Fo7 - Kallor till Magnetfalt

Källor till magnetfält
Emma Björk
Magnetfältets källor
• B-fält från en laddad partikel i rörelse
• B-fält från ledarsegment med längd dl
• B-fält från lång rak ledare fås genom integrering
• Kraft mellan två strömförande ledare
• B-fält från strömslinga
• Magnetiska material
• Begreppet magnetiskt flöde ΦB
Magnetfält från punktladdning i rörelse
µ 0 q v sin φ
B=
4π
r2
=
4
̅× ̂
Endast laddningar i
rörelse ger B-fält!
Jämför med E-fältet:
1
=
̂
4
Magnetfält från ledarelement med ström I
dQ = nqAdl
µ 0 dQ vd sin φ
dB =
4π
r2
n q Avd = I
µ 0 Idl sin φ
dB =
4π
r2
r
r µ0 Idl × rˆ
dB =
4π r 2
(magnetic field due to an infinitesimal current element)
Ofysikaliskt fall! Strömmen kommer ur intet och försvinner
lika fort! Är dock bra startpunkt för integrering.
Biot Savarts lag
=
4
̅× ̂
Integrera detta för att få fram magnetfältet för en godtycklig
ledare:
=
4
̅× ̂
Magnetfält från rak ledare
• Ledaren har , längd 2a och ström I
• Genom att addera bidragen från
varje litet ledarelement erhålles Bfältet från den raka ledaren.
B=
µ0
4π
Idl sin φ
∫ r2
r = x2 + y2
x
sin φ = sin(π − φ ) =
µ0 I
B=
4π
=
∫
xdy
a
−a
(x
2
+ y2
x2 + y2
)
3
= ...
2
µ0 I
2a
riktning enl. figur.
2
2
4π x x + a
Magnetfält från oändligt lång rak ledare
Oändligt lång rak ledare med ström I
µ0 I
2a
B=
4π x x 2 + a 2
a >> x
B=
µ0 I
2πx
Högerhandsregel 3: Tummen i strömmens
riktning, fingrarna pekar i magnetfältets riktning.
Kraft mellan två parallella ledare
• Två parallella ledare med ström
I och I’
• Den ena ledare alstrar ett B-fält
som den andra påverkas av, och
vice versa.
µ0 I
B=
2π r
µ0 I I ′L
F = BI ′L =
2π r
F µ0 I I ′
Per enhetslängd får vi : =
L
2π r
Definitionen av Ampere
Ampere är en grundenhet i SI-systemet, och definieras med
hjälp av kraften mellan två strömförande ledare enligt:
En Ampere är den konstanta ström som, om den går i var och
en av två parallella ledare med oändlig längd och på en meters
avstånd från varandra i tom rymd, får varje ledare att utsättas
för en kraft av exakt 2×10-7 Newton per meter längd.
Magnetfält från strömslinga
Bx =
(
µ 0 Ia 2
)
3
=
(
µ0 µ
)
3
2 x +a
2π x + a 2
I centrum av spole med N varv :
Bx =
2
Nµ 0 I
2a
2
2
2
2
Ideal lång solenoidspole
n varv/m
Toroidspole
N varv.
r
Inne i den av lindningar omslutna
volymen i en toroidspole på
I centrum av solenoidspo len :
B = µ 0 nI
Utanför spolen : B ≈ 0
avstånd r från centrum :
µ NI
B= 0
2π r
Utanför spolen : B ≈ 0
Tabell i ert formelblad
Magnetiska material
• Att vissa material är magnetiska kan
förstås om vi gör en (förenklad)
modell av en atom som en + laddad
kärna med – laddade elektroner som
snurrar runt kärnan. Detta kan ge
upphov till en cirkulerande ström, dvs.
en liten magnetisk dipol.
• En sådan slinga har ett magnetiskt
dipolmoment µ = IA.
Om nettoströmmen = 0 är materialet
diamagnetiskt
Om nettoströmmen ≠ 0 är materialet
paramagnetiskt
eller
ferromagnetiskt
I ett paramagnetsikt ämne är de små ”strömslingorna”
normalt slumpmässigt orienterade, så vi får ingen
nettomagnetism.
Om vi lägger på ett B-fält utsätts de för ett vridmoment enligt:
τ = µ ×B
Detta vridmoment orienterar atomerna så att vi får ett
nettomoment per volymsenhet som vi kallar M.
Resulterande fält
M =
µ tot
Pålagt fält
V
B = B0 + µ 0 M
B = B0 K m
B0 K m = B0 + µ 0 M
Magnetisk
succeptibilitet
B0 ( K m − 1) = µ 0 M
χm=Km-1
Ersätt µ0 med
µ = Km µ 0 i
tidigare formler
om vi inte har
vakuum.
Förväxla ej detta
µ med µ =IA!!!
Ferromagnetism
•
I ferromagnetiska ämnen finns domäner där dipolerna är riktade åt samma
håll.
•
Om ett yttre fält läggs på växer de domäner till som är orienterade längs fältet
vilket ger mycket höga värden på Km, 1000-10.000 (paramagnetiska ämnen
har Km = 0.2 -60).
•
Ofta kvarstår en viss orientering sedan det yttre fältet stängts av vilket ger en
permanentmagnet.
Hos ferromagneter är relationen mellan det
pålagda och det resulterande fältet olinjär och
har stark hysteres.
Elektriska fallet
Magnetiska fallet
E0
E=
K
B = B0 K m
K är den relativa
dielektricitetskonstanten
(eng. dielectric constant).
K alltid > 1
Km är den relativa
permeabiliteten
Paramagntism: Km >1
Ferromagnetism Km >> 1
Diamagnetism Km < 1
Dvs. om vi har ett
medium minskar alltid Efältet jämfört med i
vakuum.
Dvs. i två av fallen ökar Bfältet jämfört med i
vakuum
Byt ε0 mot ε i formlerna
och räkna som vanligt!
Byt µ0 mot µ i formlerna
och räkna som vanligt!
B
Magnetiskt flöde
• En magnet ger upphov till ett magnetiskt fält som ges av en
vektor
, , . Vi kallar detta ett vektorfält. (Exakt samma
resonemang kan användas om de elektriska E-fältet.
• Jämför med hastighetsfördelningen ̅
strömmande vätska.
, ,
i en
Vattenflöde med konstant hastighet v
• Vattenflödet [m3/s] genom A är
cos !
• Beräkna ytan med vektorn ̅, där beloppet är arean av ytan
och riktningen r vinkelrät mot ytan (observera att vi kan välja
två riktningar).
• Vattenflödet kan då anges som skalärprodukten ̅ · ̅
Tillämpa samma resonemang som för vattenflöde på
vektorfältet
, , och kalla flödet av detta fält ΦB
Φ# =
· ̅
Om ytorna är släta och fältet homogent (dvs. samma storlek
och riktning i varje punkt) erhålls flödet enkelt som en
skalärprodukt.
Figuren från kap. 22 visar flödet av det elektriska fältet. Exakt
samma resonemang gäller för B-fältet. Byt bara E mot B ovan.