Linjär Algebra, Föreläsning 2 - MAI

Linjär Algebra, Föreläsning 2
Tomas Sjödin
Linköpings Universitet
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Geometriska vektorer, rummen Rn och Mn×1
En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning,
men inte någon naturlig startpunkt. Om vi i ett plan har två
punkter P och Q, då låter vi den riktade sträckan från P till Q,
−→
ritad som en pil som startar i P och slutar i Q, betecknas PQ.
Vi låter nu mängden av alla sådana riktade sträckor med samma
storlek och riktning (det är alltså underförstått att vi kan mäta
−→
detta) betecknas [PQ]. Detta tar vi som definition av vektorer i
planet.
Givetvis kan motsvarande också göras i ett tredimensionellt rum.
(För de som vet vad en ekvivalensrelation är kan vi säga att ha
samma storlek och riktning är en ekvivalensrelation, och en vektor
är helt enkelt en ekvivalensklass av riktade sträckor).
Notera att det för varje vektor u och punkt P finns en unik punkt
−→
Q sådan att u = [PQ].
En speciell vektor är nollvektorn, som har längd noll (och alltså
inte kan sägas ha någon riktning). Denna betecknas 0, och vi har
−→
0 = [PP].
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
−→
Vi inför även för en vektor u = [PQ] längden/normen |u| att vara
avståndet mellan punkterna P och Q.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
För dessa vektorer inför man nu två operationer. Addition av två
vektorer, samt multiplikation med skalär (=reellt tal).
−→
−→
Addition av två vektorer u = [PR] och v = [RQ] definieras som
−→
−→
−→
u + v = [PR] + [RQ] = [PQ].
Multiplikation med skalär definieras så att ku är den unika vektor
som uppfyller |ku| = |k||u| och ku har samma riktning som u om
k > 0, ku har motsatt riktning om k < 0. Om k = 0 är ku = 0.
Vi inför även beteckningen −u := −1u, d.v.s. den vektor som har
samma storlek men motsatt riktning.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Det är lätt att inse att följande räknelagar gäller:
Sats
För alla vektorer u, v , w (i ett plan eller rum) och skalärer λ, µ
gäller följande:
(a) u + v = v + u,
(b) u + (v + w ) = (u + v ) + w ,
(c) u + 0 = u,
(d) u + v = 0 ⇔ u = −v ,
(e) 1u = u,
(f) λ(µu) = (λµ)u,
(g) (λ + µ)u = λu + µu,
(h) λ(u + v ) = λu + λv .
Tack vare lag (b), (f ) ovan kommer vi skriva u + v + w , λµu
eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning vi tar dessa
operationer.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Nu har vi den geometriska definitionen av vektorer klar, och den
viktigaste algebraiska strukturen för dessa klara. Vektorerna i
planet/rummet med denna struktur utgör exempel på vad som
kallas vektorrum som är den typ av rum som linjär algebra handlar
om.
Det vi nu vill göra är att på något systematiskt sätt införa “siffror”
för vektorer för att överföra dessa geometriska konstruktioner till
algebra. Den idé som Descartes (även kallad Kartesius) fick var att
införa koordinataxlar för att kunna ge punkter koordinater (därför
kallas dessa koordinatsystem för kartesiska koordinater). Vad vi
behöver göra är först och främst att fixera någon punkt i vårt
plan/rum där axlarna kan utgå ifrån. Vi kallar denna punkt origo
och betecknar den O. Sedan inför vi koordinataxlar som i figuren
nedan i planet respektive rummet. Till varje axel xi placerar vi
också ut en vektor e i i dess riktning.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
I detta och nästa kapitel kommer vi alltid anta att detta
gjorts på ett sådant sätt att alla e i har längd 1 samt att
dessa vektorer alla är parvis ortogonala mot varandra (d.v.s.
vinkel π/2 mellan dem).
En sådan bas kallar man för ortonormal, eller ON-bas.
Vidare är det viktigt att axlarna är orienterade som i denna
figur. De utgör vad som kallas ett högersystem, men mer om detta
senare när vi talar om kryssprodukten i rummet.
Notera att vi alltså här är lite mindre allmänna än kursboken där
generella “baser” behandlas. Vi väntar dock med diskussion kring
allmänna baser till senare när vi talar om allmänna vektorrum.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Det är nu så att vi till varje punkt P i planet (rummet) kan införa
koordinaterna (a1 , a2 ) ((a1 , a2 , a3 )) där dessa fås genom att
projicera ortogonalt på axlarna.
Om vi nu har en vektor u så vet vi att det finns en unik punkt P
−→
sådan att u = [OP].
Notera att detta innebär att
(∗) u = a1 e 1 + a2 e 2 respektive u = a1 e 1 + a2 e 2 + a3 e 3 .
Denna uppdelning av u som en summa av vektorer parallella med
e i :a är unik. D.v.s. varje vektor u kan på entydigt sätt skrivas på
formen (∗) som ovan. Därför säger vi att e = (e 1 e 2 )
(e = (e 1 e 2 e 3 )) utgör en bas till planet (rummet).
Det är tack vare att en bas till planet (rummet) består av två (tre)
vektorer som vi säger att ett plan är två-dimensionellt och ett rum
tre-dimensionellt.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Vi kommer införa följande beteckning:
 
