Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Geometriska vektorer, rummen Rn och Mn×1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt. Om vi i ett plan har två punkter P och Q, då låter vi den riktade sträckan från P till Q, −→ ritad som en pil som startar i P och slutar i Q, betecknas PQ. Vi låter nu mängden av alla sådana riktade sträckor med samma storlek och riktning (det är alltså underförstått att vi kan mäta −→ detta) betecknas [PQ]. Detta tar vi som definition av vektorer i planet. Givetvis kan motsvarande också göras i ett tredimensionellt rum. (För de som vet vad en ekvivalensrelation är kan vi säga att ha samma storlek och riktning är en ekvivalensrelation, och en vektor är helt enkelt en ekvivalensklass av riktade sträckor). Notera att det för varje vektor u och punkt P finns en unik punkt −→ Q sådan att u = [PQ]. En speciell vektor är nollvektorn, som har längd noll (och alltså inte kan sägas ha någon riktning). Denna betecknas 0, och vi har −→ 0 = [PP]. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 −→ Vi inför även för en vektor u = [PQ] längden/normen |u| att vara avståndet mellan punkterna P och Q. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 För dessa vektorer inför man nu två operationer. Addition av två vektorer, samt multiplikation med skalär (=reellt tal). −→ −→ Addition av två vektorer u = [PR] och v = [RQ] definieras som −→ −→ −→ u + v = [PR] + [RQ] = [PQ]. Multiplikation med skalär definieras så att ku är den unika vektor som uppfyller |ku| = |k||u| och ku har samma riktning som u om k > 0, ku har motsatt riktning om k < 0. Om k = 0 är ku = 0. Vi inför även beteckningen −u := −1u, d.v.s. den vektor som har samma storlek men motsatt riktning. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Det är lätt att inse att följande räknelagar gäller: Sats För alla vektorer u, v , w (i ett plan eller rum) och skalärer λ, µ gäller följande: (a) u + v = v + u, (b) u + (v + w ) = (u + v ) + w , (c) u + 0 = u, (d) u + v = 0 ⇔ u = −v , (e) 1u = u, (f) λ(µu) = (λµ)u, (g) (λ + µ)u = λu + µu, (h) λ(u + v ) = λu + λv . Tack vare lag (b), (f ) ovan kommer vi skriva u + v + w , λµu eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning vi tar dessa operationer. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Nu har vi den geometriska definitionen av vektorer klar, och den viktigaste algebraiska strukturen för dessa klara. Vektorerna i planet/rummet med denna struktur utgör exempel på vad som kallas vektorrum som är den typ av rum som linjär algebra handlar om. Det vi nu vill göra är att på något systematiskt sätt införa “siffror” för vektorer för att överföra dessa geometriska konstruktioner till algebra. Den idé som Descartes (även kallad Kartesius) fick var att införa koordinataxlar för att kunna ge punkter koordinater (därför kallas dessa koordinatsystem för kartesiska koordinater). Vad vi behöver göra är först och främst att fixera någon punkt i vårt plan/rum där axlarna kan utgå ifrån. Vi kallar denna punkt origo och betecknar den O. Sedan inför vi koordinataxlar som i figuren nedan i planet respektive rummet. Till varje axel xi placerar vi också ut en vektor e i i dess riktning. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 I detta och nästa kapitel kommer vi alltid anta att detta gjorts på ett sådant sätt att alla e i har längd 1 samt att dessa vektorer alla är parvis ortogonala mot varandra (d.v.s. vinkel π/2 mellan dem). En sådan bas kallar man för ortonormal, eller ON-bas. Vidare är det viktigt att axlarna är orienterade som i denna figur. De utgör vad som kallas ett högersystem, men mer om detta senare när vi talar om kryssprodukten i rummet. Notera att vi alltså här är lite mindre allmänna än kursboken där generella “baser” behandlas. Vi väntar dock med diskussion kring allmänna baser till senare när vi talar om allmänna vektorrum. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Det är nu så att vi till varje punkt P i planet (rummet) kan införa koordinaterna (a1 , a2 ) ((a1 , a2 , a3 )) där dessa fås genom att projicera ortogonalt på axlarna. Om vi nu har en vektor u så vet vi att det finns en unik punkt P −→ sådan att u = [OP]. Notera att detta innebär att (∗) u = a1 e 1 + a2 e 2 respektive u = a1 e 1 + a2 e 2 + a3 e 3 . Denna uppdelning av u som en summa av vektorer parallella med e i :a är unik. D.v.s. varje vektor u kan på entydigt sätt skrivas på formen (∗) som ovan. Därför säger vi att e = (e 1 e 2 ) (e = (e 1 e 2 e 3 )) utgör en bas till planet (rummet). Det är tack vare att en bas till planet (rummet) består av två (tre) vektorer som vi säger att ett plan är två-dimensionellt och ett rum tre-dimensionellt. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Vi kommer införa följande beteckning: a1 a1 u=e respektive u = e a2 , a2 a3 a a1 1 och kolumnmatrisen ( a2 ) kallas för u:s koordinater i a2 a3 basen e. Motiveringen till denna notation kommer senare i kursen när vi börjar med matrisräkning, men för tillfället är det bara en notation för att beteckna vektorer. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Nu kan vi komma till hela poängen. Varje vektor u i planet kan på entydigt sätt skrivas på formen a u = a1 e 1 + a2 e2 = e 1 , a2 och dessutom är för varje par a1 , a2 ∈ R detta uttryck en vektor i planet. På samma sätt kan varje vektor u i rummet skrivas som a1 u = a1 e 1 + a2 e 2 + a3 e 3 = e a2 , a3 och återigen för varje taltrippel a1 , a2 , a3 ∈ R utgör detta uttryck en vektor i rummet. Alltså kan varje vektor i planet/rummet identifieras med talpar/taltrippler på detta sätt. Givetvis beror dessa på valet av basvektorer, men vi antar alltså nu att vi redan fixerat dessa, samt fixerat origo. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 När det gäller de algebraiska operationerna vi har infört blir dessa mycket enkla om vi uttrycker alla vektorer i samma bas: a1 b1 a1 + b1 a1 ka1 u+v = e +e =e , ku = ke =e , a2 b2 a2 + b2 a2 ka2 respektive a1 b1 a1 + b1 u+v = e a2 +e b2 = e a2 + b2 , a3 b3 a3 + b3 a1 ka1 ku = ke a2 = e ka2 a3 ka3 Det vill säga för att addera två vektorer adderar vi bara deras koordinater, och för att multiplicera en vektor med en skalär multiplicerar vi bara varje koordinat med denna skalär. Det är ganska lätt att övertyga sig om att detta stämmer överens med den geometriska definitionen av addition och multiplikation med skalär som vi införde ovan. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Rummen Rn och Mn×1 Vi har ovan sett att om vi väljer origo och en bas så har vi att varje punkt P i ett plan kan identifieras med sina (a1 , a2 ), koordinater a1 och varje vektor u med sina koordinater , samt att vi hade a2 enkla uttryck för våra algebraiska operationer så fort vi uttryckt allt i denna fixa bas. Samma sak kan sägas även i tre dimensioner, och man kan givetvis tänka sig att man gjorde motsvarande även i högre dimensioner, även om det givetvis inte går att visualisera på samma sätt. Detta leder till följande definition: Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Definition Mängden av alla tal n-tupler (a1 , a2 , . . . , an ), där a1 , a2 , . . . , an ∈ R, betecknas Rn . På samma sätt betecknar vi mängden av alla kolumnmatriser a1 a2 .. . an med Mn×1 . Vårt främsta motiv för att införa dessa rum redan här är att det gör att vi enklare kan formulera satser gemensamt för två och tre dimensioner, och behöver inte behandla dessa separat. Det är än så länge främst n = 2, 3 vi är intresserade av. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Vi inför också följande operationer på Rn respektive Mn×1 . (a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ), k(a1 , a2 , . . . , an ) = (ka1 , ka2 , . . . , kan ), a1 + b1 b1 a1 a2 b2 a2 + b2 .. + .. = .. , . . . an an + bn bn a1 ka1 a2 ka2 k . = . . .. .. an Tomas Sjödin kan Linjär Algebra, Föreläsning 2 Rummen Rn och Mn×1 tillsammans med ovanstående operationer är exempel på det man kallar vektorrum som vi ska definiera allmänt senare i kursen. Här kanske det är värt att notera att då vi jobbar med geometriska problem är det givetvis viktigt att skilja på punkter och vektorer, och vi använder främst element i Rn för att beteckna punkter och element i Mn×1 (egentligen med e framför för att beteckna basen om man ska vara noga) som vektorer. Då kan det ju tyckas konstigt att vi inför addition och multiplikation med skalär för punkter. Nu är det så att det bara är i dessa geometriska problem (som handlar om linjer och plan i två och tre dimensioner främst) som vi kommer tala om punkter, annars kommer vi enbart i kursen tala om vektorer. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Det finns en uppenbar 1 − 1 korrespondens mellan punkter och motsvarande vektor som startar i origo. a1 a2 Dessutom om vi identifierar (a1 , a2 , . . . , an ) med . , så är ju .. an rummen ovan helt ekvivalenta på alla sätt. Anledningen till att vi vill ha båda är att Rn är det i särklass vanligaste rummet i matematiklitteraturen, men när vi sedan räknar med matriser är det rätta sättet att skriva vektorer som kolumnmatriser. I princip skulle det kanske vara bättre att göra detta rakt igenom i kursen och skippa Rn , men det som talar starkt för Rn är att det är betydligt smidigare att skriva dessa vektorer, samt att det är mer standardiserat. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Nedan kommer vi formulera alla begrepp/satser enbart för Rn , och givetvis finns det en direkt motsvarighet för Mn×1 . Dessa fall lämnas åt läsaren att formulera, och vi kommer hämningslöst använda dessa motsvarande satser senare i kursen. Notera också att jämfört med kursboken vänder vi till stor del upp och ner på materialet, för vi inför våra operationer nedan på Rn , och ger sedan geometriska tolkningar av dem, medan boken ger geometriska definitioner och visar räknelagarna utifrån dessa. Det är också värt att notera att rent geometriskt betyder det att vi lägger ut våra basvektorer e i så att e 1 = (1, 0, . . . , 0), e 2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e n = (0, 0, . . . , 0, 1), och dessa kallas standardbasen till Rn . Vidare lägger vi origo O i punkten (0, 0, . . . , 0). Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Skalärprodukt Vi kommer nu i Rn införa den så kallade skalärprodukten mellan två vektorer. Rn tillsammans med denna utgör då ett exempel på ett så kallat Euklidiskt rum som vi ska definiera mer allmänt senare i kursen. Namnet skalärprodukt kommer av att den tar två vektorer och ger en skalär (alltså inte en vektor)! (a1 , a2 , . . . , an ) • (b1 , b2 , . . . , bn ) := a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn . Vi definierar även längden av en vektor (a1 , a2 , . . . , an ) via q |(a1 , a2 , . . . , an )| := a12 + a22 + . . . + an2 . Igen är det enkelt att se via Pythagoras sats att detta verkligen överensstämmer med längden av motsvarande geometriska vektor om vi infört säg ett koordinatsystem i planet som ovan. Men detta beror på både att våra basvektorer har längd 1 och att de är ortogonala mot varandra! Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Följande sats gäller för skalärprodukten: Sats Om u, v , w ∈ Rn och λ ∈ R så gäller: (a) u • v = v • u, (b) u • (v + w ) = u • v + u • w , (c) u • (λv ) = (λu) • v = λ(u • v ), (d) u • u = |u|2 , (e) u • u = 0 ⇔ u = 0. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Följande viktiga olikheter gäller för skalärprodukten: Schwarz olikhet: |x̄ • ȳ | ≤ |x̄||ȳ |. Speciellt gäller −|x̄||ȳ | ≤ x̄ • ȳ ≤ |x̄||ȳ |. Triangelolikheten: |x̄ + ȳ | ≤ |x̄| + |ȳ |. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Geometrisk tolkning av skalärprodukten Antag att vi har två nollskilda vektorer u, v i Rn , då “definierar” vi vinkeln θ mellan dessa att vara den unika vinkel i intervallet [0, π] sådan att u • v = |u||v | cos(θ). För att se att detta stämmer överens geometriskt antag att de två vektorerna ligger i ett plan där vi infört koordinataxlar som ovan, a1 och antag för enkelhets skull att den ena har koordinaterna a2 1 där a1 , a2 > 0 och den andra (d.v.s. vektorn e 1 ). 0 Vad ovanstående q då säger är att vinkeln θ mellan dessa ges av cos(θ) = a1 / a12 + a22 , d.v.s. närliggande sida genom hypotenusan, vilket vi ju känner igen att det stämmer. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Vi säger också att två vektorer u, v är ortogonala, skrivet u ⊥ v , om vinkeln mellan dem är π/2, d.v.s. om u • v = 0. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Ortogonal projektion av en vektor på en annan vektor (linje) Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Om vi som i bilden ovan har två vektorer u, v där v 6= 0 då kan vi på entydigt sätt skriva u på formen u = u ⊥v + u ||v , där u ⊥v är ortogonal mot v , och u ||v är parallell med v . Detta betyder att u ||v = kv och u ⊥v = u − kv . Så . (u − kv ) • v = 0, vilket ger k = u•v |v |2 Eller u•v u ||v = v. |v |2 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2