Geometri och argument Solkanonen i Åtvidaberg som tänds av solen kl.12.00. De röda linjerna visar tänkta solstrålars väg till krutladdningen. Dvs inte ens ljusstrålar rör sig alltid i räta linjer. 1 2 3 4 5 6 Logik och matematik…………………………….. Empiriska vetenskaper………………………….. Jordmätning…………………………………………. Den axiomatiska metoden…………………….. Rätvinkliga trianglar……………………………… Trigonometri………………………………………… Klassisk geometri………………………………… Konstruktioner…………………………………….. Modell ▪ Area- och volymskalan……………… Facit 2 6 14 15 24 30 35 48 51 53 Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller. Foton s 1, 17, 36 och 37 Arne Flink. Illustrationer s 37, 38 och 39 Hans Hillerström. Geometriska konstruktioner, diagram och fotot Pantheon av Nils-Göran Mattsson © Författarna och Bokförlaget Borken, 2011 Geometri - 1 1. Logik och matematik Logiken kännetecknas av regler med vars hjälp man drar (logiska) slutsatser ur en given mängd av satser (påståenden) eller kontrollerar om en slutledning är giltig. Man kan nu resonera deduktivt eller logiskt utan att uttryckligen nämna alla de förutsättningar man gör för att komma fram till en viss slutsats. Så gör man ofta i matematiken, där man ofta tar logiken som given och låter bli att nämna, vilka logiska regler man förlitat sig på, då man dragit slutsatser ur de rent matematiska förutsättningarna. I sådana fall sägs man arbeta informellt. Ett av de första historiska exemplen på hur vetandet inom ett kunskapsområde kunde sammanfattas enligt ovan beskrivna informella metod, är Euklides geometri. Han var verksam i Alexandria omkring 300 f Kr. Euklides lärobok i geometri Elementa var grunden för geometriundervisningen vid vissa skolor så sent som vid 1900-talets början. Några lärosatser hos Euklides, och andra matematiker som byggt upp axiomatiska system, betraktas som axiom. Det finns inga bevis för dem inom det axiomatiska systemet. Exempel på axiom eller postulat finns under teoriavsnittet Den axiomatiska metoden. Lite vardagslogik Jämför de två slutledningarna: • (premiss 1:) Om A äger produktionsmedel, så är han kapitalist och (premiss 2:) A äger produktionsmedel. medför (tesen:) A är kapitalist • (premiss 1:) Om det brinner, så kommer brandkåren och (premiss 2:) Det brinner. medför (tesen:) Brandkåren kommer De två ovan nämnda slutledningarna sägs vara deduktivt (=logiskt) giltiga. Detta innebär att var och en som förstår innebörden av begreppen i de två argumentationerna inte utan att motsäga sig själv kan bejaka premisserna samtidigt som han bestrider tesen. De två argumenteringarna kännetecknas av att tesen med nödvändighet följer ur premisserna. Argumenteringen är giltig. Därmed inte sagt att resonemangen är sakliga . Det kan ju vara så att argumenten eller premisserna inte är sanna eller sannolika. Geometri - 2 Premiss 1 i det andra fallet skulle kunna vara falskt. Brandkåren kommer kanske inte, trots att det brinner. Man har kanske glömt att larma den. Du ser kanske den stora likheten mellan de två argumenteringarna. Vi säger att de har samma logiska form. Det är alltså själva de språkliga uttrycken ’om ..(förled).. så ..(efterled)..’ respektive ’och’ som i dessa fall ger samma logiska form. Rent allmänt kan man säga att alla argumenteringar som har samma logiska form antingen är deduktivt giltiga allihop eller också är ingen giltig. Låt oss ta de två slutledningarna ovan för skilda tillämpningar av slutledningsregeln modus ponens, vilket alltså innebär att man från en "om...så…"-sats och förledet i "om...så…"-satsen härleder efterledet i "om...så…"-satsen. Vi skall nedan ge exempel på ett antal satslogiskt giltiga argumenteringar. Vi använder dessutom en symbol för begreppen medför eller implicerar eller alltså. Symbolen är Þ Negationsregeln Exempel Det snöar. Þ Det är inte fallet att det inte snöar. Disjunktionsregler Exempel Det regnar. Þ Det regnar eller blåser. (Han får brev på måndag eller också på tisdag.) och (Han får inte brev på måndag.) Þ Han får brev på tisdag. Konjunktionsregeln Exempel Det blåser och snöar. Þ Det snöar Implikationsregler (Vi har redan analyserat modus ponens.) Exempel (Om det regnar, så stannar jag hemma.) och (Jag stannar inte hemma.) Þ Det regnar inte. (Denna regel kallas modus tollens.) Däremot gäller inte följande två slutledningar: Om det regnar, så stannar jag hemma och Jag stannar hemma. Þ Det regnar. Om det regnar, så stannar jag hemma och Det regnar inte Þ Jag stannar inte hemma Geometri - 3 Ekvivalensregler Om implikationen går i bägge riktningar som i följande matematiska exempel så kan vi använda ekvivalenspilen. Exempel [a < b Þ a + 3 < b + 3] men eftersom [a + 3 < b + 3 Þ a < b] kan vi kortare skriva [a < b Û a + 3 < b + 3] Kontraposition Exempel Om denna figur är en cirkel, så är den också en ellips. Þ Om figuren inte är en ellips, så är den inte heller en cirkel. G1.1 Vilka av följande slutledningar är giltiga? (a) Jag går på bio eller teater. Jag går inte på bio. Alltså går jag på teater. (b) Om Per är en skicklig schackspelare, så är Per logisk. Per är en skicklig schackspelare. Alltså är Per logisk. (c) Om du gapar efter mycket, så skall du mista hela stycket. Du har mist hela stycket. Alltså har du gapat efter mycket. (d) Om inte nativiteten i världen sjunker, kommer en katastrof att inträffa. Alltså: Om en katastrof inte skall inträffa, måste nativiteten i världen sjunka. (e) Handlingen är rätt, om handlingen medför överskott av lycka för de flesta inblandade. Denna handling är orätt. Alltså: den medför inte ett överskott av lycka för de flesta inblandade. (f) Det varken blåser eller snöar. Alltså snöar det inte. (g) Det blir inte kallare eller också blir det regn. Det blir inte regn. Alltså blir det kallare. (h) Om Carl Bildt inte högaktar Edmund Burke så är han inte konservativ. Men Carl Bildt högaktar E. Burke. Alltså är han konservativ. Geometri - 4 (i) Jan måste gå i borgen för Per, annars kan Per inte reda upp sin ekonomi. Nu går Jan i borgen för Per. Alltså kan Per reda upp sin ekonomi. (j) Om kärnkraften är farlig så skall vi inte använda oss av den. Alltså: om kärnkraften inte är farlig så skall vi nyttja den. (k) Om figuren c är en cirkel så är det samtidigt en ellips. Men c är inte en ellips. Alltså är det inte heller en cirkel. G1.2 Är följande slutsatser logiska – använd din intuition! Alla svenskar är filosofer. Alla matematiker är filosofer. Alltså är alla svenskar matematiker a) b) Alla sanna socialister är agnostiker. Några präster är sanna socialister. Alltså finns det präster som är agnostiker. c) Det finns författare som är skådespelare. Alla poeter är författare. Alltså är några poeter skådespelare. d) Inga matematiker är politiker. Inga politiker är logiker. Alltså finns det inga matematiker som är logiker. e) Några studenter bär öronringar. Några som bär öronringar är inte gay. Alltså är några studenter inte gay. Geometri - 5 2 Empiriska vetenskaper De empiriska vetenskaperna har till uppgift att studera den verklighet vi lever i. Detta innebär att man: A samlar in fakta för att visa hur verkligheten ser ut. B förklarar varför dessa fakta föreligger. C använder detta vetande för att förutsäga vad som kommer att ske eller vad som skulle ske om vissa fakta föreligger. Vi skall komma ihåg att verksamheterna A, B och C inte försiggår så att vi först gör A, sedan B och därefter C. Det brukar börja med att man vill förklara vissa fakta som man utgår ifrån. Därefter gör man kanske en gissning [ställer upp en hypotes] om vilken förklaring som är den riktiga och som man vill pröva, vilket kanske ger anledning till att söka ytterligare fakta. Om hypotesen visar sig felaktig då vi prövat den kanske vi börjar leta efter nya fakta och ställer upp en ny hypotes [eller tvärtom ställer upp en ny hypotes och letar fakta som kan bekräfta den]. A. Insamling av fakta En forskare kan ha till sin enda uppgift att samla och systematisera fakta (t ex en botanist som kartlägger floran i ett landskap och klassificerar växter som han finner där). Vanligare är dock att han också arbetar vidare med dessa fakta för att komma fram till en förklaring till varför de föreligger eller använda dem i förklaringar av andra fakta, som man tidigare känt till och velat förklara. Det är dock inte helt oproblematiskt vad som skall räknas som fakta. I vissa vetenskaper görs observationer under sådana betingelser att det kan vara svårt att avgöra om något är ett faktum eller inte. Det kan också vara svårt att avgöra när man slutar att presentera fakta och tolkning av fakta tar vid. Gör man en felaktig tolkning av fakta kan ju en falsk hypotes synbarligen bli bekräftad, så det är viktigt att hålla isär fakta och tolkningar och dessutom vara ytterst försiktig då man tolkar fakta. Man har t ex iakttagit att ungar till djur av vissa arter, såsom änder, följer sin mor efter födelsen. Man kan då tänkas ta det som ett faktum att det finns