Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 54321 och 12345, b) 4941 och 2463 Mat 1 α, aug 01:1 2. a) Förkorta bråket 2491 3478 så långt som möjligt. b) Hur vet man att ekvationen 3478x + 2491y = 161 saknar heltalslösningar (x, y)? Mat 1 α, april 02:1 3. Avgör om följande diofantiska ekvationer har lösningar och ange i så fall samtliga lösningar. a) 15x + 27y = 1. b) 25x + 9y = 1. Mat 1 α, mars 00:2 4. Lös den diofantiska ekvationen 18x + 23y = 13. Mat 1 α, dec 98:1 5. Lös den diofantiska ekvationen 317x − 135y = 10. Mat 1 α, aug 99:2 6. Lös den diofantiska ekvationen 323x − 187y = 34. Mat 1 α, nov 00:4 1 7. Lös den diofantiska ekvationen 98x + 133y = 427. Ange särskilt de lösningar (x, y), för vilka x > 0 och y > 0. 8. Mat 1 α, okt 01:2 Bestäm alla heltal x och y som uppfyller 217x2 + 496y 2 = 15872 Alg 1, nov 95:7 9. Bestäm alla par (x, y) av heltal sådana att 19x2 + 21y 2 = 4080. Mat 1 α, nov 03:6 10. Finn alla heltalslösningar till systemet x + 17y − 11z = 8 x + 24y + 2z = 13. Alg 1, april 91:6 11. Ange det minsta positiva heltal c, för vilket den diofantiska ekvationen 259x + 407y = 7 − 93c har en lösning (x, y). Ange för detta värde på c samtliga lösningar (x, y). Mat 1 α, aug 00:7 Induktion och kombinatorik 12. Visa att 1 + (21 + 2−1 ) + (22 + 2−2 ) + . . . + (2n−1 + 2−(n−1) ) = (2n − 2−(n−1) ) för n = 2, 3, . . .. Mat 1 A, okt 97:3 13. Visa att 1 · 3 + 2 · 32 + . . . + n · 3n = för varje positivt heltal n. 14. 15. (2n − 1) · 3n+1 + 3 4 Mat 1 β, dec 99:2 Visa att 1 2 3 n 2+n + 2 + 3 + ... + n = 2 − n 1 2 2 2 2 2 för varje positivt heltal n. Visa att n X k=1 3 1 1 2 = − − , k(k + 2) 2 n+1 n+2 Mat 1 β, jan 00:2 n = 1, 2, 3, . . . . Mat 1 β, aug 03:1 2 16. Visa att n X k=1 1 n(n + 3) = , k(k + 1)(k + 2) 4(n + 1)(n + 2) n = 1, 2, 3, . . . . Mat 1 β, jun 03:1 17. Visa att 3 4 5 n−1 n + + + ... + = 3 3 3 3 4 för n = 4, 5, 6, . . . . Mat 1 A, mar 97:3 18. Bevisa att n3 n+1 4 3 2 > + ... + + + 2 2 2 2 6 för n = 1, 2, 3, . . . . Mat 1 A, apr 97:4 19. Visa att n X m+k−1 m+n k =m k n−1 k=1 för alla positiva heltal m och n. 20. Mat 1 β, maj 01:6 Hur många tal mellan 100000 och 1000000 finns det som, utskrivna på vanligt sätt, dvs. i tiosystemet, innehåller exakt fyra 4-or? Mat 1 A, mar 98:2 Komplexa tal 21. a) Rita mängden av komplexa tal z som uppfyller olikheten |z + i| ≥ |z − 1|. b) Ange absolutbeloppet av det komplexa talet √ ( 3 + i)13 (1 − i)7 . c) Ange argumentet av det komplexa talet √ ( 3 + i)13 (1 − i)7 . Alg 1, jan 92:2 22. √ Bestäm realdelen av ( 3 + i)100 . 23. Rita i det komplexa talplanet mängden M av alla komplexa tal z sådana att Mat 1 α, nov 00:1 |z − 2| ≤ 2 och Re z ≥ 2. Ange alla värden arg z antar då z ∈ M . 24. Mat 1 α, okt 98:2 Rita mängden M av komplexa tal z, sådana att |z − 2 + i| ≤ 1. Ange också det största värdet av |z| då z ∈ M . Mat 1 α, mars 00:1 3 25. Rita mängden M av komplexa tal z, sådana att |z + 2| ≤ 2 och Re z = −3. Ange också vilka värden arg z antar då z ∈ M . 26. Mat 1 α, nov 99:3 Rita mängden M av komplexa tal z, sådana att |z − 2i| < 2 och Im z = 1. Ange också vilka värden arg z antar då z ∈ M . 27. Mat 1 α, nov 99:3 Rita mängden M av komplexa tal z, sådana att |z + 1 − i| ≤ 1. Ange också vilka värden argumentet av z antar då z ∈ M . 28. Mat 1 α, okt 02:1 Rita mängden M av komplexa tal z, sådana att |z − 1 + i| ≤ 1. Ange också vilka värden |z| antar då z ∈ M . 29. Mat 1 α, nov 02:1 Rita i det komplexa talplanet mängden M av alla komplexa tal z sådana att |z − 1| ≤ 1 och |z − 1 − i| ≥ 1. Ange alla värden Im z antar då z ∈ M . Mat 1 α, dec 98:5 30. Ange vilka värden arg z antar då det komplexa talet z är sådant att |z − 2| = 2 och π . Mat 1 A, nov 98:6 Im z = 1. Ange också värdet av tan 12 31. Skriv det komplexa talet √ 1+i 3 1+i på formen a + ib samt ange dess argument i grader. Använd detta för att visa att √ tan 15◦ = 2 − 3. Alg 1, aug 89:5 32. Låt θ vara ett godtyckligt reellt tal. a) Visa att cos 5θ = 16 cos5 θ − 20 cos3 θ + 5 cos θ. π b) Använd resultatet ovan för att bestämma cos 10 . Alg 1, apr 95:8 33. 34. 35. 4 Låt z, w vara två komplexa tal som uppfyller w = (z − i)/(z + i). Visa att Im z > 0 om och endast om |w| < 1. Alg 1, jan 97:8 z 1 Alg 1, nov 94:8 Visa att 1+2z < 2 om och endast om Re z > − 41 . Visa att z2 + 4 z är reellt om z är ett komplext tal, sådant att |z| = 2. Mat 1 α, mar 99:6 36. För vilka komplexa tal z är z2 + 1 z2 rent imaginärt? Alg 1, maj 92:3 2 −4 37. Antag att Re z eller Re z = 0. 