Homogena koordinater i
i
representeras av en 4-vektor. Den homogena vektorn
En punkt
med
Plan i
i
motsvarar punkten
med
kan skrivas som
Ett plan i
!
!
!
.
och har homogen representation
motsvarar oändlighetspunkter.
Homogena punkter med
har homogen representation
3D-punkten
+
* )
(
"
&
"
i
-matris
.
"
-
och att planet
"
ligger i planet
,
#,
* "
anger att punkten
skär
Uttrycket
,
punkten
.
har 16 element och 15 frihetsgrader.
Matrisen
&
'
"
&
%
"$
#"
är en linjär transformation som opererar på homogena
En projektiv transformation på
4-vektorer och representeras av en icke-singulär
En homografi i
avbildar linjer på linjer och bevarar skärningar mellan t.ex. linjer och plan.
1
2
Tre plan definierar en punkt
Tre punkter definierar ett plan
.
. Då uppfyller varje punkt
På samma sätt definierar tre distinkta plan
en punkt genom
.
som ligger i planet
Antag vi har tre distinkta punkter
eller
0
<3
4
=A
B
'
9 :4 :
F
%
A
%
1 2 2
9 : : : :
% %
F
1 2 2 2 2
=
A
A
F
%
%
%
A
;
A3
%
B
A
;
C 0
@
;
A3
.
4
;
3
%
%
eller punkten
Plan och punkter är varandras dualer.
3
. Planet genom
9 : : : :
%
A 1 2A 2 2 2
=
<
=A
9 :< :
%
A
A3
.
,
E
C 0
DC
%
A
A
A
%
A 1 2 2
eller planet
,
?>
?>
@
,
Exempel:
dessa punkter fås ur
,
=
< 1 2<2
=
4 3
9 :< :
;
5 6 5 7 5 8
4 1 242
Exempel:
mellan de planen fås ur
fås ur nollrummet.
9 :4 :
;
5 6 5 7 5 8
.
/
Planet
. Skärningen
Linjer
En linje definieras som snittet av två plan eller som sammanbindningen (join) av två punkter.
Transformation av planet
En linje i
,
#
,
Under en punkttransformation
transformeras planet
har 4 frihetsgrader, vilket kan tolkas som skärningen i två ortogonala plan eller
kortaste avstånd till origo, latitud och longitud för tangeringspunkt samt vinkel i
F*
tangeringsplan.
"
#"
Parameterisering av punkter i planet
"
Punkterna på ett plan
kan skrivas som
#,
&
spänner upp det 3-dimensionella nollrummet till
och parameteriserar alla punkter i planet
.
'
är en punkt i
"
3-vektorn
-matrisen
.
#
* "
* "
, dvs.
där kolumnerna i
5
6
Linjerepresentation
Då är
Exempel
En linje kan representeras som värderummet
och
vara två diav två vektorer. Låt
stinkta punkter i rummet. Linjen som sammanbinder punkterna representeras av en
linjärkombination av dem. Låt
alla punkter
värderummet till
!
"
Ex:
-axeln kan representeras av
på linjen.
5
%
A
A
A
=
=
$
# %
5
är planknippet med lin-
nollrummet till
%
A
A
%
A
?
%
A
A
A
"
Alla punkter på
!
nollrummet till
A
Linjen kan också representeras som snittet
och
vara två distinkta
av två plan. Låt
plan och
är planknippet
med linjen som axel.
A
värderummet till
=
5
5
=
%
?
5
5
=
jen som axel.
-axeln kan beskrivas med
är alla punkter på lin-
&
&
'
(
&
spänner upp varandras nollrum,
9 : : : :
=
=
och
4
samt
och
matriserna
A A
1 2 2 2 2
?
5 5
=
jen.
'
(
;
3
och
.
eller som alla punkter som ligger i planen
#
#
),
)*
-
-
+
!
och
Linjerepresentationerna
är varand-
ras dualer.