en speciell bindning av medfödd art mellan just modern och hennes ungar. Det har emellertid visat sig att ungarna likaväl kan präglas på andra djur, människor eller t o m döda ting som attrapper, stövlar Geometri - 6 m m och följa dessa i stället för modern. Antagandet av en speciell bindning mellan moder och ungar visar sig sålunda vara enbart en tolkning, och dessutom en felaktig sådan, på grund av iakttagna fakta. Hypotesprövning Den hypotetisk-deduktiva metod Utgångspunkten för uppställandet av en hypotes, ett antagande, är att vetenskapsmannen står inför ett problem. Problemen kan vara av olika slag. En zoolog kan vara intresserad av att veta om ett beteende han har iakttagit hos en individ av en djurart är tillfälligt eller om alla djur i arten beter sig på samma sätt i liknande situationer. Jane van Goodall iakttog hur en schimpans stack ned ett grässtrå i en termitstack för att fiska upp termiter. Genom ytterligare iakttagelser kunde hon dra slutsatsen att redskapstillverkning och redskapsanvändning av detta och liknande slag förekommer allmänt bland schimpanser. Detta är ett exempel på induktivt förfarande, men inom naturvetenskaperna förekommer även deduktiva resonemang. Så är t ex fallet när det gäller prövning av hypoteser om orsaker till olika händelser och företeelser. Vi skall här redogöra för en metod som används vid många tillfällen från enkla vardagssituationer till komplicerade vetenskapliga resonemang. Även i matematiken används ofta hypotesprövning. Vi anar att ett upptäckt sammanhang, en hypotes, är giltig. Vi kan därefter nöja oss med denna upptäckt, t ex medianerna i en triangel skär varandra i en punkt. Vi kan även försöka bevisa vår hypotes med hjälp av tidigare bevisade matematiska och logiska sanningar. Men nu tar vi ett exempel ur vardagslivet för att beskriva metoden. Kalle kommer ut på morgonen och finner att hans ena cykeldäck är tomt. Han misstänker att det beror på att ventilgummit är dåligt, så han byter detta mot ett nytt, pumpar däcket och åker till skolan. Det går bra, men på rasten ser han att däcket är tomt igen. Han antar då att det gått hål på slangen, och efter skolans slut byter han ut slangen mot en ny, och nu håller slangen luft. Vad har Kalle gjort? Jo, först gjorde han ett antagande om orsaken till att däcket var tomt. Litet högtidligt kan vi säga att han uppställde en hypotes H 1 . Geometri - 7 H 1 : Däcket är tomt därför att ventilgummit är dåligt. En naturlig följd av detta antagande blir att han också antar att ett byte av ventilgummit löser hans problem. Litet annorlunda uttryckt kan vi säga att hans hypotes H 1 har en testimplikation dvs en sats som följer ur hypotesen och som beskriver ett sakförhållande, om vilket man direkt kan konstatera ifall det föreligger eller inte. Testimplikationen är i det här fallet T 1 . T 1 : Byte av ventilgummit gör att däcket håller luft. Nu visade det sig att byte av ventilgummi inte hjälpte, och att T 1 således var falsk. Kalle kan då också dra slutsatsen att också hypotesen H 1 var oriktig. Vi säger då att hypotesen H 1 är falsifierad. Vi kan ställa upp resonemanget som en logisk slutledning (modus tollens). Vi har alltså antagit att H 1 implicerar T 1. Vi finner att T 1 är falsk och drar slutsatsen att H 1 är falsk: (Om H 1 så T 1 ) och (Det är inte fallet att T 1 ) Þ (Det är inte fallet att H 1 .) Eftersom modus tollens är logiskt giltig, kan vi med säkerhet anta att hypotesen är falsk. (Givet förstås att T 1 verkligen är en följd av H 1 och att vi korrekt fastslagit att T 1 är falsk.) Därefter antog Kalle en ny hypotes H 2 . H 2 : Däcket är tomt därför att slangen är trasig. Testimplikationen blir i detta fall: T 2 : Byte av slang gör att däcket håller luft. Geometri - 8 Nu visar det sig att T 2 uppfylls, och vi drar då slutsatsen att vi fått en bekräftelse av hypotesen. Formellt kan vi ställa upp en slutledning av samma slag som vi gjorde vid falsifieringen ovan: (Om H 2 så T 2 ) och (T 2 ) Þ (H 2 ) Vi ser emellertid genast att detta inte är en logiskt giltig slutledning. Vi har ju endast visat att ett nödvändigt villkor för hypotesens sanning föreligger, inte att ett tillräckligt villkor för dess riktighet är för handen. Vad vi på sin höjd kan säga är att testimplikationens riktighet ger en viss grad av sannolikhet åt antagandet att hypotesen är riktig. Hur stor denna sannolikhet är beror på hur många andra orsaker till att testimplikationen förelåg det kan finnas i det aktuella fallet och hur sannolikt det är att någon av dessa förekommit. Detta kan belysas med följande resonemang: När Kalle bytte slangen bytte han ju också ventilen och därmed också ventilgummit igen. Det finns alltså en möjlighet att det var ventilgummits fel att däcket var tomt, för också det nya ventilgummi som Kalle satte dit kunde ju ha gått sönder. Så om Kalle är nyfiken kan han gå vidare och göra ytterligare undersökningar för att få ytterligare bekräftelse av H 2 eller kanske rent av falsifiera den. Han kan t ex undersöka den gamla slangen och se om den har något hål (dvs undersöka en ny testimplikation av H 2 som vi kan kalla T 2 ' som säger att vid en undersökning skall det visa sig att slangen har ett hål). Om han hittar hålet är H 2 ytterligare bekräftad. Skulle det däremot visa sig att slangen inte har något hål så blir ju H 2 falsifierad och Kalle kanske övergår till att tro att H 1 var riktig i alla fall. Sammanfattar vi vad vi har sagt här får vi följande schema för hypotesprövning: • Man uppställer en hypotes för att lösa ett bestämt problem. • Man undersöker vilka testimplikationer hypotesen har. Ibland nöjer man sig med att fastställa någon eller några av flera möjliga. • Man fastställer genom undersökning om testimplikationerna eller några av dem är sanna. • I vissa fall, då hypotesen bekräftats, går man vidare för att genom ytterligare undersökningar ge en ökad sannolikhet åt hypotesen eller kanske tvingas överge den då en falsifierad testimplikation uppträder. Geometri - 9 Minimikrav på vetenskapliga teorier En hypotes eller teori är vetenskapligt godtagbar endast om den uppfyller följande fem krav: 1. Motsägelsefrihetskravet verkar vid första påseende självklart. Logiken visar att om en teori, som består av en mängd satser, innehåller satsen p och dess negation: (Det är inte fallet att p) så kan vi härleda vilken sats som helst ur teorin. En sådan teori är värdelös, eftersom den är riktig vad som än är fallet i verkligheten. 2. Prövbarhetskravet innebär att teorin måste ha testimplikationer, som kan prövas empiriskt. Att de kan prövas empiriskt innebär att man kan göra iakttagelser eller experiment som visar om de är sanna eller falska. Då man säger att man skall kunna pröva en hypotes, menar man i regel att det skall vara i princip möjligt att pröva den, även om det inte är praktiskt möjligt att göra detta någonsin eller bara för tillfället. Detta innebär att man skall kunna ange vilka observationer som skulle utvisa om hypotesen är sann eller falsk. I den meningen var det i princip möjligt att testa hypotesen att det finns liv på Mars innan man lyckades sända en rymdfarkost dit, vilket gjorde hypotesen prövbar även praktiskt. Däremot är det inte ens i princip möjligt att pröva Aristoteles teori att kroppar faller till jorden, därför att de längtar till sin naturliga plats (jordytan). Inte heller kan vi pröva hans förklaring till att vattnet följer med kolven upp i ett pumprör, så att inget tomrum bildas under kolven, vilken gick ut på att naturen har en avsky för tomrum. 3. Rimlighetskravet innebär att en teori inte får avvika från vad som är allmänt accepterad och vedertagen kunskap. Man får inte anta någon teori som strider mot vad som normalt antas vara bevisat bland majoriteten av forskare. Naturligtvis är detta krav högst kontroversiellt. 4. Relevanskravet slutligen innebär att den hypotes eller teori man uppställer måste förklara de fenomen den är till för att förklara. Detta krav är allmänt accepterat. 