a1
a1

u=e
respektive u = e a2  ,
a2
a3
 
a
a1  1 
och kolumnmatrisen
( a2 ) kallas för u:s koordinater i
a2
a3
basen e.
Motiveringen till denna notation kommer senare i kursen när vi
börjar med matrisräkning, men för tillfället är det bara en notation
för att beteckna vektorer.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Nu kan vi komma till hela poängen. Varje vektor u i planet kan på
entydigt sätt skrivas på formen
a
u = a1 e 1 + a2 e2 = e 1 ,
a2
och dessutom är för varje par a1 , a2 ∈ R detta uttryck en vektor i
planet.
På samma sätt kan varje vektor u i rummet skrivas som
 
a1
u = a1 e 1 + a2 e 2 + a3 e 3 = e  a2  ,
a3
och återigen för varje taltrippel a1 , a2 , a3 ∈ R utgör detta uttryck
en vektor i rummet.
Alltså kan varje vektor i planet/rummet identifieras med
talpar/taltrippler på detta sätt.
Givetvis beror dessa på valet av basvektorer, men vi antar alltså nu
att vi redan fixerat dessa, samt fixerat origo.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
När det gäller de algebraiska operationerna vi har infört blir dessa
mycket enkla om vi uttrycker alla vektorer i samma bas:
a1
b1
a1 + b1
a1
ka1
u+v = e
+e
=e
, ku = ke
=e
,
a2
b2
a2 + b2
a2
ka2
respektive
   


a1
b1
a1 + b1
u+v = e a2 +e b2  = e a2 + b2  ,
a3
b3
a3 + b3
 
 
a1
ka1



ku = ke a2 = e ka2 
a3
ka3
Det vill säga för att addera två vektorer adderar vi bara deras
koordinater, och för att multiplicera en vektor med en skalär
multiplicerar vi bara varje koordinat med denna skalär.
Det är ganska lätt att övertyga sig om att detta stämmer överens
med den geometriska definitionen av addition och multiplikation
med skalär som vi införde ovan.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Rummen Rn och Mn×1
Vi har ovan sett att om vi väljer origo och en bas så har vi att varje
punkt P i ett plan kan identifieras med sina
(a1 , a2 ),
koordinater
a1
och varje vektor u med sina koordinater
, samt att vi hade
a2
enkla uttryck för våra algebraiska operationer så fort vi uttryckt allt
i denna fixa bas. Samma sak kan sägas även i tre dimensioner, och
man kan givetvis tänka sig att man gjorde motsvarande även i
högre dimensioner, även om det givetvis inte går att visualisera på
samma sätt. Detta leder till följande definition:
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Definition
Mängden av alla tal n-tupler (a1 , a2 , . . . , an ), där
a1 , a2 , . . . , an ∈ R, betecknas Rn .
På samma sätt betecknar vi mängden av alla kolumnmatriser
 
a1
 a2 
 
 .. 
.
an
med Mn×1 .
Vårt främsta motiv för att införa dessa rum redan här är att det gör
att vi enklare kan formulera satser gemensamt för två och tre
dimensioner, och behöver inte behandla dessa separat. Det är än så
länge främst n = 2, 3 vi är intresserade av.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Vi inför också följande operationer på Rn respektive Mn×1 .
(a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ),
k(a1 , a2 , . . . , an ) = (ka1 , ka2 , . . . , kan ),

    
a1 + b1
b1
a1
a2  b2  a2 + b2 

    
 ..  +  ..  =  ..  ,
. .  . 
an
an + bn
bn
   
a1
ka1
a2  ka2 
   
k  .  =  . .
 ..   .. 
an
Tomas Sjödin
kan
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Rummen Rn och Mn×1 tillsammans med ovanstående operationer
är exempel på det man kallar vektorrum som vi ska definiera
allmänt senare i kursen.
Här kanske det är värt att notera att då vi jobbar med geometriska
problem är det givetvis viktigt att skilja på punkter och vektorer,
och vi använder främst element i Rn för att beteckna punkter och
element i Mn×1 (egentligen med e framför för att beteckna basen
om man ska vara noga) som vektorer.
Då kan det ju tyckas konstigt att vi inför addition och
multiplikation med skalär för punkter. Nu är det så att det bara är i
dessa geometriska problem (som handlar om linjer och plan i två
och tre dimensioner främst) som vi kommer tala om punkter,
annars kommer vi enbart i kursen tala om vektorer.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Det finns en uppenbar 1 − 1 korrespondens mellan punkter och
motsvarande vektor som startar i origo.
 