7
8
Andragradsytor
Värderum och snitt
och punkten
fås ur nollrummet till
En (punkt-)andragradsyta (quadric) i
finieras av ekvationen
de-
som spänns upp av linjen
,
"
Planet
Dualen till en punktandragradsyta är en planandragradsyta. Duala andragradsytor är ek-
=A
5 4
4
#
matris).
Snittet mellan en andragradsyta
och ett
plan
är ett kägelsnitt . Om
är nollrumsmatris till kan alla punkter i planet skri. Punkter på är på om
vas
unikt.
(
om är inverterbar).
Under en punkttransformation
transformeras andragradsytorna som
och planet är ej
är den adjungerade matrisen till
-
,
på linjen
9 frihetsgrader (homogen symmetrisk
Om nollrummet är 2-dimensionellt ligger punkten
,
där
,
-matris och har
*
är en symmetrisk
uppfyller
#
där
till punk-
vationer för plan: tangentplanet
tandragradsytan
5 ?
=
och
6
5
=
får ur nollrummet till
,
och planet
"
som är snittet mellan linjen
Punkten
5
5
5
5 4
* "
=A
=
=
4
# och punkten är ej unik.
net
i pla-
"
på planet
som ligger på kägelsnittet
Om nollrummet är 2-dimensionellt ligger linjen
.
9
10
Transformationshierarki för
är
Transformationshierarkin för homografier i
6 frihetsgrader
Oändlighetsplanet
volym
%
5>
Euklidisk
*)
*&
&
&
-$
i
*@)
&
"
&
'
"
riktningar
)
kägel-
&
%
"$
absoluta
#+
det
.
snittet
Två plan är parallella omm deras skärningslinje ligger på
"
.
)
parallellitet,
Affin
och innehåller alla
%
5 >
Similär
7 frihetsgrader
har kanonisk form
#)
"
"
Oändlighetsplanet
En linje är parallell med ett plan eller en linje om deras skärning ligger på
"
<
%
>
Oändlighetsplanet är fixerat under en affin transformation.
Projektiv
kontaktpunkter
5
15 frihetsgrader
är en 3D rotationsmatris,
är en
%
-matris,
$
0
0
(
11
är en skalär, och
'
är en 3-vektor,
&
3-translationsvektor,
"
!
är en inverterbar
#
där matrisen
.
12
.
)
oändlighetsplanet
5
12 frihetsgrader
)
Metriska egenskaper för
)
Det absolut kägelsnittet
)
. Punkter på
"
är kända är det möjligt att beräkna vinklar mellan linjer.
)
)
uppfyller
)
är ett punktkägelsnitt på
)
och
"
Om
Det absoluta kägelsnittet
och
%
'
mellan
. Vinkeln
vara riktningar i
'
$
*)
&
*
och
%
$
*)
&
*
Låt
!
!
bestäms av
:
"
#(
, dvs. punkter med
och beskriver en relation mellan riktningar i
-
vilket kan skrivas
av
är känd kan vi avgöra om två
)
Det betyder att om projektionen
.
)
)
på
)
"
Alla sfärer skär
och
är ortogonala.
projicerade linjer
'
%
13
14
Metriska egenskaper hos
)
Den absoluta duala andragradsytan
)
)
homogen
representeras av en
Den absoluta duala andragradsytan
bevaras endast av en similaritetstransformation. Under en generell homografi
)
#
%
matris av rang 3
&
(
* )
# )
, dvs.
(
avbildas
#
#
&
%
(
(
%
(
&
(
'
%
är
och
"
mellan två plan
"
Vinkeln
#
#
#
&
&
&
#
%
'
%
)
ortogonal matris, dvs. för en similaritet.
ortogonala.
är en nollvektor till
"
Oändlighetsplanet
)
.
)
15
16
och
som ska vara lika upp till skala. Det gäller bara för
är
#
och
"
"
är känd kan vi avgöra om två projicerade plan
Om projektionen
en skalad
