla heltalslösningar till systemet
x + 17y − 11z = 8
x + 24y + 2z = 13.
Alg 1, april 91:6
11.
Ange det minsta positiva heltal c, för vilket den diofantiska ekvationen
259x + 407y = 7 − 93c
har en lösning (x, y). Ange för detta värde på c samtliga lösningar (x, y).
Mat 1 α, aug 00:7
Induktion och kombinatorik
12.
Visa att 1 + (21 + 2−1 ) + (22 + 2−2 ) + . . . + (2n−1 + 2−(n−1) ) = (2n − 2−(n−1) ) för
n = 2, 3, . . ..
Mat 1 A, okt 97:3
13.
Visa att
1 · 3 + 2 · 32 + . . . + n · 3n =
för varje positivt heltal n.
14.
15.
(2n − 1) · 3n+1 + 3
4
Mat 1 β, dec 99:2
Visa att
1
2
3
n
2+n
+ 2 + 3 + ... + n = 2 − n
1
2
2
2
2
2
för varje positivt heltal n.
Visa att
n
X
k=1
3
1
1
2
= −
−
,
k(k + 2)
2 n+1 n+2
Mat 1 β, jan 00:2
n = 1, 2, 3, . . . .
Mat 1 β, aug 03:1
2
16.
Visa att
n
X
k=1
1
n(n + 3)
=
,
k(k + 1)(k + 2)
4(n + 1)(n + 2)
n = 1, 2, 3, . . . .
Mat 1 β, jun 03:1
17.
Visa att
3
4
5
n−1
n
+
+
+ ... +
=
3
3
3
3
4
för n = 4, 5, 6, . . . .
Mat 1 A, mar 97:3
18.
Bevisa att
n3
n+1
4
3
2
>
+ ... +
+
+
2
2
2
2
6
för n = 1, 2, 3, . . . .
Mat 1 A, apr 97:4
19.
Visa att
n
X
m+k−1
m+n
k
=m
k
n−1
k=1
för alla positiva heltal m och n.
20.
Mat 1 β, maj 01:6
Hur många tal mellan 100000 och 1000000 finns det som, utskrivna på vanligt sätt,
dvs. i tiosystemet, innehåller exakt fyra 4-or?
Mat 1 A, mar 98:2
Komplexa tal
21.
a) Rita mängden av komplexa tal z som uppfyller olikheten
|z + i| ≥ |z − 1|.
b) Ange absolutbeloppet av det komplexa talet
√
( 3 + i)13 (1 − i)7 .
c) Ange argumentet av det komplexa talet
√
( 3 + i)13 (1 − i)7 .
Alg 1, jan 92:2
22.
√
Bestäm realdelen av ( 3 + i)100 .
23.
Rita i det komplexa talplanet mängden M av alla komplexa tal z sådana att
Mat 1 α, nov 00:1
|z − 2| ≤ 2 och Re z ≥ 2.
Ange alla värden arg z antar då z ∈ M .
24.
Mat 1 α, okt 98:2
Rita mängden M av komplexa tal z, sådana att
|z − 2 + i| ≤ 1.
Ange också det största värdet av |z| då z ∈ M .
Mat 1 α, mars 00:1
3
25.
Rita mängden M av komplexa tal z, sådana att
|z + 2| ≤ 2 och Re z = −3.
Ange också vilka värden arg z antar då z ∈ M .
26.
Mat 1 α, nov 99:3
Rita mängden M av komplexa tal z, sådana att
|z − 2i| < 2 och Im z = 1.
Ange också vilka värden arg z antar då z ∈ M .
27.
Mat 1 α, nov 99:3
Rita mängden M av komplexa tal z, sådana att
|z + 1 − i| ≤ 1.
Ange också vilka värden argumentet av z antar då z ∈ M .
28.
Mat 1 α, okt 02:1
Rita mängden M av komplexa tal z, sådana att
|z − 1 + i| ≤ 1.
Ange också vilka värden |z| antar då z ∈ M .
29.
Mat 1 α, nov 02:1
Rita i det komplexa talplanet mängden M av alla komplexa tal z sådana att
|z − 1| ≤ 1 och |z − 1 − i| ≥ 1.
Ange alla värden Im z antar då z ∈ M .
Mat 1 α, dec 98:5
30.
Ange vilka värden arg z antar då det komplexa talet z är sådant att |z − 2| = 2 och
π
.
Mat 1 A, nov 98:6
Im z = 1. Ange också värdet av tan 12
31.
Skriv det komplexa talet
√
1+i 3
1+i
på formen a + ib samt ange dess argument i grader. Använd detta för att visa att
√
tan 15◦ = 2 − 3.
Alg 1, aug 89:5
32.
Låt θ vara ett godtyckligt reellt tal.
a) Visa att cos 5θ = 16 cos5 θ − 20 cos3 θ + 5 cos θ.
π
b) Använd resultatet ovan för att bestämma cos 10
.
Alg 1, apr 95:8
33.
34.
35.
4
Låt z, w vara två komplexa tal som uppfyller w = (z − i)/(z + i). Visa att Im z > 0
om och endast om |w| < 1.
Alg 1, jan 97:8
z 1
Alg 1, nov 94:8
Visa att 1+2z < 2 om och endast om Re z > − 41 .
Visa att
z2 + 4
z
är reellt om z är ett komplext tal, sådant att |z| = 2.
Mat 1 α, mar 99:6
36.
För vilka komplexa tal z är
z2 +
1
z2
rent imaginärt?
Alg 1, maj 92:3
2 −4
37.
Antag att Re z
eller Re z = 0.
38.
Visa att mängden
z
= 0, där z är ett komplext tal 6= 0. Visa att då gäller |z| = 2
Alg 1, jan 95:5
M = {z; zz̄ − (1 − 2i)z − (1 + 2i)z̄ + 2 = 0}
är en cirkel i det komplexa talplanet. Ange cirkelns medelpunkt och radie.
Alg 1, apr 90:7
39.
Vi identifierar de komplexa talen med punkter i planet på vanligt sätt. Visa att
de punkter, vilkas avstånd till −i är dubbelt så stort som deras avstånd till 2i, är
precis de punkter, vilkas avstånd till 3i är lika med 2.
Alg 1, apr 92:7
Polynom och deras nollställen
40.
Bestäm på formen a + ib lösningarna till ekvationen
z 2 − (3 + 2i)z + 1 + 3i = 0.
Mat 1 α, aug 03:2
41.
Lös ekvationen
(2 + i)z 2 + (8 − 11i)z − 5 − 25i = 0.
Alg 1, maj 91:4
42.
Bestäm det komplexa talet A så att ekvationen
z 2 − 4z + A = 0
får roten 1 + i. Bestäm sedan också den andra roten till ekvationen.
Mat 1 α, nov 99:1
43.
Lös ekvationen
z3 =
1−i
.
1+i
Alg 1, aug 90:4
44.
För vilka komplexa tal z och w är
z 2 + (4 − 4i)z − 16i = 0 och w8 + (4 − 4i)w4 − 16i = 0?
Svaren skall anges på polär form.
