4 Polariserat ljus

4
Polariserat ljus
Uppgift 4.1 (Pedrotti–Pedrotti 14–6) Write the equations for the electric
fields of the following waves in exponential form:
~
a) A linearly polarized wave traveling in the x–direction. The E–vector
◦
makes an angle of 30 relative to the y–axis.
b) A right elliptically polarized wave traveling in the y–direction. The
major axis of the ellipse is in the z–direction and is twice the minor axis.
c) A linearly polarized wave traveling in the xy–plane in a direction making an angle of 45◦ relative to the x–axis. The direction of polarization
is the z–direction.
lösning till uppgift 4.1
~
a) Om vågen propagerar i positiva x–axelns riktning, måste E–vektorn
~
ligga i yz–planet. Eftersom vinkeln mellan E–vektorn
och y–axeln är θ =
30◦ , så beskrivs det elektriska fältet av
!
Ã√
3E
E
0
0
~ = (E0 cos θŷ + E0 sin θẑ)ei(kx−ωt) =
ŷ +
ẑ ei(kx−ωt) .
E
2
2
För linjärt polariserat ljus har Ey och Ez samma fas φ, så vi kan anta att
φ = 0.
b) Det generella uttrycket för en elliptiskt polariserad, högerroterande
våg längs positiva y–axeln är
£
¤
~ = ẑAeiφz + x̂Beiφx ei(ky−ωt) .
E
Vi vet dessutom att storaxeln skall vara dubbelt så lång som lillaxeln,
A = 21 B. Jonesvektorn bör kunna skrivas på formen
¸
¸ ·
·
A
E0x
.
=
Bei²
E0z
1
För att vågen skall vara högerroterande (sett från positiva y–axeln) måste
skillnaden i fas vara ² = ψz − ψx = +π/2. Jonesvektorn måste alltså vara
¸
¸
·
¸ ·
¸ ·
·
1
A
−i
1
.
=i
=
=
2
2i
2e+iπ/2
Be+iπ/2
Det elektriska fältet är alltså
~ = E0 (−ix̂ + 2ẑ) ei(ky−ωt) .
E
c) Vågen breder ut sig i xy–planet med θ = 45◦ vinkel mot x–axeln.
Vågvektorn är alltså
~k = kx x̂ + ky ŷ = k cos θx̂ + k sin θŷ = √k (x̂ + ŷ) .
2
Vågen är polariserad i z–riktningen, så det elektriska fältet ges av
h
i
~ = E0 ẑ exp i~k · ~r − iωt
E
· µ
¶¸
k
= E0 ẑ exp i √ (x̂ + ŷ) · (xx̂ + y ŷ + z ẑ) − ωt
2
¶¸
· µ
k
= E0 ẑ exp i √ (x + y) − ωt .
2
Uppgift 4.2 (Pedrotti–Pedrotti 14–11) Using the Jones calculus, show
that the effect of a HWP on light linearly polarized at inclination angle α is to
rotate the plane of polarization through an angle of 2α. The HWP may be used
in this way as a “laser–line rotator”, allowing the plane of polarization of a laser
beam to be rotated without having to rotate the laser.
Lösning till uppgift 4.2 Jonesmatrisen för en HWP (med vertikal SA) och
Jonesvektorn för linjärt polariserat ljus (med lutningen α) är
¶
µ
1 0
e−iπ/2
0 −1
respektive
µ
cos α
sin α
¶
.
Ljusets tillstånd efter att det passerat plattan erhålles genom multiplikation av
jonesmatrisen och jonesvektorn
µ
¶µ
¶
µ
¶
µ
¶
1 0
cos α
cos α
cos (−α)
−iπ/2
−iπ/2
−iπ/2
e
=e
=e
.
0 −1
sin α
− sin α
sin (−α)
Denna vektor beskriver linjärt polariserat ljus med vinkel −α. Plattan har alltså
roterat det polariserade ljusets vinkel 2α.
