Elementar linjar algebra red

Elementär linjär algebra 5p
Paul Vaderlind (föreläsare) (Litt: Elementär linjär algebra :Gösta Wahde, studentlitteratur)
tel: 16 45 75
35 75 77
Måndag och torsdag förmiddag linjär algebra
ej obligatoriska föreläsningar
(Tisdag och fredag förmiddag matematikens utveckling
obligatoriska föreläsningar
History of matemathics Victor Katz
Boyer
redovisas skriftligt och muntligt under 2 lektioner)
2x -3y = 7
2x +4y =3
linjärt ekvationssystem av andra graden med 2 variabler
kan lösas med substitutionsmetoden eller med hjälp av matris
2 -3 | 7
1
2| 3
(x) (y) fria kolumnen
1:a ekvationen
2:a ekvationen
tillåtna matrismetoder för att snabbt lösa ekvationer
1.
2.
3.
4.
multipel av en rad adderas en annan rad
en rad får multipliceras med en multipel skild från noll.
byta plats på rader
en hel rad med nollor får strykas bort
2
1
-3 | 7
2| 3
-2
pilen betyder addition med 2 ggr undre raden
undre raden lämnas orörd
0
1
-7|
2|
1
3
-1/7
ring betyder multiplikation med -1/7
undre raden lämnas orörd
0
1
1|
2|
-1/7
3
-2
pilen betyder addition med -2 ggr övre raden
övre raden lämnas orörd
0
1
1|
0|
-1/7
23/7
byt plats
1
0
0|
1|
23/7
-1/7
(x,y) : (23/7, -1/7)
x
-3y +2z = 5
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
1
-2x
+3z = -2
2x +y -2z = 0
1
3 2
5 


3
 2
 2 0


1
2 0 
2
(addera 3ggr 3:e raden till 1:a raden)
7
0 4 5 


 2
 2 0 3


1 2 0 
2
(addera 1ggr 2 raden till 3:e och 7 / 2 ggr 2:a raden till 1:a raden
13


0
 2
0
2


 2 0 3
 2




1 1
 2
0


(multiplicera övre raden med 2 / 13 och mitten raden med - 1 / 2
4

 
0 0 1
13

3
1 0 
1 
2




2 
0 1 1


(addera - 1 ggr övre raden till 3:e raden och 3 / 2 ggr övre raden till mittenraden)
4

0 0 1  
13 

7
1 0 0

13 

22 

0 1 0  

13 
( byt plats så att x är i övre raden, y i mellersta och z i nedersta raden)
7 

1 0 0

13 

 0 1 0  22   ( x , y , z )  ( 7 , 22 , 4 )
13 
13 13 13

4

0 0 1  

13 
Matriser är till för att snabbt lösa ekvationer och beskriver 3 plan i den 3-dimensionella rymden.
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
2
Ekvationssystemet
2x-y=5
-4x+2y=3
2 -1| 5
-4 +2| 3
2
0
-1| 5
0| 13
2
systemet saknar lösningar linjerna är parallella
vilket man kunde sett från början
y=2x-5
y=2x+3/2
Ekvationssystemet
2x-y=5
-4x+2y=-10
2 -1| 5
-4 2| -10
2
0
2
-1| 5
0| 0 raden kan strykas linjerna sammanfaller
Ekvationssystem kan ha
en entydig lösning
inga lösningar alls
oändligt många lösningar
2 räta linjer kan inte sammanfalla i två punkter
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
3
Vektorer
2/3 är egentligen inget tal utan en representant för denna klass av tal, andra representanter i denna
klass är t.ex. 2/3, 10/15 och -14/-21.
q
PQ ~ (är identisk med)RS om PQSR är en (||-gram) parallellogram.
p
q
p
( PQRS
)
s
r
q
r
p
s
ej identiska PQRS är inget ||-gram
identiska, en vektor är en klass av sinsemellan identiska pilar
en vektor flyttas ej, istället väljer man en annan representant
p
q
r
s
PP är en speciell typ av vektor som motsvaras av en punkt  = 0
varje punkt representerar en nollvektor
Vektorer betecknas med en bokstav och ett streck över t.ex. u, v, w.
U är en representant för klassen av vektorerna u.
v
U+V
välj en punkt och låt vektorerna u och v börja från denna punkt.

