LÄRARPROGRAMMET
Resonerande matematik – effekten den ger
En studie gjord i år 1 och 2
Martina Nelson
Liselott Sjöbom
Examensarbete 15 hp
Vårterminen 2010
Handledare: Constanta Olteanu
Institutionen för pedagogik, psykologi
och idrottsvetenskap
När någon behärskar någonting, så blir det en del av den personen.
Det blir en del av individens tankar och kreativa process.
Det tillför kvaliteten av sitt innersta väsen till individens kreativitet och
alla därefter följande tankar.
(Ljungblad, 2001, s 162)
Linnéuniversitetet
Institutionen för pedagogik, psykologi och idrottsvetenskap
Arbetets art:
Titel:
Författare:
Handledare:
Examensarbete, 15 hp
Lärarprogrammet
Resonerande matematik
Martina Nelson och Liselott Sjöbom
Constanta Olteanu
Sammandrag
Det huvudsakliga syftet med vår rapport är att undersöka hur resonerande matematik
används i skolan och vad den har för effekt på eleverna. Vi undersöker hur eleverna
använder sig av resonerande matematik, individuellt och i grupp. I vår studie vill vi
ta reda på om resonerande matematik leder till en mer positiv effekt i grupp än vid
enskilt arbete och om den för eleverna närmare svaret.
För att få svar på detta använder vi oss av observationer, intervjuer och övningar.
Övningarna består av tre matematiska uppgifter som genomfördes individuellt och i
grupp. I studien deltar två pedagoger och 32 elever från Kalmar län vårterminen
2010. Av dessa elever gick 15 i klass ett och 17 i klass två. Genom vår studie och
vårt färdiga resultat visar vi på att resonerande matematik i grupp har en positiv
effekt på eleverna.
Abstract
The main purpose of our report is to examine the reasoning used in mathematics
education and what is its effect on students. We examine how students use
mathematics reasoning, individually and in groups. In our study, we want to found
out if mathematical reasoning leads to a more positive effect in the group that at the
individual work and if the students closer come to the answer.
In order to answer these questions, we use observations, interviews and exercises.
The exercises consist of three mathematical tasks and were carried out individually
and in groups. The study involved two teachers and 32 pupils from Kalmar 2010. Of
these students were 15 in class one and 17 in class two. Through our study and our
final results, we show that reasoning in mathematics group has a positive effect on
students.
INNEHÅLL
1 INTRODUKTION ...................................................................................................... 5
2 BAKGRUND ............................................................................................................... 6
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
En definition av ”resonerande matematik” ..................................................6
Språket och resonerande matematik .............................................................6
Kommunikationens betydelse för resonerande matematik .........................7
Vägen fram till de matematiska kunskaperna ..............................................8
Resonerande matematik och pedagogens uppdrag ....................................10
Myndigheters perspektiv på matematik genom tiderna ............................12
3 SYFTE ....................................................................................................................... 14
4 METOD ..................................................................................................................... 15
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Resonerande matematik utifrån en etnografisk studie ..............................15
Undersökningsmetod .....................................................................................15
Undersökningsgrupp .....................................................................................15
Forskningsetniska överväganden .................................................................16
Genomförandet ..............................................................................................16
Giltighet och trovärdighet .............................................................................17
5 RESULTAT ............................................................................................................... 18
5.1 Antal kvadrater ..............................................................................................18
5.1.1 Individuellt arbete i år 1 .............................................................................18
5.1.2 Grupparbete i år 1 ......................................................................................19
5.1.3 Gruppsamtal i år 1......................................................................................19
5.1.4 Individuellt arbete i år 2 .............................................................................19
5.1.5 Grupparbete i år 2 ......................................................................................20
5.1.6 Grupp samtal i år 2.....................................................................................20
5.2 Dela pengar.....................................................................................................20
5.2.1 Individuellt arbete i år 1 .............................................................................21
5.2.2 Grupparbete i år 1 ......................................................................................21
5.2.3 Gruppsamtal år 1........................................................................................21
5.2.4 Individuellt arbete i år 2 .............................................................................22
5.2.5 Grupparbete i år 2 ......................................................................................22
5.2.6 Gruppsamtal i år 2......................................................................................23
5.3 Tåguppgiften ..................................................................................................23
5.3.1 Individuellt arbete i år 1 .............................................................................23
5.3.2 Grupparbete i år 1 ......................................................................................23
5.3.3 Gruppsamtal i år 1......................................................................................23
5.3.4 Individuellt arbete i år 2 .............................................................................23
5.3.5 Grupparbete i år 2 ......................................................................................24
5.3.6 Gruppsamtal i år 2......................................................................................24
5.3.7 Avslutningsvis ...........................................................................................24
5.4 Pedagogens betydelse för den resonerande matematiken ..........................25
6 DISKUSSION............................................................................................................ 26
6.1 Resonerande matematik ................................................................................26
6.2 Språkets och kommunikationens centrala delar ........................................26
6.3 Elevernas resonemang ...................................................................................28
6.3.1 Individuellt resonemang ............................................................................28
6.3.2 Resonemang i grupp ..................................................................................28
6.3.3 Gruppsamtal i klass ....................................................................................29
6.4 Pedagogens roll ..............................................................................................29
6.5 Myndigheters perspektiv & de matematiska kunskaperna .......................30
7 SLUTORD ................................................................................................................. 32
8 REFERENSLISTA ................................................................................................... 33
BILAGOR
5
1
INTRODUKTION
När väl gråten hade tagit slut stängde hon munnen, fast besluten att aldrig mer
öppna den annat än för att ge de allra nödvändigaste svaren.
(Ljungblad, 2001, s71)
Det här är en känsla som vi båda kan relatera till. Matematik för oss har ständigt varit
något tungt och jobbigt som kändes ouppnåeligt. Matematiken blev för oss lustfylld
den dagen då vi som studenter var tvungna att gå vår specialisering som innefattade
grundläggande matematik. Vi mötte vår lärare Reza Hatami som direkt tog oss med
in i en värld fylld av resonerande matematik. Den här världen hjälpte oss att stegvis
tillsammans med Reza bygga upp en självkänsla och en tilltro till vår egen förmåga
vilket var en underbar känsla. Vi har nu fått möjligheten att i vårt examensarbete
studera ämnet under tio veckor vilket vi aldrig tagit oss för utan Rezas engagemang
och vilja som han visade för oss. För oss är resonerande matematik nyckeln till
kunskap, här kan man utrycka sina tankar, idéer och förklaringar för att kunna lösa
ett problem.
Alltför många elever fylls av känslan som nämns ovan när det gäller matematik.
Genom att vi nu tagit del av betydelsefulla forskare och författare har vi förstått att
resonerande matematik har en enorm betydelse för den individuella utvecklingen hos
varje elev. Tidigare forskning visar också att den resonerande matematiken
försvinner mer och mer vilket resulterar i att eleverna varken vågar eller kan sätta
uttryck på sitt tänkande inom matematiken.
I Lpo 94 och kursplanen i matematik står det att pedagogerna ute i skolan ska i
undervisningen förbereda eleverna så att de klarar av samhällets krav med hjälp av
de baskunskaper inom matematiken som styrdokumenten har som mål och som ska
bli uppfyllda. Undervisningen ska utveckla ett intresse för matematik hos eleverna,
de ska få tillit till sitt eget tänkande och kunna använda matematiken i olika
situationer.
Lika många elever som vi kommer att möta i vår yrkesroll kräver lika många
undervisningsstrategier som vi måste tillämpa. Det här innebär att vi behöver hålla
alla våra sinnen öppna för att göra matematiken rolig och lustfylld. Vi ska här ge
eleverna helheterna för att de ska kunna se delarna och relationen mellan dessa och
det kan vi göra med hjälp av den resonerande matematiken.
Kunskap kommer till uttryck i olika former såsom fakta, förståelse, färdighet och
förtrogenhet som förutsätter och samspelar med varandra. Skolans arbete måste
inriktas på att ge utrymme för olika kunskapsformer och att skapa ett lärande där
dessa former ballanseras och blir till en helhet (Lpo 94, s 6).
6
2
BAKGRUND
I det här avsnittet kommer vi att fokusera på begreppet ”resonerande”, som är
nyckelbegreppet i vårt arbete. För att göra detta utgår vi ifrån två olika perspektiv:
myndigheters och forskares. Fokus i vår presentation är att lyfta fram skillnaderna
mellan dessa perspektiv.
2.1
En definition av ”resonerande matematik”
Begreppet matematiskt resonemang definieras som det resonemang som används för
att skapa och komma fram till påståenden och slutsatser vid lösning av uppgifter
(Lithner, 2007). Resonemangsprocessen handlar om en koppling till språk, en
matematisk argumentation och ett konsekvent tänkande (Hatami, 2007).
Med hjälp av det vanliga språket kan eleven använda sig av ett resonemang i
dialog med någon annan eller med sig själv (Hatami, 2008). Där ställs frågor som
eleverna försöker svara på. Denna process kan leda till att eleven får mer förståelse
för matematik. Hatami menar att det resonerande tankesättet skapar kraftfulla
modeller och nya tankemönster (a.a.).
Om eleven upplever en problemlösning/uppgift som är svår kan de ändå finna en
lösning utifrån frågor som ställs till sig själva. Samtidigt kan eleven ta ett steg
tillbaka och besvara dem en i taget för att komma fram till en slutlig lösning. När
eleven funnit lösningen och den blivit förståelig har eleven fördjupat sina tankar och
argumentation genom sitt resonemang (a.a.).
Bergqvist (2006) skriver i sin avhandling att det är vanligt att dagens pedagog ofta
underskattar elevernas förmåga att resonera. Bergqvist talar om två centrala begrepp
inom den resonerande matematiken. Hon nämner begrepp som imiterande och
kreativt resonemang. Imiterande resonemang består av matematiska lösningar som
lägger sig på minnet och som man sedan kan använda sig av. Kreativt resonemang
innefattar matematik på ett mer laborativt sätt där eleverna utifrån sin förmåga får
pröva sina olika lösningar både enskilt och i grupp. Under varje lösning finns det
alltid tillgång till laborativt hjälpmedel, det leder till att eleverna får en förståelse för
resonemangets betydelse i matematiken (a.a.).
När den resonerande matematik används menar Hatami (2007) att pedagoger och
elever kommer fram till lösningar och metoder som eleverna senare kan återanvända
i likartade uppgifter.
Begreppet resonemang speglar samtal som utvecklar vårt tänkande och lärande.
Det är i samtalet som eleverna kan redogöra för övergångar som är nödvändiga. I
tänkandet blir eleven bekant med de matematiska idéerna och då kan eleven resonera
sig fram till ett förhållande i matematiken. Detta kräver en påståendekunskap som är
språkligt utformat och där ingår det ett resonemang. För att kunna se och uppleva
matematiken behöver eleven ha ett språkligt resonerande kunnande. Att låta eleverna
räkna under tystnad anses som en isolering (Riesbeck, 2008).
2.2
Språket och resonerande matematik
Doverborg, m.fl. (2008) anser att Vygotskijs teori om relationen mellan språk och
tanke bygger på en nära gemenskap mellan människor. I denna relation är det språket
som har en avgörande roll eftersom det innefattar teckenspråk, miner, gråt, skratt och
gester. Språket och tänkandet går hand i hand och är intimt förknippade med
varandra. Språket vi har runt omkring oss påverkar inte bara vårt tänkande utan även
våra känslor, vår fantasi och förmåga att lösa problem och att minnas. Vygotskij
7
anser att språket är enormt viktig och betydelsefull för hela människans utveckling.
Matematik är ett språk fast det egentligen inte är det men vi vet att matematik kräver
ett ordförråd av termer och begrepp som eleverna stegvis måste utveckla en
förtrogenhet med (a.a.).
Vygotskij menade att man kan hitta redskap och förklaringar i det sociala livet,
eftersom man där finner en förståelse för sin utveckling i processen och handlingen.