2
Uppgift 4.3 (Pedrotti–Pedrotti 14–13) Light linearly polarized with a
horizontal transmission axis is sent through another linear polarizer with TA
at 45◦ and then through a QWP with SA horizontal. Use the Jones matrix
technique to determine and describe the product light.
Lösning till uppgift 4.3
Det polariserade ljuset beskrivs av Jonesvektorn
¸
·
1
.
0
Jonesmatriserna för en linjär polarisator med 45◦ vinkel och en QWP med horisontell SA är
·
¸
1 1 1
2 1 1
respektive
e
iπ/4
·
1
0
0
−i
¸
.
Den effektiva Jonesmatrisen erhålles genom att de två matriserna multipliceras
med varandra
·
¸
·
¸
·
¸
eiπ/4
1 1 1
1
1
1 0
=
eiπ/4
·
−i −i
0 −i
2 1 1
2
Den effektiva Jonesmatrisens verkan på det linjärt polariserade ljuset ges alltså
av
·
¸ ·
¸
·
¸
eiπ/4
eiπ/4
1
1
1
1
·
=
.
−i −i
0
−i
2
2
Ljuset som passerat systemet är alltså cirkulärt polariserat och högerroterande.
Intensiteten hos ljuset var initialt 12 + 02 = 1. Efter att ljuset passerat systemet
har intensiteten sjunkit till (1/2)2 + (1/2)2 = 1/2 dvs. hälften.
Uppgift 4.4 (Pedrotti–Pedrotti 14–14) A light beam passes consecutively
through (1) a linear polarizer with TA at 45◦ clockwise from vertical, (2) a QWP
with SA vertical, (3) a linear polarizer with TA horizontal, (4) a HWP with FA
horizontal , (5) a linear polarizer with TA vertical. what is the nature of the
product light?
3
Lösning till uppgift 4.4 Efter att ljuset passerat den första plattan erhålles
en Jonesvektor
µ ¶
µ
¶
1
1
cos 45◦
√
.
=
sin 45◦
1
2
Effekten av de andra plattorna på Jonesvektorn är i tur och ordning:
µ ¶
µ ¶
µ
¶
e−iπ/4
1
1
1
1 0
−iπ/4
√
√
e
=
,
1
i
0 i
2
2
e
−iπ/2
e−iπ/4
√
2
¶
µ
1
0
0
0
µ
1
0
0
−1
µ
0
0
¶
0
1
¶
=
µ
1
0
e−i3π/4
√
2
µ
µ
e−iπ/4
√
2
¶
1
i
e−iπ/4
√
2
µ
1
0
¶
,
¶
e−i3π/4
= √
2
µ
1
0
¶
1
0
¶
¶
=
µ
0
0
och,
.
Inget ljus kommer således ut ur systemet.
·
¸
1 i
Uppgift 4.5 (Pedrotti–Pedrotti 14–17) show that the matrix
−i 1
represents a right–circular polarizer, converting any incident polarized light into
right circularly–polarized light. What is the proper matrix to represent a left–
circular polarizer?
Lösning till uppgift 4.5 Låt oss undersöka hur Jonesmatrisen påverkar den
mest allmänna Jonesvektorn
µ
¶µ
¶
µ
¶ µ
¶
1 i
A
(A − C) + iB
D + iB
=
=
−i 1
B + iC
−(A − C)i + B
−Di + B
µ
¶
2
2
1
D +B
=
−(D2 + B 2 )i
(D − iB)
µ
¶
D2 + B 2
1
=
−i
(D − iB)
Matrisen ger så ledes en högerpolariserad Jonesvektor vilket skulle visas. På
samma sätt går det att visa att matrisen
¶
µ
1 −i
i 1
ger vänsterpolariserat ljus.
4
Uppgift 4.6 (Pedrotti–Pedrotti 15–1) Initially unpolarized light passes in
turn through three linear polarizers with transmission axes at 0◦ , 30◦ , and 60◦ ,
respectively, relative to the horizontal. What is the irradiance of the product
light, expressed as a percentage of the unpolarized light irradiance?
Lösning till uppgift 4.6 Det ingående ljuset är opolariserat. Antag att dess
intensitet är I0 . Efter den första polarisatorn är intensiteten fortfarande I0 .
Intensiteten efter den andra och tredje polarisatorn kan vi beräkna med hjälp
av Malus lag
I0
cos2 θ,
I=
2
där θ är vinkeln mellan transmissionsaxlarna för två på varandra följande polarisatorer. Ljusets intensitet efter att det passerat den andra polarisatorn är
alltså
à √ !2
I0
3
I0
3
2
◦
I=
cos 30 =
= I0 .
2
2
2
8
Den tredje polarisatorn är vinklad 30◦ i förhållande till den andra och dess
intensiteten ges därför av
à √ !2
3I0
3
3
9
I=
cos2 30◦ = I0
I0 .
=
8
8
2
32
Intensiteten efter den tredje polarisatorn är alltså 9/32 av den ursprungliga. De
tre polarisatorerna släppte med andra ord igenom 28.1% av det opolariserade
ljuset.
Uppgift 4.7 (Pedrotti–Pedrotti 15–2) At what angles will light, externally and internally reflected from a diamond–air interface, be completly linearly
polarized? For diamond, n = 2.42.
Lösning till uppgift 4.7
då
Det reflekterade ljuset blir fullständigt polariserat
θr + θp = 90◦ ,
5
där θr och θp betecknar ljusets vinkel efter att det brutits respektive den polariserande vinkeln eller Brewstervinkeln. Låt n1 och n2 beteckna brytningsindexen
för de två olika medierna. Enligt Snells lag
n1 sin θp = n2 sin θr = n2 sin (90◦ − θp ) = n2 cos θp
gäller att
tan θp =
n2
.
n1
För externt reflekterat ljus, dvs. ljuset går från luft in i diamant, är Brewstervinkeln
µ
¶
2.42
−1
θp = tan
= 67.5◦ .
1
Brewstervinkeln för internt reflekterat ljus däremot är
¶
µ
1
= 22.5◦ .
θp = tan−1
2.42
Uppgift 4.8 (Pedrotti–Pedrotti 15–4) How thick should a half–wave plate of mica be in an application where laser light of 632.8 nm is being used?
Appropriate refractive indices for mica are 1.599 and 1.594.
Lösning till uppgift 4.8 Fasskillnaden skall vara π mellan komponenter av
ljuset som kommer in ⊥ respektive k med glimmerplattans optiska axel. Den
optiska vägskillnaden är
∆ = |n⊥ − nk |d
och fasskillnaden ges av
∆φ =
2π
|n⊥ − nk |d.
λ0
Plattans tjocklek d ges alltså av
d=
λ0 ∆φ
.
2π|n⊥ − nk |
Eftersom ∆φ = π för en halvvågsplatta, så måste glimmerplattans tjocklek vara
d=
λ0 π
632.8 · 10−9
=
= 6.33 · 10−5 m.
2π|n⊥ − nk |
2|1.599 − 1.594|
Uppgift 4.9 (Pedrotti–Pedrotti 15–7) A number of dichroic polarizers are
available, each of which can be assumed perfect, that is, each passes 50% of the
incident unpolarized light. Let the irradiance of the incident light on the first
polariser be I0 .
6
a) Using a sketch, show that if the polarizers have their transmission axes
set at an angle θ apart, the light transmitted by the pair is given by
µ ¶
I0
I=
cos2 θ.
2
b) What percentage of the incident light energy is transmitted by the pair
when their transmission axes are set at 0◦ and 90◦ , respectively?
c) Five additional polarizers of this type are placed between the two
described above, with their transmission axes set at 15◦ , 30◦ , 45◦ , 60◦ ,
and 75◦ , in that order, with the 15◦ angle polarizer adjacent to the 0◦
polarizer, and so on. Now what percentage of the incident light energy is
transmitted?
Lösning till uppgift 4.9
~
a) Antag att E–vektorn
ligger i xy–planet och att y–axeln är TA för den
första polarisatorn. Efter att det opolariserade ljuset passerat polarisatorn
sjunker ljusets intensitet till I = I0 /2. Om den andra polarisatorns TA
bildar en vinkel θ mot y–axeln, ges det elektriska fältets amplitud A av
projektionen
A = A0 cos θ,
där A0 betecknar fältets amplitud innan ljuset passerat polarisatorn. Intensiteten hos ljuset I är proportionell mot det elektriska fältets amplitud
i kvadrat, I ∝ A2 ∝ cos2 θ. Ljusets intensitet efter att det passerat de två
polarisatorerna är således
µ ¶
I0
I=
cos2 θ.
2
b) För polarisatorn med transmissionsaxel α = 90◦ kommer inget ljus
igenom plattan eftersom cos 90◦ = 0.
7
c) Låt oss nu undersöka hur mycket ljus som passerar en uppställning av
polarisatorer vilkas transmissionsaxel är vinklade, 0◦ , 15◦ , 30◦ , 45◦ och 75◦
i förhålande till y–axeln. Den första polarisatorn släpper igenom I = I0 /2.
Varje annan polarisator har sin transmissionsaxel vriden 15◦ i förhållande
till den föregående. Ljusets intensitet efter att det passrerat systemet av
polarisatorer ges därför av
I0
I0
I0 ¡ 2 ◦ ¢6
12
(cos 15◦ ) =
· 0.66 = 0.33 · I0
cos 15
=
2
2
2
En tredjedel av ljusets släpps alltså igenom systemet av polarisatorer.
Uppgift 4.10 (Pedrotti–Pedrotti 15–9) Determine the angle of deviation
between the two emerging beams of a Wollaston prism constructed of calcit and
with wedge angle of 45◦ . Assume sodium light.
Lösning till uppgift 4.10 Kalcit (CaCO3 ) är dubbelbrytande och har för
Natriumljus brytningsindexen nk = 1.4864 och n⊥ = 1.6584. För kalcit gäller
alltså att n⊥ > nk . Låt oss följa en stråle av ljus som faller vinkelrät mot
prismat. Brytningsvinkeln blir noll då strålen går från luft till kalcit. Då ljuset
bryts mellan kilarna av kalcit kommer ljuset brytas olika beroende på ljusets
polarisation. Låt oss först betrakta ljus vars polarisationsriktning är parallell
med optiska axeln (OA) i den första kilen (l). Brytningsvinkeln α1 då ljuset
bryts mellan kalcitkilarna ges av Snells lag
nk sin 45◦ = n⊥ sin α1 ⇔ sin α1 =
8
nk 1
1.4864 1
√ =
√ = 0.634,
n⊥ 2
1.6584 2
vilket implicerar att α1 = 39.33◦ . Brytningsvinkeln för ljuset som lämnar prismat ges återigen av Snells lag
n⊥ sin γ1 = 1 · sin β1 ,
där vinkeln γ1 = 45◦ − α1 = 5.67◦ kan erhållas ur figuren. Vinkeln β1 ges alltså
av
sin β1 = 1.6584 · sin 5.67◦ = −0.954 ⇔ β1 = 9.43◦ .
Låt oss nu betrakta ljus vars polarisationsriktning är vinkelrät med optiska
axeln (OA) i den första kilen (•). Brytningsvinkeln α2 då ljuset bryts mellan
kalcitkilarna beräknas med Snells lag
n⊥ sin 45◦ = nk sin α2 ⇔ α2 = 52.09◦ .
Då ljuset lämnar prismat ges brytningsvinkeln av
nk sin γ2 = 1 · sin β2 ,
där γ2 = α2 − 45◦ = 7.09◦ kan erhållas ur figuren. Vinkeln β2 ges alltså av
sin β2 = 1.4864 · sin 7.09◦ = 0.183 ⇔ β2 = 10.57◦ .
Prismats deviation är således δ = β1 + β2 = 20.0◦ .
Uppgift 4.11 (Pedrotti–Pedrotti 15–10) A beam of linearly polarized
light is changed into circularly polarized light by passing it through a slice
of crystal 0.003 cm thick. Calculate the difference in the refractive indices for
the two rays in the crystal, assuming this to be the minimum thickness showing
the efect for a wavelength of 600 nm. Skecth the arrangement, showing the OA
of the crystal, and explain why it occurs.
