Fo 16 [Compatibility Mode]

Rep. Kap. 27 som behandlade kraften på en laddningar
från ett B-fält.
Kraft på laddning i rörelse
Kraft på ström i ledare
Gauss sats för B-fältet
Inte så användbar som den
för E-fältet, eftersom flödet
här alltid är = 0.
Resultatet ovan är en
konsekvens av att de
magnetiska fältlinjerna alltid
är slutna.
Energi och vridmoment hos magnetisk dipol
τ = µ ×B
Vridmoment på magnetisk dipol
U = − µB cos φ = − µ ⋅ B
Potentiell energi hos magnetisk dipol
(Jämför med samband för elektrisk dipol)
τ = p×E
U = −p⋅E
µ = IA
Definition av magnetiskt
dipolmoment
Atomer är små
magnetiska
dipoler
Den här figuren visades på förra föreläsningen
(kap. 27) som en försmak av hur olika
strömkonfigurationer kan ge magnetfält.
Nu skall vi studera detta i detalj!
Kapitel 28 Magnetfältets källor
• B-fält från en laddad partikel i rörelse
• B-fält från ledarsegment med längd dl
• B-fält från lång rak ledare fås genom integrering
• Kraft mellan två strömförande ledare
• B-fält från strömslinga
• Definition av linjeintegral och Amperes lag
• Tillämpningar av Amperes lag
• Magnetiska material
28.1 Magnetfält från punktladdning i rörelse
µ 0 q v sin φ
B=
4π
r2
Endast laddningar i
rörelse ger B-fält!
(
Jämför med E-fältet
)
28.2 Magnetfält från ledarelement med ström I
dQ = nqAdl
µ 0 dQ vd sin φ
dB =
=
2
4π
r
µ 0 n q Adlvd sin φ
=
4π
r2
n q Avd = I
µ 0 Idl sin φ
dB =
4π
r2
Ofysikaliskt fall! Strömmen kommer ur intet och försvinner lika fort! Är
dock bra startpunkt för integrering.
Biot Savarts lag
Integrera detta för att få fram magnetfältet för en godtycklig ledare
µ0
B=
4π
Idl × rr̂ˆ
∫ r2
28.3 Magnetfält från rak ledare, längd 2a med ström I
Genom att addera bidragen från varje
litet ledarelement erhålles B-fältet från
den raka ledaren.
Detta sker genom integrering:
B=
µ0
4π
Idl sin φ
∫ r2
r = x2 + y 2
x
sin φ = sin(π − φ ) =
µ0 I
B=
4π
∫
xdy
a
−a
(x
2
+ y2
x2 + y2
)
3
= ...
2
µ0 I
2a
=
riktning enl. figur
2
2
4π x x + a
Fig. 28.5
Magnetfält från oändligt lång rak ledare med ström I
2a
µ0 I
B=
4π x x 2 + a 2
a >> x
µ0 I
B=
2πx
Fig. 28.6
Högerhandsregel 3: Tummen i strömmens riktning, fingrarna
pekar i magnetfältets riktning
28.4 Kraft mellan två parallella ledare med ström I och I’
Fig. 28.9
Den ena ledare alstrar ett B-fält som den andra påverkas av,
och vice versa.
µ0 I
B=
2π r
µ 0 I I ′L
F = BI ′L =
2π r
F µ0 I I ′
Per enhetslängd får vi : =
L
2π r
Definitionen av Ampere
Ampere är en grundenhet i SI-systemet, och definieras med
hjälp av kraften mellan två strömförande ledare enligt:
En Ampere är den konstanta ström som, om den går i var
och en av två parallella ledare med oändlig längd och på
en meters avstånd från varandra i tom rymd får varje
ledare att utsättas för en kraft av exakt 2×10-7 Newton per
meter längd.
28.5 Magnetfält från strömslinga
Fig. 28.11
Bx =
(
µ0 Ia 2
)
3
2 x +a 2
I centrum av spole med N varv :
Bx =
2
Nµ 0 I
2a
2
Yt-integral
Yt-element
Ytintegraler används t.ex. för att beräkna flöden genom kurviga ytor som
i exemplet ovan, som visar flödet av E-fältet, ΦE.
Linjeintegral
∫ B cos φ dl = ∫ B
dl = ∫ B ⋅ dl
Linje-element
B
B cosφ
Linjeintegraler stöter man på t.ex i mekaniken där de används för att
beräkna arbetet som en kraft gör på en partikel. Exemplet ovan visar
linjeintegralen av B-fältet längs en kurva.
