Avsnitt 3

KTHs Sommarmatematik
Introduktion 3:1 3:1
Avsnitt 3, introduktion.
Teckenstudium
Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut
på att man faktoriserar funktionen så långt som möjligt och därefter systematiskt studerar funktionens tecken
genom att sammanställa faktorernas tecken i en tabell. ( Se Exempel 1 och SfS-exemplet.)
Observera särskilt de kolumner som svarar mot intervall.
man kan alltså studera funktionens tecken för alla x i olika intervall.
En del av problemet består i att utföra faktoriseringen.
Man måste kunna sätta funktionen på gemensamt bråkstreck och faktorisera m.hj.a polynomdivision om
något av detta behövs.
En vanlig tillämpning är att fastställa derivatans tecken i samband med kurvundersökningar.
Definitionsmängder
Teckenstudium är också ett viktigt inslag i hanteringen av funktioner med begränsad definitionsmängd. De
funktioner av denna typ man först brukar stöta på är kvadratroten och logaritmerna. Följande inskränkningar
gäller:
och man får ju inte heller glömma:
En del av problemen i detta avsnitt är formulerade som bestämningar av definitionsmängder. Men det handlar
alltså egentligen om vanligt teckenstudium av rationella funktioner.
KTHs Sommarmatematik
Introduktion 3:2 3:2
Ekvationer med prövning.
Vissa ekvationer fordrar en sådan behandling vid lösandet att det kan slinka falska rötter.
Ekvationslösning består ju oftast av en följd av ekvationer där de senare utgör omformningar av de tidigare.
En falsk rot är en lösning till de senare versionerna av ekvationen som dock inte är en lösning till den
ursprungliga ekvationen.
En falsk rot måste naturligtvis förkastas.
Medlet mot falska rötter är prövning i ursprungsekvationen.
Det är dessutom bra om man lär sig förstå när prövning behövs. All ekvationslösning fordrar nämligen inte
prövning.
De vanligaste fallen då prövning behövs uppträder i samband med kvadratrötter och logaritmer.
Då ekvationer innehåller kvadratrötter måste man oftast kvadrera bägge leden av ekvationen för att bli av
med dem.
Ibland måste man kvadrera flera gånger för att bli av med alla kvadratrötter.
Det finns två anledningar till att man måste pröva rötterna efter att man har kvadrerat bägge led.
1. Dels kan nya rötter ha tillkommit eftersom existensområdet för ekvationens funktioner utökades när
kvadratrötterna eliminerades.
2. Dels kan nya rötter ha tillkommit genom själva kvadreringseffekten: 3 är ju inte = -3, men efter
kvadrering blir talen lika: 32 = (-3)2 = 9.
Exempel 2 ger två enkla. typiska exempel på dessa effekter.
I samband med logaritmer uppstår ofta fall 1 ovan, utökning av existensområdet, när man går från en
ekvation av typen ln A = ln B till A = B.
KTHs Sommarmatematik
Introduktion 3:3 3:3
Grafer
Till vänster visas grafen av ett tredjegradspolynom på
faktoriserad form, vilket gör det möjligt att avläsa
nollställenas läge.
Kontrollera att varje faktor av typ (x-a) svarar mot
nollstället x=a!
y = x(x+1)(x-2)
y = (x+1)(x-1)2
Till höger visas grafen av ett tredjegradspolynom med en
kvadratisk faktor (x-1)2. Detta svarar mot arr x=1 är ett
dubbelt nollställe till polynomet.
Man ser också att funktionsvärdena är > 0 på båda sidor
av x=1, vilket är typiskt för kvadratiska faktorer. I
teckentabellen hade man fått kombinationen ' + 0 + '
omkring x=1.
Till vänster visas grafen av en typisk rationell funktion,
r(x), som växlar tecken i x=-2, 0 och 1. I x=0 finns
dessutom en lodrät asymptot på grund av nämnarens
nollställe x=0.
Till höger visas kvadratroten ur samma funktion. Man ser
att denna funktions definitionsmängd endast omfattar de
x för vilka r(x) inte är < 0.
y = r(x) = (x-1)(x+2)/x
y = kvadratroten ur r(x),
De två graferna avses visa kvadreringseffekten vid
ekvationslösning.
Till vänster ses de båda leden i ekvationen
-x = sqrt(x) (sqrt(x) = 'roten ur x' ) framställda med varsin graf.
Skärningspunktens x-koordinat ( här x=0 ) är ekvationens
lösning.
y = -x , y = sqrt(x)
y = x2 , y = x
Till höger syns den kvadrerade ekvationen framställd på samma
sätt. Man ser att den nya roten x=1 har tillkommit p.g.a
kvadreringen
Före kvadreringen hade man -1 i vänsterledet och +1 i
högerledet.