Mat 1 α, okt 98:4
45.
För vilka komplexa tal z är z 4 − 8iz 2 − 25 = 0?
Mat 1 A, nov 97:3
46.
Bestäm en största gemensam delare till polynomen
x4 − 4x + 3 och x3 − 3x2 + 3x − 1.
Mat 1 α, okt 04:1
5
47.
Bestäm en största gemensam delare till polynomen
x4 − 9x2 − 4x + 12 och x3 + 6x2 + 12x + 8.
Mat 1 α, aug 04:3
48.
Bestäm en största gemensam delare till polynomen
x5 + x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1 och x3 + x2 + x + 1.
Mat 1 α, mar 01:1
49.
Bestäm en största gemensam delare till polynomen
x5 + x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 och x3 + x2 + x + 1.
Mat 1 α, apr 01:1
50.
Låt P (x) var ett polynom som vid division med (x − 1) ger resten 5 och vid division
med (x + 1) ger resten 3. Vilken rest ger P (x) vid division med (x2 − 1) ?
Mat 1 A, apr 98:6
51.
Polynomet P (x) ger vid division med (x − 1) resten 1, vid division med (x − 2)
resten 2 och vid division med (x − 3) resten 3. Vilken rest ger P (x) vid division
med (x − 1)(x − 2)(x − 3) ?
Mat 1 α, apr 03:6
52.
Resten vid division av polynomet p(x) med z 3 + z 2 + z + 1 är z 2 − z + 1. Vidare är
p(1) = 2. Bestäm resten vid division av p(z) med z 4 − 1.
Mat 1 α, apr 00:6
53.
Polynomet p(z) ger resten z + 3 vid division med z 2 − 1 och resten z − 1 vid division
med z 2 + 1. Ange resten vid division av p(z) med z 4 − 1.
Mat 1 α, nov 03:6
54.
Bestäm resten vid polynomdivision av z 400 + z 303 + 1 med
b) z 4 − 1.
a) z − 1,
Mat 1 α, mar 00:6
55.
För vilka positiva heltal n är polynomet x3n − x2n + xn − 1 delbart med polynomet
x3 − x2 + x − 1?
Mat 1 α, aug 02:6
56.
Polynomen f (z) = z 2 − z − 2 och g(z) = z 5 − 2z 4 + 2z 2 − 4z har ett gemensamt
nolställe. Lös ekvationen g(z) = 0.
Alg 1, apr 90:5
57.
De två ekvationerna
z 4 + 2z 3 + 5z 2 + 4z + 4 = 0 och z 4 + z 3 + 3z 2 + z + 2 = 0
har minst en gemensam rot. Lös bägge ekvationerna fullständigt.
Mat 1 α, nov 00:5
58.
Visa att z = 1 är en rot till ekvationen
z 3 + (1 − 4i)z 2 − (13 − 6i)z + 11 − 2i = 0.
Lös ekvationen fullständigt.
6
Alg 1, nov 90:4
59.
Visa att −i är en rot till ekvationen
z 3 + (−3 + i)z 2 + (3 − 2i)z − 1 + 3i = 0,
samt bestäm de övriga rötterna på formen a + bi.
60.
Mat 1 α, mar 02:5
Verifiera att ekvationen
z 4 − (3 + 2i)z 3 + (2 + 3i)z 2 − (3 + 2i)z + 1 + 3i = 0
har rötterna ±i samt bestäm därefter de övriga rötterna på formen a + bi.
Mat 1 α, apr 02:5
61.
Visa att z = i är en dubbelrot till ekvationen
z 4 − (2 + 4i)z 3 + (−5 + 14i)z 2 + (22 + 2i)z − 10i.
Lös sedan ekvationen fullständigt.
62.
Alg 1, apr 93:5
Talet i är ett nollställe till polynomet
p(z) = z 4 − (6 + i)z 3 + (11 + 6i)z 2 − (6 + 11i)z + 6i.
Lös ekvationen p(z) = 0.
63.
Alg 1, aug 95:1
Ekvationen
z 4 − z 2 − 14z − 10 = 0
har roten z = −1 + 2i. Lös ekvationen fullständigt.
Mat 1 α, mar 99:1
64.
Ekvationen z 4 − 8z 3 + 51z 2 − 98z + 170 = 0 har roten z = 3 + 5i. Lös ekvationen
fullständigt.
Mat 1 A, mar 98:3
65.
Ekvationen
z 4 − 6z 3 + 15z 2 − 18z + 10 = 0
har roten z = 1 + i. Visa att detta är sant samt lös ekvationen fullständigt.
Mat 1 α, aug 99:4
66.
Ekvationen
z 5 − 7z 4 + 29z 3 − 57z 2 + 60z − 26 = 0
har rötterna z = 1 och z = 1 + i. Bestäm övriga rötter.
67.
Mat 1 α, nov 03:2
Ekvationen
z 3 − (5 − 3i)z 2 − 15iz + 16 + 12i = 0
har en reell rot. Lös ekvationen fullständigt.
68.
Mat 1 α, okt 01:5
Ekvationen
z 3 + (3 + 5i)z 2 + 15iz − 12 + 16i = 0
har en rent imaginär rot z = iy, där y är reellt. Lös ekvationen fullständigt.
Mat 1 α, nov 01:5
69.
Lös ekvationen
z 4 − z 3 − 8iz + 8i = 0.
Mat 1 α, dec 98:3
7
1
z
70.
Visa att om z 4 + 3z 3 − 2z 2 + 3z + 1 = 0 och w = z +
Använd detta för att lösa den första ekvationen.
71.
Lös z 4 − 3z 3 − 2z 2 − 3z + 1 = 0 t ex genom att först multiplicera ekvationen med
z −2 och sedan införa w = z + z −1 .
Mat 1 α, nov 02:4
72.
Visa att om
så är w2 + 3w − 4 = 0.
Mat 1 α, okt 02:4
z 4 − 6z 3 + 6z 2 + 6z + 1 = 0
och w = z − z −1 så är w2 − 6w + 8 = 0. Använd detta för att lösa den första
ekvationen.
Mat 1 α, aug 01:4
73.
Lös ekvationen
z 10 + z 8 + 2z 6 + 2z 4 + 2z 2 + 2 = 0.
Alg 1 aug 89:7
74.
Visa först att om
p(z) = z 4 + 3z − 2 = (z 2 − az + b)(z 2 + az + c)
så är a6 + 8a2 − 9 = 0. Lös sedan ekvationen p(z) = 0.
75.
Mat 1 A, mar 97:5
Visa först att om
p(z) = z 4 + 4z 2 + 3z + 4 = (z 2 − az + b)(z 2 + az + c)
så är a6 + 8a4 − 9 = 0. Lös sedan ekvationen p(z) = 0.
76.
Visa att om
√
√
t = ( 5 + 2)1/3 − ( 5 − 2)1/3
så är t3 = 4−3t. Använd detta för att bestämma värdet av t.
77.
