Självständigt arbete 15hp
Hur matematikundervisningen
kan utformas för att gynna
elever med fallenhet för
matematik
Ur ett lärarperspektiv
Författare:Andrea Mako
Handledare: Peter Markkanen
Examinator: Annica Andersson
Termin: HT14
Ämne: Matematik och
matematikdidaktik
Nivå: Avancerad
Kurskod: 4GN02E
Abstrakt
Syftet med studien var att få en djupare förståelse och kunskap om hur
matematikundervisningen kan utformas så att den bemöter elever med fallenhet för
matematik. Syftet var även att få kunskap om hur arbetet med problemlösning kan
gynna dessa elever. I genomförandet av studien intervjuades fem verksamma
matematiklärare i årskurs 4-6. Studien belyste att undervisningen mestadels bestod av
gemensamma genomgångar, att eleverna arbetade med något helt annat eller blev
tilldelade svårare uppgifter. Studien belyste också att eleverna kunde utmanas i
problemlösning genom att läraren ställde högre krav på dessa elevers kunskaper.
Studien visade också att det var genom problemlösning som lärare upptäckte elever med
fallenhet för matematik och även genom diagnoser samt hur snabbt de lärde sig nya
moment. Trots att lärarnas svar skilde sig mycket åt fanns det en medvetenhet i deras
undervisningsform som strävade mot att utmana elever med fallenhet för matematik.
Nyckelord
Problemlösning, lösningsstrategier, berikning, nivågruppering, diagnoser, elever med
fallenhet
i
Innehåll
1 Inledning ____________________________________________________________ 1
2 Syfte och frågeställningar ______________________________________________ 2
3 Bakgrund ___________________________________________________________ 3
3.1 En undervisning för alla ____________________________________________ 3
3.2 Vad menas med elever med fallenhet för matematik? _____________________ 3
3.3 Lärarens betydelse för individualiseringen______________________________ 4
3.4 Olika sätt att individualisera undervisningen ____________________________ 4
3.4.1 Acceleration __________________________________________________ 4
3.4.2 Berikning ____________________________________________________ 5
3.4.3 Gemensamma genomgångar _____________________________________ 5
3.5 Problemlösning ___________________________________________________ 5
3.6 Att upptäcka elever med fallenhet för matematik ________________________ 6
4 Metod ______________________________________________________________ 8
4.1 Val av metod _____________________________________________________ 8
4.2 Datainsamlingsmetoden ____________________________________________ 8
4.3 Urval ___________________________________________________________ 8
4.4 Genomförande ___________________________________________________ 9
4.5 Metod vid analys _________________________________________________ 9
4.6 Etiska överväganden _____________________________________________ 10
5 Resultat ____________________________________________________________ 11
5.1 Hur arbetar lärare för att kunna möta elever med fallenhet för matematik ____ 11
5.1.1Gemensamma genomgångar ____________________________________ 11
5.1.2 Berikning ___________________________________________________ 12
5.1.3 Arbeta med något helt annat ____________________________________ 12
5.1.4 Markera uppgifter ____________________________________________ 13
5.1.5 Sammanfattning av resultatet på första frågeställningen ______________ 13
5.2 Hur beskriver lärare arbetet med problemlösning i sin matematikundervisning för
elever med fallenhet i matematik?_________________________________________14
5.2.1 Större krav på eleverna ________________________________________ 14
5.2.2 Arbetssituationen i problemlösning _______________________________ 14
5.2.2.1 Gruppering och parbildning_______________________________14
5.2.2.2 Arbeta enskilt med problemlösning _________________________ 15
5.2.3 Upptäcka elever med fallenhet för matematik _______________________ 15
5.2.3.1 Genom prover och diagnoser _____________________________ 15
5.2.3.2 Genom problemlösning __________________________________ 15
5.2.3.3 Övriga drag som kan visa att en elev är duktig i matematik ______ 16
5.2.4 Sammanfattning av resultatet på den andra frågeställningen __________ 16
ii
6 Analys av resultatet __________________________________________________ 18
6.1 Hur arbetar lärare för att kunna möta elever med fallenhet för matematik ___ 18
6.2 Hur beskriver lärare arbetet med problemlösning i sin matematikundervisning
för elever med fallenhet i matematik?___________________________________
18
6.2.1 Hur läraren upptäcker elever med fallenhet för matematik ____________ 19
7 Diskussion __________________________________________________________ 21
7.1 Metoddiskussion _________________________________________________ 21
7.1.1 Kvalitetskriterier _____________________________________________ 21
7.1.1.1 Överförbarhet _________________________________________ 21
7.1.1.2 Pålitlighet ____________________________________________ 22
7.1.1.3Trovärdighet ___________________________________________ 22
7.1.1.4 Objektivitet ___________________________________________ 22
7.2 Resultatdiskussion _______________________________________________ 23
Referenser ___________________________________________________________ 25
Bilagor _______________________________________________________________ I
Bilaga A Information till lärarna om deltagande i intervjuer ___________________ I
Bilaga A Intervjuguide ________________________________________________ II
iii
1. Inledning
I Läroplanen (Skolverket, 2011) står det att skolan ska anpassa undervisningen till varje
elevs förutsättningar och behov, vilket ställer krav på att läraren har kunskaper och
beredskap för att kunna möta elevernas individuella behov. För elever med svårigheter
finns tydliga åtgärdsplaner beskrivna i Skollagen (SFS 2010:800) och i Läroplanen
läggs fokus på denna elevgrupp (Skolverket, 2011).
Skollagen (SFS 2010:800) hävdar att lärare ska utforma undervisningen på sådant sätt
att det även gynnar duktiga eleverna. "Elever som lätt når de kunskapskrav som minst
ska uppnås ska ges ledning och stimulans för att kunna nå längre i sin
kunskapsutveckling" (SFS 2010:800 s.12). Däremot står det inte hur läraren kan arbeta
eller möta och utmana dessa eleverna. Även i matematiken bör lärare individualisera
undervisningen (Europarådet, 1994). Redan 1994 argumenterade Europarådet för vikten
av att identifiera duktiga elever i matematik och erbjuda dem undervisning som
möjliggör att de utvecklar sin fulla potential (Europarådet, 1994). Då varken läroplanen
eller Skollagen beskriver hur lärare kan arbeta för att stödja dessa elevers utveckling är
det upp till läraren att besluta vilken undervisningsmetod som ska användas i
klassrummet.
I dagens Läroplan (Skolverket, 2011) står det bland annat att elever ska utveckla
färdigheter i problemlösning och därmed bör problemlösningen få en allt större roll i
matematikundervisningen (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005; Verschaffel, Depaepe &
Van Dooren, 2014). Problemlösning är en undervisningsform som bör involvera alla
elever. En lärare med god insikt i problemlösningens möjligheter kan bemöta sina
elever i de olika utmaningarna (Hagland m.fl., 2005). Därför finns viljan att även
studera lärarnas tankar kring vilka möjligheter problemlösning kan bidra med i
undervisningen av duktiga elever i matematiken.
Under min verksamhetsförlagda utbildning (VFU) har jag tyckt att det har varit svårt att
tillgodose duktiga elever med utmanande arbetsuppgifter i matematikundervisningen.
När elever har räknat klart alla uppgifter i ett kapitel har de oftast blivit tilldelade extra
arbetsblad med liknande uppgifter som det finns i arbetsboken tills dess att de övriga
eleverna har hunnit räkna ikapp. Det är därför mitt personliga intresse att kunna använda
mig av nya tankesätt och metoder för att möta duktiga eleverna i
matematikundervisningen i min kommande yrkesroll som lärare.
Elever som är duktiga och som har lätt att lära sig matematik benämns vidare i denna
studie för elever med fallenhet för matematik och elever. Båda dessa termer har
fortsättningsvis samma innebörd.
1
2. Syfte och frågeställning
Det övergripande syftet med studien är att få en djupare förståelse och kunskap om hur
matematikundervisningen kan utformas så att den bemöter elever med fallenhet för
matematik. Under arbetets gång, då teorin sammanställdes, märktes även att
problemlösning var en viktig del i lärarens arbete med dessa elever. Därför utökades
syftet till att även belysa lärares tankar kring arbetet med problemlösning för elever med
fallenhet för matematik.
Utifrån ovanstående har följande frågeställningar utformats:
Hur arbetar lärare för att kunna möta elever med fallenhet för matematik i
årskurs 4-6?
Hur beskriver lärare arbetet med problemlösning i sin matematikundervisning
för elever med fallenhet för matematik i årskurs 4-6?
2
3. Teoribakgrund
I teoribakgrunden beskrivs att undervisningen bör gynna alla elever, vad som menas
med elever med fallenhet, lärarens betydelse för individualiseringen, olika sätt att
individualisera undervisningen, problemlösning samt hur man kan upptäcka elever med
fallenhet för matematik.
3.1 En undervisning för alla
Som tidigare nämnts har skolan ett ansvar att utforma undervisningen på sådant sätt att
den gynnar alla elever utifrån deras förutsättningar, erfarenheter och tidigare kunskaper.
Att skolan ska hjälpa elever som av någon anledning har svårt att klara målen är en
väsentlig del i undervisningen och det står klart och tydligt i både Skollagen (SFS
2010:800) och i Läroplanen (Skolverket, 2011), det vill säga att skolan har ett särskilt
ansvar att hjälpa dessa elever.
En undervisning som är anpassad till alla elever innebär dock att undervisningen även
ska gynna elever med fallenhet för matematik (Skolverket, 2013; SOU, 2004:97) men
tillvägagångssättet för hur lärare kan anpassa undervisningen för att möta även dessa
elever beskrivs inte i styrdokumenten. De elever som har lätt att nå kursmålen ska
däremot ges en stimulans till utveckling (Skolverket, 2013) och få möjligheter att
övervinna svårigheter. De har även rättigheter att uppnå nya framsteg i undervisningen
(Skolverket, 2011). Vidare skriver Skolverket (2011) att undervisningen ska organiseras
på sådant sätt att varje elev stimuleras och utvecklar sina förmågor.
