Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en

Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd.
Talföljden
1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .
är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är
att
• kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant – alltid lika
stor.
Kvoten, till vilken vi använder beteckningen k, är i exemplet ovan k = 2 därför att
bland andra
4
32
1024
2
= =
=
=2
1
2
16
512
De två sista talen finns med längre fram i talföljden än vad som här visas, eller ?
Vi använder, som tidigare, a med ett index (ordningsnummer) för att beteckna
enskilda tal i följden
a1, a2, a3 . . . an−1, an, an+1, . . .
Det är alltså kvoten mellan två på varandra följande tal som ger k
k=
a3 an+1
=
a2
an
Kvoten k behöver inte vara ett heltal. Vilken är kvoten i denna talföljd?
1 1 1 1
1, , , , , . . .
3 9 27 81
Jo den är
1
a2
1
k=
= 3 =
a1
1
3
Samma resultat får vi då vi tar två andra tal
k=
a5
=
a4
1
81
1
27
=
27
1
=
81
3
Man kan konstruera en formel som direkt ger det n:e talet.
Vi utgår i nästa exempel från talföljden:
4 8 16 32
2, , , , , . . .
3 9 27 81
Håkan Strömberg
1
KTH Syd
Först måste vi bestämma kvoten k
k=
4
3
2
=
4
2
=
6
3
Det finns oändligt många geometriska talföljder med k = 32 . Här är en annan:
2 4 8 16
1, , , , , . . .
3 9 27 81
Alltså måste vi ha mer information i vår kommande formel för att få rätt talföljd.
Speciellt är det första talet a1 olika i de båda talföljderna.
Om vi känner a1 och k kan vi bestämma a2 = a1 · k. Känner vi a2 kan vi bestämma
a3 = a2 · k. Det betyder att om vi är tålmodiga så kan vi ta reda på vilket tal som
helst i talföljden med denna metod.
Men observera att eftersom a3 = a2 · k och a2 = a1 · k, så måste a3 = a1 · k · k. Nu
kan vi ställa upp formeln
an = a1 · kn−1
Vi testar på den senaste talföljden ovan och vill där ha reda på det 6:e talet. Vi får
6−1
2
25
32
= 5=
a6 = 1 ·
3
3
243
Samma resultat som vi får, om vi utgår från a5 och multiplicerar med k
a6 = a5 · k =
16
32
=
81
243
Den här formeln lägger vi så på minnet:
an = a1 · kn−1
Nu över till summan av talen i en geometrisk talföljd. Vi återvänder till den inledande talföljden och vill bestämma summan
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32
Summan är bildad av ett ändligt antal tal. När vi beräknade aritmetiska summor var
detta nödvändigt, men för geometriska summor är detta inte nödvändigt då k < 1.
Mer om detta senare i ditt matematiska liv.
Vi kan skriva om talen i denna summa till
sa = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25
Vi skapar nu en summa sb, där alla elementen multipliceras med kvoten k, som
här är k = 2. Vi får
sb = 2 · 20 + 2 · 21 + 2 · 22 + 2 · 23 + 2 · 24 + 2 · 25 = 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26
Håkan Strömberg
2
KTH Syd
Summan sb blir då k = 2 gånger så stor som sa, 2sa = sb, som är samma sak som
sa = sb − sa. Detta betyder att om vi drar summan sa från summan sb så får vi sa.
Till handling:
sa = sb−sa = (21+22+23+24+25+26)−(20+21+22+23+24+25) = 26−20 = 64−1 = 63
Just därför att vi valde k = 2 blev räkningarna speciellt enkla. Vi tar ett nytt exempel
med k = 4
4 + 16 + 64
Detta är en ganska kort men dock en geometrisk summa (serie). Vi konstaterar att
k=
16
=4
4
Vi kallar summan sa och skriver om den
sa = 41 + 42 + 43
Vi bildar en summa till, där varje term är k = 4 gånger större.
sb = 4 · 41 + 4 · 42 + 4 · 43 = 42 + 43 + 44
Då sb = 4 · sa, bildar vi summan genom 3sa = sb − sa.