Mat 1 A, apr 97:5
Mat 1 α, okt 04:6
Visa att om
√
√
√
√
1 + i 3
1 − i 3
1/3
z=
(10 + 108) +
(10 − 108)1/3
2
2
så är z 3 = −20 − 6z. Använd detta för att bestämma värdet av z.
Mat 1 α, nov 99:7
Enkla olikheter
8
78.
För vilka reella tal x är
x+1
2
79.
För vilka reella tal x är
2x+1
2
80.
För vilka reella x är
2x
x+4
≤
x+4
x+1 ?
Mat 1 α, okt 04:2
81.
För vilka reella x är
x+1
x+4
≥
x+4
2x ?
Mat 1 α, nov 04:2
82.
För vilka reella tal x är
x2 −1
2x
83.
För vilka reella tal x är
x
x−1
>
>
>
≥
2x
x+1 ?
2x2
2x+1 ?
2x
?
1−x2
x−1
x ?
Mat 1 A, okt 97:1
Mat 1 A, nov 97:1
Mat 1 α, okt 98:1
Mat 1 α, nov 98:2
84.
85.
Lös olikheten
2
1
1
<
+
.
x
x−1 x+1
Lös olikheten
1
1
2
−
.
<
2
x
x−1 x+1
Mat 1 α, nov 99:2
Mat 1 α, nov 99:2
Enkla gränsvärden
86.
Beräkna
lim
x→0
√
√
1 + 2x − 1 − sin x
.
x
Mat 1 A, mar 96:2
87.
Beräkna
ln(1 + sin 3x)
.
x→0
x
lim
Mat 1 α, nov 00:3
88.
89.
Beräkna
√
x2 + 5 − x
.
lim √
x→∞ x2 + 2 − x
Beräkna
x
√
.
x→0 ex − 2 − e2x
Mat 1 A, apr 96:2
lim
90.
Beräkna gränsvärdet av
√
x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1 − (x2 + 1)
x
både då x → ∞ och då x → 0.
91.
92.
Mat 1 A, aug 96:2
Mat 1 A, mar 97:2
Beräkna gränsvärdet av
√
x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 1 − (x2 + 1)
x
både då x → ∞ och då x → 0.
q
2
Sätt f (x) = x 1 + | lnxx| då x > 0.
Mat 1 A, apr 97:2
a) Hur skall f (0) definieras för att f (x) skall bli kontinuerlig då x ≥ 0?
b) Beräkna högerderivatan f+′ (0) av funktionen f .
Mat 1 α, okt 02:6
93.
Sätt f (x) = x2 1 +
q
| ln x| x
då x > 0.
9
a)
b)
c)
d)
Hur skall f (0) definieras för att f (x) skall bli kontinuerlig då x ≥ 0?
Beräkna högerderivatan f+′ (0).
Undersök om derivatan f ′ (x) är kontinuerlig då 0 ≤ x < 1.
Är f (x) deriverbar då x = 1?
Mat 1 α, nov 02:7
94.
Funktionen f defineras på R genom f (0) = 0 och
f (x) =
1 − cos x
för x 6= 0.
x
För x 6= 0 är f uppenbarligen deriverbar, såsom kvot av elementära funktioner.
Visa att f är deriverbar även i origo, och att derivatan f ′ är kontinuerlig där.
Mat 1 A, apr 98:7
95.
Bestäm den sneda asymptoten då x → ±∞ till funktionen
f (x) =
x3 + 2x2 + 3x + 4
.
x2 + 1
Bestäm också de x för vilka kurvan y = f (x) ligger ovanför asymptoten.
Mat 1 α, mar 04:2
96.
Bestäm den sneda asymptoten då x → ±∞ till funktionen
x3 + 2x2 + 3x
.
x2 + 1
f (x) =
Bestäm också de x för vilka kurvan y = f (x) ligger ovanför asymptoten.
Mat 1 α, apr 04:2
97.
Bestäm den sneda asymptoten då x → ±∞ till funktionen
f (x) =
x3 + 12x + 2
.
x2 + 1
Bestäm också de x för vilka kurvan y = f (x) ligger ovanför asymptoten.
Mat 1 α, aug 04:2
98.
Visa att kurvan
y=
p
x2 + x + 1
har en asymptot då x → ∞ och ange en ekvation för den.
99.
Visa att kurvan
y=
p
x2 − 3x + 2
har en asymptot då x → −∞ och ange en ekvation för den.
100.
Mat 1 α, mar 00:3
Mat 1 α, apr 00:3
Ange samtliga asymptoter till kurvan
y=
x3 + x2 + sin x
.
x2 − x
Mat 1 α, aug 00:5
10
101.
Visa att talföljden (an )∞
n=1 är konvergent och beräkna dess gränsvärde, då
2n
X
an =
k=n+1
n4 + k
.
4n5 + k2
Mat 1 A, mar 98:6
√
102.
En talföljd (an )∞
n=0 definieras genom a0 = 1 och an+1 =
följden är konvergent och beräkna dess gränsvärde.
103.
Låt a och b vara två reella tal sådana att 0 < a ≤ b. Definiera talföljderna (an )∞
0
och (bn )∞
0 genom a0 = a, b0 = b och
an+1 =
2an bn
an + bn
och
bn+1 =
3an för n ≥ 0. Visa att
Mat 1 A, apr 98:4
an + bn
.
2
Visa först att för n = 0, 1, 2, . . . är
0 < an ≤ bn , bn+1 ≤ bn , an bn = ab och an+1 ≥ an
√
och sedan att talföljderna båda konvergerar mot det gemensamma gränsvärdet ab.
Mat 1α, okt 04:7
104.
Låt a och b vara två reella tal sådana att 0 < a ≤ b. Definiera talföljderna (an )∞
0
och (bn )∞
0 genom a0 = a, b0 = b och
an+1 =
2an bn
an + bn
och
bn+1 =
an + bn
.
2
Visa att för n = 0, 1, 2, . . . är
√
√
b− a
an =
och bn =
med 0 < q < √
√ < 1,
b+ a
√
∞
och därmed att talföljderna (an )∞
0 och (bn )0 båda konvergerar mot ab. Visa sedan
att
√
√
ab = an + en där 0 < en < 2 ab q 2n .
√
1 − q 2n
ab
1 + q 2n
√
1 + q 2n
ab
1 − q 2n
Anm. Speciellt ger detta med startvärdena a = 1/5, b = 1/4 att
√
√
n
1
n
1
5/10 = an + en där 0 < en < · 17−2 < · 10−2 .
2
2
√
5/10 med ett fel
Som exempel, för n = 5 innebär detta att a5 underskattar
√
e5 < 21 · 10−32 . Alltså ger a5 en approximation av 5/10 med minst 32 korrekta
decimaler. Nästa värde a6 ger minst 64 korrekta decimaler (så kallas kvadratisk
konvergens!).
Mat 1α, nov 04:6
ab =
Användning av derivator
105.
x
1
Låt f (x) = arctan x−1
− arctan 2x−1
.
a) Beräkna f ′ (x).
b) Bestäm limx→1+ f (x) respektive limx→1− f (x)
11
c) Vad är f (x) då x < 12 ,
1
2
< x < 1 respektive x > 1?
