Kurs 1bc Vux.indb - Vuxenutbildningen KunDa

advertisement
Lena Alfredsson
Kajsa Bråting
Patrik Erixon
Hans Heikne
Matematik
5000
Kurs 1bc Vux lärobok
Natur & Kultur
Kurs 1bc Vux.indb 1
2013-07-11 15:07
NATUR & KULTUR
Box 27 323, 102 54 Stockholm
Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, [email protected]
Redaktion: Tel 08-453 86 00, [email protected]
www.nok.se
Order och distribution: Förlagssystem,
Box 30 195, 104 25 Stockholm
Tel 08-657 95 00, [email protected]
www.fsbutiken.se
Projektledare: Irene Bonde
Textredaktör: Mats Karlsson
Bildredaktör: Erica Högsborn
Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom
Layout och sättning: Mats Karlsson/Devella HB
Kopieringsförbud!
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden,
utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk
enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten
till kopiering för privat bruk.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän
åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli
skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
© 2013 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin,
Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Anita Ristamäki
och Natur & Kultur, Stockholm
Tryckt i Slovakien 2013
Första utgåvans första tryckning
ISBN 978-91-27-43505-6
Kurs 1bc Vux.indb 2
2013-07-11 15:07
Välkommen till Matematik 5000
Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad
på färdigheter, förståelse, kommunikation och
problemlösning och erbjuder stora möjligheter till
en varierad undervisning.
Varje kapitel avslutas med:
Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen.
• K
an du det här? och Diagnos som tillsammans
Denna bok, Kurs 1bc Vux lärobok, riktar sig
till elever som studerar på komvux och liknande
utbildningar.
Kapitel 1, 2, 3, 4, 5 och 6 motsvarar kurs 1b.
Kapitel 1, 2, 3, 4.1, 4.2, 5, 6 och 7 motsvarar kurs 1c.
Hur är boken upplagd?
• T
eoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel
som framställs och förklaras på ett sätt som
ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka
matematiken.
Teorin avslutas med flera lösta exempel som
belyser det viktigaste.
Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer,
a, b och c, i stigande svårighetsgrad.
• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera
undervisningen. De finns i fem olika kategorier:
Upptäck, Undersök, Diskutera, Laborera och
Modellera. De flesta är avsedda för arbete
i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort
Inledande aktivitet som introducerar delar av
kapitlets innehåll.
• I Teman finns teori och uppgifter anpassade
till ekonomi-, estetiska-, humanistiska- och
samhällsvetenskapsprogrammet samt till
vuxenutbildningen. I Historik, med tillhörande
uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt
sammanhang.
• På många sidor blandas uppgifter av standard-
karaktär med uppgifter som kräver matematisk
problemlösning. Uppgifter av den senare typen
finns även samlade i speciella avsnitt som heter
Problemlösning.
FÖRORD
Kurs 1bc Vux.indb 3
• E
n Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-
tion: Sant eller falskt?
• E
n kort Sammanfattning av kapitlet.
ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par
eller smågrupper värdera sina kunskaper om
matematiska begrepp och strategier och
i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper. Till dessa diagnoser finns
fullständiga lösningar i svarsdelen.
• O
m en elev behöver repetera delar av kapitlet
finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken.
Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta
uppgifterna i bokens teoriavsnitt. Efter dessa
repetitionsuppgifter finns sex diagnoser. De
har ett liknande innehåll som diagnoserna i
varje kapitelslut.
• T
vå olika varianter av Blandade övningar av-
slutar varje kapitel. Den första innehåller endast
uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra
innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
Blandade övningar består av tre delar: Utan
räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.
I Svarsdelen till denna bok, Kurs 1bc Vux
Lärobok, finns ledtrådar och lösningar till ett
större antal av uppgifterna jämfört med
Kurs 1b Grön lärobok.
Till läroboken finns en lärarhandledning med
kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank.
Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer
och erbjuder många olika möjligheter för eleverna
att utveckla sina matematiska förmågor.
Mer information om läromedlet och digitalt material
finns på www.nok.se/matematik5000
3
2013-07-11 15:07
Innehåll
1.
Aritmetik – Om tal 6
Inledande aktivitet: Lägga tal
2.2 Procentuella förändringar och jämförelser
Förändringsfaktor 96
Flera procentuella förändringar 99
Förändringar och jämförelser 102
Problemlösning 105
Tema: Moms 106
Procentenheter 108
Tema: Är skolan jämställd? 109
7
1.1 Positiva tal 8
Naturliga tal 8
Räkneordning 11
Primtal och delbarhet 14
Tal i decimalform 17
Aktivitet: Undersök – Tiondelar och hundradelar
Multiplikation och division med tiondelar
och hundradelar 20
2.3 Lån, ränta och amortering
Ränta 110
Amortering 112
Avgifter 114
Index 116
19
1.2 Negativa tal 22
När används negativa tal? 22
Addition och subtraktion med negativa tal 24
Multiplikation och division med negativa tal 26
Tema: Tidszoner 28
Tema: Vinst eller förlust? 30
1.4 Tal i potensform 44
Vad menas med 35? 44
Några potenslagar 46
Grundpotensform 48
Enhetsbyten 50
Prefix 52
Talsystem med olika baser 54
Historik: Två historiska talsystem
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?
Sammanfattning 1 70
Kan du det här? 1 72
Diagnos 1 73
Blandade övningar kapitel 1 74
2.
Procent 78
Inledande aktivitet: Pärlorna
69
79
2.1 Andelen, delen och det hela 80
Beräkning av andelen i procentform 80
Beräkningar då vi vet procentsatsen 83
Tema: Försäljningspris, pålägg och marginal 86
Historik: Varifrån kommer procenttecknet? 89
Procent utan räknare 90
Promille och ppm 91
Tema: Alkohol och promille 94
4
Kurs 1bc Vux.indb 4
3.
120
Algebra 130
Inledande aktivitet: Beräkna värdet 131
3.1 Uttryck och ekvationer 132
Uttryck 132
Aktivitet: Diskutera – Vilka uttryck är lika? 135
Aktivitet: Undersök – Hur många stickor är
det i asken? 136
Vad menas med en ekvation? 137
Att lösa ekvationer 140
Ekvationer med flera x-termer 143
Aktivitet : Undersök – Ekvationsbilder 144
3.2 Potensekvationer 148
Kvadrater och kvadratrötter
Ekvationen xn = a 150
57
1.5 Problemlösning 58
Avrundning och värdesiffror 58
Överslagsräkning 60
Tema: Läkemedel 62
Aktivitet: Diskutera – Det är inte bara svaret som räknas
Tillämpningar 65
En problemlösningsstrategi 67
110
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?
Sammanfattning 2 121
Kan du det här? 2 122
Diagnos 2 123
Blandade övningar kapitel 2 124
Blandade övningar kapitel 1–2 126
1.3 Tal i bråkform 32
Hur stor andel? 32
Aktivitet: Undersök – Jämföra bråktal 34
Förlängning och förkortning 35
Addition och subtraktion av bråk 37
Multiplikation och division av bråk 40
96
64
148
3.3 Formler och mönster 152
Beräkningar med formler 152
Ställa upp och tolka formler och uttryck
Tema: Hastighet – sträcka – tid 158
Lösa ut ur formler 160
Aktivitet: Undersök – Bakom varje formel
finns ett mönster 162
3.4 Olikheter och problemlösning
Olikheter 163
Problemlösning 166
155
163
3.5 Undersök och bevisa 169
Uttryck och ekvationer med parenteser
Faktorisera 171
Ta bort parenteser 172
Beskriva, troliggöra och bevisa 174
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?
Sammanfattning 3 179
Kan du det här? 3 180
Diagnos 3 181
Blandade övningar kapitel 3 182
Blandade övningar kapitel 1–3 185
169
178
INNEHÅLL
2013-07-11 15:07
4.
6.
Geometri 188
Inledande aktivitet: Omkrets och area
189
4.1 Grundläggande geometri 190
Omkrets och area 190
Areaenheter 194
Omkrets och area av en cirkel 196
Historik: Talet π – Historiska fakta 198
Aktivitet: Laborera – Bygg en låda 199
Volymenheter 200
Volym 202
Aktivitet: Laborera – Slösar du med vatten? 207
Begränsningsarea av rätblock, cylinder och klot 208
4.2 Geometri och algebra 210
Aktivitet: Undersök – Trianglar och månghörningar 210
Vinklar och vinkelsumma 211
Geometri och bevis 215
Implikation och ekvivalens 218
Pythagoras sats 220
Aktivitet: Modellera – Hur många och hur länge? 224
4.3 Likformighet och symmetrier 225 (kurs 1b)
Likformighet och skala 225
Tema : Det gyllene snittet 228
Mönster och symmetrier 230
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?
Sammanfattning 4 236
Kan du det här? 4 238
Diagnos 4 239
Blandade övningar kapitel 4 240
Blandade övningar kapitel 1–4 243
5.
5.1 Enkla slumpförsök 248
Inledning 248
Den klassiska sannolikhetsmodellen
Experimentella sannolikheter 252
5.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg 254
Försök med två föremål 254
Aktivitet: Laborera – Kasta två tärningar 256
Träddiagram 257
Aktivitet: Laborera – Lika eller olika färg? 261
Beroende händelser 262
Komplementhändelse 264
Tema: Kombinatorik 266
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?
Sammanfattning 5 289
Kan du det här? 5 290
Diagnos 5 291
Blandade övningar kapitel 5 292
Blandade övningar kapitel 1–5 295
INNEHÅLL
Kurs 1bc Vux.indb 5
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?
Sammanfattning 6 341
Kan du det här? 6 342
Diagnos 6 343
Blandade övningar kapitel 6 344
Blandade övningar kapitel 1–6 346
Komplettering till kurs 1c
349
7.2 Trigonometri 358
Inledning 358
Räkna med tangens 360
Sinus och cosinus 364
Blandade uppgifter 367
7.3 Vektorer 369
Definitioner och räkneoperatorer 369
Komposanter, koordinater och vektorlängd
Tema: Krafter och hastigheter 375
Repetitionsuppgifter
382
384
Extra diagnoser med svar
393
Svar, ledtrådar och lösningar
Register
372
378
Blandade övningar kapitel 7
288
340
7.1 Aritmetik och algebra 350
Avrundning och gällande siffror 350
Tema: Makrokosmos och mikrokosmos 352
Algebraiska uttryck 354
Ekvationer 355
Potensekvationer 356
Formler och mönster 357
7.4 Geometri 378
Några bevis med vinklar
Problemlösning 380
5.3 Statistik 267
Vad handlar statistik om? 267
Tolka tabeller och diagram 268
Medelvärde och median 273
Rita diagram med kalkylprogram 276
Vilseledande statistik 278
Tema: Hästar i Sverige 280
Tema: Spel om pengar i Sverige 281
Tema: Länder och befolkning 284
Tema: Risker i trafiken 286
307
6.2 Funktioner 316
Funktionsbegreppet 316
Aktivitet: Upptäck – Räta linjer 320
Linjära funktioner 321
Skillnader mellan begreppen algebraiskt uttryck,
ekvation, olikhet och funktion 325
Aktivitet: Upptäck – Exponentialfunktionen y = C · a x 328
Exponentialfunktioner 329
Potensfunktioner 332
Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 334
Olika matematiska modeller 337
7.
249
299
6.1 Grafer och proportionalitet 300
Koordinatsystem 300
Formel, värdetabell och graf 302
Aktivitet: Laborera – Väg –tid–diagram 306
Tolka grafer som beskriver vardagliga förlopp
Proportionalitet 310
Grafritande räknare 313
235
Sannolikhetslära och statistik 246
Inledande aktivitet: Kasta kapsyler 247
Grafer och funktioner 298
Inledande aktivitet: Finn regeln
402
458
5
2013-07-11 15:07
1
ARITMETIK − OM TAL
Centralt innehåll
✱ Metoder för beräkningar med
tal skrivna i olika former.
✱ Primtal, delbarhet och olika talbaser.
✱ Strategier för problemlösning.
✱ Matematiska begrepp och metoder
i situationer kopplade till samhällsvetenskap, ekonomi, vardags- och
samhällsliv.
Kurs 1bc Vux.indb 6
2013-07-11 15:07
894789475849
89478947584
238876744
112
777
482398678567
7547
55
15343274
Inledande aktivitet
LÄGGA TAL
Arbeta tillsammans två och två.
Skaffa fyra papperslappar och skriv siffrorna
2, 5, 1 och 7 på lapparna.
2 5
1 7
1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika
fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får
a) ett så stort tal som möjligt
b) ett så litet tal som möjligt
c) ett tal så nära 5 000 som möjligt
d) ett tal så nära 6 000 som möjligt
e) ett tal så nära 1 400 som möjligt.
2 Välj bland lapparna och lägg dem så att
summan
+
blir så
3 Välj bland lapparna och lägg dem så att
produkten ∙
blir så
a) liten som möjligt
b) stor som möjligt
c) nära 100 som möjligt.
4 Multiplikation beräknas före addition.
Välj bland lapparna och lägg dem så att
+ ∙ blir så
a) liten som möjligt
b) stor som möjligt
c) nära 20 som möjligt.
5 Skaffa nio papperslappar med siffrorna
1 till 9. Kan du lägga lapparna så att alla
tre beräkningarna stämmer? Du får bara
använda varje siffra en gång.
+
=
−
=
∙
=
a) liten som möjligt
b) stor som möjligt
c) nära 60 som möjligt.
Kurs 1bc Vux.indb 7
2013-07-11 15:07
1.1 Positiva tal
Naturliga tal
Exempel
Sveriges befolkning var 9 393 648 personer den 1 augusti 2010.
När vi ska skriva och läsa stora tal är det praktiskt att börja bakifrån och
skriva siffrorna tillsammans tre och tre.
9 393 648
nio miljoner trehundranittiotre tusen sexhundrafyrtioåtta
I talet ovan har 3:an längst till vänster värdet 300 000. Vilket värde
har den andra 3:an?
positionssystem
miljon och
miljard
8
Kurs 1bc Vux.indb 8
Ett talsystem där siffrans värde bestäms av siffrans plats i talet kallas
ett positionssystem.
9 miljoner =
9 000 000
9,4 miljoner = 9 400 000
9 miljarder =
9 000 000 000
9,4 miljarder = 9 400 000 000
1.1 POSITIVA TAL
2013-07-11 15:07
naturliga tal
Det finns många olika typer av tal, t ex heltal, decimaltal och tal i bråkform.
När vi som barn började räkna använde vi talen 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
De kallas naturliga tal och består av de positiva heltalen och talet noll.
Vi repeterar de fyra räknesätten och några matematiska begrepp.
Addition
Subtraktion
termer
termer
5 + 13 = 18
18 – 5 = 13
differens
summa
Fyra räknesätt
Multiplikation
Division
faktorer
täljare
400
5 · 80 = 400
produkt
1101
5
= 80
nämnare
kvot
Antalet kvinnor i Sverige den 30 juni 2010 var 4 706 622.
a) Skriv talet 4 706 622 med bokstäver.
b) Vilket värde har de två 6:orna i talet 4 706 622?
a) Fyra miljoner sjuhundrasex tusen sexhundratjugotvå.
b) Den vänstra 6:an visar att det är 6 tusental. Värdet är 6 000.
Den högra 6:an visar att det är 6 hundratal. Värdet är 600.
1102
Ge två olika exempel på
a) en addition av tre tal där summan är 1 200.
b) en multiplikation av två tal där produkten är 1 200.
a) T ex 900 + 100 + 200 = 1 200 och 400 + 400 + 400 = 1 200
b) T ex 30 · 40 = 1 200 och 2 · 600 = 1 200
1.1 POSITIVA TAL
Kurs 1bc Vux.indb 9
9
2013-07-11 15:07
Lös följande uppgifter utan räknare.
1103 Skriv med siffror
a) addition av tre tal där summan är 40 000
a) tjugofem tusen
b) tjugofem tusen tre hundra
c) två miljoner
d) två miljoner femhundra tusen
e) tre miljarder
1104 Vilka tal saknas?
a) 378 = 300 +
1112 Ge två olika exempel på en
1113 Angela har glömt sin portkod. Men hon
kommer ihåg att första siffran är en 1:a
och att siffrorna 3, 5 och 7 också finns
med i den fyrsiffriga koden.
Vilka är de möjliga koderna?
+8
b) 1 026 = 600 +
b) multiplikation av två tal där produkten
är 40 000.
+ 26
c) 55 804 = 48 000 +
+ 804
1105 Beräkna
a) 3 000 kr – 500 kr
b) 30 000 kr – 5 000 kr
c) 30 000 kr – 500 kr
d) 3 000 kr – 50 kr
1106 Beräkna
a) 4 ∙ 8
b) 400 ∙ 8
c) 400 ∙ 80
d) 2 ∙ 4 ∙ 8
1107 I vilket räknesätt beräknar man
en differens?
1108 Skriv med bokstäver
a) 86 400 (antal sekunder på ett dygn)
b) 720 000 (antal fritidsbåtar i Sverige)
c) 36 000 000 000 (kostnaden i kr för den
svenska gymnasieskolan 2008)
1109 Vilket värde har siffran 3 i talet
a) 237
c) 375 000
b) 13 066
d) 83 000 000?
1110 Vid multiplikation spelar ordningen ingen
roll, t ex 4 ∙ 7 = 7 ∙ 4.
Gäller det alla räknesätt?
1111 Steve skulle skriva 3 850 kr, men skrev fel.
Siffrorna 3 och 5 bytte plats med varandra.
1114 År 2008 gick det 460 000 barn i förskolan
i Sverige. Den totala kostnaden per barn
var ca 100 000 kr per år.
Ungefär hur stor var den totala kostnaden
för förskolan i Sverige år 2008? Svara i
miljarder.
1115 Produkten 16 ∙ 40 = 640. Vad är då
a) 17 ∙ 40
b) 16 ∙ 41
c) 40 ∙ 15
1116 Ett naturligt tal som slutar på 1, 3, 5, 7 eller
9, är ett udda tal. Leon påstår att det finns
12 udda tresiffriga heltal där hundratals
siffran är dubbelt så stor som tiotalssiffran.
Är det sant?
Hur mycket större blev beloppet?
10
Kurs 1bc Vux.indb 10
1.1 POSITIVA TAL
2013-07-11 15:07
Räkneordning
När vi ska beräkna en summa spelar det ingen roll i vilken ordning vi
adderar termerna. 31 + 86 = 86 + 31.
Denna räknelag kan skrivas: a + b = b + a
När vi ska beräkna en produkt spelar det ingen roll i vilken ordning vi
multiplicerar faktorerna. 31 ∙ 86 = 86 ∙ 31.
Denna räknelag kan skrivas: a ∙ b = b ∙ a eller ab = ba.
Spelar det någon roll i vilken ordning vi räknar när flera räknesätt är
inblandade?
Exempel
På ett gym kostar det 700 kr per år att vara medlem.
Ett träningspass kostar 85 kr.
Kostnaden (kr) att bli medlem och gå på 10 träningspass kan skrivas
som 700 + 10 ∙ 85.
Här måste vi beräkna multiplikation före addition.
700 + 10 ∙ 85 = 700 + 850 = 1550
Skulle vi beräkna additionen först, får vi ett annat resultat!
Vid beräkningar med flera räknesätt:
1. Först parenteser
Räkneordning
2. Därefter upphöjt till (potenser)
3. Sedan multiplikation och division
4. Sist addition och subtraktion.
1.1 POSITIVA TAL
Kurs 1bc Vux.indb 11
11
2013-07-11 15:07
1117
Beräkna utan räknare
a) 12 – 7 + 3
b) (4 + 5) · 7
c) 4 + 5 · 7
a) Vi kan räkna på olika sätt.
Alternativ 1: 12 – 7 + 3 = 5 + 3 = 8
Alternativ 2: 12 – 7 + 3 = 15 – 7 = 8
b) Parentesen först: (4 + 5) · 7 = 9 · 7 = 63
c) Multiplikationen först: 4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39
1118
Beräkna med räknare
a)
775 + 415
b)
122 − 87
8 208
19 · 6
När vi använder räknare till dessa beräkningar måste vi sätta
ut parenteser.
a)
b)
775 + 415
122 − 87
= (775 + 415) / (122 – 87) = 34
8 208
= 8 208 / (19 ∙ 6) = 72
19 · 6
1119 Beräkna utan räknare
a) 8 – 5 + 1
c) 6 + 3 · 2
b) 3 · 8 – 6
d) 30 – 10 · 2
1120 Beräkna utan räknare
a) 150 – 30 + 10
c) 40 + 30 · 2
b) 10 · 8 – 5
d) 800 – 300 · 2
1121 Beräkna utan räknare
a) 2 + 5 · 8
c)
b) (5 + 2) · 4
d)
16 + 14
b) (25 + 25) · 6
12
Kurs 1bc Vux.indb 12
Beräkna utan räknare kostnaden för en
grupp på
a) 10 barn och 4 vuxna
b) 4 barn och 10 vuxna.
1124 Malin har handlat några av de frukter som
bilden visar.
2
20 + 12
5 +3
1122 Beräkna utan räknare. Kontrollera sedan
dina svar med räknare.
a) 25 + 25 · 6
1123 Entrépriserna till Kolmårdens djurpark
år 2010 var 150 kr för barn och 250 kr för
vuxna.
kr/st
3 3kr/st
4 4krkr/st
/st
kr/st
5 5kr/st
Vad har hon köpt om hon ska betala
c) 30/5 – 2
a) 2 · 5 + 3
c) 4 + 7 · 3 + 5
d) 30 /(5 – 2)
b) 2 · (5 + 3)
d) 9 · 4 + 7 · (3 + 5)
1.1 POSITIVA TAL
2013-07-11 15:07
1125 Lenny använder sin räknare till beräkningen
9 +6 .
1130 Beräkna utan räknare. Kontrollera dina
svar med räknare.
2 +1
Han trycker 9 + 6 / 2 + 1.
a) Vilket resultat visar räknaren?
b) Vilket fel gör Lenny?
b)
327 − 149
87 + 69
d)
13
76 659
5· 6 +2·7
∙ 8 + 2 = 50
d) 30 + 5 ∙
= 20
= 70
a) 50 · 6 + 4 · 50 – 10
23 · 33
b) 450 – 50 · 6 + 2 · 15
40 + 40 · 7
c)
5
200 · 25 + 5 · 800
d)
5 · 20 + 25 · 4
Hur många bitar får varje barn om de
delar lika?
4·3
18
3
1132 Beräkna utan räknare. Kontrollera dina
svar med räknare.
1127 Jasmine köper 4 godispåsar till sina 3 barn.
Varje påse innehåller 18 godisbitar.
A:
d)
b)
4 272
c)
37 + 65
b) 13 – 3 · 2 + 2
6 +3·7
1131 Vilket tal ska stå i rutan?
a) 5 + 5 ∙ = 20
c) 4 ∙ 8 – 2 ∙
1126 Beräkna
1 326
c)
3 +1
c) Vilket är rätt svar?
a)
a) 7 · 5 + 3 · 5
C: 4 · 18 · 3
1133
B: 4 · 18
3
D: 4 + 3 · 18
1128 I en hiphop-förening kostar det 250 kr att
vara medlem. För medlemmar är priset
per konsert 150 kr. Hassan är medlem i
föreningen och går på fem konserter.
Genomsnittskostnaden per konsert kan
beräknas med
250 + 5 · 150
5
Beräkna genomsnittskostnaden
a) utan räknare
b) med räknare.
1129 Beräkna utan räknare
a)
7 · 60
20
b)
60 · 40
30
På en lunchrestaurang kostar Dagens rätt
79 kr. Om man köper ett rabatthäfte får
man 10 lunchkuponger för 700 kr.
Lovisa skriver (10 ∙ 79 – 700) / 10.
Vad är det som Lovisa vill beräkna?
1.1 POSITIVA TAL
Kurs 1bc Vux.indb 13
13
2013-07-11 15:07
Primtal och delbarhet
Exempel
primtal
En lärare ska dela upp 17 elever i grupper. Hur hon än gör är det
omöjligt att dela upp eleverna så att de blir lika många i varje grupp.