Ingen människa är född att vara ensam, utan utvecklas i den sociala
människovärlden. Elevens utveckling sker i samspel med en mer erfaren, detta kallar
Vygotskij för ”den proximala zonen” den är vägledarens roll som för elevens språk
framåt (Doverborg m.fl.), 2008). Genom det här kan eleven reflektera över tidigare
kunskaper och koppla samman dessa med de nya vilket leder till en stimulering.
Problemlösningar gör eleven tillsammans med andra där de socialt skapar nya
aktivitetsformer som leder till egna erfarenheter. Dessa erfarenheter utvecklas i det
sociala samarbetet och övergår snart till elevens egna handlingsformer. De gör om
erfarenheterna till sitt eget material, utveckling sker från de yttre till de inre. Detta
förklarar Vygotskij med begreppet det ”egocentriska språkets betydelse” (Doverborg
m.fl.), 2008). Vygotskijs centrala punkt är samspelet i undervisningen och att
lärandet alltid går före utvecklingen (Jerlang, 2008). Även Riesbeck (2008) skriver
om vikten av Vygotskijs tankar i sin avhandling. Hon menar att språket ses som ett
redskap som utgör ett samspel mellan tanke och erfarenhet (a.a.).
Williams, Sheridan och Pramling-Samuelsson (2000) refererar till Piaget och
skriver att när barn möter varandra samtalar de på en nivå där de både kan förstå och
göra sig förstådda. När barn samtalar hittar de en stark motivation till att lita på sig
själva och genom denna självtillit som byggs upp får de en förmåga att förändras och
förändra andra. De lär sig att värdera sin egen kunskap och argumentera för sin sak
samtidigt som de lär sig att ta andras ståndpunkter. Detta leder till att barnen ger
varandra återkopplingar och får ett lärande i det sociala samspelet. Om ett barn blir
upplyst av en kamrat i en diskussion prövar de nya idéer. Barnet omvärderar äldre
uppfattningar så att det stämmer bättre överens med det nya. Det är vad Piaget kallar
för ”decentrering” (se t ex Williams m.fl.), 2000). I decentreringen vinner barnet
både sociala och kognitiva fördelar. Inom den sociala biten vinner de en
kommunikativ förmåga och i den kognitiva är vinsten att hitta ny kunskap.
Sammanfattningsvis kan vi se att Piaget lägger stor vikt vid de sociokognitiva
konflikterna som utspelar sig i dialogen mellan barnen (a.a.).
Folkesson (1998) refererar till Dewey som sätter språket centralt för den
reflekterande tänkande. Eleverna måste få träna sig i att reflektera över vad de gjort
för att ett medvetande om kunskapen ska ske. Detta leder till att de självmant söker
sig till nya mål i sin inlärning och utveckling och det kallas av Dewey för ”learning
by doing”.
Dewey framförde en kommunikationsteori, där han visade att kommunikationen
mellan människor ger ett lärande. I teorin menade han att tänkandet ökade i
kommunikationen i det sociala samspelet. Dewey menade även att om elever inte får
använda sig av sitt språk när de börjar grundskolan kan de heller inte använda sig av
skolans språk när de senare kommer ut i arbetslivet. Kommunikationen och det
sociala samspelet är två grundstenar som är nödvändiga för språkets och tänkandets
utveckling (Englund, 2007).
2.3
Kommunikationens betydelse för resonerande matematik
Motivationen och lusten för matematik är inget pedagogerna behöver skapa den finns
redan sedan tidig ålder (Bergius & Emanuelsson, 2008). Barn och elever tycker att
8
matematik är både spännande, utmanande och roligt. Detta ger pedagogerna goda
förutsättningar för det fortsatta matematiklärandet. I förskolan där intresset ofta
väcks är barnen vana att i grupp och enskilt både ute och inne stimuleras i
matematikens värld med hjälp av en drivande pedagog. Tyvärr visar en studie från
Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM) på att i omkring år tre till fyra
försvinner både lust och motivation inom matematiken (Bergius & Emanuelsson,
2008). Ämnet uppfattas nu som svårt och tråkigt. Eleverna som var vana vid
grupplösningar och en mer fri matematik får nu sitta enskilt och tyst vid sina bänkar
utan att kommunicera med varandra. Slutsatsen som drogs av denna studie var att
intresset och engagemanget ökade genom meningsfulla aktiviteter där samspel,
skapande, lek och utforskande stod i centrum. Det gäller att erövra kognitiva och
kommunikativa färdigheter i viktiga kontexter (Bergius & Emanuelsson, 2008).
Alla möts vi i en social värld som fylls av samspel mellan människor och i detta
samspel ingår kommunikationen. I samspelet och i kommunikationen använder vi
oss av symboler i form av handling och ord. Här sker en växling mellan olika
budskap som påverkar oss och vi får tankar om hur andra tänker samtidigt som våra
egna tankar påverkas positivt. Vare sig vi vill eller inte för kommunikationen med
sig en effekt, en effekt som påverkar oss så fort en annan människa närvarar. Möten
mellan människor sätter igång både tankar och funderingar kring olika saker, både
positiva och negativa beroende på situationen (Nilsson & Waldemarson, 2007).
Som vilket ämne som helst vill även matematiken ge uttryck för något och detta
ska ske i kommunikationens tecken. I en kommunikation sker en handling och för att
den ska bli förståelig måste den ske i meningsfulla sammanhang. I detta
sammanhang är människor involverade i kommunikationen och här utförs en
tolkning för att kunna hantera olika situationer inom matematiken (Sandahl &
Unenge 1999).
Språkanvändningen är en enormt viktig del av den inlärning som ska ske inom
matematiken och språket är det centrala i kommunikationen. När pedagogen ger
eleven chansen att samtala om föremål, former, bilder och relationer mellan olika
föremål utvecklas automatiskt ett språk och iakttagelseförmåga. Vinsten eleven får ut
av detta är att den lär sig att föra ett matematiskt resonemang och samtidigt öva sig i
att argumentera för sin personliga lösning. Genom kommunikation måste pedagogen
leda samtalet med frågor som till exempel hur kom du fram till det här? Varför tror
du det är på detta sätt? Hur tänkte du då? Alla elever resonerar på olika sätt och som
på alla andra områden är vissa starka och vissa svaga. Med hjälp av konkret material
och bilder kan kommunikationen leda till att språket tränas upp vilket i sin tur leder
till en matematisk utveckling. Det är viktigt att pedagogen använder termer och
begrepp som eleverna är införstådda med eftersom okända ord sätter upp hinder för
lärandet. Eleven lär sig på så sätt att skilja på ”mattespråk” och vardagsspråk. Vid
problemlösning där eleven får chansen att förklara sina tankegångar utvecklas
språket omedvetet vilket leder till ett mer logiskt tänkande. Räknesagor och
räknehändelser innehåller numerisk information som gör det lättare för eleverna att
se matematikens innehåll och struktur (Häggblom & Hartikainen, 2006).
2.4
Vägen fram till de matematiska kunskaperna
Är det verkligen rätt att låta barn och ungdomar själva finna samband som det
tagit mänskligheten lång tid att upptäcka? Är detta inte ett utbildningssjälvmord
speciellt i ett samhälle där alla ska klara skolan? […] Skolan har på detta sätt
varit en plåga för många barn och ungdomar under det senaste 50 åren.
(Hatami, 2007, s 202)
9
År 1937 hittades ett trettio tusen år gammalt vargben i Tjeckoslovakien i vilket
människan ristat in femtiofem skåror i grupper av fem, detta för att fastställa antalet
djur. Det här kan vara det äldsta sättet att resonera fram ett antal på. Johnsen Hoines
(2008) lyfter fram att handens fingrar bildar ett uttryck i form av kroppsspråk som
underlättar det matematiska resonemanget.
Människans utveckling påverkas av vårt kulturarv, som inom matematiken är
matematikens historia. Det krävs både verklighetsanpassning (programanpassad
matematik) och en historisk anknytning (matematikens idéhistoria). Det är dessa två
byggklossar som tillsammans skapar matematikens teoribildning. När matematiken
vi möter flödar mellan dessa får den sin betydelse (Hatami, 2007).
Genom det sociokulturella perspektivet som innebär att kulturen och den sociala
omgivningen är direkt avgörande för människans lärande kan en personlig utveckling
ske. Det är genom ett samspel som en människa bemästrar en kunskap som sedan
blir till det egna handlandet och tänkandet (Säljö, 2000).
I de matematiska begreppen ingår det samband som består av språk, uttryck,
symboler, tecken och bilder. I alla dessa representationer krävs det att eleverna deltar
aktivt i en social process. I den sociala processen ingår det resonemang där eleven
måste kunna beskriva sina tankar för problemet (Riesbeck, 2008).
Heiberg m.fl. (2004) skriver att i dagens samhälle kopplas begreppet matematik
till termer som multiplikationstabeller, bråk, procent, uppställningar och uträkningar.
Människan är van vid att tänka på matematik på detta sätt, vi har då svårt att se vad
som ligger bakom dessa termer. För att vi ska kunna utveckla de elever vi möter i en
undervisningssituation måste pedagogen och eleverna se och känna igen
matematiken i andra sammanhang. Elever i dag möter inte matematik på detta sätt,
utan omedvetet kopplar de samman och finner matematiken i sin vardag.
Matematiken innebär att människan pendlar mellan handling och tänkande. Det här
kallas för matematiska aktiviteter. Heiberg m.fl. skriver också att detta visar sig
tydligt när man studerar den aktiva, lekfulla och utforskande eleven. De matematiska
aktiviteterna ger oss en kunskap om att se och utmana elevernas egen matematik
(a.a.).
För att det lilla barnet upp till vuxen människa ska få ett intresse för matematik
menar Ljungblad (2001) att pedagogen som barnet möter måste arbeta från de små
delarna till en helhet. De måste gå från analys (delar) till syntes (helhet). Genom att
låta eleverna utveckla ett bra matematiska språk innan de får chansen att gå in på
skriftliga symboler gör att de lättare ser en koppling mellan de olika problem de
kommer att möta. Det matematiska språket och de samtal som ämnet för med sig är
mer än vårt talade språk och därför extra viktigt. Barn har i alla tider haft mer eller
mindre behov av att använda språket som ett uttrycksmedel. Med språket menas inte
enbart de språk vi talar utan hit räknas också skapandet, musik och teater in som
uttrycksformer. Under de första skolåren är det viktigt att få eleverna att utveckla en
förståelse för matematiken annars blir den komplicerad och eleverna utvecklar en
blockering i sitt tänkande. Om inte pedagogerna skapar en väg full av olika
möjligheter är det lätt att tappa kontrollen över elevernas kunskapsinlärning. Om
eleverna inte kan kommunicera i matematiken leder detta snart till en press och en
stressfaktor som bidrar till att matematiken får en negativ stämpel där kraven är
ouppnåeliga. Vi måste samtala med eleverna på precis samma språk som de själva
gör för att bygga upp ett förtroende, att ständigt förbättra den kommunikationen
inom detta område måste prioriteras (a.a.).
10
Ämnet matematik är oerhört brett där eleven ska kunna olika innehåll i
matematiken och i olika sammanhang. Det är också viktigt att kunna resonera
kunskapen. Eleven ska kunna visa lösningar och resultat i bland annat tal, skrift och
symboler. Här ska det också kunna tillämpas olika strategier och metoder för att
kunna analysera, reflektera och granska både egna och andras tankar i matematiken.
Avslutningsvis ska eleven kunna översätta olika problemlösningar till matematikens
symbolspråk skriver Pettersson (2010).
För att denna väg ska bli så stimulerande och rolig som möjligt lägger Doverborg
och Pramling Samuelsson (1999) stor vikt vid att bygga upp en stark självbild hos
eleven. Den måste få en möjlighet att se sig själv som en bra ”problemlösare” och
ständigt få positiv feedback på det den presterar.
Om eleverna ska nå matematiska kunskaper behöver de föra diskussioner kring
olika begrepp och ta del av vandras tankar och föreställningar. De måste få reflektera
och föra diskussioner i sociala sammanhang för att utveckla ett matematiskt tänkande
(Sandahl & Unenge, 1999).
