Elementär linjär algebra 5p Paul Vaderlind (föreläsare) (Litt: Elementär linjär algebra :Gösta Wahde, studentlitteratur) tel: 16 45 75 35 75 77 Måndag och torsdag förmiddag linjär algebra ej obligatoriska föreläsningar (Tisdag och fredag förmiddag matematikens utveckling obligatoriska föreläsningar History of matemathics Victor Katz Boyer redovisas skriftligt och muntligt under 2 lektioner) 2x -3y = 7 2x +4y =3 linjärt ekvationssystem av andra graden med 2 variabler kan lösas med substitutionsmetoden eller med hjälp av matris 2 -3 | 7 1 2| 3 (x) (y) fria kolumnen 1:a ekvationen 2:a ekvationen tillåtna matrismetoder för att snabbt lösa ekvationer 1. 2. 3. 4. multipel av en rad adderas en annan rad en rad får multipliceras med en multipel skild från noll. byta plats på rader en hel rad med nollor får strykas bort 2 1 -3 | 7 2| 3 -2 pilen betyder addition med 2 ggr undre raden undre raden lämnas orörd 0 1 -7| 2| 1 3 -1/7 ring betyder multiplikation med -1/7 undre raden lämnas orörd 0 1 1| 2| -1/7 3 -2 pilen betyder addition med -2 ggr övre raden övre raden lämnas orörd 0 1 1| 0| -1/7 23/7 byt plats 1 0 0| 1| 23/7 -1/7 (x,y) : (23/7, -1/7) x -3y +2z = 5 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 1 -2x +3z = -2 2x +y -2z = 0 1 3 2 5 3 2 2 0 1 2 0 2 (addera 3ggr 3:e raden till 1:a raden) 7 0 4 5 2 2 0 3 1 2 0 2 (addera 1ggr 2 raden till 3:e och 7 / 2 ggr 2:a raden till 1:a raden 13 0 2 0 2 2 0 3 2 1 1 2 0 (multiplicera övre raden med 2 / 13 och mitten raden med - 1 / 2 4 0 0 1 13 3 1 0 1 2 2 0 1 1 (addera - 1 ggr övre raden till 3:e raden och 3 / 2 ggr övre raden till mittenraden) 4 0 0 1 13 7 1 0 0 13 22 0 1 0 13 ( byt plats så att x är i övre raden, y i mellersta och z i nedersta raden) 7 1 0 0 13 0 1 0 22 ( x , y , z ) ( 7 , 22 , 4 ) 13 13 13 13 4 0 0 1 13 Matriser är till för att snabbt lösa ekvationer och beskriver 3 plan i den 3-dimensionella rymden. Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 2 Ekvationssystemet 2x-y=5 -4x+2y=3 2 -1| 5 -4 +2| 3 2 0 -1| 5 0| 13 2 systemet saknar lösningar linjerna är parallella vilket man kunde sett från början y=2x-5 y=2x+3/2 Ekvationssystemet 2x-y=5 -4x+2y=-10 2 -1| 5 -4 2| -10 2 0 2 -1| 5 0| 0 raden kan strykas linjerna sammanfaller Ekvationssystem kan ha en entydig lösning inga lösningar alls oändligt många lösningar 2 räta linjer kan inte sammanfalla i två punkter Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 3 Vektorer 2/3 är egentligen inget tal utan en representant för denna klass av tal, andra representanter i denna klass är t.ex. 2/3, 10/15 och -14/-21. q PQ ~ (är identisk med)RS om PQSR är en (||-gram) parallellogram. p q p ( PQRS ) s r q r p s ej identiska PQRS är inget ||-gram identiska, en vektor är en klass av sinsemellan identiska pilar en vektor flyttas ej, istället väljer man en annan representant p q r s PP är en speciell typ av vektor som motsvaras av en punkt = 0 varje punkt representerar en nollvektor Vektorer betecknas med en bokstav och ett streck över t.ex. u, v, w. U är en representant för klassen av vektorerna u. v U+V välj en punkt och låt vektorerna u och v börja från denna punkt. bygg en ||-gram och dra diagonalen diagonalen motsvarar U + V Om det går att bygga ett ||-gram mellan två punkter med vektorerna U och V så är dessa två vektorer identiska representanter. U+V=V+U Kognitiv addition (U+V) +W= U +(V+W) Associativa lagen 3 +7+11= 3 +18 = 10 + 11 vanlig addition = binär operation = två objekt som vi utför en operation på (3+7)+11=3+(7+11) Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 4 u W v U+V V+W U+(V+W) U+V+W=U+(V+W) U+0=0 Olika klasser U+0=U Samma klasser(bägge vektorer) (givetvis med vektorstreck på) PQ+QQ=PQ Multiplikation med talet 1 är neutralt 0 är additativt neutralt Multiplikation med ett positivt tal= en sträcka som endast ändrar längd. U U -1U 2U för varje vektor U existerar en vektor W så att U +W=0 W betecknas -U -2 är bara en beteckning av det tal som adderat till +2=0 Sats: -1U= -U -U adderat till U =0 (+)u=u +u två olika plus tecken distributiv med avseende på skalärer (u+v)= u+ v distributiv med avseende på vektorer (+u) = skalär vektor ()u (taltal)vektor 0=0u =(1+(-1)u= =1u+ (-1)u= =u+(-1u) alltså (-1)u= -u 24/8 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 5 Tänk kolumnvis när du jobbar med matriser 1 2 3 2 -3 2 -8| 5| -12| 0 0 0 -2 -3 endast nollor i HL homogent 1 0 0 2 -7 -4 -8| 21| 12| 0 0 0 1 0 0 2 -7 1 -8| 21| -3| 0 0 0 -1/7 1 0 0 2 1 1 -8| -3| -3| 0 0 0 rad 2 och 3 identiska stryk rad 3 -2 1 0 0 1 -2| -3| 0 0 -1/4 lösningen är nu klar det går ej att få fram fler nollor x-2z=0 x=2z y-3z=0 y=3z om z=t x= 2t y= 3t TR (för alla reella tal t) (x,y,z)=t(2,3,1) alt x y z test: 2 = 3 1 x+2y-8x=0 2t+2(3t)-8t=0 OK Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 6 u+v=v+u u+(v+w)=(u+w)+v använd sats 1:1 (a+b)+(a+b) = a+(b+(c+d)) = a+(b+(d+c)) = a+((b+d)+c) = a+(c+(b+d)) = (a+c)+(b+d) associativa lagen kommunitiva lagen ass komm ass 109 ABCD är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen S. Låt SA=a, SB= b och SC=c. Beräkna SD. S c a C b A B SD=? =a+AD =a+BC =a+(c-b) (BC+(-c)+b=0BC=c-b) 110. O,AB och C är fyra givna givna punkter i rummet med OA=a, OB=b och OC=c. Bestäm en vektor OD uttryckt i a, b och c så att fyra punkterna A,BC och D(i valfri ordning) blir hörnen i en parallellogram. O D1 A B C D11 OD11 D111 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 = OB+BD11 = b+BD11 = b+AC (AC= -OA+OC) = b+(-OA+OC) = -a+b+c 7 111. OA=a och OB =b är givna vektorer. Punkten P delar sträckan AB i delningsförhållandet m:n dvs AP|/|PB|=m/n. Bestäm vektorn OP. A u = ?a+?b a m = b+BP u = b-PB O P b n PB=?AB=n/(m+n)|AB| B u = b-n/(n+m)AB AB=? a+Ab+(-b)=0AB=-a+b u = b-n/(n+m)(-a+b) = b+ n/(n+m)a - n/(n+m)b = n/(n+m)a+b(1- n/(n+m)) = n/(n+m)a+b((n+m)/(n+m)-n/(n+m)) = n/(n+m)a+((bn+bm-bn)/(n+m)) u= n/(n+m)a+m/(n+m)b w= v + u komposanter och är entydigt bestämda linjär kombination u || v w u u v u och v är en bas i planet bas, komposanter och koordinater u || v u,v en bas i planet w ligger i planet w v ! , R (alltså det existerar entydigt bestämda alfa och beta som tillhör de reella talen) w u v , ex. 2,7 2u 7v 1,3 1u 3v 0,0 0 w 2u v 2,1 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 8 Om det skulle finnas fler möjligheter w = v 1u v u 1v u v 1v 1u u 1 v 1 u || av v || av u men u är ej || med v enda vektorn som kan vara parallell med två icke parallella linjer är 0 - vektorn - 1 v 0 1 0 1 Varje annan vektor kan uttryckas med hjälp av en linjär kombination av två kända vektorer. Givet u, v, w i rymden icke komplana(ej i samma plan), varje vektor s kan beskrivas som s=u+v+w (, , är koordinateroch u, v, w är en bas i rymden) w1 1 , 1 w2 2 , 2 w1 w2 1 , 1 2 , 2 w1 w2 1u v1 2 u 2 v 1 2 u 1 2 v w1 w2 1 2 , 1 2 i koordinatform Koordinatsystem = en bas och en punkt i planet, origo. En bas =2 vektorer i planet som ej är parallella. 2u+v ordningen spelar roll u u+2v v För att definiera koordinaternas inbördes ordning används t.ex hakparantes [O,U,V] p=(, ) u OP=u+v =(, ) O v Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 9 P =(2,1,3) PQ =? = ett varv runt(OQ,QP,PO) =0 OQ+-PQ+(-OP)=0 PQ =OQ-OP =(0,-1,1)- (2,1,3) =(-2,-2,-2) OP=(2,1,3) Q=(0,-1,1) Origo 1 1 xyz0 1 3 5 2 x 5 y 3z 1 2 1 x 2 y z 2 1 2 1 1 1 0 0 1 (-2 rad1 + rad2, 1 rad 1 + rad3) 2 0 3 1 1 ( 1 rad 2 rad 3) 0 3 2 2 1 1 1 0 0 3 1 1 ( 1 rad 3 rad 2,1 rad 3 rad 1) 0 0 1 1 1 0 (1 / 3 rad 2) 1 0 2 3 0 0 0 0 1 1 1 2 0 1 0 1 0 0 (2 rad 2 rad 1) 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 ( x , y , z ) ( 1, 0, 1) 0 0 1 1 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 (409a) 10 409b x+y+z=6 2x-y+z=3 3x-z=0 1 2 3 1 -1 0 1 1 -1 6 3 0 -2 1 0 0 1 -3 -3 1 -1 -4 6 -9 -18 1 0 0 1 -3 0 1 -1 -3 6 -9 -9 -1/3 1 0 0 1 -3 0 1 -1 1 6 -9 3 1 1 0 0 1 -3 0 0 0 1 3 -6 3 -1/3 1 0 0 1 1 0 0 0 1 3 2 3 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3 -3 -1 -1 (x,y,z)=(1,2,3) 409c. 4x+y-3z=11 2x-3y+2z=9 x+y+z = -3 4 1 -3| 11 2 -3 2| 9 1 1 1| -3 0 1 -1| -1 0 1 0| -3 1 0 1| 0 1 0 0 1 0 0 -1 0| 2 0| -3 1| -2 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg -2 -2 0 0 0 1 1 0 0 7 0 -5 1 1 -1| 2 -1 0| -3 1| 0 -7| -7 0| 15 1| -3 1 -1/5 0 0 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1| -2 0| -3 0| 2 -7| -7 1/7 0| -3 -1 1| -3 (x,y,z)=(2,-3,-2) ht-99 11 Man kan visa att två linjer är parallella genom att visa att den ena är en multipel av den andra. Uttryck de två vektorerna med hjälp av samma vektorer. Ex 112 b Bevisa med vektorer att linjen från ett hörn i en parallellogram till mittpunkten på motstående sida delar en av diagonalerna i förhållandet 1:2. D F C Välj E på BD sådan att BE = 2ED E A Visa att AE är || med AF B 2 BD 3 2 2 AB CD AE AB BD DC BD 3 3 2 2 2 2 DC DB BC AE DC BD DB BC BD BD DB 3 3 3 3 3 2 1 1 AE DB BC DB DB BC ( BC AD) AE DB AD 3 3 3 3 AE AB BE AB AF AD DF AD ½ DC ½ DC ½ DB BC 3 1 AD DB 2 2 3 31 3 3 1 3 ( AE ) DB AD DB AD AD DB AF 6 2 23 2 2 2 AF AD ½( DB BC ) (½ BC ½ AD) AF 2 1 AF=3/2AE A E F Varje median i en triangel skär en annan i förhållandet 1:2 eller 2:1, vilket gäller alla trianglar. 2 2 1 1 C F D AP=2/6AF=1/3AF=2/3(2AD)=2/3AD AP+PD=ADPD=1/3AD P A Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg B ht-99 12 Repetition vektorer a och b ligger inte på samma räta linje. Resultanten motsvaras av en pil r, som är diagonal o den parallellogram i vilken pilarna a och b är två sidor. Alt: b parallellförskjuts så att dess utgångspunkt sammanfaller med spetsen på a b r r=a+b r b a a r kallas i bägge fallen a+b = vektorsumman av a och b a+b=0 nollvektor= en punkt b a+b=b+a a a+b b+a a b Om a och b utgår från samma punkt. Om vektorn från spetsen av b till spetsen av a kallas x så gäller b+x=a x=a-b b b x (a+b) a x=a-b a a b Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 13 Ortonormerat koordinatsystem i rymden z y ORIGO x Längdenheten är densamma på alla tre axlarna. [ex, ey, ez] Längden på en vektor r betecknas |r| ab=ba (kallas även vektorns absolutbelopp) kommutativa lagen a=(a1, a2, a3 ) b=(b1, b2, b3) ab=(a1b1, + a2b2 + a3b3) |a||b|= a12 a 22 a 32 paqb=pqab |a|2 =aa b11 b22 b32 |a|=aa Vinkeln v mellan två vektorer a och b (som båda inte är 0) gäller a b a b a b a b cos v cos v a b a 2 b2 Två vektorer(a och b) är vinkelräta om ab=0 a= (a1, a2, a3) b= (b1,b2,b3) om ab=(a1b1, + a2b2 + a3b3)=0 så är vinkeln mellan vektorerna a och b 90 = /2 ex beräkning av vinkel A, B och C har koordinaterna (1,2,3), (3,4,-1) och (3,1,2). Beräkna vinkeln ABC C b= OB-OA=(3,4,-1)-(1,2,3)=(2,2,-4) A c c= OC-OA=(3,1,2)-(1,2,3)=(2,-1,-1) b B Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 14 O vektorernas längd b 2 2 2 2 ( 4) 2 24 4 6 2 6 c 2 2 1 1 6 2 2 skalärprodukten b c 2 2 2 1 4 1 6 vinkeln v bc 6 6 1 cos v bc 2 6 6 12 2 v 3 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 15 2/9 Koordinater förutsätter att det finns en bas. Två vektorer är || om den ena vektorn är en multipel av den andra. QL omm (Q tillhör L om och endast om) P=(x0,y0,z0) PQ || v v=(,,) (vektorn PQ är parallell med vektorn v) u=(x0,y0,z0) Q=(x,y,z) QL TR PQ=tv O (Q tillhör L vilket medför att det existerar ett T som tillhör de reella talen så att PQ=tv) QL TR OQ=OP+PQ =OP +tv QL TR (x,y,z)= (x0,y0,z0)+t(,,) x = x0 + t x x0 L: y = y0 +t = y = y0 +t alternativt skrivsätt z = z0 +t z z0 L Punkt riktningsvektor punkt || linje Om t=0 ekvationen= en punkt Q Om t= ett positivt tal kommer ekvationen att beskriva alla punkter till höger om Q Om t= ett negativt tal kommer ekvationen att beskriva alla punkter till vänster om Q ex P=(2,-1,3) v=(0,1,-1) x= 2 y= -1 +t z= 3 -t x = x0 + t L: y = y0 +t z = z0 +t (x-x0)/ = (y-y0)/ = (z-z0)/=t ex x/2=(y-2)/5=z-3 x/2=t (y-2)/5=t z-3=t Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg x=2t y=2+5t z=3+t ht-99 16 Parametrisk framställning i två dimensioner: x x0 t L: y y0 t x x0 y y0 t x x 0 y y 0 x y y 0 x 0 0 Linjens ekvation på formen:Ax + By + C = 0 gäller endast i två dimensioner parametriskt eller ekvation i 3 dimensioner gäller endast parameterform Linjens ekvation x x 0 y y 0 0 x x 0 , y y 0 0 Skalärprodukt = 0 ex: 2,3 3,2 2 3 3 2 0 , , 0 , , ex L= 2x +5y +7 (2,5) L L1 L (-1,3) Givet: L : 3x+7=12 Bestäm ekvationen för en linje L L1 L och (-1,3)L1 3x-7y=12 L1= x =? +T? y =? +T? x = -1 +T? y = 3 +T? x = -1 +3T y = 3 + 7T (3,-7) L alltså (3,-7) || L1 x+1= 3T y-3= -7T x 1 3T x 1 y 3 7 x 7 3 y 9 L1 7 x 3 y 2 3 7 y 3 7T L1 1,3 L2 (7,3) 7,3 x 1, y 3 0 7,3 x 1, y 3 0 ,- x x0 , y y0 7 x 1 3 y 3 0 7 x 3y 2 0 Kunde gått direkt till 7x + 3y + C = 0 Saknar C, sätt in (-1,3) 7(-1) + 3(3) + C = 0 C = -2 L1 :7 x 3 y 2 0 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 17 L: 3x 7 y 12 Oändligt många talpar löser denna ekvation antag att 1s x = s x 3s - 12 12 3 y = y s 7 7 7 1 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg 3 3 1, || L 1, L1 7 7 ht-99 3 t . ex.7 1, 7,3 7 18 Planet u || v u=A1,A2,A3 v=B1,B2,B3 P=(x0,y0,z0) u P 2vektorer +1 punkt= ett entydigt plan 3 punkter bestämmer ett plan 3 punkter=1 punkt + 2 vektorer v Q O Vill ha ett uttryck för QPQ || QstR PQ=su+tv Q u ex P v QP ligger i planet om QP är || med planet QP är en multipel av u och v OP +PQ=OP+su+tv OQ=OP+su+tv (x,y,z)=(x0,y0,z0)+s(A1,A2,A3)+t(B1,B2 ,B3) x x 0 sA1 tB1 : y y 0 sA2 tB2 z z sA tB 0 3 3 punkten P L: || u Parametrisk framställning || v Parametrisk framställning av planet L som är || med u x = -3 + 2t y= 3t z=2 u: (1,1,-2 ) : x = -3 y= z=2 +2t +3t +s -1 2 +s -2s x = -3 +2t -x+y=3+t 2x+z=-4+4t +s -4 2x+z+4x-4y = -12-4t-4+4t 6x-4y+z=-16 : 6x-4y+z+16=0 planets ekvation (:x+y+z+D=0) (,,) Tillbaka till parameterform 6x-4y+z+16=0 z=-6x+4y-16 tag x=s y=t z= -6s+4t-16 x= s y= t z = -16 -6s +4t ( P1 u1 v1) Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg P1 = (0,0,16) u1 = (1,0,-6) v1= (0,1,4) ht-99 19 2x-3y+z=15 -4x+6y-2z=37 (2,-3,1) (-4, 6, -2) 2 parallella plan som ej sammanfaller systemet saknar lösning :A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (x0 ,y0,z0) (A,B,C) u=(2,1,-3) P=(2,1,1) P u (A,B,C) (x0,y0,z0) 2(x-2) +1(y-1)-3(z-1)=0 2x+-4+y-1-3z+3=0 2x+y-3z+2=0 Detta är planet. Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 20 Övn 151 Kan konstanten a bestämmas så att punkterna A,B och C ligger i en rät linje? Bestäm i så fall ekvationerna för denna räta linje. A = (-4,5,0) A B C B = (1,a,a2) L C = (5,-1, 3a) O (-4,5,0)L AB,BC och AC|| L OA+AC+CO=0 AC = -CO-OA AC = OC-OA AC = 5-(-4),-1-5,3a-0 AC= (9,-6,3a) x = -4 + 9 t y = 5 -6 t z = 0+ 3a t riktningsvektorn AC punkten A t=0 ekvationen beskriver punkten A t=1 x = -4 + 9 1 x=5 y = 5 -6 1 y = -1 z = 0+ 3a 1 z = 3a t=1 ekvationen beskriver punkten C Vilket t för att beskriva punkten B xB=1 1=-4+9t 5/9=t t=5/9 x = -4 + 9 5/9 x = -4+45/9 y = 5 -6 5/9 y = 45/9-30/9 y = 15/9 z = 0+ 3a *5/9 z =a35/9 z = a15/9 z= a5/3 t=5/9 ekvationen beskriver punkten B och konstanten a =5/3 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 x=1 y=5/3 z=25/9 (z=a2) 21 Pauls lösning av 146 Punkterna (0,0,0),6,7,6) och (2,6,-9) är hörn i en kub. Bestäm de övriga hörnen(ON-system) O=(0,0,0) Q=(6,7,6) P=(2,6,-9) OQ=6,7,6) OP=(2,6,-9) |OQ| = (36+49+36)= (121) = 11 |OP)| = (4+36+81) = (121) = 11 QP =(2-6, 6-7,-9-6)= (-4,-1,-15) |QP| = (16+1+225) = >11 (Alltså inte lika lång som OQ ellerOP) OQ och OP är sidor i kuben medan QP är en diagonal. H G AF =AB +AE =(6,7,6)+(2,6,-9) AE= (8,13,-3) E=2,6-9) F D= A=(0,0,0) Sök D=(x,y,z) AD= (x,y,z) 1. ADAB=0 2. ADAE=0 3. |AD|=11 C= B= (6,7,6) 6x +7y+6z=0 2x+ 6y -9z=0 1. 6x +7y+6z=0 2. 2x+ 6y -9z=0 -3 y=3z x= -9/2z Beloppet: |AD| 0 -11y+33z=0 1/11 2x+ 6y -9z =0 0 -y+3z=0 6 2x +6y-9z=0 (-9/2z)2 +(3z)2+z2=121 (81/4+9+1)z2 =121 (121/4)z2 =121 z2=4 z1=2 x1= -9 y1=6 z2= -2 x2 = 9 y2 =-6 0-y+3z=0 2x +9z=0 D1= (-9,6,2) D2 = (9,-6,-2) (och inte (2,-9,6) resp (-2,9,-6) som Paul skrev !!!) Alltså finns det två lösningar Med min metod : 2, 6,-9 (spegelvändning) (ADAB=0) 9, -6,-2 18-36+18 = 0 E=(2,6,-9) D2=(9,-6-2) A=(0,0,0) (ADAE=0) 9,-6-2 6, 7, 6 54-42-12=0 Hade man kanske inte direkt kunnat se att det finns två lösningar. Men en viss beviskraft finns väl ändå? B=(6,7,6) (D1)=(-9,6,2) De övriga hörnen är lättare att räkna ut t.ex OH= AD+AE Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 22 Två linjer är parallella om riktningsvektorerna är multiplar av varandra. Ex (a,b,c)x= (1,2,3) Om två ekvationer beskriver samma linje bör punkten i L2 finnas i L1 ex tal 152 Tal 425 Bestäm för varje a-värde om skärningsmängden till de tre planen (a-1)x+(2a-2)y+z=a -x+(a-2)y+z=a 2x+2y+(a+1)z=3-a är ett plan, en rät linje, en punkt resp tom. (a-1) (2a-2) 1 a -1 (a-2) 1 a -1 -(a+1) 2 2 (a+1) 3-a a a 0 -1 a-2 1 2 -a +1 (-a +a+4) 0 om a=0 får vi 0 0 0 -1 -2 1 0 4 0 a a 0 -1 a-2 1 -a+1 2+(a-2)(-a-1) 0 0 a 3-a -a2+a 0 a a-2 -a2+3 0 0 3 ½ Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 23 Triomino I ett rutsystem med 8 gånger 8 rutor skall 21 st i-triomino placeras. En i-triomino består av en rektangel med tre rutor som kan placeras vertikalt eller horisontellt. 21 stycken i triomino kan placeras på ett 88 rutnät så att en ruta bildar ett hål. Men alla rutor kan inte fungera som hål. Lokalisera dessa hål. Varför? Jag har hittat dessa fyra möjliga hål. Jag tror att detta beror på att dessa i-trimino kan grupperas i par , en och en eller i grupper om tre. Det finns plats för tre stycken grupper med tre st trimino(gråmarkerade) dessa täcker då 333 rutor =27. Kvar finns då 36 rutor som kan fördelas på sex grupper med två trimino i varje, dvs 66=36. 33+62=27+36=63 Pauls bevis 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 32 1 3 Fyll det ena systemet med serier av 1,2,3 i vertikalriktning och det andra systemet med samma serie men i horisontell riktning. Systemen kommer att innehålla 21 st 2:or , 21 st 3:or och 22 st 1:or. De !:or som sammanfaller i bägge systemen är de enda möjliga hålen. (samma som mina) 13/9 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 24 Två icke parallella vektorer bildar ett plan. Antag att u och v är vektorer i R3. R3= det tredimensionella rummet. Låt u x v (u kryss v) defineras som: A. 0 (nollvektor) om u || v (om u och v är parallella) B. om u || v 1. u x v u, u x vv (om ej parallella så är u kryss v vinkelrät mot både u och v.) 2. |u x v| = |u| |v| sin[u,v] (Hur lång skall u kryss v vara, sin [u,v] aldrig ett negativt tal) Vektorerna har samma längd som parallellogramens area b h a area i ett parallellogram =a h h/b = sin area = a b sin h=b sin enhetsproblem egentligen längd = area dock samma storhet, bortse från enheterna. (jag blir så jäkla trött på att dra streck över u och v så nu struntat jag i det. 3. Vektorerna u,v, och u x v är en positivt orienterad trippel. U kryss v betyder att u rör sig mot v. Om man tittar på dessa vektorer i ett tredimensionellt system kan man avgöra om denna rörelse är medsols eller motsols. En motsols rörelse är positivt orienterad medan rörelser medsols är negativt orienterade. Villkoret säger att rörelsen ska vara positivt orienterad. (öga) v u v u rörelsen är motsols positivt orienterad titta från den tredje återstående vektorn ex e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) Sk standardbas detta är alltså ett öga… rörelsen är medsols negativt orienterad e1 x e3= ska vara vinkelrät mot e1 och e2 måste vara || med e2. Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 25 Hur lång? Paralellogrammet bildar en kvadrat med sidan 1 alltså är e1 x e3 1 lång Ska vara positivt orienterad. e3 e2 titta från e2 rörelsen blir medsols och negativ e1 ska vara positiv Alltså måste vi ha -e2 Så här e1 x e3 = -e2 e3 x e1 = e2 e3 e2 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg e1 ht-99 26 Räkneregler OBS ex u=(a,b,c) uxv uxv=-vxu u x v = (u x v) = u x v u x (v +w) = u x v + u x w (u + v) x w =u x w +u x v v= ( a1,b1 ,c1) [ a-b= - (b-a) ] (streck på alla u, v och w) en ON -bas (e1, e2,e3) = ( ae1 +be2 + ce3) x ( a1e1+b1e2+c1e3) = aa1(e1 x e1) +ab1 (e1 x e2)+ac1(e1 x e3)+ alla av typ (e1 x e1) + ba1(e2 x e1)+bb1(e2 x e2)+bc1((e2 x e3)+ försvinner nollvektorer +ca1(e3 x e1) +cb1(e3 x e2) +cc1(e3 x e3) alla motsols kan skrivas 3:e vektorn t.ex. ab1 (e1 x e2) = ab1e3 alla medsols vänds t.ex. ba1(e2 x e1) = - ba1(e2 x e1)=-ba1e3 = ab1e3 -ba1e3 - ac1e2 +bc1e1 +ca1e2 -cb1e1 =(ab1-ba1)e3 +( -ac1 +ca1)e2 +(bc1-cb1)e1 = (bc1-cb1 , -(ac1-ca1), ab1-ba1 ) uxv =(bc1-cb1 , -(ac1-ca1), ab1-ba1) OBS mkt krångligt Det finns ett enklare sätt: ex (2,-1,3) x (1,3,1) skriv ut vektorerna radvis under varandra, sätt en prick ovan varje kolumn. . . . 2 -1 3 utför diagonal multiplikation och subtrahera motsatt diagonal 1 3 1 för att beräkna e1 sätt tummen för första kolumnen -11 -(33) =10 för att beräkna e2 sätt tummen för mellersta kolumnen 21-(31) = -1 vänd resultatet +1 OBS specialregel för mellersta koordinaten vilket beror på detta minustecken. För att beräkna e3 sätt tummen för sista kolumnen23-(-11)=7 således är (1,-1,3) x (1,3,1) = (10,1,7) uxv =(bc1-cb1 , -(ac1-ca1), ab1-ba1 ) (a,b,c) x (a1,b1c3) . . . a b c a1 b1 c1 e1 =bc1-cb1 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg e2 = -(ac1-ca1) e3 = ab1-ba1 (bc1-cb1 , -(ac1-ca1), ab1-ba1 ) ht-99 27 Bestäm planet som är parallellt med bägge linjerna och passerar genom punkten P. L1 x=1+t y = 3 -t z = 2t x = 1 + t+2s y = -3 -t z = -2 +2t -s x = -1 +2s y=5 z=3 -s L1 1 2 x+y = -2 +2s y = -3 +t z+2y = -8 -s 2 P = (1,-3,-2) den gamla metoden eliminera s och t x+y+2z+4y = -18 = x+5y+2x+18=0 Annat sätt: Planets normalvektor L1 och L2 (t) (s) . . . u= (1,-1,2) x (2,0,-1)= 1 -1 2 = (1,-(-5),-(-2))= (1,5,2) (normalvektorn till planet) 2 0 -1 = x+5y+2z+d=0 sök d: stoppa in punkten P:s koordinater i ekvationen och lös ut d. (1,-3,-2) 1-15-4+d=0 d=18 = x+5y+2z+18=0 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 28 Vad gör d? I en vanlig tvådimensionell ekvation t.ex. 2x+3y+m = 0 är m skärningspunkten med y-axeln. m flyttar linjen upp eller ned. D har samma funktion i ett tredimensionellt system men flyttar planet snarare i sidled än upp och ned. =- determinanter ( ett tal som associerar till area) skrivsätt det = 3 2 5 1 (3,2) x (5,1) = = 3-10=-7 3 2 5 1 = area 7 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg (beloppet av arean är 7, då det mig veterligt inte existerar negativa areor fast om man tänker på den negativa bild som projiceras på näthinnan och som på elektrisk väg färdas till hjärnan. Vem vet den där elektriska impulsen kanske är en negativ area. Då skulle den ju inte ta så stor plats heller. Nästan osynlig!) ht-99 29 16/9 2 -2 1 5 =10-(-2)=12 1 5 2 -2 = -2-10 = -12 Kolumnerna byter plats produkten byter tecken metod I a b c d e f g h k ?a e f -b d f h k g k +c d e = g h a(ek-hf) -b(dk-gf) +c(dh-ge) = aek + bgf + cdh - ahf - bdk - cge . . . . . . . . . = . . . . metod II a b c a b d e f d e g h k g h - . . . . + . . . . = aek + bfg + cdh - afh - bdk - ceg negativa positiva metod III utför samma beräkning som i metod men i huvudet (vilket troligen snabbast) a b c d e f = aek + bfg + cdh - afh - bdk - ceg g h k 3 plan i rymden ett linjärt ekvationssystem med tre varaiabler ax + by + cz = m dx + ey + fz = n gx + hy + kz = p a b c A: d e f g h k a b c ( A: d e f ) g h k Koefficient matris (Total matris) Sats: Ekvationen har entydig lösning omm determinanten A 0 (dvs ekvationerna skär varandra i en punkt om och endast om determinanten inte är noll) Vad händer om A=0? Det finns ingen entydig skärningspunkt, antingen oändligt många eller inga lösningar alls. (Denna sats kan t.ex. tillämpas på tal 425 se elementära linjära lösningsförslag eller här! Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 30 425 Bestäm för varje a-värde om skärningsmängden till de tre planen (a-1)x +(2a-2)y+z = a, -x+(a-2)y+z =a och 2x+2y+(a+1)z=3-a är ett plan, en rät linje en punkt resp tom. + (a-1) (2a-2) 1 (a-1) (2a-2) -1 (a-2) 1 -1 2 2 (a+1) 2 2 koefficientmatris = +(a-1)(a-2)(a+1) + 2(2a-2) - 2 -2(a-1) +(2a-2)(a+1)-2(a-2) = (a3-2a2-a+2 ) +( 4a-4) -2 + (- 2a+2) + (2a2+2a-2a-2) +(-2a+4) =a3-a När är a3-a=0 a(a2-1) = a(a-1)(a+1) = 0 a = 0, a = -1, a = 1 (a-1) (2a-2) 1 a -1 (a-2) 1 a 2 2 (a+1) 3-a totalmatris 1. Om a 0, a 1, a -1 så har systemet en entydig lösning, en punkt. 2. Om a= 0 -1 -2 1 0 -1 -2 1 0 2 -1 -2 1 0 -1 0 -2 2 2 1 3 0 -2 3 3 -1 0 -2 3 normalen till två plan ej || en linje -3 3 3. Om a=-1 -2 -4 1 -1 -3 1 2 2 0 -1 -1 4 0 -2 1 0 -2 1 1 1 0 3 1 2 -2 -4 1 -1 -3 1 1 1 0 ½ -1 -1 2 1 2 två likadana ekvationer med olika summa, || men ej sammanfallande saknar lösning= tomma mängden 4. Om a= 1 0 0 1 1 -1 -1 1 1 2 2 2 2 -1 -2 0 0 1 1 -1 -1 0 0 2 2 0 0 2 0 0 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 Två plan || (icke parallella) Planen skär varandra längs en skärningslinje z=1 x= -s x + y =0 y = +s z=1 Genom att manipulera ekvationer med eliminationsmetoden kan vi få fram t.ex en skärningslinje. Eliminationsmetoden ersätter ursprungsekvationerna med andra ekvationer men skärningslinjen eller punkten kvarstår. Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 31 u = (a1 ,b1 ,c1) v = (a2,b2,c2) uxv e1 a1 a2 e2 e3 b1 c1 b2 c2 = e1 a1 a2 e2 b1 b2 e3 c1 c2 ger samma resultat kolumnvis eller radvis w= (a3 , b3 , c3 ) w (u x v) a3 a1 a2 b3 b1 b2 c3 c1 c2 = a3 b1 b2 c1 c2 = (a3, b3, c3) -b3 a1 a2 c1 c2 b1 b2 c1 c2 , +c3 a1 a2 c 1 c2 , a1 a2 b1 b2 = a1 a2 b 1 b2 w (u x v) = ett tal som spänner upp parallell pipedens volym detta tal kan vara negativt men absolutbeloppet svarar mot pipedens volym. OBS w (u x v) = -u (w x u) Om två kolumner byter plats byter determinanten tecken determinantens produkt svarar mot pipedens volym. Determinanten fungerar ej på större system än 4 x 4 matriser. Linjärt beroende En vektor kan uttryckas med hjälp av två andra vektorer, dvs varje 3:e vektor är linjärt beroende av de andra två. Om summan av ett matrissystem är noll [a,b,c] = 0 är systemet linjärt beroende. Ett system är beroende om en vektor kan uttryckas med de andra två.( eller 3) Komplana vektorer ligger i samma plan. 20/9 Avståndet d Avståndsformeln i tvådimensionella system: x 1 x2 y1 y2 2 2 Tredimensionella system P = ( a,b,c) Q = (d,e,f) d(P,Q) = | PQ | = d a 2 e b 2 f c 2 Avståndet mellan linje och punkt: Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg Q ht-99 32 P = (2,1,-1) x = 3 +t L1: y = -1 riktningsvektorn n1= (1,0,-1) z = 1 -t d(P,L1) Sök Q L1 så att PQ L1 (sök punkten q på L1 så att PQ är vinkelrät mot L1 ) P L1 Q = (3+t0, -1, 1-t0) PQ = (3+t0-2, -1-1, 1-t0-(-1)) = (1+t0, -2, 2-t0) PQ n1 PQ (1,0,-1) (två linjer är parallella om produkten är noll) PQ n1 = 1(1+t0 ), 0-2, -1(2-t0) = 1+t0-2+t0 (parallella om produkten är noll) 1+t0-2+t0 = 0 2t0=1t0= ½ d(PQ) = | PQ | = | (1+½, -2 2-½)| = |(3/2,-2,3/2)| = 9 16 9 34 4 4 4 2 Avståndet mellan linje och linje ( 2 punkter som ligger närmast en vektor som är vinkelrät mot bägge linjerna, det finns alltid en och endast en) x = 3 +t x= s L1 : y = -1 L1 L2 : y=1+s z = 1 -t z = 1 +2s n1= (1,0,-1) n2 = (1,1,2) Sök P L1 och QL2 så att PQ n1 och n2 då är d(L1,L2) = |PQ| P = (3+t0,-1, 1-t0) Q = (s0,1+s0,1+2s0) PQ=(s0-3+t0, 1+s0-(-1),1+2s0-(1-t0))= (-3+s0-t0, 2+s0, 2s0+t0) n1,n2 PQ 1(-3+s0-t0 )+ 0 (2+s0 )-1( 2s0+t0) = 0 (-3+s0-t0 -2s0-t0) =0 1 (-3+s0-t0 ) +1(2+s0)+2( 2s0+t0) = 0 (-3+s0-t0+2+s0+ 4s0+2t0)=0 -s0-2t0=3 6 6s0+t0 =1 -s0-2t0=3 6s0+t0 =1 (eliminera) -s0-2t0 = 3 -11t0 = 19 t0=-19/11 s0=-3-2(-19/11) s0=5/11 PQ = (-3+5/11-(-19/11)), (2+5/11), (25/11-19/11) = (-8/11, 27/11,-9/11) d(L1,L2) = |PQ| = | (-8/11, 27/11,-9/11) | = 64 729 81 874 121 121 121 11 Avståndet mellan linje och punkt (tenta fråga???) (direkt från kokboken!!!) Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 33 P = (a,b) L1 = Ax+By+C = 0 Aa Bb C d(P,L1) = A2 B 2 Avståndet punkt och plan (recepten faller tätt !!!) P = (a,b,c) : Ax+By+Cz+D = 0 d(P, ) = Aa Bb Cc D A2 B 2 C 2 Avståndet mellan linje och plan 1. Kolla först att linjen inte är parallell med planet! Om den inte är || med planet så skär den planet i en punkt där avståndet är 0! Ex 1 x = 2 +t L1 : y = -1 -t n1=(1,-1,2) z = 3+2t : 2x-2y+3z+4 n= (2,-2,3) n1n= 12-1(-2)+230 Linjen är ej || med planet, den skär således planet i en punkt där avståndet är = 0. Ex 2 x = 2 +t L1 : y = -1 +4t n1=(1,4,2) z = 3+2t : 2x-2y+3z+4 n= (2,-2,3) Kolla först om linjen är || med planet! L1 || om n1n = 0 14+4(-2)+23= 0 (Linjen är || med planet) Använd en punkt från linjen och stoppa in i planets ekvation. d(L1, ) = 2 2 2 ( 1) 3 3 4 2 2 ( 2) 2 32 19 17 27/9 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 34 Tre typer av parfymer tillverkas vid en fabrik. 3 ingredienser (vatten, alkohol, doft) 5 2 4 0 7 1 läses rader = olika parfymer och kolumner= ingredienser 8 1 6 Ingrediensernas kostnad: vatten kostar alkohol kostar doft kostar 5 2 4 5+2+4 0 7 1 = +7+1 8 1 6 8+1+6 EX ,, 5 2 4 ,, 0 7 1 ,, 8 1 6 Används t.ex vid optimeringsproblem Om den dyraste kostnaden för SJ är att frakta lok gäller det att optimera användningen av loken så effektivt som möjligt. Ett effektivt system kan spara 5-10% av kostnaden. Kan gå att optimera ännu mer men troligtvis aldrig helt optimalt. En beräkning kan bestå av 100 100 matriser vilket kräver otroligt starka datorer. Problemet består i att hitta snabba algoritmer vilket man kan finna om ändå aldrig totala. Nya metoder Varje matris ska vara fylld av tal (icke siffror) Typ m x n a11 a12 …..a1n 1:a index anger rad a21 a22….. a2n 2:a index anger kolumn rad kolumn Kvadratisk matris: lika många rader som kolumner a11 a12…..a1n a21 a22…..a2n A= : : am1 am2 amn Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 35 Nollmatris = 0 alla element i j talen är nollor 3 0 0 0 4 0 0 2 0 Diagonala matriser måste vara kvadratiska och en diagonal där i jaij=0 dvs alla element som inte ligger på diagonalen är nollor Enhets matris= diagonal matris med ettor på digonalen 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Addition av matriser mängden av alla möjliga matriser måste införa strukturer t.ex. 8 = 5+3 måste införa def av opartisk addition och relation (större eller mindre) Def av addition Två matriser kan adderas endast om A och B är av samma typ (A,B av typ m x n) Def : A+B = C av samma typ där Ci j = ai j +bi j man adderar varje element på motsvarande plats: 2 1 5 1 7 2 -1 0 + 1 -3 = 0 -3 3 -4 2 -2 5 -6 addition (ai j )+(bi j) = (ai j +bi j) matrisaddition Additiva neutrala element = förändrar ingenting under operationen (multiplikativt neutralt element = 1) 0-vektor neutral vektor A+0=A (det finns oändligt många, nollmatrisen måste vara av samma typ som A) Vilka lagar gäller? A + (B+C) = (A + B) +C A + B = B +A Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg (associativa lagen) (kommunitativa) (ai j+b i j) = (bi j +ai j) = (bi j) +(ai j) ht-99 36 Man får multiplicera matris med ett tal aA = (ai j) = (ai j) (a+b) = a + b ( + )A = A +A ex 1 (2,3,0) 1 = nonsens går ej att multiplicera pga olika typer -1 1 A =A 0 A = 0 Matrismultiplikation A av typ m x n B av typ n x p AB = C av typ m x p förutsättning antalet kolumner i A = antalet rader i B A C B . . . … i Ordningen viktig(AB) ci j ci j=ai jbi j+ai 2b2 j….ai nbn j j i = rad j = kolumn ex -1 2 1 2 -1 -1 1 1 0 3 1 2 1 1 0 -1 2 -2 3 1 4 -3 2 -3 7 = 7 -1 4 -4 4 1 1 3 rad 1kolumn1, rad 1 kol2, rad1kol3, rad1kol4 rad2 kol1, rad 2 kol2, rad 2kol3, rad2 kol4 rad 3 kol1, rad3 kol2, rad3 kol3, rad3 kol4 Antalet rader ärvs från 1:a matrisen Antalet kolumner ärvs från 2:a matrisen Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 37 Man kan ange bestämning av ett system(plan, linje etc) med hjälp av matriser: -1 2 1 x 2 -x +2y +z = 2 2 -1 -1 y = -1 2x -y -z = -1 1 1 0 z 3 x +y = 3 A = koefficient B = variabel C = fria kolumnen 1 0 0 A E E=0 1 0 Obs ska egentligen vara hakparanteser men det är för 0 0 1 jobbigt att göra på computtern m n n n E A m m mn A a b c d e f g h i j k L 1 0 0 0 E 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 a b c d e f g h i j k L = (antal element i A:s rader= antal element i E:s kolumner)= (44) Om E står först måste det vara 3 elementen i E:s rad. Eftersom det bara finns 3 element i A:s kolumn 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a b c d e f g h i j k L = a b c d e f g h i j k L E A ( 3 3) Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 38 30/9 Matris multiplikation ex 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 = 0 0 A A = 0 A är inte en nollmatris men A2 = 0 AB inte säkert att BA går att utföra AB BA förutsättning för matrismultiplikation antalet kolumner i A = antalet rader i B ex A B x x x x x x 3x2 . . A=(23) B = (33) (obs typ av matris) x x x x x x = . . . AB går att utföra x x x . . . B x x x x x x x x x A x x x x x x B=(33) A = (23) BA går ej att utföra A(BC) = (AB)C A(B+C) = AB +AC OK förutsatt att det går att utföra Ok förutsatt att det går att utföra dvs antalet kolumner i A = antalet rader i B Inversmatriser (tentafråga?) A är en kvadratisk matris Sats: Om det existerar ett A 0 (skilt från noll) finns det en kvadratisk matris B sådan att AB = BA = E (E = enhetsmatris) B kallas inversen till A och skrivs B = A-1 Detta kan utnyttjas vid lösning av ekvationssystem. AX = C Om A-1 existerar multiplicerar man från vänster: A-1(AX) = A-1C (A-1 A) = EX = X X = A-1C detta ger en entydig lösning men fungerar endast om det bara finns en lösning. Om ekvationssystemet innehåller flera lösningar går det inte att skapa en inversmatris. Ex Förutsättning för att kunna skapa en inversmatris är att determinanten A 0. 