3sa = sb − sa = 42 + 43 + 44 − (41 + 42 + 43) = 42 + 43 + 44 − (41 + 42 + 43) =
44 − 41 = 256 − 4 = 252
Vilket ger sa = 252
= 84. Nu är det dags att presentera den generella formeln, som
3
man kan visa på motsvarande sätt
sn =
a1(kn − 1)
k−1
1 Skriv de första 5 talen till den geometriska talföljden. Vilken är den konstanta
kvoten k?
an = 6 · 2n−1
Lösning:
Vi sätter i tur och ordning in n = 1 . . . 5 och får
6, 12, 24, 48, 96
Håkan Strömberg
3
KTH Syd
2 Ange det 10:e talet i den geometriska talföljden där första talet är 200 och
kvoten 31
Lösning:
Vi använder direkt formeln
an = a1 · kn−1
som ger
3 Beräkna summan
10−1
1
200
a10 = 200 ·
=
≈ 0.01016
3
19683
n
X
2k
k=0
för n = 3 . . . 6 och upptäck ett mönster som alla programmerare måste känna
till.
Lösning:
De 4 summorna vi ska bestämma, klarar vi utan att använda, någon formel
1+2+4
1+2+4+8
1 + 2 + 4 + 8 + 16
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32
=
=
=
=
7
15
31
63
Det eftersökta mönstret är att
n
X
2k = 2n+1 − 1
k=0
4 Beräkna summan av 10 tal i den geometriska talföljd, som startar med 1000
och där k = 1.07
Lösning:
Nu är det dags för formeln
1000(1.0710 − 1)
= 13816
s10 =
1.07 − 1
Nu är frågan: Vad har vi räknat ut? Finns det någon praktisk tolkning?
s10 = 1000 + 1000 · 1.07 + 1000 · 1.072 + . . . 1000 · 1.079
Varje nyårsafton, i 10 år, sätter jag in 1000 kr på banken. Efter den andra
nyårsafton har jag 2000 kr plus 7% ränta av de 1000 kr som stått inne i ett år,
alltså 2070 kr. Nästa nyårsafton har jag först och främst 3000, därtill kommer
först räntan på de 1000 kr som varit innestående i ett år, det vill säga 70 kr och
sedan räntan på beloppet 1000 kr som funnits på kontot i två år 1000, som är
144.90. Totalt har jag vid den tredje nyårsaftonen 3000+70+144.90 = 3214.90
på banken.
Eller varför inte se det så här: Den sista termen 1000 · 1.079 motsvarar den
första 1000-lappen som jag satt in för 9 år seden och den första termen
motsvarar den 1000-lapp som jag satt in idag (sista nyårsafton), som ännu
inte hunnit ge någon ränta. Mer om detta i nästa föreläsning.
Håkan Strömberg
4
KTH Syd
5 Du vet att första talet i en geometrisk talföljd är 2 och att kvoten är 3. Ta reda
på vilket ordningsnummer n, talet 1062882 har i denna följd.
Lösning:
Vi utgår från formeln an = a1 · kn−1 och fyller i det vi känner till och får
följande ekvation:
1062882 = 2 · 3n−1
3n−1 = 531441
lg 3n−1 = lg 531441
(n − 1) lg 3 = lg 531441
lg 531441
n =
+1
lg 3
n = 13
Även om inte dosan får detta resultat exakt kan man ta reda på att (hur vet
jag dock inte) 531441 = 312
Svar: n = 11
6 Beräkna den geometriska summan
2000 + 2000 · 1.1 + 2000 · 1.12 + . . . + 2000 · 1.17
Vad betyder summan om vi vill ge den en ekonomisk betydelse?
Lösning:
a1 = 2000, k = 1.1 och n = 8. Vi får med summaformelns hjälp
s8 =
2000(1.18 − 1)
= 22872
1.1 − 1
Vi sätter in 2000 kr på banken varje år till 10% ränta och har efter 7 år och 8
insättningar har vi 22872 kr.