3.2 Vad menas med elever med fallenhet för matematik?
I en av sina sammanfattningar i teoriavsnittet skriver Petterson (2011) att om en lärare
ska ha möjlighet att hjälpa elever med fallenhet för matematik krävs det att läraren har
kunskap om hur han/hon kan identifiera matematisk begåvning. Petterson (2011) menar
även att om läraren ska kunna identifiera vilka karaktäristiska drag som kan visa sig hos
dessa elever krävs det också kunskap om begreppets innebörd.
Under det senaste årtiondet har flertal rapporter som berör elever med fallenhet för
matematik presenterats och forskare är inte helt överrens om definitionen av
matematiska förmågor (Petterson, 2011). Enligt Petterson (2011) är Krutetskii en av de
mest framträdande forskarna som har studerat begåvningsbegreppet inom matematik,
vars forskning har legat till grund för senare forskning och anses än idag ha en
avgörande roll på dagens forskares syn på elever med fallenhet för matematik.
Krutetskii (1976) använder begreppet matematiska förmågor när han talar om elever
med fallenhet för matematik och beskriver innebörden som:
1. Att erhålla matematisk information
A) Förmågan att uppfatta matematiskt material, att förstå formella strukturer av ett
problem.
2. Att processerna matematisk information
A) Förmågan att kunna resonera logiskt i sfären av kvantitativa och rumsliga
relationer, med siffror och symboler; förmågan att kunna resonera med
matematiska symboler.
B) Förmågan till snabb och bred generalisering av matematiska objekt, relationer
och funktioner.
3
C) Förmågan att förkorta matematiska processer, matematiska resonemang och
system av sammanlänkade funktioner; förmågan att tänka i förkortade
strukturer.
D) Flexibilitet under den matematiska processen vid lösandet av matematiska
uppgifter.
E) Att söka efter klarhet, enkelhet, ordning och rationella lösningar.
F) Förmågan att snabbt återskapa den matematiska processen och förmågan till
reversibilitet i matematiska resonemang.
3. Bibehålla matematisk information
A) Matematiskt minne för att generalisera matematiska problem, argumentera för
lösningar, minnas matematiska principer och regler.
4. Generell förmåga
A) Matematiskt sinne.
[egen översättning s.350-351]
Däremot påpekar Krutetskii (1976) att en elev med fallenhet för matematik inte behöver
ha alla de ovanstående kunskaperna men de flesta av dem. Trots Krutetskiis definition
är det många lärare som identifierar elever med fallenhet för matematik genom att de är
snabba i sina räkningar (Petterson, 2011).
I studien används Krutetskiis (1976) definition av elever med fallenhet för matematik.
Som tidigare nämnts används även begreppet elever och då avses elever med fallenhet
för matematik om inget annat nämnts.
3.3 Lärarens betydelse för individualiseringen
Sandahl (2014) påpekar att det finns undersökningar gjorda i början på 2000 talet som
visar att elever i den svenska skolan har blivit mer lärobundna än tidigare. I dagens
undervisning har det nämligen blivit viktigt att hinna räkna sidorna i arbetsboken och att
göra prov (Myndigheten för skolutveckling, 2007; Sandahl, 2014). I stället för att enbart
fokusera på enskilt arbete i matematikboken bör lärare enligt Sandahl (2014) först
fokusera på vilka färdigheter han/hon vill att eleverna ska utveckla och därefter planera
undervisningen så att eleverna utvecklar olika färdigheter. Det är också väsentligt att
läraren har en medvetenhet i valet om vilken typ av undervisningsform som används i
klassrummet (Löwing, 2006). Enskilt arbete i läroboken stimulerar sällan elever med
fallenhet för matematik (Petterson, 2011). Elevernas förmågor i matematiken utvecklas i
olika matematiska aktiviteter och därför ställer det höga krav på att läraren stimulerar de
matematiska förmågorna genom en varierad undervisning. Eftersom en god matematisk
förmåga innefattar olika förmågor utvecklas inte elevers matematiska färdigheter genom
enbart enskilt arbete (Petterson, 2011; Petterson & Wistedt, 2013).
3.4 Olika sätt att individualisera undervisningen
Under presenteras tre olika tillvägagångssätt att individanpassa undervisningen på.
Dessa är acceleration, berikning och gemensamma genomgångar.
3.4.1 Acceleration
Vilken typ av stimulans eleverna tilldelas i undervisningen varierar (Myndigheten för
skolutveckling, 2007; Petterson, 2011). En modell av individanpassad undervisning för
elever med fallenhet i matematik kallas för acceleration (Petterson & Wistedt, 2013)
eller hastighetsindividualisering (Löwing, 2006). Acceleration kan användas i
matematikundervisningen och innebär att eleven arbetar i sin egen takt med
undervisningsmaterialet. Det kan ske antingen i klassrummet, i nivågrupperingar, att
4
eleven flyttas upp i en högre årskurs eller tillhör en så kallad elitklass. Eleverna har då
ökad möjlighet att hinna räkna fler uppgifter än sina övriga klasskamrater (Petterson &
Wistedt, 2013).
Användningen av acceleration i undervisningen möjliggör att eleverna kan utöka sina
kunskaper till att omfatta högre mål i kursplanen än sina jämnåriga klasskamrater (Van
de Walle Karp & Bay-Williams, 2010). Acceleration kan också öka elevernas ansvar
och inflytanden över utbildningen då de själva ska ta ansvar över det egna arbetet och
kunskapsutveckling (Myndigheten för skolutveckling, 2007) vilket är ett av målen i
Läroplanen (Skolverket, 2011). En undervisning som präglas av acceleration kan riskera
att omotiverade elever har svårt att ta ett eget ansvar (Vinterek, 2003) och eleverna
riskerar därför att bli felbedömda. Eleverna riskerar även att bli felbedömda i en
undervisningen byggd på nivågruppering. Nivågruppering kräver därför att läraren har
goda kunskaper om elevernas matematikkunskaper (Myndigheten för skolutveckling,
2007).
3.4.2 Berikning
Young (1992) anser att lärare i stället för acceleration bör betrakta andra möjligheter
som ett tillvägagångssätt för att möta elever med fallenhet för matematik. Ett arbetssätt
som han framhäver är att lärare kan arbeta så att eleverna i stället får tillgång till
fördjupad kunskap i ämnet och på så vis öka individualiseringen. Ett tillvägagångssätt
där eleverna fördjupar sina kunskaper kallas för berikning. Berikning innebär att den
eleven fördjupar sig i ett lärostoff men arbetar inom samma område som de övriga
klasskamraterna (Mönks & Ypenburg, 2009; Petterson & Wistedt, 2013; Van de Walle
m.fl., 2010) eller att den eleven arbetar med ett område som inte står med i kursplanen
tills de övriga eleverna i klassen är klara med ett särskilt område (Petterson & Wistedt,
2013). Berikande uppgifter i matematikundervisningen kan exempelvis vara att eleven
ska lösa riktiga matematiska problem eller förmedla svar och lösningar till utomstående
(Van de Walle m.fl., 2010). Berikningen bör däremot inte ske genom att eleven hjälper
sina klasskamrater, får fler liknande uppgifter eller repetera tidigare avsnitt (Petterson &
Wistedt, 2013).
3.4.3 Gemensamma genomgångar
Gemensamma genomgångar och diskussioner är också väsentliga aspekter för att skapa
sammanhang i matematiken. Därför bör det enskilda arbetet blandas med aktiviteter i
grupp (Myndigheten för skolutveckling, 2007) men eftersom enskilt arbete ofta innebär
att eleverna befinner sig i olika avsnitt kan det bli svårt med gemensamma aktiviteter
och gemensamma genomgångar (Petterson & Wistedt, 2013). De gemensamma
genomgångarna bör innefatta information om hur uppgifterna ska genomföras rent
organisatoriskt. Genomgångarna bör också ge eleverna kunskap som hjälper dem att
räkna de uppgifterna som ska räknas under lektionen (Löwing, 2006). Även elever med
fallenhet för matematik kan medverka vid de gemensamma genomgångarna (Petterson
& Wistedt, 2013).
3.5 Problemlösning
Problemlösning är "uppgifter där eleven ska använda sitt förnuft och matematiskt
kunnande, men där det inte från början är uppenbart för eleven hur man ska gå tillväga"
(Grevholm, 1991 s.151). När en uppgift har blivit en rutinuppgift, det vill säga när
eleven vet hur han/hon ska gå tillväga för att lösa uppgiften är den inget problem längre
(Grevholm, 1991). Problemlösning i skolan har varit en central del i
matematikundervisningen sedan Läroplanen 80 då problemlösning fick ett eget
5
huvudområde (Hagland m.fl., 2005). Även i dagens Läroplan (Skolverket, 2011s. 65)
står det att alla elever ska utveckla "Strategier för matematisk problemlösning i
vardagliga situationer". Problemlösning är därför ett viktigt inslag i
matematikundervisningen. Problemlösning behöver däremot inte ersätta rutinuppgifter
utan problemlösning bör i stället vara ett naturligt inslag i undervisningen vid olika
tillfällen (Hagland m.fl., 2005).