2 1 4 2 22-14 = 0 Denna matris är ej inverterbar! Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 39 Ex 2x -y = 3 3x+2y = 5 (Ska naturligtvis vara paranteser men är för jobbigt att göra i denna del av programmet (word 7.0)) 2–1x 3 = 3 2 A y X 5 C x 3 dvs y = A-1 5 X = A-1C (A-1 A) = EX = X 2 -1 dvs 3 2 x y z t = 1 0 0 1 2 1 x 1 3 2 y 0 , 2 1 z 1 3 2 t 0 två gånger övre raden adderas till den undre raden 2 1 z 1 7 1 t 1 , 2 1 z 1 7 0 t 1 dividera undre raden med 1 / 7 1 2 1 x 2 1 0 y 7 3 0 1 x 7 1 0 y 2 7 , , 2 1 0 x 7 0 1 y 3 7 2 7 A 1 3 7 2 A A 1 3 1 2 1 z 1 ( - 2 undre raden adderas till den övre) 1 0 t 7 3 0 1 z 7 (ordna om och byt tecken) 1 0 t 1 7 , 1 1 0 z 7 0 1 t 3 7 1 1 7 1 2 2 7 3 2 7 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 7 0 1 0 2 7 3 2 7 3 2 3 2 7 0 7 0 1 (nja detta blev ju inte så snyggt men med lite god vilja förstår man nog dess innebörd, eller…) Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 40 Kan man lösa detta snabbare dvs kan bägge beräkningarna genomföras samtidigt? 2 1 1 0 3 2 0 1 (2gånger övre raden adderas till den undre) 2 1 1 0 7 0 2 1 (undre raden divideras med 1 / 7) 1 0 2 1 2 1 (-2 gånger undre raden adderas till den övre) 1 0 7 7 3 2 0 1 7 7 (ordna om och byt tecken) 1 1 0 2 7 7 2 1 1 0 7 7 2 0 1 3 7 7 (Här har jag svåra problem med dataprogrammen som inte vill göra som jag vill. Antingen kan jag inte göra hakparanteser över två rader eller så kan jag inte skriva multiplikatorn med pil. Fram för nya program.) [E | A-1] men man flyttar enhetsmatrisen till vänstra sidan. [A | E] Men vad ska man använda inversen till då? Det glömde nog Paul. x 2/7 1/7 -3/7 2/7 = y X= 3 A-1 11/7 = 5 C = Test: 2x-y=3 2(11/7)-1/7 =21/7 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg 1/7 X 3x+2y=5 3(11/7) + 2(1/7)= 35/7 ht-99 Jäpp det stämmer! 41 Ex 2 -1 -4 2 1 0 0 1 2 2 -1 0 0 1 0 2 1 Två nollor denna matris saknar inverser övningsex (Annas ex) 1 -1 0 1 0 0 -2 1 2 3 1 0 1 0 -1 -2 3 0 0 1 1 -1 0 1 0 0 0 6 0 -7/3 1 -1/3 1/6 0 -1 1 1/3 0 1/3 1 -1 0 1 0 0 0 5 1 -2 1 0 0 -3 3 1 0 1 1 -1 0 1 0 0 0 5 1 -2 1 0 1/3 0 -1 1 1/3 0 1/3 -1 1 -1 0 1 0 0 0 1 0 -7/18 1/6 -1/18 1 0 -1 1 1/3 0 1/3 1 0 0 1/18 1/6 -1/18 0 1 0 -7/18 1/6 -1/18 0 0 1 -1/18 1/6 5/18 Och här är kursen slut… Lycka till Magnus Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 42 Kvadrat komplettering jämför ekvationen (x+3)2 =25 och x2 +6x-16=0 Den första kan lösas direkt men den andra kräver pq-formeln eller något liknande. Vad händer om vi utvecklar kvadraten (x+3)2 = 25 x2+6x+9 = 25 x2+6x+9-25 = 0 x2+6x-16 = 0 Vi fick den andra ekvationen! Hur gör man en sådan omskrivning omvänt, dvs hur startar man med den andra ekvationen och kommer fram till den första? Vi undersöker detta! x2+6x-16 = 0 x2+6x = 16 Om vi ökar bägge leden med ett lämpligt tal, kan vi i vänsterledet utnyttja att x2+2ax+a2 = (x+a)2 Eftersom 2a svarar mot 6, ska vi öka med a2 = (6/2)2 = 32 = 9 eller uttryckt i ord med ”kvadraten på halva koefficienten för x”. x2 +6x+(6/2)2=16+9 Nu har vi kompletterat kvadraten (x+3)2 = 25 ex x2 = 6x+16 x2-6x = 16 x2-6x +(6/2)2 = 16 + (6/2)2 x2-6x+32 = 16+32 (x-3)2 = 25 x-3=25 x=35 x1= 8 x2= -2 min variant: x 2 ax b 2 a 6 b 4 x 2 6x 16 x 2 6x 16 x 2 6x 16 2 x 2 6x 16 0 2 6 6 x 16 2 2 x 3 2 16 9 x 3 25 x 3 5 2 x 6 6 16 2 2 x 3 5 x1 8 x 2 2 x 1 8 x 2 2 Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 43 Sista minuten tips vinke ln n1 n 2 cos n1 n 2 90 60 45 30 0 0 1 0 cos 2 3 4 2 1 2 1 2 3 2 2 2 2 1 avstån det d PQ Q P 2 avstån det linje och punkt P ( a , b) d L ( Ax By C 0) Aa Bb C A2 B2 Avst . punkt och plan d Aa Bb Cc D A2 B2 C2 Avst linje och plan använd punkt från linje d P n 2 skalärprodukt n 1 n 2 0 n 1 n 2 xprodukten av två plan ger riktningsvektorn till en linje parallell tillde två planen multiplar av riktningsvektorer de är parallella 3 punkter bestämmer ett plan, en punkt och en vektor också det er min anten 0 ekvationen har entydig lösning det er min anten 0 ekvationen har oändligt många lösningar eller ingen alls Determinanten kan användas t.ex vid ekvationslösningar av typ bestäm a så att punkterna A,B,C och D ligger i samma plan. Bilda vektorer AB, AC och AD och sätt determinanten till 0. Tex 1 2 3 2 4 1 =0 a-1 2 a Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 44 matris multiplikation . . . . . . . . . . . . Förutsättning att skapa inversmatris determinanten är inte = 0 AEEA-1 x produkten av två normalvektorer till två plan ger riktningsvektorn till en linje parallell till de två planen Instudering linjär algebra Magnus Lagerberg ht-99 45