Umeå universitet
Institutionen för psykologi
Projektarbete, Kognitiv psykologi 10p, vt06
Hjälper priming och explicit vägledning studenter med
matematikkunskaper att prestera bättre på Lindaproblemet?
David Furendal, Andreas Jonsson, Stina Modigh, Sara Pudas
Handledare: Linnea Karlsson
Hjälper priming och explicit vägledning studenter med
matematikkunskaper att prestera bättre på Lindaproblemet?
David Furendal, Andreas Jonsson, Stina Modigh, Sara Pudas
Linda-problemet konstruerades av Tversky och Kahneman (1983) för att
undersöka människors rationalitet. Studien visade att omkring 85% av dem
som ställs inför problemet misslyckas. Fiedler (1988) undersökte effekt av
priming utan att finna någon märkbar prestationsförbättring. Liknande resultat
fick Donovan och Epstein (1997) när de undersökte effekt av explicit
vägledning. Frågeställningen i denna studie är huruvida dessa två ledtrådar
gör det möjligt att frambringa en prestationsförbättring hos
matematikstuderande vid lösning av Linda-problemet. I studien jämförs
prestation för 61 studenter med matematikkunskaper mot 60 studenter utan
sådana kunskaper. Studien genomfördes med hjälp av frågeformulär och
bestod av tre test. I motsats till Fiedler uppvisas en tydlig
prestationsförbättring av priming hos matematikstuderande (p=0,019). I linje
med Donovan och Epstein syns ingen tydlig signifikant skillnad vid explicit
vägledning (p=0,160). Resultatet visar alltså att priming har effekt på personer
med tidigare matematikkunskap och kan ej negligeras vid lösning av Lindaproblemet.
”The Linda problem” är ett klassiskt problem som först konstruerades av Tversky och
Kahneman (1983) för att undersöka människors rationalitet. Problemet testar den
mest grundläggande sannolikhetsprincipen, nämligen att den sammanlagda
sannolikheten för en händelse A och en händelse B måste vara mindre eller lika med
sannolikheten för de enskilda händelserna A eller B. Alltså p(A&B) ≤ p(A), p(B).
I det ursprungliga problemet (Tversky och Kahneman, 1983) beskrivs Linda som
en smart, utåtriktad 31-årig kvinna. Hon är singel och har en högskoleexamen i
filosofi. Som student var hon engagerad i diskrimineringsfrågor, social rättvisa och
deltog även i demonstrationer mot kärnkraft. Efter att deltagarna läst beskrivningen
av Linda fick de rangordna åtta olika påståenden om henne efter deras sannolikhet
varav tre var: 1. Linda är en banktjänsteman, 2. Linda är aktiv i en feministisk
organisation samt 3. Linda är banktjänsteman och aktiv i en feministisk organisation.
Dessa skulle representera händelserna A, B samt konjunktionen A & B.
Tversky och Kahneman (1983) kom i sin studie fram till att människor uppvisar en
tydlig tendens att bryta mot konjunktionsregeln. 85% av deltagarna rankade alternativ
3 som mer sannolikt än alternativ 2. Detta är något som replikerats upprepade gånger
och fått benämningen ”the conjunction fallacy”. Detta resultat uppvisades även av
deltagare som läst statistik, sannolikhetslära och beslutslära, samt i flera olika
betingelser som konstruerades för att försöka komma undan ”the conjunction
1
fallacy”. Tversky och Kahneman drar utifrån sin studie slutsatsen att människor inte
är rationella i sina bedömningar eller sitt beslutsfattande.