För att ett problem verkligen ska vara ett problem finns det enligt Hagland m.fl. (2005)
ett antal kriterier. De kriterierna är:
"Problemet ska introducera viktiga matematiska idéer eller vissa
lösningsstrategier" (Hagland m.fl., 2005 s. 28)
"Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med
det" (Hagland m.fl., 2005 s. 28)
"Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta
tid" (Hagland m.fl., 2005 s. 29)
"Problem ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och
representationer" (Hagland m.fl., 2005 s. 29)
"Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda
lösningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och
matematiska idéer" (Hagland m.fl., 2005 s. 29)
"Problemet ska kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska
områden" (Hagland m.fl., 2005 s. 29)
"Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta
problem" (Hagland m.fl., 2005 s. 30)
Då undervisningen i matematik även ska gynna elever med fallenhet för matematik
(SFS 2010:800; SOU, 2004:97) är det också viktigt att anpassa problemlösningen för
dessa elever. Hagland m.fl. (2005) belyser att problemlösning kan anpassas till alla
elever genom att använda olika svårighetsgrader på uppgifterna, det vill säga att en
uppgift är indelad i flera deluppgifter där svårigheterna ökar lite vid varje deluppgift. På
så vis kan alla elever diskutera och ta del av samma uppgift. Eftersom diskussionen är
den mest centrala aspekten vid problemlösning kan olika svårigheter i en uppgift gynna
alla elever (Hagland m.fl., 2005). I diskussioner ska läraren medverka och samtala med
sina elever. Läraren kan utmana eleverna i diskussionerna vilket kan utveckla elevernas
matematikkunskaper ytterligare (Petterson & Wistedt, 2013).
Genom att arbeta med problemlösning i matematikundervisningen kan elevernas
matematikkunskaper och motivation öka. Dock kan problemlösning vara svårt att
bedöma eftersom tester i elevernas problemlösningsförmåga är svåra att genomföra
(Verschaffel m.fl., 2014). Ingen av lärarna uttrycker sig att det är svårt.
3.6 Att upptäcka elever med fallenhet för matematik
Lärare uppfattar det som svårt att upptäcka elever med fallenhet för matematik. Oftast
anser lärarna att eleverna är snabba och arbetar självständigt (Petterson, 2011).
Upptäckandet av elever med fallenhet för matematik bör däremot ske genom att betrakta
eleven vid arbetet med problemlösning och då jämföra de karaktäristiska dragen som
krävs för matematisk fallenhet med elevens metod vid lösning av problemen (Petterson
& Wistedt, 2013). Eftersom en problemlösning inte kan innehålla alla aspekter som
6
krävs för att utveckla den hela matematiska förmågan ska läraren se till att olika typer
av problemlösning används i undervisningen (Hagland m.fl., 2005).
För att kunna bedöma elevernas matematikkunskaper genom problemlösning måste
läraren "ha en rik repertoar av olika tolkningsalternativ för att kunna lyfta fram elevens
ibland kortfattade och ofullständiga formuleringar och ge dem en matematiskt rimlig
tolkning" (Petterson, 2011 s. 121). Enligt Pettersson och Wistedt (2013) är det genom
problemlösning elevernas förmågor synliggörs.
Användningen av diagnoser avser att mäta elevernas erfarenheter och behov (Löwing &
Kilborn, 2002). Enligt Löwing och Kilborn (2002) finns fyra olika typer av diagnoser.
Dessa är fördiagnos som avser att mäta elevernas kunskaper innan ett nytt område
påbörjas, underdiagnos som avser att mäta om eleverna klarar målen innan området
avslutat, efterdiagnos som sker efter avslutat område som mäter om eleverna måste
komplettera sina kunskaper eller om de har nått målen samt en översiktsdiagnos som
läraren kan tilldela en ny klass eller elev i avsikt att göra en kartläggning om deras
kunskaper.
Om lärare använder diagnoser i undervisningen är det önskvärt att diagnoserna följs upp
av intervjuer eftersom eleverna kan göra slarvfel eller vara stressade under
diagnostillfället. I de fall riskerar eleverna att få sämre resultat än vad de egentligen kan.
Diagnoser bör inte klassificera elevernas kunskapsnivå. I stället bör diagnosen ligga
som grund för ett vidare arbete som underlättar en individualiserad undervisningen
(Löwing & Kilborn, 2002).
7
4. Metod
Nedan beskrivs hur studien har genomförts för att besvara frågeställningarna. I avsnittet
beskrivs val av metod, datainsamlingsmetoden, urval, genomförande och etiska
överväganden.
4.1 Val av metod
En av huvudinriktningarna inom forskning kallas för kvalitativ forskning. Vid
kvalitativa studier försöker forskaren undersöka olika aspekter mer djupgående och
därför är inte urvalet lika brett som vid kvantitativa studier. Syftet med kvalitativa
studier är bland annat att försöka fånga människors tankar, upplevelser och normer. På
så vis försöker forskaren betrakta olika aspekter med informantens ögon. (Bryman,
1997). I forskningsfrågorna i den här studien undersöktes lärarnas tankar och
erfarenheter kring deras undervisning för elever med fallenhet för matematik. Därmed
valdes en kvalitativ studie då en kvalitativ studie är mest gynnande om det önskas
undersöka mer djupgående (Bryman,1997).
4.2 Datainsamlingsmetoden
I den här studien användes ostrukturerad intervjumetod vilket innebär att intervjuaren
ställer öppna frågor som informanten har möjlighet att svara fritt på (Bryman, 1997). I
studien genomfördes intervjuerna med öppna frågor eftersom lärarna skulle känna sig
fria att berätta om sina erfarenheter och tankar. Johansson och Svedner (2010) beskriver
att ostrukturerade intervjuer har som syfte att intervjuaren ska få ut så mycket som
möjligt av informantens svar och därför ska frågorna anpassas till informanten. I
intervjuerna användes öppna frågor som följdes av följdfrågor. Följdfrågorna varierade
beroende på svaren som gavs av läraren.
I intervjuguiden (bilaga B) finns de frågeområden som berördes men innehållet i
intervjuerna behöver inte stämma överrens med ordningen på frågorna som finns i
intervjuguiden. Då en lärare svarade på första frågan med att berätta om problemlösning
berättade en annan om olika arbetsböcker och så vidare. Ostrukturerade intervjuer
användes också för att belysa nya arbetsmetoder som inte nödvändigtvis nämns i
teoridelen. Med ett öppet förhållningssätt vid intervjuer möjliggörs nya tankesätt och
metoder att betraktas i studien.
4.3 Urval
I studien medverkade fem lärare som valdes ut på olika sätt. Kravet att delta i intervjun
var att personerna skulle vara verksamma mellanstadielärare i matematik. Ett annat krav
var att lärarna som intervjuades skulle arbeta på olika skolor. Därefter skickades ett epost ut till cirka 40 lärare i olika skolor i sydöstra Sverige (bilaga A). E-post adresserna
var tagna från olika skolors hemsidor. Målet var att göra ett slumpmässigt urval som
innebär att personerna som deltar i undersökningen väljs ut slumpmässigt (Denscombe,
2009). Av de personer som kontaktades via e-post var det dock endast en som gav ett
positivt svar till att medverka i en intervju. Däremot läraren vars e-post hittades på
hemsidan blev ett slumpmässigt urval. Vidare användes kontakter till två stycken
tidigare handledare vilka båda gav positiva svar till att medverka. Därmed användes
bekvämlighetsurval. De två sista lärarna som blev intervjuade valdes ut med hjälp av
snöbollseffekten, det vill säga att en av kontakterna kände någon som kunde tänka sig
vara med (Denscombe, 2009). Alla utom två lärare var i samma stad vilket också kan
8
anses vara ett bekvämlighetsurval. I tabell 1 visas en översikt över informanterna, med
fingerade namn och hur länge de varit lärare.
Tabell 1. Översikt över informanter
Lärarens Namn
Aktiv som lärare
Kristina
27 år
Carin
11 år
Fredrik
20 år
Sven
5 månader
Alexandra
35 år
4.4 Genomförande
Vid genomförandet av datainsamlingen genomfördes intervjuer i den skolan som
läraren arbetade på. Intervjuerna genomfördes enskilt då endast intervjuaren och
informanten var närvarande i rummet. När intervjuerna påbörjades samtalades det bland
annat om deras elever så som årskurs, antalet elever i klassen men även om hur länge de
har arbetat inom yrket för att på så vis försöka skapa ett trevligt och öppet klimat.
Därefter fortsatte varje intervju med den första frågan, det vill säga att be läraren
beskriva sin matematikundervisning. På så vis började intervjun med en enkel fråga som
också kan belysa lärarens mest centrala tankar och metoder kring sin
matematikundervisning. Lärarna berättade fritt om sina matematiklektioner. Därefter
ställdes följdfrågor som möjliggjorde en ytterligare inblick i lärarens arbetssätt.
Efter att lärarna hade beskrivit matematikundervisningen svarade de på frågan hur de
ser att en elev har fallenhet för matematik. Genom att lärarna svarade på den frågan
möjliggjordes en djupare förståelse om hur lärarna betraktade de olika förmågorna som
eleverna använde vid problemlösning och om lärarna kopplade de förmågorna till att
bedöma eleverna i matematik. Då Pettersson och Wistedt (2013) hävdar att elever med
fallenhet för matematik syns i arbetet med problemlösning möjliggjorde frågan att
belysa lärarnas medvetenhet och tankar kring problemlösningens betydelse vid
bedömning av elevernas kunskaper.
Den tredje frågan i intervjuguiden är för, som även nämns i inledningen, att granska nya
metoder och tankesätt vid arbetet med elever som är snabba i sina uträkningar. I
intervjuguiden står det "Nivågruppering/acceleration/berikning/speciallärare/
problemlösning/läroböcker osv" under fråga tre. Dessa ord är till för stöd under
intervjun för att minnas vilka områden som har berörts och vilka områden som kan
beröras vidare i form av följdfrågor. Trots att det fanns vissa områden som lärarna inte
hade berört i sina svar ställdes det följdfrågor inom respektive områden för att
undersöka deras tankar kring dessa områden också.
4.5 Metod vid analys
För att genomföra analysen transkriberades intervjuerna och skrevs ut på papper.
Därefter lästes intervjuerna ett flertal gånger. Sedan samlades all text som berörde den
första frågeställningen i ett dokument och all text som berörde problemlösning i ett
annat. Alla dokumenten skrev ut igen.