Analys 1, dec 94:5
106.
Visa att
x2 − 1
= 2 arctan x + C då x > 0
2x
där C är en konstant. Bestäm också konstantens värde.
Analys 1, aug 89:3
arctan
107.
Visa att den kontinuerliga funktionen
f (x) = 2 arctan(x +
p
x2 − 1) + arcsin
1
x
är konstant då x ≥ 1 genom att beräkna derivatan f ′ (x) då x > 1. Bestäm
√ sedan
det konstanta värdet och ange slutligen det exakta värdet av arctan(2 + 3).
Mat 1 α, mar 04:4
108.
Visa att den kontinuerliga funktionen
p
p
f (x) = 2 arctan(x − x2 − 1) + arctan x2 − 1
är konstant då x ≥ 1 genom att beräkna derivatan f ′ (x) då x > 1. Bestäm
√ sedan
det konstanta värdet och ange slutligen det exakta värdet av arctan(2 − 3).
Mat 1 α, apr 04:4
109.
Bestäm först en ekvation för tangenten till kurvan y = x2 i punkten (a, a2 ) och
därefter en ekvation för tangenten till kurvan y = x1 i punkten (b, 1b ), b 6= 0.
Bestäm sedan värden på a och b så att de betraktade tangenterna sammanfaller
och ange en ekvation för den linje som tangerar de båda kurvorna.
Mat 1 α, mar 03:6
110.
Kurvorna y = 3x2 och y = 4x3 har förutom x-axeln ytterligare en gemensam
tangent. Bestäm dennas ekvation.
Mat 1 A, aug 98:6
111.
Det finns en linje som tangerar kurvan
y = x + 2x2 − x4
i två olika punkter. Bestäm en ekvation för denna linje.
112.
Rita kurvan
y = x − 11 arctan x + 3 ln
113.
p
Mat 1 α, apr 03:7
1 + x2 .
Analys 1, aug 96:4
Undersök funktionen
f (x) =
x3
− ln(1 + x2 ), x ∈ R
1 + x2
med avseende på lokala extrempunkter samt skissera dess graf.
Mat 1 A, apr 96:3
114.
Rita grafen till funktionen
f (x) = x − x2/3
på intervallet [−1, 2]. Ange samtliga lokala extrempunkter, samt var funktionen är
konvex eller konkav på intervallet.
Mat 1 α, dec 98:4
12
115.
Rita kurvan
x3
− 2 arctan x.
1 + x2
Ange eventuella asymptoter, lokala extremvärden och intervall där kurvan är konvex
eller konkav.
Mat 1 α, okt 98:5
y=
116.
Rita kurvan
y = 3 arctan x + 2 ln(1 + x2 ).
Ange särskilt eventuella asymptoter och lokala extremvärden samt var kurvan är
konvex och var den är konkav.
Mat 1 α, mar 99:5
117.
Rita kurvan
x
− 1.
2
Ange särskilt eventuella asymptoter, lokal extremvärden och inflexionspunkter.
Mat 1 α, nov 98:5
y=
118.
p
x2 + 12 −
Rita kurvan
ex − x2
.
ex + x2
Ange särskilt eventuella asymptoter och lokala extrempunkter.
y=
Mat 1 α, nov 03:4
119.
Skissera grafen till funktionen
f (x) =
x2 − 2x
.
x2 + 2x
Ange särskilt lokala extrempunkter, ungefärliga skärningar med x-axeln samt eventuella asymptoter.
Analys 1, jan 96:7
120.
1
. Ange särskilt eventuella lokala
Rita kurvan y = 21 ln(2x2 − 2x + 1) + arctan 2x−1
extrempunkter och asymptoter.
Analys 1, maj 95:5
121.
Rita kurvan
5
4
x5 − 5x + 4
g(x)
+ 2 =
= 2 ,
x x
x2
x
genom att i tur och ordning visa att
y = f (x) = x3 −
a) y-axeln är lodrät asymptot,
b) f (x) är strängt växande då x < 0,
c) g(x), och därmed f (x), har precis ett nollställe mellan −2 och −1,
d) f ′ (x) = (x−1)h(x)
, där h(x) = 3x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 8 > 0 då x > 0,
x3
e) f (x) har ett lokalt minimum lika med 0 då x = 1.
Mat 1 α, okt 02:5
122.
Rita kurvan
y = f (x) = x +
8
x5 + 8
=
,
x4
x4
genom att i tur och ordning visa att
a) y-axeln är lodrät asymptot,
b) y = x är sned asymptot då x → ±∞,
13
c) f (x) är strängt växande då x < 0,
d) f (x) har ett lokalt minimum då x = 2,
e) f (x) är konvex då x < 0 och då x > 0
Mat 1 α, nov 02:5
123.
a) Rita kurvan
4
x.
3
b) Ange en ekvation för tangenten i punkten (a, f (a)) till kurvan.
c) Bestäm alla skärningspunkter mellan tangenten och kurvan.
d) För vilka a är tangenten också normal till kurvan?
Mat 1 α, mar 01:6
y = f (x) = x3 −
124.
a) Ange en ekvation för tangenten i punkten (a, f (a)) till kurvan
y = f (x) = x4 − 8x2 + 12x.
b) Visa att x-koordinaten för eventuella skärningar, förutom x = a, mellan denna
tangent och kurvan ges av
x2 + 2ax + 3a2 − 8 = 0.
c) Bestäm för alla reella a antalet skärningspunkter mellan tangenten i (a, f (a))
och kurvan y = f (x).
Mat 1 α, apr 01:7
125.
a) Visa att y = x är en sned asymptot till den udda funktionen
√
x8 + x6 − 2x4 + 1
, x 6= 0
f (x) =
x3
både då x → ∞ och då x → ∞.
b) Bestäm antalet skärningar mellan asymptoten y = x och kurvan y = f (x).
Mat 1 α, okt 04:4
126.
a) Visa att den jämna funktionen
r
r
r
2
1 2
1
x8 + x6 − 2x4 + 1
2+1−
x
x
−
g(x) =
=
+
=
+1
x6
x2 x6
x3
för x 6= 0 har derivatan
g′ (x) =
(x4 − 1)(x4 + 3)
.
x7 g(x)
b) Rita kurvan y = g(x) med angivande av samtliga asymptoter.
Mat 1 α, okt 04:5
127.
a) Visa att y = x + 1 är en sned asymptot till funktionen
√
x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
f (x) =
, x 6= 0
x
både då x → ∞ och då x → −∞.
14
b) Bestäm antalet skärningar mellan asymptoten y = x + 1 och kurvan y = f (x).
Mat 1 α, nov 04:4
128.
a) Visa att
r
r
√
1
x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
2
=
= x2 + 2x + 3 + + 2
g(x) =
2
|x|
x
x x
för x 6= 0 har derivatan
g′ (x) =
(x3 − 1)(x + 1)
.
x3 g(x)
b) Rita kurvan y = g(x) med angivande av samtliga asymptoter.
Mat 1 α, nov 04:5
129.
En talföljd (an )∞
n=0 definieras genom a0 = 1 och
an+1 =
3an
1 + an
för
n = 0, 1, 2, . . . .