KTHs Sommarmatematik
Exempel 3:1 3:4
Exempel 1
(Se också SfS-exemplet 3A som visar ett liknande exempel.)
Problem:
För att fastställa
definitionsmängden för
en funktion som
innehåller ett rotuttryck
måste man alltså studera
uttrycket under
rottecknet. Detta uttryck
måste vara definierat och
får inte vara < 0.
Därför studeras här
funktionen f(x)
Ett teckenstudium inleds
bäst med att man
faktoriserar i den mån
detta är möjligt.
Observera hur
kännedomen om
polynomens nollställen
leder till de sökta
faktoriseringarna.
KTHs Sommarmatematik
Exempel 3:1 3:5
Exempel 1. forts: Teckentabell och slutsats
Här visas ett sätt att utföra
teckenstudium i tabellform.
Notera att varannan kolumn
svarar mot ett fixt x-värde, ett
nollställe till en av faktorerna.
Och varannan kolumn svarar
mot ett helt intervall mellan
två sådana nollställen. (Åven de
obegränsade intervallen till
vänster om minsta nollstället
resp. till höger om största
nollstället skall vara med.)
I dessa kolumner för man in
tecknet (+ eller -) för varje
faktor.
Slutsats:
Här dras slutsatserna som följer
av tabellens nedersta rad, där
tecknet för hela funktionen fylls
i enligt regeln:
Jämnt antal minustecken ger
plus.
Udda antal minustecken ger
minus
Notera att när nämnaren är 0
blir funktionen icke definierad
(ej def.)
KTHs Sommarmatematik
Exempel 3:1 forts. 3:6
Exempel 1, forts: Graf.
Rotfunktionens graf:
Kontrollera att grafen existerar för
precis de x-värden som slutsatsen
angav!
Notera också att de två x-värden
för vilka funktionen inte existerar (
-3 resp. 1 ) svarar mot lodräta
asymptoter, dvs funktionsvärdena
växer obegränsat då x närmar sig
dessa värden.
KTHs Sommarmatematik
Exempel 3:2 3:7
Exempel 2
Lös följande ekvation:
Här visas hur en falsk rot
introduceras under
lösningens gång.
I detta fall var det
kvadreringen från (*) till (1)
som var orsaken.
Beteckningarna 'VL' och
'HL' står för vänsterledet
resp. högerledet.
Genom att pröva de erhållna
rötterna i den ursprungliga
ekvationen kan man alltid
avslöja de falska rötterna.
KTHs Sommarmatematik
Exempel 3:3 3:8
Exempel 3
Lös följande ekvationer:
Här visas parallellt två
ekvationer där falska
rötter dyker upp.
I (*) ligger den erhållna
roten x=-1 utanför
definitionsområdet för
båda
kvadratrotsfunktionerna i
den ursprungliga
ekvationen.
Prövning i (*):
x=-1 uppfyller inte (*) eftersom
rotuttrycken i (*) inte är definierade för
x=-1. (Man får negativa tal under
rottecknet.)
Roten slopas
Prövning i (**):
x=1 ger VL = 1 och HL = -1 i (**).
Roten slopas.
I (**) orsakar
kvadreringen av bägge
led att x=1 uppfyller (1')
men inte (**).
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:1 3:9
Övning 1
Bestäm definitionsmängden för följande
kvadratrotsfunktioner:
Dessa uppgifter löses på samma sätt som
i Exempel 1.
Man studerar alltså den rationella
funktionen under rottecknet och börjar
med att faktorisera..
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:2-3 3:10
Övning 2
Bestäm definitionsmängden för följande funktioner:
I (a) behöver man sätta uttrycket under rottecknet
på gemensamt bråkstreck innan man faktoriserar.
I (b) förekommer två rotuttryck, vilket man måste
ta hänsyn till när man bestämmer
definitionsmängden för hela funktionen.
I (c) förväntas man känna till att en funktion av
typ
ln(h(x)) är definierad endast då h(x) > 0.
Övning 3
Lös ekvationerna:
Dessa uppgifter löses på samma sätt som i
Exempel 2 - 3 eller SfS-exemplet 3B.
Man kvadrerar alltså båda led för att bli av med
rottecknen.
De erhållna rötterna prövas därefter i
ursprungsekvationen.
KTHs Sommarmatematik
Extra övningar 3:1-2 3:11
Extra övning 1-2
Extra 1 : Bestäm existensområdet för följande
kvadratrotsfunktioner:
Svar Extra 1
Extra 2
Lös följande ekvationer:
Svar Extra 2
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:1a lösning 3:12
Övning 1a, lösning .
Lösningen följer mönstret från
Exempel 1.