Därefter valdes en analysenhet ut för varje frågeställning. I den första forskningsfrågan,
som lyder "Hur arbetar lärare för att kunna möta elever med fallenhet för matematik i
9
årskurs 4-6?" valdes aktiviteter utförda av aktörer att vara i fokus. Med aktiviteter
menas de aktiviteter som läraren utformade i sin undervisning och aktörer syftar på
lärarna. Vidare analyserades även lärarnas åsikter. Angående frågeställningen " Hur
beskriver lärare arbetet med problemlösning i sin matematikundervisning för elever med
fallenhet för matematik i årskurs 4-6" var handlingar utförda av aktören i fokus och
åsikter i bakgrunden.
Därefter gjordes anteckningar kring allt som berörde analysenheterna. Anteckningarna
gjordes sedan om till en temakarta. Temakartan var en tankekarta där lärarnas svar
samlades ihop till olika teman. Eftersom båda forskningsfrågorna hade analysenhet:
aktiviteter utförda av aktören, var det aktiviteterna i klassrummet utförda av läraren som
låg i fokus vid framtagningen av temakartan. Även lärarnas åsikter var väsentliga
aspekter och ingick också i temakartan. Eftersom lärarnas åsikter var i bakgrunden fick
dock lärarnas åsikter en lägre hierarkis ställning i temakarta, det vill säga placerades
längre ner på kartan (Denscombe, 2009). Varje forskningsfråga fick en egen temakarta.
4.6 Etiska överväganden
I Sverige har vetenskapsrådet tagit upp några forskningsetiska principer. Dessa är:
Informationskravet som innebär att den intervjuade personen får information om
vad det är som han eller hon ska medverka i.
Konfidentialitetskravet vilket innebär att informanterna förbli anonyma genom
hela studien.
Nyttjandekravet vilket innebär att informanterna ska ha kunskap om vilket syfte
intervjun ska användas till.
Samtycke kravet som belyser att informanterna själva ska bestämma om de vill
medverka i studien (Vetenskapsrådet, 2011).
Vid genomförandet av datainsamlingen användes dessa fyra krav då de skrev ner i ett epost meddelande som skickades ut till informanterna. Där meddelades det även
information om att intervjuerna skulle bandinspelas. Vidare bevarade informanternas
anonymitet i studien genom att använda fiktiva namn. För att förtydliga de krav som
Vetenskapsrådet (2011) nämner beskrevs kraven ytterligare en gång muntligt precis
innan genomförandet av intervjuerna ägde rum. Informanterna tillfrågades även en extra
gång om ett godkännande till bandinspelning och informerades om att endast
intervjuaren som kommer lyssna på inspelningen.
10
5. Resultat
Nedan följer de resultat som är framtagna ur intervjuerna. I resultatet besvaras varje
frågeställning för sig. Det finns också underrubriker som är kategoriserade utifrån
lärarnas svar.
5.1 Hur arbetar lärare för att kunna möta elever med fallenhet för
matematik?
Under den första frågeställningen identifierades följande teman:
gemensamma genomgångar
berikning
arbeta med något helt annat
markera uppgifter
5.1.1 Gemensamma genomgångar
Samtliga lärare nämnde att de använde sig av gemensamma genomgångar. Däremot
använde de gemensamma genomgångar på olika vis. Kristina använde genomgångar vid
de lektioner som var omkring en timme långa eftersom då fanns det tid att gå igenom
nya moment. Genomgångarna var i början av lektionen och därefter hade eleverna tid på
sig att lära sig det nya momentet. Hon sa att det var viktigt att alla elever var delaktiga i
genomgångarna. En elev med fallenhet för matematik kunde ha missat något när de
arbetade själva eller så kunde de få en repetition. Även Sven nämnde att han använde
genomgångar i början av lektionen för att gå igenom de moment han hade märkt att
eleverna behövde extra hjälp med. Han hävdade att alla elever lär sig mycket på
genomgångarna och därför är dessa en väsentlig del i undervisningen för alla elever.
Carin berättade också att hon använde genomgångar i början av lektionen. I hennes
genomgångar sammanfattade hon tillsammans med eleverna vad de hade gjort förra
matematiklektionen. Hon beskrev även hur diagnoser kan drabba de centrala
genomgångar. Carin sa i intervjun:
Nu gör alla diagnosen samtidigt. Det gjorde jag inte förra året med dem utan
då kanske det var att när de kom till diagnosen så gjorde de den. Men då
upplevde jag att det var så många lektioner som jag krävde att det skulle
vara helt tyst. Jag ville inte bryta. För är det någon som håller på med
diagnosen så vill jag inte störa dem med genomgången. För då blir det
avbrott.
(Carin)
Därför gjorde alla elever diagnosen samtidigt även om de inte hade kommit till fram till
diagnosen ännu vilket enligt Carin kunde belysa de gemensamma genomgångarnas
viktiga funktion.
Även Alexandra beskrev sina centrala genomgångar som väsentliga och påpekade att
alla elever gynnas av dem. Däremot kunde Alexandras elever arbeta inom olika
områden inom matematiken trots att hon hade en genomgång för alla elever samtidigt.
Alexandra beskrev sina centrala genomgångar såhär:
En del kanske redan har gjort det vi pratar om men de kan ju tillföra saker
som de upptäckte när de jobbade med det. Så jag tycker inte det är
11
jätteviktigt att jobba inom samma område.
(Alexandra)
Fredrik beskrev också att han använde centrala genomgångar där alla elever var
delaktiga för att på så vis spara tid. Ifall en elev blev klar tidigare arbetade eleven i en
extra arbetsbok eller med stenciler. Anledningen till att han valde att elever med
fallenhet för matematik skulle arbeta med extra material berodde enligt honom, till
skillnad från Alexandra, att det skulle bli svårt att ha genomgångar om eleverna befann
sig på olika moment i matematiken.
5.1.2 Berikning
Samtliga lärare förutom Fredrik och Alexandra beskrev att eleverna får
individanpassade uppgifter genom en lärobok som heter Matte direkt. Borgen (Falck,
Picetti, & Sundin, 2011). Alla kapitel i boken har en grundkurs följt av en diagnos och
beroende på hur eleven klarar diagnosen ska han/hon arbeta antingen med en enklare
variation av kapitlet, det vill säga en blå kurs eller en svårare variant som kallas för röd
kurs. Elever med fallenhet för matematik fick då arbeta med de svårare uppgifterna.
Däremot sa Fredrik att de tidigare hade arbetat med Matte direkt. Borgen (Flack, 2011)
men att:
Problemet med Matematik Borgen var att efter grundkursen var den svåra
kursen, den röda kursen lite svår för vissa i vissa avseenden men den var ju
inte supersvår. Den gav ju inte de starka eleverna någon utmaning ändå. Så
man måste fylla ut så att säga.
(Fredrik)
Därför använde han extra böcker och stenciler som han delade ut till elever med
fallenhet för matematik i stället. Dock använde de inte Matte direkt. Borgen (Flack,
2011) i hans klass utan de använde en annan arbetsbok. Alexandra använde dock Matte
direkt. Borgen (Flack, 2011) men även andra matematikböcker som hon individanpassar
efter varje elev. De elever med fallenhet för matematik fick en arbetsbok med mycket
textuppgifter som kan anses vara av en lite svårare karaktär. Vidare sa Alexandra såhär:
Nu jobbar vi med de fyra räknesätten och sådana där saker och det är lite
färdighetsträning så de ska bli säkra på de fyra räknesätten och då jobbar de
som har det svårt med lite enklare och de duktiga räknar bland annat med
svårare, med flersiffriga faktorer och tvåsiffriga nämnare.
(Alexandra)
Alexandra beskrev att ett arbetssätt som individanpassas på det viset kräver att läraren
hittar uppgifter som är anpassade till varje elev. Däremot hävdade hon att hon hade en
liten klass som gör det enklare för henne än om hon hade haft en större klass. Sven
berättade att han använde sig av en extra arbetsbok när eleverna räknat klart sina
uppgifter. Hans extrabok var ett häfte som bestod av olika typer av uppgifter. Enligt
honom var dessa uppgifter inte nödvändigtvis kopplade till det nuvarande
arbetsmomentet men uppgifterna var svårare än i Matte direkt. Borgen (Flack, 2011).
5.1.3 Arbeta med något helt annat
Alexandra beskrev under intervjun att hennes elever ofta kunde arbeta med olika
moment. Någon elev kunde konstruera trianglar medan en annan elev arbetade med
primtal och så vidare. Många av hennes lektioner var individanpassade genom att alla
12
elever kunde arbeta med olika moment. Till skillnad från Alexandra beskrev Kristina att
hon kunde arbeta tillsammans med flera elever utanför den ordinarie
klassrumsundervisningen. Eleverna arbetade då med ett avstickande moment. På det
viset arbetade eleverna med fallenhet i matematik med ett moment och de övriga
eleverna med ett annat moment. Hon beskrev att hon en gång hade riktigt duktiga elever
som var väldigt vetgiriga och att hon därför beslutade sig för att lära dem
ekvationssystem. Under matematiklektionen gick hon ut med de dessa elever och gav
dem egna läxor i området. Tillslut var det allt fler som ville gå ut och lära sig
ekvationssystem vilket gjorde att det blev en status att lära sig ekvationssystem.
Informanten uttryckte sig så här i intervjun:
De lärde sig både vanliga ekvationer, standardekvationer och
andragradsekvationer och så. Så de var ju jätteduktiga när de kom till
högstadiet. De tyckte ju att matematik var ju ingenting.
(Kristina)
Kristina berättade även att hon försökte utmana eleverna genom att hon lät dem hålla i
genomgångar. Den eleven som skulle hålla i genomgången tog hem lärarhandledningen
och funderade på hur han/hon ville förklara momentet. Därefter diskuterade eleven
tillsammans med läraren om momentet och om hur en lektionsplanering kan se ut.
Eleverna blev ofta glada över möjligheten att ta hem en lärarhandledning. Vidare
uttryckte sig informanten så här:
Ibland om de har tur och har tio minuter emellan så kan de ha det i gruppen
efter sen. Så har man chansen att göra det två gånger. Har du nånting du
skulle vilja förända? Du kanske kan göra si eller så? Det är nyttigt för då
kan dom sätta ord på matematiken. Hur man ska förklara. Var kommer alla
siffror ifrån?