7 Vilka talföljder är geometriska
a)
b)
c)
d)
5, 8, 11, 14, 17
64, 48, 36, 27
32, 40, 50, 62.5
4, 5, 7, 10, 14
Lösning:
a)
b)
c)
d)
Håkan Strömberg
5, 8, 11, 14, 17
64, 48, 36, 27
32, 40, 50, 62.5
4, 5, 7, 10, 14
5
Nej
Ja k =
Ja k =
Nej
3
4
5
4
KTH Syd
8 I en geometrisk talföljd är kvoten k = 23 och a4 = 729. Bestäm a1
Lösning:
Vi använder formeln
an = a1 · kn−1
och får ekvationen
4−1
3
729 = a1 ·
2
729
a1 =
3 3
2
a1
729 · 8
=
27
a1 = 216
9 Bestäm första talet i en geometrisk talföljd där a7 = 2916 och a11 = 236196.
Lösning:
Om vi sätter b1 = a7 och b5 = a11 och går vidare med talföljden b får vi med
hjälp av formeln
bn = b1 · kn−1
ekvationen
236196 = 2916 · k5−1
236196
k4 =
2916
k4 = 81
√
k = ± 4 81
k1 = 3
(k2 = −3)
Återstår att bestämma a1. Vi har nu k = 3, a7 = 2916 och n = 7. Med
formelns hjälp får vi
2916 = a1 · 37−1
2916
a1 =
36
a1 = 4
Svar: a1 = 4
10 Beräkna
100 n
X
4
2
5
n=0
och
200 n
X
4
2
5
n=0
Lösning:
Summorna som åsyftas är
8 32
2+ +
+...+2·
5 25
Håkan Strömberg
6
100
4
5
KTH Syd
och
200
8 32
4
2+ +
+...+2·
5 25
5
De bestäms med hjälp av
101!
4
2 1−
5
s101 =
(1 − 54 )
och
s201 =
201!
4
2 1−
5
(1 − 54 )
Resultatet blir
s101 ≈ 9.99999999837037121893241113099
s201 ≈ 9.99999999999999999966803875449
1 Skriv de fem första talen i den geometriska talföljden, där första talet är 3 och
kvoten 5.
2 Skriv de fyra första talen i den geometriska talföljden, där första talet är 32
och kvoten 21 .
3 Beräkna det 3:e talet i en geometrisk talföljd där a1 = 1024 och k =
1
2
4 I en geometrisk talföljd är det första talet 321 och det 10:e talet 164352.
Beräkna kvoten i den geometriska talföljden.
5 Bestäm summan av de 10 första talen i den geometriska talföljden
3 9 27 81
1, , , ,
4 16 64 256
6 Finns talet 106078 i den geometriska talföljden
7, 14, 28, 56, 112 . . .
1 Genom att använda formeln
an = a1 · kn−1
5 gånger för n = 1 . . . 5 får vi
3, 15, 75, 375, 1875
Håkan Strömberg
7
KTH Syd
2 Genom att använda formeln
n−1
an = a1 · k
n−1
1
= 32 ·
2
4 gånger för n = 1 . . . 4 får vi
32, 16, 8, 4
3
3−1
1
a3 = 1024 ·
= 256
2
4 Med hjälp av formeln
an = a1 · kn−1
får vi ekvationen
164352 = 321 · k10−1
k10−1 =
164352
321
k9 = 512
k =
√
9
512
k = 2
5 Kvoten är lätt att finna, k = 43 , n = 10 och a1 = 1, denna information ’smäller’
vi in i formeln
10
1(1 − 43 )
s10 =
1 − 43
som ger
s10 ≈ 3.83105
kan med lätthet avrundas till s10 = 4
6 Med hjälp av formeln
an = a1 · kn−1
får vi ekvationen
Svaret är
NEJ ,
Håkan Strömberg
7 · 2n−1
15154
lg 15154
lg 15154
lg 15154
+1
n =
lg 2
n ≈ 14.8874
=
=
=
=
106078
2n−1
lg 2n−1
(n − 1) lg 2
eftersom det krävs att ordningsnumret är ett heltal.
8
KTH Syd