Tillägg2 till euklidisk 4dimensionell elektromagnetism
Här skriver jag ett litet tillägg till euklidisk 4dimensionell elektromagnetism
som handlar mest om den magnetiska vektorpotentialen.
Axy=∫Bxydy=µ0∬jx(dy)2
Axz=∫Bxzdz=µ0∬jx(dz)2
Axct=∫Bxctcdt=µ0∬jx(cdt)2
Ax=Axy+Axz-Axct=µ0∬jx((dy)2+(dz)2-(cdt)2)
Ayx=∫Byxdx=µ0∬jy(dx)2
Ayz=∫Byzdz=µ0∬jy(dz)2
Ayct=∫Byctcdt=µ0∬jy(cdt)2
Ay=Ayx+Ayz-Ayct=µ0∬jy((dx)2+(dz)2-(cdt)2)
Azx=∫Bzxdx=µ0∬jz(dx)2
Azy=∫Bzydy=µ0∬jz(dy)2
Azct=∫Bzctcdt=µ0∬jz(cdt)2
Az=Azx+Azy-Azct=µ0∬jz((dx)2+(dy)2-(cdt)2)
Usx/c=∫(Esx/c)dx=µ0∬(ρ0vt)(dx)2
Usy/c=∫(Esy/c)dy=µ0∬(ρ0vt)(dy)2
Usz/c=∫(Esz/c)dz=µ0∬(ρ0vt)(dz)2
Us/c=Usx/c+Usy/c+Usz/c=µ0∬(ρ0vt)((dx)2+(dy)2+(dz)2)
A42=Ax2+Ay2+Az2+(Us/c)2
A4=(-Ax;-Ay;-Az;(Us/c))
Där Ax är den magnetiska vektorpotentialen från strömmar i x-led
Axy är den magnetiska vektorpotentialen från strömmar i x-led i yriktningen , Axz är den magnetiska vektorpotentialen från strömmar i x-led i
z-riktningen , Axct är den magnetiska vektorpotentialen från strömmar i x-led
i tidsdimensionen , Ay är den magnetiska vektorpotentialen från strömmar i
y-led , Ayx är den magnetiska vektorpotentialen från strömmar i y-led i xriktningen , Ayz är den magnetiska vektorpotentialen från strömmar i y-led i
z-riktningen , Az är den magnetiska vektorpotentialen från strömmar i z-led ,
Azx är den magnetiska vektorpotentialen från strömmar i z-led i x-riktningen
, Azy är den magnetiska vektorpotentialen från strömmar i z-led i y-
riktningen , Us/c är den elektrostatiska potentialen/c , Usx/c är den
elektrostatiska potentialen/c i x-led , Usy/c är den elektrostatiska
potentialen/c i y-led , Usz/c är den elektrostatiska potentialen/c i z-led , A4 är
den 4dimensionella elektromagnetiska vektorpotentialen.
Φxy=∬Bxydydx=∫Axydx
Φxz=∬Bxzdzdx=∫Axzdx
Φyx=∬Byxdxdy=∫Ayxdy
Φyz=∬Byzdzdy=∫Ayzdy
Φzx=∬Bzxdxdz=∫Azxdz
Φzy=∬Bzydydz=∫Azydz
Där Φxy är det magnetiska flödet från strömmar i x-led i xy-planet , Φxz är det
magnetiska flödet från strömmar i x-led i xz-planet , Φyx är det magnetiska
flödet från strömmar i y-led i xy-planet , Φyz är det magnetiska flödet från
strömmar i y-led i yz-planet , Φzx är det magnetiska flödet från strömmar i
z-led i xz-planet , Φzy är det magnetiska flödet från strömmar i z-led i yzplanet. Bxy är den magnetiska flödestätheten från strömmar i x-led i yriktningen , Bxz är den magnetiska flödestätheten från strömmar i x-led i yriktningen , Byx är den magnetiska flödestätheten från strömmar i y-led i xriktningen , Byz är den magnetiska flödestätheten från strömmar i y-led i zriktningen , Bzx är den magnetiska flödestätheten från strömmar i z-led i zriktningen , Bzy är den magnetiska flödestätheten från strömmar i z-led i yriktningen , Esx/c är det elektrostatiska fältet/c i x-riktningen , Esy/c är det
elektrostatiska fältet/c i y-riktningen , Esz/c är det elektrostatiska fältet/c i zriktningen.
Ux=∫Exdx=∫(d(Usxcdt)/(cdT))-dΦyx/dT-dΦzx/dT=∫(d(Usxcdt)/(cdT))∫(d(Ayxdy)/dT)-∫(d(Azxdz)/dT)=vtUsx/c+∫(dUsx/(cdT))cdt-vyAyx∫(dAyx/dT)dy-vzAzx∫(dAzx/dT)dz=vtµ0∬(ρ0vt)(dx)2+µ0∫(d(∬(ρ0vt)(dx)2)/dT)cdt-vyµ0∬jy(dx)2µ0∫(d(∬jy(dx)2)/dT)dy-vzµ0∬jz(dx)2-µ0∫(d(∬jz(dx)2)/dT)dz
Ux=∫Exdx=∫(d(Usxcdt)/(cdT))-dΦyx/dT-dΦzx/dT=∫(d(Usxcdt)/(cdT))∫(d(Ayxdy)/dT)-∫(d(Azxdz)/dT)=vtUsx/c+∫(dUsx/(cdT))cdt-vyAyx∫(dAyx/dT)dy-vzAzx∫(dAzx/dT)dz=vtµ0∬(ρ0vt)(dx)2+µ0∫(d(∬(ρ0vt)(dx)2)/dT)cdt-vyµ0∬jy(dx)2µ0∫(d(∬jy(dx)2)/dT)dy-vzµ0∬jz(dx)2-µ0∫(d(∬jz(dx)2)/dT)dz
Uy=∫Eydy=∫(d(Usycdt)/(cdT))-dΦxy/dT-dΦzy/dT=∫(d(Usycdt)/(cdT))∫(d(Axydx)/dT)-∫(d(Azydz)/dT)=vtUsy/c+∫(dUsy/(cdT))cdt-vxAxy∫(dAxy/dT)dx-vzAzy∫(dAzy/dT)dz=vtµ0∬(ρ0vt)(dy)2+µ0∫(d(∬(ρ0vt)(dy)2)/dT)cdt-vxµ0∬jx(dy)2µ0∫(d(∬jx(dy)2)/dT)dx-vzµ0∬jz(dy)2-µ0∫(d(∬jz(dy)2)/dT)dz
Uz=∫Ezdz=∫(d(Uszcdt)/(cdT))-dΦxz/dT-dΦyz/dT=∫(d(Uszcdt)/(cdT))∫(d(Axzdx)/dT)-∫(d(Ayzdy)/dT)=vtUsz/c+∫(dUsz/(cdT))cdt-vxAxz∫(dAxz/dT)dx-vyAyz-∫(dAyz/dT)dy=
=vtµ0∬(ρ0vt)(dz)2+µ0∫(d(∬(ρ0vt)(dz)2)/dT)cdt-vxµ0∬jx(dz)2µ0∫(d(∬jx(dz)2)/dT)dx-vyµ0∬jy(dz)2-µ0∫(d(∬jy(dz)2)/dT)dy
Uct=∫Ectcdt=∫(d(Axctdx)/dT)+∫(d(Ayctdy)/dT)+∫(d(Azctdz)/dT)=vxAxct+∫(d
Axct/dT)dx+vyAyct+∫(dAyct/dT)dy+vzAzct+∫(dAzct/dT)dz=vxµ0∬jx(cdt)2+µ0∫
(d(∬jx(cdt)2)/dT)dx+vyµ0∬jy(cdt)2+µ0∫(d(∬jy(cdt)2)/dT)dy+vzµ0∬jz(cdt)2
+µ0∫(d(∬jz(cdt)2)/dT)dz
U=Ux+Uy+Uz+Uct=∫Exdx+∫Eydy+∫Ezdz+∫Ectcdt=∫(d(Uscdt)/(cdT))∫(d(Axdx)/dT)-∫(d(Aydy)/dT)-∫(d(Azdz)/dT)=vtUs/c+∫(dUs/(cdT))cdtvxAx-∫(dAx/dT)dx-vyAy-∫(dAy/dT)dy-vzAz∫(dAz/dT)dz=vtµ0∬(ρ0vt)((dx)2+(dy)2+(dz)2)+µ0∫(d(∬(ρ0vt)((dx)2+(dy)2
+(dz)2))/dT)cdt-vxµ0∬jx((dy)2+(dz)2-(cdt)2-µ0∫(d(∬jx((dy)2+(dz)2(cdt)2))/dT)dx-vyµ0∬jy((dx)2+(dz)2-(cdt)2-µ0∫(d(∬jy((dx)2+(dz)2(cdt)2))/dT)dy-vzµ0∬jz((dx)2+(dy)2-(cdt)2-µ0∫(d(∬jz((dx)2+(dy)2(cdt)2))/dT)dz
Där U är den elektriska potentialen , Ux är den elektriska potentialen i x-led,
Uy är den elektriska potentialen i y-led , Uz är den elektriska potentialen i zled och Uct är den elektriska potentialen i tidsdimensionen.
vx2+vy2+vz2+vt2=c2
c=(vx;vy;vz;vt)
vx är hastighetens x-komposant , vy är hastighetens y-komposant , vz är
hastighetens z-komposant och vt är tidshastigheten , c är
normalljushastigheten(4hastigheten), ρ0 är laddningstätheten och jx är
strömtäthetens x-komposant , jy är strömtäthetens y-komposant , jz är
strömtäthetens z-komposant , µ0 är den magnetiska konstanten
jx2+jy2+jz2+(ρ0vt)2=(ρ0c)2
ρ0c=(jx;jy;jz;(ρ0vt))
(ds4)2=(cdT)2=(dx)2+(dy)2+(dz)2+(cdt)2
ds4=cdT=(dx;dy;dz;cdt)
där ds4 är minsta möjliga 4sträcka och dT är minsta möjliga
egentidsintervall
E2=Ex2+Ey2+Ez2+Ect2
E=(Ex;Ey;Ez;Ect)
Där E är det elektriska fältet och Ex är det elektriska fältets x-komposant , Ey
är det elektriska fältets y-komposant , Ez är det elektriska fältets zkomposant och Ect är det elektriska fältets komposant i tidsdimensionen.
Detta tillägg är tänkt att läsas tillsammans med övriga delar av euklidisk
4dimensionell elektromagnetism (bland annat är formeln för U korrigerad i
detta tillägg( den formeln var något felaktig i ”euklidisk 4dimensionell
elektromagnetism” dock är formlerna för Ux Uy Uz och Uct korrekta i
”euklidisk 4 dimensionell elektromagnetism”)) och handlar mest om
vektorpotentialen och hur den hänger ihop med den elektriska potentialen (
som är en skalär) hoppas att detta hjälper er att konstruera
tidsenergiomvandlare.