(Kristina)
Kristina hävdade att deras klass bestod av många elever och att de var indelade i två
grupper. Grupperna hade matematik efter varandra och därför hade eleven möjlighet att
förklara för båda grupperna.
5.1.4 Markera uppgifter
Carin berättade i intervjun att hon hade en elev som inte till fullo behärskade det
svenska språket vilket ledde till att det uppstod svårigheter i matematikundervisningen.
Den här eleven var duktig i matematik och samtidigt väldigt noga vilket gjorde att hon
arbetade långsamt. För att hon skulle komma framåt i boken och arbeta med de svåra
uppgifterna brukade Carin markerar uppgifter och ibland arbetade de även muntligt
tillsammans.
5.1.5 Sammanfattning av resultatet på första frågeställningen
Alla lärare som intervjuades hävdade att de använde genomgångar i helklass i sin
matematikundervisning. Anledningen till varför lärarna valde genomgångar var dock
olika men alla lärare påpekade att det gynnade undervisningen.
Även berikning var en arbetsform som var vanligt förekommande. Berikning skedde
mestadels genom en arbetsbok som heter Matte direkt. Borgen (Flack, 2011) som är
uppbyggd med en grundkurs för alla elever följt av en diagnos. Efter diagnosen hade de
13
eleverna möjlighet att välja svårare uppgifter. Berikning skedde även genom extra
arbetsböcker eller stenciler som delades ut till eleverna.
Det var tre lärare som använde sig av skilda arbetssätt till elever med fallenhet för
matematik. Den ena läraren gav eleverna möjlighet att arbeta med något helt annat än de
övriga eleverna och på så vis både motiverade hon eleverna och utökade deras
möjligheter att lära. Den andra läraren kunde arbeta med olika uppgifter till alla elever
oavsett kunskapsnivå. Den tredje läraren markerade uppgifter till en elev med fallenhet
för matematik som arbetade långsamt så att eleven hade möjlighet att lära sig alla
moment inom ett område.
5.2 Hur beskriver lärare arbetet med problemlösning i sin
matematikundervisning för elever med fallenhet i matematik?
Under den andra frågeställningen har följande teman identifierats:
större krav på eleverna
gruppering och parbildning
arbeta enskilt med problemlösning
upptäcka elever med fallenhet för matematik
De sista två punkterna följs av ytterligare underrubriker för att kunna illustrera
resultatet.
5.2.1 Större krav på eleverna
Alla lärare utan Sven belyste om vikten av att bemöta eleverna i problemlösning. Carin
beskrev bland annat att elever med fallenhet för matematik också kan stöta på
svårigheter i matematik genom just problemlösning. Vidare berättade hon att hon ställde
högre krav på elevernas begreppsförmåga och att de skulle använda fler
lösningsstrategier än de övriga i klassen. Fredrik beskrev också att eleverna hade
möjlighet att tillägna sig fler lösningsstrategier som vanligtvis användes i de högre
årskurserna.
Ett annat alternativt sätt att möta dessa elever är enligt Carin och Kristina att eleverna
får möjlighet att formulera egna problemlösningsuppgifter som antingen liknar de
föregående eller är en helt annat uppgift. Därefter får de övriga eleverna i klassen lösa
deras uppgifter.
5.2.2 Arbetssituationen i problemlösning
5.2.2.1 Gruppering och parbildning
När samtliga lärare arbetar med problemlösning delar de in eleverna antingen i par eller
i grupper för att diskutera problemet. Indelningen kunde ske på olika sätt. Ett av sätten
var som Carin gjorde, det vill säga att gruppera en elev med fallenhet för matematik
tillsammans med en elev som hade svårigheter i matematiken. Hon beskrev att hon
tittade runt i klassen på deras lösningar och parade därefter ihop en elev som hade
kommit långt i sin räkning med en annan elev som inte hade kommit långt. Till skillnad
från Carin hade däremot Sven och Fredrik testat att variera deras strategi vid gruppering
av elever. Sven uttryckte det så här:
Jag har kört att jag testar byta grupper ibland så har man väl nästan gjort så att man
har kört grupper efter nivåer så att alla får känna och våga ta för sig.
(Sven)
14
Även Sven parade dock ihop eleverna på så vis att en elev med fallenhet för matematik
hamnade tillsammans med en elev som hade det svårt. Anledningen till att Sven valde
olika grupperingar var för att eleverna skulle lära sig samarbeta med alla. Enligt honom,
fördelen med att nivågruppera eleverna var att det gynnade hela klassen genom att det
var fler som drev problemlösningen framåt. Däremot använde både Sven och Fredrik
medvetet olika grupperingar i arbetet med problemlösning. Dock framhöll Fredrik att:
Om man bara fokuserar på de bästa tror jag att det gynnar dem i första hand att
jobba med andra som är duktiga. Sen kan det ju vara så att det är bra för dem att få
förklara för de som är lite svaga också.
(Fredrik)
Fredrik menar att nivågruppering är gynnande för elever med fallenhet för matematik
men eftersom han ska se utifrån alla elevers förutsättningar använder han sig av en
varierad par- och gruppbildning.
5.2.2.2 Arbeta enskilt med problemlösning
Kristina beskrev att hon använde svårare problemlösningsuppgifter till eleverna. De
uppgifterna fanns i en extra bok och innefattade olika svåra moment vilket ofta
resulterade i att eleverna fick sitta med en del knep och knåp vilket hon ansåg var bra.
Eleverna blev tilldelade den extra arbetsboken ifall de redan blivit klara med
uppgifterna innan alla andra. Hon var därmed den enda läraren som beskrev att hon
använde enskilt arbete vid problemlösning.
5.2.3 Upptäcka elever med fallenhet för matematik
5.2.3.1 Genom prover och diagnoser
Samtliga lärare nämnde att de såg ifall en elev var duktig utifrån deras prestationer i
diagnoser. Däremot var Sven den enda läraren som endast påpekade att prov, läxor samt
diagnoser var de arbetssätt som kunde visa ifall en elev har fallenhet för matematik.
Resterande lärare som intervjuades nämnde även flera andra aspekter som gör att en
elev anses vara en elev med fallenhet för matematik.
Tre av lärarna använde sig av diagnoser efter avslutat kapitel i boken. Beroende på
resultatet på diagnosen arbetar eleverna vidare med antingen enklare eller svårare
uppgifter. Alexandra använde även diagnoser för att stämma av elevernas kunskaper.
Alexandra förklarade att det ofta kommer nya elever till klassen och därför blir det
smidigt att göra små tester i form av diagnoser för att på så vis undersöka deras
kunskaper. Den lärare som var mest emot diagnoser och prov vid bedömning av elevers
kunskapsnivå var Fredrik. Han betonade i stället svåra extrauppgifter eller svåra tester
som kan visa ifall eleven kan resonera matematik. Klarar eleven de svåra uppgifterna
klassar han eleven som en elev med fallenhet för matematik.
5.2.3.2 Genom problemlösning
Kristina, Carin samt Alexandra nämnde också att de genom olika tester kunde bedöma
om en elev var extra duktig i matematik, men la mer betoning vid elevens prestationer i
problemlösning. Nedan är ett citat taget ur intervjun med Carin som svarar på frågan hur
hon vet att en elev har fallenhet för matematik:
Om man kan lyssna på dem i ett klassrum om hur de för ett resonemang kring en
uppgift eller problemlösning och att de kanske kan ge mer än ett alternativ till att
lösa ett problem. Kanske ganska många alternativ men ändå komma fram till
15
samma svar.
(Carin)
De tre lärarna förklarade att det är genom resonemanget och förmågan att använda olika
vägar till att lösa ett problem som påvisar elevens goda matematikkunskaper. Carin
betonade också matematikspråket som en väsentlig aspekt vid bedömningen vilket inte
någon annan av lärarna gjorde. Även Fredrik berättade att elevernas
matematikkunskaper synliggjordes genom att lyssna på deras resonemang men han
beskrev inte att det bör ske genom problemlösning. Istället betonade han att hans
lektioner alltid bestod av mycket dialog där eleverna hade möjlighet att hjälpa varandra
i arbetet med läroboken och i extra uppgifterna.
5.2.3.3 Övriga drag som kan visa att en elev är duktig i matematik
Förutom olika typer av tester och olika förmågor som synliggjordes i problemlösning
beskrev Kristina, Carin, Fredrik och Alexandra ett flertal andra aspekter som gjorde en
elev till en duktig matematiker. Kristina och Fredrik hävdade bland annat att elever
med fallenhet för matematik förstod nya moment snabbt och att de därefter hade det lätt
att utföra liknande uppgifter på egen hand. Kristina förklarade även att det ofta fanns en
vilja till att lära sig nya moment hos eleverna.
I intervjun berättade Fredrik om några högstadielever som hade deltagit i en
matematiktävling. Då sa han bland annat:
De är jätteduktiga många av dem och om man tittar på de som är duktiga där så är
det inte de som är mest kreativa. Det är inte de största matematikerna. Det är de
med bäst struktur. Jobbar tråkigt, men målmedvetet, steg för steg för steg. Så det
handlar lika mycket om dem som har en bra struktur och jobbar metodiskt som de
som är riktiga matematiska från början. Jag vet inte vilket som är det bästa i det
långa loppet
(Fredrik)
Att strukturera upp uppgifter innebar enligt Fredrik att dela in uppgifter i olika sektorer
som han kallade sektor A, sektor B och sektor C. Genom att dela in en uppgift i flera
delar blir det enklare att klara av uppgifter i matematiken hävdade han.
5.2.4. Sammanfattning av resultatet på den andra frågeställningen
En anpassad undervisning i problemlösning för eleverna skedde framförallt genom att
lärarna ställde högre krav på dem. De kraven kunde bestå av att läraren förväntade att
eleverna skulle ha ett större ordförråd, kunna fler lösningsstrategier, arbeta enskilt med
problemlösning och att kunna göra egna problemlösningsuppgifter som resterande
elever i klassen skulle lösa.
När eleverna skulle diskutera problemen med en klasskamrat kunde parindelningen ske
på olika vis. Antingen blev eleverna grupperade i nivågruppering eller blev en långsam
elev placerad med en elev som var snabb. Två av de intervjuade lärarna påpekade att de
brukade variera parindelning då de ansåg att båda indelningarna var gynnande. En
annan lärare berättade även att en elev kunde arbeta med problemlösning på egen hand.
Lärarna som intervjuades hade olika uppfattningar om hur de ansåg att de kunde se om
en elev hade fallenhet för matematik. Mest förekommande var betydelsen av elevernas
resultat på diagnoser. Även elevens förmåga att resonera, använda olika
lösningsstrategier samt elevens begreppsförmåga i arbetet med problemlösning var
16
aspekter som betonades. Avslutningsvis var aspekter så som hur snabbt eleverna lär sig
nya moment och om de kunde dela in en uppgift i olika sektorer, ytterligare några
tillvägagångssätt vid bedömning av eleverna.
17
6. Analys av resultatet
I analysen görs en jämförelse mellan den tidigare teorin och det framtagna resultatet.
Analysen är indelad efter frågeställningarna i kronologisk ordning.
6.1 Hur arbetar lärare för att kunna möta elever med fallenhet för
matematik?
Alla intervjuade lärare använder sig av gemensamma genomgångar där alla elever
medverkar. Petterson och Wistedt (2013) hävdar att enskilt arbete i matematikboken kan
leda till svårighet att utforma gemensamma genomgångar eftersom eleverna kan befinna
sig i olika avsnitt. Till skillnad från deras påstående hävdar en informant att det inte
spelar någon roll om eleverna befinner sig på olika områden när de har en gemensam
genomgång. De elever som redan har kunskap om det aktuella ämnet i genomgångarna
kan tillföra nya aspekter istället. För att undvika att eleverna arbetar med olika områden
i matematik beskriver en lärare att alla hennes elever arbetar med diagnoser samtidigt.
På så vis kan de ha gemensamma genomgångar då alla elever arbetar på ungefär samma
ställe. Däremot hävdar Petterson och Wistedt (2013) att undervisningen inte bör
utformas på så vis att eleverna ska förklara matematiken till sina klasskamrater.
Vidare informerar alla lärare att de även arbetar med olika typer av berikning. Berikning
innebär att eleven fördjupar sig i ett lärostoff men arbetar inom samma område som de
övriga klasskamraterna eller att eleven arbetar med ett område som inte står med i
kursplanen tills de övriga eleverna i klassen är klara med ett särskilt område (Petterson
& Wistedt, 2013). En del lärare hävdar att fördjupning i kunskapsstoffet kan ske genom
att eleverna gör val i läroboken angående svårighetsgraden eller med hjälp av extra
arbetsuppgifter i form av stenciler eller en extra arbetsbok.
En av informanterna beskriver att eleverna utmanas genom att de arbetar inom andra
områden än de övriga klasskamraterna. Informanten kan bland annat låta en elev göra
en lektionsplanering. Eleven tar då hem lärarhandledningen och håller sedan i en
matematiklektion. Detta typ av arbetssätt kan också ses som en form av berikning då
eleven går djupare in i lärostoffet än sina övriga klasskamrater i ämnet. Då Petterson
och Wistedt (2013) hävdar att berikning inte bör ske genom att en begåvad elev ska
förklara för sina klasskamrater kan informantens arbetsmetod ses som negativ.
Informanten anser däremot att genom att låta eleven lägga upp en lektionsplanering och
sedan diskutera den med läraren kan bidra till en ökad matematisk förståelse.
Vidare framhäver Skolverket (2011) att skolan ska anpassa innehållet efter varje elevs
förutsättningar och behov. En av informanterna beskriver att hon bemöter en elev
genom att markera vilka uppgifter som eleven ska göra och på så vis behöver inte
eleven göra alla uppgifter. Eleven är duktig men arbetar långsamt och har inte bemästrat
det svenska språket ännu, vilket kan belysa att informanten anpassar undervisningen till
elevens behov.
6.2 Hur beskriver lärare arbetet med problemlösning i sin
matematikundervisning för elever med fallenhet för matematik?
Hagland m.fl. (2005) hävdar att problemlösning bör vara en naturlig del i
matematikundervisning och att alla elever ska medverka i problemlösningen. Då
18
samtliga lärare beskriver att problemlösning återkommer regelbundet i
matematikundervisningen blir problemlösning ett naturligt inslag i alla lärares
matematikundervisning. Eftersom även Läroplanen (Skolverket, 2011) beskriver att
elever ska arbeta med problemlösning är det väsentligt att lärarna faktiskt arbetar med
problemlösning, vilket alla lärare gör. Betydelsen att även elever med fallenhet i
matematik ska få möjlighet att arbeta med problemlösning (Hagland m.fl., 2005) har
beskrivits av tre lärare. Det kan ske genom att eleverna får större krav i arbetet med
problemlösning. Eleverna förväntas kunna fler lösningsstrategier, har ett bredare
matematiskt ordförråd eller utföra egna matematiska problem. Eftersom ett problem
innebär att uppgiften ska uppfattas som en utmaning för eleverna (Hagland m.fl., 2005)
kan det krävas att elever med fallenhet för matematik ställs inför större krav i
matematikundervisningen. Trots att Verschaffel m.fl. (2014) hävdar att lärare uppfattar
det som svårt att bedöma elever i problemlösning är det ingen av lärarna som uttrycker
detta.
Resultatet visar att problemlösning kan ske både i nivågrupperingar, i blandade
nivågrupper och i enskilt arbete. För att möjliggöra en lyckad nivågruppering krävs det
att läraren har god kännedom om elevernas matematikkunskaper (Myndigheten för
skolutveckling, 2007). En av lärarna i studien, som bland annat använder sig av
nivågruppering, har dock endast arbetat som lärare i fem månader och därför kan det bli
svårt att bedöma om läraren har en god kännedom om alla elevers matematikkunskaper
för att lyckas med en bra nivågruppering. Omotiverade elever riskerar enligt Vinterek
(2003) bli felplacerade vid användningen av nivågruppering i matematiken. En annan av
informanterna beskriver att hon parar ihop en elev med fallenhet för matematik med en
svagare elev när de ska diskutera sina problem vilket också kräver en god kännedom om
elevernas kunskaper. Användningen av nivågruppering ses enligt en av lärarna vara
mest gynnande för elever med fallenhet för matematik men han ser även fördelar om en
elev får möjlighet att förklara uppgifter för sina klasskamrater. Å andra sidan påpekar
Petterson och Wistedt (2013) att man inte bör låta elever förklara sina klasskamrater i
matematik.
6.2.1 Hur läraren upptäcker elever med fallenhet för matematik
Trots att Petterson (2011) hävdar att lärare tycker det är svårt att upptäcka elever med
fallenhet var det ingen av informanterna som påpekade detta. Enligt Petterson och
Wistedt (2013) bör upptäckandet av elever med fallenhet för matematik ske genom att
betrakta eleven vid arbetet med problemlösning och då jämföra de karaktäristiska
dragen som krävs för matematisk fallenhet med elevens metod vid lösning av
problemen. De karaktäristiska dragen som denna studie har utgått ifrån är Krutetskiis
(1976) definition och därför bör Krutetskiis (1976) definition jämföras med lärarnas
svar om hur de upptäcker elever med fallenhet för matematik. För att elevernas
matematiska förmågor ska synliggöras krävs det att olika typer av
problemlösningsuppgifter används i undervisningen (Hagland m.fl., 2005).
Tre av lärarna hävdar att de kan upptäcka elever med fallenhet för matematik genom
problemlösning. Enligt dem kan man bedöma en elevs matematikkunskaper genom att
betrakta hur eleven resonerar i problemlösning och i en uppgift. Att betrakta elevens
förmåga till resonemang och deras argumentation för sina lösningar är några aspekter
som Krutetskii (1976) lyfter fram som väsentlig. Dock framhåller en av lärarna att
elevens förmåga till ett matematiskt språk också beaktas vid bedömning av elevens
matematiska förmåga. Användningen av ett matematiskt språk är ingen aspekt som
19
Krutetskii (1976) anser vara en del i definitionen av god matematisk förmåga.
Användningen av ett matematiskt språk är inte heller ett kriterium för att vara en elev
med fallenhet för matematik enligt Hagland m.fl. (2005).
En annan aspekt vid bedömning av elevers matematiska förmågor är, enligt studiens
resultat, förmågan till användningen av olika lösningsstrategier. Att arbeta med olika
lösningsstrategier är kriterier som Hagland m.fl. (2005) anser krävs för att arbeta med
problemlösning och kriterier som Krutetskii (1976) hävdar vara nödvändiga vid
bedömning av elever. Krutetskii (1976) skriver att aspekter så som flexibilitet under den
matematiska processen vid lösandet av matematiska uppgifter och att söka efter klarhet,
enkelhet, ordning samt rationella lösningar är en del i hans definition. Att vara flexibel i
sina lösningar och att söka efter rationella lösningar kan jämföras med användandet av
olika lösningsstrategier i problemlösning.
Trots att Hagland m.fl. (2005) hävdar att elevers matematiska förmåga uttrycks i
problemlösning anser lärarna att de kan identifiera elevernas förmågor på flera sätt. Ett
sätt som två av lärarna lyfter fram är att eleverna lär sig snabbt nya moment och att de
därefter kan utföra liknande uppgifter på egen hand. Krutetskii (1976) framhåller
förmågan att bibehålla matematisk information och förmågan till snabb och bred
generalisering av matematiska objekt, relationer och funktioner. Krutetskiis (1976)
definition stämmer därför väl överrens med lärarnas uppfattning.