Talet 17 går bara att dela med 1 och 17.
Positiva heltal som bara går att dela med 1 och sig självt kallas primtal.
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11 och 13.
Talet 1 räknas inte som primtal.
sammansatta tal
primtalsfaktorer
Alla heltal större än 1 är antingen primtal eller sammansatta tal.
Alla sammansatta tal kan delas upp i primtalsfaktorer, dvs faktorer
som är primtal. Talet 30 är ett sammansatt tal.
30 = 2 ∙ 3 ∙ 5
Primtalsfaktorer (=primfaktorer)
Redan Euklides, som var en grekisk matematiker på 300-talet f Kr,
visade att listan på primtal aldrig tar slut. Det finns alltså hur stora
primtal som helst!
Primtal används idag inom datasäkerhet för att kryptera känsliga data.
Krypteringen sker med ett mycket stort tal som är en produkt av två
100-siffriga primtal.
Även med dagens datorer är det tidsmässigt omöjligt att identifiera det
200-siffriga talet och knäcka koden!
När du gör bankaffärer över nätet
används primtal för att kryptera
informationen.
14
Kurs 1bc Vux.indb 14
1.1 POSITIVA TAL
2013-07-11 15:07
delbarhet
Ett sammansatt tal är alltid delbart med primfaktorerna och deras
produkter. Talet 18 kan delas upp i primfaktorerna 2 ∙ 3 ∙ 3
Produkter av dessa tal är
2∙3=6
3∙3=9
18 är alltså delbart med 2, 3 , 6 och 9 (förutom 1 och 18).
Detta innebär också att kvoterna 18/2, 18/3, 18/6 och 18/9 är heltal.
Ytterligare några delbarhetsregler:
1 Vilka tal är delbara med 2?
Svar: Alla jämna tal, t ex 18, 280 och 6 590.
642 har
siffersumman
6 + 4 + 2 = 12
2 Vilka tal är delbara med 3?
Svar: Alla tal vars siffersumma är delbara med 3, t ex 201 och 642.
Delbarhetsregler
3 Vilka tal är delbara med 5?
Svar: Alla tal som slutar på 0 eller 5, t ex 45, 920 och 1 015.
1134
a) Dela upp talet 42 i primfaktorer.
b) Vilka positiva tal är 42 delbart med (utöver 1 och 42)?
a) Faktoruppdelningen underlättas om vi ritar ett s k faktorträd.
De kan se olika ut, men resultatet blir detsamma.
42
42
2
42 = 2 · 21
21
3
7
6
2
7
42 = 6 · 7
3
Vi avläser primfaktorerna 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7
b) 42 är delbart med 2, 3 och 7 och produkter av dessa tal.
2∙3=6
2 ∙ 7 = 14
3 ∙ 7 = 21
Svar: 42 är delbart med 2, 3, 6, 7, 14 och 21.
1.1 POSITIVA TAL
Kurs 1bc Vux.indb 15
15
2013-07-11 15:07
1135 Är talet ett primtal eller ett sammansatt tal?
a) 9
b) 11
c) 21
d) 23
1136 Vilka av talen 165, 168 och 170 är
a) delbara med 2
b) delbara med 5?
1137 Rasmus skriver 60 = 2 ∙ 5 ∙ 6. Har Rasmus
delat upp talet 60 i primfaktorer?
Motivera.
1138 a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal som
saknas.
1142 Är talet ett primtal eller ett sammansatt tal?
a) 63
b) 19
c) 592
d) 327
Förklara hur du tänker.
1143 Vilka av talen 135, 235, 448, 640 och 2010
är delbara
a) med 3
b) med 5
c) med 15?
1144 a) Rita av faktorträdet och skriv tal
i rutorna.
48
54
6
b) Dela upp talet 48 i primfaktorer.
b) Dela upp talet 54 i primtalsfaktorer.
c) Vilka positiva tal är 48 delbart med?
1139 Vilka primtal finns mellan 10 och 30?
1145 Varför måste ett tal som är delbart med 10
också vara delbart med både 2 och 5?
1140 a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal
1146 Vilket är det största tvåsiffriga primtalet?
som saknas i rutorna.
24
2
1147 Summan av tre på varandra följande heltal
är alltid delbar med 3.
a) Visa med ett eget exempel att detta är
sant.
b) Förklara varför detta är sant.
b) Dela upp talet 24 i primfaktorer.
c) Vilka postiva tal är 24 delbart med
(förutom 1 och 24)?
1141 a) Vilken siffersumma har talet 231?
b) Är 231 delbart med 3?
1148 Inför en temadag på en skola ska eleverna
delas upp i grupper. Om eleverna delas upp
i par, så blir det en elev över. Likadant
blir det om antalet elever i grupperna är
3, 5 eller 7.
Antalet elever på skolan är mindre än 500.
Vilket är antalet?
c) Vilken siffersumma har talet 521?
d) Är 521 delbart med 3?
16
Kurs 1bc Vux.indb 16
1.1 POSITIVA TAL
2013-07-11 15:07
Tal i decimalform
Exempel 1
Vid VM i friidrott 2009 vann Usain Bolt löpning
100 m på den nya världsrekordtiden 9,58 sekunder.
Decimalerna i talet 9,58 kan uttryckas på olika sätt:
9,58
9,58
eller
5 tiondelar
8 hundradelar
58 hundradelar
Talet 9,58 kan visas på två olika tallinjer.
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0
9,00
9,10
9,20
9,30
9,40
9,50
9,60
9,70
9,80
9,90
10,00
Hundradelar
Exempel 2
Tiondelar
Vi jämför talet 9,58 med talet 9,6. Vilket är störst?
9,6 kan skrivas som 9,60 eftersom 6 tiondelar = 60 hundradelar.
9,6 är större än 9,58.
1.1 POSITIVA TAL
Kurs 1bc Vux.indb 17
17
2013-07-11 15:07
1149
Skriv som ett tal i decimalform
1150
a) 7 hundradelar
b) 45 tusendelar
a) 7 hundradelar = 0,07
b) 45 tusendelar = 0,045
Beräkna utan räknare
a) 2,1 + 4,65
a) 2,1 + 4,65 = 2,10 + 4,65 = 6,75
b) 0,4 – 0,38
b) 0,4 – 0,38 = 0,40 – 0,38 = 0,02
1157 Vilket tal pekar pilarna A och B på?
1151 Skriv som ett tal i decimalform
a) 2 tiondelar
A
B
b) 4 hundradelar
c) 24 hundradelar
0,1
d) 4 tiondelar och 5 hundradelar.
1158 Anna sprang 100 m på 14,76 sekunder.
a) Belinda sprang två tiondelar snabbare.
Vilken var Belindas tid?
1152 Skriv talen i storleksordning med det
minsta talet först.
a) 7,1
7,08
7,15
7,2
7,18
b) 2,01
2,005
2,105
2,11
2,015
c) 0,9
0,87
0,902
0,099
0,805
2
a)
2
1
d)
1154 Beräkna utan räknare
a) 0,3 + 0,25
c) 0,65 + 0,2
b) 0,3 – 0,25
d) 0,65 – 0,2
1155 Skriv med ord
a) 0,009
b) 75 tusendelar
18
Kurs 1bc Vux.indb 18
1160 Kostnaden för sjukvården i ett landsting
beräknades ett år till 6,3 miljarder kr.
De verkliga kostnaderna blev 500 miljoner
kr större.
Hur stora blev de verkliga kostnaderna?
1161 Vilket tal ligger mitt emellan
a) 0,4 och 1,4
b) 0,02 och 0,03
c) 0,02 och 0,2 ?
b) 0,072
1156 Skriv som ett tal i decimalform
a) 5 tusendelar
c) Dolores sprang 35 hundradelar snabbare
än Anna. Vilken var Dolores tid?
1159 Vilket samband finns mellan begreppen
tiondel och hundradel?
b)
c)
b) Carlos sprang sju hundradelar långsammare än Anna. Vilken var Carlos tid?
d) Eric sprang 82 hundradelar snabbare
än Anna. Vilken var Erics tid?
1153 Vilket tal pekar pilen på?
1
0,2
c) 175 tusendelar.
1162 Beräkna utan räknare differensen mellan
a) en tiondel och en hundradel
b) en hundradel och en tusendel
c) tre hundradelar och fjorton tusendelar.
1.1 POSITIVA TAL
2013-07-11 15:07
Aktivitet
UNDERSÖK
Tiondelar
och
hundradelar
Materiel: Räknare
1 Du har fyra tal: 24
50 3,8
0,42
Undersök med hjälp av miniräknare:
a) Dividera talen med 10. Skriv upp divisionen
och svaret.
b) Multiplicera talen med 0,1. Skriv upp
multiplikationen och svaret.
c) Vad kan du säga om resultatet då ett tal
divideras med 10 jämfört med resultatet då
samma tal multipliceras med 0,1?
d) Skriv en regel som visar hur decimalkommat flyttas då ett tal multipliceras med 0,1
eller divideras med 10.
e) Använd din regel för att med huvudräkning
beräkna följande uppgifter:
45
10
0,1 ∙ 750
2,5 ∙ 0,1
0,5
10
0,3 ∙ 0,1
0,85
10
Skriv upp divisionen/multiplikationen
och svaret. Kontrollera sedan svaren med
räknaren.
1.1 POSITIVA TAL
Kurs 1bc Vux.indb 19
2 Välj två heltal och två decimaltal.
Undersök med hjälp av räknare:
a) Multiplicera talen med 100. Skriv upp
multiplikationen och svaret.
b) Dividera talen med 0,01. Skriv upp
divisionen och svaret.
c) Vad kan du säga om resultatet då ett tal
divideras med 0,01 jämfört med resultatet
då samma tal multipliceras med 100?
d) Skriv en regel som visar hur decimalkommat flyttas då ett tal multipliceras med 100
eller divideras med 0,01.
e) Använd din regel för att med huvudräkning
beräkna följande uppgifter:
2
0,01
100 ∙ 7,5
3,8
0,01
0,008 ∙ 100
0,35 ∙ 100
0,045
0,01
Skriv upp divisionen/multiplikationen
och svaret. Kontrollera sedan svaren med
räknaren.
19
2013-07-11 15:07
Multiplikation och division
med tiondelar och hundradelar
Exempel 1
Hur kan vi inse att 5 = 0,5?
10
5 äpplen ska delas lika av 10 personer.
likadelning
Exempel 2
Varje person får då ett halvt äpple. En halv = 0,5.
Detta sätt att tänka om division kalls likadelning.
6
= 60 ?
0,1
Vi tar hjälp av följande exempel:
Hur kan vi inse att
Du vill dela ett snöre som är 6 m
i lika långa delar.
Om du gör delarna 2 m långa,
6
får du = 3 stycken delar
2
innehållsdivision
Exempel 3
6m
2m
Om du gör delarna 0,5 m långa,
6
= 12 stycken delar
får du
0,5
0,5 m
Om du gör delarna 0,1 m långa
6
= 60 stycken delar
får du
0,1
0,1 m
2m
2m
Vi kan tänka hur många nämnare ”får plats” i täljaren eller hur
många nämnare ”innehåller” täljaren.
Detta sätt att tänka om division kallas innehållsdivision.
Hur kan vi inse att 0,1 · 5 = 0,5 ?
Faktorerna kan byta plats: a · b = b · a
0,1 ∙ 5 = 5 ∙ 0,1 = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,5
en tiondel + en tiondel + en tiondel + en tiondel + en tiondel = fem tiondelar
20
Kurs 1bc Vux.indb 20
1.1 POSITIVA TAL
2013-07-11 15:07
1163
1164
Beräkna
a) 100 · 25,2
b) 0,1 · 3,5
c) 0,01 · 64
a) 100 · 25,2 = 2520
b) 0,1 · 3,5 = 0,35
c) 0,01 · 64 = 0,64
Beräkna
3
a)
0,1
a)
3
= 30
0,1
b)
8,1
0,01
c)
8,1
100
b)
8,1
= 810
0,01
c)
8,1
= 0,081
100
Lös följande uppgifter utan räknare.
1165 Beräkna
a) 10 ∙ 12,5
c) 0,1 ∙ 15,3
b) 10 ∙ 43,28
d) 0,1 ∙ 9
1166 Beräkna
25,4
a)
10
b)
32,50
0,1
c)
2
0,1
1167 Beräkna
a) 100 ∙ 50,25
c) 0,01 ∙ 600
b) 100 ∙ 4,2
d) 0,01 ∙ 26
1168 Beräkna
95
a)
100
b)
32,50
0,01
c)
1173 Vilket tal ska stå i rutan?
20
7
c) 100 ∙ 7 =
= 20 ∙
a)
0,1
4,5
0,25
b) 4,5 ∙ 0,1 =
d) 0,25 ∙ =
0,01
1174 1 centiliter = 0,01 liter. Hur många
10-centilitersglas kan du fylla om du har
25 liter saft?
1175 Vid frukosten läser Erika innehållsdeklarationen på mjölkförpackningen.
28
0,01
1169 En bunt med 100 papper är 12 mm tjock.
Vilken tjocklek har ett papper?
1170 Priset på ett 10-pack med batterier är
58,90 kr. Vilket pris per styck motsvarar det?
1171 Vilket tal ska stå i rutan?
a) 75 ∙
b)
3
= 7,5
= 0,03
c)
d)
∙ 5 = 0,05
5,3
= 53
1172 Du har ett snöre som är 120 m långt. Du
delar snöret i lika långa delar. Hur många
delar får du om varje del är
a) 10 m
c) 0,5 m
b) 2 m
d) 0,1 m?
1.1 POSITIVA TAL
Kurs 1bc Vux.indb 21
Beräkna mängden
a) protein i 1 g mjölk
b) socker i 10 g mjölk
c) natrium i 1 000 g mjölk.
21
2013-07-11 15:07
1.2 Negativa tal
När används negativa tal?
När temperaturen är under noll grader använder vi negativa tal
för att tala om hur många grader det är.
Negativa tal används även för att ange t ex behållningen på ett konto,
utgifter, ekonomiska resultat och tidsskillnad mellan olika länder.
tallinje
Här nedan ser du några tal markerade på en tallinje.
–5
–4
–3
–2
–1
1
0
2
Nollpunkten
kallas origo.
Negativa tal
3
4
5
Positiva tal
Vi jämför de markerade talens storlek på följande sätt:
olikhetstecknen
På tallinjen
Med ord
Med symboler
2 ligger till höger om –3
2 är större än –3
2 > –3
–5 ligger till vänster om –3
–5 är mindre än –3
–5 < –3
Lägg märke till att båda olikhetstecknen > (större än) och < (mindre än)
pekar med spetsen mot det mindre talet.
När du ska räkna med negativa tal kan du ta hjälp av en termometerskala.
Temperaturen är −5° och ökar 7 °.
−5 + 7 = 2
ökar 7°
minskar 7°
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
1201
22
Kurs 1bc Vux.indb 22
Temperaturen är 4° och minskar 7 °.
4 − 7 = −3
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
Beräkna utan räknare
a) 2 – 5
b) –2 + 5
c) – 2 – 5 + 1
a) 2 – 5 = – 3
b) –2 + 5 = 3
c) –2 – 5 + 1 = –7 + 1 = –6
1.2 NEGATIVA TAL
2013-07-11 15:07
Lös följande uppgifter utan räknare.
Kontrollera svaren med räknare.
1210
1202 Temperaturen är –2º. Vad blir den om den
a) ökar med 5º
b) minskar med 4º?
1203 9 – 5 = 4 Vad blir 5 – 9?
1204 Beräkna
a) 3 – 5
d) –8 + 2
b) –3 – 5
e) 2 – 8
c) –3 + 5
f) –8 – 2
1205 När Lotta var på vintersemester i fjällen
noterade hon temperaturen några gånger
under ett dygn.
kl 07.00
kl 12.00
–6º
+2º
kl 18.00
kl 22.00
–3º
–10º
Med hur många grader
a) steg temperaturen under förmiddagen
b) sjönk temperaturen under eftermiddagen
c) sjönk temperaturen under kvällen?
1206 Vad betyder –1 500 kr på ett bankkonto?
1207 Agnes saldo på bankkontot är –450 kr.
Hur mycket pengar har hon på sitt konto
om hon
a) sätter in 500 kr
c) tar ut 200 kr
b) sätter in 200 kr
d) sätter in 350 kr?
Idealresultat på en golfbana är 72 slag.
Resultatet 74 slag anges då som +2.
Ange följande resultat på detta sätt.
a) Henrik 69 slag
c) Anna 71 slag
b) Sophie 75 slag
d) Darren 70 slag
1211 Temperaturen sjönk från 3 ºC till –2 ºC på
en timme.
Vilken blir temperaturen, om den sjunker
med lika många grader nästa timme?
1212 En dag varierade utomhustemperaturen
mellan –2,5 ºC och +4,1 ºC.
Hur stor var temperaturskillnaden den dagen?
1213 Vilka belopp ska stå i de tomma vita rutorna?
Insättning
3 800
a) 7 – 5 + 1
c) –1 – 3 + 1
b) –2 + 5 – 1
d) 1 – 7 + 2
–2
b) –2
5
Kurs 1bc Vux.indb 23
1214 Vilket tal ligger mitt emellan
a) 3 och 7
d) –8 och –2
e) –5 och 0
f) –25 och –3?
c) –2
–1
b) –2 och 6
d)
–7
c) –3 och 5
0
–1 800
2 500
–800
1209 Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <,
mellan talen.
a) 5
Behållning
2 000
1208 Beräkna
1.2 NEGATIVA TAL
Uttag
23
2013-07-11 15:07
Addition och subtraktion med negativa tal
Exempel 1
Vad blir 3 000 + (−400)?
Karl har två bankkonton med kredit.
På det ena kontot har han 3 000 kr och på det andra en skuld på 400 kr.
Om man slår ihop, dvs adderar, de två kontona blir summan:
3 000 kr + (−400 kr) = 2 600 kr
Vi ser att detta kan beräknas med subtraktionen
3 000 kr − 400 kr = 2 600 kr
Sammanfattning
Exempel 2
Två olika tecken efter varandra kan ersättas med ett minustecken.
3 000 + (−400) = 3 000 − 400 = 2 600
Vad blir 300 − (−50) ?
Vi tar hjälp av följande bild.
m
a) Hur högt över huset flyger
luftballongen?
300
300 m − 100 m = 200 m
100
b) Hur högt över dykaren flyger
luftballongen?
0
– 50
På samma sätt som ovan får vi
300 m − (−50) m = ?
Av figuren ser vi att detta kan
beräknas med additionen
300 m + 50 m = 350 m
Sammanfattning
Två lika tecken efter varandra kan ersättas med ett plustecken.
300 − (−50) = 300 + 50 = 350
På de flesta räknare finns det två olika knappar för minustecken.
(−) för negativa tal och – för subtraktion.
24
Kurs 1bc Vux.indb 24
1.2 NEGATIVA TAL
2013-07-11 15:07
1215
Beräkna
a) 5 + (−2)
c) 5 − (−2)
b) −5 + (−2)
d) −5 −(−2)
Tecknen + (–) ersätts med –
a) 5 + (−2) = 5 − 2 = 3
b) −5 + (−2) = −5 − 2 = −7
Tecknen – (–) ersätts med +
c) 5 − (−2) = 5 + 2 = 7
d) −5 − (−2) = −5 + 2 = −3
1222 a) − 12 − 5
Bilden visar läget av en luftballong, en dykare
och en u-båt.
1216 a) Vilket avstånd
svarar mot
200 − (−50)?
m
b) Vad blir
200 − (−50)?
200
0
1223 Ge exempel på två tal som gör att beräkningen stämmer. Du kan tänka på
två konton.
+
– 50
positivt tal
a) + 2 700 kr och
– 700 kr
b)
– 400 kr
= 2 000
negativt tal
+
b)
positivt tal
= −2 000
negativt tal
+
negativt tal
Lös uppgifterna 1219−1222 utan räknare.
= −2 000
negativt tal
1224 Beräkna temperaturändringen,
dvs sluttemperatur minus starttemperatur.
Starttemperatur
Sluttemperatur
a)
+17 °C
+23 °C
b)
+9 °C
−3 °C
c)
−11 °C
+4 °C
d)
−4 °C
−13 °C
1219 a) 5 + (−2)
c) −5 + (−7)
b) 9 + (−5)
d) −6 + (−2)
1220 a) 8 − (−2)
c) −7 − (−9)
a) summan 20? Förklara.
b) 1 − (−1)
d) −9 − (−5)
b) differensen − 20? Förklara.
c) 25 − (−15)
1226 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
1221 a) 25 + (−15)
b) −25 + (−15)
1.2 NEGATIVA TAL
Kurs 1bc Vux.indb 25
f) − 14 + (− 7)
c)
1218 Två konton slås ihop.
Bestäm summan.
och
c) − 9 + 19
–200
b) Vad blir
200 − (−200)?
– 900 kr
e) − 23 + 5
a)
1217 a) Vilket avstånd
svarar mot
200 − (−200)?
d) − 16 − (−10)
b) 24 + (− 7)
d) −25 − (−15)
1225 Kan två negativa tal ha
a) 21 +
=5
c) − 42 +
= 37
b) 12 −
= 30
d) − 15 −
= 24
25
2013-07-11 15:07
Multiplikation och division med negativa tal
Våra vanliga räkneregler gäller även för negativa tal.
multiplikation
division
3 · (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12
Multiplikation är upprepad addition
3·a=a+a+a
(–4) · 3 = 3 · (–4) = –12
Faktorerna kan byta plats
a·b=b·a
(–4) · (–3) = 12
Se uppgift 1237.
–12
3
12
–3
= –4
–12
–3
= –4 eftersom 3 · (–4) = –12
=4
Division kan omformas till multiplikation.
a
= c kan skrivas bc = a
b
eftersom (–3) · (–4) = 12
eftersom (–3) · 4 = –12
Vid multiplikation och division med negativa tal gäller:
2 · (–5) = –10 

Sammanfattning
1227
(–2) · 5 = –10 

(–10) / 2 = –5 

10 / (–2) = –5 
(–2) · (–5) = 10 
Lika tecken
ger plus.

(–10) / (–2) = 5 
Beräkna
a) 8 ∙ (– 6)
1228
Olika tecken
ger minus.
b) (– 5) ∙ (– 7)
c) (– 72) /8
d) (– 56) /(– 8)
a) 8 ∙ (– 6) = – 48
c) (– 72) /8 = – 9
b) (– 5) ∙ (– 7) = 35
d) (– 56) /(– 8) = 7
Beräkna
a) 14 + (– 2) ∙ 3
b) 25 – (– 5) ∙ (– 2)
Vi räknar multiplikationen först.
a) 14 + (– 2) ∙ 3 = 14 + (– 6) = 14 – 6 = 8
b) 25 – (– 5) ∙ (– 2) = 25 – 10 = 15
26
Kurs 1bc Vux.indb 26
1.2 NEGATIVA TAL
2013-07-11 15:07
1229 Beräkna utan räknare
a) 7 ∙ (– 9)
c) (– 6) ∙ (– 2)
b) (– 4) ∙ 8
d) (– 12) ∙ 0
1230 a) (– 14) / 2
b) 36 / (– 4)
1238 Daniel läser i en bok att beräkningen
1,8 ∙ (– 10) + 32 omvandlar temperaturen
– 10 grader Celsius (°C) till grader Fahrenheit (°F).
c) (– 81) / (– 9)
Vilken temperatur i grader Fahrenheit
d) –3 /1
a) motsvarar –10 °C
b) motsvarar –20 °C om man räknar på
samma sätt som för – 10 °C?
1231 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
a) (– 7) ∙
b)
= 21
c) (– 4) ∙
∙ (– 5) = – 40
= – 24
d) 2 ∙ (– 2) ∙
=8
visar – 4 °C ger beräkningen
1232 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
a)
b)
– 16
45
= –8
c)
= –5
d)
–6
–4
1239 När det blåser storm och termometern
den temperatur vi upplever.