Om B är parallell med L är ∫ B ⋅ dl = BL
Fig. 28.16
L
Om B är vinkelrät mot L är ∫ B ⋅ dl = 0
L
µ0 I
(2πr ) = µ 0 I
a) figuren : ∫ B ⋅ dl = ∫ B dl = B ∫ dl =
2πr
Integralen runt en sluten slinga som här kallas cirkulation och är
alltså oberoende av radien men beror linjärt på strömmen.
Fig. 28.16
Beräkna integralen för figur (c). B1 och B2 är fälten vid r = r1 resp. r2.
∫ B ⋅ dl = ∫ B
b
c
d
a
a
b
c
d
dl = B1 ∫ dl + (0 )∫ dl + (− B2 )∫ dl + (0)∫ dl =
µ0 I
µ0 I
(r1θ ) + 0 −
(r2θ ) + 0 = 0
=
2π r1
2π r2
Här är alltså cirkulationen =0 medan strömmen går utanför
slingan. En slump??
Amperes lag
Kan visas att det gäller för
alla strömslingor att:
Där Iencl är summan av alla strömmar
som går igenom strömslingan
I ord: Cirkulationen av B-fältet runt en
sluten slinga är lika med summan av
strömmen som flyter genom slingan
gånger µ0.
I figuren är B ≠ 0 längs slingan men
cirkulationen av B = 0.
(Se boken s. 938 för bevis)
Amperes lag säger alltså
att linjeintegralen runt
varje sluten kurva som
omsluter en samling
strömmar är densamma,
oberoende av hur
strömmarna är fördelade
Värdet ges av µ0I
Där I är summan av alla
inneslutna strömmar
Fig. 28.18
Jämförelse mellan E och B fält
Gauss sats
för E-fältet
Gauss sats
för B-fältet
Amperes lag
för B-fältet
q
∫ E ⋅ dA = ε0
Bra för att beräkna E-fält
från symmetriska laddningsfördelningar.
Ej särskilt användbar för att
beräkna B-fält eftersom värdet
alltid är noll!
Bra för att beräkna B-fältet
från symmetriska strömmar.
Ex. 28.8, tillämpning av Amperes lag,
B-fält inuti cylindrisk ledare
Fig. 28.20-21
Ex. 28.9 Tillämpning av Amperes lag, B-fält från spole
Fig. 28.22-24
Ex. 28.10 Tillämpning av Amperes lag, B-fält från
toroid spole.
Fig. 28.25
Magnetiska material
Att vissa material är magnetiska kan
förstås om vi gör en (förenklad)
modell av en atom som en + laddad
kärna med –laddade elektroner som
snurrar runt kärnan. Detta kan ge
upphov till en cirkulerande ström,
dvs. en liten magnetisk dipol.
En sådan slinga har ett magnetiskt
dipolmoment µ = IA.
Om nettoströmmen = 0 är materialet diamagnetiskt
Om nettoströmmen ≠ 0 är materialet paramagnetiskt
eller
ferromagnetiskt
I ett paramagnetsikt ämne är de små ”strömslingorna” normalt
slumpmässigt orienterade, så vi får ingen nettomagnetism.
Om vi lägger på ett B-fält utsätts de för ett vridmoment enligt:
τ = µ ×B
Detta vridmoment orienterar atomerna så att vi får ett nettomoment
per volymsenhet som vi kallar M.
Resulterande fält
M =
µ tot
Pålagt fält
V
B = B0 + µ 0 M
B = B0 K m
Magnetisk succeptibilitet
B0 K m = B0 + µ 0 M
B0 ( K m − 1) = µ 0 M
Χm=Km-1
Ersätt µ0 med
µ = Kmµ0 i tidigare
formler om vi inte
har vakuum!
Ferromagnetism
I ferromagnetiska ämnen finns domäner där dipolerna är riktade
åt samma håll. Om ett yttre fält läggs på växer de domäner till
som är orienterade längs fältet vilket ger mycket höga värden på
Km, 1000-10.000 (paramagnetiska ämnen har Km = 0.2 -60).
Ofta kvarstår en viss orientering sedan det yttre fältet stängts av
vilket ger en permanentmagnet.
Hos ferromagneter är relationen mellan det
pålagda och det resulterande fältet olinjär och
har stark hysteres.
Elektriska fallet (kap 24)
E0
E=
K
K är den relativa
dielektricitetskonstanten
(eng. dielectric
constant).
K alltid > 1
Dvs. om vi har ett
medium minskar alltid
E-fältet jämfört med i
vakuum.
Byt ε0 mot ε i formlerna
och räkna som vanligt!
Magnetiska fallet (kap. 28)
B = B0 K m
Km är den relativa
permeabiliteten
Paramagntism: Km >1
Ferromagnetism Km >> 1
Diamagnetism Km < 1
Dvs. i två av fallen ökar Bfältet jämfört med i vakuum
Byt µ0 mot µ i formlerna
och räkna som vanligt!