bygg en ||-gram och dra diagonalen
diagonalen motsvarar U + V
Om det går att bygga ett ||-gram mellan två punkter med vektorerna U och V så är dessa två vektorer
identiska representanter.
U+V=V+U
Kognitiv addition
(U+V) +W= U +(V+W)
Associativa lagen
3 +7+11= 3 +18
= 10 + 11
vanlig addition = binär operation
= två objekt som vi utför en operation på
(3+7)+11=3+(7+11)
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
4
u
W
v
U+V
V+W
U+(V+W)
U+V+W=U+(V+W)
U+0=0
Olika klasser
U+0=U
Samma klasser(bägge vektorer)
(givetvis med vektorstreck på)
PQ+QQ=PQ
Multiplikation med talet 1 är neutralt
0 är additativt neutralt
Multiplikation med ett positivt tal= en sträcka som endast ändrar längd. U
U
-1U
2U
för varje vektor U existerar en vektor W så att U +W=0
W betecknas -U
-2 är bara en beteckning av det tal som adderat till +2=0
Sats: -1U= -U
-U adderat till U =0
(+)u=u +u
två olika plus tecken
distributiv med avseende på skalärer
(u+v)= u+ v
distributiv med avseende på vektorer
(+u)
=
skalär  vektor
()u
(taltal)vektor
0=0u =(1+(-1)u=
=1u+ (-1)u=
=u+(-1u)
alltså (-1)u= -u
24/8
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
5
Tänk kolumnvis när du jobbar med matriser
1
2
3
2
-3
2
-8|
5|
-12|
0
0
0
-2 -3
endast nollor i HL
homogent
1
0
0
2
-7
-4
-8|
21|
12|
0
0
0
1
0
0
2
-7
1
-8|
21|
-3|
0
0
0
-1/7
1
0
0
2
1
1
-8|
-3|
-3|
0
0
0
rad 2 och 3 identiska stryk rad 3 -2
1
0
0
1
-2|
-3|
0
0
-1/4
lösningen är nu klar det går ej att få fram
fler nollor
x-2z=0 x=2z
y-3z=0 y=3z
om z=t
x= 2t
y= 3t
TR (för alla reella tal t)
(x,y,z)=t(2,3,1)
alt
x
y
z
test:
2
= 3
1
x+2y-8x=0
2t+2(3t)-8t=0 OK
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
6
u+v=v+u
u+(v+w)=(u+w)+v
använd sats 1:1
(a+b)+(a+b) = a+(b+(c+d))
= a+(b+(d+c))
= a+((b+d)+c)
= a+(c+(b+d))
= (a+c)+(b+d)
associativa lagen
kommunitiva lagen
ass
komm
ass
109 ABCD är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen S.
Låt SA=a, SB= b och SC=c. Beräkna SD.
S
c
a
C
b
A
B
SD=?
=a+AD
=a+BC
=a+(c-b)
(BC+(-c)+b=0BC=c-b)
110. O,AB och C är fyra givna givna punkter i rummet med OA=a, OB=b och OC=c. Bestäm en
vektor OD uttryckt i a, b och c så att fyra punkterna A,BC och D(i valfri ordning) blir hörnen i en
parallellogram.
O
D1
A
B
C
D11
OD11
D111
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
= OB+BD11
= b+BD11
= b+AC
(AC= -OA+OC)
= b+(-OA+OC)
= -a+b+c
7
111. OA=a och OB =b är givna vektorer. Punkten P delar sträckan AB i delningsförhållandet m:n dvs
AP|/|PB|=m/n. Bestäm vektorn OP.
A
u
= ?a+?b
a
m
= b+BP
u
= b-PB
O
P
b
n
PB=?AB=n/(m+n)|AB|
B
u
= b-n/(n+m)AB
AB=?
a+Ab+(-b)=0AB=-a+b
u
= b-n/(n+m)(-a+b)
= b+ n/(n+m)a - n/(n+m)b
= n/(n+m)a+b(1- n/(n+m))
= n/(n+m)a+b((n+m)/(n+m)-n/(n+m))
= n/(n+m)a+((bn+bm-bn)/(n+m))
u= n/(n+m)a+m/(n+m)b
w= v + u
komposanter
 och  är entydigt bestämda
 linjär kombination
u || v
w
u
u
v
u och v är en bas i planet
bas, komposanter och koordinater
u || v u,v en bas i planet
w ligger i planet
w
v
 ! ,   R
(alltså det existerar entydigt bestämda
alfa och beta som tillhör de reella talen)
w  u  v
  ,  
ex.  2,7  2u  7v
  1,3  1u  3v
0,0  0
w  2u  v
 2,1
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
8
Om det skulle finnas fler möjligheter
w =  v   1u
v  u   1v  u
v   1v   1u  u
   1 v    1    u
|| av v
|| av u
men u är ej || med v
enda vektorn som kan vara parallell med två icke parallella linjer
är 0 - vektorn
 -  1 v  0
 1  0
  1
Varje annan vektor kan uttryckas med hjälp av en linjär kombination av
två kända vektorer.
Givet u, v, w i rymden icke komplana(ej i samma plan), varje vektor s kan beskrivas som
s=u+v+w
(, ,  är koordinateroch u, v, w är en bas i rymden)
w1  1 , 1 
w2   2 , 2 
w1  w2  1 , 1    2 , 2 
w1  w2  1u  v1    2 u  2 v   1   2 u   1  2 v
w1  w2  1   2 , 1  2  i koordinatform
Koordinatsystem = en bas och en punkt i planet, origo.
En bas =2 vektorer i planet som ej är parallella.
2u+v
ordningen spelar roll
u
u+2v
v
För att definiera koordinaternas inbördes ordning används t.ex hakparantes [O,U,V]
p=(, )
u
OP=u+v
=(, )
O
v
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
9
P =(2,1,3)
PQ
=?
=
ett varv runt(OQ,QP,PO) =0
OQ+-PQ+(-OP)=0
PQ
=OQ-OP
=(0,-1,1)- (2,1,3)
=(-2,-2,-2)
OP=(2,1,3)
Q=(0,-1,1)
Origo
1
1
xyz0  1

3
5
2 x  5 y  3z  1  2
1
 x  2 y  z  2   1 2
1 1 1 0
0
1 (-2  rad1 + rad2, 1  rad 1 + rad3)
2
0 3 1 1 ( 1  rad 2  rad 3)
0 3 2 2
1 1 1 0
0 3 1 1 ( 1  rad 3  rad 2,1  rad 3  rad 1)
0 0 1 1
1
0 (1 / 3  rad 2)
1
0
2
3
0
0
0
0
1
1
1
2
0
1
0
1
0
0 (2  rad 2  rad 1)
0
0
1
1
1
1
0
0
 0
1
0
0  ( x , y , z )  ( 1, 0, 1)
0
0
1
1
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
(409a)
10
409b
x+y+z=6
2x-y+z=3
3x-z=0

1
2
3
1
-1
0
1
1
-1
6
3
0
-2
1
0
0
1
-3
-3
1
-1
-4
6
-9
-18
1
0
0
1
-3
0
1
-1
-3
6
-9
-9
-1/3
1
0
0
1
-3
0
1
-1
1
6
-9
3
1
1
0
0
1
-3
0
0
0
1
3
-6
3
-1/3
1
0
0
1
1
0
0
0
1
3
2
3
-1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
2
3
-3
-1
-1
(x,y,z)=(1,2,3)
409c.
4x+y-3z=11
2x-3y+2z=9
x+y+z = -3
4 1 -3| 11
2 -3 2| 9
1 1 1| -3

0 1 -1| -1
0 1 0| -3
1 0 1| 0

1 0
0 1
0 0
-1
0| 2
0| -3
1| -2
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
-2
-2
0 0
 0 1
1 0
0 7
 0 -5
1 1
-1| 2 -1
0| -3
1| 0
-7| -7
0| 15
1| -3
1
-1/5 
0 0
 0 1
1 0
0 7
0 1
1 1
1| -2
0| -3
0| 2
-7| -7 1/7
0| -3 -1
1| -3

(x,y,z)=(2,-3,-2)
ht-99
11
Man kan visa att två linjer är parallella genom att visa att den ena är en
multipel av den andra.
Uttryck de två vektorerna med hjälp av samma vektorer.
Ex 112 b
Bevisa med vektorer att linjen från ett hörn i en parallellogram till mittpunkten på motstående sida
delar en av diagonalerna i förhållandet 1:2.
D
F
C
Välj E på BD sådan att BE = 2ED
E
A
Visa att AE är || med AF
B
2
BD
3
2
2
AB  CD  AE  AB  BD  DC  BD
3
3
2
2
2
2

DC  DB  BC  AE  DC  BD   DB  BC   BD  BD   DB 
3

3
3
3
3
2
1
1
AE  DB  BC   DB  DB  BC ( BC  AD)  AE  DB  AD
3
3
3
3
AE  AB  BE  AB 
AF  AD  DF  AD  ½ DC
½ DC  ½ DB  BC  
3
1
AD  DB
2
2
3
31
3
3
1
 3
( AE )   DB  AD  DB  AD  AD  DB  AF
 6
2
23
2
2
2
AF  AD  ½( DB  BC ) (½ BC  ½ AD)  AF 
2
1
AF=3/2AE
A
E
F
Varje median i en triangel skär en annan i förhållandet 1:2 eller 2:1, vilket gäller alla trianglar.
2
2
1
1
C
F
D
AP=2/6AF=1/3AF=2/3(2AD)=2/3AD
AP+PD=ADPD=1/3AD
P
A
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
B
ht-99
12
Repetition vektorer
a och b ligger inte på samma räta linje. Resultanten motsvaras av en pil r, som är diagonal o den
parallellogram i vilken pilarna a och b är två sidor.
Alt: b parallellförskjuts så att dess utgångspunkt sammanfaller
med spetsen på a
b
r
r=a+b
r
b
a
a
r kallas i bägge fallen a+b = vektorsumman av a och b
a+b=0 nollvektor= en punkt
b
a+b=b+a
a
a+b b+a
a
b
Om a och b utgår från samma punkt. Om vektorn från spetsen av b till spetsen av a kallas x så gäller
b+x=a x=a-b
b
b
x
(a+b)
a
x=a-b
a
a
b
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
13
Ortonormerat koordinatsystem i rymden
z
y
ORIGO
x
Längdenheten är densamma på alla tre axlarna. [ex, ey, ez]
Längden på en vektor r betecknas |r|
ab=ba
(kallas även vektorns absolutbelopp)
kommutativa lagen
a=(a1, a2, a3 ) b=(b1, b2, b3)
ab=(a1b1, + a2b2 + a3b3)
|a||b|=