3 · (– 4)
– 15
2
=6
= –8
1233 Beräkna utan räknare
a) 3 ∙ (– 4) + 2
c) 5 + (– 2) ∙ (– 3)
b) 10 + (– 5) ∙ 6
d) – 8 + 3 ∙ (– 4)
1234 a)
(– 6) · (– 2)
4
b)
– 24
2 · (– 6)
1235 a) (– 2) ∙ (– 3) ∙ (– 4)
b) (– 3) ∙ 7 + (– 4) ∙ (– 5)
a) Vilken temperatur ger beräkningen?
1236 Beräkna och ordna därefter resultaten i
storleksordning med det minsta först.
(– 5) ∙ 3
– 28
–4
9 ∙ (– 2)
(– 3) ∙ (– 2)
1237 Läs uppifrån och ned.
Studera mönstret i multiplikationerna.
3 ∙ (–3) = –9
2 ∙ (–3) = –6
1 ∙ (–3) = –3
0 ∙ (–3) = 0
(–1) ∙ (–3) = ?
a) Hur ändras den första faktorn?
b) Hur ändras produkten?
c) Vad bör (–1) ∙ (–3) bli om mönstret
fortsätter?
d) Vad är (–4) ∙ (–3)?
1.2 NEGATIVA TAL
Kurs 1bc Vux.indb 27
32
–2
b) Beräkna på samma sätt den temperatur
vi upplever i en storm om termometern
visar – 20 °C.
1240 Du har talen
3, – 2, 0, 1, – 1, – 4, 2
Vilka två tal ger den
a) största produkten
b) minsta produkten?
1241 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
40
a)
+ = 30
–4
b) 4 + (– 3) ∙
c) 50 + (– 2) ∙
d) 8 ∙
= 25
= – 10
– 35 = – 75
27
2013-07-11 15:07
Tema
Tidszoner
Jorden är indelad i 24 tidszoner med normalt 1 timmes tidsskillnad.
Nollzonen går genom samhället Greenwich strax utanför London.
Greenwich Mean Time (GMT) är världens standardtid.
Tidsskillnaden i timmar mellan några olika platser och London
Los Angeles – 8
Chicago
–6
New York
–5
London
0
Stockholm +1
Athen
+2
Moskva
+3
Tokyo
+9
Melbourne +10
Så här tolkas tabellen:
När klockan är 18 i London, är den i Chicago 18 – 6 = 12.
När klockan är 18 i London är den i Moskva 18 + 3 = 21.
Plats
Chicago – 6
London 0
6 timmar efter London
Tid
kl 12.00
Moskva +3
3 timmar före London
kl 18.00
kl 21.00
Moskva är 9 timmar före Chicago, eftersom skillnaden mellan
3 och –6 är 9.
28
Kurs 1bc Vux.indb 28
1.2 NEGATIVA TAL
2013-07-11 15:07
1 Hur många timmar före Stockholm är
a) Moskva
b) Tokyo?
2 Hur många timmar efter Stockholm är
a) New York
b) Los Angeles?
3 Hur många timmar före Los Angeles är
a) New York
b) Moskva?
4 Hur många timmar efter Tokyo är
a) Athen
b) Chicago?
5 Vad är klockan på följande platser, om den
är 10.00 i London?
a) Stockholm
c) Moskva
b) New York
d) Chicago
6 Vad är klockan på följande platser, om den
är 16.00 i Stockholm?
a) Athen
c) London
b) Tokyo
d) Los Angeles
1.2 NEGATIVA TAL
Kurs 1bc Vux.indb 29
7 Finalen i US Open i tennis avgörs i New York.
Den sänds direkt i TV via satellit.
Matchen börjar kl 19.00 lokal tid.
När kan den ses i
a) London
c) Melbourne
b) Stockholm
d) Los Angeles?
8 Ett flygplan startar kl 10.30 från Kastrup
i Danmark (Stockholms tidszon) och flyger
direkt till Seattle (Los Angeles tidszon).
Flygtiden är 9 h.
När är planet framme lokal tid i Seattle?
9 Ett flygplan startar kl 15.05 från Arlanda
utanför Stockholm och flyger direkt till
Tokyo. Flygtiden är 10 h 15 min.
När är planet framme lokal tid i Tokyo?
10 Du flyger från Los Angeles till Melbourne.
Flygtiden är 16 h. Du startar den 10 januari
kl 09.00.
När är du framme?
29
2013-07-11 15:07
Tema
Vinst eller förlust?
Exempel 1
Jenny och Mia har ett litet företag som designar, tillverkar och säljer
kläder. Förra året köpte de varor för 150 000 kr och sålde dem för
385 000 kr. Företagets kostnader för löner, lokaler, reklam m m var
sammanlagt 165 000 kr.
Företagets intäkter och kostnader var:
Intäkter
Kostnader
Försäljning: 385 000 kr
Inköp av varor:
150 000 kr
Försäljningskostnader: 165 000 kr
315 000 kr
Resultatet = 385 000 kr – 315 000 kr = 70 000 kr.
Resultat
Exempel 2
Resultat = Intäkter – Kostnader
Positivt värde på resultatet innebär vinst.
Negativt värde på resultatet innebär förlust.
Ett företag köpte ett år nya maskiner till sin tillverkning. Maskinerna
kostade 100 000 kr. Under året köpte man varor för 43 000 kr.
Försäljningskostnaderna (löner, marknadsföring mm) var 60 000 kr.
Under året sålde man varor för 150 000 kr.
Det kan verka som om verksamheten gick med förlust under året. Man
hade utgifter på sammanlagt 203 000 kr men fick bara in 150 000 kr.
I det här fallet måste man dock tänka på att de inköpta maskinerna kan
användas under flera år.
Om vi antar att maskinerna kan användas i 5 år och att de minskar i värde
100 000
lika mycket varje år blir värdeminskningen
= 20 000 kr per år.
5
Siffrorna för året blir då så här:
Intäkter
Kostnader
Försäljning: 150 000 kr
Värdeminskning:
Inköp av varor:
Försäljningskostnader:
20 000 kr
43 000 kr
60 000 kr
123 000 kr
Resultatet = 150 000 kr – 123 000 kr = 27 000 kr
Verksamheten har alltså under året gett en vinst på 27 000 kr!
30
Kurs 1bc Vux.indb 30
1.2 NEGATIVA TAL
2013-07-11 15:07
Resultat räknas utan moms. I detta avsnitt
är alla priser givna utan moms.
1 Företaget AlfaStar redovisar följande:
Intäkter
210 000 kr
Kostnader
Inköp av varor
Hyra
Övriga kostnader
169 000 kr
28 000 kr
17 000 kr
Beräkna företagets resultat.
2 Under en sommarvecka säljer Petter jordgubbar
vid en badstrand. Hans kostnader är följande:
Inköp av 300 liter
jordgubbar
Frakt
Reklam
3 600 kr
500 kr
400 kr
Beräkna resultatet om han säljer
a) alla jordgubbarna för 20 kr/l
b) 200 liter för 29 kr/l och resten för 19 kr/l.
4 Företaget Tryck-till-tusen ska köpa in t-shirts
och trycka text på tröjorna.
Första årets budget såg ut så här:
Intäkter
Starta-eget-bidrag
Försäljningsintäkter
Modell A
Modell B
78 000 kr
98 kr/st
149 kr/st
Kostnader
Inköp av material
Hyra av lokaler
och utrustning
Reklam
236 000 kr
95 000 kr
45 000 kr
a) Beräkna resultatet om man säljer 2 300 st
tröjor av modell A och 1 400 st tröjor av
modell B under året.
b) Hur mycket skulle var och en av de två delägarna få om de delar lika på överskottet?
5 En hotellkedja köpte in 3 200 souvenirdockor
för 35 kr/st. Övriga försäljningskostnader
uppgick till 48 000 kr.
Anta att man lyckas sälja alla dockorna.
a) Hur stor blir vinsten om försäljningspriset
är 69 kr/st?
b) Vid vilket försäljningspris blir resultatet
en förlust?
6 Helena har ett familjebageri. Förra året köpte hon
maskiner för 640 000 kr med en beräknad livslängd på 8 år. Bageriets kostnader under året för
inköp, löner mm fördelade sig på följande sätt:
3 Ett företag köper en maskin för 180 000 kr.
1 275 000 kr
540 000 kr
120 000 kr
40 000 kr
Bageriet sålde för 2 340 000 kr under året.
a) Den används i 5 år, därefter skrotas den.
Vad är maskinen värd efter 2 år om värdeminskningen är lika stor varje år?
a) Vad är kostnaden för värdeminskning av
maskinerna om den är lika stor varje år?
b) Vad är maskinen värd efter 2 år om dess
värde varje år minskar med en tredjedel
av föregående års värde?
c) Vad blev bageriets årsresultat?
1.2 NEGATIVA TAL
Kurs 1bc Vux.indb 31
Råvaror
Löner
Lokaler
Reklam
b) Beräkna bageriets totala kostnader
under året.
31
2013-07-11 15:07
1.3 Tal i bråkform
Hur stor andel?
Exempel
Elna delar sin pizza i fjärdedelar och äter
tre av delarna. Hur stor andel av pizzan
äter hon?
1
1
1
3
+
+
=
4
4
4
4
Hon äter tre fjärdedelar av pizzan.
Tre fjärdedelar är ett tal som i bråkform kan skrivas
Täljare
3
eller 3/4.
4
Nämnare
Talet under bråkstrecket talar om vilka delar vi har (fjärdedelar).
Talet ovanför bråkstrecket talar om hur många delar vi har (3 stycken).
Omvandla tal i bråkform till decimalform kan vi enkelt göra med räknare.
Tabellen visar några viktiga omvandlingar du bör kunna utantill!
Bråkform
1301
Decimalform
En halv
1
2
0,5
En tredjedel
1
3
0,333...
En fjärdedel
1
4
0,25
En femtedel
1
5
0,2
Hur stor andel av figuren är färgad?
Vi måste först dela området i lika stora delar.
3 trianglar av 8 är färgade.
3 av figuren är färgad.
8
32
Kurs 1bc Vux.indb 32
1.3 TAL I BRÅKFORM
2013-07-11 15:08
1302 Skriv talen i bråkform.
a) en åttondel
1309 Jennys farmor har sytt ett lapptäcke. Hon
påstår att 2/9 av lapptäcket är grönt.
b) sju åttondelar
c) tre femtedelar
d) en tiondel
1303 Skriv ett bråk som anger hur stor andel av
respektive figur som är färgad.
a)
c)
a) Förklara varför hon har fel.
b) Hur stor andel av täcket är grönt?
c) Hur stor andel av täcket är blått?
b)
d)
1310 a) Vad är hälften av
2
?
6
b) Ge exempel på ett bråktal som är
2
dubbelt så stort som
6
1311
1304 Willy ska åka till Stockholm.
4
När han har åkt av sträckan tar han paus.
5
Hur stor del av resan har han kvar?
1305 Bestäm utan räknare vilket bråk är störst,
1/5 eller 1/6?
Förklara hur du tänker.
1306 Skriv i decimalform. Kontrollera med
räknare.
1
b) 2
c) 2
a)
10
5
3
1307 I en butik arbetar fem män och sju kvinnor.
a) Hur stor är andelen män?
b) Hur stor är andelen kvinnor?
1308 Malin och Leila har delat en pizza i två lika
stora delar. Malin har ätit 3/8 av sin del och
Leila 3/5 av sin del.
A
D
B
C
F
E
G
Det kinesiska Tangram-pusslet består av
en kvadrat som delats i sju delar. Hur stor
andel av pusslet utgör
a) A
e) F
b) A + B
f) D
c) G
g) E + F
d) E
h) E + F + C + D?
1312 Skriv ett tal i bråkform
a) som kan skrivas 0,025
b) som är hälften så stort som 0,1
c) som ligger mellan 0,10 och 0,11.
Vem har ätit mest?
Förklara hur du tänker.
1.3 TAL I BRÅKFORM
Kurs 1bc Vux.indb 33
33
2013-07-11 15:08
Aktivitet
UNDERSÖK
Jämföra bråktal
1 En chokladkaka med 24 rutor kan delas i lika stora delar
på många olika sätt. Rita sex bilder av kakan och
dela kakan i två delar
dela kakan i tre delar
dela kakan i fyra delar
dela kakan i sex delar
dela kakan i åtta delar
dela kakan i tolv delar
2 Skugga eller färglägg en av dina bilder.
Skriv bråktalet bredvid den skuggade delen.
2
2
av kakan
c)
av kakan
a)
3
6
3
6
b)
av kakan
d)
av kakan
4
8
3 Två av bråktalen i uppgift 2 beskriver lika
mycket choklad. Vilka?
4 Studera dina bilder och skriv flera olika bråktal
1
som är lika stora som .
2
1
5 Vilka tal är större än ? Förklara hur du tänker.
2
7
11
2
5
13
8
5
12
14
5
10
28
14
8
6 Vilket tal är störst?
a)
34
Kurs 1bc Vux.indb 34
3
4
eller
6
6
b)
1
1
eller
6
8
c) 2 eller 2
4
3
7 Använd bilderna i uppgift 1. Vad ska det stå
i rutorna?
a)
1
=
3
24
c)
b)
2
=
3
24
d)
5
=
6
24
e)
10
=
12
24
7
=
8
24
8 Använd resultatet i uppgift 7 för att avgöra
vilket bråk som är störst.
a)
2
5
eller
3
6
b)
7
10
eller
8
12
9 Vilket bråk är störst? Visa en beräkning eller
förklara hur du tänker.
a)
3
1
eller
5
2
c)
3
7
eller
4
9
b)
2
1
eller
5
3
d)
7
8
eller
8
9
1.3 TAL I BRÅKFORM
2013-07-11 15:08
Förlängning och förkortning
Exempel 1
Det är viktigt att förstå att flera olika bråk kan beskriva samma sak.
Vi kan därför förlänga eller förkorta ett bråk utan att ändra dess värde.
Vi förlänger med 2.
förlänga/
förkorta
1
2
1· 2
=
=
·
3
6
3 2
Täljare och nämnare
multipliceras med 2.
enklaste form
förhållande
Exempel 2
1
3
2
6
Vi förkortar med 2.
2
2/2
1
=
=
6
6/2
3
Täljare och nämnare
divideras med 2.
Ett bråk som inte kan förkortas mer är skrivet i enklaste form.
Bråktal används både för att ange en andel och för att beskriva ett
förhållande mellan två tal.
I en skolklass med 30 elever finns 12 pojkar och 18 flickor.
Förhållandet mellan antalet pojkar och flickor skrivs i enklaste form.
antalet pojkar
12
12/6 2
=
=
=
antalet flickor
18
18/6 3
Förhållandet
2
skrivs ofta som 2 : 3.
3
Man säger: ”två till tre”.
Med andra ord kan man säga att ”det går två pojkar på tre flickor”.
1313
Bestäm utan räknare vilket bråk som är störst,
5
6
eller ?
6
8
Vi förlänger till samma nämnare (24) för att kunna jämföra talen.
6·3
18
5
5·4
20 och 6
=
=
=
=
8
8·3
24
6
6·4
24
Svar:
1.3 TAL I BRÅKFORM
Kurs 1bc Vux.indb 35
20
18
6
är mer än
, alltså är 5 större än .
24
24
8
6
35
2013-07-11 15:08
1314
Förhållandet mellan den långa och
den korta sidan är olika för olika
flaggor. En svensk flagga som är
70 cm bred skall vara 112 cm lång.
Beräkna på enklaste sätt
förhållandet mellan 70 och 112.
Förhållandet =
35/ 7
5
70
70/ 2
=
=
=
112
112 / 2
56/ 7
8
Svar: Förhållandet är 5 : 8.
1315 Hur stor andel av figuren är
a) färgad
a) 21
b) ofärgad?
Svara i enklaste form.
1316 Förläng bråken så att nämnaren blir 18.
4
5
a)
b)
c) 2
9
6
3
1317 Miriam arbetade 4 kvällar kl 18–22 under
en vecka.
Hur stor del av full tid, 40 h, arbetade hon?
Svara i enklaste bråkform.
1318 När man förkortar ett bråk så minskar
bråkets värde, säger Tim.
Är det sant? Motivera ditt svar.
1319 Bestäm utan räknare. Kontrollera ditt svar
med räknare.
3
5
eller ?
a) Vilket bråk är störst
5
7
2
b) Vilka av följande tal är lika med ?
5
20
12
6
4
8
50
25
15
9
20
1320 Hur stor andel av en timme är
36
Kurs 1bc Vux.indb 36
1321 Ange ett bråk som har samma värde som
2 /7 men en nämnare som är
a) 10 minuter
c) 3 minuter
b) 45 minuter
d) 5 minuter?
b) 56
1322 En TV kan ha olika förhållanden mellan
bredd och höjd på bilden. 4:3 var tidigare
ett standardformat och 16:9 kallas för
widescreen. Ayla mäter bredden på sin
TV till 56 cm och höjden till 42 cm.
Är Aylas TV standard eller widescreen?
1323 48 g koppar, 12 g zink och 20 g nickel
smälts samman till nysilver.
Bestäm i enklaste form
a) andelen koppar
b) förhållandet mellan mängden zink
och mängden koppar.
1324 Två tal förhåller sig som 3 : 4. Vilka är talen
om deras summa är 28?
x
har ett värde som ligger mellan
36
1
1
och . Vilka tal kan x vara?
3
2
1325 Bråket
1326 Dela upp täljare och nämnare i
35
primfaktorer och förklara varför
66
inte går att förkorta.
1.3 TAL I BRÅKFORM
2013-07-11 15:08
Addition och subtraktion av bråk
Exempel 1
Hur mycket blir
5 2
+ ?
6 6
Två bråk med samma nämnare kan adderas direkt.
+
5
6
=
2
6
+
=
7
6
Bråk större än 1 kan skrivas antingen i bråkform eller i blandad form.
7
1
=1
6
6
Bråkform
Exempel 2
Blandad form, uttalas
en hel och en sjättedel.
Två bråk med olika nämnare kan inte adderas direkt.
1
1
av en chokladkaka och
av en annan likadan kaka,
4
3
hur stor del av en hel kaka har du fått?
Om du får
olika nämnare
+
1
4
+
Kakorna är delade på olika sätt.
1
3
När bråken har olika nämnare måste man först skriva om, förlänga,
bråken till samma nämnare. Båda bråken skrivs med nämnaren 12.
gemensam nämnare
Detta kallas att använda en gemensam nämnare till bråken.
+
1·3
4·3
förlänger med 3
Tips
1.3 TAL I BRÅKFORM
Kurs 1bc Vux.indb 37
+
=
1·4
3·4
=
3
4
+
12 12
=
7
12
förlänger med 4
Genom att multiplicera nämnarna med varandra i två bråktal får du
alltid en gemensam nämnare.
37
2013-07-11 15:08
1327
7
3
–
12 12
Beräkna och svara i enklaste form
3
4 /4
1
7
4
–
=
=
=
12 12 12 12 /4 3
1328
Skriv
9
a) i blandad form
4
a)
1329
b) 3
9 4 4 1
1
= + + =2
4 4 4 4
4
1
i bråkform.
2
1 2 2 2 1 7
3 = + + + =
2 2 2 2 2 2
Beräkna och svara i enklaste form.
a)
1 1
+
2 6
b)
Förläng till nämnaren 6.
a)
Förläng till samma nämnare.
1 1 1·3 1
+ =
+ =
2 6 2·3 6
=
2 1
–
3 4
b)
3 1 4 2
+ = =
6 6 6 3
2 1 2·4 1·3
– =
–
=
3 4 3·4 4·3
=
8
3
5
–
=
12 12 12
Förkorta med 2.
1330
På en idrottsdag kunde eleverna välja fotboll, volleyboll eller bad.
1/4 valde fotboll och 3/5 valde volleyboll.
Hur stor andel av eleverna valde
a) en bollsport
a) Fotboll eller volleyboll:
b) Bad: 1 −
b) bad?
5
12 17
1 3 1·5
3·4
+ =
+
=
+
=
20 20 20
4 5 4·5
5·4
17 20 17
3
=
−
=
20 20 20 20
Svar: a) 17/20 valde en bollsport.
38
Kurs 1bc Vux.indb 38
b) 3/20 valde bad.
1.3 TAL I BRÅKFORM
2013-07-11 15:08
Lös följande uppgifter utan räknare.
1331 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
2
5
a) +
=
7
7
7
9
2
1333 Skriv i blandad form
7
7
b)
a)
2
4
1334 Skriv i bråkform
1
1
a) 2
b) 2
2
3
1341 Skriv talen i bråkform och beräkna
1
1
1
2
a) 1 + 1
b) 2 − 1
2
4
3
3
c)
10
3
c) 1
4
5
1 1
+
2 5
Förläng först till nämnaren 10.
1336 Beräkna
c)
6
4
+
15
5
3
1
är större än
8
3
1344 Vilket tal är a?
8
a
a) – 1 =
5
5
b) 3 +
7 a
=
9 9
1345 För flera tusen år sedan räknade man i
Egypten nästan bara med bråk där täljaren
är 1. Sådana bråk kallas stambråk.
a)
1337 Förläng till gemensam nämnare och beräkna
1 3
2 1
a) +
b) –
2 4
3 4
Kurs 1bc Vux.indb 39
1342 Ge exempel på två olika bråk som har
summan
5
2
a)
b)
6
3
1343 Visa att
1335 Beräkna och svara i enklaste form
3
1
2 1
5 2
a) +
b) –
c)
+
12 12
5 5
9 9
1
b) 3 –
10 6
+
+
1340 Anna, Bo och Per delade på en lotterivinst.
5
1
och Bo fick
av vinsten.
Anna fick
8
4
Hur stor andel fick Per?
Skriv talet blandad form.
1.3 TAL I BRÅKFORM
+
+
b)
2
3
Skriv talet i bråkform.
1338 Beräkna
2 3
a) +
6 4
a)
5
=1
b) +
9
9
1332 a) Bilden visar 2
b) Bilden visar
1339 Skriv den beräkning som visas med
bilden och gör beräkningen
2
kan skrivas som summan av två olika
7
1
stambråk. Det ena är .
4
Vilket är det andra?
b) ”Sju tolftedelar” kan skrivas som summan
1
av två olika stambråk. Det ena är .
3
Vilket är det andra?
39
2013-07-11 15:08
Multiplikation och division av bråk
Exempel 1
1
?
4
1
1
3
1
1
kan beräknas
+
+
=
3·
4
4
4
4
4
Hur beräknas 3 ·
3·1
1
3
=
=
4
4
4
Vi får samma resultat med 3 ·
Exempel 2
Hur beräknas
+
+
=
Det är bara täljaren som
ska multipliceras med 3!
2
av 2 800 kr?
7
1
2 800
av 2 800 kr =
kr = 400 kr
7
7
2
av 2 800 kr = 2 ∙ 400 kr = 800 kr
7
2 · 2 800
2
kr = 800 kr
Vi får samma resultat med ∙ 2 800 kr =
7
7
Hur beräknas
2
3
av ?
3
4
3/4
3/4



















Exempel 3
2 av 3
4
3
Av figuren ser du att
2
3 2 1
av = =
3
4 4 2
Vi får samma resultat med:
Multiplikation av bråk
2 3 2·3
1
∙ =
=2=
3 4 3·4
4 2
Vid multiplikation av två bråk multipliceras täljarna för sig och
nämnarna för sig. a · c = a · c
b d
b·d
Då ett bråk multipliceras med ett heltal multipliceras endast täljaren
b
a·b
med talet. a · =
c
c
40
Kurs 1bc Vux.indb 40
1.3 TAL I BRÅKFORM
2013-07-11 15:08
1346
Beräkna
2
a) 4 ·
9
a) 4 ·
1347
b)
2
8
4·2
=
=
9
9
9
3
av 6 000 kr
4
3 · 6 000
b) 3 · 6 000 kr =
kr = 4 500 kr
4
4
Beräkna
a)
2
4
av
3
5
b)
2 4 2·4
8
=
a) ∙ =
3 5 3 · 5 15
5 2
·
7 15
1
2
5 2
5·2
1·2
=
b) ·
=
=
7 15 7 · 15 7 · 3 21
3
Ibland kan man förkorta
innan talen multipliceras.