5. Falsifierbarhetskravet Karl Popper (1902-1994) som föddes i Wien måste räknas som en av 1900-talet främsta vetenskapsfilosofer. Popper Geometri - 10 ansåg att det avgörande kravet på ett vetenskapligt påstående är falsifierbarhet. Ett påstående är vetenskapligt bara om det kan falsifieras dvs att man kan ange de betingelser under vilka satsen kan visas vara falsk. Popper menar också att teorier med en hög "falsifierbarhetsgrad" är att föredra framför sådana med en lägre. Falsifierbarhetsgraden ökar med antalet möjliga påståenden som, om de vore sanna, skulle göra teorin falsk. "Alla katter är grå" har en hög falsifierbarhetsgrad, eftersom den kan vederläggas av: "Murre är brun", "Bianca är vit", "Misse är svart" osv, men påståendet: "Murre är grå" har en låg falsifierbarhetsgrad, eftersom den bara kan falsifieras av satser som säger att Murre har en annan färg än grå, och dessa är mycket färre än i det tidigare fallet. V2.1 En man knuffar ett barn i havet för att dränka det och en annan man offrar sitt liv för att rädda ett barn som håller på att drunkna. Enligt psykologen Adler lider den förste mannen av mindervärdeskänslor; dessa känslor får mannen att bevisa att han kan begå ett brott. Den andre mannen, som också lider av mindervärdeskomplex (detta komplex är enligt Adler grunden till allt mänskligt beteende), har ett stort behov att visa att han vågade rädda barnet. Kommentera dessa två fall utifrån falsifierbarhetsprincipen. V2.2 (ur Konrad Marc-Wogau, Freuds psykoanalys) ”En del har gjort gällande att psykoanalysen inför teser som är sådana att inga erfarenheter kan falsifiera dem. Det antas t ex att en patients neurotiska besvär orsakas av Oidpuskomplexet; han hyser omedvetet hatkänslor mot fadern. Om nu patienten visar vördnad för eller kärlek till fadern, så säger psykoanalytikern att patienten på grund av sin fientliga inställning till fadern och omedvetna rädsla för honom i sitt beteende döljer sina egentliga känslor.” Försök att visa att falsifierbarhetskriteriet trots allt kan tillämpas på Freuds teori om Oidupuskomplexet. Geometri - 11 V2.3 Det klassiska exemplet på hypotesprövning: Ignaz Semmelweiss arbetade under 1800talets mitt som förlossningsläkare i Wien. Dödligheten i barnsängsfeber var mycket högre på hans avdelning än på sjukhusets andra avdelning. Genom skarpsinne lyckades han ta reda på orsakerna till skillnaden i dödlighet vid de två avdelningarna. Sjukdomen kunde även bekämpas av honom. Semmelweiss formulerade några hypoteser för att utröna vilken som bäst klarade test. (i) Överbeläggning på Semmelweiss avdelning är orsak till barn- sängsfeber. (ii) Skillnaden mellan de två avdelningarna med avseende på dieten orsakar sjukdomen. (iii) Skillnaden mellan avdelningarna med avseende på vården orsakar sjukdomen. (iv) De medicinare som undersökte kvinnorna på Semmelweiss avdelning var hårdhäntare än barnmorskorna på den andra avdelningen. (v) Prästen som skulle ge de drabbade sista smörjelsen måste passera Semmelweiss avdelning varvid dessa kvinnor blev skrämda . (vi) Kvinnornas olika födelseställning, rygg- och sidoläge, orsakar barnsängsfeber. (vii) Barnsängsfeber beror på överföring av ”likstoff” från människor som obducerats (Semmelweiss fick idén till denna hypotes när en kollega till honom dog i symptom som liknade barnsängsfeber efter det att han skurit sig under en obduktion. Semmelweiss kom då att tänka på att några av hans medicinstuderande deltog i obduktioner innan arbetsdagen satte igång på förlossningsavdelningen.) (viii) Förruttnelseprodukter från levande eller döda människor kan orsaka barnsängsfeber. a) Formulera testimplikationer till hypoteserna ovan så att hypotesen blir falsfierad eller verifierad. b) Ger falsifieringen en logiskt giltig slutledning? c) Ger verifieringen en logiskt giltig slutledning? Geometri - 12 Fundera på dessa två problem! A. Hur skall en färjkarl frakta över en varg, ett får och ett kålhuvud över en flod? Han måste utgå ifrån att vargen utan tillsyn skulle äta upp fåret och att fåret utan vakt skulle äta upp kålhuvudet. Vidare kan han bara frakta ett av de tre objekten samtidigt. B. Antag att vi har två dörrar, där den ena leder till säkerhet och den andra till en säker död. Dörrarna vaktas av en sanningssägare och den andra av en lögnare. Du vet inte vem som är vad. Du får bara ställa en fråga för att lista ut vilken dörr som leder till säkerheten. Vilken fråga ställer du? Geometri - 13 Teori ▪ Jordmätning Man kan säga att geometri handlar om två saker. För det första handlar geometrin om verkligheten som omger oss. Det runda tornet, pyramidens form, de spännande formerna som bygger upp en målning av Picasso, solstrålen som går rätlinjigt fram, planeternas ellipsformade banor runt solen. Listan kan göras lång. Man anser att människan började utveckla kunnandet i geometri när det uppstod behov av att mäta upp landområden (sträckor, areor och även volymer) och när byggnadstekniken utvecklades i de tidiga högkulturerna i Egypten och Babylonien. Ordet geometri betyder egentligen ”jordmätning”. Samtidigt som hantverkare och jordbrukare i sin vardagliga verksamhet lärde sig mer om vinklar och figurer och hur de förhöll sig till varandra började filosofer och tänkare studera de geometriska begreppen för deras egen skull. Det uppkom en ren geometri som är rent formell och bara handlar om de olika geometriska figurernas egenskaper. Men när geometriska begrepp används i det dagliga livet och i naturvetenskap, konst och arkitektur är det inte den teoretiska rena geometrin utan fysikalisk geometri. Den kan sägas handla om vår egen tredimensionella värld. När vi vardagsmänniskor använder de geometriska begreppen, då kan en punkt i ett sammanhang betyda skärningen mellan två korslagda hårstrån och i ett annat jordklotets medelpunkt. En rät linje kan både vara snöret till lodet man använder när man tapetserar och en ljusstråles väg. De geometriska satserna som till exempel den kanske mest kända Pythagoras sats har formulerats utifrån praktisk erfarenhet och teoretisk tankemöda i samverkan. Orsaken till att människorna har visat geometrin så stort intresse under flera tusen år är att den har visat sig vara så praktiskt användbar. Idag vet vi att geometrin måste och har utvecklas för att kunna beskriva universum i stort. Den vanliga euklidiska geometrin som vi nu ska studera fungerar mycket bra i vår vardagliga värld. Men frågan är om den är tillräcklig för de stora avstånden i världsrymden. Geometri - 14 3 Den axiomatiska metoden Teori ▪ Den axiomatiska metoden Vad innehåller då Euklides Elementa? Den består av 13 ”böcker” eller kapitel. Den startar med 23 definitioner, 5 postulat och 5 axiom och därefter bevisar han 465 satser. Låt oss börja med postulaten d v s antaganden som bara tillhör kunskapsområdet geometri. Idag skulle vi även kalla dessa för axiom. Vi formulerar dem i moderna versioner. Postulat 1. Om vi har två olika punkter så finns den en och endast en rät linje som passerar bägge. Postulat 2. Det går att obegränsat förlänga en begränsad rät linje (sträckan AB). Postulat 3. Om vi utgår från två olika punkter, O och A så finns det en cirkel med medelpunkt i O och radie OA. Postulat 5. Om en rät linje t skär två räta linjer, l och m, så att de inre vinklarna på samma sida α och β, tillsammans är mindre än två räta vinklar, så möts de två linjerna, om de dras ut oändligt, på den sida på vilken vinklarna är mindre än två räta. Den finns en med denna version ekvivalent formulering av postulatet: Postulat 5’ Om vi utgår från en rät linje l och en punkt P som inte ligger på l, så finns det högst en linje genom P som är parallell (= inte skär) l. Geometri - 15 Naturligtvis finns det minst en också och därmed exakt en, men detta kunde redan Euklides bevisa ur de andra postulaten. Vilka är då de generella axiomen? Axiom 1. a = c och b = c medför att a = b Axiom 2. a = b medför att a + c = b + c Axiom 3. a = b medför att a – c = b – c Axiom 4. Storheter som sammanfaller med varandra är lika varandra. Axiom 5. Det hela är större än delen. (T ex längder, areor och volymer) I elementa beskriver Euklides ofta hur man löser uppgifter med passare och ograderad linjal. Denna lösning måste följa regler som • Starta med ett antal givna punkter! • De givna punkterna (t ex de blåa) kan användas för att (i ) dra en linje genom punkterna och (ii ) rita en cirkel med en punkt (den röda) som medelpunkt och som går genom den andra (också röd) punkten. (iii ) Konstruktion måste kunna ha avslutats efter ett ändligt antal steg av typ (i ) och (ii ) Den som bygger upp ett axiomatiskt system använder sig av vissa grundbegrepp, t ex punkt medan andra begrepp definieras med hjälp av de odefinierade t ex Def.1. En punkt är det som inte har någon del. Def.2. En linje är längd utan bredd. Def.3. En sträckas ändar är punkter. Def.5. En yta är det som endast har längd och bredd. Def.6. Kanterna till en yta är linjer. Geometri - 16 Om man tycker att dessa förklaringar eller definitioner är underliga så kan man helt enkelt låta våra grundbegrepp vara oförklarade. Vi utnyttjar bara begreppens egenskaper och relationer som de är uttryckta i axiomen. Detta var t ex matematikern David Hilberts (1862 – 1943) syn på axiomatiska system. Många har påpekat de logiska bristerna i Euklides axiomatiska system och 1899 publicerade Hilbert en moderniserad version av Elementa, Grundlagen der Geometri , som fortfarande är oöverträffad. Teori ▪ Vinklar Två strålar som utgår från samma punkt A delar planet i två områden som kallas vinklar . Strålarna kallas vinkelben och punkten A vinkelspets. Vinklarna har markerats i figuren med bokstäverna u och v. Vinklarna mäts i grader och enheten är en grad som skrivs 1°. En grad är 1/360 av ett helt varv. Även det är en vinkel som är 360°. Ett halvt varv är 180°. En vinkel som är större än 90° kallas en trubbig vinkel medan en vinkel mindre än 90° kallas spetsig. Vinklar på 90° kallas räta. Postulat i denna lärobok: Vertikalvinklar (t ex α och β eller γ och δ i figuren nedan) är lika stora. Geometri - 17 Låt oss nu bevisa: Sidovinkelsatsen. Sidovinklar (t ex α + δ i figuren ovan) är tillsammans 180°. Enligt postulat ovan är α = β samt γ = δ Vi vet dessutom att α + β + γ + δ = 360° Þ (synonymer till piltecknet: medför, ger, implicerar) 2α + 2 δ = 360° (eftersom α = β samt γ = δ) Þ α + δ = 180° V.S.B Den hypotetiskt deduktiva (HD) metoden hos Popper liknar den axiomatiska metoden genom att man så att säga går uppifrån nedåt och endast använder logiska slutledningar. Såväl den axiomatiska metoden som HD godkänner endast deduktiv logik. Det finns emellertid stora skillnader. Rationalisterna tror, att man genom rent förnuftsmässigt tänkande kan finna sanna och evidenta axiom. Popper däremot menar att historien visar att detta är omöjligt. De axiom som man under århundraden tagit som evidenta har ofta senare visat sig felaktiga. Vi kan alltså aldrig vara säkra på att ett axiom om verkligheten är sant enbart på förnuftsmässiga grunder, dvs enbart därför att vi tycker att de absolut måste vara sanna. Enligt Popper är varje axiom om verkligheten i själva verket en hypotes, dvs en gissning. I stället för att försöka med den omöjliga uppgiften att finna evidenta axiom bör forskaren göra något mycket mer anspråkslöst. Han bör utarbeta fruktbara hypoteser. Det ligger sålunda i forskningens natur enligt Popper att forskaren så att säga måste gissa sig fram mot allt bättre kunskaper. Men gissningar är dels osäkra och dels förutsätter de fantasi, kreativitet, intuition. Enligt Popper finns det ingen metod som kan leda fram till bevisade, orubbliga teorier. Det finns ingen metod som gör att teorier förvandlas till fakta. Enligt Popper är vetenskapens teorier sålunda varken bevisade sanningar eller ytterst sannolika. Liksom alla realister anser han vetenskapens grundläggande mål vara att förklara vår värld. Men han ser förklarandet som en oavslutad process. Målet är att hela tiden sträva efter allt bättre förklaringar. Geometri - 18 G3.1 Hur stor är vinkeln v vid den räta linjen? Är vinkeln spetsig eller trubbig? G3.2 Hur stor är vinkeln mellan tim- och minutvisaren kl.16.00 b) kl. 22.00? a) G3.3 a) V3.4 a) b) V3.5 Hur stor är den vinkel som upptar ett fjärdedels varv b) ett halvt varv c) ett åttondels varv Hur stor är vinkeln mellan väderstrecken norr och öster c) norr och nordöst norr och söder d) norr och nordnordväst Ett helt varv består av fem vinklar, där den andra vinkeln är dubbelt så stor som den första, den tredje är dubbelt så stor som den andra osv. Beräkna den minsta vinkelns storlek. Om A, B, C, D och E är punkter i ett plan som bildar sträckorna AB, BC, CD, DE och EA, så utgör dessa ett område ABCDE som kallas en polygon. I vårt fall har polygonen fem hörn och kallas därför en femhörning. Polygoner kan ha vilket antal hörn som helst större än eller lika med 3. Har polygonen tre hörn kallas den en triangel. Geometri - 19 En linje som skär två eller flera räta linjer kallas en transversal. Vi markerar vinklarna med de grekiska bokstäverna α, β, γ och δ. Vinklarna α 1 och α2 , β 1 och β 2 , γ 1 och γ 2 samt δ 1 och δ 2 är parvis likbelägna vinklar . α 1 och γ 1 , β 1 och δ 1 kallas som vi tidigare nämnt vertikalvinklar . Ge exempel på flera par av vinklar som är likbelägna vinklar respektive vertikalvinklar. G3.6 Bevisa att likbelägna vinklar till parallella linjer är lika stora. Använd dig av bl a postulat 5 för att genomföra en deduktiv argumentering. G3.7 Till en vinkel u och dess sidovinkel v dras bisektriserna b 1 och b 2 . (En bisektris delar en vinkel mitt itu.) Gör en tydlig deduktiv härledning av hur stor vinkeln är mellan bisektriserna. Geometri - 20 Teori ▪ Trianglar Låt oss se på Euklides bevis för att triangelns vinkelsumma är 180°. Vi skall informellt bevisa att α + β + γ = 180° Vi gör en konstruktion för beviset, en linje parallell med sidan AB som går genom vinkelspetsen C. u + γ + v = 180° (Satsen om sidovinklar) Eftersom u = α (alternatvinklar vid parallella linjer) och v = β Þ α + β + γ = u + γ + v = 180° V.S.B. G3.8 Bestäm vinkeln γ i triangeln ABC om triangelns övriga vinklar är 63,5° och 72,5°. G3.9 Bevisa informellt Yttervinkelsatsen: Yttervinkeln δ är lika med summan av de motstående inre vinklarna, α och γ. Geometri - 21 Definitioner I en likbent triangel är två sidor lika långa. Den tredje sidan kallas basen. I en liksidig triangel är alla sidor lika långa. G3.10 Bevisa att en fyrhörnings vinkelsumma är 360°. Om du ritar en diagonal till fyrhörningen så blir det enklare att bevisa satsen. G3.11 I en triangel är en vinkel 11° större än den minsta och en vinkel 31° större än den minsta. Hur stora är triangelns vinklar? G3.12 I en likbent triangel är en vinkel 30° mindre än en annan. Beräkna triangelns vinklar. Kan uppgiften ge fler än en lösning? G3.13 I en likbent triangel är var och en av de lika stora vinklarna fyra gånger så stor som den tredje. Beräkna triangelns vinklar. V3.14 I en triangel förhåller sig vinklarna till varandra som 3:4:5. Beräkna triangelns vinklar. V3.15 I en likbent triangel ABC är vinklarna vid A och B lika stora. Yttervinkeln vid C är 130°. Beräkna triangelns vinklar. V3.16 Vilka värden har yttervinklarna till en rätvinklig likbent triangel? V3.17 I en triangel med vinklarna 63°, 27° och 90° dras bisektrisen till den största vinkeln. Bisektrisen delar den större triangeln i två nya trianglar. Beräkna vinklarna i dessa trianglar. (Ledning: Bisektrisen till en vinkel är en linje som delar denna mitt itu.) Geometri - 22 V3.18 En trubbig triangel är en triangel, som har en trubbig vinkel (vinkel större än 90º). Visa att det inte kan finnas två trubbiga vinklar i en triangel. V3.19 Visa att summan av yttervinklarna till en triangel är 360° . V3.20 Det är omöjligt att med passare och linjal dela en given vinkel i tre lika stora vinklar. Apparaten nedan klarar i alla fall av detta. Sträckorna OB, AB och AC är lika långa. Punkterna O och B är fixerade men vridbara kring sina axlar på den horisontella stången OBC. Om man lyfter eller sänker punkten P på stången OAP, så förflyttar sig punkten A i en skåra på denna stång, samtidigt som punkten C rör sig i en skåra på stången OBC. Visa att vinkeln α är en tredjedel av vinkeln β. Varför duger inte detta som ett konstruktinsbevis för vinkelns tredelning? Geometri - 23 4 Rätvinkliga trianglar M atematiken i historien Allt är tal I staden Kroton i Syditalien levde på 500-talet f.Kr. Pythagoras. Pythagoras ledde en sekt av mystiker som sysslade med talteori och geometri, astronomi, religion och politik. Även kvinnor var välkomna i denna sekt. Den mest kända är Theano från Kroton som gifte sig med Pythagoras. Hon gav ut skrifter i matematik och naturfilosofi. Enligt dessa mystiker är människan delad i en odödlig själ och en kropp, som pythagoréerna liknar vid ett fängelse eller en grav. Människans själ kunde renas och befrias från kroppen genom matematiska studier. Teori ▪ Om a2 + b2 = c2 så är triangeln rätvinklig Redan under antiken kände man till en speciell sorts trianglar som vi nu kallar egyptiska trianglar. En triangel med sidorna 3, 4 och 5 längdenheter är en sådan. Man kände tidigt till att sådana trianglar var rätvinkliga och att summan av de två mindre sidornas kvadrater (i vårt fall 32 + 42 = 9 + 16 = 25) är lika med den längre sidans kvadrat 52 (=25). Snickaren, som vill skapa ett rum med räta vinklar, använder sig av detta samband. Han sätter kanske av tre meter längs den ena väggen och gör där en markering. Därefter markerar han fyra meter efter den andra väggen. Om nu sträckan mellan dessa markeringar är fem meter så är hörnet rätvinkligt. Geometri - 24 De sidor, som bildar den räta vinkeln, kallas kateter (a och b i figuren) (gr. cathetos, vinkelrät linje, ’lodlina’) och den tredje sidan, som står mittemot det räta vinkeln, kallas hypotenusa (gr. hypoteinousa, som sträcker sig under). Dessa visa personer kände alltså till: om a 2 + b2 = c2 så är triangeln rätvinklig. Detta användbara samband kallas Pythagoras sats. Modell ▪ Om a2 + b2 = c2 så är triangeln rätvinklig Exempel Är trianglarna med nedanstående sidor rätvinkliga? a) 5, 12 och 13 cm b) 9, 12 och 14 cm Lösning Vi beräknar summan av kvadraterna på de två kortaste sidorna i de två fallen: a) 52 +122 =25+144=169 b) 92 +122 =81+144=225 Kvadraten på den längsta sidan i de två fallen är: a) 132 =169 b) 142 =256 2 2 2 Alltså är a + b = c endast i det första fallet, och endast denna triangel är rätvinklig. G4.1 Du har byggt ett rektangulärt rum, där sidorna är 418, 240, 418 och 240 cm. Du mäter avståndet mellan två motstående hörn till 481 cm. Är du nöjd med vad du åstadkommit? Fundera på detta! Eftersom triangeln med sidorna 5, 12 och 13 cm är rätvinklig så kan du enkelt hitta oändligt många trianglar utifrån denna 5-12-13 triangel som är rätvinkliga, hur? Geometri - 25 Teori ▪ Om en triangel är rätvinklig så är a2 + b2 = c2 Triangeln är rätvinklig Þ a2 + b2 = c2 Låt oss rita en kvadrat med sidlängden (a + b). Vi ritar en fyrhörning inuti denna kvadrat med hörnen i de punkter som delar den större kvadratens sidor i sträckorna a respektive b. Rita själv en kvadrat enligt dessa instruktioner. Även denna fyrhörning blir en kvadrat med sidor som vi kallar c. Arean av den stora kvadraten kan vi skriva på två olika sätt: (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 ab 4⋅ + c2 = 2ab + c2 Varför? 2 Alltså är a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 som kan förenklas till a2 + b2 = c2. (Vilket aritmetiskt axiom på sidan 16 har vi använt?) Vi har alltså bevisat: Om en triangel är rätvinklig så är summan av kvadraterna på kateterna lika med kvadraten på hypotenusan. Detta är Pythagoras sats: Om en triangel är rätvinklig så a 2+b2 = c2 Vi har tidigare formulerat satsen:”Om a 2 + b2 = c2 så är triangeln rätvinklig.” Av detta följer att vi kan skriva den logiskt korrekta formuleringen: En triangel är rätvinklig om och endast om a 2 + b2 = c2. En triangel är rätvinklig Û a 2 + b2 = c2 Geometri - 26 Modell ▪ Om en triangel är rätvinklig så är a2 + b2 = c2 Exempel Beräkna diagonalen i rektangel vars sidor är 3,7 m och 5,2 m. Lösning Eftersom sidorna är vinkelräta mot varandra, så bildar två närliggande sidor och diagonalen en rätvinklig triangel. Vi antar att diagonalen har längden d m. Pythagoras sats ger d 2 =3,72 + 5,22. d ≈ ±6,4 Eftersom en sträcka är ett positivt tal förkastas den negativa roten. Alltså är d ≈ 6,4. Diagonalen är 6,4 m. G4.2 En snickare vill vara säker på att hörnet i ett rum blir rätvinkligt. Han mäter därför upp 1,5 m längs ena väggen och 2 m längs den andra och gör markeringar på dessa ställen. Hur långt skall det vara mellan dessa markeringar för att hörnet skall vara rätvinkligt? G4.3 I en rätvinklig triangel är ena kateten 7 cm längre än den andra. Hur långa är kateterna om hypotenusan är 13 cm? (Ledning: Båda kateternas längder är heltal.) G4.4 Skärmens diagonal på en bärbar dator är 12,1 tum där 1 tum = 2,54 cm. Skärmens upplösning är 800 × 600 pixlar. Detta innebär att skärmen rymmer 800 bildpunkter horisontellt och 600 vertikalt. Hur många pixlar finns på skärmen? Ange svaret i grundpotensform och med lämpligt prefix. Hur långa är skärmens sidor om en pixel är lika hög som bred? V4.5 Tore, som är konstnär, tänker fullända sitt senaste verk med en rätvinklig triangel som han ska göra av en järnstång med längden 120 cm. Hur långa blir triangelns sidor om kateterna skall förhålla sig som 5:12? Geometri - 27 V4.6 Bara ett av världens sju underverk hade en rent praktisk funktion, nämligen fyren på Faros i Alexandria. Denna fyr var på sin tid jordens högsta byggnad. Ljuset från elden på dess topp kunde enligt legenden synas många mil till havs, genom att det reflekterades i speglar. Det sades också att man kunde bränna fiendens skepp när de närmade sig kusten genom att solens strålar reflekterades i fyrens speglar. Enligt en besökare år 1166 var fyren byggd i tre steg. Det första steget var kvadratiskt med en höjd på 55,9 m med en cylindrisk kärna. Det andra steget var åttkantigt med sidlängden 18,30 m och höjden 27,45 m. Det tredje steget slutligen var cylindriskt med höjden 7,30 m. Fyrens totala höjd inklusive dess fundament var 117 m. Hur långt ut kunde man se fyrens sken om jordens radie är 638 mil? Geometri - 28 V4.7 Utför följande konstruktion. Rita en vertikal sträcka AB med längden 1 längdenhet. Dra en sträcka vinkelrätt mot den första sträckan i dess ändpunkt B. Sträckan skall vara en halv längdenhet. Fullborda en rätvinklig triangel. Rita en cirkelbåge med den kortare sträckan som radie och medelpunkten i det spetsiga triangelhörnet. Denna båge skär hypotenusan i en punkt Q. Dra en ny cirkelbåge med radien AQ och medelpunkt A. Den skär den horisontella kateten i punkten P. Visa att AP 1 5 . Vi har de BP 2 lat sträckan i det s k gyllene snittet. V4.8 En dag säger Julia till sin mamma medan de arbetar i sin vackra rektangulära trädgård. ”Det är 20 m kortare sträcka till trädgårdens motsatta hörn längs diagonalen än längs två av dess sidor.” En sida är 60 m lång. Hur lång är den andra sidan? Geometri - 29 5 Trigonometri M atematiken i historien Trigonometri handlar om sidor och vinklar i trianglar. Denna gren av matematiken utvecklades för att göra det möjligt att utföra beräkningar i astronomi och geografi. Idag är trigonometri ett viktigt hjälpmedel i många grenar av matematik och naturvetenskap. Enligt filosofen Aristoteles (300-talet f Kr) har universum en sfärisk form. Planeterna rör sig i olika sfärer och jorden ligger stilla i centrum. Den högsta är fixstjärnesfären. Gud är den kraft som håller igång universums rotation. Denna rörelse fortplantas nedåt till de andra sfärerna som innehåller de då kända planeterna. Den här formulerade synen på universum var tillsammans med Ptolemaios (100-talet e Kr) syn de vanligaste. Den typ av trigonometri som behövdes för att förstå de olika himlakropparnas och stjärnornas positioner på himlavalvet kallas sfärisk trigonometri och det var den som först utvecklades. I våra dagar börjar vi med att studera plan trigonometri. Trigonometriska tabeller skapades för mer än två tusen år sedan för att kunna göra astronomiska beräkningar. Ptolemaios använde trigonometriska tabeller i sitt verk Geografi. Det berättas också att Columbus hade med sig sådana tabeller på sin färd till den nya världen. Almagest är en stor handbok i astronomi och matematik som gavs ut år 140 av Ptolemaios i Alexandria. Verket är i 13 band. Geometri - 30 Teori ▪ Rätvinkliga trianglar Man utgår från rätvinkliga trianglar när man studerar trigonometri. Vi använder detta beteckningssystem: En rätvinklig triangel ABC har sina hörn i punkterna A, B och C. Sidorna a, b och c står mot hörnen A, B och C med vinklarna α, β och γ. Sidan c är den längsta och står mot den räta vinkeln vid C. Den sidan kallas hypotenusa. De två övriga sidorna a och b kallas kateter. Beräkningar i rätvinkliga trianglar Vid beräkningar i rätvinkliga trianglar har man nytta av vissa kvoter. De b a a är , och . Dessa tre kvoter är så vanliga i trigonometrin att det c b c a fått egna namn: kallas tangens för vinkeln α eller bara tangens α. Den b kvoten skrivs tanα . De övriga kvoternas namn står i tabellen nedan. tangens för vinkeln α sinus för vinkeln α cosinus för vinkeln α motstående kateten a = närliggande kateten b motstående kateten a sin α = = hypotenusan c närliggande kateten b cos α = = hypotenusan c tan α = Eftersom varje värde på α i de tre fallen ger precis ett värde på tanα, sinα och cosα beskriver de var för sig en funktion: y = tan α, y = sin α och y = cos α. Geometri - 31 Modell ▪ En sida och en vinkel är kända i en rätvinklig triangel Exempel med lösning Låt oss först se på ett fall där sidan a = 14 och vinkeln α = 41°. Enligt våra definitioner på sinus, cosinus och tangens är: 14 14 tan 41° = och sin 41° = b c 14 14 Dessa två ekvationer kan skrivas: b = och c = . Lär dig tan 41 sin 41 hur din räknare fungerar. Kanske gäller detta: 14 [ ÷][ tan] 41 [=]. Kontrollera att du får svaret b = 16,1 och c = 21, 3. G5.1 Beräkna de okända sidorna i följande rätvinkliga trianglar (beteckningar enligt figur på sidan 31). a) α = 37°, b = 23 cm b) α = 74°, c = 23 cm c) α = 13°, a = 23 cm. G5.2 Beräkna de obekanta sidorna i nedanstående rätvinkliga triangel. G5.3 Beräkna de lika långa sidorna i nedanstående likbenta triangel. Geometri - 32 Modell ▪ Två sidor är kända i en rätvinklig triangel Exempel med lösning Här känner vi två sidor och kan då beräkna den tredje sidan. Sidan a = 10 l.e. och sidan b = 24 l.e. Vi använder Pythagoras sats c2 = a2 + b2 och får 102 + 242 = 100 + 576 = =676 = 262. Alltså är c = 26. 10 10 24 Alltså är tan α = , sin α = och cos α = . 