3.2 Masscentrum − tyngdpunkt. Beräkningsmetoder Ledningar

3.2 Masscentrum − tyngdpunkt. Beräkningsmetoder
Ledningar
3.8
Den aktuella kroppen kan ses som skillnaden mellan två cirkulära koner.
Ett liknande problem löses i Illustrationsexempel 3.2.3.
3.11
Se Illustrationsexempel 3.2.2.
3.18
Kroppen är sammansatt av en kvarts kon och ett rätvinkligt triangulärt prisma,
vars tyngdpunkter har y-koordinaterna r/π respektive r/3.
3.20
Dela in i tunna cirkelskivor vinkelräta mot z-axeln.
En godtycklig sådan skiva har radien
p
r = R2 − z 2
och tjockleken dz. Skivans tyngdpunkt har z-koordinaten zC = z.
Man finner att elementets volym dV = π(R2 − z 2 )dz.
Segmentets volym
Z
π
V = dV = · · · = h(6R2 − 3Rh − h2 )
3
och
1
z̄ =
V
Z
zdV = . . .
3.21
Använd ekv (3.2.14)
a) Kan delas in i tunna cirkelskivor genom att lägga snitt parallellt med yzplanet.
En sådan skiva har radien y = x2 /a, och dess tyngdpunkt har x-koordinaten
xC = x.
Skivans tjocklek är dx och volymen är dV = πy 2 dx.
Kroppens volym blir V = πa3 /5.
b) Kan delas in i tunna cirkelskivor genom att lägga snitt parallellt med xzplanet. Löses därefter på samma sätt som a).
Kroppens volym blir V = πa3 /2.
3.22
Kan delas in i tunna, horisontella halvcirkelskivor.
En sådan skivas radie är x och dess läge i höjdled är y. För dessa storheter gäller
då sambanden y = x2 /a och dy = 2xdx/a.
Skivans tjocklek är dy och dess volym dV = (πx2 /2)dy.
Skivans tyngdpunkt har koordinaterna xC = 4x/3π och yC = y = x2 /a.
Kroppens volym blir V = πa3 /4 och statiska momenten
Z
4
Syz = xC dV = · · · = a4 ,
15
Z
π 4
Sxz = yC dV = · · · = a .
6
3.24
Vid jämvikt måste kroppens tyngdpunkt ligga rakt under O.
3.25
Kroppens tyngdpunkt måste ligga rakt under P.
Det kan vara lämpligt att lägga in ett koordinatsystem så att axlarna är parallella
med kubernas sidor.
3.26
Glatt kontakt innebär att den mindre cirkelns högsta punkt (horisontell
tangent) sammanfaller med upphängningspunkten. På lodlinjen genom denna
punkt finns kroppens tyngdpunkt. På samma lodlinje finns även den mindre
cirkelns medelpunkt. Det kan vara praktiskt att lägga in ett koordinatsystem
enligt nedanstående figur och beräkna tyngdpunktens koordinater i detta:
x
Tp
Tp
y
3.27
Cirkeltangenten i P är horisontell; kroppens tyngdpunkt ligger rakt under P.
Förslag: Lägg in ett koordinatsystem med x-axeln längs AC och y-axeln genom
B. Om tyngdpunkten skall ligga rakt under P, måste ett visst samband gälla
mellan dess koordinater och vinkeln α.