Lös uppgifterna 1348 – 1353 utan räknare.
1348 Beräkna
1
a) 4 ·
5
b) 2 ·
2
9
c) 20 ·
10
3
1349 Till en barnteater kom 60 personer.
3/4 av dem var barn.
Hur många vuxna fanns det i publiken?
1350 Vilket är mest
2
3
av 60 kr eller av 50 kr?
3
5
1351 a) Hur många timmar är 2 /3 dygn?
b) Hur många sekunder är 3/4 minut?
1352 Beräkna
a)
2 2
·
3 5
b) 3 ·
2
7
c)
3 1
·
5 4
1353 Beräkna och svara i enklaste form
a)
9 7
·
14 18
b)
4 5
·
15 24
c) 3 ·
1
21
1354 I kylskåpet ligger 3/4 av en pizza. Lotta äter
1/3 av biten.
Rita en bild och beräkna hur stor andel av
en hel pizza hon har ätit.
1.3 TAL I BRÅKFORM
Kurs 1bc Vux.indb 41
1355 En back läsk innehåller 20 flaskor och varje
flaska innehåller 1/3 liter.
Hur många liter innehåller flaskorna
tillsammans? Svara både i blandad form
och i bråkform.
1356 14 karat guld
innehåller
14/24 guld.
Hur många gram
rent guld innehåller två st 14
karats ringar som
tillsammans
väger 12 g?
1357 Amir, Liz och Niklas arbetade tillsammans
med en hemsida. Amir gjorde 2 /3 av arbetet,
Liz 1/4 av arbetet och Niklas resten. De
arbetade i fem dagar och fick 12 000 kr för
hela arbetet.
Hur ska de fördela pengarna?
1358 Produkten av två tal är 1. Bestäm den andra
faktorn om den ena faktorn är
a)
1
4
b) 2
c)
3
5
d) 6
41
2013-07-11 15:08
Exempel 4
Hur många läskburkar krävs för att fylla en
1
2-litersflaska, om en burk innehåller liter?
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1 liter
1
3
1
3
1 liter
Av figuren ovan ser du att svaret är 6 burkar.
Detta resultat kan vi också få med hjälp
av en innehållsdivision:
2
1
3
=
2
1
1
3
=
2·3
1·1
1·3
3·1
=
1
6
1
=6
Vi förlänger så att nämnaren blir 1.
inverterat tal
Division av bråk
1359
2
3
Vi ser att divisionen 1 ger samma resultat som multiplikationen 2 ·
1
3
b
a
Man säger att är det inverterade talet till .
a
b
Täljare och nämnare har bytt plats.
3
1
T ex är
det inverterade talet till .
1
3
Att dividera med ett bråk ger samma resultat
som att multiplicera med bråkets inverterade tal.
a
a d
b
= ·
c
b c
d
Beräkna
a)
4 1
/
5 2
a)
4 1
/ = 45 · 21 = 45 ·· 21 = 85
5 2
b) 2 /
2
3
2 2 3 2·3
=3
b) 2 / = · =
3 1 2 1·2
c)
6
/3
7
2
6
6 3 6 1 6·1 2
c) / 3 = / = · =
=
7
7 1 7 3 7·3 7
1
42
Kurs 1bc Vux.indb 42
1.3 TAL I BRÅKFORM
2013-07-11 15:08
1360 Beräkna utan räknare
4 1
5
a) /
c) / 3
3 2
6
b) 2 /
3
4
d)
8
4
/
15 25
1361 Bestäm det bråk som är hälften av
4
3
1
b)
c)
d) 7
a)
7
4
6
1362 Till en kaka använde Anna 3/4 hg smör.
Hon delar kakan i lika stora bitar.
Hur mycket smör innehåller en bit
om hon delat kakan i
a) 3 delar
b) 5 delar?
1363 Farmor har gjort 5 liter vinbärssaft som
ska hällas på flaskor. Hur många flaskor
behövs om de rymmer
a) 2 /3 liter
b) 3/4 liter?
1366 I Sverige finns många fritidsbåtar.
I 1/5 av båtarna finns möjlighet att övernatta. 3/5 av dessa båtar är motorbåtar
och resten är segelbåtar.
Hur stor andel av fritidsbåtarna är
a) en motorbåt med övernattningsmöjlighet
b) en segelbåt med övernattningsmöjlighet?
1367 Vilket tal ska 2 /3 multipliceras med för
att ge talet 3/2?
1368 Du och dina fem kompisar ska dela på en
jättepizza.
Anna får 1/6 av hela pizzan.
Benjamin får 1/5 av det som är kvar.
Cecilia får 1/4 av det som sedan är kvar.
Dan får 1/3 av resten och Erik 1/2 av
återstoden.
Vad blir kvar till dig?
1364 I ett samhälle insjuknade 3/10 av befolkningen i influensa. 5/6 av de insjuknade
blev sängliggande längre än en vecka. Hur
stor andel av befolkningen motsvarade det?
2
liter koncentrerad
3
saft. När den blandas ut ska man ta 1 del
saft och 4 delar vatten. Hur mycket färdigblandad saft ger saftflaskan?
1365 En flaska innehåller
1.3 TAL I BRÅKFORM
Kurs 1bc Vux.indb 43
1369 Bara 1/5 av de anställda på ett företag tar
bilen till jobbet. Av dem som inte kör bil,
cyklar eller går hälften. Resten åker med
kollektivtrafiken.
Petra påstår att det är dubbelt så många
som åker kollektivt jämfört med de som
åker bil.
Är det sant? Motivera ditt svar.
43
2013-07-11 15:08
1.4 Tal i potensform
Vad menas med 35?
Exempel 1
Summan av flera lika tal kan skrivas på ett kort sätt:
3+3+3+3+3=5∙3
Även för en multiplikation har vi ett kort skrivsätt:
3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35
potens
bas – exponent
tiopotenser
35 kallas en potens och läses ”3 upphöjt till 5”.
3 kallas bas och 5 kallas exponent.
Tal skrivna i potensform med basen 10 kallas tiopotenser.
Potensform
10
Exempel 2
Varje match ger tre
alternativ (1, X eller 2).
Faktorform
Värde
10 · 10
100
25
2·2·2·2·2
32
x
x·x·x
2
3
Antalet möjliga rader
på Stryktipset är 313.
313 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 1 594 323
Ordet potens betyder kraftfull och vi ser att beräkningar med potenser
är "kraftfulla" − vi får ofta stora tal som resultat.
1401
1402
a) Skriv 103 i faktorform.
b) Skriv x ∙ x ∙ x ∙ x i potensform.
a) 103 = 10 ∙ 10 ∙ 10
b) x ∙ x ∙ x ∙ x = x4
Beräkna 4 + 2 · 52 utan räknare.
4 + 2 · 52 = 4 + 2 · 25 = 4 + 50 = 54
Potenser beräknas
först. Se sidan 11.
Potenser på din räknare
Vanliga tangenter för ”upphöjt till” är ∧ eller xy .
44
Kurs 1bc Vux.indb 44
1.4 TAL I POTENSFORM
2013-07-11 15:08
1403 Skriv i potensform
a) 4 ∙ 4 ∙ 4
b) 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7
c) x ∙ x
1404 Skriv i faktorform
a) 62
b) 36
1412 Skriv som en potens
28
107
a) 3
c) 3
2
10
b) 33 ∙ 33
c) a5
1405 Beräkna utan räknare
a) 102 + 102
c) 102 + 103 + 104
b) 103 + 102
d) 105 – 103
d) 10 ∙ 102 ∙ 105
1413 Egon är en egenföretagare. Han drömmer
om att antalet personer i företaget ska
fördubblas varje år. Om 20 år skulle jag
nog minst ha 100 000 anställda, tänker han.
Stämmer detta? Motivera.
1406 Beräkna utan räknare
a) 24 + 1
b) 102 + 23
c) 62 − 5
1407 Beräkna utan räknare. Kontrollera svaret
med räknare.
b) 4 ∙ 52 + 15
a) 2 ∙ 42
1408 Skriv i potensform med basen 10.
a) ett tusen
b) en miljon c) en miljard
1409 a) Skriv 23 ∙ 24 i faktorform och sedan som
en potens.
b) Skriv 32 ∙ 36 i faktorform och sedan
som en potens.
c) Vad ska det stå i rutan 53 ∙ 56 = 5
d) Skriv med ord en regel för multiplikation
av tal i potensform med samma bas.
1410 Skriv i potensform med basen 2
a) 8
b) 16
c) 32
d) 64
7
1411 a) Utgå från 33 . Skriv talen i faktorform
3
och förkorta. Skriv sedan svaret som en
potens.
7
b) Utgå från 24 . Skriv talen i faktorform
2
och förkorta. Skriv sedan svaret som en
potens.
5
c) Vad ska det stå i rutan 42 = 4
4
d) Skriv med ord en regel för division av
tal i potensform med samma bas.
1.4 TAL I POTENSFORM
Kurs 1bc Vux.indb 45
1414 Skriv i potensform med basen 2 det tal
som är
a) dubbelt så stort som 28
b) hälften så stort som 28.
1415 Beräkna utan räknare
a) (– 5)2
b) (– 3)3
c) (– 2)4
1416 Vilket tal är x?
a) 53 ∙ 5x = 510
b)
210
= 27
2x
c) 2 x ∙ 4 = 215
d)
82
=4
2x
45
2013-07-11 15:08
Några potenslagar
Vi visar hur tal i potensform kan tolkas och förenklas med hjälp av
våra vanliga räkneregler.
Sammanfattning
34 ∙ 32 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 36
34 ∙ 32 = 34+2 = 36








1
Tolkning och förenkling
4 faktorer
1
2
exponenten noll
1
25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 ∙ 2 = 2 2
23
2·2·2
1
Potenslagar
1
2 faktorer
2 3
1
1
25 = 25−3 = 22
23
3
3
(4 ) = 4 ∙ 4 ∙ 42 = 46
(42) = 42 ∙ 3 = 46
4
(2r)3 = 2r ∙ 2r ∙ 2r = 8r3
(2r)3 = 23r3 = 8r3
2
2
y
ax∙ ay = ax+y
(a x) = a xy
ax = ax−y
ay
(a ∙ b)x = a x ∙ b x
Vad menas med 30 ?
32
=
2
3
32 – 2 = 30 enligt potenslagen för division.
1 eftersom täljare och nämnare är lika stora.
Vi bör alltså definiera 30 som 1.
negativ exponent
Vad menas med 3 –2 ?
32
=
34
32 – 4 = 3 – 2 enligt potenslagen för division.
1
3⋅ 3
1
= 2
=
3⋅ 3⋅ 3⋅ 3 3 ⋅ 3
3
1
Vi bör alltså definiera 3 –2 som 2
3
Definition
46
Kurs 1bc Vux.indb 46
a −x =
1
ax
och
a0 = 1
a≠0
a får inte vara 0.
1.4 TAL I POTENSFORM
2013-07-11 15:08
1417
1418
Förenkla med potenslagarna
a) 33 · 35
6
b) 32
3
c) (23)
a) 33 · 35 = 33+5 = 38
6
b) 32 = 36–2 =34
3
c) (23) = 23 · 4 = 212
4
Skriv 10 –3 som ett tal
a) i bråkform
a) 10 –3 =
b) i decimalform
1
1
=
103
1000
b) 10 –3 =
1419 Skriv 10 –2 som ett tal
a) i bråkform
b) i decimalform.
1420 Skriv 10 –4 som ett tal
a) i bråkform
b) i decimalform.
5
b) 33
3
d) 10
106
4
c) 5 ∙ 10 –4 ∙ 3 ∙ 102
b)
12 · 10
6 · 103
d)
36 · 10-2
9 · 10-4
1429 Freja påstår att 42 + 42 + 42 kan skrivas 46.
a) Förklara varför det är fel.
1422 Skriv 0,01 som ett tal
b) Hur kan 42 + 42 + 42 skrivas kortare?
a) i bråkform
1430 Vilket tal är x?
b) i potensform med basen 10.
1423 Beräkna utan räknare
a) 52 + 51 + 50
b) 72 ∙ 70
1424 Förenkla
b) 34/3
c) 2/25
2
a) 10 = 10x
105
2
c) 10 = 107
10x
x
b) 10–5 = 10 –7
10
–2
d) 10 –5 = 10x
10
1431 Bestäm utan räknare.
Vilket tal är störst 2 –3 eller 3 –2?
Motivera.
1425 Skriv i potensform med basen 10
a) en tusendel
1432 a) Skriv om 6200 med exponenten 100.
b) en miljondel.
b) Skriv om 2500 med exponenten 100.
c) Vilket tal är störst, 6200 eller 2500 ?
1426 Förenkla
1.4 TAL I POTENSFORM
a) 2 ∙ 3 ∙ 105 ∙ 10 –2
3
c) (5 )
a) (4 · a)2
1427 Beräkna utan räknare. Kontrollera svaret
med räknare.
1428 Är den sant att (103) är detsamma som
en miljon?
2 3
a) 108 · 1010
a) 43 · 42 · 4
1
= 0,001
1000
4
1421 Förenkla
Kurs 1bc Vux.indb 47
4
b) (10x)3
2 3
c) (2x )
47
2013-07-11 15:08
Grundpotensform
Exempel
Jordens massa är 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg.
En elektron har massan 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg.
Tal med många nollor är besvärliga att skriva och svåra att läsa, men
med tiopotenser kan vi hantera både stora och små tal på ett bekvämt sätt.
1 500 = 1,5 · 1 000 = 1,5 · 10 · 10 · 10 = 1,5 · 103
0,015 = 1,5 · 0,01 = 1,5 · 10 –2
Jordens massa är
5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg = 5,98 ∙ 1024 kg
24 steg
Elektronens massa är
0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg = 9,11 ∙ 10−31 kg
31 steg
Grundpotensform
Stora och små tal skrivs ofta på formen a · 10n.
a är ett tal i decimalform, som är större än eller lika med 1
och mindre än 10. 1 < a < 10
Detta sätt att skriva tal kallas grundpotensform.
Tal i grundpotensform skrivs in och presenteras olika på olika räknare.
Ta reda på hur din räknare fungerar.
1433
Skriv utan potenser
a) 5,41 ∙ 106
b) 2 ∙ 10−4
a) 5,41 ∙ 106 = 5 410 000
b) 2 ∙ 10−4 = 0,000 2
6 steg
1434
1435
4 steg
Skriv i grundpotensform
a) 6 000 000 000
b) 0,000 042
a) 6 000 000 000 = 6 ∙ 109
b) 0,000 042 = 4,2 ∙ 10−5
Beräkna med räknare
3,8 ∙ 1018 ∙ 1,1 ∙ 10−3
3,8 ∙ 1018 ∙ 1,1 ∙ 10−3 = 4,18 ∙ 1015
48
Kurs 1bc Vux.indb 48
1.4 TAL I POTENSFORM
2013-07-11 15:08
1436 Skriv utan potenser
a) 4,5 ∙106
c) 2 ∙106
b) 5,3 ∙103
d) 7,04∙108
1437 Skriv i grundpotensform
a) 2 000 000
c) 60 000
b) 2 300 000
d) 61 200
1438 Beräkna med räknare
a) 450 ∙ 8 ∙ 107
b) 7,5 ∙ 106 ∙ 4,8 ∙ 107
1445 Avståndet från jorden till månen är
3,84 · 108 m.
Avståndet från jorden till solen är
1,5 · 1011 m.
Hur många gånger längre är det till solen
än till månen?
1446 En vuxen människa har ca 2,5 ∙ 1013
röda blodkroppar. Varje blodkropp är
ca 7 ∙ 10 –3 mm lång. Anta att blodkropparna
kunde läggas i rad.
Hur lång skulle raden bli i kilometer?
1439 Avståndet mellan jorden och solen är
1,5 ∙ 10 11 m. Till stjärnan Sirius är det
540 000 gånger så långt.
Beräkna avståndet till Sirius.
1440 Skriv utan potenser
a) 3,8 ∙ 10 -4
c) 9,02 ∙ 10 -3
b) 5,9 ∙ 10 -6
d) 8 ∙ 10 -4
1441 Skriv i grundpotensform
a) Jordens folkmängd: 6 900 000 000.
b) Röda blodkroppars diameter: 0,007 mm.
1442 Skriv i grundpotensform
a) 17 miljoner
c) 3 tusendelar
b) 132 miljarder
d) 92 tusendelar
1443 En elektron väger 9,1 · 10 –31 kg. En proton
väger 1 900 gånger mer.
Vad väger en proton?
1444 Hushållen i Sverige kastar varje år
4,7 · 109 kg avfall.
Hur mycket blir det per person om antalet
invånare är 9,4 miljoner?
1.4 TAL I POTENSFORM
Kurs 1bc Vux.indb 49
49
2013-07-11 15:08
Enhetsbyten
En längd kan beskrivas med ett mätetal och en enhet.
Om vi byter enhet ändras även mätetalet. Exempel:
Längden 1,65 m = 165 cm
Enhet
Mätetal
I tabellen nedan ser du några vanliga enheter för längd, volym och vikt.
Mätetalet ska
multipliceras
med 10.
∙ 10
∙ 10
∙ 10
∙ 10
∙ 10
l
(liter)
Volym
Massa
kg
(kilogram)
Längd
km
(kilometer)
hg
(hektogram)
dl
(deciliter)
/10
cl
(centiliter)
ml
(milliliter)
g
(gram)
mg
(milligram)
m
(meter)
/10
∙ 10
/10
dm
(decimeter)
/10
cm
(centimeter)
/10
/10
mm
(millimeter)
Mätetalet ska
divideras
med 10.
Mätetalet ska: divideras − när vi går från mindre enhet till en större.
multipliceras − när vi går från en större enhet till en mindre.
Ytterligare några enheter.
Tid: 1 år = 365 dygn
1 dygn = 24 h
1 h = 60 min
1 min = 60 s
1447
Längd: 1 mil = 10 km
Massa: 1 ton = 1 000 kg
a) Skriv 3 dm med enheten mm.
b) Skriv 14,5 g med enheten kg.
c) Skriv 15 min med enheten timmar.
a) 3 dm = 3 · 100 mm = 300 mm
14,5
kg = 0,0145 kg
1 000
15
c) 15 min =
h = 0,25 h
60
b) 14,5 g =
50
Kurs 1bc Vux.indb 50
1.4 TAL I POTENSFORM
2013-07-11 15:08
Vilket tal ska stå i rutan?
1448 a) 3 m =
cm
c) 5 km =
m
mm
d) 7 dm =
mm
1449 a) 3 kg =
g
c) 5 g =
b) 4 hg =
g
d) 7 kg =
hg
mån
c) 5 h =
min
b) 2 cm =
1450 a) 3 år =
h
d) 7 min =
dm
c) 5,5 dm =
cm
d) 7,3 km =
m
b) 2 dygn =
1451 a) 40 cm =
b) 3 hg =
kg
1452 a) 2,5 dl =
ml
b) 0,8 l =
mg
ml
1453 a) 2,5 min =
s
b) 15 min =
h
s
c) 17 ml =
cl
d) 4,5 dl =
ml
c) 0,4 h =
min
d) 12 min =
h
a) 500 g
1454 Skriv som gram (g)
a) 3,5 hg
b) 0,8 kg
c) 75 mg
1455 Ken har gjort
4,8 liter milkshake.
Hur många glas kan
han fylla med milkshake om ett glas
rymmer
b) 750 g?
1459 Skriv vikterna i storleksordning, med den
minsta först.
2 500 mg
20 g
0,15 hg
0,01 kg
1460 2,5 liter parfym ska hällas på flaskor som
rymmer 50 ml.
Hur många flaskor går åt?
a) 2 dl
1461 En bil som släpper ut 120 g koldioxid (CO2)
per kilometer (eller mindre) klassas som en
miljöbil.
b) 1,6 dl
c) 12 cl?
1456 Vilka volymer är lika stora?
500 ml
5 cl
0,5 dl
5 dl
½ liter
50 ml
1457 Skriv längderna i storleksordning, med den
minsta först.
430 mm
17 cm
0,25 m
3,9 cm
1,5 dm
0,1 m
1.4 TAL I POTENSFORM
Kurs 1bc Vux.indb 51
1458 Tove är ledare på ett fotbollsläger och ska
koka 6 kg pasta till spelarna.
Hur många paket behöver hon om ett paket
innehåller
Hur stort blir utsläppet i kg om man kör
1 500 mil med en sådan bil?
1462 Sten skall sätta kakelplattor på en vägg.
En platta är 20 cm bred och 10 cm hög.
Hur många plattor behöver han till en vägg
som är 3,2 m bred och 2,5 m hög?
1463 Hur länge räcker 0,5 liter medicin om man
tar 25 ml fyra gånger per dygn?
51
2013-07-11 15:08
Prefix
Exempel 1
Storleken på datafiler och datorminnen mäts i byte, som förkortas B.
En minnesenhet innehåller 4,25 GB. GB står här för gigabyte.
Bokstaven G (giga) står för tiopotensen 109 (en miljard).
prefix
Giga är ett prefix. Prefix betyder fäst framför.
Prefix
Exempel
1012
T
tera
1 TW = 1 terawatt
10
G
giga
1 GB = 1 gigabyte
Tal
Beteckning
och namn
Namn och tiopotens
En biljon =
1 000 000 000 000 =
En miljard =
1 000 000 000 =
9
En miljon =
1 000 000 =
106
M mega
1 MJ = 1 megajoule
Ett tusen =
1 000 =
103
k
kilo
1 km = 1 kilometer
100 =
102
h
hekto
1 hg = 1 hektogram
–1
d
deci
1 dl = 1 deciliter
centi
1 cm = 1 centimeter
Ett hundra =
En tiondel =
0,1 =
10
En hundradel =
0,01 =
10 –2
c
En tusendel =
0,001 =
10 –3
m milli
1 mg = 1 milligram
En miljondel =
0,000 001 =
10 –6
µ
mikro
1 µm = 1 mikrometer
En miljarddel =
0,000 000 001 =
10
n
nano
1 nm = 1 nanometer
Exempel 2
–9
Du har redan arbetat med prefix, t ex kilo och milli.
2 kilometer = 2 km = 2 ∙ 103 m= 2 000 m
5 kilogram = 5 kg = 5 ∙ 103 g = 5 000 g
8 millimeter = 8 mm = 8 ∙ 10 –3 m = 0,008 m
1464
Skriv utan prefix
a) 2 GW
b) 3 400 kJ
c) 7,5 µg
a) 2 GW = 2 ∙ 109 W = 2 000 000 000 W
b) 3 400 kJ = 3 400 ∙ 1 000 J = 3 400 000 J
c) 7,5 µg = 7,5 ∙ 10 –6 g = 0,000 007 5 g
1465
Skriv
a) 4 200 kB som MB
b) 0,023 s som millisekunder (ms)
a) 4 200 kB = 4 200 ∙ 1 000 B = 4 200 000 B = 4,2 ∙ 106 B = 4,2 MB
b) 0,023 s = 23 ∙ 10 –3 s = 23 ms
52
Kurs 1bc Vux.indb 52
1.4 TAL I POTENSFORM
2013-07-11 15:08
1466 Ett vindkraftverk kan ge effekten 1,5 MW.
MW står här för megawatt.
1471 Skriv talen utan prefix
a) Effekten hos bilens motor är 75 kW.
Hur många watt är 1,5 MW?
b) Det är 200 mg kalcium i ett glas mjölk.
c) Solfångaren ger 2,5 GWh per år.
1467 Skriv utan prefix
a) 2 kg
c) 3 MB
b) 5 kW
d) 35 MW
1468 Skriv utan prefix
a) 8 cm
c) 6 mg
b) 5 cl
d) 2 ml
1469 Skriv utan prefix
a) 33 kg
c) 25 GB
b) 6,2 kg
d) 7,2 MW
1470 Hur många MW är
a) 8 000 000 W
c) 380 000 000 W
b) 1 500 000 W
d) 600 000 W?