a1
a2 
 
Dessutom om vi identifierar (a1 , a2 , . . . , an ) med  . , så är ju
 .. 
an
rummen ovan helt ekvivalenta på alla sätt.
Anledningen till att vi vill ha båda är att Rn är det i särklass
vanligaste rummet i matematiklitteraturen, men när vi sedan räknar
med matriser är det rätta sättet att skriva vektorer som
kolumnmatriser. I princip skulle det kanske vara bättre att göra
detta rakt igenom i kursen och skippa Rn , men det som talar starkt
för Rn är att det är betydligt smidigare att skriva dessa vektorer,
samt att det är mer standardiserat.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Nedan kommer vi formulera alla begrepp/satser enbart för
Rn , och givetvis finns det en direkt motsvarighet för Mn×1 .
Dessa fall lämnas åt läsaren att formulera, och vi kommer
hämningslöst använda dessa motsvarande satser senare i
kursen.
Notera också att jämfört med kursboken vänder vi till stor del upp
och ner på materialet, för vi inför våra operationer nedan på Rn ,
och ger sedan geometriska tolkningar av dem, medan boken ger
geometriska definitioner och visar räknelagarna utifrån dessa. Det
är också värt att notera att rent geometriskt betyder det att vi
lägger ut våra basvektorer e i så att
e 1 = (1, 0, . . . , 0), e 2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e n = (0, 0, . . . , 0, 1),
och dessa kallas standardbasen till Rn . Vidare lägger vi origo O i
punkten (0, 0, . . . , 0).
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Skalärprodukt
Vi kommer nu i Rn införa den så kallade skalärprodukten mellan två
vektorer. Rn tillsammans med denna utgör då ett exempel på ett så
kallat Euklidiskt rum som vi ska definiera mer allmänt senare i
kursen.
Namnet skalärprodukt kommer av att den tar två vektorer och ger
en skalär (alltså inte en vektor)!
(a1 , a2 , . . . , an ) • (b1 , b2 , . . . , bn ) := a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn .
Vi definierar även längden av en vektor (a1 , a2 , . . . , an ) via
q
|(a1 , a2 , . . . , an )| := a12 + a22 + . . . + an2 .
Igen är det enkelt att se via Pythagoras sats att detta verkligen
överensstämmer med längden av motsvarande geometriska vektor
om vi infört säg ett koordinatsystem i planet som ovan. Men detta
beror på både att våra basvektorer har längd 1 och att de är
ortogonala mot varandra!
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Följande sats gäller för skalärprodukten:
Sats
Om u, v , w ∈ Rn och λ ∈ R så gäller:
(a) u • v = v • u,
(b) u • (v + w ) = u • v + u • w ,
(c) u • (λv ) = (λu) • v = λ(u • v ),
(d) u • u = |u|2 ,
(e) u • u = 0 ⇔ u = 0.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Följande viktiga olikheter gäller för skalärprodukten:
Schwarz olikhet: |x̄ • ȳ | ≤ |x̄||ȳ |.
Speciellt gäller −|x̄||ȳ | ≤ x̄ • ȳ ≤ |x̄||ȳ |.
Triangelolikheten: |x̄ + ȳ | ≤ |x̄| + |ȳ |.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Geometrisk tolkning av skalärprodukten
Antag att vi har två nollskilda vektorer u, v i Rn , då “definierar” vi
vinkeln θ mellan dessa att vara den unika vinkel i intervallet [0, π]
sådan att
u • v = |u||v | cos(θ).
För att se att detta stämmer överens geometriskt antag att de två
vektorerna ligger i ett plan där vi infört koordinataxlar som ovan,
a1
och antag för enkelhets skull att den ena har koordinaterna
a2
1
där a1 , a2 > 0 och den andra
(d.v.s. vektorn e 1 ).
0
Vad ovanstående
q då säger är att vinkeln θ mellan dessa ges av
cos(θ) = a1 / a12 + a22 , d.v.s. närliggande sida genom hypotenusan,
vilket vi ju känner igen att det stämmer.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Vi säger också att två vektorer u, v är ortogonala, skrivet u ⊥ v ,
om vinkeln mellan dem är π/2, d.v.s. om u • v = 0.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Ortogonal projektion av en vektor på en annan vektor (linje)
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Om vi som i bilden ovan har två vektorer u, v där v 6= 0 då kan vi
på entydigt sätt skriva u på formen
u = u ⊥v + u ||v ,
där u ⊥v är ortogonal mot v , och u ||v är parallell med v .
Detta betyder att u ||v = kv och u ⊥v = u − kv . Så
.
(u − kv ) • v = 0, vilket ger k = u•v
|v |2
Eller
u•v
u ||v =
v.
|v |2
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2