Matematik för ekonomer Diagnostiskt självrättande test

Högskolan i Skövde
Matematik för ekonomer
Diagnostiskt självrättande test
Johan Andersson
Klara Stokes
c 2016
Copyright Last Revision Date: 2 juni 2016
[email protected]
[email protected]
2
Instruktioner
För att starta testet tryck här:
Start
Svara sedan på frågorna på följande sidor.
När formler skall skrivas in så skriv på miniräknarvis, dvs om ni vill
2
skriva till exempel 5e−x , så skriv 5 ∗ e ∧ (−x ∧ 2). Vid tal på decimalform, använd decimalpunkt och inte decimalkomma (även om
decimalkomma är mer korrekt på svenska).
Lösningsförslag finns tillgängliga när ni avslutat testet.
3
Moment 1: Aritmetik och algebra
1. (2pts )Förenkla följande uttryck så långt det går:
a2 −b2
a+b
a−b
4
2. (2pts ) Skriv om 4.56 · 10−6 på decimalform.
5
Moment 2: Procent och summor
Mängden lax i en laxodling som infekterats med ett virus har ökat
från 3 av 100 testade exemplar till 6 av 100 testade exemplar.
3. (1pts ) Vad är ökningen i procentenheter?
procentenheter
pts
4. (1
) Vad är ökningen i procent?
%
6
Moment 2: Procent och summor
5. (2pts ) Beräkna kvadratavvikelsen för vikten av fem laxar från samma laxodling om de vägde 1, 1.5, 2, 2, och 3.5 kilo, respektive.
7
Moment 3: Räta linjen och ekvationssystem
6. (2pts ) Betrakta punkterna p = (2, −1) och q = (3, −1). Ange ykoordinaten för den punkt som ligger såväl på y-axeln som på den
räta linje som går genom p och q.
8
Moment 3: Räta linjen och ekvationssystem
7. (2pts ) Ange antalet lösningar till följande ekvationssystem.
(
Ingen lösning
3x + 2y = 1
6x + 4y = 0
En lösning
Oändligt många
lösningar
9
Moment 4: Exponentialfunktioner och ränta på ränta
Antalet kaniner på en kaninfarm (y kaniner) beräknas förändras
med tiden räknat i t veckor från och med inköpsdagen av de första
kaninerna enligt funktionen
y = 350 · 1.07t .
8. (1pts ) Med hur många procent ökar antalet kaniner per vecka?
%
pts
9. (1
) Hur många kaniner köptes in på inköpsdagen?
10
Moment 4: Exponentialfunktioner och ränta på ränta
Cecilia köper aktier för 10000 kronor. Värdet av aktierna ökar till
15000 kronor det första året. Ge en formel för aktiernas värde i y
kronor efter att Cecilia ägt dem i tår om vi antar att värdeändringen
är
10. (1pts ) linjär,
y=
11. (1pts ) exponentiell.
y=
11
Moment 5: Funktion och derivata
12. (2pts ) Beräkna derivatan av funktionen f (x) = 14x−3 − 3x2 − 25.
f ′ (x) =
12
Moment 5: Funktion och derivata
Efterfrågan på en vara beskrivs genom följande relation mellan
pris p i kronor per enhet och såld kvantitet q: q = p−10
100 .
13. (1pts ) Ange hur stora intäkterna blir om den sålda kvantiteten är
2 enheter
14. (1pts ) Vad är marginalintäkterna vid 2 sålda enheter?
13
Moment 6: Optimering
15. (2pts ) Avgör om funktionen f (x) = 3x2 − x3 är strängt växande,
strängt avtagande eller ingetdera på intervallet 0 < x < 2.
Strängt växande
Strängt
avtagande
Ingetdera
14
Moment 6: Optimering
Du har beräknat att vinsten vid försäljning av en produkt som ditt
företag tillverkar kan beskrivas med funktionen V (x) = 800x −