a12  a 22  a 32 
paqb=pqab
|a|2 =aa
b11  b22  b32

|a|=aa
Vinkeln v mellan två vektorer a och b (som båda inte är 0) gäller
a b
a b
 
a  b  a  b cos v  cos v 

a b
a 2  b2
Två vektorer(a och b) är vinkelräta om ab=0
a= (a1, a2, a3)
b= (b1,b2,b3)
om ab=(a1b1, + a2b2 + a3b3)=0 så är vinkeln mellan vektorerna a och b 90 = /2
ex beräkning av vinkel
A, B och C har koordinaterna (1,2,3), (3,4,-1) och (3,1,2). Beräkna vinkeln ABC
C
b= OB-OA=(3,4,-1)-(1,2,3)=(2,2,-4)
A
c
c= OC-OA=(3,1,2)-(1,2,3)=(2,-1,-1)
b
B
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
14
O
vektorernas längd
b  2 2  2 2  ( 4) 2  24  4  6  2 6
c  2 2    1    1  6
2
2
skalärprodukten
b  c  2  2  2    1    4    1  6
vinkeln v
bc
6
6 1
 cos v 


bc
2 6  6 12 2
v

3
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
15
2/9
Koordinater förutsätter att det finns en bas.
Två vektorer är || om den ena vektorn är en multipel av den andra.
QL omm
(Q tillhör L om och endast om)
P=(x0,y0,z0)
PQ || v
v=(,,)
(vektorn PQ är parallell med vektorn v)
u=(x0,y0,z0)
Q=(x,y,z)
QL  TR PQ=tv
O
(Q tillhör L vilket medför att det existerar
ett T som tillhör de reella talen så att
PQ=tv)
QL  TR OQ=OP+PQ
=OP +tv
QL  TR (x,y,z)= (x0,y0,z0)+t(,,)
x = x0 + t 
x
x0

L: y = y0 +t 
= y =
y0 +t 
alternativt skrivsätt
z = z0 +t 
z
z0

L
Punkt riktningsvektor
punkt || linje
Om t=0 ekvationen= en punkt Q
Om t= ett positivt tal kommer ekvationen att beskriva alla punkter till höger om Q
Om t= ett negativt tal kommer ekvationen att beskriva alla punkter till vänster om Q
ex
P=(2,-1,3)
v=(0,1,-1)
x= 2
y= -1 +t
z= 3 -t
x = x0 + t 
L: y = y0 +t 
z = z0 +t 
(x-x0)/ = (y-y0)/ = (z-z0)/=t
ex
x/2=(y-2)/5=z-3
x/2=t
(y-2)/5=t
z-3=t

Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
x=2t
y=2+5t
z=3+t
ht-99
16
Parametrisk framställning i två dimensioner:
 x  x0   t
L: 
 y  y0   t
x  x0


y  y0

 t
 x  x 0     y  y 0 
 x  y   y 0   x 0   0
Linjens ekvation på formen:Ax + By + C = 0
gäller endast i två dimensioner parametriskt eller ekvation
i 3 dimensioner gäller endast parameterform
Linjens ekvation
  x  x 0       y  y 0   0
     x  x
0
, y  y 0   0 Skalärprodukt = 0  
ex: 2,3  3,2  2  3  3    2  0
  ,    ,        0    ,   ,  
ex
L= 2x +5y +7
(2,5)  L
L1
L
(-1,3)
Givet: L : 3x+7=12
Bestäm ekvationen för en linje L
L1  L och (-1,3)L1
3x-7y=12
L1= x =? +T?
y =? +T?
x = -1 +T?
y = 3 +T?
x = -1 +3T
y = 3 + 7T
(3,-7) L
alltså (3,-7) || L1
x+1= 3T
y-3= -7T
 x  1  3T
x 1 y  3


 7 x  7  3 y  9  L1  7 x  3 y  2

3
7
 y  3  7T
L1   1,3
L2  (7,3) 
7,3   x    1, y  3  0
7,3   x  1, y  3  0
 ,-  x  x0 , y  y0 
7 x  1  3 y  3  0
7 x  3y  2  0
 Kunde gått direkt till 7x + 3y + C = 0
Saknar C, sätt in (-1,3)
7(-1) + 3(3) + C = 0  C = -2
L1 :7 x  3 y  2  0
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
17
L: 3x  7 y  12 Oändligt många talpar löser denna ekvation
antag att
 1s
x = s
x 


3s - 12  
12 3

y
=
y  s


7
7 7

1
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
 3
 3
  1,  || L   1,   L1
 7
 7
ht-99
 3
t . ex.7 1,   7,3
 7
18
Planet 
u || v
u=A1,A2,A3
v=B1,B2,B3
P=(x0,y0,z0)
u
P
2vektorer +1 punkt= ett entydigt plan
3 punkter bestämmer ett plan
3 punkter=1 punkt + 2 vektorer
v
Q
O
Vill ha ett uttryck för 
QPQ || 
QstR PQ=su+tv
Q
u
ex
P
v
QP ligger i planet om QP är || med planet
QP är en multipel av u och v
OP +PQ=OP+su+tv
OQ=OP+su+tv
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+s(A1,A2,A3)+t(B1,B2 ,B3)
 x  x 0  sA1  tB1

 :  y  y 0  sA2  tB2
z  z  sA  tB
0
3
3

punkten P
L:
|| u
Parametrisk framställning
|| v
Parametrisk framställning av planet L som är || med u
x = -3 + 2t
y=
3t
z=2
u: (1,1,-2 )
:
x = -3
y=
z=2
+2t
+3t
+s
-1 2
+s
-2s
x = -3 +2t
-x+y=3+t
2x+z=-4+4t

+s
-4
 2x+z+4x-4y = -12-4t-4+4t
6x-4y+z=-16
: 6x-4y+z+16=0
planets ekvation
(:x+y+z+D=0)
(,,)  
Tillbaka till parameterform
6x-4y+z+16=0
z=-6x+4y-16
tag x=s y=t
z= -6s+4t-16
x=
s
y=
t
z = -16 -6s +4t
( P1
u1
v1)
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg

P1 = (0,0,16)
u1 = (1,0,-6)
v1= (0,1,4)
ht-99
19
2x-3y+z=15
-4x+6y-2z=37
(2,-3,1)
(-4, 6, -2)
2 parallella plan som ej sammanfaller
systemet saknar lösning
:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
(x0 ,y0,z0)  
(A,B,C)  
u=(2,1,-3)
P=(2,1,1)
P   u
(A,B,C)
(x0,y0,z0)
2(x-2) +1(y-1)-3(z-1)=0
2x+-4+y-1-3z+3=0
2x+y-3z+2=0 Detta är planet.
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
20
Övn 151
Kan konstanten a bestämmas så att punkterna A,B och C ligger i en rät linje? Bestäm i så fall
ekvationerna för denna räta linje.
A = (-4,5,0)
A
B
C
B = (1,a,a2)
L
C = (5,-1, 3a)
O
(-4,5,0)L
AB,BC och AC|| L
OA+AC+CO=0
AC = -CO-OA
AC = OC-OA
AC = 5-(-4),-1-5,3a-0
AC= (9,-6,3a)
x = -4 + 9 t
y = 5 -6 t
z = 0+ 3a t
riktningsvektorn AC
punkten A
t=0 ekvationen beskriver punkten A
t=1
x = -4 + 9 1
x=5
y = 5 -6 1

y = -1
z = 0+ 3a 1
z = 3a
t=1 ekvationen beskriver punkten C
Vilket t för att beskriva punkten B
xB=1
1=-4+9t
5/9=t
t=5/9
x = -4 + 9 5/9
x = -4+45/9
y = 5 -6 5/9
y = 45/9-30/9
y = 15/9
z = 0+ 3a *5/9
z =a35/9
z = a15/9
z= a5/3
t=5/9 ekvationen beskriver punkten B och konstanten a =5/3
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
x=1
y=5/3
z=25/9
(z=a2)
21
Pauls lösning av 146
Punkterna (0,0,0),6,7,6) och (2,6,-9) är hörn i en kub. Bestäm de övriga hörnen(ON-system)
O=(0,0,0) Q=(6,7,6) P=(2,6,-9)
OQ=6,7,6) OP=(2,6,-9)
|OQ| = (36+49+36)= (121) = 11
|OP)| = (4+36+81) = (121) = 11
QP =(2-6, 6-7,-9-6)= (-4,-1,-15) |QP| = (16+1+225) = >11 (Alltså inte lika lång som OQ ellerOP)
 OQ och OP är sidor i kuben medan QP är en diagonal.
H
G
AF =AB +AE
=(6,7,6)+(2,6,-9)
AE= (8,13,-3)
E=2,6-9)
F
D=
A=(0,0,0)
Sök D=(x,y,z)
AD= (x,y,z)
1. ADAB=0
2. ADAE=0
3. |AD|=11
C=
B= (6,7,6)
6x +7y+6z=0
2x+ 6y -9z=0
1. 6x +7y+6z=0
2. 2x+ 6y -9z=0 -3

 y=3z
x= -9/2z
Beloppet: |AD|
0 -11y+33z=0 1/11 
2x+ 6y -9z =0
0 -y+3z=0 6
2x +6y-9z=0
(-9/2z)2 +(3z)2+z2=121
(81/4+9+1)z2 =121
(121/4)z2 =121
z2=4
z1=2
x1= -9
y1=6
z2= -2
x2 = 9
y2 =-6
0-y+3z=0
2x +9z=0 
D1= (-9,6,2)
D2 = (9,-6,-2)
(och inte (2,-9,6) resp (-2,9,-6) som Paul skrev !!!)
Alltså finns det två lösningar
Med min metod : 2, 6,-9 (spegelvändning)
(ADAB=0)
9, -6,-2
18-36+18 = 0
E=(2,6,-9)
D2=(9,-6-2)
A=(0,0,0)
(ADAE=0)
9,-6-2
6, 7, 6
54-42-12=0
Hade man kanske inte direkt kunnat se
att det finns två lösningar. Men en viss
beviskraft finns väl ändå?
B=(6,7,6)
(D1)=(-9,6,2)
De övriga hörnen är lättare att räkna ut t.ex OH= AD+AE
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
22
Två linjer är parallella om riktningsvektorerna är multiplar av varandra.
Ex (a,b,c)x= (1,2,3)
Om två ekvationer beskriver samma linje bör punkten i L2 finnas i L1
ex tal 152
Tal 425
Bestäm för varje a-värde om skärningsmängden till de tre planen
(a-1)x+(2a-2)y+z=a
-x+(a-2)y+z=a
2x+2y+(a+1)z=3-a
är ett plan, en rät linje, en punkt resp tom.
(a-1) (2a-2) 1
a
-1 (a-2) 1
a -1 -(a+1) 
2
2 (a+1) 3-a
a
a
0
-1
a-2
1
2
-a +1 (-a +a+4) 0
om a=0 får vi
0
0
0
-1 -2
1
0
4
0
a
a
0
-1
a-2
1
-a+1 2+(a-2)(-a-1) 0
0
a
3-a -a2+a

