Beräkningar i naturvetenskap och teknik

Magnetostatik och elektromagnetism
Magnetostatik
Beskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar
med varandra och med externa magnetfält.
Vi känner till följande effekter:
1. En fritt upphängd magnet ställer in sig parallellt med det jordmagnetiska fältet
2. Den del av en magnet som pekar mot norr benämner vi magnetisk nordpol och den som
pekar åt söder för magnetisk sydpol (detta betyder att jordens geografiska nordpol är en
magnetisk sydpol och vice versa…)
3. Om vi delar upp en magnet i mindre delar kan vi inte avskilja en separat nord- och
sydpol utan de nya mindre delarna av magneten bildar nya magneter med både nord- och
sydpol. Man kan dra slutsatsen att det inte finns en magnetisk laddning utan att den
enklaste magneten är en dipol.
N
S
N
S
N
S
Magnetostatik
Trots att det inte finns (upptäckts) någon magnetisk laddning observerar
man:
Attraktion
4. Olika poler attraherar varandra
N
S
N
S
Repulsion
5. Lika poler repellerar
varandra
S
S
N
N
Fältlinjer
N
S
6. Fältlinjernas riktning ges av den riktning en kompassnåls nordpol pekar åt då
kompassnålen placeras i ett magnetiskt fält.
7. Fältlinjerna bildar slutna banor som pekar från nordpol till sydpol utanför magneten men
från sydpol till nordpol inuti magneten.
8. Tätheten hos fältlinjerna är störst vid polerna.
9. Fältlinjer kan inte korsa varandra.
Magnetiska och icke-magnetiska material
B
Tre olika fall:
B
Dia- och paramagnetism
1. Endast mycket små förändringar uppmäts i det yttre fältet. När materialet
tas bort från fältet kan man inte uppmäta något magnetfält kring materialet.
Om den lilla förändring man mätte när materialet befann sig i fältet gav ett
litet större fält kallas materialet:
Paramagnetiskt
om fältet istället blev något mindre kallas materialet
Diamagnetiskt
Många vanliga material/ämnen tillhör dessa två grupper: trä, luft, glas, koppar, mässing…
Magnetiska och ickemagnetiska material
Permanentmagneter
En magnet tillverkad av ett magentiskt material kallas för permanentmagnet. Typiskt
används legeringar av Fe, Ni och Al för att tillverka permanentmagneter.
Magnetiseringen hos en permanentmagnet kan fås att försvinna genom att hetta upp
magneten.
En permanentmagnet förvaras ofta “armerad”, d.v.s. med slutna fältlinjer m.h.a.
järnstycken.
N
S
järnstycken
S
B
N
Ferromagnetism
B
B
Om man placerar ett järnstycke i ett yttre magnetiskt fält så förstärks fältet avsevärt.
Ämnen med denna egenskap kallas ferromagnetiska då de ofta är föreningar som
innehåller järn (ferrum = latin för järn).
Remanens
Om magnetfältet kvarstår även efter att det yttre fältet tagits bort, d.v.s om
metallstycket har magnetiserats så säger man att materialet uppvisar magnetisk
remanens. Materialet uppvisar m.a.o. “minneseffekter” från det tidigare pålagda fältet.
Detta beror på att förstärkningen av magnetfältet tillkom i en process som inte är direkt
reversibel när fältet togs bort. Vanligt stål uppvisar ofta avsevärd remanens.
Magnetiska domäner
Ferromagnetiskt material
Inom mindre områden i materialet
riktar de atomära magnetiska
momenten, som kan ses som små
magnetiska dipoler, upp sig
spontant. Eftersom riktningarna är
slumpvis fördelade är det totala
fältet utanför materialet litet.
Om ett magnetiskt fält läggs över
materialet så riktar domänerna
upp sig med detta fält på samma
sätt som en kompassnål vrider sig
i det jordmagnetiska fältet. Den
magnetiska kraftverkan utför ett
arbete för att göra detta.
Upplinjeringen kvarstår efter att
fältet avlägsnats.
Nature, UC Berkeley
Magnetiskt flöde och flödestäthet
2
Definition
Magnetiskt flödestäthet:B 1 Vs/m, 1T (tesla)
Magnetisk flöde:Φ 1Vs
B
Θ
A
  B A  B A cos()
Gauss lag för
magnetism

 Bd A 0
Normal till ytan A
Elektromagnetism
Beskriver hur elektriska laddningar och rörelser hos dessa växelverkar med och skapar
magnetiska och elektriska fält.
De tre klassiska experimentella upptäckterna:
1. Magnetfält från rak ledare (Örsted och Ampere)
I
B
En konstant ström genom en rak
ledare ger upphov till ett magnetfält
utanför ledaren. Fältlinjerna följer
den s.k. högerhandregeln. Fältets
styrka avtar med avståndet från
ledaren.
Fältriktning hos
koncentriska ringar
I
B
Elektromagnetism
2. Kraftverkan mellan två ledare
Attraktion
I
I
+
+
U
Attraktion
U
Repulsion
Repulsion
Elektromagnetism
3. Fält från strömspole
B
Magnetfälten från de enskilda ledarna summeras
inuti (och utanför) spolen och ger upphov till en
riktning hos det magnetiska fältet som ges av en
liknande högerhandregel som för den enskilda
ledaren.
Man får ett yttre fält av samma typ som från en
stavmagnet med en given nord- och sydpol.
I
I
S
I
N
B
Symboler
B
inåtgående
ström
utåtgående
ström
B
Laddning i rörelse påverkas av ett magnetfält
Lorentzkraften:
Laddningar i rörelse i magnetfält
F  qE
F  q  v  B)
v
B
Θ
Använde vi i elstatiken
qv  B  qvBsin()
B
Högerhandsregeln
v
F
Q
F
v
R
B
B

v
F
F
Avböjning i magnetfält
Laddning i rörelse genererar ett magnetfält
Mikroskopisk bakgrund
till magnetism
Rörelsemängdsmoment
-
R
+
v
Z
l
ml
Elektroner som rör sig runt kärnan med
hastigheten v på radien R ger upphov till ett
magnetfält på samma sätt som elektronerna i
en spole med endast en slinga.
Produkten av massa, hastighet och radie kallas
rörelsemängdsmoment och är karaktäristisk för
banrörelse av denna typ.
Spinn
På samma sätt kan man också se det som att
elektronerna roterar kring sin egen axel (jämför
jordens rotation kring solen och kring sin egen
axel). Denna rörelse ger också upphov till en
“ström” och därför till ett magnetfält.
Laddningar i rörelse genererar ett magnetfält
Biot-Savarts lag
z
dl
r
y
I

Biot-Savarts lag är för magnetfältet litet
grand av motsvarigheten till Coulombs lag
för det elektriska fältet från en
punktladdning.

En ström I i riktningen dl ger med hjälp av
kryssprodukten, mellan strömriktningen
och riktningen till punkten man söker
magnetfältet i, fältet i denna punkt.
Storleken hos dB avtar som 1/r2
x
r0 Idl  e r
dB 

2
4
r
Fysik för Bi
Magnetisk permeabilitet
Precis som det elektriska fältet påverkar ett material och kan
polarisera det så ser vi t.ex. från det ferromagnetiska fallet att ett
magnetfält också påverkar ett material. Fältbilden blir m.a.o. inte
densamma med resp. utan materialet.
När det gällde det elektriska fältet så dividerade vi laddningen med
permittiviteten för vacuum (ε0) och med det relativa permitivitetstalet
(εr) för materialet för att ta hänsyn till polarisation.
För magnetfältet multiplicerar vi istället med permeabilitetstalet för
vacuum och det relativa permeabilitetstalet för materialet (>0) för att
ta hänsyn till att magnetfältet kan förstärkas av vissa material.

Som nämndes tidigare så har ε0 och μ0 införts för att få en koppling
mellan Newtons ekvation och elektromagnetisk kraftverkan, d.v.s.
för

att ha ett enhetligt enhetssystem.
E
Q
40r r 2
r0 Idl  e r
dB 

4
r2
Amperes lag
Lyckligtvis finns det ett sätt att beräkna magnetfältet i enkla geometrier som
är snabbare och enklare än att utföra integrationen m.h.a. Biot-Savarts lag.
Från elstatiken minns vi Gauss lag som innebar att om vi kunde finna en yta på vilken E är
konstant så kunde vi multiplicera E med denna ytas area och att denna produkt då blir den
inneslutna laddningen dividerad med dielekticitetskonstanten.
Amperes lag för magnetostatiken (d.v.s då vi har konstanta strömmar och elektriska och
Skrivmed
en ekvation
här.
magnetiska fält) säger att strömmen multiplicerad
permeabilitetskonstanten
är lika med
magnetfältet integrerat längst en slinga som omsluter strömmen:
 B l   I
||
I
B
B||
Δl
0
 B  dl   I
0
I det allmänna fallet μrμ0
Skriv en ekvation
här.
på avståndet r frånlång rak ledare : B  2 r  0 I
Tillämpning av Amperes lag
Toroid
2RB  r0NI
R
r0 NI
B
2R
Rak “lång” spole
B=0
Idealiserat fall. Slingan går sträckan L genom
spolen där B är konstant och parallellt
 med L.
Utanför spolen är slingan vinkelrät mot B och ger
inget bidrag. Slutligen avslutas slingan på mycket
stort avstånd där B antas nära noll, d.v.s.
produkten mellan B och L är då noll.
BL  r0NI
I
r0 NI
B
L
Generell lösning kan integreras fram enl. Biot-Savarts lag ex.vis för positioner utanför
ändlig spole (för resultatet se läroboken)
L
B
Kraft på ledare
Magnetisk kraftverkan

F  q(E  v  B)
F  qv  B
Om vi har en konstant ström där
laddningen q rör sig sträckan L under
tiden t vinkelrätt mot fältet B får vi:
I, v
B
L

F  qv  B  qvB 
L
q
 q  B   L  B  BIL
t
t
q

Definition av 1 Ampere
0 Ie
B
2R
F  BIL
0I
0 I L
F
IL 
2R
2R

2
Om L=1 m och R=1 m så är I 1 A då F=2×10-7 N
I
+
U
0
F
2
0  4 107 N / A2
c 2 1/ 00 c  299792458m/s

Attraktion
0  8.854 1012 As /(Vm)
Enhet för magnetfältet
μ0
0 I 2 L
F
2R
F  BIL
[F ]
N
CV Vs
[B
]





T
2
2
 [ I ][ L] Am Am m

Enheten Tesla uppkallad efter Nikola Tesla.
[0 ]  [F]/[I 2 ]  N / A2  Vs / Am

Kan förstås uttryckas i andra härledda enheter
också.
Motorn, roterande strömslinga i magnetfält
Slinga med inkommande ström I
I
F
B
Den magnetiska delen av Lorentzkraften ger
upphov till ett vridmoment kring den centrala
axeln. Strömmen måste byta riktning en gång
per varv för att upprätthålla rörelsen.
B
B
F  qv  B
Motor
Varierande magnetfält
I
Vi har sett att en konstant ström ger upphov till ett magnetfält. Vi vet också att en konstant
laddningsfördelning endast ger upphov till ett konstant elektriskt fält men inget magnetfält
samt att en konstant fördelning av magnetiska dipoler endast ger upphov till ett konstant
magnetfält.
B
E
B
Q
N
S
Varierande magnetfält
Fråga: Om elektriska laddningar i rörelse ger upphov till ett magnetfält vad händer då
om vi varierar det magnetiska fältet? Ger detta upphov till ett elektriskt fält?
Frågan undersöktes av Michael Faraday som upptäckte det s.k. induktionfenomenet.
Matematiskt formuleras svaret på frågan i Faradays lag:
A

Φ
dl
E

E  dl  
 B
t
Vad betyder det i praktiken?
Induktion
Jo, om vi ändrar det magetiska flödet som flyter innanför en sluten slinga så kommer denna
förändring att ge upphov till ett elektriskt fält. Detta fält driver som vanligt en
laddningsomfördelning d.v.s. en ström.
Slutsats: Om flödet ändras induceras en spänning som i sin tur kan driva en ström genom
en yttre krets (d.v.s. man får en generator).
I
B
Bind
Fix spole
N
S
Rörelseriktning
Lenz lag
Den inducerade strömmen skapar ett magnetfält som motverkar den fältförändring som
uppkommer när magneten förs in genom slingan.
D.v.s. om magnetens nordpol pekar in mot slingan under rörelsen blir strömmen sådan att ett
magnetfält med nordpolen riktad mot magnetens nordpol skapas.
När magneten sedan dras tillbaka blir strömriktningen istället sådan att en sydpol skapas som
attraherar nordpolen hos magneten.
Man kan från energiprincipen inse att detta måste vara fallet.
I
B
Bind
Fix spole
N
S
Rörelseriktning
Induktionslagen från energiprincipen
F  qv  B
I
A
I
B

F,v
B
F
Man för en ledare med konstant hastighet vinkelrätt mot
ett konstant magnetfält B. Den magnetiska delen av
Lorentzkraften gör att en ström flyter genom ledaren.
Denna ström leder i sin tur till en magnetisk motkraft på
ledaren. För att upprätthålla konstant hastighet måste
krafterna i ledarens rörelseriktning vara noll.
Induktionslagen från energiprincipen
F  qv  B
Mekaniskt arbete
Magnetisk motkraft
W Fs
F  BIL
W  BIL s
I

F,v
B
Elektrisk effekt
Energin

W  Pt  UIt, U  E
P  UI

EIt  BIL s

Vi ser på ett kort intervall dt


L
Inducerade emk:n
s
E  BL   BL  v
tidsberoende
t
ds
ds
e  BL 
v
dt
dt
s
Induktionslagen från energiprincipen
F  qv  B
ds dA
e  BL   B
dt
dt
BdA  d
I

F,v
s
A
d
e
dt
B

Med N st varv i lindningen får man:
d
eN
dt
L
Man brukar ange referensriktningen med
ett minustecken för att indikera att den
inducerade spänningen motverkar
flödesändringen:
d
e  N
dt
Självinduktion
En spole genom vilken det flyter en ström skapar ett magnetfält. Om strömmen varierar
så varierar också magnetfältet som strömmen skapar.
Denna fältändring ger upphov till en inducerad emk som motverkar den strömförändring
som gav upphov till den ursprungliga fältändringen.
Fenomenet kallas självinduktion och är viktigt i växelströmsberäkningar.
i(t)
Φind
Fix spole
Φ(t)
Induktans
Fältet i lång spole
B
r0 NI
l

Induktionslagen
d
e  N
dt
Induktansen:
L
2
r0 N
A
l
r0 NI
A
l
d r0 NA di

dt
l
dt
Tillsammans ger detta:

d
r0NAdi
r0N 2 A di
di
e  N  N

 L
dt
l
dt
l
dt
dt
Enhet:
Vs
[L] 
H
A
Generatorn, roterande strömslinga i magnetfält
A
A
I
Θ
B
A
  B A  B A cos()
Generatorn, roterande strömslinga i magnetfält
  B A  B A cos()
  B A cos(t)
Induktionslagen
e  N
d
dt
t
d

e  NBA cos(t)  NBA sin(t)
dt


  t
Fysik för Bi
Energi i kondensator
Med induktionsfenomenet har vi sett att elektriska och magnetiska fenomen beror av
variationer över tiden som vi kan relatera till laddningars rörelse.
Om vi går tillbaka till kondensatorn så inser vi också att det måste ta en viss tid för
laddningarna att ladda upp en kondensator efter att man anslutit den till en
spänningskälla. Mängden laddning på plattorna är m.a.o. en funktion av tiden och närmar
sig till slut ett slutvärde. När detta har uppnåtts är spänningen U på plattorna.
dW  U(q)dq
U(q) q
W
U
U2
 dW   U(q)dq   UCdU  C 2
0
0
0
dq

U


Fysik för Bi
Cirkulär strömslinga
z
På samma sätt som ovan kan man integrera fram
fältet på centrala axeln genom en strömslinga:
B
r
r0IR2 2 2 2
B
,r  R  a
3
2r
För fallet a=0 får man fältet i
centrum av slingan.
r0 I
B
2R
a
R
dl
I