Visa att följden är konvergent och bestäm limn→∞ an .
130.
Talföljden (an )∞
n=0 definieras genom a0 = 1 och
r
a2
an+1 = 1 + n n = 0, 1, 2, . . . .
2
Visa att följden är konvergent och bestäm limn→∞ an .
131.
Analys 1, dec 91:4
Analys 1, jun 92:4
Låt funktionen f vara kontinuerlig i det kompakta intervallet [a, b] och sådan att
a < f (x) < x
då
a < x ≤ b.
Definiera talföljden (an )∞
n=0 genom
a0 = b
och
an+1 = f (an )
för
n = 0, 1, 2, . . . .
Visa att
1. an konvergerar mot a då n → ∞.
2. 0 < an+1 − a ≤ k(an − a) då an − a ≤ δ, om f dessutom är deriverbar och
f ′ (x) ≤ k
då
a≤x≤a+δ
för något δ > 0 med a + δ ≤ b.
Analys 1, dec 93:8
132.
p
7 + a2n − 1 för n = 0, 1, 2, . . . .
Talföljden (an )∞
n=0 definieras av a0 = 0 och an+1 =
Visa att följden är konvergent och beräkna dess gränsvärde.
Analys 1,dec 92:6
133.
a) Talföljden (an )∞
1 ges av
an+1 = 2 +
√
1
an , a1 = .
9
Visa att följden konvergerar och bestäm gränsvärdet.
15
b) Vad händer om vi istället väljer a1 = 9?
Analys 1, dec 88:6
134.
Definiera talföljden (an )∞
n=0 genom
a0 = 1,
och
an+1 = p
an
a2n + b
då
n = 0, 1, 2, . . . ,
där b är en konstant, |b| < 1. Visa att talföljden konvergerar och bestäm dess
gränsvärde.
Analys 1, jun 91:8
135.
Visa att talföljden (an )∞
0 , definierad genom
a0 = 1,
och
an+1 =
1 + a2n
n = 0, 1, 2, . . . ,
4an
är konvergent och bestäm gränsvärdet. (Studera an för udda och för jämna n.)
Analys 1, aug 94:8
136.
Visa att
x2 + 18 ln x + 11 > 12x då x > 1.
Analys 1, nov 96:1
137.
För vilka värden på den reella konstanten a gäller att
x3 − 5x2 + 3x + 13 ≥ a för alla x ≥ 0?
Analys 1, nov 96:2
138.
Visa att
x>
ex − 1
ex + 1
då
x > 0.
Analys 1, aug 94:3
139.
Visa att
ln x ≥
x−1
då x ≥ 1.
x+1
Mat 1 α, apr 99:3
140.
Visa att
ln(1 + x) ≤
x
x
+
då x ≥ 0.
2 2(1 + x)
Mat 1 α, aug 99:3
141.
Visa att
sin x + tan x > 2x då 0 < x <
π
.
2
Mat 1 α, apr 02:6
142.
Visa att
arctan x >
x
för x > 0.
1 + x2 /3
Analys 1, maj 94:2
16
143.
Visa att
sin x tan x + 2 ln cos x > 0 då 0 < x <
π
.
2
Analys 1, dec 93:3
144.
Visa att
tan x + ln(cos2 x) > 0 då 0 < x <
π
.
2
Analys 1, dec 90:4
145.
Visa att
2xex < e2x − 1 för x > 0.
Analys 1, dec 90:7
146.
Visa att
1
1
2
< arctan <
x+1
x
x+1
då
x > 0.
Analys 1, jun 88:3
147.
Visa att funktionen
1 −1
1 − x+
ln 1 +
x
2
är avtagande för x > 0 och att
1 x+ 12
,
e< 1+
x
då
x > 0.
Analys 1, jan 85:3
148.
Visa att funktionen
1
(x2 + x)−1/2 − ln 1 +
x
är strängt avtagande för x > 0 och att
√
1 x2 +x
< e.
1+
x
Analys 1, dec 86:3
149.
Visa att
√
1 x2 +x+1/12
e< 1+
då x > 0.
x
Analys 1, jan 87:8
150.
Visa att om x > 0 så är
ln(x + 1) − ln x =
1
x+θ
där 0 < θ <
1
.
2
Analys 1, jan 83:8
151.
För vilka värden på den reella konstanten a gäller för något δ > 0 olikheten
(1 + x)a > 1 + 3x när 0 < x < δ?
Analys 1, jan 94:8
17
152.
Bestäm värdemängden till funktionen
f (x) = 2 arctan x − ln(1 + x2 ),
x ∈ R.
Mat 1 A, aug 98:1
153.
Bestäm värdemängden till funktionen
f (x) =
1
π
− − arctan x, x 6= 0.
2 x
Mat 1 A, mar 98:5
154.
Bestäm värdemängden till funktionen
f (x) = (x2 + 3x + 3)e−x x ∈ R.
Mat 1 α, mar 01:2
155.
Vilka värden antar
y = (x2 − 3x + 3)ex då x ≥ −1?
Mat 1 α, apr 01:2
156.
Vilka värden antar
y = (x2 + 3x + 3)e−x då x ≥ −1?
Mat 1 α, aug 01:2
157.
Vilka värden antar
y = (x2 − 3x + 3)ex
då
x≤
3
?
2
Mat 1 α, nov 04:3
158.
Vilka värden antar
y = 2x +
159.
p
81 − x2 då 0 < x < 9?
Mat 1 A, apr 97:3
Bestäm största och minsta värde av funktionen
f (x) = |x3 − 3x − 2|
på intervallet [0, 3]
Mat 1 A, mar 98:1
160.
En rektangel har ena sidan på x-axeln och de två återstående hörnen på enhetscirkeln. Bestäm största möjliga värde på rektangelns area.
Mat 1 A, nov 96:2
161.
En rektangel har ena sidan på x-axeln och de två återstående hörnen på enhetscirkeln. Vilka värden kan rektangelns omkrets antaga?
Mat 1 A, mar 97:4
162.
Tangenten till kurvan
y = 2e−x + 1,
i en punkt P på kurvan, avgränsar tillsammans med x-axeln och den lodräta linjen
genom P ett triangulärt område. Bestäm P så att arean av detta område blir så
liten som möjligt.
Mat 1 α, apr 99:7
18
163.
Normalen till kurvan
1
cosh x
i den punkt (x, y) på kurvan där x = a, linjen x = a och x-axeln avgränsar tillsammans ett triangulärt område. Ange a > 0 så att detta får största möjliga area. Vi
påminner om att
y=
2 cosh x = ex + e−x , 2 sinh x = ex − e−x .
Analys 1, maj 96:7
164.
Låt a och b vara positiva tal. Bestäm längden av den kortaste sträcka som går
genom origo och har sin ena ändpunkt på linjen x = a och sin andra på linjen
y = b.
Mat 1 α, okt 01:7
165.
Bestäm längden av den kortaste sträcka som går genom origo och har sin ena
ändpunkt på linjen y = 2 − x2 och sin andra på linjen x = −3.