För att kunna ta del av det matematiska tänkandet krävs det att eleverna får
granska, argumentera, reflektera och diskutera. Detta blir de byggstenar som
tillsammans skapar en förståelse för matematiken (Malmer, 1999). Matematik är ett
språk som eleverna möter när de börjar skolan. Detta är ett nytt språk. Eleverna bör
bearbeta det obegripliga språket för att lära sig använda det i de olika sammanhangen
annars kan de inte prata och förstå det, skriver Dahl & Nordqvist (2007).
2.5
Resonerande matematik och pedagogens uppdrag
Att motivera elever till skapande och kreativ verksamhet, som fordrar både
fantasi och tålamod för en aktiv argumenterande/motargumenterande dialog, är
en viktig uppgift för matematikläraren.
(Hatami, 2008, s45)
Löwing och Kilborn (2002) skriver att det är vi som pedagoger inom grundskolans
tidigare år som tillsammans med eleverna ska lägga grunden för både kunskap och
attityd till ämnet. Pedagogen lägger grunden för hur eleverna kommer att se på
matematiken i vuxen ålder, vilket leder till positiv eller negativ inställning till ämnet
matematik. För att kunna undervisa i matematik krävs en didaktisk skicklighet och
en förmåga att klara av svårigheten i hur man sätter upp mål för undervisningen. De
uppnåendemål som finns i kursplanerna är inte en konkret hjälp för pedagogens
arbete utan enbart övergripande. De talar bara om hur man som pedagog bör förhålla
sig till undervisningen. Detta arbetssätt bidrar ofta till att planeringen av
undervisningen utgår från en färdig lärobok. Det är också väldigt vanligt idag att
pedagogen väljer ut uppgifter som ska lösas av svaga respektive starka elever, vilket
är en didaktisk svaghet. Genom detta arbetssätt får eleverna ingen direkt vinst utan
både pedagogen och eleven känner en otillräcklighet inom ämnet (a.a.).
Många av pedagogerna ute på fältet har inte någon djupare utbildning inom
matematiken. De har själva fått samla på sig erfarenheter och fakta som de ”tror” är
det rätta för eleverna (Ljungblad, 2000).
Berggren och Lindroth (1997) skriver att pedagogen ska utmana och låta eleverna
få skapa matematiska konstverk genom att rita, bygga och diskutera sig fram till ett
svar. På så vis sätts elevernas fantasi igång och då skapas en lust och motivation i
matematiken. Genom arbetsmetoden ger vi eleverna en chans och möjlighet att förstå
matematikens plats i verkligheten och vardagen (a.a.).
Flera forskare (Berggren & Lindroth, 1997; Löwing & Kilborn, 2002; Malmer,
2002) påtalar vikten av ämnesintegrering. De menar att här har pedagogen chansen
11
att sätta in matematik i meningsfulla sammanhang. Detta leder till att eleverna får en
förståelse och kan koppla rätt kunskap till rätt situation men även att kunna tänka
utanför ramen och få nya tankevägar.
Det ligger i pedagogens roll och uppdrag att skapa en miljö där det finns utrymme
för egna erfarenheter, tankar och idéer (Malmer, 2002). Eleverna kommer till skolan
och blir direkt påverkade av pedagogens syn på skolan. Attityder, förväntningar och
värderingar ska tillsammans skapa en god klassrumsmiljö. Genom miljön ska
pedagogen kunna ta fram elevernas starka sidor men också se och vara medveten om
de svaga eleverna. En sådan positiv miljö gör att elevens förmåga att ta till sig ny
kunskap blir bättre. I en sådan miljö måste pedagogen vara flexibel och föra klassen
åt ett positivt håll där den kan bygga på sin självkänsla (Taube, 2002). Skolverket
skriver också om betydelsen av pedagogens flexibilitet för att stärka elevernas
självtillit (Skolverket, 2003). Alla inom skolans väggar måste få känna delaktighet
och ansvar över det som händer i klassrummet och på skolans område (Carlgren &
Marton, 2002). Det är detta som bidrar till att elevens motivation, glädje och
nyfikenhet ökar (a.a.).
Sandahl och Unenge (1999) skriver att pedagogen måste låta eleverna använda sig
av sitt eget språk, sina tankar och vägar för att komma fram till lösningar i
matematiken. Det är även pedagogens plikt att förenkla elevernas metoder för att de
lättare ska nå fram till problemlösningar, något som görs inom den resonerande
matematiken. För att få reda på vilka metoder eleven valt måste pedagogen ställa
frågor för att få fram reflektioner och argumentationer vilket leder till att eleven får
tankestrategier i matematiken.
Hatami (2007) påstår att förståelsen av den matematiska teorin är en svår och
krävande utmaning för både pedagog och elever. Det krävs en hel del tålamod men
när man väl nått sitt mål kommer känslan av tillfredställelse att vara mycket starkare
än det negativa eleven kände under själva processen. Hatami anser att som
matematiklärare är det inte en nödvändighet att framhålla matematiken som rolig
utan att istället lägga kraft, tyngd och engagemang på att motivera eleverna till att
hitta skapande kreativitet och framförallt tålamod. Retorisk matematik är väldigt
krävande för eleven men när de väl lärt sig verktyget kan de bättre koppla detta till
matematikens symbolspråk. För att kunna lösa en problemuppgift som består av
skrivna ord måste man kunna omvandla orden till det matematiska symbolspråket,
det är först då man kan ta sig an ett problem (a.a.).
Enligt skolinspektionens rapport (2009) ser forskarna att pedagogens roll och
betydelse inte håller eftersom kunskaperna de har om kursplanerna inte räcker till för
undervisningen. Alla elever har rätt till samma matematikundervisning oberoende av
kommun, län och pedagog. Det har visat sig att eleverna får undervisning enbart i
vissa delar av ämnet vilket leder till att eleverna har svårt med problemlösningar, att
se samband, resonera samt att kunna uttrycka sig i både tal och skrift i matematiken.
Detta har visat sig påverka bedömningen av vad pedagogen gör för tolkning av
kursplanerna. Det är pedagogens ansvar och inte elevens att veta vilka mål varje
eleven ska uppnå. Det har även visat sig att skolorna håller en ojämn kvalitet i
undervisningen och att lärarna inte har någon varierad undervisning. Eftersom
lärarna har olika värderingar när det gäller kursplanen resulterar det i att eleverna får
olika kunskaper i matematiken (Skolverket, 2009).
I det kreativa resonemanget innefattas personens flexibla tänkande byggt på
matematiska egenskaper. Bergqvist (2006) skriver att studenter högt upp i åldrarna
inte lärt sig använda det kreativa resonemanget och använder sig istället av det
imiterande trots att detta ofta är en mycket mera smärtsam väg att gå. De har inte lärt
12
sig från grunden att föra ett kreativt resonemang och känner sig därför inte bekväma
med användningen. Bergqvist (2006) kommer i sin avhandling fram till att
pedagoger anser att matematiska uppgifter består av kreativt resonemang, som höjer
svårighetsgraden så mycket att kraven på eleverna blir för höga. De sänker därför
medvetet nivån till det imiterade resonemanget eftersom fler elever då klarar godkänt
(Bergqvist, 2006).
Enligt Thornberg (2006) möter pedagoger elever i skolan där vår huvuduppgift är
att tillsammans med eleverna arbeta och framkalla lärande och utveckling för alla
inom skolan.
2.6
Myndigheters perspektiv på matematik genom tiderna
Sveriges första skolordning kom ut år 1571. I detta dokument nämns inget om
räkning och matematik i undervisningen. Inte heller 1842 hade ämnet någon
betydelse. Det var först 1864 som det talas om skrivning och räkning. År 1878 kom
den första normalplanen som talade om räknandet men ämnets betydelse för
utvecklingen skrevs det inget om. Läroplanen som kom ut 1969 var den som gav den
svenska matematikundervisningen en betydelse. Denna läroplan hade mål som ”all
undervisning skall grundas på förståelse” (Malmer, 1999, s21). Detta mål ansåg
pedagogerna vara ouppnåeligt eftersom de inte förstod vad den nya matematiken
innebar. Redan här startade en känsla av avprofessionalisering inom ämnet. Detta
bidrog till att pedagogerna blev beroende av läromedlet vilket i sin tur ledde till att
klassrumsmiljön blev hårt styrd och inte gav anknytning till vardagliga händelser.
Lgr 80 kom med helt nya riktlinjer där de första raderna tillsammans skapar ett
mål som endast avsåg matematiken. Målet var: ”matematik ingår i grundskolans
undervisning därför att matematik kan användas för att beskriva verkligheten och för
att beräkna följderna av olika handlingar” (Malmer, 1999, s21).
Under 1980-talet påvisades i en studie som kallades IEA-undersökningen
(International Association for Evaluation of Educational Achievement) att svenska
elevers insatser inom matematiken låg lägre än genomsnittet i andra länder. Detta
resultat blev en chock för den svenska regeringen som då ledde till betydande
fortbildningsinsatser. Lpo 94 skapades efter 1980-talets misslyckanden.
I den nya läroplanen Lpo 94 och kursplanen 2000 övergick de kvantitativa
kunskaperna till kvalitativa. Här kunde man tydligt se den resonerande matematiken
där eleverna skulle få en självtillit till sitt eget tänkande och kunna tillämpa
matematik i olika situationer. Eleverna skulle nu även kunna använda matematikens
språk, symboler och former. Inom matematiken skulle de också kunna använda
logiska resonemang, kunna dra egna slutsatser samt muntligt och skriftligt kunna
förklara och diskutera sitt eget tänkande (Malmer, 1999).
Styrdokumenten som finns idag innehåller både mål att uppnå och att sträva mot.
Strävansmål är bara riktlinjer för matematikundervisningen. Huvudmålet inom
matematiken sägs vara att all matematikundervisning ska genomsyras av att få tillit
till sitt eget tänkande och en förmåga att lära matematik (Ahlberg m.fl.), 2005).
Enligt Skolverkets (2000) rapport om kommentarer till kursplaner kan man läsa
att förändringarna inom matematiken är relativt små om de jämförs med andra
ämnen. Det finns heller inget förslag till några drastiska förändringar som ska leda
ämnet framåt. Skolverket såg även att antalet icke godkända elever inom
matematiken låg högre jämfört med ämnet svenska och engelska. Det har funnits
förslag till att göra om målen för algebra, ekvationer och funktioner och flytta fram
dem till gymnasiet för att eleverna lättare skulle kunna koppla matematiken till
vardagen i tidig grundskola. Det har valt att ändra ordet ”förutsätter” eftersom detta
13
begrepp ledde till en misstolkning, nu betonas istället samspel för lärandet i
matematik. Det som även har ändrats är att eleverna måste få många och olika
tillfällen att lära sig om matematiken (a.a.).
Riesbeck (2008) skriver att många nationella och internationella studier om
matematik tydligt visar att den görs individuellt och under tystnad i skolan. Men
samtidigt betonar styrdokumenten och andra studier att inom matematiken ska man
”tala matematik”. Här visar det sig att detta begrepp är en definition av något som
pedagogerna ute i verksamheterna inte vet hur de ska nå.
Elever bör i tidig ålder få lära sig att resonera i matematiken där de utvecklar en
högre förståelse än vad som står i kursplanernas strävansmål. Får eleverna använda
sig av enbart algoritmer finns det risk för att den resonerande matematiken försvinner
vilket leder till att deras tankeverksamhet försvinner mer och mer. Om den
resonerande matematiken försvinner kommer inte eleverna kunna använda sig av de
metoderna i likartade uppgifter. Har vi som människor väl lärt oss att använda
metoder inom den resonerande matematiken kommer vi automatiskt att skapa
metoder som gör vägen till lösning lättare skriver Riesbeck (2008).
14
3
SYFTE
Det huvudsakliga syftet med vår rapport är att undersöka hur resonerande matematik
används i skolan och vilken effekt den ger på eleverna. Vi vill undersöka hur
eleverna använder sig av resonerande matematik, individuellt och i grupp. I vår
studie vill vi ta reda på om resonerande matematik leder till en mer positiv effekt i
grupp än vid enskilt arbete och om den för eleverna närmare svaret.
För resonerande matematik innefattas två övergripande mål för grundskolan. Dessa
är:
att behärska det svenska språket och kunna lyssna och läsa aktivt samt att
uttrycka idéer och tankar i tal och skrift,
att behärska grundläggande matematiskt tänkande och kunna tillämpa det i
vardagslivet (Lpo 94, s 10).
Utifrån detta skapar vi huvudfrågan:
Vilken effekt ger resonerande matematik på individnivå och gruppnivå?
För att besvara denna fråga använder vi oss av följande problemformuleringar:
Vad är effekten av resonerande matematik vid individuellt arbete?
Vad är effekten av resonerande matematik i grupp?
15
4
METOD
I metodkapitlet visar vi på tillvägagångssättet som användes i studien. Här beskrivs
urval, undersökningsgrupper och datainsamling. Därefter för vi en diskussion om
giltigheten och trovärdigheten. Vi beskriver miljön där studien genomfördes och
forskningsetniska övervägande. Hela vår metod bygger på en etnografisk studie.
4.1
Resonerande matematik utifrån en etnografisk studie
Etnografins grundläggande tanke är att: ”etnografen önskar försöka förstå
människors tankar och uppfattningar om fenomenen i människans omvärld […] den
kvalitativa forskaren använder sig av observationer och intervjuer som redskap i sin
forskning” (Kullberg, 1996, s15).
Ett annat namn för denna sortens studie är också fältstudie. Studien bygger på att
etnografen arbetar i tre faser: förberedelser, genomförande av fältarbete och
avslutningsvis redovisning av resultat och rapportering. Datainsamlingen består av
informella intervjuer i form av samtal, formella intervjuer och insamlat material av
olika slag. Inom undersökningen kommer vissa personer att benämnas med
begreppet informanter. Detta är personer som befinner sig i en större grupp som
etnografen sedan ska söka information från.
Det gäller för etnografen att ha förmåga att se bakom både handlingar och det
sagda. Forskaren måste ha en förmåga att se hur något förändras från situation till
situation. Under observationen kan man jämföra och se likheter mellan forskarens
roll och pedagogens delaktighet i elevernas lärande. Genom en etnografisk
undersökning leder eleverna forskare fram till ett arbetssätt som innefattar nya
metoder och tänkande som kan kopplas till undervisningen.
4.2
Undersökningsmetod
Vår studie bygger på en kvalitativ undersökning där vi observerar eleverna när de
löser tre matematiska uppgifter. Dessa består av att eleverna först individuellt ska
resonera sig fram till ett svar, för att sedan sitta i grupp och där genom resonemang
komma sanningen närmare. I den individuella lösningen kommer eleverna att få
berätta hur de kom fram till lösningen genom att skriva eller rita. I gruppens
resonerande matematik är det samtalet som är i fokus. Vi genomför även intervjuer i
helklass med båda klasserna. Undersökningsplatsen och undersökningspersonerna är
givna eftersom vi vill genomföra undersökningen i deras egen miljö, i klassrummet
på deras skola.
4.3
Undersökningsgrupp
Grupperna består av en klass ett på 17 elever och en klass två på 22 elever. I de två
klasserna blev det sju bortfall ─ fem av eleverna fick inte delta i studien för sina
föräldrar i klass två, en var sjuk och en var bortrest i klass ett. Detta innebär att
antalet elever som deltog i studie blev 15 i klass ett och 17 i klass två. Vi valde dessa
två klasser av fyra skäl: det första var att uppfylla vårt syfte, det andra var att få en
lärdom av hur väl eleverna kan resonera sig fram i matematiken, det tredje var åldern
och det fjärde var att vi kände dessa elever sedan tidigare.
Gruppen valdes ut i den tidiga grundskolan eftersom forskare (se t ex Folkesson,
1998; Löwing & Kilborn, 2002) säger att man ska börja resonera i tidig ålder för att
kunna utveckla sitt tänkande i matematiken. Dewey (se Folkesson, 1998) menade att
elever i tidig grundskola måste få använda sitt språk för att tänkandet ska utvecklas i
16
den sociala processen. Eleverna måste få träna sig i att reflektera över vad de gjort
för att ett medvetande om kunskapen ska utvecklas (Englund, 2007).
Det är pedagoger inom låg- och mellanstadiet som tillsammans med eleverna ska
lägga grunden för både kunskap och attityd till ämnet. Grunden som läggs kommer
att ha betydelse för hur våra elever kommer att se på matematiken i vuxen ålder, och
om de kommer att få en positiv eller negativ inställning till ämnet matematik
(Löwing & Kilborn, 2002).
4.4
Forskningsetniska överväganden
För att få ett medgivande till att observera eleverna frågade vi berörda pedagoger och
föräldrar om lov att fotografera, intervjua och samla in data. Till föräldrarna skickade
vi ut en förfrågan om deras barn fick delta i en studie om resonerande matematik, (se
bilaga 1, bild 1).
I studien benämns varken kommun, skola, pedagogernas eller elevernas namn.
Namnen som nämns i resultatdelen är fingerade.
4.5
Genomförandet
Vid undersökningstillfället var vi tre personer närvarade, en pedagog och två
studenter. Vi började med att presentera oss för att skapa en relation till eleverna.
Därefter berättade vi varför vi var där och vad det var vi skulle undersöka. Här var vi
tydliga med att förklara hur de matematiska uppgifterna skulle lösas. Att det var
deras väg fram till lösningen och inte svaret som var det viktiga för oss. Vägen till
lösningen kunde beskrivas utifrån text, bilder och siffror. Eleverna fick också veta att
vi inte sökte efter något rätt eller fel svar eftersom det inte fanns.
Kavle (1997) skriver om vikten av att skapa en kontakt med personer som ska
intervjuas eller studeras. Genom att forskaren lyssnar, visar ett intresse och förståelse
har man redan vunnit ett förtroende vilket leder till en vinst i undersökningen (a.a.).
Under studien var vi deltagande observatörer vilket Kullberg (1996) förklarar på
följande sätt: deltagande observationer består av händelser som sker i vardagliga
situationer. En deltagande observatör måste ha en förmåga att söka efter svar med
öppna sinnen det viktigaste i en etnografisk studie är att lyssna och se en utveckling
som leder till nya kunskaper hos varje individ (a.a.).
Under hela arbetets gång observerade vi eleverna utifrån vårt syfte och förde
fältanteckningar som vi sedan sammanställde i vårt resultat.
Först fick eleverna lösa uppgifterna individuellt för att sen sitta i mindre grupper
(fyra elever i varje grupp) som valdes ut beroende på hur de satt i klassrummet. Vi
valde att inte flytta om eleverna utan skapade grupper utifrån deras sittplatser
eftersom vi inte visste vilken nivå samtliga elever låg på i matematiken.
Avslutningsvis valde vi att intervjua eleverna i helklass. Under intervjun skapade
vi en diskussion med syftet att få fram hur eleverna resonerade när de löste olika
uppgifter. Eleverna fick själva sätta ord på sina tankar. Vi ställde frågor som: Var det
lättare att arbeta enskilt eller i grupp? Varför var det lättare? Vi ställde även frågor
till eleverna hur de resonerade sig fram enskilt och i grupp för att lyfta fram den
resonerande matematiken. Frågorna lyftes av oss som forskare för att eleverna skulle
våga resonera mer, och våga tala högt om hur de resonerat i grupperna.
Här samlades elevernas material in vilket utgör en viktig del i vår undersökning
eftersom det är därigenom vårt resultat kommer att visas.
17
4.6
Giltighet och trovärdighet
Kullberg (1996) beskriver att en etnografisk studie ska pågå under en längre tid. Det
hade vi ingen möjlighet till utan vi befann oss där bara under en dag, vilket vi räknar
som en felkälla. Validiteten i vår studie ökar eftersom vi analyserar elevernas
resonemang i tidig ålder då det är detta som ger förutsättningar för att eleverna ska
kunna utveckla sitt tänkande i matematiken (se t ex Folkesson, 1998; Löwing &
Kilborn, 2002).
Även Englund (2007) skriver att elever måste få en chans att träna upp sig inom
den resonerande matematiken för att kunna bli medvetna om den kunskap de fått. Vi
menar här att uppgifterna vi valt ut till vår studie kan kopplas till detta
forskningsperspektiv eftersom vid arbetet med uppgifterna fick eleverna möjligheten
att på ett resonerande sätt sätta ord och tankar på sin nya kunskap vilket vi menar
ökar studiens validitet och trovärdighet som även är relevant för dagens forskning.
Vi gav eleverna möjligheten att resonera genom skrift, bild och siffersymboler vilket
gör att vi fick chansen att möta eleverna på deras nivå. De fick alltså chansen att
använda olika sorters språk för att ta sig fram till lösningen, detta menar även Hatami
(2007) leder till ökat resonerat tänkande i matematiken.
Vi har konstaterat en felkälla i den första uppgiften när eleverna skulle räkna antal
kvadrater i en figur. Här ritade vi upp en kvadrat efter uppgiftsbeskrivningen.
Storleken på denna kvadrat vilseledde eleverna till att inte kunna se andra storlekar
av kvadrater i figuren (se bilaga 2, bild 2).
Uppgiften som bestod av att dela pengar mellan Kalle och Lisa (se bilaga 3, bild
3) blev också vilseledande för eleverna eftersom pengarna redan från början var
delade. Det var svårt att motivera eleverna till att resonera sig fram till en lösning
eftersom ett svar att lösa uppgiften redan var givet.
Vi befann oss under studien i klassrummet och observerade eleverna vilket stärker
vår trovärdighet eftersom vi fick två olika perspektiv på tolkningar och resultat. Vi
valde att tydligt förklara för eleverna i båda klasserna vad vårt syfte med vår uppgift
var. Uppgifterna lästes upp högt för samtliga elever och frågor kunde ställas om
någon inte förstått. Innan hade vi tydligt informerat pedagogerna om vad vi avsåg att
undersöka och varför.
18
5
RESULTAT
Vi har genomfört en etnografisk studie där två klasser ingick, varav en förstaklass
och en andraklass. Totalt deltog 32 elever. I bearbetningen av vårt material har vi
analyserat resultatet utifrån vårt syfte: vilken effekt ger resonerande matematik
individuellt och i grupp.
Nedan kommer vi att presentera resultatet genom att kategorisera elevernas
resonerande för varje uppgift och för varje klass. Detta kommer att ligga till grund
för att analysera elevernas resonerande matematik på individ- och gruppnivå.
I resultatet kommer vi att ta ut citat från samtalet som eleverna hade när de löste
uppgifterna både på individ- och gruppnivå. Vi kommer slutligen att sammanställa
intervjuerna som gjordes med eleverna och även detta kommer att redovisas i form
av citat. Under arbetets gång när eleverna satt i de mindre grupperna gick vi runt och
lyssnade och observerade hur eleverna resonerade sig fram till en gemensam lösning.
Vissa av dessa observationer kommer att redovisas.
5.1
Antal kvadrater
Här skulle eleverna finna kvadrater i en figur (se bilaga 2, bild 2). Samtliga 32 elever
hittade endast 16 kvadrater i figuren i det individuella arbetet. Alla eleverna räknade
endast de små kvadraterna och kunde inte finna/se större kvadrater genom att bygga
samman flera kvadrater till en större.
5.1.1
Individuellt arbete i år 1
Följande citat är tagna från uppgiftslösningarna och är typiska exempel på hur
eleverna resonerade för att komma fram till antalet 16.
E1: Det är 16 rutor Jag tänkte 4, 4, 4, 4, för 4+4=8 och tar man 4 och 4
igen och då blir de 16.
E2: Jag tänkte att jag räknade 4-hopp 4-8-12-16 då kom jag fram till 16.
Två elever med mindre resonemang ger följande lösning:
E3: 16. Jag räknade.
E4: Jag räknade ihop det.
Bild 1. Användning av laborativt material
De andra eleverna använde sig inte av något resonemang och kunde inte förklara
vägen fram till svaret. Deras svar och lösning blev som citaten ovan visar, korta och
19
utan något resonerat tänkande. Dessa elever kände sig osäkra och tittade mycket på
kompisen bredvid för att kunna ge ett svar.