0
a a-2
-a2+3
0
0
3 ½
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg

ht-99
23
Triomino
I ett rutsystem med 8 gånger 8 rutor skall 21 st i-triomino placeras.
En i-triomino består av en rektangel med tre rutor som kan placeras vertikalt eller horisontellt.
21 stycken i triomino kan placeras på ett 88 rutnät så att en ruta bildar ett hål. Men alla rutor kan inte
fungera som hål. Lokalisera dessa hål. Varför?
Jag har hittat dessa fyra möjliga hål.
Jag tror att detta beror på att dessa i-trimino kan grupperas i par , en och en eller i grupper om tre.
Det finns plats för tre stycken grupper med tre st trimino(gråmarkerade) dessa täcker då 333 rutor
=27. Kvar finns då 36 rutor som kan fördelas på sex grupper med två trimino i varje, dvs 66=36.
33+62=27+36=63
Pauls bevis
1 2
3 1
2 3
1 2
3 1
2 3
1 2
3 1
3 1 2 3 1 2
2 3 1 2 3 1
1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 1 2
2 3 1 2 3 1
1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 1 2
2 3 1 2 3 1
1
2
3
1
2
3
1
2
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
32
1 3
Fyll det ena systemet med serier av 1,2,3 i vertikalriktning och det andra systemet med samma serie
men i horisontell riktning. Systemen kommer att innehålla 21 st 2:or , 21 st 3:or och 22 st 1:or. De !:or
som sammanfaller i bägge systemen är de enda möjliga hålen. (samma som mina)
13/9
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
24
Två icke parallella vektorer bildar ett plan.
Antag att u och v är vektorer i R3.
R3= det tredimensionella rummet.
Låt u x v (u kryss v) defineras som:
A. 0 (nollvektor) om u || v (om u och v är parallella)
B. om u || v
1. u x v  u, u x vv (om ej parallella så är u kryss v vinkelrät mot både u och v.)
2. |u x v| = |u| |v| sin[u,v] (Hur lång skall u kryss v vara, sin [u,v] aldrig ett negativt tal)
Vektorerna har samma längd som parallellogramens area
b
 h
a
area i ett parallellogram =a  h
h/b = sin 
area = a b sin
h=b sin 
enhetsproblem egentligen längd = area
dock samma storhet, bortse från enheterna.
(jag blir så jäkla trött på att dra streck över u och v så nu struntat jag i det.
3. Vektorerna u,v, och u x v är en positivt orienterad trippel.
U kryss v betyder att u rör sig mot v.
Om man tittar på dessa vektorer i ett tredimensionellt system kan man avgöra om denna
rörelse är medsols eller motsols. En motsols rörelse är positivt orienterad medan
rörelser medsols är negativt orienterade. Villkoret säger att rörelsen ska vara positivt
orienterad.
(öga)
v
u
v
u
rörelsen är motsols
positivt orienterad
titta från den tredje återstående vektorn
ex e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) Sk standardbas
detta är alltså ett öga…
rörelsen är medsols
negativt orienterad
e1 x e3= ska vara vinkelrät mot e1 och e2 måste vara || med e2.
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
25
Hur lång?
Paralellogrammet bildar en kvadrat med sidan 1 alltså är e1 x e3 1 lång
Ska vara positivt orienterad.
e3
e2
titta från e2
rörelsen blir medsols och negativ
e1
ska vara positiv
Alltså måste vi ha -e2
Så här
e1 x e3 = -e2
e3 x e1 = e2
e3
e2
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
e1
ht-99
26
Räkneregler
OBS
ex u=(a,b,c)
uxv
uxv=-vxu
u x v = (u x v) = u x v
u x (v +w) = u x v + u x w
(u + v) x w =u x w +u x v
v= ( a1,b1 ,c1)
[ a-b= - (b-a) ]
(streck på alla u, v och w)
en ON -bas (e1, e2,e3)
= ( ae1 +be2 + ce3) x ( a1e1+b1e2+c1e3)
= aa1(e1 x e1) +ab1 (e1 x e2)+ac1(e1 x e3)+
alla av typ (e1 x e1)
+ ba1(e2 x e1)+bb1(e2 x e2)+bc1((e2 x e3)+
försvinner nollvektorer
+ca1(e3 x e1) +cb1(e3 x e2) +cc1(e3 x e3)
alla motsols kan skrivas 3:e vektorn t.ex. ab1 (e1 x e2) = ab1e3
alla medsols vänds t.ex. ba1(e2 x e1) = - ba1(e2 x e1)=-ba1e3
= ab1e3 -ba1e3 - ac1e2 +bc1e1 +ca1e2 -cb1e1
=(ab1-ba1)e3 +( -ac1 +ca1)e2 +(bc1-cb1)e1
= (bc1-cb1 , -(ac1-ca1), ab1-ba1 )
uxv
=(bc1-cb1 , -(ac1-ca1), ab1-ba1)
OBS mkt krångligt
Det finns ett enklare sätt:
ex (2,-1,3) x (1,3,1)
skriv ut vektorerna radvis under varandra, sätt en prick ovan varje kolumn.
. .
.
2 -1 3
utför diagonal multiplikation
och subtrahera motsatt diagonal
1 3 1
för att beräkna e1 sätt tummen för första kolumnen -11 -(33) =10
för att beräkna e2 sätt tummen för mellersta kolumnen 21-(31) = -1 vänd resultatet +1 OBS
specialregel för mellersta koordinaten vilket beror på detta minustecken.
För att beräkna e3 sätt tummen för sista kolumnen23-(-11)=7
således är (1,-1,3) x (1,3,1) = (10,1,7)
uxv
=(bc1-cb1 , -(ac1-ca1), ab1-ba1 )
(a,b,c) x (a1,b1c3)
. . .
a b c
a1 b1 c1
e1 =bc1-cb1
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
e2 = -(ac1-ca1)
e3 = ab1-ba1 (bc1-cb1 , -(ac1-ca1), ab1-ba1 )
ht-99
27
Bestäm planet som är parallellt med bägge linjerna och passerar genom
punkten P.
L1
x=1+t
y = 3 -t
z = 2t

x = 1 + t+2s
y = -3 -t
z = -2 +2t -s

x = -1 +2s
y=5
z=3 -s
L1
1
2
x+y = -2 +2s

y = -3 +t
z+2y = -8 -s 2
P = (1,-3,-2)
den gamla metoden eliminera s och t
x+y+2z+4y = -18
 = x+5y+2x+18=0
Annat sätt:
Planets normalvektor  L1 och L2
(t)
(s)
. . .
u= (1,-1,2) x (2,0,-1)= 1 -1 2 = (1,-(-5),-(-2))= (1,5,2) (normalvektorn till planet)
2 0 -1
 = x+5y+2z+d=0
sök d: stoppa in punkten P:s koordinater i ekvationen och lös ut d.
(1,-3,-2)
1-15-4+d=0
d=18
 = x+5y+2z+18=0
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
28
Vad gör d? I en vanlig tvådimensionell ekvation t.ex. 2x+3y+m = 0
är m skärningspunkten med y-axeln. m flyttar linjen upp eller ned.
D har samma funktion i ett tredimensionellt system men flyttar planet
snarare i sidled än upp och ned.


=-

determinanter ( ett tal som associerar till area)

skrivsätt
 
det
 


=


3
2
5
1
(3,2) x (5,1) =
= 3-10=-7
3
2
5
1
= area 7
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
(beloppet av arean är 7, då det mig veterligt inte existerar
negativa areor fast om man tänker på den negativa bild
som projiceras på näthinnan och som på elektrisk väg
färdas till hjärnan. Vem vet den där elektriska impulsen
kanske är en negativ area. Då skulle den ju inte ta så stor
plats heller. Nästan osynlig!)
ht-99
29
16/9
2
-2
1
5 =10-(-2)=12
1
5
2
-2 = -2-10 = -12
Kolumnerna byter plats produkten byter tecken
metod I
a b c
d e f
g h k
?a e f -b d f
h k
g k
+c d e =
g h
a(ek-hf) -b(dk-gf) +c(dh-ge) = aek + bgf + cdh - ahf - bdk - cge
. . .
. . .
. . .
=
. .
. .
metod II
a b c a b
d e f d e
g h k g h
-
.
.
.
.
+
.
.
.
.
= aek + bfg + cdh - afh - bdk - ceg
negativa positiva
metod III
utför samma beräkning som i metod men i huvudet (vilket troligen snabbast)
a b c
d e f = aek + bfg + cdh - afh - bdk - ceg
g h k
3 plan i rymden
ett linjärt ekvationssystem med tre varaiabler
ax + by + cz = m
dx + ey + fz = n
gx + hy + kz = p
a b c
A: d e f
g h k
a b c 
( A: d e f  )
g h k 
Koefficient matris
(Total matris)
Sats: Ekvationen har entydig lösning omm determinanten A  0
(dvs ekvationerna skär varandra i en punkt om och endast om determinanten inte är noll)
Vad händer om A=0?
Det finns ingen entydig skärningspunkt, antingen oändligt många eller inga lösningar alls.
(Denna sats kan t.ex. tillämpas på tal 425 se elementära linjära lösningsförslag eller här!
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
30
425 Bestäm för varje a-värde om skärningsmängden till de tre planen (a-1)x +(2a-2)y+z = a,
-x+(a-2)y+z =a och 2x+2y+(a+1)z=3-a är ett plan, en rät linje en punkt resp tom.
+
(a-1) (2a-2) 1 (a-1) (2a-2)
-1
(a-2) 1 -1
2
2 (a+1) 2 2
koefficientmatris
= +(a-1)(a-2)(a+1) + 2(2a-2) - 2 -2(a-1) +(2a-2)(a+1)-2(a-2)
= (a3-2a2-a+2 ) +( 4a-4) -2 + (- 2a+2) + (2a2+2a-2a-2) +(-2a+4)
=a3-a
När är a3-a=0
a(a2-1) = a(a-1)(a+1) = 0
a = 0, a = -1, a = 1
(a-1) (2a-2) 1 a
-1
(a-2) 1
a
2
2
(a+1) 3-a
totalmatris
1. Om a  0, a  1, a  -1 så har systemet en entydig lösning, en punkt.
2. Om a= 0
-1 -2 1 0
-1 -2 1 0
2
 -1 -2 1 0
-1 0 -2
2 2 1 3
0 -2 3 3
-1
0 -2 3
normalen till två plan ej ||  en linje
-3
3
3. Om a=-1
-2 -4 1
-1 -3 1
2 2 0
-1
-1
4
0 -2 1
0 -2 1
1 1 0
3
1
2
-2 -4 1
-1 -3 1
1 1 0

