Malmö högskola Lärarutbildningen, NMS Matematik i vår omvärld, hösten 2006 Geometri i vardagen Ett inspirationsmaterial med inslag av både ny och gammal teknik Innehållsförteckning Inledning..................................................................................................................................... 3 Teori ........................................................................................................................................... 4 Genomförande ............................................................................................................................ 5 Geometri i vardagen ............................................................................................................... 5 Likformighet och avståndsmätning ........................................................................................ 9 Diskussion ................................................................................................................................ 11 Källförteckning......................................................................................................................... 12 Bilaga 1 – Programmet DigitiseImage ..................................................................................... 13 2 Inledning Hur mycket färg går åt för att måla om huset? Vilken är den kortaste vägen till skolan? Hur kan vi mäta höjden på ett träd eller byggnad? Det finns många praktiska tillämpningar av geometri, inom många olika områden och yrken som t.ex. bygg, omvårdnad och restaurang där det krävs grundläggande kunskaper om begrepp så som vinklar, area, volym, Pythagoras sats och likformighet. De här begreppen, samt hur man använder dem i natur, konst och arkitektur tas upp i gymnasieskolans kurs A och B. Vi upplever att många elever saknar konkretisering i matematikundervisningen. Den upplevs som abstrakt och svårfångad. Hur kan man öka elevernas intresse för och kännedom om nyttan med goda kunskaper i geometri? Kan man genom att konkretisera undervisningen fånga elevernas intresse för den geometri som finns i vår omvärld? Många elever idag har egna mobiltelefoner, och de flesta med inbyggd kamera. Kan vi använda oss av detta i vår undervisning? Kanske har några elever tillgång till digitalkamera? I det här arbetet vill vi ge några exempel på hur man kan belysa och fördjupa några olika geometriavsnitt med hjälp av digitala hjälpmedel. Vi vill också visa några exempel på hur man med enkla hjälpmedel kan beräkna olika avstånd med hjälp av likformighet. Vi har inriktat vårt arbete mot gymnasieskolans matematikkurser A och B, men vi tror att det även kan användas på både högre och lägre stadier än detta. Syftet med det här arbetet är att på ett konkret sätt visa att matematik är en del av elevernas vardag och att den finns överallt. Vi kommer därför att exemplifiera användning av digitalt medium (digitalkamera eller mobiltelefon) och datorprogram för att belysa t.ex. skal-, längd- och areabegreppen avståndberäkning med hjälp av traditionella hjälpmedel och likformighet. 3 Teori Geometri är ett av momenten i A-kursen och behandlar bl.a. vinklar, area- och volymbegreppen, Pythagoras sats, och hur detta återfinns i naturen samt inom konst och arkitektur (se t.ex. Gennow m.fl., 2002). I gymnasieskolans kursplan för matematik A står det att eleven skall: ha fördjupat kunskaperna om geometriska begrepp och kunna tillämpa dem i vardagssituationer […] vara så förtrogen med grundläggande geometriska satser och resonemang att hon eller han förstår och kan använda begreppen och tankegångarna vid problemlösning […] ha vana att vid problemlösning använda dator och grafritande räknare för att utföra beräkningar (Skolverket, 2006a) Även i kursplanen för matematik B nämns geometri. Eleven skall kunna förklara, bevisa och vid problemlösning använda några viktiga satser från klassisk geometri (Skolverket, 2006b) Vi har studerat några olika läromedel. Vad tar man upp i geometriavsnittet? I de flesta läroböcker för Matematik kurs A tar man upp olika geometriska former, så som trianglar, fyrhörningar och cirklar. Man går igenom beräkning av area och volym. En del av uppgifterna är kopplade till praktiska tillämpningar, så som beräkning av markyta, boyta osv. (se t.ex. Gennow m.fl., 2002). Dock har vi inte hittat några uppgifter som innebär att praktisk genomföra olika mätningar av t.ex. byggnaders höjd eller liknande. Skalbegreppet gås igenom i matematik kurs A. Skala på kartor och bilder gås igenom. I kurs B kommer man in på likformighet och koordinater för beräkning av avstånd. I vissa läromedel finns det uppgifter med mer praktisk anknytning, som avståndsmätning med hjälp av likformighet (se t.ex. Brolin & Heikne, 2003). Vi saknar dock uppgifter som innebär att praktiskt gå ut och testa kunskaperna i verkliga situationer. 4 Genomförande Vi vill här beskriva hur vi genomförde några praktiska undersökningar i verkligheten. I det första fallet handlar det om hur vi arbetade med digitala bilder för att belysa olika avsnitt i geometri. I det andra fallet beskriver vi hur vi med enkla medel och likformighet beräknar olika avstånd. Geometri i vardagen Utrustade med digitalkamera begav vi oss ut på vandring för att söka efter några spännande objekt att fotografera. Vi tog ett antal bilder på olika byggnader med skilda geometriska former och på lite olika situationer som vi träffade på. När vi var klara, förde vi över bilderna till en dator, och studerade dem i ett bildspel. Vi valde ut två bilder att arbeta vidare med (se bild 1 och 2). Bild 1 Olika geometriska former Bild 2 En vanlig stadsbild För att få lite bättre underlag att arbeta med, använde vi ett vanligt bildbehandlingsprogram, detta fall IrfanView, för att klippa ut delar av bilderna (se bild 3 och 4). Sedan diskuterade vi vilken typ av frågor som var lämpliga i anslutning till respektive bild. 5 I bild 3 finns det många geometriska former att arbeta med. Här kan man t.ex. tänka sig följande typ av frågor: Vilka geometriska former kan man se? (geometriska begrepp) Vilken diameter och/eller radie har de olika halvcirklarna? (geometriska begrepp) Vilken omkrets/area har de olika fönstren om man vet skalan på bilden? (omkrets, area) Hur stor andel av bilden utgörs av fönster? (bråkräkning, procenträkning) Vilken vinkel har ovandelen? (vinklar) Vilken höjd har byggnaden? (höjd) Bild 3 Underlag för olika typer av beräkningar Bild 4 föreställer en vanlig stadsbild med många olika objekt. Vi tänker oss först och främst använda den för att befästa begreppet skala. Några frågeställningar kan då bli: Hur kan man bestämma skalan på bilden? Hur lång är den röda bilen? Hur höga är flaggstängerna? Gäller samma skala i hela bilden? Bild 4 Befästa skalbegreppet Ett sätt att mäta avstånd på en digital bild, är att använda ett datorprogram, t.ex. DigitiseImage. Detta program är gratis att använda, så kallat freeware, enkelt att installera och att lära sig använda (se bilaga 1). Programmet kan användas för att bl.a. visa på hur man kan arbeta med koordinater för att beräkna olika avstånd. Om vi dessutom vet storleken på något i bilden, kan vi använda det för att ange en egen skala, för att t.ex. få alla koordinater uttryckta direkt i någon lämplig längdenhet. 6 Låt oss säga att vi arbetar med bild 3, och vill ta reda på hur hög byggnaden är. När vi tog bilden passade vi på att mäta storleken på ett av fönstren. Dessa mått kommer nu till användning om vi t.ex. vill ange alla koordinater i enheten meter. Första steget är att läsa in bilden (File, Open). Vi vill ange vår skala, så vi klickar på knappen Choose Scale (se bild 5). Bild 5 Utgångsläget innan vi angivit vår egen skala. Nu vill programmet att vi anger var vi vill ha origo. Vi väljer nedre vänstra hörnet i nedre vänstra fönstret i bilden. Eftersom vi vet bredden på fönstret markerar vi bredden och anger x-skalan till 1.8 (observera decimalpunkten) (se bild 6). Bild 6 Bredden på fönstret är 1,8 meter. På motsvarande sätt anges längdskalan i y-led till 2.4 (se bild 7). 7 Bild 7 Höjden på fönstret är 2,4 meter. Nu kommer alla punkter vi lägger in i bilden att anges i enheten meter i förhållande till vårt valda origo. Vi ville mäta husets höjd, så vi sätter in två punkter i bilden genom att klicka med vänster musknapp på högsta respektive lägsta punkt på byggnaden. Koordinaterna för punkterna ges i rutan till höger i programmet (se bild 8). Bild 8 Skalstrecken syns nere till vänster och koordinaterna till höger i bilden. Höjden kan nu beräknas som differensen i y-led, dvs. 15,30 - (-1,41) = 16,71 meter. Eftersom vi kan ha varit lite godtyckliga i våra klickningar, avrundar vi till 17 meter, vilket vi bedömer som ett rimligt mått på byggnadens höjd. 8 Likformighet och avståndsmätning Denna uppgift är en uteaktivitet. Med hjälp av tumstock, måttband och ett snöre kan man beräkna avståndet till objekt som befinner sig långt borta eller på otillgängliga platser. Vi begav oss ut till hamnen i Malmö för att testa detta i verkligheten. Där hittade vi en boj ute i vattnet som vi ville beräkna avståndet till (se figur 1). boj (m) x 2,18 165 – 2,18 2,0 Figur 1 Mätning av avståndet till bojen Tumstocken (2,0 m) la vi ned på marken