5.1.2
Grupparbete i år 1
När eleverna sedan fick sitta i grupp (fyra och fyra) och argumentera sin lösning
hörde och såg vi tydligt den resonerande matematiken och dess effekt. Här kunde
eleverna se, höra och förstå andras tankemönster vilket ledde till att fler kvadrater
hittades i figuren. Alla grupperna förde olika resonemang om uppgiften och hittade
därför olika antal kvadrater. Under observationen hörde vi i deras resonemang att
den 17:e kvadraten de hittade var de 16 små kvadraterna tillsammans vilket bildade
den stora och genom det hittades även fler. Nedan presenteras två gruppers
resonemang, som fick ihop 16 kvadrater i det individuella resonemanget. Gruppens
resonemang ledde till att de fick 17, 19 och 22 kvadrater.
Följande kommentarer är typiska exempel på hur vi som observatörer tolkade
elevernas väg fram till en lösning där fler kvadrater än 16 hittades. En grupp satt med
samma svar och samma lösning när en i gruppen såg en större kvadrat som han
byggde ihop av fyra små (se bilaga 6, bild 6).
E5: Jag hittade 16 men sen hade Pelle hittat 4 små och gjort dem till
en och nu hade vi 17 men sen fanns de 4 likadana.
Utifrån uppgifterna som eleverna besvarade i grupp kan vi visa på direkta citat som:
Grupp 1: Alla fick ihop 16 först men sen fick vi 17, 19 och 22.
Grupp 2: Vi hade inte samma lösning fast samma svar men sen såg
vi fler.
Grupp 3: Vi kom fram till 16 stycken allihop för 4+4=8 8+4+4=16
och 8+8=16 sen hittade vi tillsammans en stor också.
5.1.3
Gruppsamtal i år 1
Citaten nedan är från elever som var osäkra på sitt resonemang. De förklarade och
motiverade sin väg fram till svaret i intervjun på följande sätt:
E6: Det var ju bara att räkna.
E3: Jag vet inte hur jag gjorde jag bara gjorde det.
I gruppintervjun kunde en del resonera sig fram bättre än andra. De elever som hade
svårt för att se flera kvadrater än de som de själva hittat kunde genom samtalen och
diskussionen slutligen resonera sig fram i denna uppgift. De kunde med hjälp av
språket som verktyg och kompisarnas resonemang se nya tankemönster och motivera
hur de kom fram till lösningen.
I gruppintervjun hade vi ritat upp samma figur som i uppgiften på tavlan för att
lättare kunna resonera med eleverna. I denna klass tog eleverna eget initiativ till att
gå fram till tavla och konkret visa sin lösning för övriga i klassen.
5.1.4
Individuellt arbete i år 2
Följande citat är typiska exempel på hur eleverna kom fram till antalet 16.
E1: Jag räknade en i taget och fik 16 stycken tillsammans.
E2: Jag såg att det var 4 ihop med 4 i varje. Dom blev 16.
20
Två elever med samma svar men utan resonemang ger följande lösning:
E3: För 8+8 är lika med 16.
E4: 10+6=16.
Vissa uppgiftslösningar som samlades in saknade både symboler, bilder och skrift
med, papperet var blankt.
5.1.5
Grupparbete i år 2
Efter att eleverna suttit och jobbat individuellt fick de sätta sig i grupper med fyra i
varje för att här resonera och argumentera sin lösning och slutligen gemensamt nå ett
svar. Här fick de ta del av andras tankar och på detta sätt utveckla sina egna för att
närmare komma fram till sanningen (svaret i matematikuppgifterna). Även denna
klass kom närmare svaret när de resonerade tillsammans. Här hörde vi som
observatörer hur de tillsammans kunde gissa sig fram och i gissningarna fann de fler
än 16 kvadrater. Citaten nedan är direkt tagna från uppgifterna som gruppen
sammanställt:
Grupp 1: Vi tänkte olika men kom fram till samma sak.
Grupp 2: När vi satt i grupp kom vi på att det finns mer.
Grupp 3: Alla fick ihop 16 först. Sen såg Fredrik en till och då hade vi
17.
5.1.6
Gruppsamtal i år 2
Vid denna intervju märktes en stor skillnad mellan de elever som kunde resonera och
inte. De elever som förstod tänkandet bakom uppgiften såg nu med hjälp av oss i
resonemanget fler kvadrater. Detta ledde till att allt fler i klassen förstod och kunde
se flera möjliga lösningar på uppgiften. När vi tillsammans med eleverna
resonerande fick sig många en aha-upplevelse när de själva kunde komma längre i
sin lösning än de innan trott.
Även här ritade vi upp samma figur på tavla för att få igång en diskussion.
Skillnaden i denna klass var att osäkerheten tog över och ingen av eleverna var villig
att gå fram och argumentera för sin lösning. Utan här blev det istället vi som
pedagoger som fick leda dem fram till nya tankar.
E5: Jag trodde ni ville ha de så.
E6: Jag vet inte hur jag ska göra.
E6: Jag förstod inget förrän någon förklarade vad jag skulle göra.
5.2
Dela pengar
Eleverna skulle i denna uppgift dela ett visst antal mynt mellan Lisa och Kalle (se
bilaga 3, bild 3). Samtliga elever delade pengarna lika mellan Lisa och Kalle, alla
utom en. Här ville alla elever utom en vara rättvisa mot Lisa och Kalle. Uppgiften
berättade inte för eleverna att mynten skulle delas lika utan de var något eleverna
fick avgöra själva. Två elever använde sig av laborativt material som bestod utav
pengar för att här kunna resonera sig fram till svaret. Detta för att sen kunna skriva
eller rita ner det på papperet.
21
5.2.1
Individuellt arbete i år 1
Följande citat är typiska exempel på hur eleverna kom fram till sin lösning när de
delade pengarna till Lisa och Kalle.
Elever som resonerande sig fram till en lösning gav följande svar:
E1: Jag tänkte att jag tar en cirkel i taget Sen delade jag upp det 1 och 1.
E2: Jag tänkte att jag skulle dela upp de i två högar.
Elever med mindre resonemang gav följande svar:
E3: 7+7=14 och så blev det.
E4: 7.
En av eleverna (E5) i denna klass delade inte pengarna lika som övriga klasskamrater
gjorde. Han gav istället 8 kronor till Kalle och 6 kronor till Lisa (se intervju i grupp).
5.2.2
Grupparbete i år 1
Eftersom alla elever utom en hade delat lika blev det inte mycket argumentation i
diskussionen. I den gruppen där eleven med en annan lösning deltog ändrades allas
resonemang.
5.2.3
Gruppsamtal år 1
En av eleverna hade i sin individuella lösning valt att inte dela pengarna lika mellan
Lisa och Kalle. Därför tog vi upp elevens resonemang i helklass vilket ledde till att
samtliga i klassen nu kunde se och resonera på andra sätt än de som innan angivits.
Denna tankegång skapade i sin tur många olika förslag till lösningar där Lisa blev
storasyster och behövde mera pengar och Kalle fick alla för Lisa varit dum osv. Här
fann nu plötsligt eleverna fler lösningar än de hade innan arbetet enskilt och i grupp.
På grund av att den resonerande matematiken fick eleverna här många olika
lösningar och svar.
Citatet visar på hur pojken resonerade sig fram:
E5: Lisa gav Kalle 2 kronor nu hade Kalle 8 kronor och Lisa hade 6
Kronor (se bild 2).
Bild 2. (E5) Annorlunda resonemang
Följande citat visar på hur eleverna i klassen började resonerade sig fram när de hade
hört elevens resonerande matematik:
22
E6: Lisa fick10 för hon är 10 år och Kalle fick 4 kronor för han är 4
år.
E7: Kalle fick 7 kronor för läsken kostade 7 kronor och då kunde Lisa
också köpa läsk.
E8: Jag hade gett Kalle 7 kronor och Lisa 7 kronor, men nu fick Kalle
5 kronor och Lisa 9 kronor.
E9: Först tänkte vi att det var 7 kronor i varje hög och att det skulle bli
rättvist, men nu har Kalle 8 kronor och Lisa 6 kronor.
5.2.4
Individuellt arbete i år 2
Under denna uppgift var det en hel del elever som ställde frågan om pengarna skulle
delas lika. Vi som forskare valde att inte svara på frågan utan gav svaret: skriv ner
ditt tankesätt. Följande citat är typiska exempel på hur eleverna kom fram till sin
lösning när de delade pengarna till Lisa och Kalle.
Elever som resonerande sig fram till en lösning gav följande svar:
E1: Jag räknar först hur många kronor det är sen delar jag de på
hälften. Då blir det sju var. .
E2: Jag tänkte att jag skulle dela upp de i två högar.
Eleven som gett oss det sista citatet hade även målat för att förtydliga sitt svar.
Bild 4. (E 2) Resonemang med hjälp av bilder.
Elever med mindre resonemang kom fram till lösningar som gav följande citat:
E3: Så att de fick lika många pengar.
E4: 7+7 är lika med 14
5.2.5
Grupparbete i år 2
Här skedde samma sak som i klass ett, samtliga elever hade delat pengarna mellan
Kalle och Lisa lika men de kunde ändå argumentera för sin lösning för att
kompisarna i gruppen förstod hur de tänkte och vad de fått svaret ifrån.
Grupp 1: Alla fick ju samma svar, vad ska vi göra då?
Grupp 2: Alla tänkte olika men fick ändå samma svar.
23
5.2.6
Gruppsamtal i år 2
Även denna gång visade klass två en osäkerhet i att argumentera för sitt resonemang.
Här var det återigen vi som pedagoger som fick ställa de didaktiska frågorna t.ex.
vad händer om? om vi gör såhär istället, vad händer då? Då vågade eleverna resonera
mer och kom genom det fram till olika lösningar.
5.3
Tåguppgiften
Eleverna skulle räkna tågvagnar som de inte kunde se i tunneln (se bilaga 5, bild 5). I
denna uppgift kunde endast tolv elever resonera sig fram individuellt. Vi kunde här
se i våra observationer att eleverna hade svårt att räkna sådant som de inte ser i
uppgiften. Detta skapade en osäkerhet och eleverna tittade mycket på varandra och
vilka svar kompisarna fick fram innan de fyllde i sin egen uppgift.
5.3.1
Individuellt arbete i år 1
Här uppkom det inga direkta frågor om hur uppgiften skulle lösas utan eleverna satte
sig ner och skrev ner hur de resonerade. De elever som kunde resonera sig fram till
en lösning svarade:
E1: Jag kollade på loket den hade en vagn ute ur tunneln och 4-1=3
nu är det tre vagnar i tunneln.
E2: Jag tar fyra vagnar nu är det en utanför och då blir de 4-1=3.
Elever som inte kunde resonera sig fram med kommunikation gav följande lösning:
E3: 3, jag kollade på storleken.
E4: 4.
5.3.2
Grupparbete i år 1
De elever som inte kunde resonera sig fram individuellt fick här hjälp av gruppen.
Alla förstod nu att det var tre vagnar inne i tunneln. Här resonerande de sig fram
genom att rita dit vagnar som saknades (se bilaga 7, bild 7) och då förstod alla i
gruppen oavsett tidigare individuella lösningar att det var tre vagnar som saknades.
Samtliga elever hade här svårt att sätta ord på gruppens resonemang utan de målade
för att visa kamraterna sitt tänkande, vilket bilaga 7 visar. Genom att de ritade sitt
tänkande föddes också språket vilket tyvärr inte kom med under lösningen.
5.3.3
Gruppsamtal i år 1
Här hade eleverna i sina grupper resonerat sig fram så tydligt att det inte krävdes
någon genomgång och det behövdes heller inga didaktiska frågor. Eleverna kunde
här tydligt med språk, bilder och resonemang visa på sina lösningar om hur de kom
fram till att det fanns tre vagnar gömda i tunneln. Följande citat är tagna från
elevernas grupplösningar:
Grupp 1: Vi kollade på loket den hade en vagn ut ur tunneln och 41=3, då är det tre vagnar inne i tunneln.
5.3.4
Individuellt arbete i år 2
Eleverna i klass två som förstod antalet vagnar som var dolda kunde resonera på ett
tydligt sätt. De skrev följande lösningar på uppgiften, som följande citat visar:
24
E1: 1 var ute och det var 3 vagnar då blev det 3 vagnar som är i
tunneln.
E2: Jag tänkte att de var 4 vagnar och en var ute och då var det 3
vagnar kvar.
Elever som resonerade sig fram mindre gav följande lösning:
E3: I tunneln är det 2 vagnar.
E4: 4.
E5: 3 Jag räknade.
I denna klass uppstod det en fråga av en elev om hur han skulle kunna veta antalet
vagnar i tunneln som han inte såg.
5.3.5
Grupparbete i år 2
De starka eleverna i klassen blev här efter redan två avklarade uppgifter snabbt
engagerade i att förklara för övriga i gruppen. De förstod nu vad uppgiften gick ut på
och att resonemanget var det centrala för att alla i gruppen skulle förstå.
Följande resonemang fördes i grupperna:
Grupp 1: Vi tänkte att en vagn var utanför och det var tre innanför.
Grupp 2: Det var en vagn utanför och då måste det vara tre inne för
3+1=4.
När vi gick runt och lyssnade och observerade hörde vi att samtliga grupper blev
stärkta av varandras resonemang.
5.3.6
Gruppsamtal i år 2
När vi slutligen skulle diskutera denna uppgift med klassen var tiden vi fått nästan
ute, och lunchrasten var nästa punkt på schemat. Resonemanget från vår sida blev
därför kort och språkfattigt vilket ledde till att alla elever som ville prata om sin
lösning inte fick chansen. De enstaka elever som hann med att prata om sin lösning
gav oss följande resonemang:
E6: Jag använde mig av minus. Jag visste att loket hade fyra vagnar
och jag såg en. Jag tog därför 4-1=3.
E7: Jag tänkte på loket som ett lok och inte en vagn, och man såg bara
en vagn. Tillsammans visste jag att det skulle vara fyra, och då fanns
det bara tre kvar.
5.3.7
Avslutningsvis
Genomgående i alla de uppgifter som vi genomförde såg vi att klass ett kunde ta sig
ett steg längre i sitt resonemang än vad klass två klarade. Klass ett valde att använda
sig av bilder medan klass två inte tog hjälp av det verktyget och hjälpmedel som
fanns tillgängliga. Klass ett kunde däremot inte använda sig av symbolspråket och
hade svårare att resonera sig fram i sitt tal. Eleverna vi mötte i klass två var här
tydligare i sitt resonemang och språket var mer utvecklat.
Vi ser återigen en skillnad mellan klass ett och två. Klass ett är den gruppen som
vågar ta för sig i resonemanget och klass två kräver mera ledande frågor av oss som
25
pedagoger. Vi såg tydligt att eleverna i klass ett kunde och vågade resonera sig fram
till ett svar. I klass två var eleverna mer osäkra och letade sig fram till ett svar som de
trodde att vi ville ha.
5.4
Pedagogens betydelse för den resonerande matematiken
Vi såg under samtliga uppgifter att den resonerande matematiken förde med sig en
positiv effekt, vilket var vårt syfte i studien. Men vi såg även pedagogens betydelse
efter elevernas egna resonemang och diskussion. Vi som forskare kunde här genom
de didaktiska frågorna vad, hur och varför ta eleverna ytterligare ett steg i deras
tänkande. Det som skiljde klasserna åt var pedagogernas upplägg och
klassrumsklimat. Vi tolkade här genom våra observationer de två olika miljöerna
som studien genomfördes i. Klass etts miljö hade ett mer öppet klimat där pedagogen
mål i undervisningen verkade vara att få eleverna att tänka ett steg längre för att
kunna resonera sig fram. Vi märkte att detta bidrog till att uppgifterna inte blev
främmande, de kände sig heller inte obekväma i gruppdiskussionen. När vi sedan
befann oss i klass två var klimatet mer slutet. Även att vi som forskare uppmanade
till diskussion var det svårt för eleverna att släppa klassrumsreglerna och diskutera
med kompisarna. Det var främst i uppgiften om kvadrater (i klass ett) som vi kunde
se vår betydelse för den resonerande matematiken. I helklass gick vi som forskare
genom uppgiften, gav eleverna små ledtrådar till en lösning samtidigt som vi stöttade
dem att tänka själva, vilket de gjorde.
Avslutningsvis vill vi genom ett diagram förtydliga effekten av resonerande
matematik. Det utfördes 96 uppgifter sammanlagt, endast 29 av dessa klarade att
genomföra uppgiften på individnivå.
individuelllt
grupp-arbete
Figur 1. Effekten av resonerande matematik, individuellt och i grupp.
Här har vi lagt samman samtliga uppgifter och visar på hur många elever som
individuellt kunde resonera sig fram i det blåa fältet. Det röda fältet visar att
samtliga kunde komma fram till en lösning med hjälp av resonerande matematik i
grupp.
26
6
DISKUSSION
I följande avsnitt kommer det att föras en diskussion om effekten av resonerande
matematik som varit vår utgångspunk i vår studie. Diskussionen kommer att byggas
på de resultat vi fick fram.
6.1
Resonerande matematik
Den resonerande matematiken betyder att vi resonerar oss fram för att komma
närmare ett påstående och en slutsats som kan kopplas till en lösning i uppgiften
(Lithner, 2007). Processen innebär att språket kopplas till matematiska
argumentationer och ett konsekvent tänkande (Hatami, 2007). Detta begrepp blev vår
vägledning och det centrala i studien. Vår syn på resonerande matematik har genom
resans gång ändrats från att vara bara viktigt till oerhört viktigt. Vi har nu förstått
språkets centrala del i denna process eftersom det finns en nära relation mellan tanke
och språk som uppstår när människor möter varandra (se t ex Doverborg m fl.,
2008). Vi har förstått att all undervisning i skolan bör utgå ifrån elevernas egna
tankar efter vår undersökning. Vi har genom undersökningen och tidigare forskning
fått en ökad kunskap om dess effekt på eleverna.
6.2
Språkets och kommunikationens centrala delar
Det vi märkte här var att eleverna ute i skolorna inte är vana att använda språket på
ett sätt som gör att det leder till en vinst. Med vinst menar vi att språket i
resonemanget leder till att de kommer sanningen närmare. De har inte förmågan och
självförtroendet att kunna kommunicera och sätta ord på sina tankar. Vygotskij
genom Doverborg m fl. (2008) skriver att matematik som språk innefattar en rad
termer och begrepp som eleverna måste förstå för att kunna använda. När de har fått
denna förståelse utvecklas också tilliten till matematiken.
I vår resultatdel visade det sig att denna osäkerhet försvann när eleverna fick
arbeta i grupp och språket kunde utvecklas på ett meningsfullt sätt, vilket även
Vygotskij (se Doverborg m fl., 2008) styrker genom att säga att språket är
betydelsefullt för hela människans språkliga och mentala utveckling. När elever löser
problem tillsammans utvecklas deras erfarenheter i det sociala samarbetet. Detta
leder till att eleverna gör om sina erfarenheter till sitt egna material, vilket enligt
Vygotskij (se Doverborg m.fl.), 2008) innebär att utvecklingen sker från det yttre till
det inre. Vygotskij använder här begreppet det ”egocentriska språket”. Detta såg vi
tydligt i våra observationer när en elev som var väldigt osäker kopplade samman sina
tankar med gruppen och ledde därefter hela klassen närmare sanningen. Just denna
händelse kan vi även koppla till Piaget (se Williams m.fl.), 2000) som skriver att när
barn möter varandra är de alla på samma nivå och pratar samma språk. Ett sådant
samtal gör att eleven hittar en stark motivation till att lita på sig själv och en vilja att
våga förändras och förändra andra. Eleven som först påvisade en stark osäkerhet
förändrades under resonemangets gång och blev stärkt genom sitt språk. De kunde
nu ta hjälp av varandra för att förstå en ny kunskap. Detta pekar på att här sker en
”decentrering” där barnet vinner både sociala och kognitiva fördelar enligt Piaget (se
Williams m.fl.), 2000). Det vi kunde se i studien som vi genomförde var det
forskarna ovan beskrev. Under processens gång växte denna elev och engagemanget
för den matematiska uppgiften blev ett bevis för oss som blivande pedagoger att
språket och resonemanget måste få en central plats i klassrummet.
27
Vi såg att eleverna inte lärt sig att använda sitt egna språk för att resonera sig fram
i uppgiften. De båda klasserna skiljde sig väldigt mycket åt. Klassrumsmiljön i klass
ett tolkade vi som öppet och i klass två som sluten, där den öppna koden (miljön i
klassrummet) har samtal och diskussion i fokus vilket det inte gör i den slutna.
Dewey (se Englund, 2007) skriver att eleverna måste få lära sig att använda sitt språk
redan i tidig grundskola för att senare kunna gå över till skolans språk och sedan
kunna använda sig av det i vuxen ålder. Eleverna i klass två kändes, som vi visat på i
resultatet, mer osäkra och förvånade över att uppgifterna skulle lösas genom samtal
med kamraterna. De hade inte fått träna sig i att reflektera och argumentera över
tidigare kunskap vilket Folkesson (1998) refererar till som Deweys ”learning by
doing”. Detta begrepp innebär att genom att ge eleverna tid och verktyg till att få
reflektera börjar eleverna självmant att söka nya utmaningar och sätta upp nya mål
som för dem framåt i utvecklingen.
Det var framförallt i uppgiften om kvadrater som decentreringen visade sig. Så
gott som alla elever ändrade sitt sätt att tänka vilket ledde till att eleverna kom
närmare sanningen som ger svar på vår problemformulering. Vi kunde i denna
diskussion höra språkets centrala del i argumentationen där eleverna lärde sig att ta
andras ståndpunkter. Denna uppgift gav oss som observatörer mest information om
hur resonerande matematik fungerar när den är som bäst.
I den forskning och den litteratur vi tagit del av påtalar alla författare vikten av att
låta eleverna samtala, sätta ord på sina tankar och samarbeta för att en utveckling ska
ske inom matematiken (se t ex Jerlang, 2008; Riesbeck, 2008). Vi ser i vårt resultat
att detta arbetssätt ger eleverna en ökande förståelse och vi är införstådda med att
denna väg är positiv. Eleverna får på detta sätt öva upp sin förmåga att använda
språket som ett verktyg i lärandet. I dagens samhälle och i skolorna menar vi att tid
till detta tyvärr inte finns. Vi som pedagoger kommer inte alltid kunna tillåta en
diskussion där språket är en central del för att planeringen måste hållas i arbetslaget,
vilket känns tragiskt eftersom effekten nu är bevisad. Vi måste i vårt yrke hålla en
tidsplanering som är väldigt pressad, detta leder tyvärr till att tiden till diskussioner
ofta faller bort. Även Riesbeck (2008) skriver att låta eleverna räkna i tysthet leder
till en isolering där det resonerande inte får plats.
Bergius, B., Emanuelsson, L. (2008) har gjort en studie som visar att motivationen
och lusten för matematik avtar omkring år tre till fyra. Detta var något vi såg i vårt
resultat, skillnaden mellan klass ett och klass två var markant när det gäller att
resonera sig fram i matematiken. Vi tolkade det som att klass ett hade lättare att ta
sig an uppgiften och kände inte lika stor press som klass två. De kunde resonera
bättre både enskilt och i grupp och sökte inte det rätta svaret på samma osäkra sätt
som klass två. Detta kan bero på de olika kommunikations-nivåerna eleverna möter i
åren innan skolan. Klass ett hade fortfarande med sig den lekfulla och felfria känslan
till matematik, vilket vi påstår försvinner ju längre upp i åldern man kommer.
I vårt resultat visar vi att eleverna i studien fick chansen att lösa uppgifterna
utifrån flera uttrycksformer: laborativt material, bilder, skrift och språk. Vi såg
genom detta att ett flertal elever (se bild 1) kunde komma längre i sina lösningar med
hjälp av detta kommunikationsmedel. De kunde individuellt inte sätta ord på sina
tankar utan förlitade sig istället på att materialet skulle visa deras tankegång.
Häggblom och Hartikainen (2006) skriver att genom detta arbetssätt gör eleverna en
vinst och lär sig att föra nya matematiska resonemang samtidigt som de övar upp sig
i att ta ny ställning till sin personliga lösning. Vi menar här att detta inte bara är
positivt utan kan ses som ett hinder när de i vardagliga situationer ska resonera sig
fram fritt. Eleverna kommer inte alltid ha tillgång till material de kan förlita sig på
28
utan språket och kommunikationen måste få ta större plats i undervisningen. Det vi
också märkte var att de starka eleverna i klasserna satte ord på kompisarnas tankar.
Detta kopplar vi samman med Vygotskijs ”proximala zon” där eleven utvecklas i
samspel med en mer erfaren kamrat som blir en ledare för den svaga eleven vilket
bidrar till att en reflektion startar och de tidigare kunskaperna omvärderas till nya
(Doverborg m.fl.), 2008). I studien fick vi som forskare tillfälle att observera
elevernas utveckling i den proximala zonen. Vi märkte att elevernas tankar
utvecklades mer när kamraterna kom med en annan lösning och tog lärarrollen vilket
också stärkte deras självkänsla.
6.3
Elevernas resonemang
Vi märkte i vårt resultat en skillnad mellan de resonemang som fördes individuellt, i
grupp och i gruppsamtal.
6.3.1
Individuellt resonemang
Under det individuella resonemanget märkte vi, så som vi skrivit ovan, att elevernas
språk inte räckte till. De hade svårt att ta sig an uppgifterna och sätta ord på sina
tankar. En del av de elever som löste uppgiften på ett resonerande sätt använde sig av
hjälpmedel som bilder och laborativt material (se bild 4, E 2). Det var endast några få
elever som klarade av att beskriva sin väg fram till lösningen med hjälp av enbart
skrift. Detta menar vi beror på att eleverna i dagens samhälle tillåts att räkna i
tysthet. Riesbeck (2008) skriver om just det tysta klassrummet som leder till en
isolering där eleverna inte får uppleva och upptäcka matematiken från ett språkligt
resonerande perspektiv.
Vi menar att pedagogerna idag har för lite kunskap och utbildning inom den
resonerande matematiken vilket påverkar elevernas förmåga att sätta ord på sina
egna tankar. Bergqvist (2006) skriver i sin avhandling att de pedagoger som finns ute
på fältet idag underskattar sina elever och deras förmåga att resonera sig fram till en
lösning.
Under matematiklektionen lägger eleverna enormt mycket tid på att prata med sig
själva vilket vi menar inte leder till något positivt inom den resonerande
matematiken. Under genomgången av matematikuppgifterna var ett flertal elever
nervösa och osäkra. Det vi trodde skulle underlätta för eleverna blev istället ett
hinder då de fick höra att uppgifterna inte hade något givet svar utan det var vägen
fram till svaret som var det väsentliga. Genom processen fram till lösningen fick vi
ändå frågor och tomma blickar som sökte en bekräftelse om de hade angivit rätt svar
(se sid 20, E5). Vi tar samma ståndpunkt som Heiberg m.fl. (2004) som skriver att
matematiken idag kopplas till svåra multiplikationstabeller, bråk, procent,
uppställningar och även uträkningar. Eleverna i dagens skola är låsta vid att
matematiken ska se ut och vara på ett visst sätt. De har svårt att se till vad som ligger
bortom de fina termerna och begreppen i matematiken.
6.3.2
Resonemang i grupp
Vi har gång på gång fått bevisat för oss genom forskare och egen undersökning att
effekten är positiv. Den effekten vi såg stärks av bland annat Säljö (2000), Riesbeck
(2008) och Hatami (2007) som alla säger att samspelet mellan människor är en hjälp
för att bemästra ny kunskap. Det var främst under denna kategori som syftet och
problemet blev besvarat. Under grupparbetena kom samtliga elever närmare
sanningen.
29
Resultatet under denna kategori tolkar vi som sagt positiv för elevernas
utveckling. Vi menar att det beror på att samtliga elever här fick chansen att inför
kamrater argumentera för sin lösning. Detta menar vi bidrog till att eleverna snabbt
skapade en känsla av tillfredställelse och en ökad motivation till matematiken. Det
var här vi som forskare verkligen fick uppleva och se effekten av detta arbetssätt när
eleverna fick höra, se och förstå andras tankemönster (se sid 19, E5).
Det intressanta under kategorin var när elevernas olika behov av uttrycksmedel
blandades. De som kom till gruppen utan att använda sig av laborativt material blev
snabbt engagerade och delaktiga om någon i gruppen förklarade sin lösning med
hjälp av annat än papper och penna. Just det här påtalar Ljungblad (2001). Ljungblad
skriver att det är detta vi pedagoger måste arbeta och lägga upp vår undervisning
utifrån, vi måste lära eleverna att gå från analys (delar) till syntes (helhet).
Eftersom vi inte kände till elevernas kunskapsnivå sattes grupperna ihop
slumpmässigt. Det fanns säkerligen grupper där starka elever tog överhand och
styrde hela gruppen på både ett positivt och negativt sätt. Det positiva menar vi är att
eleverna fick ta nya ställningstaganden, medan det negativa synliggjordes i att de
svaga eleverna kom i bakgrunden och att deras tankar och argumentationer inte
hördes i gruppen. Det som vi tror driver dessa elever framåt är att när dessa elever får
höra sina kamraters tankar och lösningar gör de om dessa tankar till sina egna och
kunskapen är nu deras.
6.3.3
Gruppsamtal i klass
Det intressanta med denna kategori var att alla grupper gjorde sig hörda, de mer
drivande grupperna förde klassen framåt och diskussionen fylldes av engagemang av
samtliga elever.
Hatami (2007) frågar sig själv om det inte är ett utbildningssjälvmord att låta barn
och ungdomar finna en lösning på egen hand utan det ska ske i grupp. Det vi märkte i
gruppsamtalen var att det fanns enormt många olika tankar och mönster att bygga
undervisningen på efter hur eleverna resonerade. Vi, som pedagoger hade en viktig
roll i att föra resonemanget vidare. Eleverna hade och kände att de ledde största
delen av diskussionen eftersom det var de sa som byggde kunskapen vidare.
Under uppgiften som innebar att dela pengar mellan Lisa och Kalle visade vårt
resultat att endast en elev av 32 valde en annan lösning (se sid 21, bild 2, E5). Denna
elev var mycket osäker på sig själv men eftersom hans resonemang skilde sig från de
övriga valde vi att stötta honom till att förklara sin lösning för övriga i klassen. Detta
ledde till att flera i klassen började resonera efter att de hade hört elevens
tankemönster (se sid 22, E6, E7, E8 och E9). Denna elev som hade en egen lösning
hade svårt att inför klassen sätta ord på sina tankar utan det laborativa materialet. Vi
lät eleven hämta pengar för att lättare kunna resonera och förklara vägen fram. När
detta hände hjälpte klasskamraterna honom att sätta ett språk till sitt resonemang
vilket ledde till en decentrering. Ännu en gång fick vi se hur den positiva effekten av
resonerande matematik kan stärka en elevs självkänsla
6.4
Pedagogens roll
Under det individuella arbetet valde vi som genomförde studien att vara tysta för att
bättre kunna höra elevernas resonemang. I gruppuppgiften skulle eleverna ta den
största platsen själv tillsammans med sina gruppmedlemmar för att komma närmare
sanningen vilket de gjorde. Det var först under gruppsamtalet i helklass som vi insåg
vad vi som pedagoger har för betydelse när det gäller den resonerande matematiken.
30
Bergius och Emanuelsson (2008) skriver att motivationen och lusten för
matematiken redan finns hos eleven, detta är inget vi pedagoger behöver skapa.
Elever tycker att matematik är spännande och utmanande vilket ger oss pedagoger
goda förutsättningar för att skapa en utveckling. Vi ställer oss en aningen kritiska till
detta. Vi menar att motivationen kanske finns där från början men det är vi som
pedagoger som måste hitta och utveckla den hos eleven. Eleven är inte kapabel att
själv drivas framåt när svårigheterna inom matematiken dyker upp. Pedagogens
uppdrag är att ständigt motivera, stimulera och ge chansen till möten och situationer
där matematiken får en mening. Vi såg i gruppsamtalen vilken enorm betydelse vi
som pedagoger har. Vi håller med de om att det finns förutsättningar i större grupper
men det är upp till pedagogen att kunna använda och se dessa möjligheter.
Möjligheterna att undervisa på ett resonerande sätt kommer inte av eleverna själva på
utan det är vi som ledare som måste bemöta och ge relevanta uppgifter som fångar
eleverna på rätt nivå. Vi tror många gånger att det brister eftersom pedagogerna inte
har någon kunskap och utbildning inom ämnet de vågar helt enkelt inte att välja bort
de färdiga läroböckerna. Även Ljungblad (2000) skriver att många pedagoger står
och undervisar i ett ämne de inte är trygga med och lär ut kunskap som de själva fått
samla på sig genom åren och som de anser är rätt för eleverna.
Berggren och Lindroth (1997) motsätter sig det Bergius och Emanuelsson (2008)
skriver. De menar istället att det är upp till pedagogen att utmana eleven för att lust
och motivation ska skapas för ämnet. Detta kan ske genom att låta eleverna rita,
bygga och diskutera. På detta sätt kan de koppla matematiken till verkligheten och
vardagen. Detta var precis vad eleverna i vår studie fick möjligheten att göra. Vi
valde att ta plats som ledande flexibel pedagog. Vi hade innan gjort upp klara ramar
för vad som skulle undersökas men det var upp till eleverna att bestämma på vilket
sätt kunskapen skulle bemästras. Genom detta arbetssätt anser vi att vinsten är störst
för både pedagog och elev men vi är också är väl medvetna om att tiden ute i
skolorna är pressad och att detta arbetssätt kräver just tid. Med hjälp av vårt
engagemang fördes eleverna ännu ett steg närmare sanningen.
6.5
Myndigheters perspektiv & de matematiska kunskaperna
Som vi skrivit innan fick vi det ganska snabbt bevisat för oss att effekten av den
resonerande matematiken var positiv, både vårt resultat och olika forskare stärker
detta.
Redan 1937 förstod forskaren vikten av den resonerande matematiken genom att
ha hittat ett trettio tusen år gammalt vargben i Tjeckoslovakien. Redan här skriver
Johnsen Hoines (2008) att människan valde att bilda olika uttrycksformer inom
matematiken som en hjälp i sin matematiska utveckling.
Vi har under arbetets gång fått en förståelse för hur arbetet fram till de
matematiska kunskaperna kan skapas på ett mera kunskapsmässigt sätt. Eleverna
måste få se matematik från flera olika perspektiv, de måste få en chans att förstå och
göra sig förstådda inför sig själva och andra. För att vi ska nå hit med de elever vi
möter måste vi erbjuda en mängd olika undervisningsmetoder och de bästa
metoderna har vi förstått kommer från eleverna själva. Det som vi anser är mest
skrämmande med detta ämne är att utvecklingen av våra kursplaner och läroplaner
inte lägger den tyngd på matematik som vi anser är nödvändig.
Från 1864 där det för första gången nämndes något om matematik och fram till
dagens kursplaner och Lpo 94 har det inte skett någon direkt revolution. År 1969 var
ett mål i läroplan följande ”all undervisning skall grundas på förståelse” (Malmer,
1999, s21). Detta mål sågs som en omöjlighet att uppnå av de berörda pedagogerna
31
eftersom de i likhet med dagens pedagoger inte förstod innebörden utav det. Vi
menar här att pedagogernas syn inte har förändrats och att kunskapen och
utbildningen inom ämnet inte ökat men att målet fortfarande är relevant.
Vi tycker som blivande pedagoger att det är skrämmande när vi under 1980talet genom IEA-undersökningen fick det bevisat för oss att svenska elevers
kunskapsnivå var lägre än genomsnittliga länder. Detta bidrog till att många
skickades på fortbildningar, kort därefter skapades Lpo 94 efter 1980-talets bevisade
misslyckanden. Men även om detta misslyckande fick upp våra ögon är det lätt att
glömma och gå vidare. Även Skolverket (2000) skriver att eleverna ute i skolorna
inte blir bättre på att räkna och svårigheterna inom ämnet ökar. Skolverket såg även
att det antal elever som icke blev godkända matematiken låg högre än jämfört med
ämnet svenska och engelska.
I Lpo 94 och kursplanen 2000 byttes de kvantitativa kunskaperna ut mot
kvalitativa. Genom detta var det meningen att den resonerande matematiken skulle få
mer plats i undervisningen och att eleverna skulle få chans att bygga upp en
självkänsla och tillit till matematiken.
Hur ska vi kunna följa läroplanen och kursplanen som säger detta när det finns
pedagoger ute på fältet som står utan utbildning och undervisningen fortfarande är
densamma? Enligt Skolverkets (2000) rapport om kommentarer till kursplaner som
vi nämnt innan ser vi att förändringarna inom matematiken är små i jämförelse med
de andra ämnena. Det vi tycker är chockerande är att det inte pågår några drastiska
förändringar som ska leda ämnet framåt. De styrdokument som vi ska använda som
verktyg och hjälpmedel i vår yrkesroll är bara riktlinjer för hur
matematikundervisningen ska gå till. Under vår utbildning är det något som vi lärt
oss och det är att alla styrdokument är tolkningsbara. Hur ska vi som blivande
pedagoger med den tidspress som råder i skolorna idag kunna föra alla de elever vi
möter framåt i sin matematiska utveckling? Vi har genom denna studie fått en hel del
kunskap och verktyg som kan vara till hjälp i vår undervisning, men att ha modet och
orken att frångå arbetslagets normer och riktlinjer känns för oss skrämmande. Båda
två vet vi nu och har fått bevis på att genom den resonerande matematiken föds lust
och motivation. Vi måste bara ha tillräkligt mycket självförtroende för att genomföra
detta arbetssätt som med all sannolikhet kommer att göra matematiken mindre
kravlös och istället spännande för många elever.
32
7
SLUTORD
Att ha haft orken att ta sig an vår studie som vi gjort har vi flera människor att tacka
för. Vägen fram till slutresultatet har ibland varit mödosam och hela denna rapport
har för oss ibland varit som att lägga ett pussel. Vi hade en gång under vår studietid
en lärare som heter Maria Magnusson och som beskrev sin forskning som att lägga
ett pussel och där pusselbitarna inte alltid passar. Just så kändes det ibland för oss, vi
kunde även känna att en del pusselbitar inte fanns och fick därför börja om från
början igen.
Vi har även flera personer som vi vill tacka och som gjort och underlättat vårt
färdiga pussel. Till en början vill vi tacka vår handledare Constanta Olteanu för all
respons som kom fort tillbaka till oss när vi kört fast eller hade förfrågningar.
Constanta du har lärt oss hur vi på ett bra sätt kunnat pussla färdigt. Vi vill även
tacka Bo Pettersson för tips och idéer med bland annat övningar och litteratur. Bo
gav oss mycket energi eftersom han jobbat just med matematik under många år, både
som verksam pedagog i skolor och lärare för oss på lärarutbildningen. Tack till Tom
Gagner som en dag fick rädda vår rapport som försvunnit från datorn, du var den
dagen en ängel utan vingar. Vår examinator Görgen Göransson för att du orkade med
alla våra mail och även för din respons. Tack till våra familjer som har fått utstå
många klagomål och fått trötta fruar. Eleverna och pedagogerna ute på skolan vi var
på, tack för att vi fick komma och göra vår forskning. Det är om er elever som hela
rapporten handlar, ni var jätteduktiga. Ett sista tack vill vi ge Reza Hatami som
gjorde att vi ville skriva om detta ämne. Vi glömmer aldrig första dagen då vi skulle
börja din kurs i matematik, vi var båda livrädda för ämnet och vi tyckte att det var
tråkigt samtidigt som vi aldrig trodde att vi skulle klara av din skriftliga
salstentamen. Under tidens gång när vi hade Reza gav du oss båda ett självförtroende
som gjorde att vi vågade resonera oss fram till en lösning. Många gånger var det
mödosamt men med din hjälp sitter vi nu här idag med en kunskap som vi alltid
kommer att bära med oss. Kunskapen vi fått kommer vi kunna ge våra blivande
elever den dagen vi står som färdiga pedagoger. Vi vet att det även kommer att bli
mödosamt för många av våra elever men med vår kunskap kommer vi att
tillsammans nå fram till ett bra slutresultat.
Tack alla ni som gjort att vi nu har lagt pusslet klart!
Liselott Sjöbom och Martina Nelson.
33
8
REFERENSLISTA
Ahlberg, A., Bergius, B., Doverborg, E., Emanuelsson, L., Olsson, I., Pramling
Samuelsson, I., Sterner, G. (2005). Matematik från början. NCM/Nämnare.
Göteborgs universitet.
Berggren, P., Lindroth, M. (1997). Kul matematik för alla – En idébok för 2000 – talets
lärare. Värnamo: Fälts Tryckeri.
Bergius, B., Emanuelsson, L. (2008). Hur många prickar har en gepard? Unga elever
upptäcker matematik. Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM. Tryck:
Livréna AB, Kungsälv.
Bergqvist, E. (2006). Mathematics and Mathematics Education Two Sides of the Same
Coin. Some Results on Positive Currents Related to Polynomial Convexity and
Creative Reasoning in University Exams in Mathematics. Doctoral Thesis No. 36,
2006, Department of Mathematics and Mathematical statistics, Umeå: University.
Carlgren, I., Marton, F. (2001). Lärare av imorgon. Lärarförbundets förlag.
Dahl, K., Nordqvist, S. (2007). Matte med mening, tänka tal och söka mönster. Alfabeta
Bokförlag AB. Stockholm.
Doveborg, E., Pramling Samuelsson, I. (1999). Förskolebarn i matematikens värld.
Stockholm: Liber AB.
Doverborg, E., Emanuelsson, G., Forsbäck, M., Johansson, B., Persson, A., Sterner, G.,
Wallby, A. (2008). Små barns matematik. Göteborgs Universitet NCM.
Englund, T. (2007). Utbildning som kommunikation – Deliberativa samtal som
möjlighet. Tryck: MediaPrint i Uddevalla AB.
Folkesson, A-M. (1998). Teoretisk modell för analys av språkanvändning i olika
lärmiljöer, utvecklad i en studie av muntlig framställning. Stockholm: Almqvist &
Wiksell International, Stockholm, Sweden.
Hatami, R. (2007). Reguladetri – En retorisk räknemetod speglad i svenska läromedel
från 1600-talet till början av 1900-talet. School of Mathematics and Systems
Engineering. Reports From MSI – Rapporter från MSI. Report 07005 ISSN 16502647 Växjö Universitet.
Hatami, R. (2008). Nämnaren Tema: Tidskrift för matematik undervisning - retorisk –
resonerande matematik. Göteborg: NCM – Nationellt Centrum för
Matematikutbildning.
Heiberg Solem, I., Reikerås, E. K. L. (2004). Det matematiska barnet. Stockholm:
Natur och Kulltur.
Häggblom, L., Hartikainen, S. (2006). Tänk och Räkna F. Lärarhandledning F.
Gleerups Utbildning AB.
Jerlang, E. (2008). Utvecklingspsyklogiska teorier. Stockholm: Liber AB.
Johnsen Hoines, M. (2008). Matematik som språk, Verksamhetsteoretiska perspektiv.
Liber AB.
Kvale, S. (1997). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur.
Kullberg, B. (1996). Etnografi i klassrummet. Studentlitteratur.
Lithner, J. (2007) A research for creative and imitative reasoning. Springer Science:
Business Media BV.
Ljungblad, A-L. (2000). Att räkna med barn – med specifika mattesvårigheter. Tryckeri
AB Småland.
Ljungblad, A-L. (2001). Matematisk medvetenhet. Argument förlag AB.
Löwing, M., Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och
samhälle. Lund: Studentlitteratur.
34
Malmer, G. (1999). Bra matematik för alla. Nödvändigt för elever med
inlärningssvårigheter. Studentlitteratur.
Nilsson, B., Waldemarson, A-K. (2007). Kommunikationen samspel mellan människor.
Studentlitteratur.
Riesbeck, E. (2008). På tal om matematik – matematiken, vardagen och den matematik
didaktiska diskursen. Linköping Studies in Behavioural Science No. 129 ISBN 97891-7393-948-5. Tryck: LiUTryck, Linköping.
Sandahl, A., Unenge, J. (1999). Lärarguide i matematik. Natur och kultur, Stockholm.
Skolverket (2000). Kommentarer till kursplaner och betygskriterier, grundskolan.
Fritzes ISBN 91-38-31730-3
Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Skolverkets rapport Nr.
221. Nationella kvalitetsgranskningar 2001 – 2002. Stockholm Fritzes.
Säljö, R. (2000). Lärandet i praktiken. Ett sociokulturellt perspektiv. Bokförlag Prisma,
Stockholm.
Taube, K. (2002). Läsinlärning och självförtroende. Stockholm: Fälth och Hässler.
Thorberg, R. (2006). Det sociala livet i skolan – Socialpsykologi för lärare. Liber AB.
Utbildningsdepartementet. (1998). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet,
förskoleklassen och fritidshemmet, Lpo94. Stockholm: Skolverket.
Williams, P., Sheridan, S., Pramling-Samuelsson, I. (2000). Barns samlärande - en
forskningsöversikt. Form och tryckt: Leanders tryckeri AB, Kalmar. Nr 00:550
www.skolverket.se pdf 2360, (2010). Bedömning av kunskap för lärandet och
undervisning i matematik – En teoretisk bakgrund av Astrid Petersson, professor vid
Stockholms universitet.
BILAGA 1
Hej!
Vi är två lärarstudenter som går vår sista termin på Linneuniversitetet i Kalmar. Vi
skriver nu vårt examensarbete som handlar om resonerande matematik. Resonerande
matematik har koppling till språket som används under matematiklektionerna. Man
resonerar sig stegvis fram till lösningen istället för att använda sig av färdiga
matematiska formler och modeller.
Vi vill nu undersöka hur eleverna lär sig matematik och därför vill vi intervjua elever
i skolan.
För detta krävs det att du som vårdnadshavare ger oss tillstånd till att intervjua era
barn, vi ber er därför att fylla i denna blankett och så snart som möjligt lämna den till
respektive lärare i klassen. Under arbetets gång kommer vi enbart ta till vara på
elevernas tankar och funderingar. Vi kommer alltså inte att fotografera, filma eller ge
ut kommun, skola och barnets namn i den färdigställda rapporten. Det som kommer
att dokumenteras är elevernas väg fram till svaret, både enskilt och i grupp.
JA mitt barn får delta i studien
NEJ mitt barn får inte delta i studien
Barnets namn:……………………………………………………
Vårdnadshavare:…………………………………………………
Tack på förhand!
Liselott Sjöbom & Martina Nelson
BILAGA 2
Hur många kvadrater kan du hitta i figuren?
Berätta hur du kom fram till din lösning, skriv eller rita
Gruppens lösning
BILAGA 3
Kalle har sex kronor.
Lisa har åtta kronor.
De ska dela kronorna mellan sig.
Hur många får Lisa och hur många får Kalle?
Berätta hur du kom fram till din lösning, skriv eller rita
___________________________________________________
Gruppens lösning
BILAGA 4
Här ser vi eleven med den enda egna lösningen resonera och motivera sitt tankesätt.
BILAGA 5
BILAGA 6
Här kan vi se hur eleverna sedan resonerade sig fram i grupp och fick fram fler
kvadrater.
BILAGA 7
Här resonerar en elev med både bilder och språk i form av symboler i skrift och tal.
