Kimmo Eriksson
2004-09-28
Matematikens idéhistoria
Några stora matematiker och något minnesvärt de gjort
Pythagoras, grek, 500-talet f Kr: Pythagoras sats (men den var känd långt före
Pyhagoras...)
Euklides, grek, 300-talet f Kr: Elementa, om geometri, världens längst använda lärobok
Arkimedes, från Syrakusa, 200-talet f Kr: beräknade ytor och volymer
al-Kowarizmi, arab, 700-talet: algebra och algoritmer
René Descartes, fransman, 1600-talet: analytisk geometri
Isaac Newton, engelsman, 1600-talet: differentialkalkyl
Gottfried Wilhelm von Leibniz, tysk, 1600-talet: också differentialkalkyl (i prioritetsstrid
med Newton)
Leonhard Euler, schweizare, 1700-talet: komplexa tal
Carl Friedrich Gauss, 1800-talet: algebrans fundamentalsats
Niels Henrik Abel, norrman, 1800-talet: femtegradsekvationens olösbarhet
Evariste Galois, fransman, 1800-talet: gruppteori
Srinivasa Ramanujan, indier, 1900-talet: talteoretiska identiteter
John von Neumann, ungrare, 1900-talet: datorn, atombomben, spelteori
Milstolpar i matematikens idéhistoria
positiva heltal
rationella tal
nollan
negativa tal
irrationella tal
imaginära och komplexa tal
modulär aritmetik
axiom-sats-bevis
variabler och ekvationer
abstrakt algebra
geometri
icke-euklidisk geometri
oändlighet
gränsvärden
formell mängdlära
mängdlärans begränsningar
begränsningar hos formella bevis
datorn
De flesta milstolparna ovan är av mycket gamla årgångar. Under 1900-talet skedde
många fler idémässiga genombrott – det var det sekel under vilket matematiken har
firat sina största framgångar! Men dessa moderna genombrott låter sig inte beskrivas
utan användning av avancerad matematik. Modern matematik är av denna anledning
svår att popularisera.
Vad är matematik?
"Mathematics is the science which draws necessary conclusions."
BENJAMIN PEIRCE (1870)
"Mathematics is purely hypothetical: it produces nothing but conditional propositions."
CHARLES PEIRCE (1870)
"Mathematics is that subject which knows nothing of observation, experiment,
induction or causation."
THOMAS HUXLEY (1890)
"Mathematics is that subject in which no one knows what he is talking about, nor
whether what he says is true."
BERTRAND RUSSELL (1901)
"Pure Mathematics the class of propositions of the form 'p implies q' where p and q are
propositions containing logical constants and the same variables."
BERTRAND RUSSELL (1903)
"Mathematics springs direct from the inherent powers and activities of the human
mind."
JAMES SYLVESTER (CA 1900)
Enligt Nationalencyklopedin är matematik vetenskapen som studerar det abstrakta, inte
den yttre verkligheten.
Studier av det abstrakta sker inom matematik på så sätt att man
inledningsvis gör definitioner av abstrakta objekt och antaganden om vissa
abstrakta förutsättningar och därefter enligt logiska principer argumenterar
fram till slutsatser. De logiska principerna är såvitt vi vet universella, det vill
säga gäller alltid och överallt.
En klassisk fråga är huruvida matematiken upptäcks eller uppfinns. Med
andra ord, existerar all matematik redan i en platonsk idévärld? Eller är
matematiken en mänsklig konstruktion? Mitt svar är att matematiken både
uppfinns och upptäcks i ett intimt samspel. Definitioner är mänskliga
konstruktioner – de uppfinns. Men så fort en definition är uppfunnen skapas
genom de logiska principerna en värld av slutsatser som matematikerna kan
utforska – slutsatserna upptäcks.
Matematikens tidigaste historia
Den mest typiska abstraktionen som vi tillämpar logiska principer för att
studera är tal.
De första skriftliga bevisen på räkning med tal är 5000 år gamla lertavlor
från Mesopotamien. Talen användes för administrativt bruk (räkning av djur
och ätbara saker) och nedtecknades på mycket avancerade sätt.
Positionssystem med olika baser användes beroende på vad som räknades
(levande varelser eller döda ting).
Ren och tillämpad matematik
I Mesopotamien använde man tydligen matematik för att räkna på högst
konkreta saker som djur och frukt. Hur går det ihop med att matematik är
vetenskapen som studerar det abstrakta?
Motsägelsen är bara skenbar. Abstraktioner som räknetal har ju
tillkommit just för att fånga egenskaper hos konkreta företeelser.
Mellanledet mellan det konkreta och det abstrakta kallas modellering.