En av de intervjuade lärarna anser att elevers förmåga att kunna strukturera upp
uppgifter metodiskt är väsentligt. Läraren hävdar också att matematisk fallenhet handlar
lika mycket om att arbeta strukturerat som att ha lätt för matematik. Krutetskii (1976)
uttrycker att förmågan att förkorta matematiska resonemang och tänka i förkortade
strukturer är centrala aspekter vid bedömningen av elever. Forskaren beskriver detta
som ett matematiskt sinne och har därmed båda förmågorna som en del i sin definition.
Till skillnad från Krutetskii har läraren delat upp eleverna i två kategorier, det vill säga
att eleverna antingen arbetar med en bra struktur eller har ett matematiskt sinne, medan
Krutetskii (1976) hävdar att elever med fallenhet för matematik kan erhålla båda dessa
förmågor.
Användningen av diagnoser är också vanligt förekommande vid bedömningen av
elevernas kunskaper. De typer av diagnoser som förekommer i studien är underdiagnos
som enligt Löwing och Kilborn (2002) används för att bedöma elevernas kunskaper
innan området avslutas. Underdiagnosen förekommer efter avslutat kapitel för att
bedöma vilken svårighetsgrad eleven ska fortsätta räkna. En av lärarna använder sig
även av översiktsdiagnos som syftar till att bedöma nya elevers kunskaper. Läraren
använder sig av översiktsdiagnos eftersom hon ofta har nya elever i sin klass. Löwing
och Kilborn (2002) hävdar även att diagnos bör följas upp av intervjuer vilket ingen av
lärarna beskriver i intervjuerna.
20
7. Diskussion
Studiens syfte har varit att få en djupare förståelse och kunskap om hur undervisningen
kan utformas för att gynna elever med fallenhet för matematik. Även om urvalet är litet
så kan studien ändå, med stöd av litteraturen, ge en fingervisning om hur undervisning
för matematiska förmågor kan se ut i klassrummen idag. Diskussionen inleds med en
metoddiskussion utifrån olika kvalitetskriterier. Därefter diskuteras resultatet och
avslutningsvis behandlas fortsatt forskning.
7.1 Metoddiskussion
Studien har genomförts med hjälp av intervjuer men skulle ha även kunnat genomföras
med hjälp av enkäter för att på så vis ta del av lärarnas tankar kring deras undervisning
om elever med fallenhet för matematik. På detta sätt skulle urvalet kunnat utökas.
Däremot ger enkäter endast ytlig information (Johansson & Svedner, 2010). Då studiens
syfte är att få förståelse och kunskap är det relevant att använda sig av djupare
intervjuer. Metoden skulle också ha kunnat utökas med hjälp av observationer och
genom detta kunde lärarnas berättelser kring sin undervisning jämföras med om den
stämmer överrens med verkligheten. Men eftersom forskningsfrågorna syftar till att
undersöka lärarnas tankar är inte observation en relevant metod i den här studien.
Under fråga tre i intervjuguiden står det: "Nivågruppering/acceleration/berikning/
/speciallärare/problemlösning/läroböcker osv". Dessa begrepp skulle användas som stöd
i intervjun för att minnas vilka aspekter som inte har berörts i intervjuerna. Syftet är att
beröra samtliga punkter i hela studien. Under studiens gång har studiens upplägg
förändrats och användningen av speciallärare har valts att inte beröras i studien. Det
beror på att de intervjuade lärarna inte har avvikande svar då speciallärare endast
används till de elever som inte når målen och att lärarna inte diskuterar användningen av
speciallärare för elever med fallenhet för matematik. Deras svar stämmer bra överrens
med den tidigare forskningsresultatet och därför är diskussionen om speciallärare för
elever med fallenhet inte relevant i studien.
Trots att problemlösning har en stor roll i den här undersökningen finns det inte en egen
fråga om problemlösning i intervjuguiden. Detta har varit ett medvetet val för att se om
lärarna skulle berätta om problemlösning på egen hand. Därefter har följdfrågor ställs på
området. På så vis har lärarna kunnat berätta om problemlösning fritt. Om någon av
lärarna inte skulle ha tagit upp ämnet problemlösning har det stått problemlösning under
fråga tre som stöd till att minnas att fråga om det. Däremot beskriver alla lärare i
intervjun om problemlösning på egen hand.
7.1.1 Kvalitetskriterier
7.1.1.1 Överförbarhet
Eftersom kvalitativa studier oftast undersöker ett litet urval blir det svårt för kvalitativa
forskare att generalisera sina resultat (Bryman, 1997; Denscombe, 2009). Intervjuer som
är gjorda på olika geografiska platser ökar dock generaliserbarheten i undersökningen
(Bryman, 1997). Eftersom intervjuerna endast har genomförts i sydöstra Sverige
minskas generaliserbarheten ytterligare. Generaliserbarheten i studien skulle ha kunnat
ökas om intervjuerna skulle ha genomförts på olika platser i Sverige.
21
Vidare innefattar studien endast fem lärares tankar och arbetsmetoder i
matematikundervisningen och därför minskas möjligheten till att generalisera resultaten
i studien. Lärarna som medverkar har dock något olika erfarenheter i sin yrkesroll. En
av lärarna är nyexaminerad och de resterande av lärarna har arbetat i 11, 20, 27 och 35
år som lärare i mellanstadiet. En av dessa lärare är även klasslärare för en klass som är
blandad med elever i årskurs 4-6.
7.1.1.2 Pålitlighet
I en kvalitativ studie ska studien vara pålitlig. Det innebär att någon annan forskare som
genomför samma studie ska få fram samma resultat. För att det ska vara möjligt bör
genomförandet av studien beskrivas noggrant och att de beslut som forskaren tar bör
också beskrivas och argumenteras för. Besluten som ska beskrivas bör innefatta
argument för val av metod, analys samt andra detaljerade aspekter vid genomförandet
som kan vara nödvändiga för att läsaren ska uppleva studien som pålitlig (Denscombe,
2009). I den här studien har val av metod, analys och datainsamling beskrivits och
diskuterats och därmed ökar studiens pålitlighet.
7.1.1.3 Trovärdighet
Bryman (1997) belyser svårigheten och problemet med att se och betrakta någonting
med en annan persons ögon. För att lyckas med att beskriva hur en annan person tänker
och uppfattar olika situationer krävs det att forskaren är noggrann vid bearbetningen av
data. För att utföra en så trovärdig data som möjligt har intervjuerna spelats in på band
och därefter har varje intervju skrivits ner ord för ord, det vill säga att intervjuerna har
transkriberats.
Ett annat tillvägagångssätt som utökar trovärdigheten i studien är att använda sig av
triangulering. Användningen av triangulering betyder att forskaren har använt sig av fler
tillvägagångssätt vid framtagningen av data. Om forskaren använder fler
tillvägagångssätt vid sin framtagning av data kan undersökning bli mer fulländad
(Denscombe 2009). I denna studie används endast intervjuer eftersom forskningsfrågan
syftar på att belysa lärarnas tankar och därmed krävs det inte observation som metod att
ta fram data.
7.1.1.4 Objektivitet
Vid genomförandet och bearbetningen av intervjuerna bör förhållningssättet vara
objektivt. Däremot framhäver Denscombe (2009 s.383) att "Kvalitativa data, oavsett om
det gäller ord eller bilder, är alltid en produkt av en tolkningsprocess" och därför blir det
omöjligt att förhålla sig helt objektivt i studien. Vidare beskriver Denscombe (2009) att
de värderingar som forskaren har och om forskaren är övertygad om någonting kan det
leda till att han/hon påverkar analysen och själva genomförandet av intervjuerna. Innan
genomförandet av intervjuerna har all bakgrundsfakta sammanställts och därmed kan
faktakunskaperna påverka intervjuernas objektivitet. För att undvika att påverka
intervjuerna har frågorna formulerats på så vis att lärarnas egna erfarenheter ligger i
fokus. Att formulera frågor på så vis att läraren förväntas svara på ett speciellt sätt kan
påverka informantens svar (Johansson & Svedner, 2010). För att undvika att ställa
frågor där informantens svar skulle påverkas av frågorna har en pilotstudie genomförts.
Intervjun har spelats in på band och lyssnats av för att avgöra om frågorna är
formulerade på ett sätt som möjligtvis skulle påverka lärarnas svar.
22
7.2 Resultatdiskussion
Undersökningen belyser vilka arbetsmetoder och tankesätt som lärare använder i
undervisningen för elever med fallenhet för matematik. Lärarnas svar på den första
frågeställningen är mer utförligt än svaren på den andra frågeställningen. Skillnaden kan
bero på att den första frågeställningen är bredare och innefattar fler arbetsområden och
därför fler möjligheter. Då problemlösning är ett arbetsområde kan det vara så att det
inte finns lika många tillvägagångssätt att individualisera undervisningen till eleverna.
En av lärarna som deltar i studien har endast arbetat inom yrket i fem månader. Läraren
beskriver att han kan se om elever har fallenhet i matematik genom prover och
diagnoser. De andra lärarna med längre erfarenheter har flera metoder vid bedömning
av elevers matematikkunskaper. Eftersom läraren inte har lika lång erfarenhet inom
yrket som de övriga lärare kan de olika svaren bero på skillnaden i yrkeserfarenheter.
Studien beskriver också hur lärarna upptäcker elever med fallenhet för matematik trots
att den frågan inte är en av frågeställningarna i studien. Anledningen till att frågan hur
lärarna upptäcker dessa elever har fått en stor del i studien beror på att Petterson och
Wistedt (2013) hävdar att upptäckandet sker i arbetet med problemlösning. Då en av
mina frågeställningar är att belysa hur lärare beskriver arbetet med problemlösning för
elever med fallenhet för matematik är även upptäckandet en central aspekt att studera.
Eftersom Petterson och Wistedt (2013) även hävdar att lärare bör betrakta de
karaktäristiska dragen hos elever med fallenhet för matematik med de förmågorna som
eleven visar i problemlösning har en sådan jämförelse gjorts i analysen. Jämförelsen
består även i stor utsträckning i att jämföra elevens karaktäristiska drag med Krutetskiis
(1976) definition.