24 26 26 Den obekanta vinkeln α kan fås på tre olika sätt. Med knappen –1 [ARCTAN] eller [tan ] fås den vinkel vars tangensvärde är det som matas in. [ARCTAN] (10 [÷] 24) Kontrollera att du får svaret 22,6°. G5.4 a) b) c) Beräkna de obekanta vinklarna i rätvinkliga trianglar som har följande sidor. a = 15 cm och b = 23 cm a = 7 cm och c = 23 cm b = 11 cm och c = 23 cm G5.5 Beräkna de obekanta vinklarna i denna triangel. G5.6 Beräkna vinklarna i den likbenta triangeln. Geometri - 33 G5.7 I en triangel ABC är A = 30° och B = 45°, och höjden från C mot sidan AB är 3,22 cm lång. Beräkna längden av sträckan AB. G5.8 En 15 m hög steg är rest mot en byggnad. Stegens översta del befinner sig 11 m från marken. Beräkna stegens lutning mot väggen. V5.9 Från ett skepp syns en fyr under vinkeln 3,5°. Fyrens höjd är 70 m över havsytan. Hur långt är det till fyren? Pantheon i Rom Vårdagjämningen och höstdagjämningen är de två tillfällen på året då dag och natt är lika långa. Bilderna nedan av Pantheon nedan visar ett cirkulärt tempel byggt av kejsar Hadrianus 120 e Kr. Ovanpå det cirkulära cylindern reser sig en halvklotformig övre del med radien 21,65 m, och med samma mått som höjden på den cirkulära cylindern. Längst upp på Pantheon finns ett cirkulärt hål, okularet, som släpper in solljuset. Vid vintersolståndet bildar de ljusstrålar som passerar toppen av Pantheon 65 graders vinkel med lodlinjen. Vid sommarsolståndet är denna vinkel 19° och vid vår- och höstdagjämning 48°. V5.10 Når solstrålarna som passerar okularet i Pantheon i Rom byggnadens golv vid någon tidpunkt på året? Geometri - 34 6 Klassisk geometri Teori ▪ Kongruens Om vi använder oss av begreppen translation (förskjutning), rotation och spegling kan vi påstå • Om två polygoner kan fås att täcka varandra fullständigt genom dessa förflyttningar så sägs polygonerna vara kongruenta. Antag att vi har två trianglar ΔABC och ΔKLM sådana att (1) |AB = |KL| (2) |BC| = |LM| (3) |AC| = |KM| (5) ^ BCA = ^ LMK (4) ^ ABC = ^ KLM (6) ^ CAB = ^ MKL [I detta sammanhang utläses symbolerna ^ och Δ: vinkeln och triangeln] Vi kan genom förflyttning få ΔKLM att fullständigt sammanfalla med ΔABC. Detta innebär att trianglarna är kongruenta. De ovan nämnda sex likheterna är inte oberoende av varandra. Vi kan inse att redan om |AB = |KL|, |AC| = |KM| och ^ CAB = ^ MKL så är trianglarna kongruenta. Detta fall kallade Euklides för första kongruensfallet. Hilbert använde sig av formuleringen som ett axiom i sin geometri. Geometri - 35 Första kongruensfallet gäller alltså för följande ordning på sidor och vinklar: SVS. Ger VVV (de tre vinklarna är lika stora), SSS (de tre sidorna är lika stora) eller VSV kongruenta trianglar? G6.1 Ge exempel på några bokstäver som kan roteras eller speglas och som då förblir samma bokstav. G6.2 Hur många längdenheter måste ett bord translateras för att högra främre benet skall få de nya koordinaterna (1, 2) utifrån (9, -1)? G6.3 Konstruera en triangel med passare och linjal om du känner till två sträckor och en vinkel dvs du får använda dig av figurerna nedan. G6.4 Vad är en bisektris till en vinkel? Konstruera bisektriserna till vinklarna i en triangel med hjälp av en passare och linjal. Vilka hypoteser kan du dra av resultatet? Hoppas att bilden nedan ger lite ledning till att konstruera en bisektris! Försök att bevisa att konstruktionen ger en bisektris. Geometri - 36 Teori ▪ Skala Linköpings domkyrka nedan är en bild av den verkliga domkyrkan. Domkyrkans höjd på bilden är 10,7 cm. Den verkliga domkyrkan är 107 m (=10700 cm) hög. Detta betyder att den verkliga kyrkan är 10700 cm 10,7cm = 1000 gånger större. Man säger att bilden är ritad i skalan1:1000. Detta betyder att en sträcka i bilden motsvaras av en 1000 gånger längre sträcka i det verkliga föremålet. Bilden är en förminskning av det verkliga föremålet. Geometri - 37 En bild av en fästing måste förstoras för att alla detaljer ska framgå tydligt. Om bilden är sådan att alla längder på den är 30 gånger större än motsvarande längder i verkligheten säger man att skalan är 30:1 B mellan sträckor i bilden V 1 (=B ) och motsvarande sträckor i verkligheten ( =V ) är . Alltså är 1000 bilden en förminskning. På motsvarande sätt betyder skrivsättet 30:1 B 30 att förhållandet . Den bilden är en förstoring. V 1 Skrivsättet 1:1000 betyder att förhållandet G6.5 Vad är störst, bilden eller det avbildade föremålet om skalan är a)1:6 b)1:10 000 c) 5:1 d) 4:5? G6.6 Eva och Johan skall flytta in i en lägenhet. De vill provmöblera genom att på en ritning av lägenheten i skalan 1:40 placera skalenliga bilder av sina möbler. Vilka mått har bilden av matbordet? Det verkliga bordet är en rektangel med längden 190 cm och bredden 90 cm. Vilken radie skall bilden av ett runt bord ha som i verkligheten har en radie på 70 cm? De upptäcker att det bara får plats en säng på ritningen av sovrummet. Den är 5 cm lång och 4 cm bred. Hur stor får den riktiga sängen då vara? a) b) c) Geometri - 38 G6.7 Kartan nedan visar Odysseus irrfärder. Hur lång färdades Odysseus från Troja till sin hemö Ithaka? Kartan är gjord i skalan 1:15 000 000. G6.8 Hur högt är det gotiska fönstret från Linköpings domkyrka i verkligheten (bild s.37) G6.9 Vid en orienteringstävling var avstånden mellan kontrollerna på en karta i skalan 1:15000, 7,0 cm, 3,1 cm, 3,7 cm, 4,0 cm, 3,0 cm, 2,2 cm, 3,2 cm och 3,0 cm. Hur lång var orienteringsrundan? Geometri - 39 Teori ▪ Likformighet Polygonen B 1 ovan har vi fått genom att polygonen V1 förstorats i skalan 3:1. Detta innebär att alla de fem sidorna i polygonen B 1 har blivit 3 gånger längre. Trots förstoringen har de fem vinklarna A, B, C, D och E i polygonen inte ändrat storlek. Man säger att de två polygonerna är likformiga. Triangeln B 2 är likformig med triangeln V2 och cirkeln B 3 är likformig med cirkeln V3 ty de har ”samma form”. Man talar om motsvarande sidor i likformiga trianglar. Man ser ganska enkelt vad som är motsvarande sidor. Motsvarande sidor står mittemot lika stora vinklar. Triangeln B har vinklarna A, B och C liksom triangeln V. Alltså är t ex sidorna b 2 och v 2 motsvarande sidor. Sidorna i triangeln B är 9 cm, 6 cm respektive 4,5 cm och motsvarande sidor i triangeln V 2 är 3 cm, 2 cm och 1,5 cm. Kvoterna av motsvarande sidors längder blir 9cm/3cm, 6cm/2cm och 4,5cm/1,5cm vilket i alla tre fallen blir 3. Följande påståenden är användbara vid likformighetsberäkningar: a) Förhållandet mellan motsvarande sidor i två likformiga figurer är alltid lika. b) Två trianglar är likformiga om och endast om de har lika stora vinklar. Geometri - 40 Modell ▪ Likformighetsberäkningar Triangeln Bilden är likformig med triangeln Verkligheten. Sidorna i triangeln B är 3 cm, 4 cm och 5 cm. Motsvarande sida till 3 cm - sidan i triangeln B är 9 cm - sidan i triangeln V. Bestäm V:s övriga sidor. Figur B Figur V 3 9 x 4 y 5 Lösning Trianglarna är likformiga. Þ Kvoterna 3 4 och har 9 x 3 4 = Þ 3x = 36 Þ x =12 9 x Vi kan också utnyttja det faktum att förhållandet mellan två sidor i den ena figuren och förhållandet mellan motsvarande sidor i den andra 5 y Þ 3y = 45 Þ y =15. figuren är lika. Vi får = 3 9 samma värde. Þ G6.10 Vilka av följande påståenden är sanna? (a) Om figuren F är likformig med figuren G och G är likformig med figuren H så är även F likformig med H. (b) Om vinklarna är lika stora i två femhörningar så är dessa likformiga. (c) Två cirkelsektorer är alltid likformiga. (d) Cirklar är alltid likformiga. (e) Rätvinkliga trianglar är likformiga. (f) Liksidiga trianglar är likformiga. (g) Rektanglar är alltid likformiga. (h) Likbenta trianglar är likformiga. Geometri - 41 G6.11 Fatima har hittat på en fiffig metod att beräkna en flaggstångs höjd. Hon mäter hur lång flaggstångens skugga är samtidigt som hon mäter hur lång skuggan av en lodrät, rak pinne är. Pinnen är 1 m lång. Hur hög är flaggstången om flaggstångens skugga är 10,5 m och pinnens skugga är 0,95 m? V6.12 Beräkna de obekanta sidorna i de två trianglarna. V6.13 En remsa med konstant bredd viks. Överlappningen är en triangel ABC. Vilka egenskaper har denna triangel? Kan du bevisa det du kommit fram till? V6.14 Två cirklar har radierna 3 cm respektive 12 cm. Beräkna med huvudräkning förhållandet mellan cirklarnas omkretsar. V6.15 Om man klipper ett A4-papper mitt itu, så får man två A5papper. Är dessa två ark likformiga med det ursprungliga A4pappret? Ett A4-ark är 210 mm × 297 mm. V6.16 I en rätvinklig triangel ABC har ritats mittpunktsnormalen till hypotenusan BC. Denna linje skär den rätvinkliga triangeln i punkterna D och E. Hur lång är sträckan DE, om den minsta kateten är 6,54 cm och hypotenusan är 12,76 cm? V6.17 Man vill rita rektanglar med arean A cm2, där det naturliga talet A kan delas upp i exakt 5 primfaktorer, inklusive faktorn 1. Hur många rektanglar kan man rita, om sidorna är hela centimeter? V6.18 Bisektrisen till vinkeln A i triangeln ABC träffar motstående sida i punkten D. Visa bisektrissatsen, dvs att AB BD . = AC CD V6.19 En median delar en triangel i två deltrianglar. Hur förhåller sig deltrianglarnas areor till varandra? Geometri - 42 Teori ▪ Periferi- och medelpunktsvinkel Figurerna nedan visar randvinklar, α, och medelpunktsvinklar, γ, uppritade på samma cirkelbåge b. Medelpunktsvinkeln är alltid dubbelt så stor som periferivinkeln vilket man upptäcker när man mäter randvinkeln och medelpunktsvinkeln i samma figur. (Prova gärna detta i något dynamiskt geometriskt program, t ex gratisprogrammet GeoGebra .) Sats Medelpunktsvinkeln på en cirkelbåge är dubbelt så stor som randvinkeln på samma båge. Bevis för fall 1 Låt oss först se på specialfallet att både periferi- och medelpunktsvinkeln har ett vinkelben liggande på samma diameter. Vinklarna α och β är lika stora, eftersom de står mot lika långa sidor. Alltså är γ = α + β men α = β. Då måste γ = 2α. Bevis för fall 2 Om inte både rand- och medelpunktsvinkeln har ett vinkelben liggande på samma diameter, så drar vi en diameter som hjälplinje. Þ γ 1 = α1 + β 1 och γ 2 = α2 + β 2 . α1 och β 1 står mot lika långa sidor och är därmed lika långa. Samma gäller för α2 och β 2 Þ γ 1 = 2α1 och γ 2 = 2α 2 Þ γ 1 + γ 2 = 2(α 1 + α 2 ). Þ γ 1 + γ 2 = 2α 1 + 2α 2 Þ medelpunktsvinkel periferivinkel V.S.B. Fall 3 Försök gärna själv att visa den sista varianten av satsen. Varför är periferivinklar på samma båge lika stora? Geometri - 43 G6.20 Bestäm de obekanta vinklarna x och y. Fundera på detta! En regelbunden femhörning ABCDE är inskriven i en cirkel. Beräkna vinklarna i triangeln ABD. Geometri - 44 Teori ▪ Topptriangelsatsen och transversalsatsen Topptriangelsatsen En parallelltransversal i en triangel bildar en topptriangel i triangeln. Topptriangeln är likformig med hela triangeln. Bevis Sträckan ED är parallell med AC Þ Vinklarna α = ε och γ = δ ty dessa är likbelägna vinklar Þ ΔEBD har lika stora vinklar som ΔABC Þ Trianglarna är likformiga. Transversalsatsen En parallelltransversal delar två sidor i samma förhållande Bevis Eftersom triangeln EBD är likformig med ABC gäller b d b d = −= 1 −1 ……..(1) Û a +b c + d a +b c +d b a +b d c +d − = − Û a +b a +b c + d c + d b − ( a + b ) d − (c + d ) = Û a +b c +d b − ( a + b ) d − (c + d ) = Û a +b c +d −a −c = Û ……..(2) a +b c + d Om vi nu dividerar ekvation (1) med (2), får vi b d a b a c = . V.S.B = Û Û Û a c c d b d Geometri - 45 Modell ▪ Topptriangelsatsen och transversalsatsen Exempel Beräkna sidorna med längderna DE cm och BE cm där sidan med längden DE är en parallelltransversal. I figuren ovan är a=3,09; b=4,6 och AC= 9,89 4,6 DE Lösning Enligt topptriangelsatsen är som har = 4,6 + 3,09 9,89 9,89 ⋅ 4,6 lösningen = DE = 5,92 . Enligt parallelltransversalsatsen är 4,6 + 3,09 4,6 BE 3,38 ⋅ 4,6 som medför = = BE = 5,05 3,09 3,38 3,09 De sökta sidorna har längderna 5,05 cm respektive 5,92 cm G6.21 Beräkna längderna av de sträckor som betecknats x och y. V6.22 Beräkna de obekanta längderna x och y i figuren bredvid. Geometri - 46 V6.23 Visa att ΔADE är likformig med ΔCBE. Använd likformigheten för att bevisa att a∙b = c∙d. Denna sats kallas kordasatsen. V6.24 Ett rep fästs i vattenbrynet i Vätterns sydspets och dras till nordspetsen där det fästs på lika sätt och spänns så hårt att det blir absolut rätlinjigt. På grund av jordytans krökning kommer repet att gå under vattenytan. Hur djupt nere i sjön ligger repet på det djupaste stället? Vätterns största längd är 135 km. Jorddiametern är 12700 km. Bortse från att Visingsö ligger i vägen för repet. Geometri - 47 Modell ▪ Konstruktioner - Skärningspunkter mellan en triangels medianer, bisektriser, mittpunktsnormaler och höjder. In- och omskrivna cirklar. (endast kurs 2c) Tre räta linjer går inte genom en gemensam punkt i allmänhet, men det kan inträffa. (I modulen Vektorer visar vi t ex att en triangels medianer skär varandra i en gemensam punkt, likaså för höjderna.) Visa med t ex GeoGebra eller något annat digitalt hjälpmedel att detta gäller för medianer, höjder, bisektriser och mittpunktsnormaler. Ledning: Konstruktion av en mittpunktsnormal. Vilken av de fyra skärningspunkterna (dvs för medianer, höjder, mittpunktsnormaler och bisektriser) ger en inskriven cirkel respektive en omskriven? Geometri - 48 Sats: Om och endast om m är mittpunktsnormal till en korda så går denna normal genom cirkelns medelpunkt. Bevis Linjen m är mittpunktsnormal till sträckan CD. Û Alla punkter på m ligger lika långt från punkterna C och D. Û Cirkelns medelpunkt ligger på m. V.S.B G6.25 Rita en cirkel som går genom tre godtyckliga punkter i planet. Du kan utnyttja figuren ovan (eller använda ett dynamiskt program). G6.26 Figuren visar hur du konstruerar en tangent EB till en cirkel, c. Konstruktionen bygger på att vinkeln mellan tangenten och radien, AE, till tangeringspunkten E är 90º. Beskriv hur konstruktionen utförts. Hur många tangenter kan man dra från punkten B till cirkeln c? Geometri - 49 V6.27 Det finns ett stort antal geometriska satser tillhörande den klassiska geometrin. Det kan vara intressant att studera dessa i ett dynamiskt program. Geometri-50 Cevians hypotes Geometri-50 Morleys sats Geometri-50 Napoleons sats )XQGHUDSnGHWWD )RUPXOHUDHQK\SRWHVI|UWYnVNlUDQGH FLUNODURFKWYnWUDQVYHUVDOHU Geometri-50 Vinkeln mellan en tangent och en från tangeringspunkten dragen korda Geometri - 50 Teori ▪ Area- och volymskala Areaskalan är kvadraten på längdskalan. Bevis Antag att vi har två likformiga figurer, t ex två trianglar, T 1 och T 2 . Av detta följer, att längderna av trianglarnas baser respektive höjder står i samma förhållande till varandra. Låt detta förhållande vara 1: S. Vi säger att längdskalan är 1: S. Detta innebär att om basen i triangeln T 1 är b längdenheter och höjden h längdenheter, så har basen i triangeln T 2 längden b⋅S längdenheter och höjden har längden h⋅S längdenheter. bh b⋅S ⋅h⋅S bh 2 Arean av triangeln T 1 = och av triangeln T 2 = = S . 2 2 2 Alltså är areaskalan lika med kvadraten på längdskalan för triangeln. Detta gäller inte bara för trianglar utan för alla likformiga plana figurer. Volymskalan är kuben på längdskalan. Bevis Antag att vi har två likformiga kroppar, t ex två rätblock, R1 och R2 . Vi antar att båda dessa kroppars sidor förhåller sig till varandra i skalan 1: S. Detta innebär att om längden av sidorna i rätblocket R1 är b, d och h längdenheter så har sidorna i rätblocket R2 längderna b⋅S, d⋅S och h⋅S längdenheter. Detta innebär att volymen av R1 = b⋅d⋅h och volymen av R2 = b⋅S⋅d⋅S⋅h⋅S = b⋅d⋅h⋅S 3. Alltså är volymskalan lika med kuben på längdskalan för rätblocket. Detta gäller för alla likformiga tredimensionella figurer. Geometri - 51 Modell ▪ Area- och volymskalan Exempel Det lilla prismat är en likformig bild av det stora i längdskalan 1:5. Hur stor är arean i det mindre prismat som motsvarar arean 59,44 cm2 i det större prismat? Hur lång är sidan som motsvarar 9,51 cm i det mindre prismat? Lösning Låt A vara arean av det lilla prismat. Eftersom areaskalan är A 1 kvadraten på längdskalan får vi ekvationen 2 = 59,44 5 59,44 A = 2 vilket medför A = 2,38. 5 Antag att sidan i det mindre prismat är d. d 1 Likformighetsreglerna ger = vilket medför d = 1,90. 9 ,51 5 Det mindre prismats area är 2,38 cm2. Det mindre prismats sida är 1,90 cm V6.30 En liksidig triangel T 1 är likformig med triangeln T 2 . T 1 :s sidor är dubbelt så långa som T 2 :s. Hur många trianglar T 2 ryms i T1? V6.31 En polygons area är 13,41 dm2 och dess förminskning 7,54 dm2. En sida i den mindre polygonen är 2,24 dm. Hur lång är motsvarande sida i den större? Geometri - 52 V6.32 Två koner är likformiga. Den enas radie är 3 gånger större än den andras radie. Hur många gånger större är den större konens volym än den mindres? V6.33 Två pyramider med kvadratiska baser är likformiga. Pyramid B har basarean 4 dm2 och volymen 12 dm3. Vilken volym har pyramid V om dess basarea är 9 dm2? V6.34 Beräkna vinklarna x och y. G6.35 De två prismorna har två sidor som förhåller sig till varandra som 10:8. Vilket är förhållandet mellan deras bottenareor och deras volymer? Geometri - 53 Facit 1.1 (a), (b), (d), (e), (f), (k) 3.1 Den spetsiga vinkeln är 85° 3.3a) 90° b) 180° c) 45° 3.2 a) 120° b) 60° 3.4a) 90° b) 180° c) 45° d) 22,5° 3.5 Antag att den minsta vinkeln är x°. x + 2x + 4x + 8x + 16x = 360 Û 31x = 360 Den minsta vinkeln är 11,6°. 3.6 Vid parallella linjer är vinklarna α + β = 180º. (Se figur på s.15). Kalla den till α likbelägna vinkeln för α 1 . Detta innebär att α 1 + β = 180º. Alltså är α = α 1 enligt axiom 1 och 3 3.7 Eftersom bisektriser delar vinklar mitt itu blir vinklarna vid bisektris b 1 u/2 och vid bisektris b 2 v/2. Alltså blir vinkeln mellan bisektriserna u/2 + v/2 = (u + v)/2 3.8 44 º 3.11 Antag att den minsta vinkeln är x°. Þ (x + 11) + (31 + x) + x =180 Û Û 3x + 42 = 180 Û 3x = 138 Û x = 46 De tre vinklarna är 57°, 77° och 46°. 3.12 Det finns två alternativ: Alternativ 1: Två vinklar är (x° - 30°) och den tredje är x°. 2(x – 30) + x = 180 Þ 2x – 60 + x = 180 Þ 3x = 240 Þ x = 80 Vinklarna är 50°, 50° och 80°. Alternativ 2 En vinkel är (x° - 30°) och de två övriga är x°. x – 30 + 2x = 180 Þ 3x = 210 Þ x = 70 Vinklarna är 40°, 70° och 70°. 3.13 Antag att de två lika stora vinklarna är x°. vilket ger x + 4x + 4x = 180 vilket ger 9x = 180 Alltså x = 20 De tre vinklarna är 20°, 80° och 80°. 3.14 Antag att vinklarna är 3x°, 4x° och 5x° Þ 12x = 180 Þ x = 15 Vinklarna är 45°, 60° och 75°. 3.15 Antag att vinklarna A och B är x°. Yttervinkelsatsen ger 2x = 130 Alltså är vinklarna i triangeln 65°, 65° och 50°. 3.16 Eftersom vinklarna är 90°, 45° och 45° blir yttervinklarna 135°, 135° och 90°. 3.17 Antag att vinklarna inne i figuren längs hypotenusan är x° och y°. Alltså är 63 + x + 45 = 180 x = 72 Alltså är vinkeln y = 180° – 72° = 108°. 3.18 Om två vinklar i triangeln, α och β, är trubbiga, så är α > 90° och β > 90°. Alltså är α + β > 180° vilket är omöjligt, eftersom alla tre vinklarna är 180°. Geometri - 54 3.19 Om triangelns vinklar är α, β och γ så är yttervinklarna (α + β), (α + γ) och (β + γ). Sålunda är summan av yttervinklarna (α + β) + (α + γ) + (β + γ) = 2(α + β + γ)= = 360°. 3.20 I triangel finns det två vinklar som är α, eftersom de står mot lika stora sidor. Alltså är yttervinkeln till dessa två 2α. Även vinkeln vid C är 2α. Varför? Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180°, så är den resterande vinkeln i ∆ABC (180 - 4α). Eftersom vinklarna efter en rät linje är 180° får vi: α + (180 - 4α) + β = 180 Þ Þ 3α + β = 0 Þ β = 3α V.S.B. 4.1 Eftersom 2402 + 4182 = 482 kan jag vara nöjd om syftet var ett rektangulärt rum. Hypotenusan blev bara 1 cm för lång eller 2 promille. 4.2 Avståndet mellan markeringarna är hypotenusan. Alltså är denna sträcka 1, 52 + 22 = 2, 5 . Avståndet mellan markeringarna skall vara 2,5 m. 4.3 I en rätvinklig triangel är ena kateten 7 cm längre än den andra. Hur långa är kateterna om hypotenusan är 13 cm? Antag att kateterna är x cm och (x+7) cm. Pythagoras sats ger x2 + (x + 7)2 = 132 vilket ger x2 + x2 +14x + 49 = 169 2x2 + 14x – 120 = 0 vilket ger x2 + 7x – 60 = 0 Prövning med heltal ger x = 5. Kateterna är 5 och 12 cm långa. 4.4 Antalet pixels är 800x600 = 480000 = 4,8⋅105 st. Skärmens horisontella sida förhåller sig till den vertikala som 800:600 eller förenklat 4:3. Antag att skärmens sidor är 4x och 3x. Pythagoras sats ger (4x)2 + (3x) 2 = (12,1⋅2,54) 2 Þ 16x2 + 9x 2 = 944,6 Þ x = 6,147 Skärmens sidor är 24,6 (= 4⋅6,147) och 18,4 (=3⋅6,147) cm långa. 4.5 Antag att kateternas längder är 5x och 12x cm. Alltså hypotenusan 120 – 5x –12x (= 120 – 17x). Pythagoras sats ger (5x)2 + (12x)2 = (120 – 17x)2 Þ Þ 25x2 + 144x2 = 14400 – 4080x +289x2 120x2 – 4080x + 14400 = 0 Þ x2 – 34x + 120 = 0 Prövning med heltal ger x = 4 Tores rektangel skall ha måtten 20 cm, 48 cm och 52 cm. Geometri - 55 4.6 Pythagoras sats ger (R + 117) 2 = L2 + R2 Þ R2 + 234R + 1172 = L2 + R2 Eftersom termen 1172 är liten i jämförelse med övriga termer får vi: 234 ⋅ 638 ⋅10000 = 39 000 m = 39 km 1 V4.7 Den övre delen av hypotenusan har längden l.e. Hela hypotenusan fås med 2 234∙R = L2 L= Pythagoras sats. Den blir 1 2 5 1 + l .e . = l .e . och sträckan 2 2 5 1 5 −1 − l .e . = l .e . Den sökta kvoten blir då AP = AQ = 2 2 2 ( ( )( )( ) ) 5 −1 ⋅ 3 + 5 1 5 −1 2 + 2 5 1+ 5 = = = = , V.S.B. 5 −1 3 − 5 4 2 3− 5 ⋅ 3+ 5 1− 2 Förlängningen med nämnarens konjugatuttryck ( 3 + 5 ) medför att nämnaren blir ett 5 −1 ⋅ 2 rationellt tal (enligt konjugatregeln). Punkten P säges dela sträckan AB i gyllene snittet. V4.8 Antag att trädgårdens andra sida är x m. Alltså är diagonalen 60 + x – 20 = 40 + x Pythagoras sats ger 602 + x 2 = (40 + x )2 vilket medför 602 + x 2 = 1600 + 80 x + x 2 80x = 2000 Alltså x = 25 Trädgårdens andra sida är 25 m 5.1a) c = 23/cos 37° = 25 och a = 23⋅tan 37° = 17 b) a = 23⋅sin 74° = 22 och b = 23⋅cos 74° = 6,3 c) c = 23/sin 13° = 102 och b = 23/tan 13° = 100 5.2 Vinkeln x = 22,5°. Alltså är cos 22,5° = 8/hypotenusan, vilket medför att hypotenusan = 8,66 cm. 5.3 Halva likbenta triangeln är en rätvinklig triangel med en vinkel på 15,9° och närliggande katet 7 cm. Alltså är de lika långa sidorna hypotenusor. Alltså cos 15,9° = =7/hypotenusan, vilket medför att de lika långa sidorna är 7,3 cm vardera . 5.4a) tan α = 15/23 vilket medför α = 33°. Alltså är β = 57°. b) sin α = 7/23 vilket medför α = 18°. Alltså är β = 72°. c) cos α = 11/23 vilket medför α = 61°. Alltså är β = 29°. 5.5 tan α = 1/3 vilket medför α = 18°. Alltså är β = 72°. 5.6 cos α = 8/8,25 Þ α = 14,1°. Triangelns övriga vinklar 14,1° och 151,8°. Geometri - 56 5.7 3,22 3,22 = tan 30° vilket medför x = 5,8 vidare är = tan 45° vilket medför y = 3,2 y x Alltså är sträckan AB = 9,0 cm. 5.8 cosα = 11/15 ger α=43º 70 5.9 Antag att det är x m till fyren.= tan 3,5° vilket medför att x = 1100 m x Skeppet befinner sig 1,1 km från fyren. 5.10 Om strålarna inte kommer till golvet vid sommarsolståndet så sker det aldrig. 21,65 Antag att strålarna når x m ner vid sommarsolståndet. tan19° = Þ x = 63 x Enligt beräkningarna når strålarna golvet eftersom det inre rummets höjd är 43 m. G6.1 Rotation: O Spegling: I, H, M, T, U, V, X, Y, Å, Ä och Ö G6.2 Enligt Pythagoras sats translateras bordet (82 + 32)0,5 = 8,5 l.e. G6.4 Hypotes1 : Bisektriserna skär varandra i en punkt Hypotes2 : Bisektrisernas skärningspunkt är medelpunkt för den inskrivna cirkel Bevis Hjälplinjer ger kongruenta trianglar ……. G6.5a) Verkligheten b) Verkligheten G6.6a) 4,75 cm x 2,25 cm c) Bilden b) 1,75 cm d) Verkligheten c) 200 cm x 160 cm G6.7 Kartan ger en resa på »390 mm. Detta innebär en resa på 590 mil G6.8 c:a 12 m G6.9 7,0 cm + 2,1 cm + 2,7 cm + 3,0 cm + 3,0 cm + 1,2 cm + 2,2 cm + 2,0 cm = 23,2 cm Alltså är orienteringsrundan 23,2⋅15000 cm = 3,48 km G6.10 Påståenden (a), (d) och (f) är sanna. G6.11 Antag att flaggstången är x m hög. Likformighet ger ekvationen: x 10,5 = som 1 0,95 ger x = 11 Flaggstångens höjd är 11 m. V6.12 Antag att sträckan 43 m delas i x m och (43 – x) m. Likformighet ger x 43 − x = . Utan nämnare får vi ekvationen 8,7x = 5,2(43 – x) 5,2 8,7 som förenklas till 8,7x = 223,6 – 5,2x. Alltså 13,9x = 223,6 med lösningen x = 16,1 Geometri - 57 Antag nu att hypotenusorna är y respektive z l.e. Pythagoras sats ger ekvationerna: y2 = 5,22 + 16,12 z2 = 8,72 + (43-16,1)2 Lösningarna är y = 17 och z = 28 De båda trianglarnas obekanta sidor är 16 och 17 respektive 27 och 28 l.e. V6.13 Triangeln är likbent eftersom vinklarna vid B och C är likbelägna innan remsan viks. V6.14 1:4 V6.15 Sidorna till ett A5-papper är alltså 210 och 297/2 mm. Alltså blir förhållandet mellan sidorna för A5 210 / (297/2) = 1,414. Förhållandet mellan sidorna för A4 är 297/210 = 1,414. Ett A5-ark är likformigt med ett A4-ark. V6.16 Kateten BC är 10,96 cm enligt Pythagoras sats. Sträckan DC = 12,76/2 = 6,38 cm Antag att sträckan DE är x cm. Eftersom triangeln CDE är likformig med CBA får vi x 6,54 = som ger x = 3,81. Sträckan DE är 3,81 cm lång. 6,38 10,96 V6.17 A = 1abcd.Man kan rita trianglar med sidorna: (1, abcd), (a, bcd), (b, acd), (c, abd), (d, abc), (ab, cd), (ac, bd), (ad, bc) och (bc, ad) dvs 9 stycken. V6.18 Dra en linje genom C parallell med AB. Denna linje skär bisektrisen till vinkeln A i punkten E. Trianglarna BDA och CDE är likvinkliga och alltså likformiga. Triangeln CAE är likbent, alltså är CA = CE. Likformigheten ger att AB BD = . AC CD V6.19 Antag att medianen träffar sidan a. Höjden (= h) mot denna sida träffar vinkelspetsen A. De båda deltrianglarna har samma bas a /2 och höjd h. Alltså förhåller sig deras areor till varandra som 1:1. G6.20a) x = 50° b) x = 25,5° c) x = 106° d) x = y = 90° e) x = y = 32° f) y = 54,5° och x = 62° g) x= 75,5° och y = 104,5° h) x = 135° i) x = 49° & y = 26° G6.21a) Topptriangelsatsen ger x 3,62 = som ger x = 3,80. 5,95 (3,62 + 2,05) Geometri - 58 b) Topptriangelsatsen ger x 3, 42 = som ger ( x + 2, 41) 5,14 5,14x = 3,42x + 8,2422 Û 1,72x = 8,2422 Û x = 4,79 (l.e.) Transversalsatsen ger y 4,79 = som ger y = 5,53 (l.e.) . 2, 41 2,78 V6.22 x 3,78 = som ger x = 3,16. 2,35 2,81 y 3,04 = Enligt transversalsatsen är som ger y = 2,54. 2,35 + 3,16 3,78 + 2,81 Enligt transversalsatsen är V6.23 Triangeln EDA är likformig med EBC eftersom randvinklarna EDA och EBC samt EAD och ECB är lika. a d Alltså gäller = som medför ab = cd. V.S.B. c b V6.24 Använd kordasatsen som säger att om två kordor skär varandra i en cirkel är produkten av den ena kordans delar lika med produkten av den andra kordans delar. Den ena kordans delar är båda 135/2 km och den andra kordans delar är x km och (12700 − x) km. Ekvationen blir, men eftersom x är mycket mindre än 12700 kan det 2 2 135 135 x (12700 − x ) eller försummas, det vill säga = = x ⋅12700 . 2 2 Ekvationen har lösningen x = 0,359. Repet ligger alltså på 359 m djup. V6.30 4 st V6.31 Areaskalan = 13, 41 = 1,78 . Detta innebär att längdskalan är 1,78 . 7,54 Alltså är motsvarande sida i den större polygonen 2,24 1, 78 = 3,0 dm. V6.32 33 = 27 V6.33 Eftersom basareorna förhåller sig som 4:9 så måste motsvarande sträckor förhålla sig som 2:3. Detta medför att volymerna förhåller sig som 23:33, dvs 8:27. 27 ⋅12 Detta innebär att den större pyramidens volym är dm3 = 40,5 dm3 8 V6.34 Medelpunktsvinkeln till 65 gradersvinkeln är 2⋅65° = 130°. Alltså är 360° 130° (= 230°) medelpunktsvinkel till x. Detta medför att x = 115°. Alltså är 115° +93° + 65° + y = 360° vilket medför y = 87° V6.35 Bottenareorna förhåller sig till varandra som 100:64 och volymerna 1000:512 Geometri - 59 Geometri - 60