38. Visa att mängden z = 0, där z är ett komplext tal 6= 0. Visa att då gäller |z| = 2 Alg 1, jan 95:5 M = {z; zz̄ − (1 − 2i)z − (1 + 2i)z̄ + 2 = 0} är en cirkel i det komplexa talplanet. Ange cirkelns medelpunkt och radie. Alg 1, apr 90:7 39. Vi identifierar de komplexa talen med punkter i planet på vanligt sätt. Visa att de punkter, vilkas avstånd till −i är dubbelt så stort som deras avstånd till 2i, är precis de punkter, vilkas avstånd till 3i är lika med 2. Alg 1, apr 92:7 Polynom och deras nollställen 40. Bestäm på formen a + ib lösningarna till ekvationen z 2 − (3 + 2i)z + 1 + 3i = 0. Mat 1 α, aug 03:2 41. Lös ekvationen (2 + i)z 2 + (8 − 11i)z − 5 − 25i = 0. Alg 1, maj 91:4 42. Bestäm det komplexa talet A så att ekvationen z 2 − 4z + A = 0 får roten 1 + i. Bestäm sedan också den andra roten till ekvationen. Mat 1 α, nov 99:1 43. Lös ekvationen z3 = 1−i . 1+i Alg 1, aug 90:4 44. För vilka komplexa tal z och w är z 2 + (4 − 4i)z − 16i = 0 och w8 + (4 − 4i)w4 − 16i = 0? Svaren skall anges på polär form. Mat 1 α, okt 98:4 45. För vilka komplexa tal z är z 4 − 8iz 2 − 25 = 0? Mat 1 A, nov 97:3 46. Bestäm en största gemensam delare till polynomen x4 − 4x + 3 och x3 − 3x2 + 3x − 1. Mat 1 α, okt 04:1 5 47. Bestäm en största gemensam delare till polynomen x4 − 9x2 − 4x + 12 och x3 + 6x2 + 12x + 8. Mat 1 α, aug 04:3 48. Bestäm en största gemensam delare till polynomen x5 + x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1 och x3 + x2 + x + 1. Mat 1 α, mar 01:1 49. Bestäm en största gemensam delare till polynomen x5 + x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 och x3 + x2 + x + 1. Mat 1 α, apr 01:1 50. Låt P (x) var ett polynom som vid division med (x − 1) ger resten 5 och vid division med (x + 1) ger resten 3. Vilken rest ger P (x) vid division med (x2 − 1) ? Mat 1 A, apr 98:6 51. Polynomet P (x) ger vid division med (x − 1) resten 1, vid division med (x − 2) resten 2 och vid division med (x − 3) resten 3. Vilken rest ger P (x) vid division med (x − 1)(x − 2)(x − 3) ? Mat 1 α, apr 03:6 52. Resten vid division av polynomet p(x) med z 3 + z 2 + z + 1 är z 2 − z + 1. Vidare är p(1) = 2. Bestäm resten vid division av p(z) med z 4 − 1. Mat 1 α, apr 00:6 53. Polynomet p(z) ger resten z + 3 vid division med z 2 − 1 och resten z − 1 vid division med z 2 + 1. Ange resten vid division av p(z) med z 4 − 1. Mat 1 α, nov 03:6 54. Bestäm resten vid polynomdivision av z 400 + z 303 + 1 med b) z 4 − 1. a) z − 1, Mat 1 α, mar 00:6 55. För vilka positiva heltal n är polynomet x3n − x2n + xn − 1 delbart med polynomet x3 − x2 + x − 1? Mat 1 α, aug 02:6 56. Polynomen f (z) = z 2 − z − 2 och g(z) = z 5 − 2z 4 + 2z 2 − 4z har ett gemensamt nolställe. Lös ekvationen g(z) = 0. Alg 1, apr 90:5 57. De två ekvationerna z 4 + 2z 3 + 5z 2 + 4z + 4 = 0 och z 4 + z 3 + 3z 2 + z + 2 = 0 har minst en gemensam rot. Lös bägge ekvationerna fullständigt. Mat 1 α, nov 00:5 58. Visa att z = 1 är en rot till ekvationen z 3 + (1 − 4i)z 2 − (13 − 6i)z + 11 − 2i = 0. Lös ekvationen fullständigt. 6 Alg 1, nov 90:4 59. Visa att −i är en rot till ekvationen z 3 + (−3 + i)z 2 + (3 − 2i)z − 1 + 3i = 0, samt bestäm de övriga rötterna på formen a + bi. 60. Mat 1 α, mar 02:5 Verifiera att ekvationen z 4 − (3 + 2i)z 3 + (2 + 3i)z 2 − (3 + 2i)z + 1 + 3i = 0 har rötterna ±i samt bestäm därefter de övriga rötterna på formen a + bi. Mat 1 α, apr 02:5 61. Visa att z = i är en dubbelrot till ekvationen z 4 − (2 + 4i)z 3 + (−5 + 14i)z 2 + (22 + 2i)z − 10i. Lös sedan ekvationen fullständigt. 62. Alg 1, apr 93:5 Talet i är ett nollställe till polynomet p(z) = z 4 − (6 + i)z 3 + (11 + 6i)z 2 − (6 + 11i)z + 6i. Lös ekvationen p(z) = 0. 63. Alg 1, aug 95:1 Ekvationen z 4 − z 2 − 14z − 10 = 0 har roten z = −1 + 2i. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, mar 99:1 64. Ekvationen z 4 − 8z 3 + 51z 2 − 98z + 170 = 0 har roten z = 3 + 5i. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 A, mar 98:3 65. Ekvationen z 4 − 6z 3 + 15z 2 − 18z + 10 = 0 har roten z = 1 + i. Visa att detta är sant samt lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, aug 99:4 66. Ekvationen z 5 − 7z 4 + 29z 3 − 57z 2 + 60z − 26 = 0 har rötterna z = 1 och z = 1 + i. Bestäm övriga rötter. 67. Mat 1 α, nov 03:2 Ekvationen z 3 − (5 − 3i)z 2 − 15iz + 16 + 12i = 0 har en reell rot. Lös ekvationen fullständigt. 68. Mat 1 α, okt 01:5 Ekvationen z 3 + (3 + 5i)z 2 + 15iz − 12 + 16i = 0 har en rent imaginär rot z = iy, där y är reellt. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, nov 01:5 69. Lös ekvationen z 4 − z 3 − 8iz + 8i = 0. Mat 1 α, dec 98:3 7 1 z 70. Visa att om z 4 + 3z 3 − 2z 2 + 3z + 1 = 0 och w = z + Använd detta för att lösa den första ekvationen. 