Att arbeta med något helt annat än det som står beskrivet i styrdokumenten kan anses
som en typ av berikning. En av informanterna hävdar nämligen att de duktiga eleverna
arbetar med ekvationer. Dock arbetar eleverna inte med ekvationer tills de övriga
eleverna har räknat ifatt och därför blir inte hennes beskrivningar en berikning. Denna
del av resultatet är en väsentlig del i studien då en av studiens förhoppningar har varit
att kunna ta del av nya tankesätt och metoder till min kommande yrkesroll. Kategorin
består av konkreta arbetsmetoder och de kan testas i matematikundervisningen.
En av informanterna hävdar att hennes elev trots att han/hon räknar långsamt är en elev
med fallenhet för matematik. Detta kan diskuteras eftersom Krutetskiis (1976) ena
definition är att eleven ska vara snabb i sina räkningar för att kunna klassas som en elev
med fallenhet för matematik. Däremot påpekar Krutetskii (1976) att för att klassas som
en elev med fallenhet för matematik behöver inte eleven innefatta alla aspekter, men
många av dem. Det vi inte vet är om eleven har flera av de andra förmågorna som
Krutetskii (1976) beskriver. Vidare syftar studien att belysa lärarnas åsikter och
eftersom läraren hävdar att eleven klassas som en elev med fallenhet bör även studien
utgå från lärarens åsikt.
En skillnad i studien och den tidigare litteraturen är hur lärarna anpassar undervisningen
i problemlösning till eleverna. I litteraturen skriver Hagland m.fl. (2005) att en uppgift i
problemlösning kan passa alla elever genom att dela in problemlösningen i flera
moment där svårighetsgraden ökar. Lärarna i studien hävdar däremot att de
individanpassar undervisningen i problemlösning genom att eleverna lär sig fler
lösningsstrategier, lär sig fler matematiska begrepp, arbetar enskilt med problemlösning
23
och utformar egna uppgifter. Studien visar därför fler arbetssätt för att gynna elever med
fallenhet för matematik i problemlösning. Däremot påpekar även Hagland m.fl. (2005)
att undervisningen i problemlösning kan ske genom att eleverna formulerar egna
uppgifter men syftar då till alla elever och inte endast på de elever med fallenhet för
matematik.
Ingen av informanterna beskriver att de arbetar med acceleration, det vill säga att
eleverna arbetar i enskild takt med undervisningsmaterialet (Petterson & Wistedt,
2013). Anledningen till varför ingen av informanterna använder acceleration var
ingenting som undersöktes i intervjuerna men som kunde varit en intressant aspekt att
belysa. Endast en av informanterna berör ämnet när han beskriver att hans elever får
arbeta med extra material när de blir klara med arbetsmaterialet eftersom han då sparar
tid och har möjlighet att ha gemensamma genomgångar. På så vis kan inte hans elever
fortsätta på egen hand med arbetsmaterialet. Petterson (2011) hävdar att enskilt arbete i
läroboken sällan stimulerar elever med fallenhet för matematik och kanske har lärarna
samma uppfattning. Däremot hävdar Van de Walle m.fl. (2010) att acceleration gör det
möjlig för eleverna att nå högre mål i kursplanen än de övriga eleverna. Vad som är
intressant är att till skillnad från Van de Walle (2010) anser lärarna att eleverna kan nå
högre mål i kursplanen genom berikning i stället.
En annan skillnad i resultatet i jämförelse med litteraturen är en skillnad som
återkommer ett flertal gånger. I teorin står det att eleverna inte ska förklara matematiken
till sina klasskamrater som en form av berikning (Pettson & Wistedt, 2013). Dock
hävdar lärarna i studien att det är ett tillvägagångssätt som de använder för att det
gynnar eleverna. Anledningen till varför lärarnas uppfattning är annorlunda ifrån den
tidiga teorin är svår att avgöra och kan bero på ett flertal aspekter.
Då den här studien har endast undersökt fem lärares tankar och arbetsmetoder blir det
svårt att generalisera.
Ett förslag till vidare forskning kan därför vara att belysa hur elevers
matematikkunskaper kan utvecklas genom att förklara matematik till andra. Eftersom
studien visar att lärare anser att elevernas matematikkunskaper synliggörs genom att
bland annat verbalisera matematik kan det vara en intressant aspekt att fördjupa sig i.
Andra förslag på vidare forskning kan vara att jämföra hur elever med fallenhet
upptäcks och bemöts i andra ämnen. Då matematikämnet skiljer sig från andra ämnen
kan det vara intressant att belysa skillnaden i hur lärare bemöter elever med fallenhet i
till exempel historia eller musik.
Trots att det inte står beskrivet i styrdokumenten hur lärare ska arbeta med elever med
fallenhet för matematik finns en medvetenhet och vilja att stimulera dessa elever i
klassrummet. Det visar att lärare följer Läroplanens (Skolverket, 2011) och Skollagens
(SFS 2010:800) mål att läraren ska stimulera alla elever. Hur eleverna stimuleras beror
dock helt och hållet på lärarens engagemang och kompetens. Därför är det väsentligt att
lärarutbildningen utbildar lärare i hur man anpassar undervisningen för att gynna även
elever med fallenhet för matematik.
24
Referenser
Bryman, A. (1997). Kvantitet och kvalitet i samhällsvetenskaplig forskning. Lund:
Studentlitteratur.
Denscombe, M. (2009). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt inom
samhällsvetenskaperna. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur.
Europarådet (1994). Recommendation 1248 on education for gifted children.
Strasbourg: Council of Europe.
Falck, P., Picetti, M. & Sundin, K. (2011). Matte direkt. Borgen. 4 A. 2. uppl.
Stockholm: Bonnier utbildning.
Grevholm, B. (1991). Problem för lärare. I: Emanuelsson, G., Johansson, B.
& Ryding, R. (red.). Problemlösning. Lund: Studentlitteratur. s. 150-162.
Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem: inspiration
till variation. 1. uppl. Stockholm: Liber.
Krutetskii, V. A. (1976). The Psychology of Mathematical Abilities in
Schoolchildren. Chicago: University of Chicago.
Löwing, M. (2006). Matematikundervisningens dilemman: hur lärare kan
hantera lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur.
Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik: för skola,
hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur.
Maltén, A. (1995). Lärarkompetens: i ett mångdimensionellt perspektiv. Lund:
Studentlitteratur.
Myndigheten för skolutveckling (2007). Matematik: en samtalsguide om kunskap,
arbetssätt och bedömning. Stockholm: Myndigheten för skolutveckling.
Mönks, F. J. & Ypenburg, I. H. (2009). Att se och möta begåvade barn: en
vägledning för lärare och föräldrar. 1. uppl. Stockholm: Natur & kultur.
Pettersson, E. (2011). Studiesituationen för elever med särskilda matematiska
förmågor. Diss. Växjö : Linnéuniversitetet, 2011. Tillgänglig:
http://lnu.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A414912&dswid=-9981
[2014-11-01].
Pettersson, E. & Wistedt, I. (2013). Barns matematiska förmågor - och hur de kan
utvecklas. 1. uppl. Lund: Studentlitteratur.
Sandahl, A. (2014). Matematikdidaktik: för de tidiga skolåren. 1. uppl. Lund:
Studentlitteratur.
SFS 2010:800. Skollag. Stockholm: Utbildningsdepartementet.
25
Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet
2011. Stockholm: Fritzes.
Skolverket (2013). Allmänna råd med kommentarer om utvecklingssamtalet och den
skriftliga individuella utvecklingsplanen. Stockholm: Fritzes.
SOU 2004:97. Att lyfta matematiken - intresse, lärande, kompetens. Stockholm: Fritzes
offentliga publikationer.
Van de Walle, J. A., Karp, K.S. & Bay-Williams, J.M. (2010). Elementary and middle
school mathematics: teaching developmentally. 7. ed. [Pearson international ed.]
Boston: Allyn & Bacon.
Verschaffel, L., Depaepe, F. & Van Dooren, W. (2014). Mathematical Problem
Solving. I: Andrews, P.& Rowland, T. (red). MasterClass in mathematics education:
international perspectives on teaching and learning. London: Bloomsbury. pp. 113-124
Vetenskapsrådet (2011). God forskningssed. Stockholm: Vetenskapsrådet.
Vinterek, M. (2003). Åldersblandade klasser: lärares föreställningar och elevers
erfarenheter. Lund: Studentlitteratur.
Young, P. & Tyre, C. (1992). Gifted or able?: realizing children's potential.
Buckingham: Open Univ. Press.
26
Bilagor
Bilaga A: Information till lärarna om deltagande i intervjuer
Hej,
Mitt namn är Andrea Mako och jag läser till mellanstadielärare på universitetet. Jag
håller just nu på att skriva mitt examensarbete inom matematik.
Jag skulle väldigt gärna vilja komma ut och intervjua lärare om hur de tänker och
arbetar med de begåvade eleverna i matematikundervisningen. Därför hoppas jag att du
vill ställa upp på en kort intervju som endast tar mellan 30-60 minuter. Om du vill
medverka i min undersökning kan du svara på mailet så kommer jag till din skola en tid
som passar dig.
Du kommer att förbli anonym i mitt arbete och ingen annan än jag kommer att ta del av
innehållet. Vidare kommer informationen du förmedlar endast att användas i mitt arbete
och inget annat.
Jag hoppas att du vill ta del av min undersökning!
Mvh
Andrea
I
Bilaga B: Intervjuguide
1. Beskriv hur en matematiklektion ser ut.
2. Hur ser du att en elev är duktig i matematik tycker du?
3. När en elev har hunnit räkna klart alla sidorna i boken innan alla andra, vad får
eleven göra då?
Nivågruppering/acceleration/speciallärare/problemlösning/läroböcker osv
II