Mat 1 α, nov 01:7
166.
I ett koordinatsystem är A = (0, 1) och B = (0, 2). Var på positiva x-axeln ska
punkten P ligga för att vinkeln AP B ska bli maximal?
Analys 1, maj 92:7
167.
Bestäm antalet reella rötter till ekvationen
1
= 4.
(x + 1)2
2 arctan x +
Analys 1, jun 91:3
168.
Bestäm antalet reella rötter till ekvationen
arctan x +
1
= 1.
x+2
Mat 1 α, okt 01:4
169.
Ange antalet reella rötter till ekvationen
arctan x +
1−x
4
= .
2
1+x
5
Mat 1 α, apr 00:5
170.
Ange antalet reella rötter till ekvationen
2 ln |x| −
x
= 0.
1−x
Mat 1 A, aug 96:4
171.
Hur många gemensamma punkter har kurvan
y = x3 − 16x − 21
med parabeln y = x2 ?
172.
Analys 1, dec 86:4
−3x2 +4x
Bestäm antalet lösningar till ekvationen x2 e
1
.
a = 81
1
= a både då a = 18
och då
Mat 1 A, okt 97:4
19
173.
För vilka värden på den reella konstanten a saknar ekvationen 3x2 −4x−2 ln |x| = a
reella lösningar?
Mat 1 A, nov 97:4
174.
Låt p(x) vara ett reellt polynom av grad n. Visa att ekvationerna
p(x) = ln x,
x>0
och
p(x) = ln |x|,
har högst n + 1 respektive n + 2 reella rötter.
175.
x 6= 0
Analys 1, jan 96:8
Hur många lösningar har ekvationen
ex + x
=k
ex − x
för olika val av den reella konstanten k?
176.
Analys 1, jan 83:2
Bestäm antalet rella rötter till ekvationen
ex = x + a
för alla reella värden på konstanten a.
177.
Mat 1 α, nov 00:4
Bestäm för varje värde på det reella talet a antalet lösningar till ekvationen
ln x
= a,
x2
x > 0.
Mat 1 α, apr 03:5
178.
Hur många lösningar har ekvationen
x4 − kx3 + 5x2 −
4
=0
3
för olika k-värden?
Analys 1, dec 89:4
179.
Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet skärningspunkter mellan
kurvan y = x3 + 7x − 3 och parabeln y = ax2 .
Analys 1, maj 90:6
180.
Rita kurvan
y = f (x) =
x3 + 2x2 + 3x + 4
.
x2 + 1
Ange också i vilka intervall kurvan är konvex eller konkav.
181.
För vilka reella a är funktionen
y = f (x) =
x3 + 2x2 + 3x + a
.
x2 + 1
växande på hela reella axeln?
182.
Rita kurvan
y = f (x) =
Mat 1 α, mar 04:7
x3 + 2x2 + 3x
.
x2 + 1
Ange också i vilka intervall kurvan är konvex eller konkav.
20
Mat 1 α, mar 04:5
Mat 1 α, apr 04:5
183.
För vilka reella a är funktionen
y = f (x) =
x3 + 2x2 + ax
.
x2 + 1
växande på hela reella axeln?
184.
Mat 1 α, apr 04:7
Rita kurvan
x3 + 12x + 2
.
x2 + 1
Ange också i vilka intervall kurvan är konvex eller konkav.
y = f (x) =
185.
För vilka positiva a är funktionen
x3 + 12x + 2
.
x2 + a
y = f (x) =
växande på hela reella axeln?
186.
Mat 1 α, aug 04:7
För vilka värden på den reella konstanten a är funktionen
x2 + a|x|
|x| + 1
f (x) =
konvex på hela reella axeln?
187.
Mat 1 A, mar 97:7
För vilka värden på den reella konstanten a är funktionen
f (x) =
x2 + ax
|x| + 1
konvex på hela reella axeln?
188.
Mat 1 α, aug 04:5
Mat 1 A, apr 97:6
Ange för varje värde på den positiva konstanten a antalet punkter på kurvan
y=
4x ln x
√
3
som har avståndet a till origo i ett ortonormerat koordinatsystem.
Analys 1, jun 93:7
189.
Hur många lokala extrempunkter har funktionen
f (x) = x2 + ax +
1
, x 6= 0
x
för olika val av den reella konstanten a?
190.
Analys 1, jan 85:5
Bestäm för varje värde på konstanten a antalet lokala extremvärden till kurvan
y = (x2 + 1) arctan x + ax2 .
Analys 1, maj 89:8
191.
a) Ange tangenten till kurvan
y=
1
1 + x2
i den punkt på kurvan där x = a.
21
b) För vilka värden på b skär en tangent till kurvan y-axeln i den punkt där b = 0?
Analys 1, aug 89:6
192.
Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet tangenter till kurvan
y = xe−x
2
som skär x-axeln då x = a.
Analys 1, jun 90:8
193.
Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet linjer som går genom
punkten (0, a) och tangerar kurvan y = ln(2 + x2 ) i någon punkt.
Mat 1 α, nov 03:7
194.
Genom vilka punkter på y-axeln går det precis en tangent till kurvan
y=
ln x
?
x
Mat 1 α, aug 03:7
195.
Genom vilka punkter på x-axeln går det precis två tangenter till kurvan
2
y = xe−x ?
Mat 1 α, nov 98:7
196.
a) Rita kurvan y = x ln x, x > 0.
b) Ange normalen till kurvan i punkten (a, a ln a), a > 0.
c) Bestäm för varje punkt (k, 0) på x-axeln antalet normaler som går genom denna
punkt.
Analys 1, maj 88:6
197.
Genom vilken punkt på y-axeln går precis tre normaler till kurvan y = x4 ?
Analys 1, aug 96:7
198.
Låt f vara en konvex funktion, definierad för x ≥ 0, och antag att f (0) ≤ 0. Visa
att om funktionen g definieras för x > 0 genom g(x) = f (x)
x så är g växande för
x > 0.
22
Svar
1.
a) 3,
b) 3.
2.
a)
3.
a) Lösning saknas.
b) x = 4 + 9n, y = −11 − 25n där n ∈ Z.
4.
x = 117 − 23n, y = −91 + 18n där n ∈ Z.
5.
x = 230 + 135n, y = 540 + 317n där n ∈ Z.
6.
x = 3 + 11n, y = 5 + 19n där n ∈ Z.
7.
x = −244 + 19n, y = 183 − 14n där n ∈ Z. Den enda positiva lösningen är
(x, y) = (3, 1).
8.
Lösningarna är (8, 2), (−8, 2), (8, −2), (−8, −2), (4, 5), (−4, 5), (4, −5) och (−4, −5).
9.
Lösningarna är (9, 11), (−9, 11), (9, −11), (−9, −11), (12, 8), (−12, 8), (12, −8) och
(−12, −8).
53
74 ,
b) 47 delar inte 161.
10.
x = −217 + 298n, y = 10 − 13n, z = −5 + 7n, n ∈ Z.
11.
c = 14. Lösningarna är (x, y) = (−5 + 11n, −7n), n ∈ Z.
