Strävorna - Malmö högskola

140
Strävorna – ett verktyg för ökad förståelse av Mål att sträva mot.
På Nämnaren på nätet finns Strävorna. Där finner du aktiviteter och artiklar som belyser
Mål att sträva mot. Dessa sidor ska hela tiden utvecklas och byggas på med hjälp av idéer
från lärare. Under denna workshop får du möjlighet att tillsammans med andra utveckla och
förfina dina undervisningsidéer, lektionsuppslag, spel, lekar och andra aktiviteter, så att
andra kan ta del av dem.
Anders Wallby, Ronnie Ryding, Lena Trygg och Karin Wallby arbetar vid NCM,
Göteborgs universitet
Workshop
Mål att sträva mot är en viktig del av våra kursplaner: den är en beskrivning av vart vi vill
att våra elever ska vara på väg i sitt arbete i skolan. Samtidigt kan dessa mål ibland
uppfattas som svårgripbara och kanske inte alltid så påtagliga. Ibland kan fokus i alltför hög
grad hamna på Mål att uppnå och Mål att sträva mot lämnas därhän. I kursplanen kommer
Mål att sträva mot först, och markerar matematikundervisningens riktning, det är ditåt vi
strävar. Nu kommer inte alla att nå ända fram, men alla ska åtminstone ges möjlighet att nå
Mål att uppnå.
NCM och Nämnaren har på olika sätt försökt att bidra till förståelsen för och tolkningen av
Mål att sträva mot. I NämnarenTEMA 5, Uppslagsboken, finns en matris som är uppbyggd
kring strävansmålen. Längs ena axeln finner vi de ämnesinriktade målen, längs den andra
finner vi de mer övergripande målen. I matrisens rutnät möts då de olika typerna av mål.
Varje ruta kombinerar ett ämnesmål och ett övergripande mål. T ex ruta 1A innehåller
Utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära
sig matematik och att använda matematik i olika situationer.
Grundläggande talbegrepp och räkning med reella tal, närmevärden, proportionalitet och procent.
I Uppslagsboken finns för varje ruta en aktivitet, ett exempel på klassrumsarbete som ska
kunna stödja elevernas utveckling i riktning mot respektive mål. Där finns också stöd för
läraren att utveckla aktiviteten så att den passar elever i andra åldrar, så att den blir lättare
eller mer utmanande. Där finns även en litterturlista för den som önskar gå vidare.
Som ett komplement till Uppslagsboken finns på Nämnarens webbplats,
namnaren.ncm.gu.se, det som kallas Strävorna. Det är en webbtjänst avsedd att ge
ytterligare materiel för ökad och fördjupad förståelse av Mål att sträva mot. Här finns
artiklar som på olika sätt belyser målen, aktiviteter för klassrummet, webblänkar och även
kompletteringar till Uppslagsboken. Strävorna är uppbyggd kring samma typ av matris som
i Uppslagsboken, men utvidgad med gymnasieskolans Mål att sträva mot.
Vårt mål för Strävorna är att den ska kunna fungera som en bytesplats för lärare. Här ska man
kunna hämta sånt som man behöver, men även lämna något åt andra. Alla lärare har en
uppsättning aktiviteter och övningar som man använder i sitt arbete i klassrummet. Om man i
sitt arbetslag eller på egen hand funderar över och diskuterar övningarna lär man sig något för
egen del. Man kan dessutom dela med sig av sitt arbete och sina tankar, så att det kan komma
andra till del.
På Strävorna finns en pdf-fil att hämta som innehåller den matris som används. Där finns
också en blankett att använda när man vill bidra med en aktivitet till Strävorna.
Exemplet på nästa sida visar hur en aktivitet kan beskrivas. Det är och ska vara kort och
koncist, med angivande av avsikten med övningen, vilket matematikinnehåll som
behandlas, hur den kan genomföras och hur övningen kan utvecklas och varieras.
Att bidra till Strävorna kräver inte mycket arbete, men kan vara givande för dig, ditt
arbetslag och, inte minst, de lärare som får ta del av och möjlighet att använda sig av dina
bidrag.
För att ta del av Strävorna, gå till namnaren.ncm.gu.se och klicka på Strävorna i menyn till
vänster.
141
Att undervisa om funktioner i år 3 och 5 med hjälp av ”funktionslådor”
Föreläsningen belyser utifrån en experimentell studie, som genomförts under våren 2003,
hur och varför man kan undervisa om funktioner i grundskolans årskurs 3 och 5. Vidare ges
idéer om hur man kan bygga vidare på detta undervisningsmaterial för att eleverna ska få
en grundläggande insikt i funktionsbegreppet.
Cecilia Kilhamn har länge arbetat som mellanstadielärare men arbetar nu med
matematikdidaktik vid Institutionen för Pedagogik och Didaktik vid Göteborgs Universitet.
Föreläsning
Är funktioner något för barn?
En konkret introduktion till funktionsbegreppet i grundskolans lägre
årskurser
Begreppet funktion introduceras i den svenska grundskolan först i de sista årskurserna och
upplevs ofta som abstrakt och svårt. Kan det bero på att det introduceras på ett alltför
abstrakt sätt? Måste det vara abstrakt? Många studier på senare år har visat att lusten är
viktig för inlärningen och att undervisningen i matematik behöver blir mer varierad och
mindre läroboksbunden. Kan undervisning om funktionsbegreppet med hjälp av ett konkret
material, s.k. ”funktionslådor”, i de lägre årskurserna väcka lust till lärande och en tidig
förståelse av begreppet funktion? Hur ser i så fall den förståelsen ut?
Under våren 2003 genomfördes en empirisk studie vars syfte var att undersöka hur elever i
årskurs tre och fem reagerade på en undervisning med funktionslådor; att hos dessa elever,
före och efter en sådan undervisning, studera och kategorisera förståelsen av
funktionsbegreppet och förståelsen av det matematiska symbolspråk som använts. (Bl.a.
variabelbeteckning) Studiens genomförande har inspirerats av fenomenografin. Studien
syftade även till att kartlägga hur eleverna upplevde arbetet, om funktionslådorna kunde
bidra till att öka lusten till lärande i matematik.
En kategorisering av begreppsförståelsen gjordes med utgångspunkt från två historiskt
intressanta och i någon mån olika sätt att förstå en funktion; antingen som en
transformation eller som en relation. Arbetet med lådorna gav upphov till förståelse av båda
dessa aspekter av funktionsbegreppet. Efter de två undervisningstillfällena framkom en
tydlig ökning av förståelsen både kvantitativt sett i form av antal rätt på testet och
kvalitativt sett i form av fler svar inom en mer avancerad kategori av förståelse.
Undervisningen upplevdes lustfylld och elevaktiviteten var mycket hög, liksom de
matematiska samtalen eleverna emellan. De matematiska symboler som användes tolkades
till en början med stor osäkerhet och en del missförstånd men de två lektionerna med
lådorna resulterade i en tydlig utveckling mot en säkrare och matematiskt mer korrekt
tolkning.
Så här går arbetet med funktionslådorna till:
Lådorna görs av kartonger, till exempel locken till A4-lådorna som kopieringspapper
levereras i. På lådans utsida finns ett in- respektive ut-hål. På insidan sitter en plastficka där
man kan sätta in ett papper. På pappret som sätts in beskrivs en funktion, antingen med
hjälp av ord, bilder eller matematiska symboler. I studien användes enbart s.k. ”pilnotation”. Funktionerna kan vara numeriska eller symboliska, de kan vara kontinuerliga
eller diskreta, de kan definieras på ord, bokstäver, tal, färger eller vad som helst.
En elev är funktion. Hon sitter bakom lådan och har till uppgift att, beroende på vad som
kommer in, skicka ut det som funktionen bestämmer. Denna elev tränar sig i att beräkna
funktionsvärdet, dvs. utföra räkneoperationer (om det är en numerisk funktion) eller följa
skrivna eller ritade instruktioner.
En annan elev sitter framför lådan. Hon får veta storheten på det hon ska skicka in i lådan
(tal, färg, djur, namn, ord, etc.) dvs. vad variabeln ska representera eller matematiskt
uttryckt: definitionsmängden. Hennes uppgift är att undersöka funktionen genom att skriva
ett värde på variabeln på en liten lapp, skicka in den genom in-hålet och avvakta tills det
kommer ut ett funktionsvärde genom ut-hålet. När hon har gjort detta några gånger kan hon
titta på de värden hon stoppat in och fått ut och med ledning av dem försöka gissa hur
funktionen ser ut. Den som undersöker tränar sig i att tänka logiskt och att försöka upptäcka
mönster eller samband.
De funktioner som används i lådorna syftar till att ge en mångfalt av exempel på olika typer
av funktioner för att göra det möjligt för eleverna att generalisera. Med generalisera menas
här att eleverna ska kunna urskilja innebörden i begreppet funktion mot en bakgrund av en
variation av funktioner.
Studiens resultat visar att elever i årskurs tre och fem mycket väl kan förstå begreppet
funktion när de får arbeta med det operationellt genom funktionslådor och att deras
förståelse skulle kunna vara en bra grund för en vidare utveckling av begreppet. Lådorna
skulle därför kunna fungera som ett komplement till vanliga läromedel.
Det är viktigt att man tidigt i skolan börjar prata om funktioner utifrån dess moderna
definition och beskriva funktioner med hjälp av många olika ord och begrepp för att
eleverna ska få en möjlighet att inlemma ord som samband, relation, avbildning, mängd och
variabel i sitt matematiska språk.
Funktionslådorna gav upphov till många matematiska samtal mellan elever och arbetet
upplevdes utmanande, intressant och roligt. I boken Task and Activity (1986) inspirerar
Christiansen och Walther till just den här typen av aktiviteter i undervisningen:
”Thus, in our opinion, the crucial function of the teacher is not to motivate students for activity on a selected task, but to select tasks which motivates his students for activity -and
which as far as possible do this in themselves.”
143
Huvudräkning - Hur och varför?
Huvudräkning bedrivs ofta på ett rituellt sätt med knep och knåp och uppfattas av andra
som en form av hjärngympa. I själva verket bygger all framgångsrik huvudräkning på
etablerade räknelagar och räkneregler, om än i en informell form. För den som lär sig
behärska huvudräkning på insiktsfullt sätt öppnar sig emellertid unika möjligheter att tränga
in i matematikens värld. Under föreläsningen ges exempel från olika skolår och en
generalisering sker efter hand från naturliga tal till hela tal och rationella tal.
Wiggo Kilborn, universitetslektor, har i många år arbetat som forskare,
läromedelsförfattare samt lärarutbildare vid Göteborgs universitet.
Föreläsning
Huvudräkning bedrivs ofta på ett rituellt sätt med knep och knåp och uppfattas av andra
som en form av hjärngympa. I själva verket bygger all framgångsrik huvudräkning på
etablerade räknelagar och räkneregler, om än i en informell form. För den som lär sig
behärska huvudräkning på insiktsfullt sätt öppnar sig emellertid unika möjligheter att tränga
in i matematikens värld. Under föreläsningen ges exempel från olika skolår och en
generalisering sker efter hand från naturliga tal till hela tal och rationella tal.
Föreläsning
Syftet med den här föreläsningen är att visa hur man redan på lågstadiet kan börja en
långsiktig process, vars syfte är att hjälpa eleverna att bli duktiga i huvudräkning. Detta kan
ske genom man att utnyttjar finesserna med olika räknelagar och räkneregler, något som på
sikt kan utgöra en god grogrund för vidare studier av matematik på olika nivåer, formellt
som informellt.
Vad föreläsningen kommer att handla om är en "huvudräkningsresa" som börjar i förskolan
och som slutar på gymnasiet. Under den resan kommer jag att guida åhörarna från mycket
grundläggande matematiska begrepp, via olika typer av huvudräkningsstrategier fram till
mer formella matematiska operationer som eleverna har behov av för sina fortsatta studier.
Detta gäller oavsett om eleverna skall fortsätta med en teoretisk utbildning eller en yrkesutbildning.
Huvudräkning har under senare år getts allt större utrymme i skolans matematikundervisning. Det finns två skäl till detta:
 Dels menar man att huvudräkning, och då främst i form av överslagsräkning, är ett
viktigt komplement vid användning av miniräknare. Med hjälp av överslagsräkning kan
man nämligen få en uppfattning om ett svars storleksordning och därmed minimera

risken för att man får ett felaktigt svar genom att slå in fel siffror eller tecken på
miniräknaren.
Dels menar man att algoritmerna är överflödiga och att det räcker med att behärska
huvudräkning eller att komplettera detta med informella räknemetoder.
I dagens kursplaner har man höga krav på att eleverna lär sig matematik  inte bara att de
lär sig räkna. Samtidigt, menar man, har möjligheterna att arbeta med matematik ökat
betydligt under senare år, eftersom all den tid man kan spara genom att använda
miniräknare nu kan läggas på förståelse, alltså att lära sig matematik. Frågan är om detta
verkligen sker. För att det skall ske måste eleverna kunna se matematiken i det de gör. Sett
ur den synvinkeln är de flesta av de huvudräkningsmetoder som presenteras i dagens
läromedel klart otillräckliga. Med dem lär man sig i allmänhet bara smarta knep för
stunden, inte varför dessa knep fungerar och hur de kan utvecklas, till exempel till att förstå
de räknelagar och räkneregler som senare kommer att ligga till grund för arbete med
irrationella tal, algebra och funktioner.
Ett problem som lägger stora hinder i vägen för eleverna, när det gäller såväl skriftlig
räkning som huvudräkning, är brister i grundläggande räkning och taluppfattning. För den
elev som har en god taluppfattning och grundläggande kunskaper i de fyra räknesätten är
vägen öppen för att tillägna sig en god förmåga att räkna i huvudet. Omvänt skapar dåliga
kunskaper i de grundläggande räkneoperationerna växande, och till slut oöverstigliga
hinder för framgång. Ett problem i det här sammanhanget är, att en nedärvd lärarkunskap
om hur man planerar och undervisar om grundläggande färdigheter i aritmetik, till stor del
glömts bort. Följderna av detta har jag kunnat iaktta såväl vid klassrumsobservationer som
vid analys av olika typer av test. De problem elever har inom flera av yrkesprogrammen på
gymnasiet, är exempel på detta.
Vad föreläsningen handlar om är bland annat hur en genomtänkt satsning på huvudräkning
kan bidra till att eleverna tidigt ges en sådan uppfattning om matematik som på sikt kan
hjälpa dem att förstå mer komplicerade sammanhang. Det gäller således att på ett informellt
sätt, och redan från början, lyfta fram poängerna med matematiken i räknandet. Att
huvudräkningen fungerar beror ju uteslutande på att den följer givna räkneregler och
räknelagar. Genom att göra eleverna uppmärksamma på detta kan man ge dem en god
grogrund för fortsatta studier.
 En elev som lärt sig att en subtraktion som 8 - 6 kan uppfattas som en uppräkning från 6
till 8, alltså som 6 + __ = 8, kan senare använda den kunskapen i en rad andra sammanhang. Uppgiften 51 - 48 kan då lösas som en uppräkning i tre steg, från 48 till 53.
Uppgiften 5 - (-2) kan på motsvarande sätt uppfattas som (-2) + __ = 5, alltså avståndet
(på tallinjen) mellan (-2) och 5 osv.
 En elev som lärt sig lika tillägg, dvs. att man i en subtraktion kan lägga till samma tal
till båda termerna har andra fördelar. En subtraktion som 48 - 19 kan då, till exempel,
tolkas som åldersskillnaden mellan mamma och son. Eftersom åldersskillnaden är
densamma efter ett år, är därför 48 - 19 = 49 - 20, vilket är betydligt enklare att beräkna
i huvudet. Även denna strategi kan generaliseras till negativa tal. Till 5 - (-2) kan man
nu addera 2 till båda termerna, vilket ger 5 + 2 - ((-2) + 2) = 7 - 0.
Det flesta av dessa operationer är relativt lätta att konkretisera och att öva - enskilt eller i
grupp.
När det gäller addition och multiplikation så är det de kommutativa och associativa räknelagarna som utgör grunden. Redan tidigt förstår barn att det är lättare att beräkna 3 + 9
om man börjar räkna uppåt i tre steg från 9. På motsvarande sätt är det inte svårt att
uppfatta att 7 + 8 + 3 kan beräknas som (7 + 3 + 8), alltså genom att byta ordningen mellan
termerna. Med den tekniken blir även en addition som 189 + 346 + 11 enkel att beräkna i
huvudet som (189 + 11) + 346. Med hjälp av de här räknelagarna kan man dessutom
förklara hur såväl informella som formella algoritmer är uppbyggda. Jag menar, det är ju
lika meningslöst för eleverna att lära sig informella algoritmer som formella om de ändå
inte förstår vad de gör.