4x2 , där x är antalet tillverkade och sålda enheter av produkten.
Du har noterat att vinstfunktionen V (x) uppfyller V (x) ≥ 0 när
x ligger i intervallet 0 ≤ x ≤ 200.
16. (1pts ) Vad är den maximala vinsten?
17. (1pts ) Ange funktionens V (x) globala minimum på intervallet 0 ≤
x ≤ 200
15
För att avsluta testet, se hur många rätt du har fått, samt få tillgång
till lösningsförslag, tryck här:
End
Dina poäng:
Correct
För att rätta tryck på knappen Correct.
16
Solutions to Quizzes
Solution to Quiz: Använd konjugatregeln:
a2 −b2
a+b
a−b
=
(a−b)(a+b)
a+b
a−b
=
a−b
=1
a−b
Solutions to Quizzes
17
Solution to Quiz:
4.56 · 10−6 = 0.00000456.
Solutions to Quizzes
18
Solution to Quiz: Ökningen är från 3% till 6% (kom ihåg att 1% =
1
100 ), alltså en ökning med 3 procentenheter.
Solutions to Quizzes
Solution to Quiz: Vi kan räkna ut förändringsfaktorn som
alltså en ökning av infekterade laxar med 100%.
19
6
3
= 2,
Solutions to Quizzes
20
= 10
Solution to Quiz: Medelvärdet är 1+1.5+2+2+3.5
5
5 = 2 kilo.
2
2
Kvadratavvikelsen blir alltså (1 − 2) + (1.5 − 2) + (2 − 2)2 + (2 − 2)2 +
(3.5 − 2)2 = (−1)2 + (−0.5)2 + 0 + 0 + 1.52 = 1 + 0.25 + 2.25 = 3.5. Solutions to Quizzes
21
Solution to Quiz: Den räta linjens ekvation är y = kx + m. Linjens
∆y
= −1−(−1)
= 10 = 0. Så linjen
lutning (k-värdet) fås genom k = ∆x
3−2
genom p och q är y = m för något m. Skärningspunkten med yaxeln (m-värdet) fås genom att sätta in x och y värden från någon
av punkterna i ekvationen. Sätter vi in t.ex. p får vi −1 = m. Så
ekvationen är y = −1. Observera att eftersom y i detta fall inte beror
av x så har alla punkter på linjen samma y-värde, och detta är precis
den egenskap som bestämmer huruvida en punkt ligger på linjen eller
inte. Speciellt så skär den y-axeln i punkten (0, −1) och vi har där
y-koordinaten −1.
Solutions to Quizzes
22
Solution to Quiz: Om vi multiplicerar den första ekvationen med 2
får vi 6x + 4y = 2. Men den andra ekvationen säger att 6x + 4y = 0.
Eftersom det inte finns något tal som kan vara både 2 och 0 samtidigt
så ser vi att systemet inte har någon lösning.
Solutions to Quizzes
23
Solution to Quiz: Den veckovisa procentuella förändringen kan avläsas
från förändringsfaktorn 1.07, så den är alltså 7%.
Solutions to Quizzes
24
Solution to Quiz: Antalet kaniner på inköpsdagen fås genom att
sätta in t = 0 som ger y = 350 stycken. (Kom ihåg att x0 = 1 för alla
x 6= 0, så att 1.070 = 1.)
Solutions to Quizzes
25
Solution to Quiz:
Om värdeändringen är antas vara linjär så kommer aktiernas värde
att ges av en funktion av typen y = f (t) = 10000 + kt där k är en
konstant som säger hur mycket förändring som sker varje år. Det första
året har det skett en ökning med 150000 − 10000 = 5000 kr. Alltså får
vi att k = 5000 och formeln för aktiernas värde är y = 10000 + 5000t
(eller i syntaxen för testet 10000 + 5000 ∗ t).
Solutions to Quizzes
26
Solution to Quiz: Om värdeändringen istället antas vara exponentiell så arbetar vi istället med förändringsfaktor och funktionen