Den som använder matematik för att utforska den yttre verkligheten sägs
ägna sig åt tillämpad matematik. Den som utforskar den matematiska
idévärlden, utan avseende på dess bäring på den yttre verkligheten, sägs
ägna sig åt ren matematik. Liksom alla kategoriseringar är uppdelningen i ren
och tillämpad matematik bara användbar ibland. Ren matematik kan få
2
tillämpningar senare, och tillämpningar kan driva fram rent matematiska
frågeställningar.
I historien kan självfallet modesvängningar skönjas mellan ren och
tillämpad matematik:
•
Den första matematiken för tusentals år sedan var utan tvekan
tillämpad; det gällde att hålla reda på antal.
•
I det antika Grekland fanns ett fokus på ren matematik inom geometri
och talteori, med klimax i Euklides Elementa.
•
Först med Arkimedes, och sedan från 1600-talet och framåt, har
matematisk och teknisk-naturvetenskaplig utveckling gått hand i
hand: Newton, Gauss, Cauchy, Fourier, Poisson, Ampere, von
Neumann, Wiener.
•
Sedan 1800-talet finns dessutom en strömning för ren matematik av
rena matematiker, som började med Abel och Galois och som sedan
dess har varit dominerande bland dem som kallar sig matematiker.
De som har utvecklat matematiken från tillämpade utgångspunkter
har kallats exempelvis teoretiska fysiker och teoretiska dataloger.
Matematikens historia i perspektiv av kultur och kön
I uppräkningen av citat ovan är alla de citerade matematikerna engelsmän
eller amerikaner. Detta är inte representativt för matematikhistorien! Varje
känd stor kultur under de senaste 5000 åren har haft egen matematisk
verksamhet: Kina, Indien, Babylonien, Arabien, Maya, Grekland, etc. I viss
mån har dessa kulturer också påverkat varandras matematik. Exempelvis
kommer våra siffror ursprungligen från Indien, via arabiska matematiker.
I uppräkningen av citat ovan är också alla de citerade matematikerna män.
Detta är i viss mening representativt för matematikhistorien. De berömda
kvinnliga matematikerna (såsom Hypatia från Alexandria, Sophie Germain,
Emmy Noether, Sonia Kovalevskij) är ganska få, och tillhör inte gruppen av
de allra mest berömda namnen inom matematik genom tiderna. De har dock
varit ledande matematiska forskare som med eftertryck har visat att det inte
finns några genetiska begränsningar för kvinnor att ägna sig åt matematik.
Kulturella begränsningar har däremot funnits i allra högsta grad. Hypatia
blev brutalt mördad, och Germain, Noether och Kovalevskij blev alla på
systematiskt vis motarbetade i den akademiska världen därför att de var
kvinnor.
Fortfarande söker sig män i mycket större utsträckning än kvinnor till
matematik, särskilt i Sverige, trots att den akademiska världen numera står
öppen för alla. En föreställning om matematiken som ett på något sätt
okvinnligt ämne tycks ännu leva kvar i folkdjupet.
Matematikens språk
En stor del av matematikens utveckling har utgjorts av utvecklingen av det
matematiska språket. Med detta språk kan matematik formuleras koncist,
exakt och lättbegripligt (nåja) för matematiker från alla länder.
Beståndsdelarna i detta språk är:
3
•
särskilda symboler med givna matematiska betydelser, såsom
+,−,×, ⇒, ∃,∈,∪, ∑, ∏,
•
konventioner för vilka symboler som ska väljas att representera olika
storheter, såsom x, y, z , i, e, π , f ( x), f ' ( x),α , β
•
accepterade resonemangstyper, följande logiska principer
•
stilelement i ett matematiskt resonemang, såsom sats, bevis, lemma,
ekvation, hypotes
Den symboliska notationen är effektiv men lurar många människor att tro att
matematikens väsen ligger i symbolmanipulationen. Så är det inte alls. I
själva verket är symbolerna relativt sena påfund, ofta utvecklade under de
senaste trehundra åren.
Matematikens psykologi
Människans förmåga att hantera tal verkar vara medfödd, och denna
räknetalinstinkt torde vara många miljoner år gammal. Både nyfödda
människobarn och stora djur har nämligen i psykologiska experiment visat
sig besitta förmågan att skilja på små antal (som ett och två). Experiment på
vuxna visar att tal upp till ungefär 4 verkar vara hårdkodade i våra hjärnor;
om vi ser ett antal objekt som är högst fyra behöver vi inte räkna efter hur
många det är utan ser antalet på ett direktare sätt.
För arbete med matematik krävs ett antal olika hjärnfunktioner utöver
talinstinkten, bland annat språk, arbetsminne, långtidsminne och
koncentrationsförmåga. Se boken ”The origin of mind” av
utvecklingspsykologen David Geary (2004).
4