Ännu större vinster kan göras när det gäller multiplikation. För den som behärskar multiplikationstabellen blir 4  18 enkelt att beräkna som 4  2  9 = 8  9 och 25  28 som 25  4 
7 = 100  7. På motsvarande sätt kan man använda den distributiva lagen. Om man vet att 4
 102 kan skrivas som 4  (100 + 2) = 400 + 8, så kan på motsvarande sätt 4  98 beräknas
som 4  (100 - 2) = 400 - 8, osv. Observera att den här typen av övningar samtidigt
innehåller viktig förkunskap för att senare förstå algebra, till exempel att a (b - c) = ab - ac.
På motsvarande sätt man genom huvudräkning förbereda arbetet med konjugatregeln och
kvadreringsreglerna.
När det gäller division så har jag iakttagit att de flesta av de problem eleverna har med bråk
och decimaltal kan härledas till bristande taluppfattning. Konsekvenserna av detta blir
tydliga när man kommer till algebraiska uttryck - inte minst inom lärarutbildningen. Genom
att lägga en god grund för division under de första skolåren, kan man undvika problem med
uppgifter som
6
6
men de förstår
: 3 . Många elever kan manipulera sig fram till svaret
21
7
inte innebörden i vad de gjort och de kan därför inte generalisera operationen till decimaltal
eller till algebra. En mer elementär uppfattning ger vid handen att
6
betyder
7
1 1 1 1 1 1
+ + + + + och att division med 3 innebär att dessa sex sjundedelar skall delas
7 7 7 7 7 7
1 1
lika på tre grupper, alltså med + i varje grupp. Ett annat problem är multiplikationer
7 7
2
6
2
2 1 1
som 3 . Ett vanlig svar är
. För den som vet att
= +
så är 3 =
7
21
7
7 7 7
1 1 1 1 1 1
6
( + )+( + )+( + ) = , vilket man kan utföra som enkel huvudräkning.
7 7 7 7 7 7
7
På motsvarande sätt har många elever på högstadiet och på A-kursen problem med
divisioner som 3 / 0,2. Orsaken brukar vara att de enbart behärskar delningsdivision och
inte kan dela upp 3 i 0,2 grupper. En enkel strategi som elever bör lära sig redan under de
första skolåren är emellertid att man lika gärna kan uppfatta divisionen som frågan hur
många gånger 0,2 innehålls (ryms) i 3. (Detta är divisionens variant av
utfyllnadssubtraktion.) En konkret frågeställning kan i det här fallet vara hur många
gräddförpackningar om 0,2 liter man kan fylla om man har 3 liter grädde. Eftersom det går
fem förpackningar per liter blir svaret 3  5.
Detta är några praktiska exempel på vad som kommer att tas upp under föreläsningen.
145
Kan man se lärarutbildningens verklighet i skolan och skolans
verklighet i lärarutbildningen?
Vi vill ge en presentation av hur samspel mellan matematik och andra ämnen som t ex
svenska, estetiska ämnen och NO kan ske. Vi kommer att fokusera på arbete i skolår 6 och i
inriktningar i lärarutbildningen, där matematik har en viktig roll. Vi bygger broar där vi ser
att förståelsen för matematik förstärks av andra ämnen. Matematiken bidrar till struktur och
integrationen mellan ämnena skapar möjlighet till analytiskt tänkande. Vi vill synliggöra
vikten av att lärarhögskolans och skolans brofästen länkas samman.
Inger Backström och Monica Larsson arbetar båda med matematikdidaktik på
Lärarhögskolan i Stockholm. Inger arbetar också i grundskolan skolår 6.
Föreläsning
En inte ovanlig dialog mellan lärarstuderande och lärarutbildare efter verksamhetsförlagd
utbildning / praktik kan se ut som följer:
Vi kommer att ge en presentation av hur samverkan mellan matematik och övriga
skolämnen kan ske. Vi försöker besvara frågorna:
Hur kan ett integrerat och tematiskt arbete utvecklas i
en klass?
Hur kan en lärarutbildning inspirera och förbereda för
ett integrerat och tematiskt arbetssätt i skolan?
Teman i skolan inkluderar sällan ämnen som t.ex. matematik. Orsaker till detta kan hittas i
traditioner i undervisningen och i det faktum att matematikundervisningen ofta är
strukturerad utifrån det läromedel som klassen använder.
Naturligtvis kan inte alla ämnen inkluderas i ett tema, men vi vill visa att ett tema kan
innehålla matematik bland andra ämnen, men även att matematik kan vara utgångspunkt för
ett tema.
-
Är det möjligt att matematiken skulle kunna vara en del i temat?
Kan matematiken vara ett redskap i lärandeprocessen under temat?
I den vardagliga undervisningen i en klass möter man ofta temaarbete i SO. Där skulle
matematiken oftare kunna vara ett redskap för förståelse av olika fenomen och fakta.
Under ett temaarbete uppstår ofta nya frågor som i sin tur leder till nya frågor. Risken finns
att arbetet flyter ut och blir otydligt. Lärarens viktiga roll blir då att lyfta fram och
synliggöra enskilda ämnen i temat bl.a. matematiken.
Läraren har glädje av att kunna nyttja den kraft, som matematiken kan bidra med i
lärandeprocessen. De blivande lärarna behöver utveckla förmågan att leda ett
ämnesintegrerat arbete.
Om vi tar tema vatten som exempel kan vi titta på detta ur olika perspektiv.
- Vatten som en upplevelse där bild, slöjd, svenska och drama spelar en stor roll.
- Vatten som inspirerar våra sinnen tolkat i musik.
- Vatten ur en vetenskaplig synvinkel med teser och hypoteser.
I alla dessa sammanhang kan vi ta stöd och hjälp av matematiken som innehåller logik och
struktur. Matematiken ger oss insikter och förmåga att dela upp helheter till delar samt
sammanfoga delar till helheter.
Vi kommer att dela med oss av tankar om temaarbete och ge exempel från skolan och från
två olika inriktningar i lärarutbildningen i Stockholm.
Ämnenas tydliga identitet är en förutsättning för att kunna bygga broar mellan ämnen så att
dessa berikar varandra.
147
Dagstidningen i matematikundervisningen
De flesta av dagstidningens reportage och nyhetsnotiser innehåller vardagsmatematik.
Matematiken är ett verktyg för att förstå omvärlden.
Journalisten använder regelbundet matematikens språk i kommunikationen med läsarna,
vilket ger utmärkta möjligheter att använda tidningsmaterial i undervisningen. Speciellt
lämpligt är det att samarbeta med andra ämnen eftersom matematiken i vardagen, såsom
tidningar beskriver den, är integrerad med små och stora omvärldsfrågor.
I denna workshop får du pröva på ett par övningar som är framtagna av lärare i ett
samverkansprojekt mellan Nämnaren/ NCM och TiS.
Mats Hemberg är konsulent för Tidningen i Skolan i Göteborg
Ronnie Ryding är redaktör för tidskriften Nämnaren
Workshop
Grundskolan har till uppgift att ge eleverna sådana kunskaper och färdigheter i matematik som behövs för att
fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer, för att tolka och använda det ökande flödet av
information och för att följa och delta i beslutsprocesser i samhället.
(SKOLFS 1994:3)
Matematik i vardagen
Vi är dagligen kreativa med räkne- och problemlösningsstrategier för att tolka och värdera
information och för att aktivt vara delaktiga i beslutsprocesser, både i privata frågor och
offentliga ärenden. Ett kritiskt förhållningssätt förutsätter bl. a matematiska kunskaper.
När eleverna i skolan arbetar med aktuella händelser i tidningar kan de träna på:
•
•
•
•
•
•
•
att förstå matematiska ord och begrepp
att tolka och kritiskt granska sifferuppgifter
att formulera intressanta och relevanta problem
att finna lämpliga beräknings- och skattningsmetoder
att pröva olika problemlösningsmetoder
att fundera över rimligheten i beräknade resultat och bedöma given information.
att analysera det ”matematiska” svaret mot artikelns/textens innehåll.
Hur ska informationen värderas?
Vilket beslut bör tas? Finns det andra faktorer att ta hänsyn till?
Aktuella frågor bearbetas med matematiken som arbetsredskap. Beräkningarna kontrolleras
genom att resultatet prövas mot vardagen.
Genom att låta eleverna fundera över följande frågor knyts skolmatematiken till
verkligheten
•
•
•
•
•
Vilken matematik ser du i tidningsbilden/artikeln?
Vilken matematik använder personerna på bilden/i artikeln?
Vilken matematik har journalisten använt för att kunna färdigställa artikeln?
Vilka matematiska kunskaper behöver medborgaren?
Vilken matematik finns i samhället?
Nyhetsbevakning
Massmedier utgör den huvudsakliga källa ur vilken vi hämtar den information som
påverkar våra attityder och handlingar. Medborgarkunskap är förmågan att välja, värdera
och förstå samt att kritiskt kunna hantera den störtflod av nyheter, rapporter, propaganda,
värderingar och åsikter som sköljer över oss. De händelser som hamnar på nyhetsplats i
tidningen är oftast de som fokuserar det oväntade och det avvikande.
Omvärlden problematiseras.
Många frågor pockar på svar: Hur gick det till? När hände det? Varför har det skett? Vilka
konsekvenser får det?
Nyhetsbevakning i skolan innebär att kontinuerligt läsa tidningen och välja ut nyheter för
bearbetning i klassen. För maximal motivation och förståelse bör eleverna stå för urvalet.
Vid redovisningen bör frågor om bakgrund, samband, orsaker och konsekvenser behandlas
varigenom nyheten placeras i ett större sammanhang.
•
•
•
•
Vad har hänt?
Varför har det hänt?
Vilka blir följderna?
Hur kan vi förhålla oss?
Eleverna beskriver ett förlopp.
Eleverna identifierar relevanta faktorer.
Eleverna skattar och beräknar konsekvenser.
Eleverna inventerar lösningsstrategier.
Att formulera och lösa problem
Eleven skall
ha förvärvat sådana kunskaper och färdigheter i matematik som behövs för att kunna hantera situationer och
lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund i fortsatt utbildning
Uppnåendemål efter nionde skolåret, Lpo94
Tidningsmaterial gynnar ett arbetssätt där eleverna i, för dem, meningsfulla sammanhang
får diskutera, analysera samt formulera och lösa problem.
Fakta och händelser som presenteras i tidningarna ger upphov till frågor. En viktig uppgift
för läraren är att inspirera eleverna att formulera problem utifrån frågor som en artikel väckt
och uppmuntra dem att lösa dessa problem. När lösningarna presenteras blir diskussionerna
ofta kreativa.
Analys och värdering av tidningstexter
Journalisten använder sig av matematik i sitt arbete. En statistisk presentation kan t ex
avslöja ett missförhållande som är värt en nyhetsartikel. Orimliga ekvationer väcker
reporterns grävande instinkter. Som läsare måste jag vara med på noterna. Det är inte alltid
som sifferunderlaget låter sig verbaliseras helt och hållet. Tänk om journalisten räknat fel
eller blandat ihop begreppen? Räcker mina kunskaper till för att avslöja det?
I skolan kan vi låta eleverna fundera över fakta som uppenbaras i spalterna. T ex:
•
•
•
•
•
•
•
Vem/vilka/vad ligger bakom?
Vad får det för följder?
Vem/vilka drabbas?
Vem/vilka drar fördel av händelsen?
Blir konsekvenserna långsiktiga eller kortsiktiga?
Kan man dra några paralleller till andra områden?
Kan man göra en prognos på händelseutvecklingen?
Att diskutera problemformulering och lösningsalternativ
• Eleven får välja en artikel från tidningen och formulera och själva lösa problem.
• Artikeln och problemet kopieras eller klistras upp på ett papper.
• Eleverna får lösa varandras problem.
• Eleven som formulerat problemet går igenom lösningsförslagen tillsammans med de
kamrater som löst uppgiften.
Poängen ligger i det samtal som uppstår mellan eleverna, där man diskuterar olikheter i
synen på problemet och förslagen på lösningar.
148
Lös Känguruproblem – Écolier och Benjamin
Problem hämtade från Kängurutävlingen, klass Ecolier och Benjamin, som vänder sig till
elever i årskurs 3-4 respektive 5-7, löses och diskuteras. Hur kan de varieras och utvecklas
för att passa olika elever i olika sammanhang? Vilka kopplingar kan vi göra med andra
ämnen och med andra områden inom matematik?
Karin Wallby är mellanstadielärare och arbetar på NCM, bl a som redaktör för Nämnaren,
Ronnie Ryding är högstadielärare och arbetar på NCM, bl a som redaktör för Nämnaren
Workshop
Kängurutävlingen är en stor internationell matematiktävling med officiell tävlingsdag tredje
torsdagen i mars. Tävlingen är indelad i fem tävlingsklasser, Ecolier för åk 3 och 4,
Benjamin för åk 5, 6 och 7, Cadet för åk 8 och 9, Junior för gy åk 1 och 2 samt Student för
gy åk 3. Tävlingen består av 20 –30 uppgifter med fem svarsalternativ, uppdelade på tre
poängnivåer.
Problemen är valda så att de ska behandla värdefull matematik och de är roliga men kanske
lite annorlunda än de som eleverna är vana vid. De är definitivt inte förbrukade efter
tävlingens genomförande utan de bör också användas i undervisningen. Alla problem finns
efter tävlingstiden tillgängliga på Kängurusidan på Nämnarens webbplats och där finns
också tidigare års problem samlade.
Med utgångspunkt i problemen kan olika lösningar diskuteras och utvidgningar göras. De
passar bra för undersökningar och diskussioner i grupp. Många av problemen från Ecolier
och Benjamin kan användas med elever i andra åldrar och också med många elever på
gymnasiet.
I denna workshop kommer vi att visa exempel på problem. Vi ska också arbeta med några
problem för att illustrera hur de kan användas i undervisningen.
Ex1:
0 + 1 + 2 + 3 + 4 – 3 – 2 – 1 – 0 = ___
A: 0
B: 2
C: 4
D: 10
E: 16
Ex 2:
På en kartong har Ola ritat utsidan på ett hus. Sen har han klippt ut det
så som du ser på bilden här intill. Därefter ska han vika det till ett hus.
Vilket av husen A – E får han då?
Ex 3:
Kvadraten KLMN är sammansatt av en vit inre kvadrat och fyra likadana färgade
rektanglar.
Var och en av de färgade rektanglarna har omkretsen 40 cm. Hur stor area har
kvadraten KLMN?
A: 440 cm2
B: 400 cm2
C : 160 cm2
D: 80 cm2
E: Går inte att avgöra
Ex 4:
I leksaksaffären finns mjuka djur att köpa.
En hund och tre björnar kostar tillsammans lika mycket som fyra kängurur.
Tre hundar och två björnar kostar också lika mycket som fyra kängurur.
Vad vet vi om priset på hunden och björnen?
A: En björn kostar lika mycket som två hundar.
B: En björn kostar lika mycket som tre hundar.
C: En hund kostar lika mycket som en björn.
D: En hund kostar lika mycket som två björnar
E: Det går inte att avgöra.
Gennow, S. (2000). Problemavdelningen. Nämnaren 27(4), 62-63
Kängurusidan i Nämnaren årgång 28, 29 och 30
Kängurusidan på http://namnaren.ncm.gu.se
150
Lös Känguruproblem – Cadet samt Junior och Student
Problem hämtade från Kängurutävlingen, klass Cadet samt Junior och Student löses och
diskuteras. Cadet vänder sig till elever i årskurs 8-9. Junior vänder sig till elever på kurs A
och B. Student vänder sig till elever som läst högre matematik än kurs B. Junior och
Student har vi ännu inte genomfört i Sverige. Hur kan de varieras och utvecklas för att
passa olika elever i olika sammanhang? Vilka kopplingar kan vi göra med andra ämnen och
med andra områden inom matematik?
Susanne Gennow ansvarar för och undervisar på Matematikgymnasiet vid Danderyds
Gymnasium, Danderyd, samt är engagerad i Högstadiet Matematiktävling, HMT, och
Kängurutävlingen.
Ola Helenius arbetar vid NCM, Göteborgs universitet
Workshop
Lös Känguruproblem - tävlingsklasserna Cadet, Junior och Student
Kängurutävlingen är en stor internationell matematiktävling med officiell tävlingsdag tredje
torsdagen i mars. Tävlingen är indelad i fem tävlingsklasser, Ecolier (åk 3 och 4), Benjamin
(åk 5, 6 och 7), Cadet (åk 8 och 9), Junior (Gy åk 1 och 2) och Student (Gy åk 3). I varje
tävlingsklass finns 20-30 uppgifter med fem svarsalternativ, uppdelade på tre poängnivåer.
Tävlingstiden är 75 minuter och räknare är inte tillåten.
I Sverige har vi under tre år erbjudit tävlingsklassen Cadet till åk 8 och 9 på grundskolan.
De två gymnasietävlingarna har genomförts med eleverna på Matematikgymnasiet vid
Danderyds Gymnasium, Danderyd. Problemen är roliga och annorlunda. De är definitivt
inte förbrukade efter tävlingens genomförande utan nu bör istället det verkliga arbetet
börja. Att utifrån problemen diskutera lösningar och även utvidgningar, gärna i grupp.
Många av problemen från Cadet, Junior och Student är användbara inom gymnasiets kurser
MaA-E.
Cadet 2003 uppgift 17
Min lastbil väger 2000 kg utan last. När jag startade i morse var lasten 80% av bilens
totala vikt. Jag tippade sedan av en fjärdedel av lasten. Hur stor del av bilens totala vikt
utgjorde den last som var kvar?
A) 20 %
B) 25 %
C) 55 %
D) 60 %
E) 75 %
Den här uppgiften var den som eleverna i åk 8 och 9 klarade sämst.
Junior 2003 uppgift 2
A circular flowerbed in our garden has a diameter of 1,2 m. At a nearby
park there is a circular flowerbed whose area is four times larger than
the one in our garden. What is its diameter?
A) 2,4 m
B) 3,6 m
C) 4,8 m
D) 6,4 m
E) 9,6 m
Utifrån det här problemet kan man med eleverna diskutera area- och längdskala.
Student 2003 uppgift 16
A computer is printing a list of the seventh powers of all natural numbers, i. e. the sequence
17, 27, 37, ... etc. How many terms of this sequence are there between the numbers 521
and 249?
A) 13
B) 8
C) 5
D) 3
E) 2
Här får eleverna möjlighet att tillämpa potenslagarna genom att skriva om 521 = 537 = 1257
och 249 = 277 = 1287.
Student 2003 uppgift 26
A sequence (an)n0 is defined in the following way :
a0=4
a1=6
an+1=(an)/(an-1) , n1.
Then a2003 is equal to:
A) 3/2
B) 2/3
C) 4
D) 1/4
E) 1/6
I samband med geometriska talföljder i MaC kan man även visa på andra typer av
talföljder.
Skriver man upp de första elementens utseende får man följande mönster:
4, 6, 3/2, 14, 1/6, 2/3, 4, 6,…
Följden upprepas efter sex steg. Elementet a2003 är talföljdens 2004:e element. 2004/6 är
334, följden har upprepats 334 gånger och a2003 = 2/3.
Gennow, S. (2000). Problemavdelningen. Nämnaren 27(4), 62-63
Kängurusidan i Nämnaren årgång 28, 29 och 30
Kängurusidan på http://namnaren.ncm.gu.se
152
Uppgiftskonstruktion i matematik
Att tillverka nya uppgifter till t ex matematikprov kan vara en svår uppgift. I denna
workshop presenteras idéer och uppslag till konstruktion av olika typer av
matematikuppgifter. Korta föredrag blandas med praktiska övningar.
Timo Hellström och Gunnar Wästle är forskningsassistenter vid Enheten för pedagogiska
mätningar, Umeå Universitet och provansvariga för nationella kursprov i matematik.
Workshop
UPPGIFTSKONSTRUKTION I MATEMATIK
Ett av syftena med de Nationella proven är att stödja lärarnas betygsättning. I ett mål och
kunskapsrelaterat betygssystem så är det väldigt viktigt att proven speglar en kunskapssyn
som kan uttolkas ur styrdokumenten läroplan och kursplan och att de ingående uppgifterna
är tillräckligt varierade för att så stor del som möjligt av betygskriterierna kan appliceras på
proven.
Med utgångspunkt från läroplan, kursplan och programmål är vår bedömning att ett
kunnande i ämnet matematik involverar flera aspekter av kunskap. I de kursoberoende
avsnitten ”Ämnets syfte”, ”Mål att sträva mot” och ”Ämnets karaktär och struktur” kan
man finna argument för att de nationella proven bör innehålla uppgifter som vi rubricerat
Resonemang, Kommunikation, Modellering, Begreppsförståelse och Verklighetsnära
uppgifter.
Nedan följer exempel på uppgifter som vi anser passar in i de ovanstående kategorierna.
Ytterligare kategorier som används för att klassificera uppgifter är Algoritm, Perspektiv och
Öppna uppgifter.
RESONEMANGSUPPGIFTER
Uppgifter som ger eleven möjlighet att visa sin förmåga att argumentera på allmänlogiska
och matematiska grunder.
Olika typer:
Ställa upp och undersöka hypoteser, analysera och dra slutsatser, utvärdera, generalisera,
koppla ihop, förklara, styrka/bevisa.
UPPGIFTSEXEMPEL
Du fyller en termos med kaffe som har temperaturen 85 °C. För denna termos gäller att
temperaturen sjunker med 12% under varje tvåtimmarsperiod. Det gäller under 8 timmar
från det att termosen har fyllts med varm vätska. Pelle påstår att man kan beräkna
förändringen
per timme genom att dela 12% med 2.
Har han rätt eller fel? Kom ihåg att motivera ditt svar.
Kommentar: I denna uppgift ska eleven utvärdera ett påstående.
KOMMUNIKATIONSUPPGIFTER
Uppgifter som ger eleven möjlighet att muntligt eller skriftligt kommunicera matematiska
idéer och tankegångar.
Olika typer:
Beskriva eller förklara begrepp, lagar och metoder.
Uppgifter som ställer särskilda krav på redovisningen och matematiskt språk
UPPGIFTSEXEMPEL
En kompis till dig, som läser samma mattekurs som du, kommer fram
till dig och säger ”jag fattar inte ett dugg av det här med derivata”.
Hjälp din kompis genom att förklara vad derivata är. Förklara så
utförligt du kan och på så många sätt du kan.
Du ska inte härleda eller beskriva deriveringsreglerna.
Kommentar: I denna uppgift ska eleverna förklara ett begrepp och får därigenom möjlighet
att visa kunskaper i att kommunicera matematik. Uppgifter av den här typen, där eleverna
ska förklara ett begrepp, faller naturligt även under rubriken begreppsförståelse.
MODELLERINGSUPPGIFTER
Matematisk modell
2.Använda
Matematiska resultat
Inommatematisk värld
1a.Skapa
1b.Utvärdera
3.Tolka
Utommatematisk värld
Verklig modell
4.Utvärdera
Tolkade resultat
Förstå
Välja ut
Matematikuppgift
Uppgifter som ger eleven möjlighet att visa sin förmåga att utifrån utommatematiska
situationer på ett icke rutinmässigt sätt skapa och använda en matematisk modell, tolka de
resultat som den matematiska modellen ger när den används samt utvärdera den
matematiska modellen genom att klargöra dess begränsningar och förutsättningar.
Olika typer:
Pröva hela modelleringsprocessen
Pröva (vissa) delar av modelleringsprocessen
UPPGIFTSEXEMPEL
En plastlåda utan lock ska ha formen av ett rätblock. Bottenplattan
ska vara kvadratisk och tillverkas av tjock plast som kostar 2,00 kr/m2.
De fyra sidorna ska göras av tunnare plast med priset 0,90 kr/m2.
Lådans volym ska vara 0,020 m3.
Bestäm de mått på lådan som ger minsta möjliga materialkostnad.
Kommentar: I stort sett hela modelleringsprocessen testas. Det skulle ha varit möjligt att
be eleven att klargöra någon förutsättning hos den modell som eleven använder sig av.
Uppgiften skulle kanske ha varit mycket mer intressant om det framgick av texten varför
volymen just skulle vara 0,020 m3, genom att förklara vad lådan skulle användas till.
BEGREPPSFÖRSTÅELSEUPPGIFTER
Uppgifter som ger eleven möjlighet att visa sin förståelse av ett visst begrepp. Då krävs det
att eleven har förtrogenhet med innebörden av begreppets definition.
Olika typer:
Förklara eller tolka ett begrepp eller ett samband
Dra slutsatser utifrån given information
Bakvända uppgifter och ovanliga uppgifter
UPPGIFTSEXEMPEL
Förklara, med ett exempel, begreppet bortfall i en statistisk undersökning.
Om funktionen f vet man följande:
 f (7)  3 och
 för 7  x  9 gäller att 0,8  f x  1,2.
Bestäm största möjliga värde för f (9).
Ange ett tal som ligger någonstans mellan 5  103 och 5  102.
VERKLIGHETSNÄRA UPPGIFTER
Dessa uppgifter handlar om situationer ur verkligheten. Den beskrivna situationen,
inklusive frågeställningen, har antingen hänt eller skulle mycket väl kunna hända. De
förutsättningar, variabler och värden som eleven får ta del av är i så stor utsträckning som
möjligt desamma som eleven skulle ha haft tillgång till i den verkliga situationen.
UPPGIFTSEXEMPEL
En familj köpte 1996 ett litet fritidshus intill en norrländsk älv. Tomten
som huset står på var de dock tvungna att hyra. I hyreskontraktet står att
årshyran sattes till 1420 kr år 1991 för att sedan följa konsumentprisindex
för januari.
Hur stor är årshyran 1996?
År
KPI(januari)
1991
218,9
1992
230,2
1993
241,0
1994
245,1
(Informationen i tabellen är hämtad från Statistiska Centralbyrån.
KPI = konsumentprisindex)
1995
251,3
1996
255,6
Kommentar: Både situationen med stuga, hyreskontrakt och värden är helt autentiska
liksom frågeställningens praktiska relevans. Möjligen uttrycktes frågan i den verkliga
situationen som ”är den anmodade hyran i enlighet med kontraktet?” I den verkliga
situationen behövdes också KPI-tabellen inhämtas på egen hand.
153
Studenter upptäcker vacker matematik med hjälp av modern teknik
Exempel på nya matematikkunskaper som utvecklas i mötet mellan studentens/elevens
matematikkunnande och användning av modern teknik. Erfarenheter från lärarutbildning
vid Göteborgs universitet.
Mikael Holmquist och Thomas Lingefjärd är universitetslektorer i matematikdidaktik vid
Göteborgs universitet.
Föreläsning
Introduktion
De flesta elever och studenter i grundskola, gymnasium och grundutbildning på högskola
och universitet upplever matematik som ett ämne där målet är att lära sig en specifik metod,
att följa en given väg eller att memorera fakta och procedurer. Mycket liten tid ägnas åt att
gissa, söka mönster eller att ställa upp och testa hypoteser.
There is something odd about the way we teach mathematics. We teach it as if assuming
our students will themselves never has occasions to make new mathematics. We do not
teach language that way… the nature of mathematics instruction is such that when a
teacher assigns a theorem to prove, the student ordinarily assumes that the theorem is
true and that a proof can be found. This constitutes a kind of satire on the nature of
mathematical thinking and the way new mathematics is made. The central activity in the
making of new mathematics lies in making and testing conjectures. (Garry, 1997, p. 55)
Introduktionen av dynamiska geometriprogram, som exempelvis The Geometer´s
Sketchpad och Cabri-géomètre, har gjort det möjligt att drastiskt förändra undervisning och
lärande i geometri. Studenter som använder dessa verktyg utvecklar inte endast geometrisk
intuition genom att konstruera elementära figurer, de kan också testa och avslöja deras
utmärkande egenskaper. Den inbyggda dynamiken ger studenterna möjlighet att undersöka,
upptäcka, testa och ställa hypoteser kring nya egenskaper och samband samt inse behovet
av formella bevis. Med andra ord kan dessa moderna verktyg för visualisering utgöra ett
kraftfullt stöd för studenters upptäckter av ny matematik. För att ytterligare främja ett
sådant arbete finns möjlighet att komplettera med effektiva verktyg för exempelvis
kurvanpassning, både som programvara för datorer och ingående i grafritande räknare.
Möjligheten att visualisera matematiska begrepp och experimentera med numeriska verktyg
tillåter oss att gå bortom traditionellt deduktiva resonemangsmetoder och istället använda
modellering för att lösa geometriska problem.
Vår framställning baseras på dokumenterade erfarenheter av arbetet med en kurs vid
Göteborgs universitet (Lingefjärd & Holmquist, 2003). I kursen är det matematiska
innehållet upplagt för att ge studenterna insikt i hur de kan lösa mer omfattande och öppna
problem med matematisk modellering där de utnyttjar teknik och sin egen förförståelse i
matematik. Den programvara som används är i huvudsak The Geometer´s Sketchpad
(Jackiw, 1995), Derive (Texas Instruments, 2000), Excel (Microsoft, 2000) och
CurveExpert (Hyams, 1996). Därtill utnyttjas grafritande räknare för hantering av data och
kurvanpassning. I den kurs som genomfördes hösten 2001 arbetade studenterna med ett
geometriskt problem känt under namnet Walter´s Theorem.
Walter´s Theorem
Under rubriken Reader Reflections (Cuoco, Goldenberg, and Mark, 1993), i tidskriften
Mathematics Teacher, presenterades Walter´s Theorem första gången i november 1993.
Teoremet presenteras i figur 1.
Area (Triangle ABC)= 13,87 square cm
Area(Hexagon) = 1,39 square cm
(Area (Triangle ABC))/Area(Hexagon) = 10,00
A
If the trisection points of the sides of any triangle are connected to the opposite vertices,
the resulting hexagon has area one-tenth the
area of the original triangle.
B
C
Figur 1: Walter’s theorem
Marion Walter´s Theorem återkom i tidskriften Mathematics Teacher i maj 1996, den här
gången i en artikel om Morgan´s Theorem (Watanabe, Hanson, and Nowosielski, 1996). I
artikeln berättades en historia om en ung Ryan Morgan, en niondeklassare med god känsla
för matematik och en önskan om att undersöka ett problem till dess yttre gränser. När hans
lärare (Frank Nowosielski) under hösten 1993 presenterade Walter´s Theorem för sin klass
och bad dem undersöka om det skulle hålla för olika typer av trianglar, nöjde sig Ryan
Morgan inte med att endast verifiera Walter´s Theorem. Ryan var intresserad av att ta reda
på vad som skulle hända om sidorna på triangeln delades i mer än tre kongruenta sträckor. I
enlighet med artikeln kallade Ryan och hans lärare processen, att dela en sida i triangeln i n
kongruenta sträckor, för n-delning [n-secting]. Med hjälp av The Geometer´s Sketchpad
experimenterade Ryan med olika n-delningar (Watanabe et al., s 420). I artikeln förklaras
närmare hur Ryan arbetade och hur han så småningom, med hjälp av en grafritande räknare,
kunde formulera sitt resultat. Med viss självklarhet inbjöds Ryan att presentera sin hypotes
vid ett speciellt matematiksymposium vid Towson State University, 1994.
Studenternas arbete
Vi blev så fascinerade av denne niondeklassare och hans lust för att utforska och söka efter
mönster så vi bestämde oss för att ge samma problem till studenterna i vår
modelleringskurs. I december 2001 fick 37 blivande matematiklärare följande problem,
som ett av tre problem i en hemtentamen.
Uppgift Trianglar
a) Givet en godtycklig triangel ABC. Tredela (lika stora delar) respektive sida i triangeln.
Välj för varje sida den första tredelningspunkten (medurs relativt hörnen A, B och C)
och sammanbind varje sådan punkt med motstående hörn. Undersök samband mellan
den centrala triangelns area, som är ett resultat av denna konstruktion, och arean hos
triangeln ABC.
b) Givet en godtycklig triangel ABC. Tredela (lika stora delar) respektive sida i triangeln.
Sammanbind tredelningspunkterna för respektive sida med motstående hörn. Beskriv
det centrala område som är ett resultat av denna konstruktion. Undersök samband
mellan det centrala områdets area och arean hos triangeln ABC.
c) Givet en godtycklig triangel ABC. Femdela (lika stora delar) respektive sida i
triangeln. Sammanbind de två centrala femdelningspunkterna med motstående hörn.
Beskriv det centrala område som är ett resultat av denna konstruktion. Undersök
samband mellan det centrala områdets area och arean hos triangeln ABC.
d) Genomför konstruktionen i c), men indela respektive sida i triangeln i n-delar där n är
ett udda tal större än fem. Undersök samband mellan det centrala områdets area och
arean hos triangeln ABC i relation till val av värde på n.
e) Upprepa utförandet av uppgift c) och d) men sammanbind istället de två yttersta
delningspunkterna för respektive sida med motstående hörn.
Våra studenter uppmanades att använda sin matematiska kunskap tillsammans med
tillgängligt datorstöd (programvara som The Geometer´s Sketchpad och CurveExpert) och
grafritande räknare för att undersöka och utreda detta problem. De förväntades använda
både visuella och algebraiska metoder, pröva idéer, söka matematiska samband, leta efter
mönster, ställa upp hypoteser för prövning och finna goda argument för framförda
slutsatser. Några av studenterna arbetade fram en lösning som i stora delar ansluter till den
lösning som presenterades av Ryan Morgan. Det är värt att notera att just dessa studenter
blev mycket fängslade av problemställningen och de samband som de upptäckte. En
student formulerade det så här:
Mina resultat ger att relationen mellan de två areorna, när man delar varje sida i
triangeln i n delar, är (9n2 – 1)/8, en riktigt intressant upptäckt som jag tyvärr inte
lyckats argumentera för med hjälp av ett strikt matematiskt bevis.
Denna önskan att på något sätt finna ett bevis kan sägas vara karaktäristisk för de studenter
som gjorde en mer omfattande utredning av problemet. Vid analyser av studenternas
lösningar visade sig också följande komponenter vara framträdande: formulering och
visualisering av problemet på olika sätt, upptäckt av relationer och regelbundenheter,
representation av relationer i en formel, kartläggning av regelbundenheter, förfining och
justering av modeller och generaliseringar.
När det gäller värdering av inlämnade studentlösningar, särskilt i samband med mer öppna
problem, är det viktigt att lärarens uppmärksamhet inte endast riktas mot det resultat som
studenten presenterar. Rapporteringens kvalitet bör också uppmärksammas, det vill säga
hur väl studenten kommunicerar det matematiska innehållet. I samband med
triangelproblemet var det alltså inte tillräckligt att endast presentera relationen (9n2 – 1)/8.
Ett minst lika viktigt kriterium var hur väl en student beskrev sin lösningsprocess. Våra
studenter uppmuntrades också att genomföra värdering av varandras lösningar [peer
assessment] och på så sätt ta fram egna kriterier för bedömning. Några frågor som
hanterades i samband med studenternas arbete med Walter´s Theorem var:
 Försöker studenterna leta efter ett mönster?
 Vilka är studenternas idéer kring n-delning av en av triangelns sidor?
 Vilken kvalitet är det i studenternas matematiska språk?
Trots en relativt stor variation i studenternas prestationer såg vi goda möjligheter för
studenterna att upptäcka och ta del av ny matematik samtidigt som redan förvärvade
kunskaper fördjupas. Vi konstaterar också att en utredning av ett avancerat matematiskt
problem, som exempelvis triangelproblemet, inte hade varit möjlig utan stöd av modern
teknik. På grund av enkelheten och snabbheten i arbetet med det dynamiska
geometriprogrammet, kunde studenterna koncentrera sig på att söka mönster och ställa upp
hypoteser istället för att förlora sig i en omständlig produktion av exempel med hjälp av
passare och linjal.
Referenser
Cuoco, A., Goldenberg, P., & Mark, J. (1993). Reader reflections: Marion’s theorem.
Mathematics Teacher 86(8), 619.
Garry, T. (1997). Geometer’s Sketchpad in the classroom. In J. King & D. Schattschneider
(Eds.), Geometry Turned On: Dynamical software in learning, teaching and research
(pp. 55-62). Washington DC: Mathematical Association of America.
Hyams, D. (1996). CurveExpert: A curve fitting system for Windows. Clemson, SC: Clemson University.
Key Curriculum Press Inc. (1995). The Geometer’s Sketchpad. Berkeley, CA: Key Curriculum Press Inc.
Lingefjärd, T., & Holmquist, M. (2003). Learning mathematics using dynamic geometry
tools. In S. J. Lamon, W. A. Parker & K. Houston (Eds.), Mathematical modelling: A
way of life. ICTMA 11. England, Chichester: Horwood.
Microsoft. (2000). Microsoft Excel. Stockholm: Microsoft Corporation.
Texas Instrument & IMAG-CNRS-UJF. (1998). Cabri-géomètre II. Texas Instrument &
IMAG-CNRS-UJF.
Texas Instruments. (2000). Derive 5. Stockholm: Texas Instruments InCorporation.
Watanabe, T., Hanson, R., & Nowosielski, F. (1996). Morgan’s theorem. Mathematics
Teacher 89(5), 420-423.
155
Skolmatematikens relevansproblem
Föreläsningen handlar om matematikens roll som skolämne och förhållandet till
möjligheter att med hjälp av ämnesinnehåll (från rent matematisk synpunkt) kunna
förverkliga olika syften som ställs i skolans styrdokument. Jag berör både historiska,
kulturella och vetenskapliga aspekter av matematikämnet i skolan.
Juliusz Brzezinski är professor i matematik vid Matematiska vetenskaper som är en
gemensam institution vid Chalmers och Göteborgs universitet. Han är starkt engagerad i
utbildning av blivande lärare. Han är också styrelsemedlem i NCM.
Föreläsning
Innehållet i matematikläroböcker för skolan förändras relativt ofta. Kontentan av
skolläroböcker styrs huvudsakligen av utformningen av skolprogram i ämnet, men
författarnas ''tolkningsrätt'' spelar en inte oväsentlig roll. Lärarnas attityder till innehållet
formas av både dess presentation i skoltexter, sina egna erfarenheter (t ex under
utbildningstiden) och av olika ''tolkningstraditioner''. Allt detta har en mycket stor betydelse
för attityder till matematikämnet både i skolan och i samhället. Högskolan, näringslivet och
all offentlig sektor är starkt beroende av förhållandet till kunskap och i synnerhet till
matematikämnet. Detta innebär att valet av relevanta matematikkunskaper i skolan har stor
betydelse. Det är därför mycket viktigt att kunna besvara frågan om vilket matematiskt
innehåll kan betraktas som relevant i skolan. Problemet är onekligen inte enkelt. Syftet med
föreläsningen är att väcka en del frågor relaterade till möjliga faktorer som bör styra valet
av relevanta kunskaper i matematik och peka på nödvändigheten av djupare studier av
denna problematik.
Matematik kan ses som enbart en av många vetenskapsgrenar. Den
har dock en särställning inom vetenskapen som till en del kan
förklaras med dess ålder, och till en del, med en speciell
relation till andra vetenskapsgrenar. Den har också en
särställning därför att det finns ett kärnämne i skolan som
kallas matematik. Det är troligt att det existerar en allmän
övertygelse om vikten av matematik för alla människor som avgör
om dess speciella privilegier. Det intressanta i dessa
sammanhang är hur fungerar den mekanism som förbinder en
vetenskapsgren med skolans värld. Hur förklaras de behov som gör
att matematikämnet intar sin plats i skolan? Hur definieras
skolmatematiken utifrån samhällets behov och förväntningar? Hur
vet man att valet av skolmatematikens innehåll garanterar att de
behov som föranleder ämnets existens i skolan verkligen
uppfylls.
Föreläsningen börjar med en kort historisk tillbakablick på matematikens roll som
skolämne och en något förenklad analys av syften med ämnets närvaro i skolsammanhang.
Vi försöker utnyttja denna analys för att besvara några frågor:
Vad är skolmatematiken?
Finns det ''universella motiv'' för att matematik skall vara ett skolämne?
Finns det ''standard-curriculum'' när det gäller skolmatematiken (åtminstone i relation till
tidsepok)?
Möjliga svar på dessa frågeställningar exemplifieras med förhållandet till ''praktiska'' och
''teoretiska'' inslag i skolmatematiken som t ex räkneläran, den Euklidiska geometrin,
mängdläran (''den nya matematiken'') och några nyare trender som kan relateras till t ex
''diskret matematik'' eller ''back to basics''- rörelsen.
I andra delen av föreläsningen tittar vi närmare på de styrdokument som idag definierar
skolmatematikens syften. Här försöker vi diskutera och exemplifiera följande
frågeställningar:
Är valet av stoffet i skolläroböcker i matematik entydigt definierat av styrdokumentens
lydelse?
Är innehållet i skolläroböcker i matematik relevant till styrdokumentens intentioner?
Finns det ''bättre'' och ''sämre'' val när det gäller skolmatematikens innehåll om man utgår
från olika kontrahenters behov: ''samhället'' i stort, näringslivet, offentlig sektor, högskolan?
Är våra elever fullt medvetna om matematikämnets syften och roll i skolan?
Föreläsningen avslutas med några allmänna slutsatser som pekar på behoven av djupare
studier av relevansproblem i skolmatematiken speciellt med tanke på potentiella
möjligheter till att med hjälp av lämpligt val eller anpassning av stoffet kunna lösa en del av
de problem som associeras med matematikämnet i skolan.
156
Medelsta-matematik 1977, 1986, 2002.
Elever som inte kan matematik
Medelsta är pesudonym för en genomsnittskommun. Hela grundskolans elever löste samma
uppgifter i en serie provräkningar 1977, 1986 och 2002. Följ de svagaste elevernas
matematikprestationer genom dessa 25 år. Hur räknade de svaga i de olika årskurserna?
Hur ändrades prestationerna 1977–2002? Vad betydde läroplanen? Finns könsskillnader?
Svaren är ofta chockerande.
Olof Magne arbetar med forskning i matematikdidaktik vid Malmö högskola, Pedagogik
Föreläsning
Bakgrund
Matematikprestationerna hos grundskoleeleverna i Medelsta har studerats vid tre olika
tillfällen – 1977, 1986 och 2002. Matematikdiagnoserna – kallade Medelstadiagnoserna utarbetades av Olof Magne tillsammans med en grupp lärare i Medelsta.
Undersökningarna omfattade alla elever i åk 1–9. Vi kan således jämföra dagens
kunskaper med kunskaperna vid två tidigare tillfällen.
Följande syften kan nämnas:


Att finna hur elevernas matematikprestationer utvecklas från årskurs till årskurs.
Att kunna jämföra ökningstakten av elevernas prestationer i förhållande till de uppnåendemål som beskrivs i kursplanen för matematik.

Att belysa hur matematikprestationerna idag förhåller sig till motsvarande prestationer 1977 och 1986.

Att få information om vad eleverna presterar inom skilda matematiska undervisningsområden.
Medelstadiagnoserna avser täcka kunskaperna i de elementära delarna av lärokursen.
Av praktiska skäl inriktades diagnoserna mera på elever med prestationer omkring och
under medianen än på de högst presterande eleverna. Varje uppgift har värderats utifrån
tre kriterier:
a.
Årskurstypiska kriterier, dvs i vilken årskurs inlärandet av uppgiften
påbörjas.
b.
Matematiskt huvudområde såsom P. problemlösning och det matematiska
språket; T. taluppfattning; G. geometri (rum och form); ASDM. Räknesätten; F. funktioner
m.m. och B. sannolikheter.
c.
Värderingskriterier. Vilket mått man har på kunskap.
Det primära värderingskriteriet var att uppgifterna borde ha en lösningsfrekvens på 90
procent för att prestationen i en uppgift skulle betraktas som socialt godtagbar.
Särskilda utbildningsbehov i matematik (SUM)
Att kunna eller inte kunna matematik.
”Social dynamit!” – Så har dessa elever beskrivits i en amerikansk regeringsrapport:
”Social dynamite – those who possess no skill, who are unemployable and unschooled”.
Hur många är det? I Sverige tycks antalet ha hållit sig omkring 15 procent under de
senaste 50 à 60 åren. I andra länder är det ibland fler, ibland färre. Varför blir de ”social
dynamit”?
Birgit klarar inte målen i läroplanen. Hon slutar årskurs 9 utan godkänt
matematikbetyg. Vi känner hennes utveckling under alla nio skolåren och har år för år
baserat vår bedömning på läroplanens uppnåendemål. Nej, hon har aldrig kunnat
matematik! Trots specialundervisning. Den var inte effektiv i hennes fall. Hon råkar in i en
ond cirkel av misslyckanden. Till sist ger hon upp. Resultatet är utslagning,
kunskapsmässigt, socialt, känslomässigt.
Resultatet bestäms i stor utsträckning av hur läroplanen och dess utbildningsmål är
utarbetade samt betygssättningen i grundskolan. Vi får definitionen: Att inte uppnå
läroplanens utbildningsmål eller, operativt, att inte få betyget godkänd i matematik är
Särskilt utbildningsbehov i matematik (SUM).
Kinkiga frågor om ”myter”. Vissa kritiker klandrar skolan för försämrade
matematikkunskaper och för att dagens ungdom får otillräcklig matematikkompetens. Är
detta sanning eller mytbildning? Eftersom samma diagnoser användes 1977, 1986 och
2002 kan vi jämföra inte bara eleverna vid ett bestämt tillfälle utan också mellan tillfällen.
Hur är det i Medelsta?
Irriterande fråga 1. Är matematikfärdigheterna lägre nu än före grundskolans
tillkomst? Genomsnittligt sett är det en ökning av prestationerna från årskurs till årskurs,
lika för alla tre undersökningarna. Medelsta-resultaten ger inte ett starkt stöd åt den
åsikten att kunskapsnivån har sjunkit i vårt land. Snarare kan man peka på det förhållandet
att nästan alla tonåringar i Sverige utbildar sig upp till 12 år i skolväsendet. Detta är
längre än någonsin i vår historia. EN GISSNING: DESSA SKOLÅR GÅR INTE SPÅRLÖST
FÖRLORADE. Vi ser att åtminstone i Medelsta grundskola lär sig eleverna vanligtvis
något extra för varje skolår. De genomsnittliga kunskaperna i matematik för hela
befolkningen har kanske ökat under tidsperioden 1940–2000 i samband med den utökade
utbildningen.
Irriterande fråga 2. Har grundskolans successiva kursplaner bidragit till gradvis ökade
matematikkunskaper? Det är små medelvärdesskillnader mellan 1977, 1986 och 2002.
Tolkning: Trots olikheter hos läroplaner är alltså prestationerna ungefär desamma, lika
bra – eller lika svaga – alla tre undersökningsåren. Det finns inget som antyder att det är
varken en förbättring eller en försämring av prestationsnivån under de 25 år som förflutit
sedan Medelsta-undersökningarna startade. Inte heller kan vi inte finna att läroplanerna
på något väsentligt sätt påverkat elevernas prestationer, trots de stora olikheterna i
läroplanernas målangivelser. Andra faktorer kan ha varit mera väsentliga.
Irriterande fråga 3. Visar de årskurstypiska uppgifterna att eleverna får lika
inlärningstillskott i varje årskurs? Lösningsfrekvenserna är höga i Medelstas lägsta
årskurser. Särskilt höga är lösningsfrekvenserna i åk 1 och 2 där de år 2002 ligger på 82
procent resp. 86 procent. Lösningsfrekvensen i de årskurstypiska uppgifterna sjunker
stadigt genom årskurserna till och med årskurs 7, med en trolig spurt i åk 8 och 9. I
årskurs 9 är lösningsfrekvensen 68 procent år 2002. Vi tolkar detta så: Eleverna i Medelsta
har i de lägsta årskurserna ETT STORT inlärningstillskott för årskurstypiska uppgifter,
men för varje följande årskurs blir dessa inlärningstillskott allt lägre, och är i årskurserna
7–9 obetydliga.
De 15 procent lägst presterande (SUM) i Medelsta?
I en omfattande studie av låga matematikprestationer i folkskolan framförde Magne (1958)
hypotesen om de 15 procent lägst presterande eleverna (SUM). Det här är en heterogen
grupp elever som inte har mer gemensamt än att de inte når godkändgränsen i matematik.
Bland eleverna finns en del som troligen skulle kunna förbättra sina matematikfärdigheter
till ”godkänd” genom reformerad matematikundervisning. Andra uppvisar snarare en
gradvis allt lägre prestationsnivå.
Irriterande fråga 4. Är det fler svaga elever i dag än för 50 år sedan? De 15 % lägst
presterande har ett genomsnitt som ligger långt under de övriga 85 procenten. Resultatet
är katastrofalt. I årskurs 9 ligger dessa elever så långt under de övriga att deras
medelvärde kan jämföras med genomsnittet i årskurs 4.
Men vi finner inte belägg för att de ”svaga” eleverna blivit vare sig fler eller svagare
i matematik nu än 1977. Under 25 år är det i stort sett lika prestationer också för de
svagaste av niondeklassarna. Tolkningen är att ”matematiksvårigheterna” varken ökat
eller minskat under sextiårsperioden sedan Magne först började sina kartläggningar på
1950-talet.
Irriterande fråga 5. Lär sig SUM-eleverna något? Också 15 %-grupperna ökar sina
prestationer årskurs för årskurs i Medelsta-undersökningarna, i början av skoltiden
avsevärt, och fullt tydligt också i årskurserna 7–9. Tolkning: de lär sig matematik under
hela skoltiden, men på en lägre nivå än majoriteten av eleverna. Det är inte bara en
mekanisk inlärning. De tänker också. Exempel: Uppgiften ”Skriv med siffror ett tusental
och sex tiotal!” är hämtad från Deloche och Seron (se 1987). Uppgiften förekom i
årskurserna 4, 5 och 6. Lösningarna är ofta dramatiskt avvikande hos 15-procent-eleverna.
År 1977 fanns bl.a. följande svar av 98 svagaste eleverna ur de nämnda årskurserna. 24 svar
var korrekta, och 19 svarade ej. 50 elever svarade med varianter som 1006, 10006, 100060,
160, 1600, 1000610, 106100, 1066, 1610, 116. Tillskottssiffrorna kan vålla huvudbry. Hur
uppstår svaret 1000610? En sådan elev resonerade: ”Man säger ett tusen??? – Men tusen
skrivs 1000. Och så 6. Ett tusen ska ha en etta till. Ja, 6 tiotal. En nolla på slutet då?” – En
elev skriver 1066: ”Därför att om det är tusen så är det 4 siffror. Så jag fyller i med en sexa
till.”
Ingen annan tolkning kan göras än att dessa elever tänker. Utifrån sina förutsättningar
och erfarenheter. Det intressanta är att också de 15-procent svagaste eleverna i allmänhet
resonerat, ja, tänkt också när de löst en uppgift felaktigt – tyvärr.
Det är samma tendens 1977, 1986 och 2002.
Irriterande fråga 6. Finns könsskillnader? Svar Nej! Inte i Medelsta. Varken mellan
flickor och pojkar i totalpopulation-nen eller bland de 15 procent lägst presterande.
Obesvarade frågor
MEN MÅNGA FRÅGOR ÅTERSTÅR ATT BESVARA. Tar vi hand om
matematikbegåvningarna? Hur ska deras undervisning se ut? Å ena sidan kan
kunskapsnivån för de mest matematikbegåvade, som år 2003 med dagens undervisning
genomför den högsta matematikkursen i gymnasieskolan, vara jämförbar med kunskaperna
hos de svenska elever som 1940 tog studenten på den s.k. reallinjen (naturvetenskaplig
målsättning). Å andra sidan rubbas kanske jämförbahrheten därför att väl också
kursinnehållet förändras, troligen med ökning och uttunning av antalet moment. Dessutom
kräver statsmakterna att också SUM-eleverna (de icke godkända i matematik) ska ha rätt att
antas som studerande i gymnasieskolan. Vad beträffar kunskaperna i gymnasieskolan bör
man ta hänsyn till att eleverna nu är många fler än de var för 60 à 70 år sedan.
Differentieringsproblemet är lika olöst nu som för 50 år sedan. Dessa ting är föga
studerade. Den nästan totala bristen på forskning av de speciella utbildningsbehoven i
gymnasieskolans matematikinlärning är mycket besvärande.
Att förbättra kunskaperna.
Många studier ifrågasätter att den nuvarande specialundervisningen är effektiv. Således
riktade redan 1970 Bleidick och Häckel en förödande kritik mot den traditionella
”behandlingen” av elever med ”matematiksvårigheter”.
Kritiserar gör också amerikanska National Council of Teachers of Mathematics
(NCTM) i Mathematics Education Dialogues (1998, nr 1, s. 6): ”Even though these programs are far more costly than regular programs and a whole lot of money is being spent on
them, they remain unsuccessful for the long term and are only slightly effective for the
marginal student.”
Kritiken har gradvis blivit allt hårdare.
Men vi kan numera tala om en ny specialpedagogik i matematik, där den klassiska
specialundervisningen förkastas till förmån för en elevcentrerad faktor-samspels-modell.
Denna trend är visst inte ny utan har utexperimenterats sedan 1960-talet. Vår forskning
antyder att den elevcentrerade specialpedagogiken kan förbättra kunskaper och färdigheter
hos vissa elever med särskilda utbildningsbehov i matematik (SUM). Mera om detta:
Magnes presentation 2000-talets nya specialpedagogik i matematik (program 157) och
Engströms Medelsta-matematik (program 244).
Referenser
Bleidick, U. & Häckel, G. (1970) Praktisches Lehrbuch des Unterrichts in der Hilfschule (Lehrbehindertenschule). Berlin: Marhold.
Engström, A. & Magne, O. (2003) Medelsta-matematik. Hur väl behärskar grundskolans elever lärostof-
fet enligt Lgr 69, lgr 80 och Lpo 94? Rapporter från Pedagogiska Institutionen 4. Örebro: Örebro
Universitet, Pedagogiska Institutionen.
Engström, A. (1991) Om konstruktionismen – Några nedslag i den matematikdidaktiska forskningen.
Särtryck och småtryck 732. Malmö: Lärarhögsdkolan i Malmö, Institutionen för pedagogik.
Magne, O. (1958) Dyskalkyli i folkskolan. Göteborgs Universitet, Pedagogiska Institutionen.
Magne, O. (1990) Medelsta-matematik. Hur väl behärskar grundskolans elever lärostoffet enligt lgr 69
och lgr 80? Pedagogisk-Psykologiska Problem 539. Malmö: Lärarhögskolan i Malmö.
Olof Magne
Tessins väg 17 B
S–217 58 Malmö
Tel: +46–[0]40–26 61 83
E: [email protected]
157
2000-talets nya tänkande i specialpedagogik i matematik
Med 2000-talet blåser nya vindar i matematikundervisningen. För elever med
Särskilda Utbildningsbehov i Matematik (SUM). Och vuxna med Särskilda
Arbetsbehov i Matematik (SAM). Matematikfärdigheten beror på samspelet mellan
Matematiken, Eleven och Nätverket (MEN)… LUPP får beteckna faser i den nya
specialpedagogiken; den vill aktivisera mera – med Livsmatematik, Upptäckande
inlärning, Prototyp-inlärning och Produktiv övning.
Olof Magne arbetar med forskning i matematikdidaktik vid Malmö högskola, Pedagogik
Föreläsning
Inledning
2000-talets nya specialpedagogik startade på 1960-talet i opposition och som en protest mot
den traditionella slentrianmässiga behandlingen av elever med låga prestationer i
matematik. Nuvarande specialundervisning i matematik betraktas på många håll som
ineffektiv.
Sverige har bidragit med forskning. Banbrytare var medicinarprofessorn
Salomon Eberhard Henschen som 1920 bl.a. beskrev afasier (språkminnesstörningar) i
samband med matematik. Henschen angav den allmänna teorin som kallas flerfaktormodellen. 1958 offentliggjorde Olof Magne sin första stora undersökning om elever med
låga matematikprestationer i skolan. I denna angav han lösningar hur skolväsendet bör ta
hand om låg prestationsförmåga i matematik.
I EU:s praxis används termen Särskilda utbildningsbehov i matematik (SUM).
Huvudsakligen är det elever som inte har betyget godkänt i matematik.
Ett inledande försök till lägesbedömning
SUM-eleven: 15 % av niondeklassarna kan inte matematik.
Attityd hos dem: Skräck, hat, avsky mot matematik.
Jag argumenterar: Ändra synen på SUM och alla elevers inlärningsbehov.
Idé: Ändra SUM-undervisningen i matematik. Med bl.a. livsmatematik.
SUM: Jag har en katalog på 56 termer och kanske sex dussin åsikter.
Term är Särskilda utbildningsbehov i matematik (SUM).
Definition: Att inte uppnå utbildningsmålen som anges i läroplanen. Vid
betygssättning ges inte betyget godkänd.
Specialundervisning i matematik: Undervisning som skolan anordnar för SUMelever.
SAM: För vuxna med Särskilda Arbetsbehov i Matematik. Där gäller inte skolans mål.
Hur ändra SUM-undervisningen?
TVÅ SAKER ÄR GRUNDEN FÖR DEN NYA SPECIALUNDERVISNINGEN I MATEMATIK
• Den allmänna synen på hur matematikundervisningen ska gå till.
• Ett socialpedagogiskt synsätt i specialundervisningen.
För det första: Ämnesstoffet behandlas friare med utgångspunkt i prototypprincipen. Den säger att övningstyper är olika viktiga. Vissa stoffelement är speciellt
centrala och därför typiska för ett givet stoffområde. Eleverna söker ”tankemönster”
och använder dem i nya problem.
Det betyder inte att övandet försummas, eftersom upptäckande och övande ses
som två sidor av samma process. Är barnen tillräckligt motiverade väljer de själva att
träna och drilla färdigheter. Detta kallas produktivt lärande.
Elevernas erfarenheter i vardagslivet ska samtidigt vara grund för lärandet och
mål för detta. Det går under namnet livsmatematik.
För det andra: Kritiken yrkar på att äldre medicinsk-testpsykologiska
avvikelsemodeller revideras eftersom elevernas naturliga förmåga varierar vare sig
den handlar om att några är korta och andra långa eller några bra på att räkna, andra
inte. De flesta eleverna har en ”vanlig variation av kunskaper”. Detta är en
existentiell modell, dvs. betraktar matematikförmågan som en del av livet självt.
Lärarens undervisande roll blir mera som aktiv handledare än instruktör.
Matematikklinikförsöket
Magnes undersökning kom ut 1958 och ledde redan den 28 augusti 1963 till att
regeringen uppdrog åt dåvarande skolöverstyrelsen att ge ut föreskrifter om
”undervisning i matematikklinik” för elever med låga matematikprestationer.
Matematikkliniken var ett försök i den nya specialpedagogikens anda. Vi som
startade, utarbetade en särskild försöksmetod.
Vi utvärderade elevernas kunskapsutveckling och fann att många elever på ett
läsår hade ökat prestationerna upp till ca 1,5 läsår.
Definitionsfrågan
Resultatet bestäms i stor utsträckning av hur läroplanen och dess utbildningsmål är
utarbetade samt på betygssättningen i grundskolan. Vi får definitionen: Att inte
uppnå läroplanens utbildningsmål eller, operativt, att inte få betyget godkänd i
matematik är Särskilt utbildningsbehov i matematik (SUM).
Genom historien går också en attityd av nedvärdering. Visserligen säger vi inte
att en elev är obildbar, men det är ofta defektinriktade värderingsord vi använder,
ord som matematiksvårigheter och ännu hellre utländska ord som dyskalkyli.
I dag brukar man föra fram neutrala termer. Det är EU som har
föreslagit Särskilda utbildningsbehov i matematik.
Didaktogena faktorer. Nätverket
Vem bär ansvaret för misslyckandena? Många anser att det bara är eleven det beror
på. Men visst beror det till någon del på matematiken? Beror något på läroplanen?
Undervisningsmetoden? Oss lärare själva? Vi talat här om didaktogena faktorer.
Specialundervisning i matematik vill jag definiera som All den undervisning som
skolan anordnar för elever med särskilda utbildningsbehov i matematik. SUMundervisning är för SUM-elever. Den kan vara förebyggande och rehabiliterande.
Således har vi tre aktörer i detta spel:
• Matematiken (M)
• Eleven (E) som inte är godkänd
• Sådant som gör att eleven inte är godkänd (”nätverket” (N)).
Ordet M+E+N bildas av initialerna i Matematiken, Eleven och Nätverket.
Förkortningen MEN sammanfattar den uppfattning som Henschen en gång föreslog
och nu brukar kallas faktorsamspels-modellen (MEN-modellen): Att kunna eller inte
kunna matematik beror på samspelet mellan flera faktorer. Ingen ensam faktor gör
att en elev kan eller inte kan matematik.
Den nya specialundervisningen
Den nya specialundervisningen förutsätter att våra elever är tänkande människor. Inte
mekaniska robotar Typiska drag? Jag vill föreslå fyra typiska drag. Sätt samman
initialerna och Du får ordet L+U+P+P! Och de fyra dragen i den nya
specialundervisningen sammanfattas i ordet LUPP-metodik. LUPP-metodik är lika
utmärkande för den nya specialundervisningen som den vanliga undervisningen:
• Livsmatematik (L)
• ”Upptäckande inlärning” (U)
• Prototyp-inlärande (P)
• Produktiv övning (P)
Två exempel om elevaktiviteter
Den nya specialundervisningen vänder upp och ned på många invanda åsikter. Här är
två exempel från nybörjarundervisningen.
• Barnen måste inte analysera naturliga tal i tur och ordning från det minsta till de allt
större.
• Barnen måste inte möta bara addition på höstterminen i årskurs 1 och träffa på
division först i årskurs 3 eller rent av årskurs 4. Alla räknesätten kan vara med från
början.
Med elevernas samtycke låter läraren det bli lite huller om buller i fråga om de
traditionella sedvanorna.
Kan vi vända utvecklingen?
Vad kan den nya specialundervisningen uträtta. Svar: Det är lite vi vet.
Matematikklinik-experimentet visade att man kan få vinster. I Tyskland har flera
författare också haft framgång i experimentella undersökningar.
Kritik av läroplanerna. Vardagsmatematik.
Sysslar SUM-eleverna med en matematik, som är fel prioriterad för dem? Behöver
de just detta lärostoff? Kanske inte. Särskilt olyckligt är det att SUM-elever, som
händelsevis får plats i yrkesprogram, tvingas att bara läsa den formaliserade Akursen. Livsmatematik förs därmed in i centrum av SUM-elevernas
matematikundervisning. Livsmatematik och vardagsmatematik. De antas spela en
central roll i den vuxnes tillvaro.
Nästan alla barn känner sig lyckliga när de börjar med matematik i
förskolan eller grundskolan. Glädjen minskar för många barn. I årskurs 9 känner
många barn skam, ångest eller hot. I vissa yrkesprogram känner majoriteten av
eleverna avsky, ofta flickor. Är tiden inne för att ändra på detta?
Referenser
Engström, A. (1999): Specialpedagogiska frågeställningar i matematik.
Örebro: Örebro Universitet, Pedagogiska Institutionen.
ENGSTRÖM, A. & MAGNE (2003): MEDELSTA-MATEMATIK. HUR VÄL BEHÄRSKAR
GRUNDSKOLANS ELEVER LÄROSTOFFET ENLIGT LGR 69, LGR 80 OCH LPO 94?
Rapporter från Pedagogiska Institutionen, 4. Örebro: Örebro
Universitet, Pedagogiska Instituttionen.
Magne, O. (1998): Att lyckas med matematik i grundskolan. Lund:
Studentlitteratur.
Magne, O. (1999): Den nya specialpedagogiken i matematik. Psykologiskpedagogiska problem 655. Malmö: Lärarhögskolan, Institutionen för
Pedagogik
Magne, O. (2001): Barn upptäcker matematik: Aktiviteter för barn i förskolan, grundskolan och särskolan (3–10 år). Umeå: Specialpedagogiska Institutet.
Magne, O. (2003): Fem föredrag om den nya undervisningen för elever
med särskilda utbildningsbehov. Klepp, Norge: Info Vest Forlag.
Olof Magne
Tessins väg 17 B
S–217 58 Malmö
Tel: +46–[0]40–26 61 83
E: [email protected]
158
Från mönster till bevis
Argumentation och bevis är en viktig del av ett undersökande och upptäckande arbetssätt.
Att kunna kommunicera, generalisera och rättfärdiga sina upptäckter och resultat är ett sätt
att närma sig matematikens ”själ” och tillägna sig matematiken som ett begripligt nätverk
av spännande samband och mönster.
Lars Mouwitz arbetar med Nämnaren och utvecklingsarbete vid NCM, Göteborgs
universitet
Föreläsning
Elever, och ibland även lärare, brukar rygga tillbaka när de hör ordet ”bevis”. Framför sig
ser man kanske rader av symboler och kryptiska antaganden. Förståelse och sammanhang
försvinner kanske redan vid andra raden och plugg eller uppgivenhet återstår.
Argumentation och bevisföring har de senaste decennierna haft en ganska undanskymd
plats i skolmatematiken. Ofta anses bevis vara ”för svårt”. Detta är ur ämnessynpunkt
ganska olyckligt eftersom mycket av matematikens själ går förlorad.
I och med att nya undersökande och upptäckande arbetsformer alltmer tas i bruk i
klassrummet framstår beviset som det självklara sättet att till sist rättfärdiga påståenden om
upptäckta mönster och samband. Men för att återerövra beviset i skolmatematiken behöver
nya representationsformer prövas. Varför inte genomföra sin argumentation med hjälp av
figurer? Kanske kan bevis dramatiseras som en hetsig debatt mellan olika parter eller som
ett stillsamt samtal vänner emellan?
Läroböcker i matematik är av tradition monologer. Endast en röst hörs genom hela
volymen. Och denna enda röst är monotont argumenterande, förklarande, instruerande och
befallande. Den enda rösten är dessutom egenskapslös och opersonlig. Här finns en lång
tradition från Euklides Elementa och till våra dagar. Tyvärr tar ibland även
matematikläraren till sig denna monologa lärobokskultur och låter den också bli en bärande
idé i klassrummet. I elevens ögon representerar då läraren, liksom skolmatematiken i stort,
det redan färdigtänkta, det slutna och det ensidigt instruerande.
Ett ideal vad gäller argumentation är att den skall uttryckas algebraiskt och stringent. Ofta
är resonemangen ”välstädade” och alla spår efter bakomliggande funderingar och misstag
är bortsopade. Ett bevis skall också helst vara så fullständigt formulerat att inga
invändningar skall kunna vara möjliga. Den monologa traditionen når här sin fulländning.
Men priset blir högt, kanske alltför högt ur didaktisk synvinkel:
- Att matematik skulle vara en mänsklig skapelse som historiskt sett varit utsatt för
intensiva diskussioner och kritik förblir helt osynligt.
- Att många misstag begåtts och att definitioner och metoder reviderats, utvecklats och
förfinats under historiens gång framgår inte.
-
Att matematik idag är ett vetenskapsområde under stark utveckling framgår inte heller,
allt verkar färdigtänkt och avslutat.
Historiskt sett så har de monologiska framställningarna alltså vuxit fram för att i förväg
undanröja alla former av kritik och diskussion. Detta är naturligtvis elegant och listigt, men
samtidigt förvandlas studenten/eleven till en tyst mottagare av det redan färdigtänkta. Ofta
radas också alla ”parader” till möjliga invändningar upp redan i monologens inledning på
ett för eleven obegripligt sätt, vilket inte precis gynnar lärandet.
-
Att problemlösning och bevisföring initialt innehåller testande, intuitiva och heuristiska
metoder framgår inte.
Att matematik kan innebära att skapa ny kunskap genom undersökningar och upptäckter
framgår inte.
Att även professionella matematiker ofta misslyckas med att lösa problem eller bevisa
satser framgår inte heller.
Hur ska vi kunna återerövra en mer levande matematisk argumentation och bevisföring?
Kan den ske under friare former i klassrummet? Vilka krav bör man ställa? Vilka risker
finns?
159
Lust och olust i problemlösning
Lusten att lära matematik är intimt förknippad med de utmaningar och det engagemang
som rika problem kan ge i en god miljö. Här diskuteras några intressanta och stimulerande
problem för lärare och för elever från 6 år och uppåt från Nämnarens problemavdelning,
Dialoger om problemlösning och Kängurutävlingen. Framställningen blir en ”växelsång”
där personliga minnen och upplevelser ger perspektiv på det matematiska innehållet.
Lars Mouwitz och Göran Emanuelsson arbetar med Nämnaren och utvecklingsarbete på
Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM vid Göteborgs universitet.
Föreläsning
ELEV- OCH LÄRARUPPFATTNINGAR AV BRA UNDERVISNING
När elever ger exempel på roliga och lärorika lektioner tar många upp arbete med problemlösning i grupp. “Ibland lär man sig mer när kompisar förklarar”. Praktiskt taget alla elever
tycker “matematik är roligt när man förstår” och att matematik då är “roligare än andra
ämnen”. När de klarar av att lösa problem som betraktas som svåra och som de har fått
kämpa med länge känner de sig “smarta”. “Det känns i hela kroppen när man har löst ett
problem!” Matematik blir spännande när det finns variation och mer att ”bita i”. Av
elevintervjuer framgår det att många elever skulle vilja vara “en som kan matematik”. Den
som är duktig i matematik uppfattas som en “kompetent person”.
En lärare säger: “Huvuduppdraget är att skapa lust för lärande. Grunden för allt ligger i att
ha respekt för alla. Det är viktigt att alla får känna att de lyckas. De kan lyckas på olika
sätt.” En annan uttrycker sig så här: ”Min vision är att alla ska tycka att matematik är roligt
och att de ska vilja fördjupa sig ytterligare i matematikens ”hemligheter”.
Nämnda elev- och läraruppfattningar är hämtade från några av de ca 40 kommunrapporterna från Skolverkets granskning av Lusten att lära med fokus på matematik.
Har elever lust för skolmatematik?
Från den omfattande granskningen ges annars en ganska mörk bild av svensk
skolmatematik. Sällan händer något oväntat eller omväxlande på lektionerna, säger
eleverna. Variation i arbetsformer eller arbetssätt är liten eller ingen. Begrepp och metoder
diskuteras sällan i klassrummet. Elevers tankar eller syn på kunnande görs sällan undervisningsinnehåll. Det finns få möjligheter att arbeta med andra läromedel än boken som ses
som ”kursen”. Många likadana uppgifter ska lösas och framgång mäts i hur många man
klarat av. Ofta saknar elever förståelse kring varför en specifik metod används. Det som
återstår blir då att försöka lära sig utantill. Facit, eller läraren godkänner eller underkänner
resultatet, eleven utvecklar inte sitt eget omdöme när det gäller att välja metod och värdera
sina resultat. Eleverna har svårt att se någon relevans eller inre mening i matematiklärandet.
De motiv som återstår blir att få höga poäng på prov och ett högt slutbetyg. Vi får ett
instrumentellt matematiklärande, där varken matematikens inre sammanhang eller relevanta
tillämpningar blir drivkrafter. Eftersom innehållet för eleven framstår som enahanda,
obegripligt och utan användning finns en stark underton av olust och leda, även detta
dokumenterat i Skolverkets granskning.
Hur får lärare lust att undervisa?
Precis som elever behöver lärare stimulans, fördjupning av motiv och förståelse för elevers
lärande och variation i arbetet. Lärare behöver också stöd från kolleger och tid att få
diskutera meningsfulla problem och nya utmaningar i matematikundervisningen. I samband
med de mycket stora förändringarna av läro- och kursplaner under 90-talet med större
ansvar för skolutveckling och utvärdering har lärare inte fått tillräckligt med tid för eller
stimulans till reflektion och kompetenshöjning för utveckling av undervisningen i
matematik som svarar mot de nya kraven och målsättningarna. Det framgår också av Hög
tid för matematik (NCM, 2001:1). I vårt biennalbidrag tänker vi föreslå arbetssätt som
stimulerar problemlösning på skolan och samarbete med kolleger.
Problemlösning ökar lusten
På vilka sätt kan problemlösningsaktiviteter förändra den traditionsbundna kulturen och
stärka andra drivkrafter för lärande? För det första måste vi reflektera över vad som menas
med problemlösning. Det räcker inte med att då och då presentera ett klurigt problem, det
gäller att börja utveckla en problemlösande klassrumskultur. Häri ingår t.ex. att med
omsorg välja problem som är engagerande, åtkomliga och matematiskt innehållsrika, att få
elever att diskutera egna och kamraters lösningsmetoder, att skapa en undersökande
inriktning och positiv atmosfär, att stimulera och leda arbetet utan att ta över det, att
effektivt använda stödjande hjälpmedel. Att få elever att utveckla självförtroende,
reflektioner över eget lärande med ansvar och tillförsikt i arbetet. Problemlösning kan bli
ett sätt att undervisa och förhålla sig till ämnet, inte ”grädde på moset” en
fredagseftermiddag. Elever och lärare lär i problemlösningens ”verkstad”.
Förståelse och problemlösning hör ihop
Förståelse och problemlösning har en symbiotisk relation: förståelse stärker
problemlösningsförmågan och att lösa problem fördjupar och berikar förståelsen. Att förstå
något är inte ett passivt tillstånd, förståelse ligger inbäddad i de flesta matematikaktiviteter.
Förståelse demonstreras och stärks i handling t.ex. i en problemlösningsprocess. Det är inte
självklart en lättköpt lustupplevelse vi känner då vi tampas med ett engagerande och rikt
problem. Problemlösandet innehåller svårigheter och möjligheter att finna angreppssätt. Det
gäller att vara uthållig vid ”transportsträckor”, att ha både flexibilitet och ihärdighet i
återvändsgränder och vid tvivel på lämplig metod. Ibland kan ansträngningar sluta i
misslyckande. Då man presenterar en lösning kan man utsättas för kommentarer från
klasskamrater och lärare. Det är laddade situationer som uppstår i alla former av
engagemang, jämför t.ex. med musik- och idrottsaktiviteter. Desto starkare blir
lyckokänslan eller aha-upplevelsen efter träget arbete då lösningen lyckas. Vilken ”kick”
blir det inte för självförtroendet? Djupare insikt och mening är i sig glädjekällor. Genast får
man lust att ta itu med ett nytt utmanande problem.
Problemlösning i matematik innehåller (och måste innehålla) både lustfyllda och mindre
lustfyllda moment. Det omtalade målet att öka lusten för matematik bör tolkas i vid
mening. Det handlar om att öka elevers engagemang och självtillit så att de kan ta sig
igenom problemlösandets olika faser, såväl besvärliga som behagliga.
Några exempel på rika problem
• Ur Nämnarens problemavdelning
2528 Äppelkorgar
På vilka olika sätt kan du dela upp 9 äpplen i två korgar?
2529 Dela rättvist
a) Dela 50 ballonger så rättvist som möjligt mellan fyra barn.
b) Dela 50 kr så rättvist som möjligt mellan fyra barn.
c) Dela 50 kakor så rättvist som möjligt mellan fyra barn.
2801 Dela äpplen
Dela tre röda och ett grönt äpple med din kompis. Vilka möjligheter finns det?
• Från DPL, Dialoger om problemlösning
Dessa återkommande sidor i Nämnaren är till för att ge läsare möjligheter att arbeta med
problem, att utbyta personliga reflektioner om tankar och ansträngningar med likasinnade
för att skapa en ”gemenskap av problemlösare”. Syftet är att ge lust till problemlösning.
Det första problemet som följer har gett flest diskussioner och bäst gensvar från läsekretsen.
DPL 3 Chokladkaka för fem
En kaka är chokladglaserad på alla sidoytor utom den kvadratiska botten. Tomtemor
vill skära kakan i fem bitar så att var och en av de fem medlemmarna i familjen får
samma mängd kaka och lika mycket glasyr. Alla snitt ska vara vinkelräta mot kakans
översida och varje tomte ska få sin del som en sammanhängande bit. Hur ska det gå
till?
DPL 63 Roterande cirklar
Diametern på den större cirkeln är dubbelt så stor som diametern på den mindre. Hur
många rotationer gör den mindre cirkeln om den rullar på insidan av den större
cirkeln och hur många rotationer blir det om den rullar på utsidan?
DPL 77 Delaktiga summor
Summan av tre på varandra följande tal är alltid delbar med tre. Hur kan det
motiveras
a) med ord
b) med figurer
c) med algebra
• Några exempel från Kängurutävlingen 2003
Ecolier 2
Vilket tal ska stå på sista vagnen?
A: 100
B: 120
C: 145
D: 160
E: 180
Ecolier 12 och Benjamin 10
På ett papper har Ola ritat utsidan på ett hus. Sen har han klippt ut det. Nu ska han
vika det till ett hus. Vilket av husen får han då?
Benjamin 24
Du har sex pinnar med längderna 2 cm, 5 cm, 10 cm, 1997 cm, 2000 cm och 2003
cm. Välj ut tre och gör en triangel av dem. På hur många olika sätt kan du göra det?
A: 1
B: 3
C: 5
D: 6
E: fler än 50
Benjamin 18 och Cadet 18
Kvadraten KLMN är sammansatt av en vit inre kvadrat och fyra likadana skuggade
rektanglar. Var och en av de skuggade rektanglarna har omkretsen 40 cm. Hur stor
area har kvadraten KLMN?
D
N
A
K
C
M
B
L
A: 440 cm2
B: 400 cm2
D: 80 cm2
E: Går inte att avgöra
C: 160 cm2
Referenser
Lindqvist, U. (2003). Lusten – lärandets motor. Nämnaren 30(1), 7-12.
NCM (2001). Hög tid för matematik. NCM-rapport 2001:1. Nationellt centrum för
matematikutbildning, Göteborgs universitet.
Nämnaren (1998-2003). Problemavdelningen. Dialoger om problemlösning, DPL och
Kängurusidan. (Problem kan laddas ner från ncm.gu.se, klicka Nämnaren i
vänsterspalten).
Skolverket (2002-2003). Slutrapport samt kommunrapporter: Lusten att lära med fokus
matematik.
160
Vad betyder kvot?
En presentation av ett terminologiprojekt som drivs av Nationellt Centrum för
Matematikutbildning, NCM, i samarbete med AB Terminologicentrum TNC. Syftet med
projektet är att ge en pålitlig bas för val av termer inom hela skolmatematiken, till ledning
för elever, studenter, lärare, lärarutbildare och läromedelsförfattare.
Christer Kiselman är professor i matematik vid Uppsala universitet. Han forskar på
komplex analys och geometri och digital geometri. Han är ledamot av regeringens
matematikdelegation och vice preses iEsperantoakademien.
Lars Mouwitz arbetar med Nämnaren och utvecklingsarbete vid NCM i Göteborg. Han är
ledamot av matematikdelegationens sekretariat.
Helena Palm är terminolog vid Terminologicentrum TNC i Stockholm. Hon är
molekylärbiolog och examinerad språkkonsult i svenska. Helena är sekreterare i Svenska
biotermgruppen och TNC:s representant i Svenska Läkaresällskapets kommitté för
medicinsk språkvård och Svenska kemistsamfundets nomenklaturutskott.
Föreläsning
Inom hela matematikutbildningen känns ett behov av att ha väl definierade termer. En
normering kan i vissa fall vara önskvärd. Definitionerna bör vara terminologiskt korrekta
för att vara stabila över tiden. Dessa önskemål har lett till ett terminologiprojekt för skolans
matematik, från förskolan till och med lärarutbildningens matematik.
Projektet hade sin början i en önskan att revidera boken Matematikterminologi i skolan
(1980), men fick snart en högre ambitionsnivå. Det skiljer sig från andra termlistor och
lexika genom att det, förutom termposter med definitioner och exempel, skall innehålla
kåserier om de viktigaste temana inom skolmatematiken som - liksom i förbigående nämner viktiga termer. Kåserierna skall vara lättsamma och locka till läsning och
funderingar om de matematiska ordens betydelser, samband och ursprung, funderingar som
får svar i termposterna.
Ett ord kan bli en fackterm först när det är tillräckligt spritt inom ett visst fackområde och
blivit accepterat och använt bland fackexperter. Dessutom måste begreppet bakom termen
vara klart avgränsat.
Det är detta vi nu håller på med. Arbetet är grannlaga, eftersom det inte bara gäller att ge
en korrekt definition av en term utan att göra det på ett sådant sätt att det kan förstås på den
nivå i utbildningen där termen förekommer. Det handlar alltså om en balansgång mellan
det vetenskapligt korrekta och det i ett givet sammanhang begripliga. I vår föreläsning
skall vi ge några exempel på hur komplicerad denna balansgång kan vara.
Allt är på svenska i detta skede; översättningar till de viktigaste invandrarspråken i Sverige
kan följa senare.
Termerna är ordnade i 14 kapitel. Varje kapitel innehåller minst ett kåseri, ibland två eller
tre. Docent Ebbe Vilborg anlitas för att skriva om ordens etymologiska ursprung.
Det är vår förhoppning att boken skall komma till användning i skolan för både elever och
lärare, samt i lärarutbildningen och för läromedelsförfattare. Bokens utformning med
kåserier gör att den också kan fungera som en läsebok för repetition av grundläggande
begrepp och
sammanhang.
Nationellt Centrum för Matematikutbildning planerar att skicka ut verket på remiss före
sommaren 2004.
Enligt planen ägnas hösten 2004 åt att revidera verket med hänsyn till remissvaren och åt
att färdigställa ett tryckfärdigt manuskript.
161
Brobyggen i Mattelandet
Många barn upplever skolmatematikens olika områden som isolerade öar i en ostrukturerad
övärld. Genom att bli medvetna om bl.a. mönster, samband och kopplingar till egna
erfarenheter kan barn ”bygga broar”, som hjälper dem att utveckla kunskaper av hög
kvalitet. I föreläsningen ges konkreta exempel på detta inom några viktiga områden, vilket i
många fall kan förebygga matematiksvårigheter.
Ingrid Olsson arbetar som lärarutbildare vid Mitthögskolan i Härnösand.
Läromedelsförfattare.
Föreläsning
Multiplikationstabellen går väl an att lära sig, men multiplikationstabellen.
Elever som säger så har inte upptäckt samband mellan räknesätten, något som vi måste
hjälpa dem med. För de elever som insett detta blir naturligtvis matematiken betydligt
enklare och det är när man förstår som matematik kan bli roligt och spännande. Det är
viktigt att vi så tidigt som möjligt kan hjälpa barn in på vägar som är utvecklingsbara och
effektiva. Redan tidigt i förskolan kan vi låta barn få chans att upptäcka spännande
matematik i sin vardag och börja "se" former, mönster och tal.
Hur många kottedjur kan du göra om du har 16 stickor till ben?
När fem- och sexåringar löser denna uppgift tar de vanligtvis fyra stickor i taget och ser att
"benen" räcker till fyra fyrbenta djur. Barnen använder sig av innehållsdivision, något som
många elever högre upp i grundskolan har svårt att tänka i när de möter en uppgift som t ex
9/1,5. I matteböckerna har de i regel mött uppgifter där division innebär att dela som t ex Ni
är tre kamrater som pantar flaskor för 24 kr. Hur mycket får ni var om ni delar lika? För
att barn ska utveckla dessa två divisonsbegrepp måste vi synliggöra båda och visa på
sambanden, bygga broar. Den bästa diagnos vi kan få på detta är att låta barnen skriva två
räknehändelser till ett uttryck som t ex 12/4 där den ena ska ge delningsdivision och den
andra innehållsdivision.
Alla räknesätt
När barnen plockar med "benen" till kottedjuren kan vi även synliggöra upprepad
subtraktion, division, addition och multiplikation och prata och reflektera kring detta. Alla
räknesätt kommer med och vi kan även visa hur det kan uttryckas med det formella
matematikspråket, även om själva begreppen är det viktigaste för barnen. När vi arbetar
med problemlösning som ett medel för att förstå räknesätten är det alltså inte nödvändigt att
barnen behärskar alla symboler. De kan med fördel rita sina dokumentationer eller berätta
sina lösningar och då gärna visa med konkret materiel. Då kan barnen få möjlighet att
använda alla räknesätt. Division är nog det räknesätt som små barn har störst erfarenhet av i
sin vardag, men som de inte brukar få möta i skolan förrän i 3:an eller 4:an. Troligen beror
det på att division tidigare ansågs svårt eftersom det innebar att barn skulle lära sig den
långa divisionsalgoritmen, och den är svår. I matematik har kravet tidigare varit att allt som
ett barn ska räkna ut ska barnet också kunna dokumentera med det formella
matematikspråket. Om vi idag vill fokusera på att arbeta med begreppen för de olika
räknesätten krävs inga formella krav och barn får därmed möjlighet att upptäcka och förstå
samband mellan räknesätten. Tänk om vi på en svensktimme ber barnen berätta vad de
gjort under helgen, men tillägger att de får bara använda ord som de kan skriva och stava
rätt på. Hur skulle det bli? I svenska låter vi barnen experimentera med ord, bokstäver och
uttryck och skriva tämligen fritt i sina händelseböcker utan att vi rättar allt. I matematik
däremot har det ofta handlat om strikta formella redovisningar skrivna i rutor och inramade
av raka linjalstreck och som bedöms rätt eller fel.
Skulle man icke kunna göra barnen till självständiga upptäckare? Skulle man icke kunna
utbyta det reproduktiva arbetet mot ett mer skapande sådant?
(Anna Kruse Åskådningsmatematik
1909)
Bro mellan öarna Konkret och Abstrakt
För många barn ligger dessa öar långt från varandra eftersom de inte insett kopplingen
mellan den matematik de ständigt möter och uppgifterna i matteboken. Andra barn, som
insett detta, har öarna på hoppavstånd och kan hur enkelt som helst förflytta sig mellan
dem. Att sätta på sig "matteglasögon" underlättar för barn att upptäcka all den matematik
de möter i vardagen. Genom att gemensamt reflektera kring dessa erfarenheter utvecklar
barn ett språk för sina tankar och begrepp och sedan kan vi visa hur detta kan uttryckas med
det formella matematikspråket, vilket är mycket abstrakt. När barnen får resa fram och
tillbaka mellan dessa öar, översättningar behövs åt båda hållen, förflyttas öarna allt närmare
varandra, och det är när man förstår som matematik blir roligt och spännande. Kanske har
skolan ibland mätt barnens abstraktionsförmåga i stället för deras matematiska
begreppsförståelse?
Barn älskar stora tal
En sexåring uttryckte detta på följande sätt: Jag önskar jag gick i femman för då får man
räkna med miljoner. Varför får han inte göra det nu? Om han vet att 2 och 2 är fyra så kan
han säkert lista ut vad 2 miljoner och 2 miljoner är, speciellt som han kanske vet att 2
fjärdedelar och 2 fjärdedelar är fyra fjärdedelar, alltså t ex ett helt äpple. Naturligtvis kan
sexåringen inte ha en taluppfattning för miljon, men det viktiga nu är att han upptäcker att
miljon finns på samma ö som talet 2 och inte långt borta vid horisonten dit han skulle få ta
sig först i skolår 5.
Om du vet vad 5 - 2 är vad tror du då att 45 - 2 är, 445 -2 , 4 445 - 2 osv. Om 10 - 1 är 9,
vad är då 40 -1, 60 -1, 360 - 1, 3 360 - 1 osv. Genom att synliggöra mönster och samband
hjälper vi barnen att våga klättra runt på den spännande talön och gör dem nyfikna att själva
undersöka och se vad de kan göra med olika tal.
Positionssystemet - viktigt att förstå
Sätt en ring runt det största talet
0,87
0,649
0,7
Denna uppgift fanns med i en norsk undersökning och talet 0,649 ringades in av 66% av
eleverna i skolår 4, 26% i skolår 6 och 7% i skolår 8. Resultatet för det rätta svaret 0,87 var
22% år 4, 62% år 6 och 83% år 8. Många av de yngre eleverna läste siffrorna efter
decimaltecknet som heltal och jämförde 87, 649 och 7. Resultatet blev på motsvarande
sätt när eleverna skulle ringa in det minsta talet, då de yngre eleverna valde 0,5 med endast
en decimal.
För att kunna förstå decimaltal måste eleverna först ha förstått positionssystemet för hela
tal. De måste få chans att arbeta med tiobaserna och hur de kan växla mellan dem, hur
positionen avgör en siffras värde, nollans viktiga roll m m. Då finns den kvalitet som
behövs på dessa begrepp för att sedan kunna utvecklas vidare för delar i tiobassystemet,
decimaler. Tyvärr är uppgifter kring positionssystemet i många läromedel för de yngre
barnen så ytliga att barnen klarar dem genom att endast veta namnen ental, tiotal och
hundratal. Själv tror jag att just bättre förståelse av positionssystemet verkligen kan hjälpa
många barn att få uppleva huvudräkning, överslagsräkning och uppställningar som något
roligt,spännande och utmanande.
Samband och mönster knyter samman
När vi kan hjälpa barn att knyta samman sina nya upptäckter med tidigare erfarenheter och
visa vart detta leda till, då blir skolmatematiken meningsfull och begriplig. I föreläsningen
ges exempel på hur barns lek med t ex bilar kan utvecklas till effektiva
huvudräkningsstrategier, hur spel och lek med bokstäver och mönster ger goda grunder gör
kommande algebra och ekvationer, hur lek med maskiner kopplas mot funktioner och hur
andra samband kan synliggöras.
Hur vi uppfattar olika moment inom matematiken beror mycket på hur vi fått möta dem och
hur vi lyckats. Barn kan mycket mer än vi tror om de får möta nya moment på ett sätt så att
de lyckas. Jag tror att vi underskattat barns tänkande. Genom att arbeta med konkret
problemlösning som medel kan vi säkert nå många nya mål.
När matematikunskaperna utökas finns kanske inte längre några öar utan allt binds samman
av fast mark och bildar ett kuperat landområde och de "röda trådarna" inom olika moment
kommer då att bilda ett oregelbundet nätverk.
162
Minitest och projekt – ett sätt att förbättra elevernas prestationer
Minitest under pågående matematikkurs och små modelleringsprojekt i anslutning till
kursen engagerar eleverna och motiverar dem till bättre prestationer. Ett utvecklings- och
forsknings-projekt som bygger på bl.a. minitest och projekt presenteras. Erfarenheter från
projektet och elevers respons på den genomförda undervisningen redovisas.
Lars Burman är lektor i matematikens och datateknikens didaktik vid Institutionen för
lärarutbildning, Åbo Akademi i Vasa, Finland. Han arbetar med utbildning av ämnes- och
klasslärare, medverkar i läromedelsprojekt och ett matematikprojekt i gymnasiet.
Föreläsning
Gymnasiematematiken i Finland
I Finland indelas det centrala matematikstoffet i lika långa kurser, som är antingen minst tio
(lång kurs) eller minst sex (kort kurs) till antalet. En kurs, som innehåller ett trettiotal 45
minuters lektioner, utvärderas i allmänhet med ett kursprov i traditionell stil. Skolan ger ett
slutvitsord i matematik som baserar sig på vitsorden i de avlagda kurserna. Dessutom
avslutas gymnasiestudierna med studentexamen, som är ett centralt prov. I matematik
innebär provet att man på sex timmar förväntas besvara tio av femton givna uppgifter, som
alla ger 6 p. Detta prov kommer naturligtvis att ha en starkt styrande effekt på kursproven
ute i skolorna.
Eftersom gymnasiet i Finland är en skola med mycket stark betoning på språk, upplevs
tiden som ges åt matematiken vara rätt begränsad i förhållande till det omfattande
kursinnehållet. Samtidigt som det finns ett intresse att göra undervisningen och
utvärderingen mera mångsidig finns det risken att studentexamen styr undervisningen i
motsatt riktning. Eftersom vitsordet i studentexamen kan ha stor betydelse för om man blir
antagen till universitet, är det givet att eleverna vill prestera ett gott resultat. Alltså
förväntar sig också eleverna en effektiv undervisning som förbereder dem för
studentexamen. Därför kommer studentexamen också i praktiken att vara en mycket stark
styrfaktor som påverkar all undervisning.
EMU-projektet i Vasa
Utbildningen av svenskspråkiga matematiklärare i Finland handhas av Pedagogiska
fakulteten vid Åbo Akademi i Vasa. Den största delen av övningsundervisningen sker vid
Vasa övningsskola. I anslutning till mitt jobb som lektor i matematikens didaktik inom
Lärarutbildningsinstitutionen och handledare vid undervisningsövningarna i Vasa
övningsskola har jag sedan några år tillbaka engagerat mig i ett utvecklings- och
forskningsprojekt, som försiggår i samarbete mellan Lärarutbildningsinstitutionen och Vasa
övningsskola. Projektet har fått namnet Effektiv MatematikUndervisning eller EMU.
Inom ramen för EMU-projektet har jag haft förmånen att agera i olika roller: lärare,
lärarutbildare, utvecklare/forskare samt läromedelsproducent. Jag har bl. a. sysselsatt mig
med problemet hur man kan effektivera undervisningen. Jag har sökt svar genom att
utveckla och utpröva undervisningsmetoder med en starkare betoning på olika former av
problemlösning och med koppling till en mera mångsidig utvärdering.
Problemlösning och utvärdering inom EMU-projektet
Problemlösning är en alternativ och viktig metod när läraren introducerar nytt stoff men
också ett väsentligt redskap för eleverna när de löser uppgifter som kräver något utöver det
som de redan behärskar. Dessutom kan en god problemlösningsförmåga hjälpa eleverna att
lösa uppgifter som kräver en kombination av kunskaper från flera områden inom
matematiken. Studentexamen i matematik i Finland innehåller i betydligt högre grad än
gymnasiekurserna uppgifter av kombinationstyp. När dessutom fem uppgifter av femton i
studentexamensprovet skall väljas bort, kommer närmare hälften av provets uppgifter att
kräva ”något utöver vad eleverna redan behärskar”, eftersom målet också är att uppnå en
vettig resultatspridning.
Inom EMU-projektet har utvärderingen kommit att spela både en formativ och en summativ
roll, dvs. dels stödjer den inlärningen av matematik och dels ger den både lärare och elever
viktig information. En grundtanke har hela tiden varit att göra utvärderingen mera
mångsidig. Det är sannolikt att man får en riktigare bild av vad eleverna behärskar, om man
samlar information vid flera tillfällen och på flera olika sätt. Dessutom kan eleverna spela
en aktiv roll och med stöd av utvärdering under kursens gång ta ett större ansvar för sin
egen inlärning.
Minitesten inom EMU-projektet
Ett minitest är ett litet prov som kräver 20-30 minuter och innehåller två eller tre uppgifter.
Inom en matematikkurs kan man t. ex. ha fyra minitest med två uppgifter. Uppgifterna kan
vara en eller ev. två basuppgifter och en litet mer krävande uppgift. Den senare kan med
fördel innehålla mera problemlösning eller en metodbeskrivning. Minitestet ger eleverna
övning men också en försmak av kursprovet. Följande tre exempel visar uppgifter som inte
är traditionella uppgifter eller basuppgifter utan de kräver problemlösning i någon form.
Exempel 1 Medelvärdet av sju olika stora positiva hela tal är 23 och medianen är
20. Hur stort kan det största av de sju talen högst vara?
Det första intrycket av denna uppgift är att det inte kan vara svårt att räkna ut svaret. Trots
detta kräver uppgiften en del eftertanke och behärskning av de statistiska grundbegreppen.
Eftersom uppgiften inte är rutinmässig till sin karaktär kräver den en form av
problemlösning.
Exempel 2 Talen m och n väljs på måfå ur mängden 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Bestäm sannolikheten att ekvationen x2 + mx + n2 = 0 har åtminstone en reell rot.
Denna uppgift verkar vid första anblicken vara enormt jobbig. Vid närmare försök med
systematisk prövning som lösningsmetod visar det sig, att man med uteslutningsmetoden
kan begränsa antalet möjliga lösningar så att det är rätt få möjligheter som behöver
kontrolleras.
Exempel 3 Ett lag i ”Fångarna på fortet” måste för att befria en lagmedlem
fördela tio vita kulor och tio svarta kulor i två askar. Fångvaktaren väljer på måfå
en ask och drar en kula ur den asken. Om kulan är vit blir fången fri, annars inte.
Hur skall de fördela kulorna så att sannolikheten att befria fången blir så stor som
möjligt?
I denna uppgift förefaller den största svårigheten vara förknippad med elevernas tendens att
anta, att det skall finnas lika många kulor i båda askarna. Om man inte låser sig till denna
utgångspunkt visar det sig, att man får en sannolikhet närmare 75 %.
Minitestens effekt
En sammanvägning av resultat i minitesten och kursprovet kunde t. ex. se ut så här:
Minitest 4
4
3
2
1
1
15 p
Kursprov 6
5
4
1
1
0
17 p
Resultat 6
5
4
2
1
1
19 p
Här ordnas poängtalen i minitestet och kursprovet från högsta till lägsta. Resultatets poäng
fås så att man i varje par tar med det högre poängtalet, vilket gör att minitesten ev. i någon
mån kommer att kunna höja kursprovets poängtal, här från 17 p till 19 p. Naturligtvis kan
man också på ett mera traditionellt sätt väga samman minitest och kursprov så att de får t.
ex. vikterna 1 och 2. Denna effekt på slutresultatet kunde kallas minitestens ”direkta
effekt”.
För en hel del elever betyder poängen i minitesten att man är säker på att bli godkänd i
kursen redan innan man går upp till kursprovet, vilket kan ha en positiv effekt på
prestationerna i kursprovet. Det har också visat sig att 3-4 minitest under kursens gång gör
att eleverna hänger bättre med i kursen. Det betyder i sin tur mindre stress sista kvällen före
kursprovet (och mera ostörd nattsömn) och därmed ett bättre resultat i kursprovet. Denna
effekt på slutresultatet kunde kallas ”den indirekta effekten”. Det finns belägg för att den
indirekta effekten kan vara större än den direkta effekten! Detta kan också motivera att
läraren med eleverna upprättar en form av didaktiskt kontrakt, som för dem kan vara mera
eller mindre medvetet.
Modelleringsprojekten inom EMU-projektet
Trots att det finns inslag av problemlösning i undervisningssituationer, minitest och
kursprov, kommer man inte ifrån att det också kunde finnas mera verklighetsnära uppgifter.
När det är knappt om tid hinner man oftast inte med annat än att undervisa de viktigaste
matematiska verktygen och att använda dem i rätt korta uppgifter. Detta har lett till att det
både som en form av problemlösning och som ett led i en mångsidig utvärdering finns en
beställning på någon typ av modelleringsprojekt. Ett modelleringsprojekt kan innehålla
följande stadier:
1.
2.
3.
4.
5.
Idealisering
Matematisering
Arbete inom den matematiska modellen
Tolkning
Validering
Under första punkten väljer man i våra tidsramar ut ett ”fenomen” som man vill undersöka
och under punkt två formulerar man en matematisk hypotes som man sedan undersöker.