½
-1
-1
2
1 2
två likadana ekvationer med olika summa, || men ej
sammanfallande  saknar lösning= tomma mängden
4. Om a= 1
0 0 1 1
-1 -1 1 1
2 2 2 2
-1 -2

0 0 1 1
-1 -1 0 0
2 2 0 0
2 
0 0 1 1
-1 -1 0 0
0 0 0 0
Två plan || (icke parallella) Planen skär varandra längs en skärningslinje
z=1
x=
-s
x + y =0  y = +s
z=1
Genom att manipulera ekvationer med eliminationsmetoden kan vi få fram t.ex en skärningslinje.
Eliminationsmetoden ersätter ursprungsekvationerna med andra ekvationer men skärningslinjen eller
punkten kvarstår.
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
31
u = (a1 ,b1 ,c1)
v = (a2,b2,c2)
uxv
e1
a1
a2
e2 e3
b1 c1
b2 c2
=
e1 a1 a2
e2 b1 b2
e3 c1 c2
ger samma resultat kolumnvis eller radvis
w= (a3 , b3 , c3 )
w  (u x v)
a3 a1 a2
b3 b1 b2
c3 c1 c2
= a3  b1 b2
c1 c2
= (a3, b3, c3) 
-b3  a1 a2
c1 c2
b1 b2
c1 c2 ,
+c3
a1 a2
c 1 c2 ,
a1 a2
b1 b2 =
a1 a2
b 1 b2
w  (u x v) = ett tal som spänner upp parallell pipedens volym
detta tal kan vara negativt men absolutbeloppet svarar mot pipedens volym.
OBS
w  (u x v) = -u (w x u)
Om två kolumner byter plats byter determinanten tecken
determinantens produkt svarar mot pipedens volym.
Determinanten fungerar ej på större system än 4 x 4 matriser.
Linjärt beroende
En vektor kan uttryckas med hjälp av två andra vektorer, dvs varje 3:e vektor är linjärt beroende av de
andra två. Om summan av ett matrissystem är noll [a,b,c] = 0 är systemet linjärt beroende.
Ett system är beroende om en vektor kan uttryckas med de andra två.( eller 3)
Komplana vektorer ligger i samma plan.
20/9
Avståndet
d
Avståndsformeln i tvådimensionella system:
x
1
 x2    y1  y2 
2
2
Tredimensionella system
P = ( a,b,c)
Q = (d,e,f)
d(P,Q) = | PQ | =
 d  a  2   e  b  2   f  c
2
Avståndet mellan linje och punkt:
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
Q
ht-99
32
P = (2,1,-1)
x = 3 +t
L1: y = -1
riktningsvektorn n1= (1,0,-1)
z = 1 -t
d(P,L1)
Sök Q  L1 så att PQ  L1
(sök punkten q på L1 så att PQ är vinkelrät mot L1 )
P
L1
Q = (3+t0, -1, 1-t0)
PQ = (3+t0-2, -1-1, 1-t0-(-1)) = (1+t0, -2, 2-t0)
PQ  n1
PQ (1,0,-1) (två linjer är parallella om produkten är noll)
PQ  n1 = 1(1+t0 ), 0-2, -1(2-t0) = 1+t0-2+t0
(parallella om produkten är noll)
1+t0-2+t0 = 0 2t0=1t0= ½
d(PQ) = | PQ | = | (1+½, -2 2-½)| = |(3/2,-2,3/2)| =
9 16 9
34
  
4 4 4
2
Avståndet mellan linje och linje
( 2 punkter som ligger närmast en vektor som är vinkelrät mot bägge linjerna, det finns alltid en och
endast en)
x = 3 +t
x=
s
L1 : y = -1
L1
L2 :
y=1+s
z = 1 -t
z = 1 +2s
n1= (1,0,-1)
n2 = (1,1,2)
Sök P L1 och QL2 så att PQ  n1 och n2 då är d(L1,L2) = |PQ|
P = (3+t0,-1, 1-t0)
Q = (s0,1+s0,1+2s0)
PQ=(s0-3+t0, 1+s0-(-1),1+2s0-(1-t0))= (-3+s0-t0, 2+s0, 2s0+t0)
n1,n2 PQ
1(-3+s0-t0 )+ 0 (2+s0 )-1( 2s0+t0) = 0 (-3+s0-t0 -2s0-t0) =0
1 (-3+s0-t0 ) +1(2+s0)+2( 2s0+t0) = 0 (-3+s0-t0+2+s0+ 4s0+2t0)=0
-s0-2t0=3 6
6s0+t0 =1

 -s0-2t0=3
 6s0+t0 =1 (eliminera)
-s0-2t0 = 3
-11t0 = 19
 t0=-19/11
s0=-3-2(-19/11) s0=5/11
PQ = (-3+5/11-(-19/11)), (2+5/11), (25/11-19/11) = (-8/11, 27/11,-9/11)
d(L1,L2) = |PQ| = | (-8/11, 27/11,-9/11) | =
64 729 81
874