kommer att ha utseendet y = f (t) = 10000 · at där a är en konstant som säger hur stor förändringsfaktorn är varje år. I detta fall
15
är förändringsfaktorn för värdeändringen 15000
10000 = 10 = 1.5. En formel för värdet i y kronor av datorn t år efter inköpsdatum blir alltså
y = 10000 · 1.5t (eller i syntaxen för testet 10000 ∗ 1.5 ∧ t)
Solutions to Quizzes
27
Solution to Quiz: Derivatan är f ′ (x) = −3·14x−4 −2·3x = −42x−4 −
6x (eller i syntaxen för testet −42 ∗ x ∧ (−4) − 6 ∗ x).
Solutions to Quizzes
28
Solution to Quiz: Bryter vi ut p från efterfrågefunktionen får vi p =
100q + 10. Intäkterna ges av I(q) = pq = (100q + 10)q = 100q 2 + 10q.
Om 2 enheter säljs så blir intäkterna I(2) = 100·22 +10·2 = 400+20 =
420
Solutions to Quizzes
29
Solution to Quiz: Om 3 enheter säljs så blir intäkterna I(3) =
100 · 32 + 10 · 3 = 900 + 30 = 930. Marginalintäkterna vid 2 sålda
enheter kan beräknas som I(3) − I(2) = 930 − 420 = 510 kronor.
Alternativt kan man derivera I ′ (q) = 200q + 10, sätta in q = 2 och få
I ′ (2) = 410. I detta fall ser vi att de två metoderna ger ganska stor
skillnad. Så blir det ibland. Att derivera är mer exakt om formeln är en
bra modell för verkligheten. Den första metoden ger ett närmevärde,
i detta fall ganska långt från det exakta värdet, men svaret är ändå
“rätt”.
Solutions to Quizzes
30
Solution to Quiz: Derivatan av funktionen är f ′ (x) = 6x − 3x2 =
3x(2 − x) som är positiv (större än 0) för alla x i intervallet 0 < x < 2.
Alltså är funktionen strängt växande i intervallet. Det finns flera sätt
att se att f ′ (x) > 0 i intervallet 0 < x < 2. Det snabbaste är att
observera att f ′ (x) är en produkt av en faktor 3x och en faktor (2−x).
Båda dessa faktorer är större än 0 för 0 < x < 2, så deras produkt
är också större än 0. Ett annat sätt är att sätta f ′ (x) = 0, se att
nollställena blir x = 0 och x = 2, och därav sluta sig till att f ′ (x)
inte kommer att ändra tecken mellan x = 0 och x = 2 (eftersom
funktionen är kontinuerlig). Alltså räcker det att prova ett värde i
intervallet, t.ex. x = 1. Vi får f ′ (1) = 3 > 0, alltså är f ′ (x) > 0 i hela
intervallet 0 < x < 2.
Solutions to Quizzes
31
Solution to Quiz: Vi deriverar och får f ′ (x) = 800 − 8x. Sätter vi
f ′ (x) = 0 får vi 800 − 8x = 8(100 − x) = 0 som ger x = 100. Vi gör
en teckentabell:
x
100
f ′ (x) +
0
−
f (x) ր lok. max ց
Så funktionen f (x) har ett lokalt maximum f (100) = 40000 i x = 100.
Vi undersöker också funktionens värden i ändpunkterna av intervallet:
f (0) = 0 och f (200) = 0. För att hitta globalt minimum och maximum
i intervallet jämför vi f (0) = 0, f (100) = 40000 och f (200) = 0 och får
att globalt minimum på intervallet är 0 som tas i x = 0 och x = 200,
och globalt maximum är 40000 i x = 100. Alltså är den maximala
vinsten 40000 kronor som uppnås när du producerar och säljer 100
enheter av produkten.
Solutions to Quizzes
32
Solution to Quiz: Se ovan.

Matematik för ekonomer Diagnostiskt självrättande test

Related documents

Products

Support

Matematik för ekonomer Diagnostiskt självrättande test

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib