Lösning och rättningsmall för tentamen L6MA10, delkurs 2, 2017-04-25
Maxpoäng på tentamen är 30 poäng. För godkänt krävs 20 poäng och för betyg VG 25 poäng.
1. Beskriv bilden nedan så att en kurskamrat kan rita (inte konstruera) en liknande figur
utan att se den.
(10p)
Lösningsförslag: Rita först en cirkel. Rita en regelbunden sexhörning inskriven i cirkeln.
Rita en till regelbunden sexhörning inskriven i cirkeln, som i förhållande till den första sexhörningen är roterad 30◦ . De två sexhörningarna begränsar då tillsammans en regelbunden
tolvhörning. Rita en liksidig triangel vars hörn också är hörn i tolvhörningen. Den kommer
att ha sitt centrum i cirkelns centrum. Rita tre sträckor som går genom cirkelns centrum.
Varje sträcka skall vara parallell med en av triangelns sidor, och börja och sluta på de två
andra sidorna. Observera att varje sträckas förlängning (som inte ritas) går genom två hörn
på tolvhörningen. De tre sträckorna delar in triangeln i tre små trianglar och tre romber.
Rita ut den korta diagonalen i var och en av romberna. Nu har den ursprungliga triangeln
delats upp i nio små liksidiga trianglar och bilden är klar. (Det finns även en skuggning
i bilden men eftersom den syns dåligt på de uppkopierade tentorna har jag bortsett från
den.)
Rättning: Jag har delat upp poängen så att den yttre delen av bilden (cirkeln och sexhörningarna) är värd 4p och den inre delen (triangeln med små trianglar inuti) också 4p.
Man får dessutom 2p om det finns en rimlig lösningsstrategi för att rita hela bilden.
2. Konstruera (enbart med hjälp av passare och ograderad linjal) en triangel med vinklarna
45◦ , 60◦ och 75◦ . Rita på vitt papper. Beskriv hur du utför varje steg i konstruktionen.
(10p)
Lösningsförslag (se den översta bilden på separat blad):
Rita först en linje L. Tag ut en normal N till L. Metoden är (som bekant) att rita två
cirklar med centrum på L som skär varandra i två punkter P och Q. Linjen genom PQ är
vår normal N. Tag nu ut en bisektris M mellan L och N. Metoden är (som bekant) att sätta
passaren med centrum i skärningspunkten O och ta ut skärningspunkterna R och S med
de båda linjerna. Rita därefter två cirkelbågar med centrum i R och S, och samma radie.
Dessa skär varandra i T. Linjen genom OT är vår bisektris M. Den skär L i vinkeln 45◦ . I
nästa steg vill vi konstruera en 60◦ vinkel i en punkt B på L. Vi ritar först en cirkel med
centrum i B, den skär L i punkten A. Vi ritar nu en cirkel med samma radie och centrum
i A, den skär den förra cirkeln i C. Observera att triangeln ABC är liksidig, eftersom varje
sida är passarens radie. Linjen genom BC skär då L i vinkeln 60◦ . Drag ut denna linje tills
den skär M i en punkt D. Då kommer triangeln OBD att ha en vinkel 45◦ och en vinkel
60◦ . Den tredje vinkeln blir automatiskt 180◦ − 60◦ − 45◦ = 75◦ .
Som en variant av samma lösning kan man dra normalen genom punkten C. Det ger en
lösning med något färre steg. Resultatet blir den nedre bilden.
Rättning: Jag har gett 4p för att konstruera en vinkel på 45◦ , 4p för en vinkel på 60◦ och
2p om det finns en rimlig lösningsstrategi för att rita hela bilden.
3. För vart och ett av följande påståenden, ange om det gäller alltid, i vissa fall eller aldrig.
Ge en kortfattad motivering, med förklarande skiss om det är lämpligt.
Enbart svar ger inga poäng.
(10p)
(a) En kvadrat är en rektangel.
Alltid En kvadrat kan definieras som en rektangel med lika långa sidor.
(b) En rätvinklig triangel är likbent.
Ibland En rätvinklig triangel kan ha lika långa kateter eller olika långa.
(c) En lodrät linje från ett hörn i en triangel till motstående sida kallas för höjd.
Ibland En triangel har tre höjder med olika riktning. Om någon av dem är lodrät
beror på hur man ritat triangeln i förhållande till vad man menar med lodrät.
(d) Två trianglar med vinklarna 45◦ , 60◦ och 75◦ är kongruenta.
Ibland De är kongruenta om dessutom sidorna är lika långa, men vinklarna säger
inget om triangelns storlek.
(e) Alla vinklar i en trubbvinklig triangel är trubbiga.
Aldrig Eftersom vinklarnas summa är 180◦ kan det högst finnas en trubbig vinkel.
(f) Ett linjesegment och dess mittpunktsnormal är ortogonala.
Alltid Orden normal och ortogonal betyder båda vinkelrät.
OBS! Linjesegment betyder samma sak som sträcka. Eftersom ordet inte finns med
på begreppslistan har jag gett alla 1p på denna deluppgift.
(g) Två likformiga trianglar har samma area.
Ibland Att de är likformiga säger inget om trianglarnas storlek.
(h) En oktaeder har åtta hörn.
Aldrig/I vissa fall Normalt menar man med “oktaeder“ en regelbunden oktaeder.
(Det var så jag tänkte när jag konstruerade uppgiften.) En sådan har alltid sex hörn.
Ibland menar man med oktaeder en polyeder vilken som helst med åtta sidoytor. I
så fall finns det faktiskt oktaedrar med åtta hörn. Enklaste exemplet är en pyramid
med en sjuhörning som bas.
(i) En linje som skär en cirkel delar cirkeln i två sektorer.
Ibland Bara om den går genom medelpunkten (i allmänhet kallas bitarna segment).
c och 6= har samma typ av symmetri.
(j) Symbolerna c har spegelsymmetri (kring en vågrät linje) medan 6= har rotaAldrig Symbolen ◦
tionssymmetri 180 .