9
Lösning till uppgift 4.11 För att linjärt polariserat ljus ska bli cirkulärt
polariserat måste det passera en “Phase retarder” som allmänt kan beskrivas
av en Jonesmatris
· i²
¸
e x
0
.
0
e−i²y
Låt oss studera effekten av en QWP på linjärt polariserat ljus med Ex = Ey
¸
·
¸
¸
·
·
1
eiπ/4
1 0
1
1
iπ/4
√
√
·
e
=
.
0 −i
−i
2 1
2
Om linjärt polariserat ljus passerar en QWP erhålles alltså cirkulärt polariserat
ljus. För en QWP är fasskillnaden ∆φ = π/2. Fasskilnaden för plattan ges av
µ ¶
2π
,
∆φ = |n⊥ − nk |d
λ
d är plattans tjocklek och λ ljusets våglängd. Skillnaden mellan brytningsindexen är alltså
(600 · 10−9 ) · (π/2)
λ∆φ
=
= 5 · 10−3 .
∆n =
2πd
2π · 3.0 · 10−5
Uppgift 4.12 (Pedrotti–Pedrotti 15–11) Light is incident on a water surface at such an angle that the reflected light is completly linearly polarized.
a) What is the angle of incidence?
b) The light refracted into the water is intercepted by the top flat surface
of a block of glass with index of 1.50. The light reflected from the glass
is completly linearly polarized. What is the angle between the glass and
water surfaces? Sketch the arrangement, showing the polarization of the
light at each stage.
Lösning till uppgift 4.12
a) Den polariserande vinkeln eller Brewstervinkeln ges av
¶
µ
µ
¶
1.33
nvatten
−1
−1
= tan
θp = tan
= 53.1◦ .
nluft
1
10
b) Brewstervinkeln för ljuset som polariseras av reflektionen mot glasblocket i vattnet är
¶
¶
µ
µ
1.50
nglas
= tan−1
θp0 = tan−1
= 48.4◦ .
nvatten
1.33
Vi söker vinkeln α mellan vattenytan och glasets yta. Vid Brewsterspridning gäller villkoret att θr + θp = 90◦ , vilket innebär att vinkeln efter
att ljuset brutits i vattenytan är θr = 90◦ − θp . Det gäller dessutom att
α + γ = 90◦ och γ + θp + θp0 = 180◦ , vilket medför att α = θp + θp0 − 90◦ =
11.5◦ .
Uppgift 4.13 (Pedrotti–Pedrotti 15–16)
a) A thin plate of calcite is cut with its OA parallel to the plane of the
plate. What minimum thickness is required to produce a quarter–wave
path difference for sodium light of 589 nm?
b) What color will be transmitted by a zircon plate, 0.0182 mm thick,
when placed in a 45◦ orientation between crossed polarizers?
Lösning till uppgift 4.13
a) För en QWP ska den optiska vägskillnaden vara
d|n⊥ − nk | =
11
λ
,
4
där λ betcknar ljusets våglängd. För CaCO3 är brytningsindexen n⊥ =
1.6584 och nk = 1.4864. Den minsta tjocklek som plattan kan ha är således
d=
λ
589
=
= 856 nm.
4|n⊥ − nk |
4|1.6584 − 1.4864|
b) För att ljus skall gå igenom zirkonplattan måste den vara en halvvågsplatta, dvs. rotera polariserat ljus 90◦ . Villkoret för HWP är
d|n⊥ − nk | =
λ
+ mλ,
2
där m = 0, 1, 2, . . . De våglängder som plattan släpper igenom ges av
λ
=
d|n⊥ − nk |
0.0182 · 10−3 |1.968 − 1.923|
=
m + 12
m + 12
=
819 · 10−9
819
=
nm.
1
m+ 2
m + 12
Våglängderna motsvarande m = 0, 1 och 2 är 1638 respektive 546 och 328
nm. Endast 546 nm är synligt ljus, nämligen grönt.
12