121 121 121
11
Avståndet mellan linje och punkt
(tenta fråga???)
(direkt från kokboken!!!)
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
33
P = (a,b)
L1 = Ax+By+C = 0
Aa  Bb  C
d(P,L1) =
A2  B 2
Avståndet punkt och plan
(recepten faller tätt !!!)
P = (a,b,c)
: Ax+By+Cz+D = 0
d(P, ) =
Aa  Bb  Cc  D
A2  B 2  C 2
Avståndet mellan linje och plan
1. Kolla först att linjen inte är parallell med planet! Om den inte är || med planet så skär den planet i
en punkt där avståndet är 0!
Ex 1
x = 2 +t
L1 : y = -1 -t n1=(1,-1,2)
z = 3+2t
: 2x-2y+3z+4
n= (2,-2,3)
n1n= 12-1(-2)+230  Linjen är ej || med planet, den skär således planet i en punkt där avståndet
är = 0.
Ex 2
x = 2 +t
L1 : y = -1 +4t n1=(1,4,2)
z = 3+2t
: 2x-2y+3z+4
n= (2,-2,3)
Kolla först om linjen är || med planet!
L1 ||  om n1n = 0
14+4(-2)+23= 0 (Linjen är || med planet)
Använd en punkt från linjen och stoppa in i planets ekvation.
d(L1, ) =
2  2  2  ( 1)  3  3  4
2 2  ( 2) 2  32

19
17
27/9
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
34
Tre typer av parfymer tillverkas vid en fabrik.
3 ingredienser (vatten, alkohol, doft)
5 2 4
0 7 1
läses rader = olika parfymer och kolumner= ingredienser
8 1 6
Ingrediensernas kostnad:
vatten kostar 
alkohol kostar 
doft kostar 
5 2 4

5+2+4
0 7 1   =
+7+1
8 1 6

8+1+6
EX
,,
5 2 4
,,  0 7 1
,,
8 1 6
Används t.ex vid optimeringsproblem
Om den dyraste kostnaden för SJ är att frakta lok gäller det att optimera användningen av loken så
effektivt som möjligt. Ett effektivt system kan spara 5-10% av kostnaden. Kan gå att optimera ännu
mer men troligtvis aldrig helt optimalt. En beräkning kan bestå av 100 100 matriser vilket kräver
otroligt starka datorer. Problemet består i att hitta snabba algoritmer vilket man kan finna om ändå
aldrig totala.
Nya metoder
Varje matris ska vara fylld av tal (icke siffror)
Typ m x n
a11 a12 …..a1n
1:a index anger rad
a21 a22….. a2n
2:a index anger kolumn
rad
kolumn
Kvadratisk matris: lika många rader som kolumner
a11 a12…..a1n
a21 a22…..a2n
A=
:
:
am1 am2
amn
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
35
Nollmatris = 0 alla element i j talen är nollor
3 0 0
0 4 0
0 2 0
Diagonala matriser
måste vara kvadratiska och en diagonal där i  jaij=0 dvs alla element som inte ligger på diagonalen
är nollor
Enhets matris= diagonal matris med ettor på digonalen
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Addition av matriser
mängden av alla möjliga matriser
måste införa strukturer t.ex. 8 = 5+3 måste införa def av opartisk addition och relation (större eller
mindre)
Def av addition
Två matriser kan adderas endast om A och B är av samma typ (A,B av typ m x n)
Def : A+B = C av samma typ där Ci j = ai j +bi j
man adderar varje element på motsvarande plats:
2 1
5 1
7 2
-1 0 + 1 -3 = 0 -3
3 -4
2 -2
5 -6
addition
(ai j )+(bi j) = (ai j +bi j)
matrisaddition
Additiva neutrala element = förändrar ingenting under operationen
(multiplikativt neutralt element = 1)
0-vektor neutral vektor
A+0=A
(det finns oändligt många, nollmatrisen måste vara av samma typ som A)
Vilka lagar gäller?
A + (B+C) = (A + B) +C
A + B = B +A
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
(associativa lagen)
(kommunitativa) (ai j+b i j) = (bi j +ai j) = (bi j) +(ai j)
ht-99
36
Man får multiplicera matris med ett tal
aA =
(ai j) = (ai j)
(a+b) = a + b
( + )A = A +A
ex
1
(2,3,0)  1
= nonsens går ej att multiplicera pga olika typer
-1
1 A =A
0 A = 0
Matrismultiplikation
A av typ m x n
B av typ n x p
AB = C av typ m x p
förutsättning antalet kolumner i A = antalet rader i B
A
C
B
.
.
.
…
i
Ordningen viktig(AB)
ci j
ci j=ai jbi j+ai 2b2 j….ai nbn j
j
i = rad
j = kolumn
ex
-1 2 1
2 -1 -1
1 1 0


3 1 2 1
1 0 -1 2
-2 3 1 4
-3 2 -3 7
= 7 -1 4 -4
4 1 1 3
rad 1kolumn1, rad 1 kol2, rad1kol3, rad1kol4
rad2 kol1, rad 2 kol2, rad 2kol3, rad2 kol4
rad 3 kol1, rad3  kol2, rad3  kol3, rad3 kol4
Antalet rader ärvs från 1:a matrisen
Antalet kolumner ärvs från 2:a matrisen
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
37
Man kan ange bestämning av ett system(plan, linje etc) med hjälp av
matriser:
-1 2 1
x
2
-x +2y +z = 2
2 -1 -1
y = -1
 2x -y -z = -1
1 1 0
z
3
x +y
= 3
A = koefficient
B = variabel
C = fria kolumnen
1 0 0
A  E
E=0 1 0
Obs ska egentligen vara hakparanteser men det är för
0 0 1
jobbigt att göra på computtern
m  n n n
E  A
m m mn
A
a b c d
e f g h
i j k L

1
0
0
0
E
0 0
1 0
0 1
0 0
0
0
0
1
a b c d
e f g h
i j k L
=
(antal element i A:s rader= antal element i
E:s kolumner)= (44)
Om E står först måste det vara 3 elementen i E:s rad.
Eftersom det bara finns 3 element i A:s kolumn
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a b c d
e f g h
i j k L
=
a b c d
e f g h
i j k L
E  A ( 3 3)
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
38
30/9
Matris multiplikation
ex
0 1 0 1
0 0
0 0  0 0 = 0 0
A  A = 0
A är inte en nollmatris men A2 = 0
AB  inte säkert att BA går att utföra AB  BA
förutsättning för matrismultiplikation antalet kolumner i A = antalet rader i B
ex
A
B
x x x
x x x
3x2 . .
A=(23)
B = (33) (obs typ av matris)
x x x
x x x =
. . .
AB går att utföra
x x x
. . .
B
x x x
x x x
x x x
A
x x x
x x x
B=(33)
A = (23)
BA går ej att utföra
A(BC) = (AB)C
A(B+C) = AB +AC
OK förutsatt att det går att utföra
Ok förutsatt att det går att utföra
dvs antalet kolumner i A = antalet rader i B
Inversmatriser
(tentafråga?)
A är en kvadratisk matris
Sats:
Om det existerar ett A  0 (skilt från noll)
finns det en kvadratisk matris B sådan att
AB = BA = E
(E = enhetsmatris)
B kallas inversen till A och skrivs B = A-1
Detta kan utnyttjas vid lösning av ekvationssystem.
AX = C
Om A-1 existerar multiplicerar man från vänster:
A-1(AX) = A-1C
(A-1 A) = EX = X
X = A-1C
detta ger en entydig lösning men fungerar endast om det bara finns en lösning.
Om ekvationssystemet innehåller flera lösningar går det inte att skapa en inversmatris.
Ex Förutsättning för att kunna skapa en inversmatris är att determinanten A  0.
2 1
4 2
22-14 = 0
Denna matris är ej inverterbar!
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
39
Ex
2x -y = 3
3x+2y = 5
(Ska naturligtvis vara paranteser men är för jobbigt att göra i denna
del av programmet (word 7.0))
2–1x
3
=
3 2
A
y
X
5
C
x
3
dvs y = A-1  5
X = A-1C
(A-1 A) = EX = X
2 -1
dvs 3 2
x y
z t
=
1 0
0 1
 2  1  x   1