Hertwig och Gigerenzer gjorde 1999 en studie där de kom fram till att de
semantiska
och
pragmatiska
inferenser
som
människor
drar
från
problemformuleringen leder dem fel. De menar att ordet sannolikhet är polysemt,
d.v.s. har flera betydelser som är relaterade till varandra. När deltagarna läser
beskrivningen av Linda tolkar de ordet sannolikhet på ett icke-matematiskt sätt, vilket
gör att de inte heller tar någon hänsyn till konjunktionsregeln när de gör sina
sannolikhetsbedömnigar. Hertwig och Gigerenzer anser i skillnad mot Tversky och
Kahneman (1983) att människor är rationella och att problemet är felformulerat. Som
stöd för detta använder de sig av Paul Grices (1975) konversionella principer, eller
”maximer”. Enligt dessa förväntar sig åhörarna att kommunikatörens bidrag till
konversationen är relevant och inte innehåller onödig information, samt att det
kommunikatören säger ska vara så informativt som möjligt. Beskrivningen av Linda i
problemformuleringen ska alltså inte följa dessa principer, enligt Hertwig och
Gigerenzer.
Något som visat sig vara effektivt för att minska tendensen att bryta mot
konjunktionsregeln är att använda sig av frekvensskattningar i stället för
sannolikhetsbedömningar. Detta har gjorts bl.a. av Fiedler (1988). Ett exempel på hur
Linda-problemet kan formuleras som en frekvensskattning är ”Av 100 personer som
är som Linda, hur många skulle du uppskatta vara...”(Fiedler, 1988). Fiedlers
undersökning visade att i genomsnitt 73% bröt mot konjunktionsregeln i
sannolikhetsbetingelsen, jämfört med 23% i frekvensskattningsbetingelsen, över alla
sju test som gjordes.
I Fiedlers väl citerade studie från 1988 undersökte han även effekten av priming i
Linda-problemet. I två olika test försökte han prima deltagare för att förbättra deras
prestation. I den första använde han sig av tre olika lättare problem, med samma
innehåll som Linda-problemet, men där man lättare kunde se relationen mellan de
olika alternativen (för exempel se Appendix 1, priminguppgift 3). Fiedler fann då
ingen effekt av primingen. Det gjorde han inte heller i ett andra test där deltagarna
fick rita Venn-diagram innan de presenterades för Linda-problemet.
Donovan och Epstein (1997) hävdar att svårigheten i Linda-problemet ligger i att
det är representerat konkret och onaturligt på samma gång. Linda-problemet är
konkret eftersom det beskriver en specifik händelse, medan det är onaturligt eftersom
ett problem av den typen i vanliga fall frambringar resonerande kring vad som är
representativt i stället för statistiskt resonerande, vilket skulle vara korrekt. Ett
problem som skulle vara abstrakt och naturligt enligt Donovan och Epstein skulle
alltså t.ex. representeras med abstrakta algebraiska symboler samtidigt som det
frambringade statistiskt resonerande. Det som gör Linda-problemet svårt är en
konflikt mellan två parallella och interaktiva system som enligt Donovan och Epstein
underligger informationsprocessande. Det rationella som följer logiska regler och det
experientiella som inte följer logiska regler och ofta används i vardagliga
sammanhang.
2
Donovan och Epstein (1997) presenterar en serie studier där de undersökte
prestation på Linda-problem i olika betingelser. I en uppgift gjordes en stegvis
upptrappning i svårighetsgrad med avseende på definitionen konkret-abstrakt vs.
naturlig-onaturlig. I en annan gavs deltagarna en text med explicit vägledning med
liknande problem. Resultatet från undersökningen visade att den explicita
vägledningen inte förbättrade prestationen, medan upptrappning av svårighetsgrad
gjorde det. Donovan och Epstein drar även slutsatsen att prestationen på Lindaproblemet inte korrelerar med deltagarnas tidigare kunskaper från universitetsstudier.
Den här studien ställer sig mot Fiedler (1988) och Donovan och Epstein (1997)
resultat där de visar att varken explicit vägledning eller priming påverkar prestationen
för hur deltagare löser Linda-problemet. Syftet med studien är att undersöka huruvida
dessa två ledtrådar kan förbättra prestationen hos personer med tidigare
matematikkunskaper jämfört med personer utan sådana kunskaper. Detta kommer att
göras genom att kombinera Fiedlers och Donovan och Epsteins experimentella
paradigm. Studien görs både på personer som har explicita matematikkunskaper
genom universitetsstudier, samt universitetsstuderande utan sådana kunskaper.