20.
1170 stycken.
21.
a) Halvplanet ovanför och på linjen Re z + Im z = 0.
33
b) 2 2 .
c) 5π
12 .
22.
−299 .
23.
Högra halvan av den slutna cirkelskivan med medelpunkt 2 och radie 2. arg z varierar i intervallet [− π4 , π4 ].
√
Sluten cirkelskiva med medelpunkt 2−i och radie 1. Största värdet av |z| är 1+ 5.
√
√
7π
Sluten sträcka med ändpunkter −3 − i 3 och −3 + i 3. 5π
6 ≤ arg z ≤ 6 .
√
√
Öppen sträcka med ändpunkter − 3 + i och 3 + i. π6 < arg z < 5π
6 .
24.
25.
26.
27.
28.
Sluten cirkelskiva med medelpunkt −1 + i och radie 1. π2 ≤ arg z ≤ π.
√
√
Sluten cirkelskiva med medelpunkt 1 − i och radie 1. 2 − 1 ≤ |z| ≤ 2 + 1.
29.
−1 ≤ Im z ≤ 12 .
30.
arg z =
31.
32.
√
π
5π
π
12 eller 12 . tan 12 = 2 − 3.
√
√
3+1
◦
+ i 3−1
2
2 . Argumentet är 15 .
cos
π
10
=
q
√
5+ 5
8 .
23
36.
38.
Uttrycket är rent imaginärt om och endast om |Re z| = |Im z|.
√
Medelpunkt 1 + 2i, radie 3.
40.
Rötterna är 2 + i och 1 + i.
41.
Rötterna är −2 + i och 1 + 5i.
42.
A = 4 + 2i. Rötterna är 3 − i och 1 + i
43.
Rötterna är i och ± 23 − 2i .
√
√
π
π
π
π
w = 2ei( 8 +k· 2 ) eller w = 2ei( 4 +k· 2 ) , k = 0, 1, 2, 3. z = 4i eller z = −4 = 4eiπ .
44.
√
45.
±(2 + i) och ±(1 + 2i).
46.
x2 − 2x + 1
47.
x2 + 4x + 4.
48.
x + 1.
49.
x + 1.
50.
x + 4.
51.
x.
52.
1 3
4 (z
53.
2z 2 + z + 1.
54.
a) 3.
55.
1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, . . ., dvs för alla positiva heltal som inte är av formen
4k + 2.
√ (2k+1)π
Rötterna är 0, 2 och 3 2ei 3 , k = 0, 1, 2.
56.
57.
+ 5z 2 − 3z + 5).
b) z 3 + 2.
Den första ekvationen har dubbelrötterna − 21 ±
− 21
±
√
7
2
i och ±i.
58.
Rötterna är 1, 2 + i och −4 + 3i.
59.
z1 = −i, z2 = 2 − i, z3 = 1 + i.
60.
Övriga rötter är 2 + i och 1 + i.
61.
De två övriga rötterna är −1 + 3i och 3 − i.
62.
Rötterna är 1, 2, 3 och i.
63.
Rötterna är −1 ± 2i och 1 ±
64.
Rötterna är 3 + 5i, 3 − 5i, 1 + 2i och 1 − 2i
65.
Rötterna är 1 ± i och 2 ± i.
66.
Rötterna är 1, 1 ± i och 2 ± 3i.
24
√
3.
√
7
2
i, den andra har enkelrötterna
67.
Rötterna är 4, 2 − i och −1 − 2i.
68.
Rötterna är −4i, −1 − 2i och −2 + i.
69.
Rötterna är 1 och 2e( 6 + 3 ) , n = 0, 1, 2.
√
√
z1,2 = −2 ± 3, z3,4 = 1±i2 3 .
70.
71.
72.
73.
π
z1,2 = 2 ±
√
2nπ
√
−1±i 3
.
2
3, z3,4 =
√
2, z3,4 = 2 ± 5.
√
3π
π
Rötterna är ±i och 8 2ei(± 16 +k· 2 ) , k = o, 1, 2, 3..
z1,2 = 1 ±
√
√
√
−1± 5
1±i 7
och
.
2
2
√
√
3
1±i 15
och −1±i
2
2
74.
Nollställena till p är
75.
Nollställena till p är
76.
t = 1.
77.
z har värdet 1 + 3i.
78.
x > −1 och x 6= 1.
79.
x < − 12 eller x > − 41 .
80.
−4 < x ≤ −2 eller −1 < x ≤ 8.
81.
x ≥ 8 eller −2 ≤ x < 0 eller x < −4.
82.
x > 1 eller −1 < x < 0.
83.
0<x≤
84.
x > 1 eller −1 < x < 0.
85.
x > 1 eller x < −1.
86.
3
2.
87.
3.
88.
5
2.
89.
1
2.
90.
Gränsvärdet är 2 då x → ∞ och 1 då x → 0.
91.
Gränsvärdet är 1 då x → ∞ och 2 då x → 0.
92.
f (0) = 0, f+′ (0) = 0.
93.
a) f (0) = 0
c) f ′ är kontinuerlig på [0, 1).
95.
Asymptot y = x + 2 då x → ±∞. Grafen ligger ovanför asymptoten då x > −1.
96.
Asymptot y = x + 2 då x → ±∞. Grafen ligger ovanför asymptoten då x > 1.
1
2
eller x > 1.
b) f+′ (0) = 0
d) f är inte deriverbar i 1.
25
97.
2
Asymptot y = x då x → ±∞. Grafen ligger ovanför asymptoten då x > − 11
.
98.
y = x + 12 .
99.
x + y = 23 .
100.
y = x + 2 och x = 1.
101.
limn→∞ an = 14 .
102.
limn→∞ an = 3.
105.
a) 0.
106.
C = − π2 .
107.
3) = 5π
12 .
√
π
f (x) ≡ π2 , arctan(2 − 3) = 12
.
108.
b)
f (x) ≡ π, arctan(2 +
π
4
resp. − 3π
4 .
c)
π
4,
− 3π
4 resp
π
4.
√
109.
a = −2, b = − 12 .
110.
16x − 3y =
111.
y = x + 1.
113.
Lokal minimipunkt (1, 12 − ln 2), lokal maximipunkt (0, 0).
114.
8
4
Lokala minimipunkter (−1, −2) och ( 27
, − 27
). Lokala maximipunkter (0, 0) och
2/3
(2, 2 − 2 ), funktionen är konvex i [−1, 0] och i [0, 2].
115.
π−1
Lokal minimipunkt (1, − π−1
2 ). Lokal maximipunkt (−1, 2 ). Asymptoter y = x−π
då x → ∞ och y = x + π då x → −∞.
116.
Lokalt minimum i (− 43 , −3 arctan 43 + 2 ln 25
16 ). Funktionen är konkav i (−∞, −2] och
1
1
i [ 2 , ∞), konvex i [−2, 2 ]. Asymptoter saknas.
117.
y = x2 − 1 är asymptot då x → ∞, y = − 3x
2 − 1 är asymptot då x → −∞. Lokalt
minimum (2, 2). Inflexionspunkter saknas, kurvan är konvex.