Man undersöker alltså för vilka x
funktionen under rottecknet antar
ickenegativa värden.
Faktoriseringen tillgår så att
nollställena för täljaren och
nämnaren bestäms genom lösning
av motsvarande
andragradsekvationer.
Dessa räkningar redovisas inte
här.
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:1a lösning (forts.) 3:13
Teckentabell
Tabellen innehåller som vanligt
en rad för varje faktor.
Börja med att fylla i nollorna för
varje faktor och därefter
tecknen.
Slutsats
Definitionsmängden är:
Definitionsmängden i slutsatsen
definieras av de olikheter som x skall
uppfylla för att ligga i mängden,
Observera användningen av strikta
och ickestrikta olikheter. De x-värden
som ger värdet 0 i nämnaren tillhör
inte definitionsmängden.
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:1b lösning 3:14
Övning 1b, lösning .
Observera tvåan som lämpligen
bryts ut ur polynomet i täljaren i
samband med faktoriseringen.
Den påverkar inte tecknen i
teckentabellen. Hade däremot
x2 haft en negativ koefficient
hade tecknen fått kastas om.
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:1b lösning (forts.) 3:15
Övning 1b, teckentabell
Tecknet för funktionen g(x) bestäms
direkt av faktorernas tecken i de olika
intervallen.
Normalt gäller: Jämnt antal minus ger
minus, udda antal ger plus.
Dock kan en negativ, konstant faktor
ändra denna regel.
Slutsats
Definitionsmängden är:
Talet x=-1 är inte med i
definitionsmängden eftersom det är ett
nollställe till nämnaren. Därför är g(x) inte
definierad för x=-1.
(Man får ju inte dividera med 0).
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:1c lösning 3:16
Övning 1c, lösning .
Lägg märke till att nämnaren här inte
har några nollställen och är > 0 för alla
x.
Detta visas här genom
kvadratkomplettering. Detta hade också
visat sig vid ett försök att lösa
motsvarande andragradsekvation.
Man hade fått ett negativt tal under
rottecknet.
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:1c lösning (forts.) 3:17
Övning 1c, teckentabell
Eftersom nämnaren visade sig vara
>0, blir det bara 5 kolumner i tabellen
svarande mot täljarens två nollställen
och de tre intervall som begränsas av
nollställena.
Slutsats
Definitionsmängden är:
Definitionsmängden definieras här av
ickestrikta olikheter, beroende på att
intervallens ändpunkter är nollställen
till täljaren och alltså tillhör h:s
definitionsmängd.
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:2a lösningar 3:18
Övning 2a, lösning .
Övning 2a, lösning .
Det väsentliga här är att man
lyckas faktorisera korrekt.
Då fordras att man sätter
uttrycket på gemensamt
bråkstreck.
Teckenstudium av de
faktoriserade funktionerna
redovisas inte i lösningarna till
Övning 2.
Där hänvisas till Exempel 1,
SfS-exemplet och lösningarna
till Övning 1.
Observera att faktorn (-4)
måste tas med i teckenstudiet
av f(x) eftersom den påverkar
f(x):s tecken.
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:2b lösningar 3:19
Övning 2b lösning
Här finns alltså två
rotuttryck.
För att den totala produkten
skall vara definierad fordras
att båda ingående faktorerna
skall vara definierade.
Man undersöker alltså de
båda faktorerna var för sig
och bildar till slut den
mängd som ligger i båda
faktorernas
existensområden.
Man säger ibland att man
bildar skärningen mellan de
två mängderna.
När man bildar
skärningsmängder av
intervall kan det underlätta
om man ritar upp de
ingående intervallen på
samma tallinje.
Begreppen definitionsmängd
och existensområde har här
samma betydelse.
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:2c lösningar 3:20
Övning 2c lösning
Det nya inslaget
här är att man skall
känna till
definitionsmängden
för ln-funktionen.
Liksom för alla
logaritmfunktioner
krävs att
argumentet, dvs h
i uttrycket ln(h) ,
skall vara > 0.
Observera att
faktorn (-1) här
påverkar tecknet.
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:3a lösningar 3:21
Övning 3a, lösning .
Övning 3a, lösning .
Lösningen följer mönstret från Exempel 2.
Kvadrera bägge led för att få bort
rottecknet.
Lös den uppkomna andragradsekvationen.
Pröva de båda rötterna i
ursprungsekvationen.
VL betyder vänsterledet.
HL betyder högerledet.
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:3b lösningar 3:22
Övning 3b lösning
Efter kvadreringen får man här samma
ekvation som i 1a.
KTHs Sommarmatematik
Övning 3:3c lösningar 3:23
Övning 3c lösning
1/4 + 12 = (1+48)/4 = 49/4 = (7/2)2
Samma typ av lösning som tidigare.