övning 3

Övning 3, 5c1102 för K1
Uppgift 8.19
Till att börja med betraktar vi elektronen då den rör sig genom kondensatorn, dvs sträckan b i figuren.
Vi sätter tiden till t = 0 då elektronen är i utgångspositionen (då den kommer in i kondensatorn) och
t = t1 då elektronen lämnar kondensatorn. Vidare inför vi ett kartesiskt koordinatsystem med origo vid
elektronens utgångsposition, dvs x(t = 0) = 0 och y(t = 0) = 0 där (x, y) är elektronens position. Vi har
alltså följande initialvillkor:
x(t = 0) = 0,
y(t = 0) = 0,
ẋ(t = 0) = v0 ,
ẏ(t = 0) = 0
(1)
(2)
Vi skriver kraftekvationens komponenter i x- och y-led:
mẍ = 0
(3)
mÿ
(4)
= F = eE
I x-led finns ingen kraft, därmed blir accelerationen ẍ noll. I y-led verkar kraften F . Vi dividerar med
m och integrerar map tiden vilket ger hastigheten:
ẋ
ẏ
= C = (1) = v0
eE
eE
=
t + D = (2) =
t
m
m
(5)
(6)
Vi integrerar ytterliggare en gång och får positionen
x = v0 t + C2 = (1) = v0 t
1 eE 2
1 eE 2
y =
t + D2 = (2) =
t
2 m
2 m
(7)
(8)
Vi vet att vid t = t1 så är x = b. Om vi sätter in detta i (7) får vi:
v 0 t1 = b
⇒
t1 =
b
v0
(9)
δ är vinkeln mellan x-axeln och elektronens hastighetsvektor vid t = t1 :
tan δ =
eE
beE
ẏ(t1 )
= (5), (6) =
t1 = (9) =
ẋ(t1 )
mv0
mv02
(10)
y1 är elektronens y-position vid t = t1 :
y1 = y(t1 ) = (8) =
1 b2 eE
1 eE 2
t1 = (9) =
2 m
2 mv02
(11)
När elektronen lämnat kondensatorn så påverkas den inte längre av någon kraft, den fortsätter därför i
en rätlinjig bana med samma hastighet (belopp och riktning) som den hade vid t = t1 . Elektronen rör
sig nu sträckan c i x-led och d − y1 i y-led. Då gäller:
d − y1
1 b2 eE
beE
beE b
tan δ =
⇒
d = y1 + c tan δ = (11), (10) =
+c
(12)
+c
=
c
2 mv02
mv02
mv02 2
Uppgift 8.20
Vi sätter tiden till t = 0 då projektilen avfyras från punkten O och t = t1 då den träffar målet A. Vidare
införs ett kartesiskt koordinatsystem med origo i avfyrningspunkten O, dvs x(t = 0) = 0 och y(t = 0) = 0.
Vi har alltså följande initialvillkor:
x(t = 0) = 0,
y(t = 0) = 0,
ẋ(t = 0) = v0 cos(α),
ẏ(t = 0) = v0 sin(α)
(1)
(2)
Vi skriver kraftekvationens komponenter i x- och y-led:
mẍ
= 0
(3)
mÿ
= −mg
(4)
I x-led finns ingen kraft, därmed blir accelerationen ẍ noll. I y-led verkar tyngdkraften −mg. Integrering
map tiden ger hastighetskomponenterna:
ẋ
= C = (1) = v0 cos(α)
(5)
ẏ
= −gt + D = (2) = −gt + v0 sin(α)
(6)
Vi integrerar ytterliggare en gång och får positionen:
x = v0 cos(α)t + C2 = (1) = v0 cos(α)t
1
1
y = − gt2 + v0 sin(α)t + D2 = (2) = − gt2 + v0 sin(α)t
2
2
(7)
(8)
Vid tiden t = t1 så är x = l, vi sätter in detta i (7):
v0 cos(α)t1 = l
t1 =
⇒
l
v0 cos(α)
(9)
Vi vet också att vid tiden t = t1 så är y = h, vi sätter in detta i (8):
1
1 gl2
1
sin(α)
h = − gt21 + v0 sin(α)t1 = (9) = −
+l
2
2 v02 cos2 (α)
cos(α)
(10)
Vi skriver om termen...
cos2 (α) + sin2 (α)
1 + sin2 (α)/ cos2 (α)
1
=
=
= 1 + tan2 (α)
cos2 (α)
cos2 (α)
1
(11)
Genom att sätta in (11) i (10) får vi
−
1 gl2
(1 + tan2 (α)) + l tan(α) = h
2 v02
(12)
2
:
Vi flyttar över h till vänsterledet och dividerar med − 21 gl
v2
0
2v 2
2v 2
tan (α) − 0 tan(α) + 20 h + 1 = 0
gl
gl
2
v2
tan(α) = 0 ±
gl
⇒
s
v02
gl
2
Lösningarna finns på www2.mech.kth.se/˜martinb, mail: [email protected]
2
−
2v02
h−1
gl2
(13)