    
 3 2  y  0
,
 2  1  z  1

    
 3 2  t   0
 två gånger övre raden adderas till den undre raden
 2  1  z  1

    
 7 1  t   1
,
 2  1  z  1

    
 7 0  t   1
 dividera undre raden med 1 / 7
1 
 2  1  x   

   2
 1 0  y  
 7
 3
 0  1  x   7 

    
 1 0  y  2 
 
 7
,
,
2 
 1 0  x   7 


   
 0 1  y  3 
 
 7
2

7
A 1  
  3
 7
2
A  A 1  
3
1 
 2  1  z  

    1 ( - 2  undre raden adderas till den övre)
 1 0  t   
 7
 3

 0  1  z  7 
 (ordna om och byt tecken)

   
 1 0  t   1 


7 
,
1 
 1 0  z  7 


   
 0 1  t   3 
 
 7

1

1
7  1 2
 

2  7   3 2

7
 1 1  2
1 1  2  1  2
1 1  7 0  1 0
 
  

  
 

2  7   3 2 7  3 2    3 2 7  0 7  0 1
(nja detta blev ju inte så snyggt men med lite god vilja förstår man nog dess innebörd, eller…)
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
40
Kan man lösa detta snabbare dvs kan bägge beräkningarna genomföras
samtidigt?
 2  1 1 0


 3 2 0 1
(2gånger övre raden adderas till den undre)
 2  1 1 0


 7 0 2 1
(undre raden divideras med 1 / 7)
1 0 
2  1


2 1  (-2 gånger undre raden adderas till den övre)
1 0
7 7
3
2


0  1 7
7
(ordna om och byt tecken)

1
1 0 2

7
7
2
1

1 0 7
7

2
0 1 3
 
7
7
(Här har jag svåra problem med dataprogrammen som inte vill göra som jag vill. Antingen kan jag
inte göra hakparanteser över två rader eller så kan jag inte skriva multiplikatorn med pil. Fram för nya
program.)
[E | A-1]
men man flyttar enhetsmatrisen till vänstra sidan.
[A | E]
Men vad ska man använda inversen till då? Det glömde nog Paul.
x
2/7
1/7
-3/7
2/7

=
y
X=
3
A-1
11/7
=
5

C =
Test:
2x-y=3
2(11/7)-1/7 =21/7
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
1/7
X
3x+2y=5
3(11/7) + 2(1/7)= 35/7
ht-99
Jäpp det stämmer!
41
Ex
2 -1
-4 2
1 0
0 1
2

2 -1
0 0
1 0
2 1
Två nollor  denna matris saknar inverser
övningsex (Annas ex)
1 -1 0 1 0 0 -2 1
2 3 1 0 1 0
-1 -2 3 0 0 1

1 -1 0 1 0 0
0 6 0 -7/3 1 -1/3 1/6 
0 -1 1 1/3 0 1/3
1 -1 0 1 0 0
0 5 1 -2 1 0
0 -3 3 1 0 1
1 -1 0 1 0 0
 0 5 1 -2 1 0
1/3
0 -1 1 1/3 0 1/3
-1
1 -1 0 1 0
0
0 1 0 -7/18 1/6 -1/18 1 
0 -1 1 1/3 0 1/3
1 0 0 1/18 1/6 -1/18
0 1 0 -7/18 1/6 -1/18
0 0 1 -1/18 1/6 5/18
Och här är kursen slut…
Lycka till
Magnus
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
42
Kvadrat komplettering
jämför ekvationen (x+3)2 =25 och x2 +6x-16=0
Den första kan lösas direkt men den andra kräver pq-formeln eller något liknande.
Vad händer om vi utvecklar kvadraten
(x+3)2 = 25
x2+6x+9 = 25
x2+6x+9-25 = 0
x2+6x-16 = 0
Vi fick den andra ekvationen!
Hur gör man en sådan omskrivning omvänt, dvs hur startar man med den andra ekvationen och
kommer fram till den första? Vi undersöker detta!
x2+6x-16 = 0
x2+6x = 16
Om vi ökar bägge leden med ett lämpligt tal, kan vi i vänsterledet utnyttja att
x2+2ax+a2 = (x+a)2
Eftersom 2a svarar mot 6, ska vi öka med a2 = (6/2)2 = 32 = 9 eller uttryckt i ord med ”kvadraten på
halva koefficienten för x”.
x2 +6x+(6/2)2=16+9
Nu har vi kompletterat kvadraten
(x+3)2 = 25
ex
x2 = 6x+16
x2-6x = 16
x2-6x +(6/2)2 = 16 + (6/2)2
x2-6x+32 = 16+32
(x-3)2 = 25
x-3=25
x=35 x1= 8 x2= -2
min variant:
x 2  ax  b 2
a  6 b 4
x 2  6x  16
x 2  6x  16
x 2  6x  16
2
x 2  6x  16  0
2
6

 6
 x       16

 2
2
 x  3 2  16  9
x  3   25
x  3 5
2
x
6
 6
    16
 2
2
x  3 5
x1  8 x 2  2
x 1  8 x 2  2
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
43
Sista minuten tips
vinke ln
n1  n 2
cos  
n1  n 2
90 60 45 30
0
0
1
0 cos
2
3
4
2
1
2
1
2
3
2
2
2
2
1
avstån det
d  PQ 
Q  P
2
avstån det linje och punkt
P  ( a , b)
d 
L  ( Ax  By  C  0)
Aa  Bb  C
A2  B2
Avst . punkt och plan
d 
Aa  Bb  Cc  D
A2  B2 C2
Avst linje och plan
använd punkt från linje
d 
 P
n 2
skalärprodukt  n 1  n 2  0  n 1 n 2
xprodukten av två plan ger riktningsvektorn till en linje parallell tillde två planen
multiplar av riktningsvektorer  de är parallella
3 punkter bestämmer ett plan, en punkt och en vektor också
det er min anten  0  ekvationen har entydig lösning
det er min anten  0  ekvationen har oändligt många lösningar eller ingen alls
Determinanten kan användas t.ex vid ekvationslösningar av typ bestäm a så att punkterna A,B,C och
D ligger i samma plan. Bilda vektorer AB, AC och AD och sätt determinanten till 0.
Tex
1 2 3
2 4 1
=0
a-1 2 a
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
44
matris multiplikation
.
.
.
.
.
.
. .
. .
.
.
Förutsättning att skapa inversmatris determinanten är inte = 0
AEEA-1
x produkten av två normalvektorer till två plan ger riktningsvektorn till en linje parallell till de två
planen
Instudering linjär algebra
Magnus Lagerberg
ht-99
45