118.
Asymptoter är linjerna y = 1 och y = −1. Maximum i (0, 1) och lokalt minimum i
2 −4
(2, ee2 +4
).
119.
ln 2)
då x = ln22 . Tre skärningar
Lokalt minimum −1 då x = 0, lokalt maximum 4−(e
4+(e ln 2)2
med x-axeln: x1 = 4, x2 = 2 och x3 mellan −1 och 0. Asymptoter y = −1 då x → ∞
och y = 1 då x → −∞.
120.
Lokalt minimivärde
123.
b) y = a3 − 43 a + (3a2 − 34 )(x − a).
c) Skärningspunkterna är (a, f (a)) och (−2a, f (−2a)).
64
9 .
2
d) För a = ±
124.
26
π
4
då x = 1 asymptoter saknas.
√
10
6 .
a) y = f (a) + f ′ (a)(x − a).
c) En skärningspunkt då |a| > 2, två då |a| = 2 eller |a| =
√2 ,
3
tre för övrigt.
125.
b) Fyra skärningspunkter.
126.
b) Asymptoter y = x då x → ∞ och y = −x då x → −∞.
q Minimipunkter (±1, 1).
Kurvan skär asymptoterna då x = ±1 och då x =
√
1+ 5
2 .
127.
b) Inga skärningspunkter.
128.
b) Asymptoter y = x + 1 då x → ∞ och y = −x − 1. Vidare är x = 0 lodrät
asymptot. Kurvan skär inte någon av asymptoterna. Lokala minimipunkter är
(−1, 1) och (1, 3).
129.
130.
limn→∞ an = 2.
√
limn→∞ an = 2.
132.
limn→∞ an = 3.
133.
a) limn→∞ an = 4 (följden är växande).
b) limn→∞ an = 4 (följden är avtagande).
√
limn→∞ an = 1 − b.
134.
√1 .
3
135.
limn→∞ an =
137.
a ≤ 4.
151.
a ≥ 3.
152.
f (x) ≤
153.
f (x) < 0 eller f (x) > π.
154.
f (x) > 0.
155.
y ≥ 7e . (Observera att
156.
0 < y ≤ 3.
157.
0 < y ≤ 34 e3/2 . (Observera att 43 e3/2 > 3 ⇔ e3/2 > 4 ⇔ e3 > 16 vilket är sant
eftersom e3 > 7e > 7 · 2, 5 = 17, 5 > 16).
√
9 < y ≤ 9 5.
158.
π
2
− ln 2.
159.
16 resp. 0.
160.
1.
161.
√
2 < omkretsen ≤ 2 5.
162.
P = (ln 2, 2).
163.
a=
164.
(a2/3 + b2/3 )3/2 .
165.
√
5 5
2 .
166.
x=
1
2
7
e
< e, ty e2 > (2, 7)2 = 7, 29 > 7.)
ln 3.
√
2.
27
167.
Två.
168.
Två.
169.
Tre.
170.
En.
171.
En.
172.
Två då a =
173.
a < −1.
175.
Två om 1 < k < k1 , en om −1 < k ≤ 1 eller k = k1 , ingen om k ≤ −1 eller k > k1 ,
där k1 = e+1
e−1 .
176.
Inga om a < 1, en om a = 1 och två om a > 1.
177.
Ingen lösning om a >
1
.
0 < a < 2e
178.
Två då |k| > k1 eller |k| < k2 , tre då |k| = k1 eller k2 och fyra då k2 < |k| < k1 .
13
Här är k1 = 14
3 och k2 = 3 .
179.
En om a > a1 eller a3 < a < a2 , två om a = a1 eller a2 eller a3 , tre om a2 < a < a1
17
eller a < a3 , där a1 = 5, a2 = 19
4 och a3 = − 3 .
180.
Funktionen f är strängt växande på
√ hela R med en√terrasspunkt (1, 5), vidare är
f konvex för
x
≥
1
och
för
−2
−
3 ≤ x ≤ −2 + 3. Funktionen är konkav för
√
√
x ≤ −2 − 3 och för −2 + 3 ≤ x ≤ 1. Dessutom ligger kurvan y = f (x) över sin
asymptot y = x + 2 (jämför uppg. 95!) precis då x > −1.
181.
0 ≤ a ≤ 4.
182.
Funktionen f är strängt växande
på hela R med en √
terrasspunkt (−1, −1), vidare
√
är f konvex för x ≥√2 + 3 och för√−1 ≤ x ≤ 2 − 3. Funktionen är konkav för
x ≤ −1 och för 2 − 3 ≤ x ≤ 2 + 3. Dessutom ligger kurvan y = f (x) över sin
asymptot y = x + 2 (jämför uppg. 96!) precis då x > 1.
183.
a = 3.
184.
Funktionen f är strängt växande då x ≤ 1 (terrasspunkt i (−2, −6)), strängt avtagande då 1 ≤ x ≤ 3 och strängt växande då x ≤ 3. Det lokala maximivärdet i
minimivärdet i 3 är 65
för x ≤ −2
x = 1 är 15
2√ och det lokala
10 . Vidare är f konkav √
√
1
18
och fyra då a = 18.
1
2e ,
en lösning om a =
1
2e
eller om a ≤ 0, två lösningar om
8− 75
≤ x ≤ 8+11 75 . Funktionen är konvex för −2 ≤ x ≤ 8−11 75
√ 11
x ≤ 8+11 75 . Dessutom ligger kurvan y = f (x) ovanför sin asymptot y = x
2
uppg. 97!) precis då x > − 11
.
och för
185.
a ≥ 53 .
186.
0 ≤ a ≤ 1.
187.
−1 ≤ a ≤ 1.
28
och för
(jämför
188.
En då 0 < a < a1 eller a > a2 , två då a = a1 eller a = a2 , tre då a1 < a < a2 . Här
är a1 = √23 e−1/4 och a2 = 2e−3/4 .
189.
Tre om a > 3, en om a ≤ 3.
190.
Inget då |a| ≤ a1 , ett då |a| ≥ a2 och två då a1 < |a| < a2 . Här är a1 =
a2 = π2 .
191.
2a
a) y = − (1+a
2 )2 (x − a) +
1
1+a2
π
4
+
1
2
och
b) 0 < b ≤ 89 .
3
2
q
3
2.
192.
Tre om |a| ≤ a1 , två om |a| = a1 och en om |a| < a1 , där a1 =
193.
Två då a > ln 2 eller a = ln 4 − 1, tre då a = ln 2, fyra då ln 4 − 1 < a < ln 2 och
ingen då a < ln 4 − 1.
194.
(0, 2e−3/2 ) samt (0, y) för y ≤ 0.
q
x = ± 32 32 .
195.
196.
a) Lokalt minimum − 1e då x = 1e .
b) x − a + (1 + ln a)(y − a ln a) = 0.
c) Ingen då k ≤ 0, en då 0 < k < k1 eller k > k2 , två då k = k1 eller k = k2 och
tre då k1 < k < k2 där k1 = 1e och k2 = e32 .
197.
y = 43 .
29