Hypotesen är att personer med matematikkunskaper kommer uppvisa en större
prestationsförbättring med hjälp av priming och explicit vägledning. Detta eftersom
dessa två ledtrådar frambringar tidigare kunskaper hos deltagarna, vilka sedan kan
appliceras på lösningen av problemet. Vilken av dessa två betingelser som kommer
att ge en större förbättring görs inga antaganden om.
Primingen kommer att utföras med hjälp av att följden av uppgifter som
presenteras för deltagarna i den testgruppen stegvis kommer att leda in dem mot ett
korrekt statistiskt tänkande innan de utsätts för Linda-problemet. Här används två av
Donovan och Epsteins (1997) konkreta-naturliga uppgifter samt en uppgift från
Fiedlers (1988) undersökning (Appendix 1, priminguppgifter). Den explicita
vägledningen är översatt från Donovan och Epstein (Appendix 1, explicit
vägledning).
Metod
Deltagare
Deltagare i denna studie var 130 studenter från Umeå universitet. Av dessa har nio
studenter tagits bort ur studien eftersom de ej fyllt i formuläret på ett korrekt sätt eller
har sett Linda-problemet tidigare. Hälften av deltagarna (matematikgruppen) hade
läst mer än 20 högskolepoäng matematik/statistik/logik eller liknande. I den andra
hälften (icke-matematiker) hade 75% läst 0-5 poäng, 17% läst 6-10 poäng samt 8%
11-15 poäng i samma ämnen. Åldern på deltagarna varierade mellan 19-43 år och det
var en jämn fördelning mellan könen. I varje betingelse ingick 20 deltagare förutom i
en grupp med 21 deltagare.
3
Instrument
Studien har använt sig av tre olika typer av svarsformulär. Kontrollgruppens formulär
bestod av det klassiska Linda-problemet översatt till svenska med sex olika
påståenden. Primingformuläret innehöll fyra olika problemuppgifter med varierande
antal alternativ där Linda-problemet var placerat sist. Det tredje formuläret hade en
explicit förklarande text som första sida med Linda-problemet som första uppgift följt
av tre andra uppgifter. Dessa tre togs med för att undersökningens syfte inte skulle bli
alltför uppenbar för deltagarna.
I alla tre formulär randomiserades ordningen på alternativen i Linda-problemet.
Alla tre hade även en sista sida där deltagarna frågades om kön, ålder,
programtillhörighet, antal högskolepoäng i matematik/statistik/logik eller liknande
samt om de sett Linda-problemet tidigare. Dessutom tillfrågades de om en kort
motivering till placering av de två relevanta alternativen i Linda-problemet; Linda är
banktjänsteman och aktiv i en feministisk organisation samt Linda är
banktjänsteman. Detta för att se om de förstått logiken i problemet.
Alla problemformuleringar och den explicit vägledande texten översattes och
modifierades lätt från tidigare studier (Fiedler, 1988 och Donovan & Epstein, 1997).
Procedur
Formulären delades ut till studenter som satt och studerade eller uppehöll sig i
universitetets lokaler. All datainsamling skedde således i liknande miljöer. Deltagarna
fick först en kort muntlig information där det betonades att deltagandet skulle ske
individuellt. De deltagare som hade funderingar fick förklaringar efter att de lämnat
in formuläret.
Resultat
Nedan följer resultatdata för matematiker och icke-matematikers prestation på det
klassiska Linda-problemet, primingtestet och den explicita vägledningen, samt
jämförelser mellan de två gruppernas prestation för dessa test. Till godkända svar
räknas de deltagare som svarat korrekt på Linda-problemet oavsett om de kunnat
motivera logiken i sitt resonemang. Det är alla följande statistiska beräkningar i
rapporten baserade på. Logik här avser att de gjort någon typ av referens till
konjunktionsregeln i sin motivering.