71. Lös z 4 − 3z 3 − 2z 2 − 3z + 1 = 0 t ex genom att först multiplicera ekvationen med z −2 och sedan införa w = z + z −1 . Mat 1 α, nov 02:4 72. Visa att om så är w2 + 3w − 4 = 0. Mat 1 α, okt 02:4 z 4 − 6z 3 + 6z 2 + 6z + 1 = 0 och w = z − z −1 så är w2 − 6w + 8 = 0. Använd detta för att lösa den första ekvationen. Mat 1 α, aug 01:4 73. Lös ekvationen z 10 + z 8 + 2z 6 + 2z 4 + 2z 2 + 2 = 0. Alg 1 aug 89:7 74. Visa först att om p(z) = z 4 + 3z − 2 = (z 2 − az + b)(z 2 + az + c) så är a6 + 8a2 − 9 = 0. Lös sedan ekvationen p(z) = 0. 75. Mat 1 A, mar 97:5 Visa först att om p(z) = z 4 + 4z 2 + 3z + 4 = (z 2 − az + b)(z 2 + az + c) så är a6 + 8a4 − 9 = 0. Lös sedan ekvationen p(z) = 0. 76. Visa att om √ √ t = ( 5 + 2)1/3 − ( 5 − 2)1/3 så är t3 = 4−3t. Använd detta för att bestämma värdet av t. 77. Mat 1 A, apr 97:5 Mat 1 α, okt 04:6 Visa att om √ √ √ √ 1 + i 3 1 − i 3 1/3 z= (10 + 108) + (10 − 108)1/3 2 2 så är z 3 = −20 − 6z. Använd detta för att bestämma värdet av z. Mat 1 α, nov 99:7 Enkla olikheter 8 78. För vilka reella tal x är x+1 2 79. För vilka reella tal x är 2x+1 2 80. För vilka reella x är 2x x+4 ≤ x+4 x+1 ? Mat 1 α, okt 04:2 81. För vilka reella x är x+1 x+4 ≥ x+4 2x ? Mat 1 α, nov 04:2 82. För vilka reella tal x är x2 −1 2x 83. För vilka reella tal x är x x−1 > > > ≥ 2x x+1 ? 2x2 2x+1 ? 2x ? 1−x2 x−1 x ? Mat 1 A, okt 97:1 Mat 1 A, nov 97:1 Mat 1 α, okt 98:1 Mat 1 α, nov 98:2 84. 85. Lös olikheten 2 1 1 < + . x x−1 x+1 Lös olikheten 1 1 2 − . < 2 x x−1 x+1 Mat 1 α, nov 99:2 Mat 1 α, nov 99:2 Enkla gränsvärden 86. Beräkna lim x→0 √ √ 1 + 2x − 1 − sin x . x Mat 1 A, mar 96:2 87. Beräkna ln(1 + sin 3x) . x→0 x lim Mat 1 α, nov 00:3 88. 89. Beräkna √ x2 + 5 − x . lim √ x→∞ x2 + 2 − x Beräkna x √ . x→0 ex − 2 − e2x Mat 1 A, apr 96:2 lim 90. Beräkna gränsvärdet av √ x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1 − (x2 + 1) x både då x → ∞ och då x → 0. 91. 92. Mat 1 A, aug 96:2 Mat 1 A, mar 97:2 Beräkna gränsvärdet av √ x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 1 − (x2 + 1) x både då x → ∞ och då x → 0. q 2 Sätt f (x) = x 1 + | lnxx| då x > 0. Mat 1 A, apr 97:2 a) Hur skall f (0) definieras för att f (x) skall bli kontinuerlig då x ≥ 0? b) Beräkna högerderivatan f+′ (0) av funktionen f . Mat 1 α, okt 02:6 93. Sätt f (x) = x2 1 + q | ln x| x då x > 0. 9 a) b) c) d) Hur skall f (0) definieras för att f (x) skall bli kontinuerlig då x ≥ 0? Beräkna högerderivatan f+′ (0). Undersök om derivatan f ′ (x) är kontinuerlig då 0 ≤ x < 1. Är f (x) deriverbar då x = 1? Mat 1 α, nov 02:7 94. Funktionen f defineras på R genom f (0) = 0 och f (x) = 1 − cos x för x 6= 0. x För x 6= 0 är f uppenbarligen deriverbar, såsom kvot av elementära funktioner. Visa att f är deriverbar även i origo, och att derivatan f ′ är kontinuerlig där. Mat 1 A, apr 98:7 95. Bestäm den sneda asymptoten då x → ±∞ till funktionen f (x) = x3 + 2x2 + 3x + 4 . x2 + 1 Bestäm också de x för vilka kurvan y = f (x) ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, mar 04:2 96. Bestäm den sneda asymptoten då x → ±∞ till funktionen x3 + 2x2 + 3x . x2 + 1 f (x) = Bestäm också de x för vilka kurvan y = f (x) ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, apr 04:2 97. Bestäm den sneda asymptoten då x → ±∞ till funktionen f (x) = x3 + 12x + 2 . x2 + 1 Bestäm också de x för vilka kurvan y = f (x) ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, aug 04:2 98. Visa att kurvan y= p x2 + x + 1 har en asymptot då x → ∞ och ange en ekvation för den. 99. Visa att kurvan y= p x2 − 3x + 2 har en asymptot då x → −∞ och ange en ekvation för den. 100. Mat 1 α, mar 00:3 Mat 1 α, apr 00:3 Ange samtliga asymptoter till kurvan y= x3 + x2 + sin x . x2 − x Mat 1 α, aug 00:5 10 101. Visa att talföljden (an )∞ n=1 är konvergent och beräkna dess gränsvärde, då 2n X an = k=n+1 n4 + k . 4n5 + k2 Mat 1 A, mar 98:6 √ 102. En talföljd (an )∞ n=0 definieras genom a0 = 1 och an+1 = följden är konvergent och beräkna dess gränsvärde. 103. Låt a och b vara två reella tal sådana att 0 < a ≤ b. Definiera talföljderna (an )∞ 0 och (bn )∞ 0 genom a0 = a, b0 = b och an+1 = 2an bn an + bn och bn+1 = 3an för n ≥ 0. Visa att Mat 1 A, apr 98:4 an + bn . 2 Visa först att för n = 0, 1, 2, . . . är 0 < an ≤ bn , bn+1 ≤ bn , an bn = ab och an+1 ≥ an √ och sedan att talföljderna båda konvergerar mot det gemensamma gränsvärdet ab. Mat 1α, okt 04:7 104. Låt a och b vara två reella tal sådana att 0 < a ≤ b. Definiera talföljderna (an )∞ 0 och (bn )∞ 0 genom a0 = a, b0 = b och an+1 = 2an bn an + bn och bn+1 = an + bn . 2 Visa att för n = 0, 1, 2, . . . är √ √ b− a an = och bn = med 0 < q < √ √ < 1, b+ a √ ∞ och därmed att talföljderna (an )∞ 0 och (bn )0 båda konvergerar mot ab. Visa sedan att √ √ ab = an + en där 0 < en < 2 ab q 2n . √ 1 − q 2n ab 1 + q 2n √ 1 + q 2n ab 1 − q 2n Anm. Speciellt ger detta med startvärdena a = 1/5, b = 1/4 att √ √ n 1 n 1 5/10 = an + en där 0 < en < · 17−2 < · 10−2 . 2 2 √ 5/10 med ett fel Som exempel, för n = 5 innebär detta att a5 underskattar √ e5 < 21 · 10−32 . Alltså ger a5 en approximation av 5/10 med minst 32 korrekta decimaler. Nästa värde a6 ger minst 64 korrekta decimaler (så kallas kvadratisk konvergens!). Mat 1α, nov 04:6 ab = Användning av derivator 105. x 1 Låt f (x) = arctan x−1 − arctan 2x−1 . a) Beräkna f ′ (x). b) Bestäm limx→1+ f (x) respektive limx→1− f (x) 11 c) Vad är f (x) då x < 12 , 1 2 < x < 1 respektive x > 1? Analys 1, dec 94:5 106. Visa att x2 − 1 = 2 arctan x + C då x > 0 2x där C är en konstant. Bestäm också konstantens värde. Analys 1, aug 89:3 arctan 107. Visa att den kontinuerliga funktionen f (x) = 2 arctan(x + p x2 − 1) + arcsin 1 x är konstant då x ≥ 1 genom att beräkna derivatan f ′ (x) då x > 1. Bestäm √ sedan det konstanta värdet och ange slutligen det exakta värdet av arctan(2 + 3). Mat 1 α, mar 04:4 108. Visa att den kontinuerliga funktionen p p f (x) = 2 arctan(x − x2 − 1) + arctan x2 − 1 är konstant då x ≥ 1 genom att beräkna derivatan f ′ (x) då x > 1. Bestäm √ sedan det konstanta värdet och ange slutligen det exakta värdet av arctan(2 − 3). Mat 1 α, apr 04:4 109. Bestäm först en ekvation för tangenten till kurvan y = x2 i punkten (a, a2 ) och därefter en ekvation för tangenten till kurvan y = x1 i punkten (b, 1b ), b 6= 0. Bestäm sedan värden på a och b så att de betraktade tangenterna sammanfaller och ange en ekvation för den linje som tangerar de båda kurvorna. Mat 1 α, mar 03:6 110. Kurvorna y = 3x2 och y = 4x3 har förutom x-axeln ytterligare en gemensam tangent. Bestäm dennas ekvation. Mat 1 A, aug 98:6 111. Det finns en linje som tangerar kurvan y = x + 2x2 − x4 i två olika punkter. Bestäm en ekvation för denna linje. 112. Rita kurvan y = x − 11 arctan x + 3 ln 113. p Mat 1 α, apr 03:7 1 + x2 . Analys 1, aug 96:4 Undersök funktionen f (x) = x3 − ln(1 + x2 ), x ∈ R 1 + x2 med avseende på lokala extrempunkter samt skissera dess graf. Mat 1 A, apr 96:3 114. Rita grafen till funktionen f (x) = x − x2/3 på intervallet [−1, 2]. Ange samtliga lokala extrempunkter, samt var funktionen är konvex eller konkav på intervallet. Mat 1 α, dec 98:4 12 115. Rita kurvan x3 − 2 arctan x. 1 + x2 Ange eventuella asymptoter, lokala extremvärden och intervall där kurvan är konvex eller konkav. Mat 1 α, okt 98:5 y= 116. Rita kurvan y = 3 arctan x + 2 ln(1 + x2 ). Ange särskilt eventuella asymptoter och lokala extremvärden samt var kurvan är konvex och var den är konkav. Mat 1 α, mar 99:5 117. Rita kurvan x − 1. 2 Ange särskilt eventuella asymptoter, lokal extremvärden och inflexionspunkter. Mat 1 α, nov 98:5 y= 118. p x2 + 12 − Rita kurvan ex − x2 . ex + x2 Ange särskilt eventuella asymptoter och lokala extrempunkter. y= Mat 1 α, nov 03:4 119. Skissera grafen till funktionen f (x) = x2 − 2x . x2 + 2x Ange särskilt lokala extrempunkter, ungefärliga skärningar med x-axeln samt eventuella asymptoter. Analys 1, jan 96:7 120. 1 . Ange särskilt eventuella lokala Rita kurvan y = 21 ln(2x2 − 2x + 1) + arctan 2x−1 extrempunkter och asymptoter. Analys 1, maj 95:5 121. Rita kurvan 5 4 x5 − 5x + 4 g(x) + 2 = = 2 , x x x2 x genom att i tur och ordning visa att y = f (x) = x3 − a) y-axeln är lodrät asymptot, b) f (x) är strängt växande då x < 0, c) g(x), och därmed f (x), har precis ett nollställe mellan −2 och −1, d) f ′ (x) = (x−1)h(x) , där h(x) = 3x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 8 > 0 då x > 0, x3 e) f (x) har ett lokalt minimum lika med 0 då x = 1. Mat 1 α, okt 02:5 122. Rita kurvan y = f (x) = x + 8 x5 + 8 = , x4 x4 genom att i tur och ordning visa att a) y-axeln är lodrät asymptot, b) y = x är sned asymptot då x → ±∞, 13 c) f (x) är strängt växande då x < 0, d) f (x) har ett lokalt minimum då x = 2, e) f (x) är konvex då x < 0 och då x > 0 Mat 1 α, nov 02:5 123. a) Rita kurvan 4 x. 3 b) Ange en ekvation för tangenten i punkten (a, f (a)) till kurvan. c) Bestäm alla skärningspunkter mellan tangenten och kurvan. d) För vilka a är tangenten också normal till kurvan? Mat 1 α, mar 01:6 y = f (x) = x3 − 124. a) Ange en ekvation för tangenten i punkten (a, f (a)) till kurvan y = f (x) = x4 − 8x2 + 12x. b) Visa att x-koordinaten för eventuella skärningar, förutom x = a, mellan denna tangent och kurvan ges av x2 + 2ax + 3a2 − 8 = 0. c) Bestäm för alla reella a antalet skärningspunkter mellan tangenten i (a, f (a)) och kurvan y = f (x). Mat 1 α, apr 01:7 125. a) Visa att y = x är en sned asymptot till den udda funktionen √ x8 + x6 − 2x4 + 1 , x 6= 0 f (x) = x3 både då x → ∞ och då x → ∞. b) Bestäm antalet skärningar mellan asymptoten y = x och kurvan y = f (x). Mat 1 α, okt 04:4 126. a) Visa att den jämna funktionen r r r 2 1 2 1 x8 + x6 − 2x4 + 1 2+1− x x − g(x) = = + = +1 x6 x2 x6 x3 för x 6= 0 har derivatan g′ (x) = (x4 − 1)(x4 + 3) . x7 g(x) b) Rita kurvan y = g(x) med angivande av samtliga asymptoter. Mat 1 α, okt 04:5 127. a) Visa att y = x + 1 är en sned asymptot till funktionen √ x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 f (x) = , x 6= 0 x både då x → ∞ och då x → −∞. 14 b) Bestäm antalet skärningar mellan asymptoten y = x + 1 och kurvan y = f (x). Mat 1 α, nov 04:4 128. a) Visa att r r √ 1 x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 2 = = x2 + 2x + 3 + + 2 g(x) = 2 |x| x x x för x 6= 0 har derivatan g′ (x) = (x3 − 1)(x + 1) . x3 g(x) b) Rita kurvan y = g(x) med angivande av samtliga asymptoter. Mat 1 α, nov 04:5 129. En talföljd (an )∞ n=0 definieras genom a0 = 1 och an+1 = 3an 1 + an för n = 0, 1, 2, . . . . Visa att följden är konvergent och bestäm limn→∞ an . 130. Talföljden (an )∞ n=0 definieras genom a0 = 1 och r a2 an+1 = 1 + n n = 0, 1, 2, . . . . 2 Visa att följden är konvergent och bestäm limn→∞ an . 131. Analys 1, dec 91:4 Analys 1, jun 92:4 Låt funktionen f vara kontinuerlig i det kompakta intervallet [a, b] och sådan att a < f (x) < x då a < x ≤ b. Definiera talföljden (an )∞ n=0 genom a0 = b och an+1 = f (an ) för n = 0, 1, 2, . . . . Visa att 1. an konvergerar mot a då n → ∞. 2. 0 < an+1 − a ≤ k(an − a) då an − a ≤ δ, om f dessutom är deriverbar och f ′ (x) ≤ k då a≤x≤a+δ för något δ > 0 med a + δ ≤ b. Analys 1, dec 93:8 132. p 7 + a2n − 1 för n = 0, 1, 2, . . . . Talföljden (an )∞ n=0 definieras av a0 = 0 och an+1 = Visa att följden är konvergent och beräkna dess gränsvärde. Analys 1,dec 92:6 133. a) Talföljden (an )∞ 1 ges av an+1 = 2 + √ 1 an , a1 = . 9 Visa att följden konvergerar och bestäm gränsvärdet. 15 b) Vad händer om vi istället väljer a1 = 9? Analys 1, dec 88:6 134. Definiera talföljden (an )∞ n=0 genom a0 = 1, och an+1 = p an a2n + b då n = 0, 1, 2, . . . , där b är en konstant, |b| < 1. Visa att talföljden konvergerar och bestäm dess gränsvärde. Analys 1, jun 91:8 135. Visa att talföljden (an )∞ 0 , definierad genom a0 = 1, och an+1 = 1 + a2n n = 0, 1, 2, . . . , 4an är konvergent och bestäm gränsvärdet. (Studera an för udda och för jämna n.) Analys 1, aug 94:8 136. Visa att x2 + 18 ln x + 11 > 12x då x > 1. Analys 1, nov 96:1 137. För vilka värden på den reella konstanten a gäller att x3 − 5x2 + 3x + 13 ≥ a för alla x ≥ 0? Analys 1, nov 96:2 138. Visa att x> ex − 1 ex + 1 då x > 0. Analys 1, aug 94:3 139. Visa att ln x ≥ x−1 då x ≥ 1. x+1 Mat 1 α, apr 99:3 140. Visa att ln(1 + x) ≤ x x + då x ≥ 0. 2 2(1 + x) Mat 1 α, aug 99:3 141. Visa att sin x + tan x > 2x då 0 < x < π . 2 Mat 1 α, apr 02:6 142. Visa att arctan x > x för x > 0. 1 + x2 /3 Analys 1, maj 94:2 16 143. Visa att sin x tan x + 2 ln cos x > 0 då 0 < x < π . 2 Analys 1, dec 93:3 144. Visa att tan x + ln(cos2 x) > 0 då 0 < x < π . 2 Analys 1, dec 90:4 145. Visa att 2xex < e2x − 1 för x > 0. Analys 1, dec 90:7 146. Visa att 1 1 2 < arctan < x+1 x x+1 då x > 0. Analys 1, jun 88:3 147. Visa att funktionen 1 −1 1 − x+ ln 1 + x 2 är avtagande för x > 0 och att 1 x+ 12 , e< 1+ x då x > 0. Analys 1, jan 85:3 148. Visa att funktionen 1 (x2 + x)−1/2 − ln 1 + x är strängt avtagande för x > 0 och att √ 1 x2 +x < e. 1+ x Analys 1, dec 86:3 149. Visa att √ 1 x2 +x+1/12 e< 1+ då x > 0. x Analys 1, jan 87:8 150. Visa att om x > 0 så är ln(x + 1) − ln x = 1 x+θ där 0 < θ < 1 . 2 Analys 1, jan 83:8 151. För vilka värden på den reella konstanten a gäller för något δ > 0 olikheten (1 + x)a > 1 + 3x när 0 < x < δ? Analys 1, jan 94:8 17 152. Bestäm värdemängden till funktionen f (x) = 2 arctan x − ln(1 + x2 ), x ∈ R. Mat 1 A, aug 98:1 153. Bestäm värdemängden till funktionen f (x) = 1 π − − arctan x, x 6= 0. 2 x Mat 1 A, mar 98:5 154. Bestäm värdemängden till funktionen f (x) = (x2 + 3x + 3)e−x x ∈ R. Mat 1 α, mar 01:2 155. Vilka värden antar y = (x2 − 3x + 3)ex då x ≥ −1? Mat 1 α, apr 01:2 156. Vilka värden antar y = (x2 + 3x + 3)e−x då x ≥ −1? Mat 1 α, aug 01:2 157. Vilka värden antar y = (x2 − 3x + 3)ex då x≤ 3 ? 2 Mat 1 α, nov 04:3 158. Vilka värden antar y = 2x + 159. p 81 − x2 då 0 < x < 9? Mat 1 A, apr 97:3 Bestäm största och minsta värde av funktionen f (x) = |x3 − 3x − 2| på intervallet [0, 3] Mat 1 A, mar 98:1 160. En rektangel har ena sidan på x-axeln och de två återstående hörnen på enhetscirkeln. Bestäm största möjliga värde på rektangelns area. Mat 1 A, nov 96:2 161. En rektangel har ena sidan på x-axeln och de två återstående hörnen på enhetscirkeln. Vilka värden kan rektangelns omkrets antaga? Mat 1 A, mar 97:4 162. Tangenten till kurvan y = 2e−x + 1, i en punkt P på kurvan, avgränsar tillsammans med x-axeln och den lodräta linjen genom P ett triangulärt område. Bestäm P så att arean av detta område blir så liten som möjligt. Mat 1 α, apr 99:7 18 163. Normalen till kurvan 1 cosh x i den punkt (x, y) på kurvan där x = a, linjen x = a och x-axeln avgränsar tillsammans ett triangulärt område. Ange a > 0 så att detta får största möjliga area. Vi påminner om att y= 2 cosh x = ex + e−x , 2 sinh x = ex − e−x . Analys 1, maj 96:7 164. Låt a och b vara positiva tal. Bestäm längden av den kortaste sträcka som går genom origo och har sin ena ändpunkt på linjen x = a och sin andra på linjen y = b. Mat 1 α, okt 01:7 165. Bestäm längden av den kortaste sträcka som går genom origo och har sin ena ändpunkt på linjen y = 2 − x2 och sin andra på linjen x = −3. Mat 1 α, nov 01:7 166. I ett koordinatsystem är A = (0, 1) och B = (0, 2). Var på positiva x-axeln ska punkten P ligga för att vinkeln AP B ska bli maximal? Analys 1, maj 92:7 167. Bestäm antalet reella rötter till ekvationen 1 = 4. (x + 1)2 2 arctan x + Analys 1, jun 91:3 168. Bestäm antalet reella rötter till ekvationen arctan x + 1 = 1. x+2 Mat 1 α, okt 01:4 169. Ange antalet reella rötter till ekvationen arctan x + 1−x 4 = . 2 1+x 5 Mat 1 α, apr 00:5 170. Ange antalet reella rötter till ekvationen 2 ln |x| − x = 0. 1−x Mat 1 A, aug 96:4 171. Hur många gemensamma punkter har kurvan y = x3 − 16x − 21 med parabeln y = x2 ? 172. Analys 1, dec 86:4 −3x2 +4x Bestäm antalet lösningar till ekvationen x2 e 1 . a = 81 1 = a både då a = 18 och då Mat 1 A, okt 97:4 19 173. För vilka värden på den reella konstanten a saknar ekvationen 3x2 −4x−2 ln |x| = a reella lösningar? Mat 1 A, nov 97:4 174. Låt p(x) vara ett reellt polynom av grad n. Visa att ekvationerna p(x) = ln x, x>0 och p(x) = ln |x|, har högst n + 1 respektive n + 2 reella rötter. 175. x 6= 0 Analys 1, jan 96:8 Hur många lösningar har ekvationen ex + x =k ex − x för olika val av den reella konstanten k? 176. Analys 1, jan 83:2 Bestäm antalet rella rötter till ekvationen ex = x + a för alla reella värden på konstanten a. 177. Mat 1 α, nov 00:4 Bestäm för varje värde på det reella talet a antalet lösningar till ekvationen ln x = a, x2 x > 0. Mat 1 α, apr 03:5 178. Hur många lösningar har ekvationen x4 − kx3 + 5x2 − 4 =0 3 för olika k-värden? Analys 1, dec 89:4 179. Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet skärningspunkter mellan kurvan y = x3 + 7x − 3 och parabeln y = ax2 . Analys 1, maj 90:6 180. Rita kurvan y = f (x) = x3 + 2x2 + 3x + 4 . x2 + 1 Ange också i vilka intervall kurvan är konvex eller konkav. 181. För vilka reella a är funktionen y = f (x) = x3 + 2x2 + 3x + a . x2 + 1 växande på hela reella axeln? 182. Rita kurvan y = f (x) = Mat 1 α, mar 04:7 x3 + 2x2 + 3x . x2 + 1 Ange också i vilka intervall kurvan är konvex eller konkav. 20 Mat 1 α, mar 04:5 Mat 1 α, apr 04:5 183. För vilka reella a är funktionen y = f (x) = x3 + 2x2 + ax . x2 + 1 växande på hela reella axeln? 184. Mat 1 α, apr 04:7 Rita kurvan x3 + 12x + 2 . x2 + 1 Ange också i vilka intervall kurvan är konvex eller konkav. y = f (x) = 185. För vilka positiva a är funktionen x3 + 12x + 2 . x2 + a y = f (x) = växande på hela reella axeln? 186. Mat 1 α, aug 04:7 För vilka värden på den reella konstanten a är funktionen x2 + a|x| |x| + 1 f (x) = konvex på hela reella axeln? 187. Mat 1 A, mar 97:7 För vilka värden på den reella konstanten a är funktionen f (x) = x2 + ax |x| + 1 konvex på hela reella axeln? 188. Mat 1 α, aug 04:5 Mat 1 A, apr 97:6 Ange för varje värde på den positiva konstanten a antalet punkter på kurvan y= 4x ln x √ 3 som har avståndet a till origo i ett ortonormerat koordinatsystem. Analys 1, jun 93:7 189. Hur många lokala extrempunkter har funktionen f (x) = x2 + ax + 1 , x 6= 0 x för olika val av den reella konstanten a? 190. Analys 1, jan 85:5 Bestäm för varje värde på konstanten a antalet lokala extremvärden till kurvan y = (x2 + 1) arctan x + ax2 . Analys 1, maj 89:8 191. a) Ange tangenten till kurvan y= 1 1 + x2 i den punkt på kurvan där x = a. 21 b) För vilka värden på b skär en tangent till kurvan y-axeln i den punkt där b = 0? Analys 1, aug 89:6 192. Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet tangenter till kurvan y = xe−x 2 som skär x-axeln då x = a. Analys 1, jun 90:8 193. Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet linjer som går genom punkten (0, a) och tangerar kurvan y = ln(2 + x2 ) i någon punkt. Mat 1 α, nov 03:7 194. Genom vilka punkter på y-axeln går det precis en tangent till kurvan y= ln x ? x Mat 1 α, aug 03:7 195. Genom vilka punkter på x-axeln går det precis två tangenter till kurvan 2 y = xe−x ? Mat 1 α, nov 98:7 196. a) Rita kurvan y = x ln x, x > 0. b) Ange normalen till kurvan i punkten (a, a ln a), a > 0. c) Bestäm för varje punkt (k, 0) på x-axeln antalet normaler som går genom denna punkt. Analys 1, maj 88:6 197. Genom vilken punkt på y-axeln går precis tre normaler till kurvan y = x4 ? Analys 1, aug 96:7 198. Låt f vara en konvex funktion, definierad för x ≥ 0, och antag att f (0) ≤ 0. Visa att om funktionen g definieras för x > 0 genom g(x) = f (x) x så är g växande för x > 0. 22 Svar 1. a) 3, b) 3. 2. a) 3. a) Lösning saknas. b) x = 4 + 9n, y = −11 − 25n där n ∈ Z. 4. x = 117 − 23n, y = −91 + 18n där n ∈ Z. 5. x = 230 + 135n, y = 540 + 317n där n ∈ Z. 6. x = 3 + 11n, y = 5 + 19n där n ∈ Z. 7. x = −244 + 19n, y = 183 − 14n där n ∈ Z. Den enda positiva lösningen är (x, y) = (3, 1). 8. Lösningarna är (8, 2), (−8, 2), (8, −2), (−8, −2), (4, 5), (−4, 5), (4, −5) och (−4, −5). 9. Lösningarna är (9, 11), (−9, 11), (9, −11), (−9, −11), (12, 8), (−12, 8), (12, −8) och (−12, −8). 53 74 , b) 47 delar inte 161. 10. x = −217 + 298n, y = 10 − 13n, z = −5 + 7n, n ∈ Z. 11. c = 14. Lösningarna är (x, y) = (−5 + 11n, −7n), n ∈ Z. 20. 1170 stycken. 21. a) Halvplanet ovanför och på linjen Re z + Im z = 0. 33 b) 2 2 . c) 5π 12 . 22. −299 . 23. Högra halvan av den slutna cirkelskivan med medelpunkt 2 och radie 2. arg z varierar i intervallet [− π4 , π4 ]. √ Sluten cirkelskiva med medelpunkt 2−i och radie 1. Största värdet av |z| är 1+ 5. √ √ 7π Sluten sträcka med ändpunkter −3 − i 3 och −3 + i 3. 5π 6 ≤ arg z ≤ 6 . √ √ Öppen sträcka med ändpunkter − 3 + i och 3 + i. π6 < arg z < 5π 6 . 24. 25. 26. 27. 28. Sluten cirkelskiva med medelpunkt −1 + i och radie 1. π2 ≤ arg z ≤ π. √ √ Sluten cirkelskiva med medelpunkt 1 − i och radie 1. 2 − 1 ≤ |z| ≤ 2 + 1. 29. −1 ≤ Im z ≤ 12 . 30. arg z = 31. 32. √ π 5π π 12 eller 12 . tan 12 = 2 − 3. √ √ 3+1 ◦ + i 3−1 2 2 . Argumentet är 15 . cos π 10 = q √ 5+ 5 8 . 23 36. 38. Uttrycket är rent imaginärt om och endast om |Re z| = |Im z|. √ Medelpunkt 1 + 2i, radie 3. 40. Rötterna är 2 + i och 1 + i. 41. Rötterna är −2 + i och 1 + 5i. 42. A = 4 + 2i. Rötterna är 3 − i och 1 + i 43. Rötterna är i och ± 23 − 2i . √ √ π π π π w = 2ei( 8 +k· 2 ) eller w = 2ei( 4 +k· 2 ) , k = 0, 1, 2, 3. z = 4i eller z = −4 = 4eiπ . 44. √ 45. ±(2 + i) och ±(1 + 2i). 46. x2 − 2x + 1 47. x2 + 4x + 4. 48. x + 1. 49. x + 1. 50. x + 4. 51. x. 52. 1 3 4 (z 53. 2z 2 + z + 1. 54. a) 3. 55. 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, . . ., dvs för alla positiva heltal som inte är av formen 4k + 2. √ (2k+1)π Rötterna är 0, 2 och 3 2ei 3 , k = 0, 1, 2. 56. 57. + 5z 2 − 3z + 5). b) z 3 + 2. Den första ekvationen har dubbelrötterna − 21 ± − 21 ± √ 7 2 i och ±i. 58. Rötterna är 1, 2 + i och −4 + 3i. 59. z1 = −i, z2 = 2 − i, z3 = 1 + i. 60. Övriga rötter är 2 + i och 1 + i. 61. De två övriga rötterna är −1 + 3i och 3 − i. 62. Rötterna är 1, 2, 3 och i. 63. Rötterna är −1 ± 2i och 1 ± 64. Rötterna är 3 + 5i, 3 − 5i, 1 + 2i och 1 − 2i 65. Rötterna är 1 ± i och 2 ± i. 66. Rötterna är 1, 1 ± i och 2 ± 3i. 24 √ 3. √ 7 2 i, den andra har enkelrötterna 67. Rötterna är 4, 2 − i och −1 − 2i. 68. Rötterna är −4i, −1 − 2i och −2 + i. 69. Rötterna är 1 och 2e( 6 + 3 ) , n = 0, 1, 2. √ √ z1,2 = −2 ± 3, z3,4 = 1±i2 3 . 70. 71. 72. 73. π z1,2 = 2 ± √ 2nπ √ −1±i 3 . 2 3, z3,4 = √ 2, z3,4 = 2 ± 5. √ 3π π Rötterna är ±i och 8 2ei(± 16 +k· 2 ) , k = o, 1, 2, 3.. z1,2 = 1 ± √ √ √ −1± 5 1±i 7 och . 2 2 √ √ 3 1±i 15 och −1±i 2 2 74. Nollställena till p är 75. Nollställena till p är 76. t = 1. 77. z har värdet 1 + 3i. 78. x > −1 och x 6= 1. 79. x < − 12 eller x > − 41 . 80. −4 < x ≤ −2 eller −1 < x ≤ 8. 81. x ≥ 8 eller −2 ≤ x < 0 eller x < −4. 82. x > 1 eller −1 < x < 0. 83. 0<x≤ 84. x > 1 eller −1 < x < 0. 85. x > 1 eller x < −1. 86. 3 2. 87. 3. 88. 5 2. 89. 1 2. 90. Gränsvärdet är 2 då x → ∞ och 1 då x → 0. 91. Gränsvärdet är 1 då x → ∞ och 2 då x → 0. 92. f (0) = 0, f+′ (0) = 0. 93. a) f (0) = 0 c) f ′ är kontinuerlig på [0, 1). 95. Asymptot y = x + 2 då x → ±∞. Grafen ligger ovanför asymptoten då x > −1. 96. Asymptot y = x + 2 då x → ±∞. Grafen ligger ovanför asymptoten då x > 1. 1 2 eller x > 1. b) f+′ (0) = 0 d) f är inte deriverbar i 1. 25 97. 2 Asymptot y = x då x → ±∞. Grafen ligger ovanför asymptoten då x > − 11 . 98. y = x + 12 . 99. x + y = 23 . 100. y = x + 2 och x = 1. 101. limn→∞ an = 14 . 102. limn→∞ an = 3. 105. a) 0. 106. C = − π2 . 107. 3) = 5π 12 . √ π f (x) ≡ π2 , arctan(2 − 3) = 12 . 108. b) f (x) ≡ π, arctan(2 + π 4 resp. − 3π 4 . c) π 4, − 3π 4 resp π 4. √ 109. a = −2, b = − 12 . 110. 16x − 3y = 111. y = x + 1. 113. Lokal minimipunkt (1, 12 − ln 2), lokal maximipunkt (0, 0). 114. 8 4 Lokala minimipunkter (−1, −2) och ( 27 , − 27 ). Lokala maximipunkter (0, 0) och 2/3 (2, 2 − 2 ), funktionen är konvex i [−1, 0] och i [0, 2]. 