vinkelrät mot kajen (se bild 9). Måttbandet (5 m) la vi parallellt med kajen. Med snöret bildade vi vinkeln mellan änden på tumstocken och bojen. Sedan läste vi av avståndet vinkelrät mot tumstocken och fick 2,18 m. Sist mätte vi avståndet längs med kajen från tumstocken till en punkt vinkelrät mot bojen och fick det till 165 m (se bild 10). Likformighet ger oss nu sträckan x enligt x 2,0 2,0165 2,18 x 150 m 165 2,18 2,18 2,18 Med Pythagoras sats kan vi sedan beräkna hypotenusan i den större triangeln, och därmed avståndet från kajen till bojen. Vi får avståndet till 1502 (165 2,18) 2 220 m Bild 9 Tumstocken läggs på marken Bild 10 Mätning av avståndet längs kajen Vi försökte även mäta höjden på en av byggnaderna vid kajen enligt samma princip med likformiga trianglar (se figur 2). I detta fall använder vi topptriangeln. Vi började med att 9 mäta avståndet från huset till en lämplig punkt och fick 15 m (bild 11). Där satte vi tumstocken (2,0 m) lodrät mot marken. Snöret höll en av oss fast i toppen av tumstocken. Med måttbandet mätte vi sedan avståndet från tumstocken till snöret så att vi såg toppen av byggnaden längs med snöret (bild 12). (m) Byggnad x 2,0 15 1,66 Figur 2 Mätning av höjden på en byggnad Bild 11 Avståndet till byggnaden Bild 12 Mätning av topptriangeln Likformighet ger nu att x 15 1,66 2,0(15 1,66) x 20 m 2,0 1,66 1,66 10 Diskussion Precis som med allt annat inom matematiken så finns det för och nackdelar med denna typ av uppgifter. Vi tar här upp några av de problem man kan stöta på, när man låter eleverna arbeta med de här uppgifterna. Ett problem som är värt att nämna är ett mycket vanligt problem inom dagens undervisning i skolan, nämligen tiden. Eftersom man som lärare har en läroplan att följa och en bok att gå igenom, så kan det ibland vara svårt att lägga in sådana här uppgifter, då det inte finns någon tid till detta. När man ger eleverna en uppgift som denna, där de ska ut och fotografera, så krävs det ett visst antal lektioner, och det är inte alltid man har den tiden som lärare på gymnasiet. En lösning till detta är att man ger eleverna i läxa att på fritiden ta ett visst antal bilder, och att man sedan på en eller två lektioner låter eleverna arbeta med bilderna i t.ex. DigitiseImage. En annan sak som vi tror kan komma att bli ett problem när man gör denna uppgift, är att när eleverna ska arbeta med olika dataprogram, som t.ex. DigitiseImage, så finns risken att de inte förstår hur programmet fungerar. Detta kan leda till att eleverna tappar intresset för uppgifterna, då de inte förstår hur programmet fungerar. För att undvika detta problem tycker vi att det är väldigt viktigt att man som lärare, i samband med att man presentera uppgiften, noggrant går igenom hur programmet fungerar. Det är även viktigt att man berättar för eleverna hur man kan använda programmet för att ta reda på olika saker inom matematiken, och då inte minst inom geometrin. Fördelen med den här typen av uppgifter, är att eleverna för möjlighet att själva upptäcka hur mycket matematik som finns runt omkring dem i deras omgivning, inte minst hur mycket geometri som finns runt omkring dem inom konsten och arkitekturen. Den ger också eleverna möjlighet att komma ifrån läroböckerna för en stund, vilket vi tror vara väldigt nyttigt för eleverna. 11 Källförteckning Brolin & Heikne. (2003). Matematik 3000 kurs B grundbok. Natur och Kultur. Stockholm. Gennow m.fl. (2002). Exponent A gul. Gleerups utbildning AB, Värnamo. Skolverket. (2006a). Kursplan för Matematik A. [WWW]: http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0607&infotyp=5&skolform=21&id =3202&extraId=. Hämtat 2006-11-17. Skolverket. (2006b). Kursplan för Matematik B. [WWW]: http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0607&infotyp=5&skolform=21&id =3209&extraId=. Hämtat 2006-11-17. 12 Bilaga 1 – Programmet DigitiseImage Programmet kan laddas ned från adressen http://maths.sci.shu.ac.uk/digitiseimage/ och är gratis att använda, så kallat freeware. Själva installationen startas genom att dubbelklicka på installationsfilen, och sedan följa instruktionerna. Det finns ett problem med DigitiseImage: programmet är gjort för amerikanska landsinställningar, vilket gör att koordinater m.m. anges på ett felaktigt sätt på en dator med svenska landsinställningar. Det finns dock ett botemedel: Öppna Kontrollpanelen i Windows. Välj Nationella inställningar, och välj Engelska (USA) i listan. Nu kommer allt att fungera, även kopiering till Microsoft Excel, om det blir aktuellt. Tänk bara på att ändra tillbaka till svenska inställningar, när arbetet är klart. 13