Tabell 1. Icke-matematikers prestation på de tre testen
Underkänd:
Godkänd men ej logik:
Godkänd, samt logik:
4
Original: Priming: Explicit
vägledning:
90%
75%
95%
10%
10%
0%
0%
15%
5%
I ett χ2-test visar resultatet för icke-matematiker ingen statistisk signifikant skillnad
mellan deltagare i det klassiska Linda-problemet jämfört med deltagare i priming
gruppen (χ2(1)=1,558; n=40; p=0,212). Vid en jämförelse mellan det klassiska Lindaproblemet och testet med explicit vägledning uppvisas ingen sådan skillnad
(χ2(1)=0,360; n=40; p=0,548). Slutligen uppvisas en svag tendens mellan
primingtestet och den explicita vägledningen, där deltagare presterar bättre på
primingtestet (χ2(1)=3,137; n=40; p=0,077).
Tabell 2. Matematikers prestation på de tre testen
Underkänd:
Godkänd men ej logik:
Godkänd, samt logik:
Original: Priming: Explicit
vägledning:
71,4%
35%
50%
14,3%
20%
5%
14,3%
45%
45%
I χ2-test visar resultatet för matematiker att det finns en statistisk signifikant skillnad i
prestation mellan deltagare i det klassiska Linda-problemet jämfört med deltagare i
primingtestet (χ2(1)=5,467; n=41; p=0,019). Det finns ingen signifikant skillnad i
prestation mellan deltagare i det klassiska Linda-problemet och deltagare i den
explicita vägledningen (χ2(1) =1,977; n=41; p=0,160). Det finns inte heller någon
skillnad mellan deltagare i primingtestet och deltagare i den explicita vägledningen
(χ2(1) =0,921; n=40; p=0,337).
Klassiska Linda-problemet
100%
100%
90%
10 0 %
90%
80%
80%
70%
60%
Explicit vägledning
Primingtestet
90%
7
80%
70%
70%
15
15
60%
18
4
50%
50%
50%
40%
40%
40%
30%
20%
10%
20%
9
10%
3
2
Matematiker
Icke-matematiker
0%
1
19
30%
30%
3
10
60%
2
3
20%
9
10 %
1
0%
0%
Matematiker
Icke-matematiker
Mat emat iker
Icke- mat emat iker
Figur1. Gul stapel avser deltagare som brutit mot konjunktionsregeln, blå stapel deltagare som svarat
rätt men ej motiverat korrekt samt grön stapel rätt svar och korrekt motivering.
Vid en χ2-jämförelse mellan matematiker och icke-matematikers prestation på det
klassiska Linda-problemet uppvisas ingen statistisk signifikant skillnad (χ2(1)=2,250;
n=41; p=0,134). Dock visar en jämförelse med samma grupper och deras prestation
5
på primingtestet en stor skillnad (χ2(1)=6,465; n=40; p=0,011), till matematikers
fördel. Den explicita vägledningen ger slutligen en mycket stor skillnad mellan
gruppernas prestation (χ2(1)=10,157; n=40; p=0,001) där matematiker återigen
presterar bättre.
Diskussion
Resultaten i studien styrker delvis hypotesen, en statistiskt signifikant skillnad
uppvisades i prestationsförbättring mellan de två grupperna i primingbetingelsen.
Matematikstuderande förbättrade sin prestation mer än icke-matematikstuderande när
de fick hjälp av priming, medan ingen säker slutsats kan dras om explicit vägledning.
Detta motsäger Donovan och Epsteins (1997) slutsats om att tidigare kunskap inte är
till fördel vid lösning av Linda-problemet. I den icke-matematiska gruppen
uppvisades ingen signifikant prestationsförbättring av priming eller explicit
vägledning, detta i likhet med Fiedlers (1988) resultat. Kontrollgrupperna som fick
lösa det klassiska Linda-problemet uppvisade ingen statistiskt signifikant skillnad
sinsemellan, som tidigare studier (t.ex. Tversky & Kahneman, 1983) också funnit.
I motsats till många tidigare studier, har denna studie undersökt hur stor andel av
dem som inte brutit mot konjunktionsregeln som faktiskt har förstått att sannolikheten
för två händelser måste vara mindre än för varje enskild händelse. Detta gjordes för
att undersöka och eliminera korrekta svar som berodde på slumpen, genom att be
deltagare motivera placering av de två kritiska alternativen på Linda-problemet. Om
de deltagare som inte kunnat motivera logiken i sitt resonemang räknats bort från
godkända svar, hade skillnaderna mellan matematiker och icke-matematiker blivit
ännu mer framträdande. Detta styrker ytterligare hypotesen, med avseende på både
priming och explicit vägledning. Anledningen till att dessa svar ändå räknats med
som godkända för att underlätta jämförelser med tidigare studier.
I primingbetingelsen är andelen med korrekta svar utan godkänd motivering fler än
vid den explicita vägledningen. Detta kan bero på att priming är en implicit ledtråd
som kan leda till att man korrekt löser problemet utan att kunna formulera den
bakomliggande anledningen. Den explicita vägledningen hjälper däremot deltagaren
att formulera sitt resonemang. Säkra slutsatser huruvida deltagarna förstått logiken i
problemet är därför svårt att dra.
Förhållandena vid insamlingen av data till undersökningen var ej ultimata. Även
om alla deltagare informerades om att fylla i formuläret individuellt kunde detta inte
helt och hållet kontrolleras. Miljön där formulären delades ut och fylldes i är lokaler
med många människor i rörelse samt en relativt hög ljudnivå. Detta kan ha påverkat
prestation på testet, men eftersom alla deltagare testades i samma miljö bör detta inte
ha påverkat resultatet nämnvärt. Ett problem med hur formuläret konstruerats är att
deltagarna kan ha bläddrat till sista bladet och sett frågan där de ombads att motivera
placering av två påståenden i Linda-problemet. Om detta har skett kan det naturligtvis
ha hjälpt deltagarna i lösningen av problemet. Detta skulle ha kunnat avhjälpas
genom att dela ut bladet med frågor efter att deltagarna lämnat in sina lösningar, men
hade blivit för tidskrävande.
6
Sammanfattningsvis visar undersökningen att priming förbättrar prestationen hos
studenter med matematikkunskaper, medan detta inte syns hos studenter som ej
studerat matematik. Priming som effekt kan alltså inte räknas bort helt vid framtida
studier av Linda-problemet. En annan viktig slutsats som kan dras från
undersökningen är att vikten av tidigare kunskaper inom områden som
matematik/logik/statistik eller liknande ej kan förbises när man studerar detta
problem. Resultaten visar tydligt att studenter med dessa kunskaper har potential att
prestera bättre än andra om de får ledtrådar.
Trots en överväldigande mängd tidigare studier är detta problem långt ifrån
färdigutrett. Det visas av att denna studie fått fram resultat som skiljer sig från bl.a.
Fiedler (1988), trots liknande problemformulering och tillvägagångssätt. Det finns
förmodligen många faktorer som påverkar hur väl man kan lösa Linda-problemet,
men efter presenterandet av denna undersöknings resultat bör det stå klart att tidigare
kunskaper i matematik samt priming är två av dem.
Referenser
Donovan, S. & Epstein, S. (1997). The difficulty of the Linda conjunction problem can be attributed to
it’s simultaneous concrete and unnatural representation, and not to conversational implicature.
Journal of Experimental Social Psychology, 33, 1-20.
Fiedler, K. (1988). The dependence of the conjunction fallacy in subtle linguistic factors.
Psychological Research, 50, 123-129.
Grice, H. P. (1975).’Logic and conversation’, in Cole, P. & Morgan, J.L.(Eds). Syntax and Semantics
3: Speech acts. New York: Academic Press. In Hertwig, R. & Gigerenzer, G. (1999). The
‘Conjunction Fallacy’ revisited: How intelligent inferences look like reasoning errors. Journal of
Behavioral Decision Making, 12, 275-305.
Hertwig, R. & Gigerenzer, G. (1999). The ‘Conjunction Fallacy’ revisited: How intelligent inferences
look like reasoning errors. Journal of Behavioral Decision Making, 12, 275-305.
Tversky, A. & Kahneman, D. (1983). Extensional versus intuitive reasoning: The conjunction fallacy
in probability judgment. Psychological Review, 90, 293-315.
7
Appendix 1
1. Klassiska Linda-problemet (översatt och modifierad från Tversky och Kahneman
1983)
Linda är 31 år gammal, singel, utåtriktad och smart. Hon har en
högskoleexamen, och som student var hon mycket engagerad i frågor rörande
diskriminering samt social rättvisa. Hon deltog även i demonstrationer mot
kärnkraft.
Rangordna följande alternativ efter deras sannolikhet, där 1 är mest sannolikt
och 6 minst sannolikt:
__ Linda är lågstadielärare
__ Linda jobbar i en bokaffär och tar Yoga-lektioner
__ Linda är aktiv inom en feministisk organisation
__ Linda är banktjänsteman
__ Linda jobbar med att sälja försäkringar
__ Linda är banktjänsteman och aktiv i en feministisk organisation
2. Explicit vägledning (översatt och modifierad från Donovan och Epstein 1997)
Läs igenom följande text innan du vänder blad.
Vad är sannolikheten att två händelser sker jämfört med en? Detta är ett problem
som uppkommer vid många enkla situationer i vardagliga livet, som när människor
spelar på lotto. Oftast är svaren på sådana problem självklara och till och med ett
barn kan lösa dem. Dock har psykologer funnit att när man lägger till extra
information som distraherar människor från det statistiska tankesättet, eller
presenterar problemet i en form som antyder att det är en annan sorts problem,
misslyckas människor oftast att känna igen att problemet endast kräver en
jämförelse mellan sannolikheten för att två händelser sker istället för en.
Betrakta alla följande problem som i grunden statistiska problem. Några av
problemen testar din förmåga att hitta ett gömt statistiskt problem. Din uppgift är att
undvika att bli distraherad av omkringliggande information eller formen i vilket
problemet presenteras i.
Innan du ger dina svar till något av problemen, läs hela informationen inklusive alla
påståenden för problemet. När du har svarat på ett problem, gå inte tillbaka och
ändra ditt svar. Du kan dock läsa om denna information igen, när du vill.
8
3. Priminguppgifter (de två första från Donovan och Epstein 1997, den sista från
Fiedler 1988, översatta och lätt modifierade)
1. Erik köper två lotter. Den ena är en Miljonlott med en väldigt hög
sannolikhet för vinst, medan den andra är en Dunderlott med en relativt
låg sannolikhet för vinst.
Kryssa i det alternativ som du anser är minst sannolikt:
__ Dunderlotten kommer att ge vinst.
__ Dunderlotten och Miljonlotten kommer båda att ge vinst.
2. Maria är 28 år, intelligent, vänlig och energisk. Hon studerade till
sjukgymnast på universitetet och var medlem i volleybollaget. Hon är
lång, sportig och tävlingsinriktad.
Rangordna följande alternativ efter deras sannolikhet, där 1 är mest
sannolikt och 4 minst sannolikt:
__ Maria har gröna ögon.
__ Maria har gröna ögon och spelar basket.
__ Maria har en hund.
__ Maria lyssnar på Metallica.
3. Rangordna följande alternativ efter deras sannolikhet att de inträffar
under de närmsta tio åren, där 1 är mest sannolikt och 4 minst
sannolikt:
__ En stor översvämning orsakad av en jordbävning i Kalifornien.
__ En kärnkraftsolycka i Ryssland.
__ En stor översvämning i Nordamerika.
__ Ett meteornedslag i en asiatisk miljonstad.
9