115. π−1 Lokal minimipunkt (1, − π−1 2 ). Lokal maximipunkt (−1, 2 ). Asymptoter y = x−π då x → ∞ och y = x + π då x → −∞. 116. Lokalt minimum i (− 43 , −3 arctan 43 + 2 ln 25 16 ). Funktionen är konkav i (−∞, −2] och 1 1 i [ 2 , ∞), konvex i [−2, 2 ]. Asymptoter saknas. 117. y = x2 − 1 är asymptot då x → ∞, y = − 3x 2 − 1 är asymptot då x → −∞. Lokalt minimum (2, 2). Inflexionspunkter saknas, kurvan är konvex. 118. Asymptoter är linjerna y = 1 och y = −1. Maximum i (0, 1) och lokalt minimum i 2 −4 (2, ee2 +4 ). 119. ln 2) då x = ln22 . Tre skärningar Lokalt minimum −1 då x = 0, lokalt maximum 4−(e 4+(e ln 2)2 med x-axeln: x1 = 4, x2 = 2 och x3 mellan −1 och 0. Asymptoter y = −1 då x → ∞ och y = 1 då x → −∞. 120. Lokalt minimivärde 123. b) y = a3 − 43 a + (3a2 − 34 )(x − a). c) Skärningspunkterna är (a, f (a)) och (−2a, f (−2a)). 64 9 . 2 d) För a = ± 124. 26 π 4 då x = 1 asymptoter saknas. √ 10 6 . a) y = f (a) + f ′ (a)(x − a). c) En skärningspunkt då |a| > 2, två då |a| = 2 eller |a| = √2 , 3 tre för övrigt. 125. b) Fyra skärningspunkter. 126. b) Asymptoter y = x då x → ∞ och y = −x då x → −∞. q Minimipunkter (±1, 1). Kurvan skär asymptoterna då x = ±1 och då x = √ 1+ 5 2 . 127. b) Inga skärningspunkter. 128. b) Asymptoter y = x + 1 då x → ∞ och y = −x − 1. Vidare är x = 0 lodrät asymptot. Kurvan skär inte någon av asymptoterna. Lokala minimipunkter är (−1, 1) och (1, 3). 129. 130. limn→∞ an = 2. √ limn→∞ an = 2. 132. limn→∞ an = 3. 133. a) limn→∞ an = 4 (följden är växande). b) limn→∞ an = 4 (följden är avtagande). √ limn→∞ an = 1 − b. 134. √1 . 3 135. limn→∞ an = 137. a ≤ 4. 151. a ≥ 3. 152. f (x) ≤ 153. f (x) < 0 eller f (x) > π. 154. f (x) > 0. 155. y ≥ 7e . (Observera att 156. 0 < y ≤ 3. 157. 0 < y ≤ 34 e3/2 . (Observera att 43 e3/2 > 3 ⇔ e3/2 > 4 ⇔ e3 > 16 vilket är sant eftersom e3 > 7e > 7 · 2, 5 = 17, 5 > 16). √ 9 < y ≤ 9 5. 158. π 2 − ln 2. 159. 16 resp. 0. 160. 1. 161. √ 2 < omkretsen ≤ 2 5. 162. P = (ln 2, 2). 163. a= 164. (a2/3 + b2/3 )3/2 . 165. √ 5 5 2 . 166. x= 1 2 7 e < e, ty e2 > (2, 7)2 = 7, 29 > 7.) ln 3. √ 2. 27 167. Två. 168. Två. 169. Tre. 170. En. 171. En. 172. Två då a = 173. a < −1. 175. Två om 1 < k < k1 , en om −1 < k ≤ 1 eller k = k1 , ingen om k ≤ −1 eller k > k1 , där k1 = e+1 e−1 . 176. Inga om a < 1, en om a = 1 och två om a > 1. 177. Ingen lösning om a > 1 . 0 < a < 2e 178. Två då |k| > k1 eller |k| < k2 , tre då |k| = k1 eller k2 och fyra då k2 < |k| < k1 . 13 Här är k1 = 14 3 och k2 = 3 . 179. En om a > a1 eller a3 < a < a2 , två om a = a1 eller a2 eller a3 , tre om a2 < a < a1 17 eller a < a3 , där a1 = 5, a2 = 19 4 och a3 = − 3 . 180. Funktionen f är strängt växande på √ hela R med en√terrasspunkt (1, 5), vidare är f konvex för x ≥ 1 och för −2 − 3 ≤ x ≤ −2 + 3. Funktionen är konkav för √ √ x ≤ −2 − 3 och för −2 + 3 ≤ x ≤ 1. Dessutom ligger kurvan y = f (x) över sin asymptot y = x + 2 (jämför uppg. 95!) precis då x > −1. 181. 0 ≤ a ≤ 4. 182. Funktionen f är strängt växande på hela R med en √ terrasspunkt (−1, −1), vidare √ är f konvex för x ≥√2 + 3 och för√−1 ≤ x ≤ 2 − 3. Funktionen är konkav för x ≤ −1 och för 2 − 3 ≤ x ≤ 2 + 3. Dessutom ligger kurvan y = f (x) över sin asymptot y = x + 2 (jämför uppg. 96!) precis då x > 1. 183. a = 3. 184. Funktionen f är strängt växande då x ≤ 1 (terrasspunkt i (−2, −6)), strängt avtagande då 1 ≤ x ≤ 3 och strängt växande då x ≤ 3. Det lokala maximivärdet i minimivärdet i 3 är 65 för x ≤ −2 x = 1 är 15 2√ och det lokala 10 . Vidare är f konkav √ √ 1 18 och fyra då a = 18. 1 2e , en lösning om a = 1 2e eller om a ≤ 0, två lösningar om 8− 75 ≤ x ≤ 8+11 75 . Funktionen är konvex för −2 ≤ x ≤ 8−11 75 √ 11 x ≤ 8+11 75 . Dessutom ligger kurvan y = f (x) ovanför sin asymptot y = x 2 uppg. 97!) precis då x > − 11 . och för 185. a ≥ 53 . 186. 0 ≤ a ≤ 1. 187. −1 ≤ a ≤ 1. 28 och för (jämför 188. En då 0 < a < a1 eller a > a2 , två då a = a1 eller a = a2 , tre då a1 < a < a2 . Här är a1 = √23 e−1/4 och a2 = 2e−3/4 . 189. Tre om a > 3, en om a ≤ 3. 190. Inget då |a| ≤ a1 , ett då |a| ≥ a2 och två då a1 < |a| < a2 . Här är a1 = a2 = π2 . 191. 2a a) y = − (1+a 2 )2 (x − a) + 1 1+a2 π 4 + 1 2 och b) 0 < b ≤ 89 . 3 2 q 3 2. 192. Tre om |a| ≤ a1 , två om |a| = a1 och en om |a| < a1 , där a1 = 193. Två då a > ln 2 eller a = ln 4 − 1, tre då a = ln 2, fyra då ln 4 − 1 < a < ln 2 och ingen då a < ln 4 − 1. 194. (0, 2e−3/2 ) samt (0, y) för y ≤ 0. q x = ± 32 32 . 195. 196. a) Lokalt minimum − 1e då x = 1e . b) x − a + (1 + ln a)(y − a ln a) = 0. c) Ingen då k ≤ 0, en då 0 < k < k1 eller k > k2 , två då k = k1 eller k = k2 och tre då k1 < k < k2 där k1 = 1e och k2 = e32 . 197. y = 43 . 29