1.4 TAL I POTENSFORM
Kurs 1bc Vux.indb 53
d) Väteatomens diameter är 0,1 nm.
1472 Skriv talen utan prefix och i grundpotensform.
a) Energiförbrukningen var 25 000 kWh.
.
b) En portion innehåller 45 µg vitamin A.
c) Gult ljus har våglängden 600 nm.
1473 Maskrosens pollenkorn är 2,8 · 10 –5 m i
diameter. Hur stor är diametern uttryckt i
a) mm
b) μm?
1474 En typ av vindkraftverk kan ge 3 GWh per år.
Ett kärnkraftverk kan ge 5 TWh per år.
Hur många vindkraftverk av denna typ
motsvarar ett kärnkraftverk?
53
2013-07-11 15:08
Talsystem med olika baser
Vårt talsystem kommer ursprungligen från Indien. Det har använts i
västerlandet i ungefär 1 000 år. Talsystemet har basen 10.
Det babyloniska talsystemet hade 60 som bas och mayafolkets talsystem
hade 20 som bas.
Låt oss se vad det innebär att räkna med olika baser.
Exempel 1
Antag att vi ska räkna kulorna
Vi börjar med basen tio. Då ordnas kulorna i grupper med tio i vardera.
2 tiogrupper
+ 3 ental = 23tio
Vi väljer nu basen fem. Då ordnas kulorna i grupper med fem i vardera.
4 femgrupper + 3 ental = 43fem
Basen skrivs ut med bokstäver som exemplen visar.
43fem utläses ”fyra tre med basen fem”.
Exempel 2
I basen 10 finns tio siffror (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9).
I ett talsystem med basen 5 finns bara fem siffror (0, 1, 2, 3 och 4)
och om basen är 7 finns sju siffror.
I tabellen nedanvisas hur några olika antal skrivs med basen 5 och 7.
Basen 10
3
•••
4
••••
5
•••••
6
7
8
9
10
11
•••••• ••••••• •••••••• ••••••••• •••••••••• ••••••••••
•
Basen 5
1fem 2fem 3fem
4fem
•
••
•••
••••
10fem 11fem 12fem
13fem
••••• ••••• ••••• •••••
•
••
•••
1sju 2sju
3sju
•
••
•••
5sju
•••••
Basen 7
Antal
Kurs 1bc Vux.indb 54
2
••
Antal
Antal
54
1
•
4sju
••••
14fem
•••••
••••
20fem
•••••
•••••
21fem
•••••
•••••
•
6sju
10sju
11sju
12sju
•••••• ••••••• ••••••• •••••••
•
••
13sju
•••••••
•••
14sju
•••••••
••••
1.4 TAL I POTENSFORM
2013-07-11 15:08
Exempel 3
Hur tolkar man tal skrivna med olika baser?
I ett tal med basen tio anger positionerna (från höger till vänster)
ental, tiotal, hundratal, tusental osv.
3246tio = (3 · 1 000 + 2 · 100 + 4 · 10 + 6 · 1)tio
3246tio = (3 · 103 + 2 · 102 + 4 · 101 + 6 · 100)tio
I ett tal med basen fem anger positionerna (från höger till vänster)
ental, femtal, tjugofemtal, hundratjugofemtal osv.
3243fem = (3 · 125 + 2 · 25 + 4 · 5 + 3 · 1)tio = 448tio
3243fem = (3 · 53 + 2 · 52 + 4 · 51 + 3 · 50)tio = 448tio
binära tal
Ett talsystem med två som bas kallas binärt. I tvåsystemet behövs bara
siffrorna 0 och 1. Datorer översätter alla tal till binär form. Där kan 0
motsvaras av ”ström av” och 1 av ”ström på”.
I det binära systemet räknar vi med ental, tvåtal, fyrtal, åttatal,
sextontal osv.
Bilden visar 27tio i det binära systemet.
1 ∙ 16
1∙8
0∙4
1∙2
1∙1
27tio = (1 ∙ 16 + 1 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1)tio = 11011 två
27tio = (1 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 20)tio = 11011 två
1475
Skriv med basen 10
a) 54sju
b) 1201tre
a) 54sju = 5 sjutal och 4 ental = (5 ∙ 7 + 4 ∙ 1)tio = 39tio
b) 1201tre = (1 ∙ 33 + 2 ∙ 32 + 0 ∙ 31 + 1 ∙ 30)tio = (27 + 18 + 1)tio = 46tio
1.4 TAL I POTENSFORM
Kurs 1bc Vux.indb 55
55
2013-07-11 15:08
1476
Skriv antalet kulor med basen
a) åtta
b) två
a)
19tio = (2 ∙ 8 + 3 ∙ 1)tio = 23åtta
b)
19tio = (16 + 2 + 1)tio = (1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1)tio = 10011två
1477 ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲
a) ❀ ❀ ❀
a) tio
c) tolv
b) ❀ ❀ ❀ ❀
b) åtta
d) sex
c) ❀ ❀ ❀ ❀ ❀
1478 ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹
✹✹✹✹✹✹✹✹✹✹✹
Skriv antalet solar med basen
a) tio
c) sex
b) sexton
d) sju
b) 11fem
c) 11åtta
1480 Skriv med basen 10
a) 41fem
c) 101två
b) 22tre
d) 101fem
1481 Vilka siffror får du använda när du
arbetar med
a) basen fem
b) basen två?
1482 Skriv antalet hjärtan med basen tre.
a)
♥♥♥♥
b) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
c) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
Kurs 1bc Vux.indb 56
1484 a) Skriv 241fem med basen tio.
b) Skriv 26tio med basen fem.
d) Skriv 50tio med basen två.
Skriv med basen tio
a) 11fyra
d) ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀
c) Skriv 50tio med basen sex.
1479 Talet 11tre innebär 1 tretal och 1 ental
alltså talet 4 med basen 10.
56
1483 Skriv antalet blommor med basen två.
Skriv antalet trianglar med basen
1485 Basen sexton används ibland i datorsammanhang. Talen 10, 11, 12, 13, 14
och 15 representeras då av ”siffrorna”
A, B, C, D, E och F.
a) Skriv 25sexton med basen tio.
b) Skriv 2Bsexton med basen tio.
c) Skriv 17tio med basen sexton.
d) Skriv 31tio med basen sexton.
1486 Vilken är basen b? Pröva dig fram.
a) 73tio = 201b
b) 330tio = 406b
1487 Talet 1201tre kan i utvecklad form med
potenser skrivas
(1 ∙ 33 + 2 ∙ 32 + 0 ∙ 31 + 1 ∙ 30)tio
Skriv på liknande sätt
a) 2202tre
c) 351åtta
b) 214fem
d) 1567tolv
1.4 TAL I POTENSFORM
2013-07-11 15:08
Historik
Två historiska talsystem
Det egyptiska talsystemet
För ca 5 000 år sedan användes i Egypten
ett talsystem med talet 10 som bas.
Symbol
Beskrivning
I
Streck
∩
Åsnehov
9
Hårlock
Lotusblomma
Tal
De räknade i ental (200), tjugotal (201) ,
fyrahundratal (202) osv.
Tal mindre än 20 skrevs med hjälp av punkter
och streck. Talet noll hade en särskild symbol.
1
0
10
•
1
••
2
••• ••••
3
11
12
13
9
1 000
•
•• ••• ••••
Vårt tal 327 kunde skrivas som 999∩ ∩IIIIIII
eller som IIIIIII∩ ∩999 eller som IIIIIII999∩ ∩.
Mayafolket i Mellanamerika använde för
ca 2 000 år sedan ett positionssystem med
basen 20.
1 Vilket tal i vårt talsystem svarar mot
a) de egyptiska symbolerna ∩II
b) Mayafolkets symboler
••
18
15
19
→ 12 fyrahundratal 12 · 400 = 4 800
••• →
•
→
3 tjugotal
3 · 20
=
60
6 ental
6·1
=
6
4 866
4 Skriv talet 108 med
a) de egyptiska symbolerna
?
b) Mayasymbolerna.
5 Vilket tal i vårt talsystem svarar mot
2 Skriv talet 26 med
a) de egyptiska symbolerna 99∩ ∩IIIII
a) de egyptiska symbolerna
b) Mayafolkets symboler
b) med Mayasymbolerna.
a) de egyptiska symbolerna 9∩ ∩I
••
?
••• ?
••
3 Vilket tal i vårt talsystem svarar mot
b) Mayasymbolerna
14
Tal större än 20 skrevs genom att symbolerna
placerades i grupper ovanpå varandra. Symbolerna i den nedersta gruppen visade ental, symbolerna i nästa grupp stod för tjugotal osv.
••
Mayafolkets talsystem
17
7
••• ••••
8
16
••
6
••
100
Detta talsystem var inget positionssystem.
Det spelade alltså ingen roll i vilken ordning
symbolerna stod.
•
5
•
••• ••••
10
4
•
6 Skriv talet 1 950 med
a) de egyptiska symbolerna.
b) Mayasymbolerna.
1.4 TAL I POTENSFORM
Kurs 1bc Vux.indb 57
57
2013-07-11 15:09
1.5 Problemlösning
Avrundning och värdesiffror
Exempel
Jenny köper en förpackning med 12 batterier för 34,90 kr.
Vad kostar ett batteri?
Räknaren ger
34,90
kr = 2,908333333… kr
12
Vi kan inte svara med 9 decimaler!
Talet måste avrundas, t ex till hundradelar.
34,90
kr ≈ 2,91 kr
12
avrundning
närmevärde
Tecknet ≈ betyder
”ungefär lika med”.
Att avrunda är att ersätta ett tal med ett närmevärde.
Närmevärdet 2,91 kr har tre värdesiffror (gällande siffror).
En avrundning av priset till 2,9 kr ger ett närmevärde med två värdesiffror.
En avrundning av priset till 3 kr ger ett närmevärde med en värdesiffra.
Följande avrundningsregler används:
Om siffran efter avrundningssiffran är
Avrundningsregler
58
Kurs 1bc Vux.indb 58
Avrundningssiffra
• 0, 1, 2, 3 eller 4 behåller vi avrundningssiffran
6,32 ≈ 6,3
• 5, 6, 7, 8 eller 9 höjer vi avrundningssiffran ett steg.
6,35 ≈ 6,4
1.5 PROBLEMLÖSNING
2013-07-11 15:09
1501
Avrunda 6,175 till
a) heltal
b) en decimal
c) hundradelar
Som hjälp drar vi ett streck efter avrundningssiffran
a) 6,175 ≈ 6
b) 6,175 ≈ 6,2
1502 Ett heltal har inga decimaler. Avrunda till
heltal
a) 9,8
b) 21,4
c) 10,39
1503
d) 401,72
1,87
1,9
1,8
a) Ligger 1,87 närmast 1,8 eller 1,9?
b) Avrunda 1,87 till en decimal.
1504 De tre främsta i en löptävling hade tiderna
Benjamin
51,47 s
Markus
51,73 s
Giorgio
51,85 s.
Avrunda tiderna till en decimal.
c) 6,175 ≈ 6,18
1510 Avrunda 0,899 till
a) heltal
b) tiondelar
c) hundradelar.
1511 Den 1 januari 2009 var folkmängden i
Stockholms län 1 891 263 och samtidigt
i Gotlands län 55 704.
a) Avrunda folkmängderna till tiotusental.
b) Skriv folkmängderna i miljoner avrundat
till två decimaler.
1512 Avrunda 3 989 till
a) tiotal
b) tusental
c) hundratal.
1513 Hur långt kan det vara mellan Alvestad
och Högstad?
1505 Avrunda publiksiffrorna till tusental.
a) 36 376 b) 41 936 c) 19 563 d) 30 512
1506 Sverige är 157,2 mil långt. Avrunda till
a) heltal
b) tiotal
c) hundratal.
1507 Avståndet till månen är ungefär
384 400 km. Avrunda avståndet till
a) tusentals km
b) hundratusentals km.
1508 Ge några exempel på tal som avrundas till
a) 8
b) 3,7
c) 2,50.
1509 Vilken eller vilka siffror kan du ersätta
med om avrundningen till hundratal är
korrekt?
a) 4 5
1 ≈ 4 600
1.5 PROBLEMLÖSNING
Kurs 1bc Vux.indb 59
b) 3 9
9 ≈ 3 900
59
2013-07-11 15:09
Överslagsräkning
Om du saknar en räknare eller behöver kontrollera om ett svar är rimligt
är det bra att kunna överslagsräkning.
Exempel
Jenny köper en förpackning med 12 batterier för 34,90 kr.
Vad kostar ett batteri?
Vi gör en överslagsberäkning. Då ersätter vi talen med enklare tal så att
beräkningarna kan göras utan räknare. Vi får ett ungefärligt svar.
36
34,90
kr ≈
= 3 kr eller
12
12
Överslagsberäkning
35
34,90
kr ≈
= 3,5 kr
10
12
Ersätt de givna talen med så enkla tal att
– beräkningarna blir enkla att utföra i huvudet
– resultatet blir ungefär detsamma.
1514
Gör en överslagsberäkning
a) 875 + 545
b) 2,8 · 3 178
c)
19,4
4,7
a) Vi avrundar till hundratal
875 + 545 ≈ 900 + 500 = 1 400
b) 2,8 · 3 178 ≈ 3 · 3 000 = 9 000
c) Vi avrundar så att vi kan räkna i huvudet
19,4 ≈ 20 = 4
5
4,7
1515
Erik ska åka utomlands och köper 215 euro. En euro kostar 9,74 kr.
Vad får han betala?
a) Gör en överslagsräkning.
b) Vad visar räknaren?
c) Hur ska vi svara?
a) 215 ∙ 9,74 kr ≈ 200 ∙ 10 kr = 2 000 kr
b) 215 ∙ 9,74 kr = 2 094,1 kr
c) Här är det lämpligt att svara med heltal.
Vi avrundar 2 094,1 ≈ 2 094
Svar: Erik får betala 2 094 kr.
60
Kurs 1bc Vux.indb 60
1.5 PROBLEMLÖSNING
2013-07-11 15:09
Gör en överslagsberäkning
1516 a) 735 + 561
b) 2 138 + 3 784
c) 937 – 341
d) 5 827 – 1 709
1517 a) 5,3 ∙ 4,1
c) 2,8 ∙ 63
b) 8,7 ∙ 5,4
d) 18 ∙ 9,4
1518 a) 15 / 7,1
c) 22,9 / 6,1
b) 28,1 / 4,2
1526 Andrea köper träningskläder för 479 kr,
1 320 kr och 287 kr. Hon får tillbaka 214 kr
på 2 500 kr.
Är det rimligt? Gör ett överslag.
1527 Jon betalar 4 475 kr i månadshyra för sin
lägenhet. Han påstår att hyran är drygt
60 000 kr i hyra per år.
Är det korrekt?
d) 107 / 5,3
1519 På en flygning får man betala för övervikt
om bagaget väger över 25 kg. Petras tre
väskor väger 11,7 kg, 5,4 kg och 9,2 kg.
Får hon betala för övervikt?
1520 Joel har ett extrajobb med timlön. Han får
1 638 kr för 21 timmars arbete. Vilken är
Joels timlön?
1528 Fia springer 7–8 km cirka 4 gånger per
vecka.
Ungefär hur långt springer hon på ett år?
1529 Fabio läser i en tidning att ett hårstrå växer
cirka 0,5 mm på ett dygn. Han räknar ut att
det motsvarar ungefär 1 m på fem år.
Har han räknat rätt?
a) Gör en överslagsräkning.
b) Vad visar räknaren?
1521 Räcker 200 kr till att köpa en julskinka som
väger 3,85 kg och kostar 49,50 kr/kg?
1522 Pocketböcker säljs på rea för 39 kr/st.
Hur många kan Julius köpa för 250 kr?
1523 Vilka beräkningar är orimliga?
A: 0,7 ∙ 7,5 = 52,5
B: 740 ∙ 1,2 = 888
C: 1 600 ∙ 0,48 = 768
D: 58 000 ∙ 0,12 = 696
1524 Vilket är det bästa alternativet till
0,84 ∙ 22,5?
A: 1,6
B: 16
C: 1,8
D: 18
1525 Vilket är det bästa alternativet till
0,64 ∙ 0,37?
A: 1,8
B: 0,024
1.5 PROBLEMLÖSNING
Kurs 1bc Vux.indb 61
C: 0,18
D: 0,24
1530
Nederländerna
Sverige
Antal invånare
Yta (km2)
16 570 613
41 526
9 393 648
449 964
Gör ett överslag och ange antalet invånare
per km2 i
a) Nederländerna
b) Sverige.
61
2013-07-11 15:09
Tema
Läkemedel
I ett läkemedel finns alltid ett verksamt ämne (substans).
Samma läkemedel finns ofta i olika styrkor.
Styrkan anges vanligen i mg/tablett eller i mg/ml om medicinen
är i flytande form.
För vissa läkemedel, t ex insulin, anges styrkan i E/ml.
E är ett mått på biologisk aktivitet.
Styrkan står angiven på läkemedelsförpackningen.
Läkemedel med samma verksamma substans kan ha olika namn.
De smärtstillande läkemedlen Panodil, Pamol och Alvedon innehåller
alla den verksamma substansen paracetamol.
När man beräknar mängden läkemedel en patient
ska få är det viktigt att man räknar helt rätt.
En för hög dos kan vara skadlig och en för låg
ger dålig effekt.
2 Skriv i milliliter
Du får börja med att träna på omvandling mellan
enheter man ofta använder inom vården.
3 Skriv i liter
1 Skriv i milligram
a) 2 g
c) 0,007 g
b) 0,325 g
d) 0,04 g
62
Kurs 1bc Vux.indb 62
a) 3,5 l
c) 0,075 l
b) 0,625 l
d) 0,2 l
a) 250 ml
c) 28 ml
b) 7 ml
d) 8,4 ml
4 Skriv i mg
a) 400 µg
c) 50 µg
b) 200 µg
d) 1 000 µg
1.5 PROBLEMLÖSNING
2013-07-11 15:09
5 En nyopererad patient drack en dag 70 ml
juice, 100 ml vatten och 160 ml te.
Hur många deciliter vätska är det?
6 Tore har hjärtsvikt och får inte dricka mer än
1,5 liter per dygn. Under en dag drack han
4 dl vatten, 250 ml juice, 3 koppar kaffe
(1 kopp = 1,5 dl) och 33 cl läsk.
Har han druckit mer än han borde?
Motivera ditt svar.
7 Birgitta har ordinerats Kåvepenin mot öroninflammation. Doseringen är 2 tabletter
3 gånger dagligen i 10 dagar.
Hur många tabletter behöver patienten för
hela behandlingen?
8 En flaska innehåller 0,5 liter hostmedicin.
Hur länge räcker flaskan åt en patient som
ordinerats 15 ml tre gånger dagligen?
9 Pedro har fått ett recept på Acetylcystein,
50 tabletter.
Ordinationen är: 1 tablett 1–3 ggr dagl.
Slemlösande
Hur länge kan förpackningen räcka?
10 Zuha har astma och tar Pulmicort inhalationspulver 2 doser morgon och kväll. Styrkan är
200 μg/dos.
a) Hur länge räcker en inhalator med
200 doser?
b) Hon får en ny inhalator där styrkan är
400 μg/dos. Hur ska hon ta den för att få
samma mängd medicin?
11 Lisa har diabetes och tar insulinet Novomix
som har styrkan 100 E/ml. Hon tar 32 E på
morgonen och 26 E på kvällen.
Insulin säljs ofta i färdiga injektionspennor,
som innehåller 3 ml.
a) Hur länge varar en injektionspenna för Lisa?
b) Hur många pennor måste hon ta med sig
om hon ska vara borta en månad?
c) Lisa kontrollerar sitt blodsocker och behöver
öka morgondosen till 38 E.
Hur många milliliter behöver hon då per
dag?
12 Teo är 4 månader och väger 5 kg. Han har
hög feber och hans mamma ger honom två
Panodil på vardera 500 mg. Hon kommer på
att det nog var dumt och läser på *FASS.se:
Toxisk (giftig) dos: 175 mg/kg .
Lämplig dos:
60 mg var 4–6 timme,
högst 4 gånger per dygn.
a) Riskerar Teo att bli förgiftad?
b) Hur många mg Panodil ska Teos mamma
som mest ge Teo på ett dygn?
13 Johanna har epilepsi. Hon är 11 år, väger 33 kg
och tar medicinen Tegretol.
Den vanliga underhållsdosen för barn är
15 mg/kg kroppsvikt och dygn.
Hur många tabletter Tegretol 100 mg ska
Johanna ta per dygn?
* På hemsidan FASS.se finns information om alla läkemedel i Sverige.
Man kan bland annat läsa om styrka, dosering, användningsområde
och biverkningar.
1.5 PROBLEMLÖSNING
Kurs 1bc Vux.indb 63
63
2013-07-11 15:09
Aktivitet
DISKUTERA
Det är inte bara svaret som räknas!
Albin, Billy och Christoffer använde olika metoder för att lösa
följande uppgift:
Mia körde 25 mil med jämn hastighet på 3,5 timmar.
Hur långt kom hon på 40 minuter?
•DiskuterahurAlbin,BillyochChristofferhartänkt.
•Detfinnsendelfelochbristerilösningarna.Vilka?Förklara.
Albins lösning:
Billys lösning:
Christoffers lösning:
64
Kurs 1bc Vux.indb 64
1.5 PROBLEMLÖSNING
2013-07-11 15:09
Tillämpningar
1531
Tre kilo äpplen kostar 54 kr.
a) Hur mycket kostar 1,2 kg ?
b) Hur mycket äpplen får man för 80 kr?
a) 3 kg kostar 54 kr
54
kr = 18 kr (Jämförpris 18 kr/kg)
3
1,2 kg kostar 1,2 ∙ 18 kr = 21,6 kr
1 kg kostar
b) Metod 1
Metod 2
För 18 kr får man 1 kg
För 1 kr får man
För 80 kr får man
1
≈ 0,056 kg
18
80 kr
≈ 4,4 kg
18 kr/kg
För 80 kr får man 80∙0,056 kg ≈ 4,4 kg
Lös uppgifterna 1532–1538 utan räknare.
1532 Priset på meloner är 12 kr/kg.
Hur mycket kostar en melon
som väger
a) 2 kg
c) 0,5 kg
b) 3 kg
d) 1,5 kg?
1533 Mia cyklar med hastigheten 20 km/h.
Hur långt hinner hon på
a) 1 timme
c) ½ timme
b) 2 timmar
d) en kvart?
1534 En vattenpump pumpar upp 20 liter
vatten per minut.
Hur mycket vatten pumpas upp på
en timme?
1535 Vilken förare håller högst medelhastighet?
Albin som kör 400 km på 4 timmar.
1536 Hur mycket mjöl
och hur mycket
socker krävs för
att baka
a) 32 kakor
b) 8 kakor
Kakor
16 st
2½ dl vetemjöl
3 msk socker
100 g smör
Fyllning: …..
c) 24 kakor?
1537 När Louise växlar pengar får hon
100 dollar för 800 kr.
Hur mycket kostar
a) 10 dollar
b) 5 dollar
c) 7 dollar?
1538 Fias stegräknare visar att hon tar 700 steg
på tio minuter när hon promenerar.
a) Hur många steg tar hon på tre minuter?
b) Hur många minuter tar 2 800 steg?
Bea som kör 270 km på 3 timmar.
Cedrik som kör 55 km på ½ timme.
Motivera ditt svar.
1.5 PROBLEMLÖSNING
Kurs 1bc Vux.indb 65
65
2013-07-11 15:09
Lös uppgifterna 1539–1550 med räknare.
1539 Mikaela köper bananer som kostar
19,20 kr/kg. Hur mycket kostar
bananerna om hon köper
a) 2 kg b) 2,5 kg c) 2,65 kg d) 0,65 kg?
1540 Harris blandar 2 delar saft med 7 delar
vatten i ett glas. I ett annat glas blandar
han 1 del saft och 4 delar vatten.
I vilket glas smakar saften starkast?
Motivera ditt svar.
1541 En butik säljer lösviktsgodis för 6,95 kr/hg.
Vad blir priset för en påse godis som väger
a) 4,2 hg
c) 850 g
b) 2 kg
d) 80 g?
1543 Jenine och Rashid köper in 85 skoltröjor
för 129 kr/styck. De sålde 67 tröjor för
180 kr/styck. På de återstående tröjorna
sänkte de priset till 119 kr.
Hur mycket tjänade de totalt på affären?
1544 Ett mått på en skidbackes lutning är förhållandet (kvoten) mellan backens höjd
och åksträckan.
Vilken backe har störst lutning?
Namn
Höjd
Åksträcka
Bergbacken
165 m
670 m
Storbacken
354 m
1,53 km
1545 På Emils lastbil får man lasta högst 1,2 ton.
Hur många järnrör kan Emil lasta om varje
rör väger 13,7 kg?
1546 Marcus läser en bok som innehåller
420 sidor. Efter 1,5 h har han läst 50 sidor.
Hur lång tid tar det att läsa hela boken?
1547 En bit ost som väger 0,765 kg kostar 67,32 kr.
Hur mycket kostar en skiva som väger 15 g?
1548 Andy betalar 39 kr för 20 st 33 cl-flaskor
läsk i en back.
Vilket pris per liter motsvarar det?
1549 En tom medicinburk väger 132 g. En fylld
innehåller 100 tabletter och väger 207 g.
a) Marion påstår att en tablett väger 75 mg.
Är det sant?
b) Simon påstår att en burk som väger 180 g
innehåller 56 tabletter. Är detta sant?
1550 På Internet finns en klocka som visar
i vilken takt jordens befolkning växer.
1542 Vad kostar ett års rökning för en person
som röker ett halvt paket cigaretter om
dagen om ett paket cigaretter kostar
a) 39 kr
66
Kurs 1bc Vux.indb 66
b) 49 kr
c) 59 kr?
Klockan 09.50 den 15 november 2010
visade den 6 855 689 927 och klockan
09.55 visade den 6 855 690 589.
Bestäm ur dessa data tillväxthastigheten
för jordens folkmängd i miljoner per år.
1.5 PROBLEMLÖSNING
2013-07-11 15:09
En problemlösningsstrategi
För att kunna använda dina matematikkunskaper i nya situationer är det viktigt att träna
problemlösning.
Hur gör man när man löser ett matematiskt problem?
1 Förstå
Vad ska lösas eller räknas ut?
Var finner jag de tal som krävs?
Kan svaret uppskattas?
3 Genomföra
Gör beräkningarna och få fram ett resultat.
Avrunda svaret och välj lämplig enhet.
Presentera en lösning som är lätt att följa.
2 Planera
Rita en figur och skriv upp de tal du vet.
Vilka beräkningar kan du göra?
4 Värdera
Är svaret rimligt?
Finns det andra sätt att lösa problemet?
Exempel
En lastbil med 3 kubikmeter (m3) sand väger 11 ton.
Med 6 kubikmeter sand väger den 17 ton.
Hur många ton väger lastbilen utan sand?
1 Vi ska beräkna lastbilens vikt.
Svaret måste vara mindre än 11 ton.
2
Vi beräknar först vad en kubikmeter sand väger.
Sedan beräknar vi lastbilens vikt.
3 Skillnaden i vikt = 17 ton – 11 ton = 6 ton
Skillnaden i sand = 6 m3 – 3 m3 = 3 m3
1 kubikmeter sand väger 6 ton = 2 ton
3
Lastbilen väger 11 ton – 3 · 2 ton = 5 ton
4 Svaret kontrolleras:
Lastbil med 6 kubikmeter sand: 5 ton + 6 · 2 ton = 17 ton.
Det stämmer!
1.5 PROBLEMLÖSNING
Kurs 1bc Vux.indb 67
67
2013-07-11 15:09
1551 Per läser ett kapitel i en bok. Det börjar på
sidan 15 och slutar på sidan 38.
Hur många sidor var det i detta kapitel?
1552 Det tar 20 minuter att svetsa samman
två rör.
1558 I en friidrottsförening var dubbelt så
många pojkar som flickor medlemmar.
En fjärdedel av pojkarna och hälften av
flickorna var löpare.
Hur stor andel av medlemmarna var
löpare?
Hur lång tid tar det att svetsa samman
fem rör?
1553 Antag att du har vunnit en stor summa
pengar och vill ge bort en miljon kronor.
Du beslutar att dela ut en 100-kronorssedel
varje minut, 8 timmar per dag.
Hur många dagar
räcker miljonen?
1554 En ask med 6 golfbollar väger 280 g.
Samma ask med 4 golfbollar i väger 190 g.
Vad väger asken?
1555 En äppleodlare har gjort 2 600 liter cider
som ska hällas på flaskor som rymmer
2/3 liter.
Hur många flaskor behövs?
1556 En pizzeria har följande erbjudande:
Köp fem pizzor betala för fyra!
Sebastian ska beställa 17 pizzor till en fest.
En pizza kostar 59 kr.
Vad kostar de 17 pizzorna per styck?
1557 I ett företag arbetar en grupp på
30 personer med ett projekt. Beräknad
tid för projektet är 60 dagar. När gruppen
arbetat i 10 dagar beslutar företagets
ledning att projektet ska bli klart 20 dagar
tidigare än vad som först bestämdes.
Med hur många personer måste då
projektgruppen utökas?
68
Kurs 1bc Vux.indb 68
1559 I en frågesport startar alla deltagarna på
0 poäng. Rätt svar på en fråga ger +2 poäng
och fel svar ger –3 poäng.
Vilka resultat är möjliga efter fem frågor?
1560 Talet 138 215 030 är en produkt av
tre primtal. Vilka?
1.5 PROBLEMLÖSNING
2013-07-11 15:09
Aktivitet
DISKUTERA
Sant
eller falskt?
Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt?
Motivera svaret. Arbeta utan räknare.
1 10 miljoner kan skrivas 0,1 miljarder.
2 Summan av 2 och 1,5 är större än produkten
av 2 och 1,5.
3 Talet 108 är dubbelt så stort som 104.
9 5 ∙ 106 m kan skrivas 500 mil.
10 En multiplikation med 0,01 ger samma
resultat som en division med 100.
11 Hälften av
3
3
är .
4
8
4 Om ett tal i bråkform förkortas blir bråkets
värde mindre.
12 Summan av två primtal blir alltid ett primtal.
5 Talet 5 ∙ 10 -2 kan skrivas 0,05.
13 100två är större än 10fem.
6 Om 3,449 avrundas till tiondelar blir
resultatet 3,4.
14 Om basen och exponenten i ett tal i potensform byter plats blir talet alltid större.
7 0,25 h är lika mycket som 25 min.
15 1 miljon µg är detsamma som 1 g.
1 ARITMETIK – OM TAL
Kurs 1bc Vux.indb 69
8 Differensen mellan två negativa tal är alltid
ett negativt tal.
69
2013-07-11 15:09
Sammanfattning 1
Positiva tal
Multiplikation och division med 100 och 0,01
En siffras placering avgör dess värde.
I talet 72 600 har siffran 7 värdet 70 000 och
siffran 2 värdet 2 000.
3,2 ∙ 100 = 320
3,2 ∙ 0,01 = 0,032
3,2
= 0,032
100
3,2
= 320
0,01
1 miljon = 1 000 000 1 miljard = 1 000 000 000
Negativa tal
Räknesätt
Jämförelser
Addition
14 + 3 = 17
term + term = summa
Subtraktion
17 – 3 = 14
term – term = differens
Multiplikation
6 · 3 = 18
faktor · faktor = produkt
Division
18/3 = 6
täljare/nämnare = kvot
Räkneordning
I uttryck med flera räknesätt beräknar man
1
2
3
4
först parenteser
sedan potenser
därefter multiplikationer och divisioner
sist additioner och subtraktioner
40 – 4(5 – 2)2 = 40 – 4 ∙ 32 = 40 – 4 ∙ 9 = 40 – 36 = 4
Tal i decimalform
0,3 = 3 tiondelar
0,002 = 2 tusendelar
0,06 = 6 hundradelar
Med ord
Med olikhetstecken
2 är större än –3
2 > –3
–9 är mindre än –7
–9 < –7
Beräkningar
2 – 5 + 1 = – 3 + 1 = –2
Addition och subtraktion
12 + (–3) = 12 – 3 = 9
12 – (–3) = 12 + 3 = 15
Multiplikation och division
Lika tecken ger positivt resultat.
(–12) ∙ (–3) = 36
Olika tecken ger negativt resultat.
12
= –4
12 ∙ (–3) = –36
–3
–12
= –4
(–12) ∙ 3 = –36
3
Tal i bråkform
Förkortning (med 7)
Förlängning (med 7)
0,17 kan utläsas 17 hundradelar eller
1 tiondel och 7 hundradelar.
21
21 / 7
3
=
=
49
49 / 7
7
5 5·7
35
=
=
9 9 ·7
63
Primtal
Med förhållandet mellan två tal menas kvoten
av talen. Förhållandet mellan 150 och 200 är
Alla positiva heltal större än 1 är antingen
primtal eller sammansatta tal.
Primtal är bara delbara med 1 och sig själv.
Sammansatta tal kan delas upp i primtalsfaktorer.
41 är ett primtal
42 är ett sammansatt tal
70
Kurs 1bc Vux.indb 70
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7
150
3
Förhållandet 3/4 skrivs ofta 3:4.
=
200
4
Addition och subtraktion
Bråken förlängs så de får samma nämnare.
1 1
1·3
1·2
3 2
5
+ =
+
= + =
2 3
2·3
3·2
6 6
6
1 ARITMETIK – OM TAL
2013-07-11 15:09
Multiplikation
2 3·2 6
=
3∙ =
7
7
7
Talsystem med olika baser
304fem = (3 ∙ 52 + 0 ∙ 51 + 4 ∙ 50)tio =
= (3 ∙ 25 + 0 ∙ 5 + 4 ∙ 1)tio = 79tio
1
3
3 2 3·2
3·1
∙ =
=
=
28
8 7 8·7
4·7
4
Division
Att dividera med ett bråk ger samma resultat
som att multiplicera med bråkets inverterade tal.
3
4
8 3 9 3 · 9 27
= ∙ =
=
9 4 8 4 · 8 32
25 kallas en potens med basen 2 och exponenten 5.
25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
(–2)3 = (–2) ∙ (–2) ∙ (–2) = –8
Potenslagar
Definitioner
54 ∙ 52 = 54+2 = 56
54
= 54–2 = 52
52
7
(53) = 53 ∙ 7 = 521
5 –2 =
1
52
50 = 1
(5 r) = 5 ∙ r = 25r
2
2
10
109
106
103
102
10 –1
12
T ex 4 GB = 4 ∙ 109 B
1 ARITMETIK – OM TAL
Kurs 1bc Vux.indb 71
3 Genomför planen.
(Utför och redovisa beräkningarna.
Ska svaret avrundas?)
4 Värdera resultatet.
(Är svaret rimligt? Finns det
även andra lösningar?)
Om första siffran efter avrundningssiffran är
5, 6, 7, 8 eller 9 höjer vi avrundningssiffran.
374,3 ≈ 374
(avrundat till heltal)
63,148 ≈ 63,15
(avrundat till hundradelar)
–5
Överslagsräkning
Några prefix
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
2 Gör upp en plan.
(Hur, och i vilken ordning,
ska beräkningarna ske?)
Om första siffran efter avrundningssiffran är
0, 1, 2, 3 eller 4 behåller vi avrundningssiffran.
Talet skrivs på formen a ∙ 10n.
a är ett tal i decimalform, mindre än 10
och större än eller lika med 1. 1 ≤ a < 10
7 500 000 = 7,5 ∙ 106
T
G
M
k
h
d
Många matematiska problem kan lösas med
följande strategi:
Avrundning
2
Grundpotensform
0,000 023 = 2,3 ∙ 10
Problemlösning
1 Förstå problemet.
(Vad ska beräknas?)
Potenser
2
10010två = (1 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20)tio=
= (1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 1)tio =
= 18tio
c
m
μ
n
p
f
centi
milli
mikro
nano
piko
femto
10
10 –3
10 –6
10 –9
10 –12
10 –15
–2
Vid överslagsräkning byter man ut de givna talen
mot närliggande tal som gör att beräkningarna blir
lättare att göra i huvudet.
12 235 + 16 291 ≈ 12 000 + 16 000 = 28 000
238
240
≈
= 40
5,9
6
5 μm = 5 ∙ 10 –6 m
71
2013-07-11 15:09
Kan du det här? 1
Moment
Begrepp som du ska kunna
använda och beskriva
Positiva tal
Summa och differens
Produkt och kvot
Täljare och nämnare
Primtal och sammansatt tal
”Delbart med” och siffersumma
Du ska ha strategier för att kunna
• skriva stora heltal och tal i decimalform med siffror och bokstäver
• göra beräkningar med flera räknesätt
• multiplicera och dividera tal med
tex 100 och 0,01 utan räknare
• dela upp ett sammansatt tal i
primtalsfaktorer
• bestämma vilka tal ett positivt heltal
(inte alltför stort) är delbart med.
Negativa tal
Negativa tal
• jämföra negativa tal
• använda räkneregler för negativa tal.
Tal i bråkform
Andel
• skriva och jämföra tal i bråkform
Bråkform
• skriva tal i bråkform på olika sätt
Förlänga och förkorta
• ställa upp ett förhållande
Enklaste form
• beräkna summan, differensen,
produkten och kvoten av tal i
bråkform.
Blandad form
Förhållande
Gemensam nämnare
Inverterat tal
Tal i potensform
Potensform, bas och exponent
Tiopotens
Grundpotensform
Enhet
Prefix
Problemlösning
• skriva och tolka tal i grundpotensform
• omvandla mellan olika enheter
• skriva och tolka tal skrivna i
talsystem med andra baser än tio.
Närmevärde
• avrunda tal och göra överslagsberäkningar
Överslagsräkning
Kurs 1bc Vux.indb 72
• använda potenslagarna
Olika talbaser
Avrundning
72
• tolka och beräkna värdet av ett tal i
potensform
• lösa matematiska problem
• utifrån en realistisk situation
använda en matematisk modell.
1 ARITMETIK – OM TAL
2013-07-11 15:09
Diagnos 1
Positiva tal
1 Danmarks befolkning är 5,5 miljoner.
Skriv detta tal med siffror.
2 Beräkna utan räknare
a) 2 ∙ 32 – 8 + 2
b) 18/(3 + 6) – 1
3 Beräkna med räknare
87 · 26 + 16
b)
88 – 7 · 3
2 975
a)
7 · 25
4 a) Vad menas med en faktor?
b) Visa med några exempel vad det är för
skillnad på ett primtal och ett sammansatt tal.
5 Vid en tävling i löpning hade Erik tiden
48,16 sekunder.
a) Peter var två tiondelar snabbare än Erik.
Vilken tid hade Peter?
b) Jimmy var åtta hundradelar långsammare
än Erik. Vilken tid hade Jimmy?
Negativa tal
6 På kvällen var temperaturen 4,3ºC. Det blev en
kall natt. På morgonen var temperaturen –8,2 ºC.
Med hur många grader sjönk temperaturen
under natten?
7 Beräkna utan räknare
a) 8 – 5 + 1
b) –5 + (–7)
c) 5 ∙ (–0,01)
–8
d)
–0,1
Tal i bråkform
8 Ett rektangulärt rum har bredden 300 cm och
längden 480 cm.
9 För vilka räknesätt krävs gemensam nämnare
vid räkning med bråk?
10 Beräkna utan räknare
3
1
7/2
b)
a) +
5 15
3
Tal i potensform
11 Ge exempel på två faktorer som ger
produkten 1010.
12 Skriv i grundpotensform
a) 75 000
c) 12 miljoner
b) 0,0265
d) 12 tusendelar.
13 Skriv med hjälp av ett prefix.
a) Effekten är 3 ∙ 106 W
b) Tiden är 0,005 s
14 Skriv sjutio med basen tre.
Problemlösning
15 Ebba har ordinerats 400 mg av ett läkemedel
tre gånger per dygn.
Hur länge räcker 30 tabletter med styrkan
200 mg/tablett?
16 4,0 hg godis kostar 27,60 kr.
a) Hur mycket kostar 2,5 hg godis?
b) Hur många kg godis får man för 60 kr?
17 Hampus har fyra olika sorters serietidningar
i en väska. Hälften av dem är Kalle Anka, en
fjärdedel är Katten Gustaf, en åttondel är
Fantomen och resten är Spindelmannen.
Han har fyra Spindelmannen.
Hur många tidningar har han totalt i väskan?
Skriv i enklaste form förhållandet mellan
bredden och längden.
Om du behöver repetera delar av kapitlet så finns repetitionsuppgifter på sidan 384.
Efter repetionsuppgifterna finns en extra diagnos till kapitlet på sidan 393.
1 ARITMETIK – OM TAL
Kurs 1bc Vux.indb 73
73
2013-07-11 15:09
Blandade övningar kapitel 1
Del I:
Utan räknare
10 Hur många minuter är 0,75 timmar?
1 Vilket tal pekar pilen på?
11 Ange ett tal mellan
a) 0,09 och 0,1
41
40
42
2 Temperaturen är –5°. Vad blir den om den
a) ökar med 3°
b) minskar med 4°?
3 Skriv med siffror
a) 29 tusendelar b) 0,53 miljarder
4 Ge exempel på två tal i bråkform som ger
a) summan
9
8
b) produkten
9
8
5 Beräkna
a) 23 + 12
b) 32 ∙ 32
c) 2 ∙ 52
6 Ann sover 8 timmar per dygn. Hur stor andel
av dygnet är det? Svara i enklaste bråkform.
1
liter.
3
Hur många liter finns det i en förpackning
med 12 flaskor?
7 En flaska medicin innehåller
8 Vilket värde har x?
a) 480 000 = 4,8 ∙ 10x
b) 0,007 = 7 ∙ 10x
9 Vårt talsystem är ett positionssystem.
Vad innebär det?
74
Kurs 1bc Vux.indb 74
b) 10 –3 och 10 –2
12 Andreas har 4 km till skolan. Hur många
minuter tar det för honom att cykla till skolan
om han håller en medelfart på 16 km/h?
(NP)
13 Julia påstår att 3 ∙ a = a + a + a för alla
värden på a.
Visa med ett exempel att hon har rätt
om a är ett
a) positivt tal
b) negativt tal
c) tal i bråkform.
14 Vilka av bråken ligger mellan
2
3
9
52
5
4
4
100
Förklara hur du tänker.
1
och 1?
2
19
40
15 Skriv negativa tal i rutorna.
a)
+
=–5
b)
–
=–5
16 Undersök mönstret och ange det tal som är
utelämnat.
(NP)
3
5
9
15
33
17 Vilket är sambandet mellan ett tal skrivet
i faktorform och i potensform?
Använd orden bas och exponent i din
förklaring.
1 ARITMETIK – OM TAL
2013-07-11 15:09
18 På morgonen var temperaturen – 5º C utomhus och + 18º C inomhus . På kvällen hade
temperaturen utomhus minskat 3º C och
inomhus ökat 3º C.
Hur stor var då differensen mellan inomhusoch utomhustemperatur?
23 Vad är hälften av
2
a) 0,1
b)
6
c)
3
?
4
24 Ett flygplan startade kl 8.20 från New York
lokal tid. Flygresan till Los Angeles beräknas
ta 5 h 30 min.
När landar planet i Los Angeles lokal tid?
Tidsskillnaden i timmar mellan orterna
framgår av tabellen:
London
New York
Los Angeles
0
–6
–8
25 Hur stor del av
figuren är färgad?
(NP)
26 a) I Sverige bor ca 2 miljoner barn och
ca 8 miljoner vuxna. Förklara med hjälp
av siffrorna hur man anger en andel och
hur man anger ett förhållande.
19 a) Dela upp talet 66 i primtalsfaktorer.
b) Vilka positiva tal är 66 delbart med
(förutom 1 och 66)?
Hur stor andel är barn?
20 Skriv antalet med basen 5.
7
3
h
27 Visa att skillnaden mellan h och
12
5
är 1 minut.
21 Vilket värde har x om likheten ska gälla?
28 Om du dividerar ett tal med 200 blir resultatet
0,75.
a) 10 =
10 3
x
10
b)
x
10
= 10 –2
10 5
22 Skriv talen i storleksordning. Börja med det
minsta.
1
101
0,02
2,5 ∙ 10 –3
10 –2
200
1 ARITMETIK – OM TAL
Kurs 1bc Vux.indb 75
b) I Sydafrika är förhållandet mellan antalet
barn och vuxna ungefär 2:3.
Vad blir resultatet om du istället multiplicerar
talet med 200?
29 Bara 1/5 av eleverna på musikgymnasiet
cyklar till skolan. Av dem som inte cyklar,
går 3/8. Resten åker buss.
Hur stor andel av eleverna åker buss?
75
2013-07-11 15:09
Del II:
Med räknare
30 Beräkna
5,43 – 1,65
a)
1, 50
b)
19,47
46,8 – 11,4
36 I USA är tum (inch) ett vanligt längdmått.
1 tum = 1″ = 2,54 cm. Jeansen på bilden
har midjevidden (Waist) 34″ och benlängden
(Length) 32″. Erik mäter sin midjevidd till
86 cm och benlängd till 80 cm.
Vilken storlek på jeans ska han välja, om han
köper ett par tvättade jeans, som inte krymper?
31 Simon mäter sin puls och räknade till 96
pulsslag på 1,5 minuter. Ungefär hur många
slag slår Simons puls på
32
a) 1 min
c) 1 dygn
b) 1 timme
d) 1 år?
Spinning
Engångspris
40 kr
5-kort
175 kr
Månadskort
300 kr
Anna och Maria gick tillsammans på spinning i april. Maria köpte ett månadskort.
Anna köpte ett 5-kort och betalade därefter
engångspris. Under månaden hann de gå på
spinning 8 gånger.
Vem av dem betalade minst och hur mycket
mindre betalade hon?
(NP)
33 Päivi får 1 360 kr för 16 timmars arbete.
a) Hur mycket får hon för 20 timmars arbete?
b) Hur många timmar måste hon arbeta för
att få 5 000 kr?
34 a) Ange det tal som ligger mitt emellan
100 000 och 1 000 000.
b) Ange ett tal som är större än 2,5 ∙ 10 –3
(NP)
men mindre än 2,5 ∙ 10 –2.
35 Hur gör du för att jämföra storleken på två tal
i bråkform med olika nämnare
a) med räknare
76
Kurs 1bc Vux.indb 76
b) utan räknare?
37 Bob hade ett telefonabonnemang med
följande villkor:
•Månadsavgift65kr
•Öppningsavgift69örepersamtal
•Samtalenkostar69öreperminut
a) Hur mycket fick Bob betala en månad då
han hade ringt 96 samtal på sammanlagt
4 h 25 min?
b) En månad då Bob hade ringt 84 samtal fick
han en räkning på 267,86 kr.
Beräkna den totala samtalstiden.
38 Tabellen visar antalet anställda och antalet
barn i förskolan i Sverige.
År
Antal anställda
Antal barn
1990
60 000
267 000
2008
82 000
433 000
a) Jämför personaltätheten (antal barn per
anställd) år 1990 och år 2008.
b) Hur många anställda skulle det ha varit år
2008 om personaltätheten varit densamma
som år 1990?
1 ARITMETIK – OM TAL
2013-07-11 15:09
39 Vilket tal i vårt talsystem motsvarar 101010två
i det binära talsystemet?
40 I en tidning läser Markus:
Land
Valuta
Kurs
Europa
Euro
9,085 kr
Japan
Yen
0,0601 kr
USA
Dollar
7,057 kr
Hjälp Markus att omvandla
a) 100 euro till dollar.
b) 100 dollar till yen.
41 Du kommer sist till ett pizzaparty som just
ska börja. Vid bord A sitter 9 personer med
4 pizzor och vid bord B sitter 7 personer med
3 pizzor.
Vid vilket bord ska du vara med och dela
pizzorna om du vill ha så stor bit som möjligt?
42 Louise och Robin är på semester. Efter två
dagar har Louise kvar 3/4 av sin reskassa
och Robin har 3/5 kvar av sin. De har då lika
mycket pengar kvar.
Vem hade störst reskassa från början? Förklara.
43 Amina joggade i ett motionsspår med hastigheten 3 m/s. Hon tog en paus efter 2,7 km.
När hon joggat i ytterligare 5 minuter hade
hon en tredjedel kvar av den totala sträckan
runt motionspåret.
Hur långt var motionsspåret?
1 ARITMETIK – OM TAL
Kurs 1bc Vux.indb 77
Utredande uppgifter
Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter
följande kriterier:
• vilka matematiska kunskaper du har visat
•hurväldu har förklarat ditt arbete och
motiverat dina slutsatser
•hurvälduharredovisatdittarbeteoch
genomfört dina beräkningar.
44 En lördag delade Maja och Malcolm ut reklambroschyrer i ett bostadsområde. Mellan kl 8
och 14 delade Maja ut 1 100 broschyrer.
Malcolm delade ut 900 broschyrer mellan
kl 10 och 14.
Hur bör de fördela pengarna de fick för sitt
arbete för att det ska bli rättvist?
45 Sandra har köpt en begagnad bil för 78 000 kr.
Hon räknar med att köra ca 900 mil per år
med bilen. I en tidning hittar hon två olika
matematiska modeller för hur bilens framtida
värde kan beräknas.
Modell A:
Värdet minskar med 12 kr per mil.
Modell B:
Värdet går för varje år ner till 4/5 av värdet
året innan.
Undersök, med hjälp av de två modellerna,
hur bilens värde minskar under en tioårsperiod. Kommentera dina resultat.
77
2013-07-11 15:09
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
Svaren står med svart text. Ledtrådar och lösningar med blå text.
1
1103 a) 25 000
d) 2 500 000
b) 25 300
e) 3 000 000 000
b) 656
c) 2 000 000
1104 a) 70
c) 600
c) 7 000
b) 400
1105 a) 2 500 kr
b) 25 000 kr
c) 29 500 kr
d) 2 950 kr
1106 a) 32
b) 3 200
Ledtråd:
400 · 8 = 8 · 400 =
= 8 · 4 · 100 = 32 · 100
c) 32 000
d) 64
1107 Subtraktion
1108 a) Åttiosex tusen fyrahundra
b) Sjuhundratjugo tusen
c) Trettiosex miljarder
1109 a) 30
c) 300 000
1112 a) T ex 10 000 + 10 000 +
+ 20 000 = 40 000 eller
5 000 + 10 000 + 25 000 =
= 40 000
b) T ex 40 ∙ 1 000 = 40 000 eller
2 ∙ 20 000 = 40 000
1537
1573
1114 46 miljarder
1735
1753
4 ∙ 18
= 24
3
1129 a) 21
b) 80
1119 a) 4
Lösning:
8–5+1=3+1=4
1130 a) 50
c) 9
b) 18
Lösning:
3 · 8 – 6 = 24 – 6 = 18
c) 12
Lösning:
6 + 3 · 2 = 6 + 6 = 12
d) 10
Lösning:
30 – 10 · 2 = 30 – 20 = 10
1120 a) 130
b) 75
1122 a) 175
b) 300
c) 100
d) 200
c) 15
d) 4
c) 4
d) 10
1123 a) 2 500 kr b) 3 100 kr
1111 1 980 kr
c) 24
b) 12
d) 101
Ledtråd:
Sätt en parentes runt
täljaren eller nämnaren när
de innehåller en beräkning.
1127 B
b) 28
1110 Nej! Det gäller addition och
multiplikation, men inte
subtraktion och division.
1126 a) 13
1116 Nej
Motivering:
Det finns 20 tal. Det finns 4 tal
som slutar på en 1:a och 4 tal
som slutar på en 3:a osv.
1121 a) 42
b) 3 000 d) 3 000 000
1113 1357
1375
1115 a) 680
Lösning:
17 ∙ 40 = 16 ∙ 40 + 40 =
=640 + 40 = 680
1124 a) 2 päron och 1 äpple
b) 2 päron och 2 äpplen
c) 1 banan, 7 äpplen och
1 päron
d) 9 bananer, 7 äpplen och
7 päron
1125 a) 13
b) Han glömmer att sätta en
parentes runt täljaren och
runt nämnaren.
1128 a) 200 kr b) 200 kr
b) 9
d) 11
1131 a) 3
c) 6
b) 6
d) 8
1132 a) 490
c) 64
b) 180
d) 45
1133 Hon vill veta hur mycket man
sparar per lunch på att köpa
rabatthäfte.
1135 11 och 23 är primtal. 9 och 21
är sammansatta tal.
Lösning:
9 och 21 kan skrivas som en
produkt av två tal (3 · 3 = 9
och 3 · 7 = 21) och är därför
sammansatta tal.
11 och 23 kan inte skrivas
som en produkt av två tal.
1136 a) 168 och 170
Motivering:
Alla jämna heltal är
delbara med 2.
b) 165 och 170
Motivering:
Alla heltal som slutar på
0 eller 5 är delbara med 5.
1137 Nej
Motivering:
6 är ej ett primtal.
Det kan skrivas 6 = 3 ∙ 2
c) 5
402
Kurs 1bc Vux.indb 402
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
2013-07-11 15:23
1144 a)
54
1138 a)
6
2
3
1139 11, 13, 17, 19, 23, 29
12
2
3
2
2
c) 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
1145 Förklaring:
Eftersom 10 = 2 ∙ 5 så måste ett
tal som är delbart med 10 ha
både 2 och 5 som primfaktorer.
24
2
2
b) 48 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3
b) 54 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
1140 a)
2
3
b) 14,83 s d) 13,94 s
4
12
9
3
1158 a) 14,56 s c) 14,41 s
48
6
2
b) 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3
c) 2, 3, 4, 6, 8 och 12
Ledtråd:
Kombinera två eller flera av
primfaktorerna för att få så
många olika produkter som
möjligt. Talet 24 är delbart
med varje produkt.
1141 a) 6
b) Ja
Ledtråd:
Om siffersumman är delbar
med 3, så är talet delbart
med 3.
c) 8
d) Nej
1142 a) 63 är ett sammansatt tal
eftersom siffersumman är
delbar med 3.
b) 19 är ett primtal.
c) 592 är ett sammansatt tal
eftersom det är ett jämnt tal.
d) 327 är ett sammansatt tal
eftersom siffersumman är
delbar med 3.
1143 a) 135 och 2 010
b) 135, 235, 640 och 2 010
c) 135 och 2 010
Ledtråd:
Tal som är delbara med 3 och
med 5 är också delbara med 15.
1147 a) T ex 16 + 17 + 18 = 51
Talet 51 är delbart med 3.
b) Förklaring:
Summan av de tre talen är
alltid 3 gånger så stort som
talet i mitten och är därför
delbart med 3.
1148 211 elever
Ledtråd:
Vilket är det minsta tal som är
delbart med 2, 3, 5 och 7?
1151 a) 0,2
c) 0,24
b) 0,04 d) 0,45
1152 a) 7,08 7,1 7,15 7,18 7,2
Ledtråd:
Lägg till nollor så att alla
tal får lika många decimaler.
T ex 7,1 skrivs 7,10.
b) 2,005 2,01 2,015 2,105
2,11
c) 0,099 0,805 0,87 0,9
0,902
1153 a) 1,5
c) 1,4
b) 1,75 d) 1,7
1154 a) 0,55 c) 0,85
b) 0,05 d) 0,45
1155 a) Nio tusendelar
b) Sjuttiotvå tusendelar eller
sju hundradelar och
två tusendelar
1156 a) 0,005 b) 0,075 c) 0,175
1157 A = 0,04 och B = 0,16
Ledtråd:
På denna tallinje är det 0,02
mellan två närliggande streck.
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
Kurs 1bc Vux.indb 403
1160 6,8 miljarder
Ledtråd:
500 miljoner = 0,5 miljarder
1161 a) 0,9
b) 0,025 c) 0,11
1162 a) 0,09 b) 0,009 c) 0,016
1165 a) 125
1146 97
3
1159 10 hundradelar är lika mycket
som 1 tiondel
b) 432,8
c) 1,53
Ledtråd:
Multiplikation med 0,1 ger
samma resultat som division
med 10.
d) 0,9
1166 a) 2,54
b) 325,0
Ledtråd:
Division med 0,1 ger samma
resultat som multiplikation
med 10.
c) 20
1167 a) 5025 c) 6
b) 420 d) 0,26
1168 a) 0,95 c) 2800
b) 3 250
1169 0,12 mm
1170 5,89 kr
1171 a) 0,1
b) 100
c) 0,01
d) 0,1
1172 a) 12 st c) 240 st
b) 60 st d) 1200 st
1173 a) 10
c) 0,01
b) 10
d) 100
1174 250 glas
Ledtråd:
10 centiliter = 0,1 liter
1175 a) 0,034 g b) 0,5 g c) 0,4 g
1202 a) 3º
b) –6º
1203 –4
403
2013-07-11 15:23
1204 a) –2
b) –8
c) 2
e) –6
d) –6
f) –10
1205 a) 8º
Lösning med resonemang:
Från –6 °C till +2 °C är en
ökning med först 6 grader
och sedan 2 grader.
Total ökning: 6 + 2 = 8.
Lösning med beräkning:
2 – ( –6 ) = 2 + 6 = 8
1221 a) 10
b) –40
1222 a) –17
c) 2
1234 a) 3
b) 2
d) –4
1235 a) –24
b) –1
c) 40
1236 –18
d) –10
d) –6
1208 a) 3
b) 2
c) –3
1209 a) 5 > −2
b) −2 < 5
c) −2 < −1
d) 0 > −7
1210 a) –3
b) +3
c) –1
d) –2
1211 –7 ºC
1212 6,6 ºC
1213 På tredje raden: 700
På fjärde raden: 1 500
1214 a) 5
b) 2
c) 1
e) –2,5
d) –5
f) –14
1216 a) Mellan luftballong och dykare.
b) 250 m
b) Den ökar med 3 för varje rad.
d) 12
1223 T ex
b) 400 m
1218 a) 2 000 kr
b) –1 300 kr
b) 4
c) –12
Ledtråd:
Ersätt + (–) med ett
minustecken
–5 + (–7) = –5 – 7
c) + 15 °C
d) –9 °C
1225 a) Nej.
Förklaring:
Summan av två negativa
tal är alltid negativ, t ex
–10 + (–10) = –20
b) Ja.
Förklaring:
T ex –30 – (–10) = –20
1238 a) 14 ºF
b) –4 ºF
Lösning:
1,8 ∙ (–20) + 32 =
= –36 + 32 = –4
1239 a) –21 ºC
b) –45 ºC
1240 a) –2 och –4 b) 3 och –4
1241 a) 40
c) 30
b) –7
d) –5
Tema: Tidzoner
1 a) 2
b) 8
2 a) 6
b) 9
1226 a) –16
c) +79
b) –18
d) –39
3 a) 3
b) 11
c) 12
4 a) 7
b) 15
d) 0
5 a) 11.00
c) 13.00
c) 9
b) 05.00
d) 04.00
6 a) 17.00
c) 15.00
b) 24.00
d) 07.00
7 a) 24.00
c) 10.00
b) 01.00
d) 16.00
1229 a) –63
b) –32
1230 a) –7
b) –9
b) 8
1232 a) 2
1219 a) 3
d) –8
b) –12 °C
1231 a) –3
1217 a) Mellan luftballong och u-båt.
1237 a) Den minskar med 1 för varje
rad vi går nedåt.
c) 3
1224 a) + 6 °C
d) –4
7
e) –18
c) – 500 + – 1 500
d) –100 kr
6
f) –21
b) 1 000 + – 3 000
b) –250 kr
–15
b) 17
c) 7º
c) –650 kr
–16
c) 10
a) 3 000 + – 1 000
1207 a) 50 kr
Kurs 1bc Vux.indb 404
b) 2
b) 5º
1206 En skuld på 1500 kr.
404
1220 a) 10
b) –9
d) –3
c) 6
d) –2
c) –36
d) 32
1233 a) –10
b) –20
Lösning:
Beräkna multiplikationen
först.
10 + (–5) · 6 = 10 – 30 = –20
8 10.30
Ledtråd:
Då planet landar är klockan
19.30 i Stockholm.
9 09.20
10 Den 11 januari kl.19.00
c) 11
d) –20
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
2013-07-11 15:23
Tema: Vinst eller förlust?
1 Förlust på 4 000 kr
2 a) Vinst på 1 500 kr
b) Vinst på 3 200 kr
3 a) 108 000 kr
b) 80 000 kr
4 a) Vinst på 136 000 kr
b) 68 000 kr
5 a) Vinst på 60 800 kr
b) Under 50 kr/docka
6 a) 80 000 kr
1308 Leila har ätit mest.
Förklaring:
Båda har ätit 3 delar, men Leilas
delar är större. Femtedelar är
större än åttondelar.
1309 a) Alla lappar är inte lika stora.
6
3
b)
=
20 10
14
7
c)
=
20 10
1310 a)
1
6
b) T ex
1311 a)
1
4
d) 1
16
b)
1
2
e)
1
8
c)
1
8
f)
1
8
b) 2 055 000 kr
c) Vinst på 285 000 kr
1
8
7
b)
8
1302 a)
3
5
1
d)
10
c)
1
9
9
b)
16
3 1
=
9 3
Ledtråd:
Dela först området i lika
stora delar.
5
d)
8
c)
1304
1
5
1305
1
är störst.
5
Förklaring:
Mindre antal delar ger större
bitar.
c) 0,67 (0,66…)
b) 0,4
c) 0,67 (0,66…)
1307 a)
5
12
b) T ex
3
16
h)
3
8
b)
7
12
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
10 1
=
60 6
c)
3
1
=
60 20
b)
45 3
=
60 4
c)
5
1
=
60 12
1321 a) 6
21
1323 a)
b)
5
(= 1 )
100
20
b) 3
4
1316 a) 8
18
b)
15
18
c)
12
18
1317 2
5
Lösning:
Miriam arbetar 4 · 4 h = 16 h
16 16/8 2
Hon arbetar =
=
=
40 40/8 5
1318 Nej.
Motivering:
Täljaren och nämnaren har
minskat men bråkets värde
är detsamma.
1319 a) 5 är störst
7
Ledtråd:
Förläng båda bråken till
nämnaren 35.
6
15
8
20
b) 16
56
1322 Standard
Motivering:
56 /42 kan t ex förkortas först
med 2 och sedan med 7.
56 28 4
=
=
42 21 3
25
(= 1 )
1 000
40
1315 a) 1
4
b) 20
50
Kurs 1bc Vux.indb 405
g)
105
c) T ex
1 000
Ledtråd:
Skriv 0,105 i bråkform.
1303 a)
1306 a) 0,1
1312 a) T ex
4
2
eller
6
3
1320 a)
3
5
Ledtråd:
Beräkna
delen
det hela
1
4
Ledtråd:
Skriv förhållandet
12 i enklaste form.
48
1324 Talen är 12 och 16.
Ledtråd:
Summan består av 7 lika stora
delar. Talen är 3 respektive 4
av dessa delar.
1325 13, 14, 15, 16, 17
Ledtråd:
1 12
1 18
=
och =
3 36
2 36
1326
5·7
2 ∙ 3 ∙ 11
Förklaring:
35 kan ej förkortas eftersom
66
täljaren och nämnaren ej har
någon gemensam primfaktor.
1331 a) 3
b) 4
1332 a) 8
3
b) 4
1
2
1333 a) 3 1
2
3
b) 1
4
Lösning:
7 4
3
= + =
4 4
4
3
3
= 1 + som skrivs 1
4
4
1
c) 3
3
405
2013-07-11 15:23
1334 a) 5
2
b)
7
3
c)
9
5
1348 a) 4
5
1335 a) 3
5
b)
3 1
=
9 3
c)
4
1
=
12 3
1349 15
1336 7
10
1337 a) 5
4
1338 a)
b)
4
9
1350 2 av 60 kr är mest.
3
1351 a) 16 timmar
b) 5
12
13
1
=1
12
12
Ledtråd:
Förläng båda bråken till
nämnaren 12.
Svara i bråkform eller
i blandad form.
2
15
Ledtråd:
Svara i enklaste form.
6
1
c) = 1
5
5
b)
c) 200
3
1352 a) 4
15
b) 45 sekunder
b) 6
7
c) 3
20
1353 a) 1
4
Lösning:
1
1
9 7
9·7
1·1 1
=
=
·
=
14 18 14 · 18 2 · 2 4
2
2
b) 1
18
c) 1
7
1354 Hon har ätit 1 av hela pizzan.
4
b) 1 1 + 3 = 3 + 3 = 6 + 3 = 9
2 4 2 4 4 4 4
1341 a) 11 = 2 3
4
4
b) 2
3
1342 a) T ex 2 + 3 = 5
6 6 6
b) T ex 1 + 3 = 4 = 2
6 6 6 3
1343 3 = 3 · 3 = 9
8
8·3
24
1 = 1·8 = 8
3
3·8
24
9 är större än 8
24
24
1344 a) a = 3 b) a =34
1345 a) 1/28
Ledtråd:
Beräkna differensen av 2/7
och 1/4.
b) 1/4
406
Kurs 1bc Vux.indb 406
b) 3
8
Ledtråd:
Förläng bråket med 2 och
halvera täljaren.
c) 1
12
d) 7
2
1362 a) 1 hg
4
b) 3 hg
20
Ledtråd:
3/4 hg
5
1363 a) 8 flaskor
Ledtråd:
5
2/3
1339 a) 1 + 1 = 2 + 1 = 3
4 8 8 8 8
1340 1
8
1361 a) 2
7
Ledtråd:
Hälften av 4 sjundedelar är
2 sjundedelar.
b) 7 flaskor
1364 1
4
2
20
liter
1355 6 liter =
3
3
1365 10 liter = 3 1 liter
3
3
Ledtråd:
1 del saft + 4 delar vatten ger
5 delar färdig saft.
1356 7 g
1357 Amir får 8 000 kr
Liz får 3 000 kr
Niklas får 1 000 kr
1358 a) 4
b) 1
2
c) 5
3
d) 1
6
1360 a) 8
3
b) 8
3
c) 5
18
10
d)
3
Lösning:
8 4
8 25
8 2 25 5
=
∙
=
∙
=
15 25 15 4
15 4
1
3
2 ∙ 5 10
=
=
3
3∙1
1366 a) 3
25
b) 2
25
1367 9
4
1368 1
6
1369 Ja, det är sant.
Motivering:
4/5 kör inte bil
1/5 tar bilen
2/5 cyklar
eller går
2/5 (resten) åker
kollektivt
2 är dubbelt så mycket som 1
5
5
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
2013-07-11 15:23
1403 a) 43
b) 74
c) x 2
b) x = 3
1404 a) 6 ∙ 6
c) x = 13
Ledtråd:
Skriv alla tal med samma
bas.
b) 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
c) a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a
1405 a) 200
c) 11 100
b) 1 100
d) x = 4
d) 99 000
1406 a) 17
Lösning:
24 + 1 = 2 · 2 · 2 · 2 + 1 =
= 16 + 1 = 17
b) 108
c) 31
1407 a) 32
b) 115
1408 a) 103
b) 106
c) 109
b) 32 ∙ 36 =
= 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 38
c) 9
d) När tal i potensform (med
samma bas) multipliceras
kan exponenterna adderas
direkt.
b) 24
c) 25
1419 a)
d) 26
1
1
=
102 100
1
1420 a) 1 4 =
10
10 000
b) 0,000 1
1424 a) 46
b) 33
1425 a) 10 –3
b) 10 –6
c) 3
1426 a) 42 a2 = 16a2
c) 104
d) 108
1413 Ja, det stämmer.
Motivering:
220 = 1 048 576 . Han skulle ha
över 1 miljon anställda.
1414 a) 29
b) 27
1415 a) 25
b) −27 c) 16
b) 10 x = 1 000x
3 3
1436 a) 4 500 000
b) 5 300
Kurs 1bc Vux.indb 407
d) 704 000 000
6
c) 6 ∙ 104
d) 61 200 = 6,12 ∙ 104
Ledtråd:
4 steg
1438 a) 3,6 ∙ 1010
b) 3,6 ∙ 1014
1439 8,1 ∙ 1016 m
1440 a) 0,000 38
c) 0,009 02
b) 0,000 005 9 d) 0,000 8
c) 2 –4
1441 a) 6,9 ∙ 109
b) 7 ∙ 10 –3 mm
1442 a) 1,7 · 107
c) 3 · 10 –3
b) 1,32 · 10
11
3
c) 23 x6 = 8x6
1427 a) 6 ∙ 103 = 6 000
d) 9,2 · 10 –2
1443 1,7 · 10 –27 kg
1444 500 kg
b) 2 ∙ 10 = 20
1445 Ca 400 ggr längre (390,625)
c) 15 ∙ 10 –2 = 0,15
1446 175 000 km
Ledtråd:
Raden blir 1,75 ∙ 1011 mm
d) 4 ∙ 10 = 400
2
1428 Nej.
Motivering:
3
(103) = 109 = 1 000 000 000 =
= 1 miljard
1448 a) 300 cm
c) 5 000 m
b) 20 mm
d) 700 mm
1449 a) 3 000 g
b) 400 g
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
c) 2 000 000
b) 2 300 000 = 2,3 ∙ 106
Ledtråd:
6 steg
d) 10−2
Lösning:
104 = 104 – 6 = 10 –2
106
7
b) 24 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 =
2
2·2·2·2
= 2 · 2 · 2 = 23
c) 6200
1437 a) 2 ∙ 10
c) 56
Lösning:
(52)3 = 52 · 3 = 56
b) 49
b) 36
c) x = –5
d) x = 3
b) 2500 = (25 )100= 32100
b) 32
Lösning:
35
= 35 – 3 = 32
33
1423 a) 31
1412 a) 25
1430 a) x = –3
1432 a) 6200 = (62 )100=36100
1421 a) 10
Lösning:
108 · 1010 = 108 + 10 = 1018
b) 10 –2
d) När tal i potensform (med
samma bas) divideras kan
exponenterna subtraheras
direkt.
b) 3 · 42
1431 2 –3 är störst
Motivering:
2 –3 = 13 = 1 och 3 –2 = 12 = 1
2
8
3
9
b) 0,01
1422 a) 1
100
7
1411 a) 33 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =
3
3·3·3
3 · 3 · 3 · 3 = 34
1429 a) Freja adderar exponenterna
som vid multiplikation av tal
i potensform. Det finns
ingen potenslag för addition.
b) x = –12
18
1409 a) 23 ∙ 24 =
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 27
1410 a) 23
1416 a) x = 7
c) 5 000 mg
d) 70 hg
407
2013-07-11 15:23
1450 a) 36 mån
b) 48 h
1451 a) 4 dm
b) 0,3 kg
1452 a) 250 ml
b) 800 ml
1453 a) 150 s
b) 0,25 h
1454 a) 350 g
c) 300 min
d) 420 s
b) 6,2 ∙ 103 g eller 6 200 g
c) 55 cm
c) 25 ∙ 109 B eller
25 000 000 000 B
d) 7 300 m
c) 1,7 cl
d) 450 ml
c) 24 min
d) 0,2 h
c) 0,075 g
b) 800 g
1455 a) 24 glas
Lösning:
4,8 liter = 48 dl
48 dl = 24 glas
2 dl/glas
c) 380 MW
b) 1,5 MW
d) 0,6 MW
1471 a) 75 ∙ 10 W eller 75 000 W
3
b) 200 ∙ 10 –3 g eller 0,2 g
c) 2,5 ∙ 109 Wh eller
2 500 000 000 Wh
1458 a) 12
b) 8
1459 2 500 mg 0,01 kg 0,15 hg 20 g
Ledtråd:
Omvandla vikterna till gram.
1460 50 flaskor
Ledtråd:
2,5 liter = 2 500 ml
1461 1 800 kg
1462 400 st
1463 5 dygn
1466 1,5 ∙ 106 W = 1,5 miljoner W =
= 1 500 000 W
1467 a) 2 ∙ 103 g eller 2 000 g
b) 5 ∙ 103 W eller 5 000 W
c) 3 ∙ 106 B eller 3 000 000 B
d) 35 ∙ 106 W eller 35 000 000 W
1468 a) 8 ∙ 10 –2 m eller 0,08 m
b) 5 ∙ 10 –2 l eller 0,05 l
b) 15åtta
1485 a) 37tio
c) 11sexton
b) 43tio
d) 1Fsexton
1486 a) sex
b) nio
1487 a) (2 ∙ 3 + 2 ∙ 32 + 0 ∙ 31 +
+ 2 ∙ 30)tre
3
d) (1 ∙ 123 + 5 ∙ 122 + 6 ∙ 121 +
+ 7 ∙ 120)tolv
Historik: Två historiska talsystem
1 a) 12
b) 7
d) 21sex
b)
3 a) 121
b) 150
c) 33sex
b) 15sexton d) 30sju
•
1479 a) 5
•
•••
Lösning:
11fyra betyder 1 fyrtal och
1 ental
11fyra = 1 · 4 + 1 · 1 = 5
b) 6
•
4 a) 9 IIIIIIII
5 a) 225
6 a)
b)
1480 a) 21
Lösning:
4 femtal och 1 ental =
= 4 ∙ 5 + 1 = 21
1502 a) 10
b) 21
1503 a) 1,9
b) 1,9
d) 2 ∙ 10 –3 l eller 0,002 l
1482 a) 11tre
c) 111tre
b) 22tre
c) 10
b) 51,7 s
d) 402
c) 51,9 s
b) 42 000
d) 31 000
b) 0 och 1
•••
1505 a) 36 376 ≈ 36 000
Ledtråd:
5 siffror i båda leden.
c) 5
1481 a) 0, 1, 2, 3, 4
••••
••
••••
••
c) 20 000
c) 6 ∙ 10 –3 g eller 0,006 g
•••
9 9 9 9 9 9 9 9 9 ∩∩∩∩∩
b) 8
d) 26
•
b) 1446
1504 a) 51,5 s
c) 9
b)
•
••••
••
•
2 a) ∩∩IIIIII
c) 11tolv
Ledtråd:
a) 1 tiotal och 3 ental
b) 1 åttatal och 5 ental
c) 1 tolvtal och 1 ental
d) 2 sextal och 1 ental
1478 a) 21tio
d) 110010två
c) (3 ∙ 82 + 5 ∙ 81 + 1 ∙ 80)åtta
1474 ca 2 000 (1666,6…)
1477 a) 13tio
c) 122sex
b) (2 ∙ 52 + 1 ∙ 51 + 4 ∙ 50)fem
b) 4,5 ∙ 10 –5 g
b) 28µm
d) 1010två
b) 101fem
1472 a) 2,5 ∙ 107 Wh c) 6,0 ∙ 10 –7 m
c) 40 glas
c) 101två
b) 100två
d) 0,1 ∙ 10 –9 m eller
0,000 000 000 1 m
1473 a) 2,8 ∙ 10 –2 mm
1457 3,9 cm 0,1 m 1,5 dm 17 cm
0,25 m 430 mm
Kurs 1bc Vux.indb 408
1470 a) 8 MW
1483 a) 11två
1484 a) 71tio
d) 7,2 ∙ 106 W eller 7 200 000 W
b) 30 glas
1456 500 ml = 5 dl = ½ liter
50 ml = 5 cl = 0,5 dl
408
1469 a) 33 ∙ 103 g eller 33 000 g
1506 a) 157 mil
b) 160 mil
c) 200 mil
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
2013-07-11 15:23
1507 a) 384 000 km
1525 D: 0,24
b) 400 000 km
1526 Nej, hon ska ha ca 400 kr
tillbaka.
1508 a) T ex 7,5 och 8,31
b) T ex 3,72 och 3,65
1527 Nej, hyran är ca 54 000 kr.
c) T ex 2,503 och 2,496
1528 Ca 1 500 km
1509 a) 5, 6, 7, 8 eller 9
b) 0, 1, 2, 3 eller 4
1510 a) 1
b) 0,9
c) 0,90
1511 a) Stockholms län 1 890 000
Gotlands län 60 000
b) Stockholms län 1,89 miljoner
Gotlands län 0,06 miljoner
1512 a) 3 990
b) 4 000
c) 4 000
1513 Mellan 0 och 3 km
Ledtråd:
Avståndet till Alvestad kan vara
mellan 0,5 och 1,5 km. Vägen
kan förgrenas omedelbart efter
skylten.
1516 T ex:
a) 1 300
b) 5 900 eller 6 000
c) 600
d) 4 100 eller 4 000
1517 T ex:
a) 20
b) 45
1518 T ex:
a) 2
d) 200 eller 180
c) 4
d) 20
1519 Ja
Lösning:
11,7 + 5,4 + 9,2 ≈
≈ 12 + 5 + 9 = 26
1520 a) 80 kr/timme
b) 78 kr/timme
1521 Ja
1522 6 st
1523 A och D
Ledtråd:
Avrunda talen och gör en
överslagsberäkning för att
avgöra om svaret är rimligt.
1524 D: 18
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
Kurs 1bc Vux.indb 409
1530 a) Ca 400 inv/km 2
Lösning:
16 570 613 ≈
41 526
16 000 000 = 400
40 000
b) Ca 20 inv/km2
Tema: Läkemedel
b) 6 pennor c) 0,64 ml
Ledtråd c):
Hon behöver 64 E per dag.
12 a) Ja.
Motivering:
Han har fått 1000 mg vilket
motsvarar 200 mg/kg
b) 240 mg
13 5 tabletter
1532 a) 24 kr
b) 36 kr
1533 a) 20 km
b) 40 km
c) 6 kr
d) 18 kr
c) 10 km
d) 5 km
1534 1 200 liter
1 a) 2 000 mg
c) 7 mg
b) 325 mg
d) 40 mg
2 a) 3 500 ml
c) 75 ml
1535 Cedrik kör snabbast.
Motivering:
Cedrik 110 km/h,
Albin 100 km/h
Bea 90 km/h
b) 625 ml
d) 200 ml
1536 a) 5 dl mjöl och 6 msk socker
3 a) 0,25 l
c) 180
b) 7
1529 Ja, nästan 1 m.
Lösning:
5 ∙ 365 ∙ 0,5 mm ≈
≈ 5 ∙ 400 ∙ 0,5 mm =
= 1 000 mm = 1 m
11 a) 5 dagar (5,1 …)
Ledtråd:
En spruta innehåller 300 E och
hon behöver 58 E per dag.
c) 0,028 l
b) 0,007 l
d) 0,0084 l
4 a) 0,4 mg
c) 0,05 mg
b) 0,2 mg
d) 1 mg
5 3,3 dl
6 Nej.
Motivering:
Han drack 14,3 dl.
7 60 tabletter
8 11 dagar (11,1 …)
Ledtråd:
0,5 liter = 500 ml
9 Mellan 16 och 50 dagar.
Ledtråd:
Minsta förbrukning är 1 tablett
per dag.
Högst förbrukning är 3 tabletter
per dag.
10 a) 50 dagar
b) 1,25 dl mjöl och 1,5 msk
socker
c) 3,75 dl mjöl och 4,5 msk
socker
1537 a) 80 kr
b) 40 kr
c) 56 kr
1538 a) 210 steg
Lösning:
10 min — 700 steg
1 min — 70 steg
3 min — 3 · 70 steg =
= 210 steg
b) 40 minuter
Lösning:
2 800 steg = 40 min
70 steg/min
1539 a) 38,40 kr c) 50,88 kr
b) 48 kr
d) 12,48 kr
1540 I glaset med 2 delar saft och
7 delar vatten.
Motivering:
2 = 0,222... är större än 1 = 0,2
9
5
b) 1 dos morgon och kväll
409
2013-07-11 15:23
1541 a) 29,19 kr
b) 139 kr
c) 59,08 kr
Lösning:
6,95 kr/hg · 8,5 hg ≈ 59 kr
d) 5,56 kr
1542 a) Ca 7 100 kr
b) Ca 8 900 kr
c) Ca 10 800 kr
1543 3 237 kr
1544 Bergbacken (lutningen 0,246)
1545 87 st
Ledtråd:
Här kan inte avrundningsreglerna användas utan
svaret ska avrundas nedåt.
1546 13 timmar (12,6)
1547 1,32 kr
1548 5,91 kr/lit
Ledtråd:
De 20 flaskorna motsvarar
6,6 liter.
1549 a) Nej, en tablett väger 750 mg.
b) Nej, den innehåller
64 tabletter.
1550 Ökning med ca 70 miljoner/år.
Ledtråd:
Befolkningen ökade med
662 personer på 5 minuter.
1551 24 sidor
1552 1 h och 20 min
Ledtråd:
Det krävs fyra svetsningar.
1553 Nästan 21 dagar (20,8)
1554 Asken väger 10 g.
1555 3 900 flaskor
1556 49 kr (48,5…)
1557 Gruppen ska utökas med
20 personer.
Ledtråd:
För projektet behövs totalt
1 800 persondagar. På 30 dagar
ska den utökade gruppen klara
1 500 persondagar.
410
Kurs 1bc Vux.indb 410
1558
1
3
1559 –15, –10, –5, 0, 5, 10
1560 2, 5, 13 821 503
Diagnos 1 A
1 5 500 000
Ledtråd:
5,5 miljoner är
5 miljoner femhundratusen.
2 a) 12
Lösning:
2 · 32 – 8 + 2 = 2 · 9 – 8 + 2 =
= 18 – 8 + 2 = 10 + 2 = 12
b) 1
Lösning:
18/(3 + 6) – 1 = 18/9 – 1 =
=2–1=1
b) –12
Lösning:
–5 + (–7) = –5 – 7 = –12
c) –0,05
Ledtråd:
Multiplikation av ett positivt
tal och ett negativt tal ger ett
negativt resultat (produkt).
d) 80
Ledtråd:
Börja med att förlänga med 10.
Division av två negativa tal ger
ett positivt resultat (kvot).
8 5 : 8 eller 5
8
Lösning
300 = 30 = 30/6 = 5
480
48
48/6
8
9 Addition och subtraktion
10 a)
3 a) 17
Lösning:
Sätt ut en parentes i nämnaren.
2975 ÷ ( 7 × 25)
b) 34
Lösning:
Sätt ut parenteser i både
täljaren och nämnaren.
(87 × 26 + 16) ÷ (88 – 7 × 3)
4 a) En faktor är ett tal eller uttryck
som ingår i en multiplikation.
b) Talet 7 är endast delbart med 1
och 7 och är därför ett primtal.
Talet 8 är delbart med 1, 2, 4
och 8 och är därför ett sammansatt tal. 8 = 2 · 2 · 2
5 a) 47,96 s
Lösning:
48,16 – 0,20 = 47, 96
b) 48,24 s
Lösning:
48,16 + 0,08 = 48,24
6 12,5 ºC
Lösning:
4,3 – (–8,2) = 4,3 + 8,2 = 12,5
7 a) 4
Lösning:
8–5+1=3+1=4
2
3
Lösning:
3
1
3·3
1
+
=
+
=
5 15 5 · 3 15
=
b)
9
1
10 10/5 2
+
=
=
=
15 15 15 15/5 3
7
6
11 T ex 103 · 107
Ledtråd:
Summan av exponenterna ska
vara 10.
12 a) 7,5 · 104
Ledtråd
75 000 = 7,5 · 104 (positiv
exponent)
4 steg
b) 2,65 · 10 –2
Ledtråd:
0,0265 = 2,65 · 10 –2 (negativ
exponent)
2 steg
c) 1,2 · 107
Lösning:
12 miljoner = 12 000 000 =
= 1,2 · 107
d) 1,2 · 10 –2
Lösning:
12
=
12 tusendelar =
1 000
= 1,2 · 10 –2
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
2013-07-11 15:23
13 a) 3 MW
Ledtråd:
Tiopotensen 106 kan skrivas
med prefixet M (mega).
b) 5 ms
Ledtråd:
0,005 = 5 tusendelar
Tusendelar (10 –3) kan skrivas
med prefixet m (milli).
14 21tre
Lösning:
7tio ska skrivas med basen 3:
••• •••
•
2 tregrupper + 1 ental skrivs 21tre
15 5 dygn
Lösning:
En tablett innehåller 200 mg
Per gång:
2 tabletter
Per dygn:
2 · 3 tabl = 6 tabl
30
Antal dygn:
=5
6
16 a) 17,25 kr
Lösning:
Jämförpris:
27,60 kr = 6,90 kr/hg
4,0 hg
5 a) 9
6
17 32 tidningar
Lösning:
Andel Spindelmannen :
1 1 1
8 4 2 1
1
1– – – = – – – =
2 4 8
8 8 8 8
8
1
motsvarar 4 tidningar.
8
Antalet tidningar: 8 · 4 = 32.
c) 50
8 a) x = 5
b) x = –3
9 En siffras värde beror på dess
placering i talet. T ex i talet 372
har siffran 7 värdet 70.
10 45 min
1 40,3
2 a) –2º
b) –9º
3 a) 0,029
b) 530 000 000
4
5
4 a) T ex +
8
8
3 3
b) T ex ·
2 4
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
Kurs 1bc Vux.indb 411
b) 2, 3, 6, 11, 22 och 33
Ledtråd:
Sammansatta tal är delbara
med primtalsfaktorerna och
produkter av dessa faktorer.
20 10fem
Ledtråd:
Endast siffrorna 0,1,2,3, och 4
används i basen fem.
21 a) x = 2
22 2,5 ∙ 10 –3
b) T ex 0,007
Ledtråd:
Ett tal mellan 0,001 och 0,010.
12 15 min eller 0,25 h
13 a) T ex a = 5 ger 3 · 5 = 15 och
5 + 5 + 5 =15
b) T ex a = –4 ger 3 · (–4) = –12
och (–4) + (–4) + (–4) = –12
1
1
3
ger 3 · = och
5
5
5
1
1
1
3
+ + =
5
5
5
5
23 a) 0,05
3
52
och
4
100
Förklaring:
Täljaren är större än halva
nämnaren.
Täljaren är dessutom mindre
än nämnaren.
25
16 23
17 Talet 53 är ett tal i potensform.
Basen är 5 och exponenten är 3.
Exponenten anger antalet faktorer
som ska multipliceras då talet
skrivs i faktorform. 53 = 5 · 5 · 5
18 29 °C
c) 3
8
10
5
=
16
8
Ledtråd:
Hur många rutor är det som inte
är färgade?
26 a) Andelen barn i Sverige =
delen
2
1
=
=
≈
det hela
10
5
Förhållandet mellan antalet
barn och antalet vuxna
2
1
≈ =
8
4
Förhållandet är 1: 4.
b)
15 T ex
a) –2 + (–3) = –5
b) 1
6
24 kl 11.50 Los Angeles-tid
Ledtråd:
När planet landar är klockan
i New York 13.50.
c) T ex a =
14
b) x = 3
1
10 –2 0,02 101
200
Ledtråd:
1/200 är hälften av 1/100
dvs 0,005.
11 a) T ex 0,092
Ledtråd:
Ett tal mellan 0,090 och 0,100.
b) –9 – (–4) = –5
Blandade övningar kapitel 1
19 a) 2 · 3 · 11
1
3
7 4 liter
Ledtråd:
3 flaskor innehåller tillsammans
1 liter.
2,5 hg kostar:
2,5 · 6,90 kr = 17,25 kr
b) 8,7 hg
Lösning:
60 kr
= 8,695 ≈ 8,7 hg
6,90 kr/hg
b) 81
27
2
5
3
36
h=
h = 36 min och
5
60
7
35
h=
h = 35 min
12
60
28 Resultatet blir 30 000.
Ledtråd:
Talet är 150.
29 Hälften
Ledtråd:
De som åker buss är 5/8 av
de som inte cyklar.
411
2013-07-11 15:23
30 a) 2,52
b) 0,55
31 a) 64 slag
b) ca 3 800 slag (3 840)
c) ca 92 000 slag (92 160)
d) ca 34 000 000 slag
32 Anna betalade 5 kr mindre.
33 a) 1 700 kr
b) 59 h (58,8)
34 a) 550 000
b) T ex 2 ∙ 10
43 5,4 km
Ledtråd:
Beräkna hur långt Amina joggar
på 5 min.
2107 a) 50 %
d) 26 %
b) 33 %
e) 30 %
c) 73 %
f) 20 %
44 De kan antingen dela pengarna
efter hur lång tid de arbetat:
Maja 3 och Malcolm 2 eller
5
5
efter hur många broschyrer de
2108 a) 12 %
delat ut: Maja 11 och Malcolm 9
20
20
–2
35 a) Gör om talen till decimalform.
45
b) Skriver om bråken så de får
samma nämnare och jämför
sedan täljarna.
36 W34 L32
37 a) 314,09 kr
b) 210 min = 3 h 30 min
38 a) 1990 var det 4,5 barn per
anställd.
2008 var det 5,3 barn per
anställd.
b) Ca 97 000
År
Modell A
Modell B
0
78 000
78 000
1
67 200
62 400
2
56 400
49 900
3
45 600
39 900
4
34 800
31 900
5
24 000
25 600
6
13 200
20 400
7
2 400
16 400
8
13 100
9
10 500
10
8 400
39 42
Lösning:
32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 =42
Enligt modell B sjunker bilens
värde snabbt de första åren och
sedan allt mindre.
40 a) 129 dollar (128,73 …)
Lösning:
100 euro = 100 ∙ 9,085 =
100 · 9,085
dollar
7,057
Enligt modell A sjunker bilens
värde lika mycket varje år.
Efter drygt 7 år är bilen inte värd
någonting.
Efter 4–5 år ger båda modellerna
samma värde.
b) 11 700 yen (11 742,09 …)
41 Du får en lite större bit vid bord A.
Motivering:
Bord A
4 pizzor
= 0,4 pizzor/person
10 personer
Bord B
3 pizzor
= 0,375 pizzor/person
8 personer
42 Robin hade störst reskassa från
början.
Förklaring:
3
Louis har kvar.
4
Robin har
3
kvar.
5
2
b) 40 %
2109 5,1 %
2110 Figur A
9
a)
25
Figur B
3
a)
8
b) 0,36
c) 36 %
b) 0,375
c) 37,5 %
2111 a) 18 % (17,5)
b) 32 % (31,8)
Ledtråd:
Tänk på att både ”delen”
och ”det hela” ökar.
2112 a) 47 %
Ledtråd:
”Det hela” = 90 g + 100 g =
= 190g
b) 53 %
2113 a) 80 %
b) 120 %
2114 Räddningsprocent:
13
≈ 0,48 = 48 %
Adde
27
19
Filip
≈ 0,44 = 44 %
43
2115 210 %
Ledtråd:
Alessandro arbetar
84 timmar/vecka.
2116 a) 10 %
b) 30 %
2105 a) 0,65
b) 0,70
2106 a) 25 %
b) 3,5 %
c) 0,07
2117 I Persboda.
Motivering:
9
Persboda
= 0,12 = 12 %
75
165
= 0,11 = 11 %
Västerstad
1 500
d) 0,703
2118 a) Ca 17 %
2103 40 %
2104 a) 42 %
c) 3,5 %
c) 3 %
d) 30,5 %
c) 10 %
b) 12,5 %
d) 5 %
Ledtråd:
Börja med att skriva talen
i decimalform. Använd
räknare om du behöver.
b) 120 %
Ledtråd:
Beräkna 53 g av 44g.
2122 180 kr
Lösning:
0,24 · 750 kr = 180 kr
2123 a) 6 944 kr
b) 14 756 kr
412
Kurs 1bc Vux.indb 412
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
2013-07-11 15:23
KÄLLFÖRTECKNING TILL BILDER
Siffrorna anger sida och bildens placering på sidan
Foton:
Alfredsson, Lena 34, 62, 79, 168, 201,
233, 242, 247
Heikne, Hans 43:1, 59, 66, 76, 128,
150, 206, 244, 245:2, 260, 275, 283,
306
Karlsson, Anders 10, 170, 175, 199,
256, 283
IBL Bildbyrå AB, Stockholm
Aerofoto 227
AGE photostock 235
Ardea 285
Bildbyrå IBL 23, 130, 131
Bilderbox 112, 274
Bilic/ Sucré Salè 51:1
Borell, Bartomeu 273
Brundin, Lars 251
Carrasco, J 277, 302
Carson, Gansi 19
Cristofori, Marco 315
Dareberg, Lars/ Sydsvenskan 340
Dovala, Joseph C. 319
DPA 336
Dressler, Hauke 376
Elmelid, Jan/ Naturfotograferna 98
Erich Lessing 89
Eriksson, Göte 43:2
Erwitt, Elliot/ Magnum Photos 141
Ewing, David 253, 258
Eyevine 84, 211, 149
FLI 246-247
Fotex 82
Fotototo 69
Gall, Pablo 225:2
Gamma 102, 338
Gansi, Carson 205
Good, Anders 80, 109, 115, 118
Gow, Jessica 44
Grambo, L 178
460
Kurs 1bc Vux.indb 460
Hammarsten, Charles 8
Henriksson, Thomas 91
Heritage Images 355
Holl, Tommy 51:2
Hylthén, Andreas 13
Högardh-Ihr, Christina 310
IC 107, 309:2
Imagestate 85
Jennersten, Ola/
Naturfotograferna 218
Johaenteges, Karl 317
Johansson, Per 77
Jönsson, Staffan 249
Kristiansen, Ingemar D 61, 86
Koene, Tom 83
Korach, Mujo 48, 265, 267, 285, 332
Larsson, Helena/
Naturfotograferna 27
Lilja, Peter/ Naturfotograferna 99
Lilja, Torbjörn/
Naturfotograferna 356
Lindeberg, Torkel 271
Lindell, Bo 45
Linderheim, Alf 68
Library of Congress 28
Margolles, Jean Manuel 41
Market PhotosLtd 78-79
Martel, Olivier/ Hoaqui 132
Maslennikov, André 110:2, 113
Masterton, Iain 29
McPhoto/ PWI 11, 142
Moodboard 309:1
National, Motor Museum 225:1
Oldham, Tom 110:1
Paul 258, 260:1
Rex Features 88:2, 93, 119, 158,
159, 207, 298-299, 322
Ripol, Eduardo 241
Sandbring, Håkan 75, 224
Sass, Achim 152
Science Photo Library 49, 259, 285,
320, 333
Science Source 217
Shaw, Brooke 154
Shyshak, Roman 156
Teister, E 177
UPI/Eyevine 377
Violet, Roger 198
Wejrot, Anders/ Kamerapress 239
Wilhelm, Mats/
Naturfotograferna 111, 287
Xinhua/Eyevine 17, 307
Österberg, Cecilia 192
Link Image AB, Stockholm
Hjälmrud, Berno 6-7, 259
Nordic Photos Bildbyrå AB, Stockholm
Adamsson, Per-Erik 188-189
Scanpix Bildbyrå AB, Stockholm
Laarsson, Christer 324
Lundmark, Gunnar 88:1
Masslenikov, André 368
Narayan, P 197
Pekkarinen, Ismo 101
Pleul, Patrick 22
Sörensen, Henrik 286
Wikberg, Thure 151
Wolfaym, Heiko 186
Yang, Liu/ Corbis 125
Vattenfall 53
Illustrationer:
Johan Hesselstrand
Matematiska illustrationer:
Anders Karlsson
Mats Karlsson
REGISTER
2013-07-11 15:25
Download
Random flashcards
Ölplugg

1 Cards oauth2_google_ed8be09c-94f0-4e6a-8e55-87a3b14a45db

Create flashcards