Sedan planeras och genomförs en datainsamling och resultat tas fram och skrivs ner. I
punkt fyra tolkas resultaten och i punkt fem utvärderas arbetet, dvs. den matematiska
modellen. Projektarbetet utförs oftast i grupper med tre eller fyra elever. Varje punkt i
arbetet avslutas med en skriftlig redovisning (som ofta inte behöver vara så lång) och
läraren ger respons på denna. Det mesta arbetet sker utanför lektionerna, vilket betyder att
hemuppgifterna i matematiken i övrigt bör minskas något och att hänsyn till andra ämnen
bör tas. Som jag redan antydde är det naturligtvis nödvändigt att anpassa användningen av
dylika projekt till ramfaktorer i skolan. Tidsbrist och bundenhet till en bestämd kurs gör
också att läraren är tvungen att antingen i början styra elevernas val av föremål för
undersökningen eller senare begränsa valet av metod och därmed möjligt resultat av
undersökningen.
Exempel (projektrubriker)
Har pojkar större skor?
Vem far med bussen?
Vem går mot rött ljus?
Arbetslöshet (viss tidsperiod)
Folkmängd i Indien
Euro-opinion i Sverige (viss tidsperiod)
Formel 1
Nivåbyten i matematik
Går rökande i arv?
Börskurser
När görs de flesta målen i ishockey?
Gymnasisters födelsetider
De tre första rubrikerna till vänster har använts i en kurs i sannolikhetslära och statistik
(beskrivande statistik, kort kurs), de tre senare till vänster i en kurs i matematiska modeller
(exponentiell tillväxt, kort kurs), de tre första rubrikerna till höger i en kurs i
sannolikhetslära och statistik (statistisk analys, lång kurs) och de tre återstående i en kurs i
differentialkalkyl (extremvärden, lång kurs).
Det är klart att ett modelleringsprojekt inte är lämpligt eller ryms in i alla våra kurser.
Speciellt lämpliga kurser för projektarbete är sådana som behandlar matematiska modeller,
beskrivande statistik eller statistisk analys. Dessutom finns det hos oss en möjlighet att
relativt fritt komponera en tilläggskurs, där ett modelleringsprojekt kan utgöra en del. En
bärande tanke är att varje elev åtminstone en gång under sin gymnasietid borde få chansen
att delta i ett modelleringsprojekt.
Sammanfattning med elevresponser
Eleverna respons på minitesten är nästan odelat positiv. Någon enstaka elev kan känna sig
pressad av ”många prov” men de flesta uppskattar att de tvingas följa bättre med i kursen
och får ett bra tillfälle att öva sig inför kursprovet. Ett minitest som lyckats bra ger bättre
självförtroende och har det inte lyckats bra vet man ju vilket avsnitt man borde jobba med.
Elever som är ambitiösa uppskattar i hög grad möjligheten att med minitest ev. höja sina
poäng i kursen. Dessutom finns det också elever som inser att metodbeskrivningar och
problemlösning ger en bättre inlärning och bäddar för ett bättre kursprov och för framtiden.
Ett modelleringsprojekt är för de flesta elever ett rätt främmande sätt att arbeta inom
matematiken. Trots att resultatet växer fram som processkrivning med lärarens hjälp
reagerar en del elever på att det är svårt att jobba med projekt. Ibland kan det också bli
stressigt om det är svårt att hitta gemensamma tider i gruppen eller när andra kurser tar
mycket tid. Förhållandevis många elever både på lång och kort kurs har dock visat
uppskattning för att de får en utmaning och får göra någonting som känns omväxlande och
annorlunda och rentav ansvarsfullt. Andra positiva kommentarer är intressant, roligt,
lärorikt och nyttigt. Den bästa kommentaren hittills är väl den att ”nu vet jag att jag vill bli
matematiklärare”.
EMU-projektet genomförs inte i en så stor omfattning och med sådan tidtabell att det i detta
skede finns så mycket publicerat om projektet. Minitesten har använts sedan projektstarten
och de har både inom Vasa övningsskola och via lärarutbildningen fått en god spridning.
Beträffande modelleringsprojekten pågår ännu bearbetningen av resultaten. Både när det
gäller minitest och modelleringsprojekt är erfarenheterna nog så inspirerande att det känns
mycket meningsfullt att arbeta vidare med projektet.
163
Finns det broar mellan matematik och dramatik ?
Skolverksrapporten ”Lusten att lära – med fokus på matematik” visar att en av
framgångsfaktorerna är variation i undervisningen. Ett sätt att variera kommunikationen i
klassrummet är ”dramatisering”. Att använda vår egen kropp, ta tillvara fler sinnen och
olika inlärningsstilar hos eleverna.
I arbetspasset får deltagarna pröva på matematikövningar i ”dramaform” som med lätthet
kan omarbetas till aktuell åldersgrupp.
Marie Skedinger-Jacobson är anställd vid Malmö Högskola och har arbetat som
matematiklärare inom grund-, gymnasieskola och komvux.
WORKSHOP
Teorier för lärande
Teorier för lärande såsom socialkonstruktivism samt symbolisk interaktionism går att
identifiera då vi väljer att variera genom att utnyttja dramaformer, rörelser och musik. Det
sociala samspelet utvecklas samtidigt som matematiska begrepp belyses på ett annorlunda
sätt. En av dimensionerna i lärandets komplexitet är den sociala. Enligt faktorsamspelsmodellen(Magne-Thörn) är matematikkunskaper ett samspel mellan matematikens
logiskt uppbyggda stoff och den lärande individens mentala och sociala skaparkraft.
Bauersfeldt (1995) menar att elevernas kunskap och aktiva inlärning uppstår i ett socialt
nätverk. Gardners teori om de många intelligenserna bekräftar också vår syn på
lärandeprocessens komplexitet. ”Ett enhetligt sätt att undervisa och bedöma är helt och
hållet otillfredställande när vi alla är så olika”(Howard Gardner). Eleven måste alltså ha rätt
till att olika förklaringsmodeller används i undervisningen.
Elever lär sig på olika sätt
Det har man känt till länge och det visar även olika forskningsrapporter. Varför nyttjar man
denna kunskap mera sällan i matematikundervisningen än i andra ämnen?
Att använda sig av olika representationsformer är viktigt i detta sammanhang vilka
appellerar till fler sinnen och som utgår från elevers olika behov.
Matematikundervisningen är i särställning när det gäller varierad undervisning. Det är
mycket vanligare att det sker variation i övriga skolämnen. Varför? Redan i en lärobok i
matematik från 1896 kan man läsa följande i förordet
”Läraren har företräde framför den undervisning som läroboken ensam för sig kan
meddela. Denna kan nemligen ej lämpas efter olika elevers uppfattningsförmåga; en
framställning, som är passande och fullt begriplig för en, är för knapphändig och
obegriplig för en annan och mer än nödigt omständlig för en tredje.
……
Då ändamålet med undervisningen icke får anses vara att låta lärljungen på möjligast
korta tid genomgå ett visst antal exempel, utan i första rummet att utbilda hans förmåga att
af eget tankearbete, att väcka hans intresse för den vetenskap, hvari han undervisas,
meddela honom lust och förmåga att på egen hand gå fram i densamma, och använda den
på lösningen af frågor ur naturen och lifvet, så bör ej kunna ifrågakomma att uppställa
läroboken i form av korta regler, uttryckta i ord eller formler.”
En orsak tycker jag mig finna i att matematik är så traditionsbundet och att det ofta är ett
andraämne för lärare i de senare skolåren. Laborativa aktiviteter planeras bara för
förstahandsämnet. I de tidigare skolåren är en orsak att många lärare har fått för lite
matematikundervisning i sin utbildning vilket gör undervisningen bunden till en lärobok. I
svenska språket är det vanligare att man har ett friare förhållningssätt . Där kan tex elever
mycket väl själva få bestämma vilka bokstäver man vill arbeta med först. Men i matematik
”kan man inte” t ex börja med det spännande talet tusen.
.
Att arbeta med drama –“like a bridge over trouble water”
Skolverkets kvalitetsgranskning, Lusten att lära -med fokus på matematik, pekar på ett antal
faktorer i matematikundervisningen som gör att många elever känner olust inför ämnet. Att
upplevda svårigheter i matematik beror på att självförtroendet har knäckts på vägen är känt
för många. Detta är grymt och orättvisst då matematik ju är att tänka. Varför har inte alla
elever fått och får erfara det? Att deras tanke duger och att matematik inte är regler som
trillat ner från himlen och som skall tas emot oreflekterat. Varför har inte alla elever fått se
att matematik är mer än så - roligt, vackert, ett internationellt språk, spännande och
användbart i många sammanhang. Att goda kunskaper i matematik är en demokratisk
rättighet för att inte bli vilseförd i vårt komplexa samhälle.
De dramaliknande aktiviteter som presenteras i workshopen har jag använt ”like a bridge
over trouble water” Det är ett sätt att vända olust till lust inför matematikämnet. Att det är
en väg bekräftas också i rapporten Lusten att lära. Jag avser då speciellt avsnittet där man
beskriver tillfällen då elever känt lust att lära. Detta är just då både kropp och själ
engagerats. Men även då man fått en aha-upplevelse. Det sistnämnda fås inte av alla elever
samtidigt. Lärarens uppgift blir därför att variera undervisningen så eleven får möjlighet att
få syn på begreppet från olika håll. Genom att mötas i klassrummet i varierande former och
engagera flera av elevernas sinnen ökar möjligheten för den sociala interaktion som
eftersträvas. Att elever har olika inlärningsstilar tas till vara och fler kommer med på tåget
efterhand.
I vilka områden och för vilka elevgrupper passar dramatisering?
Mitt svar på den frågan är de flesta. Det är endast den egna fantasin som sätter
gränser. Ju mer man använder sig av detta arbetssätt ju mer stimulerad och
kreativ blir man. Särskilt när man möts med lust och respekt av eleverna. Det
får man förstås inte gratis. Aktiviteterna måste följas upp på ett konstruktivt
sätt. Låt eleverna formulera slutsatserna. En vanlig lärarsjukdom är att man
efter en genomförd aktivitet säger: ”Nu ser vi att……”. Hur många elever har
sett precis det du tänker dig? Hur vet man det? Fråga i stället: ”Vad har du
sett?”. ”Vad har vi lärt oss när vi gjorde detta?” ”Har vi visat det på ett annat
sätt tidigare?” Tyvärr har vi lärare ofta svårt för att hålla tyst vid rätt tillfälle.
Vilken rätt har vi att inte låta eleven själv få uppleva tänkandets kraft?!
Variera med drama måste förstås användas måttligt och i ett tydligt syfte.
Detta är som tidigare nämnts endast ett sätt att variera för att eleverna inte
skall utsättas för reprispedagogik. Mottot för mig är - repetera med variation!
I denna workshop genomför deltagarna själva aktiviteter inom olika matematikområden och
får därigenom möjlighet till egna upplevelser. Vi upptäcker funktionssamband med hjälp av
våra egna rörelser, vi identifierar oss med historiska personer, matematiska uttryck, siffror
och tal inom olika talområden. Vidare räknar vi i olika baser, stärker vår taluppfattningsoch huvudräkningsförmåga. Vi gör simuleringsförsök till musik, sjunger, dansar mm.
Matematikinnehåll och utvecklingspotentialen i aktiviteterna diskuteras.
Observera att några aktiviteter som genomfördes i passet, Dramatisera mera, vid biennalen
i Norrköping kommer att upprepas här.
Referenser
Hägglund K. Dramabok. Stockholm. Liber
Lovitt,C&Clarke, D.(1992). MCTP:s Activity Bank
Magne, O (1998). Att lyckas med matematik i grundskolan. Lund: Studentlitteratur
Skedinger-Jacobson, M (1996, 1998). Artiklar i Nämnaren
Skolverket(2003) Lusten att lära-med fokus på matematik. Rapport 221
164
En modern gymnasieundervisning i matematik
Vi diskuterar hur man skulle kunna uppnå större förståelse, förbättrad räknefärdighet, ökat
intresse för matematik på framför allt NV-programmet samt hur gapet mellan gymnasium
och högskola skulle kunna minskas. Vi presenterar idéer för och erfarenheter av hur
matematikundervisningen på gymnasiet skulle kunna organiseras, vad den borde innehålla
samt hur man kan använda datorer och räknare för att uppnå ovanstående.
David Sjöstrand är lektor i matematik vid Elof Lindälvs gymnasium, Kungsbacka
Föreläsning
1. Den stora utmaningen



Alla elever skall ha en matematikundervisning anpassad efter sin nivå.
Alla elever skall få tillfälle att visa vad han/hon kan.
En meningsfull, rolig och intressant datoranvändning skall integreras på ett naturligt
sätt.
2. Hur kan man göra?
Ett lärarlag (2 – 4 lärare) i matematik för alla parallellklasser på ett program – föreläsning i
storklass 50 – 70 elever – studiepass – spontana gruppindelningar.
Datorer placeras i studiehallar så att de alltid är tillgängliga för eleverna.
I ett beting på 2 – 3 veckor ingår bl.a. datoruppgifter. Datoruppgifter kan göras i skolan
eller hemma.
Prov och redovisningar
Traditionella prov innebär en orealistisk situation för eleven. Ge eleverna provet 1 – 2
veckor i förväg. Inlämningsuppgifter - muntliga redovisningar.
3. Datoranvändning
A. Beräkningar – grafer
Sambandet graf – ekvation - olikhet är centralt och eleverna kan få en bättre förståelse med
hjälp av datorkraft.
Exempel 1. Plotta y  x 2 , y  x2 och y  x2 med Derive.
Förklara resultatet
Exempel 2: Åstadkom dessa figur med Derive
Numerisk beräkning av derivator och integraler kan ge en ökad begreppsförståelse.
Sambandet summor – integraler kan göras mer tydligt.
Exempel 3. Låt f ( x)  x 2 . a) Beräkna ett närmevärde till
b  a n 1
n  n
k 0
b) Beräkna exakta värdet av lim

 f  a  k
1 99
100 k 0

1 
 f 1  k 100  med Derive.
ba
 med Derive. Förklara resultaten.
n 
x
d
f (t )dt  f ( x)
Exempel 4. Undersök
dx a

b
Hur många elever kan förklara varför
 f ( x)dx   F ( x)
x b
xa
? Borde man inte kunna det, om
a
man skall använda det för att beräkna integraler med hjälp av primitiva funktioner?
x
d
f (t )dt  f ( x) ?
Hur många gymnasieelever förstår att
dx a

Exempel 5. Härled D sin x och D cos x genom att zooma in mot en punkt på enhetscirkeln eller kan man härleda derivatan av funktionerna y = sin t och x = cos t utan att använda
någon som helst trigonometrisk formel?
Modern teknologi kan göra att man ser gamla sanningar i en ny dager. En morgon när
föredragshållaren gick för att utfodra familjens tre hästar slogs jag av tanken att man borde
kunna härleda derivatan av funktionen y = sin t utan att behöva använda någon som helst
trigonometrisk formel. Kvällen innan hade jag ägnat mig åt zoomning. Jag hade med det
mycket fascinerande datoralgebraiska systemet DERIVE upptäckt en sak, som åhöraren
och jag redan vet. Nämligen att en deriverbar kurva i en omgivning av en punkt
sammanfaller med sin tangent eller annorlunda uttryckt en deriverbar kurva är lokalt linjär1.
Detta gäller naturligtvis även enhetscirkeln. Med DERIVE åstadkommer man lätt
nedanstående figurer.
I den vänstra figuren ser vi en del av enhetscirkeln. Den högra figuren är det man ser om
man zoomar in mot punkten P: (cos t, sin t). (Vi har förstorat 2000 ggr.) Cirkeln
sammanfaller i en omgivning av P med sin tangent i P2. De tre rätvinkliga trianglar man ser
i dessa två figurer är likformiga. Av likformigheten följer:
dy QO cos t
 dx PQ sin t


 cos t samt


 sin t .
dt
OP
1
dt
OP
1
dy
dx
Vi har alltså bevisat att
 cos t och
  sin t , utan användning av den trigonometriska
dt
dt
formelapparaten. Frågan i rubriken är därmed med ja besvarad!
Exempel 6. Det finns massor av dimensioner. Dubbel - trippel- och multipelintegraler.
1
Motsvarande gäller för differentierbara ytor. Jordklotet tycks oss, som lever på dess yta, platt. Jordens
buktiga yta sammanfaller lokalt med tangentplan genom den punkt vi står på. För betraktare långt bort t.ex.
på månen är jorden rund.
2 En liten bakterie, som framlever sitt liv på enhetscirkeln tror säkert att den är en rät linje på samma sätt som
människor förr i tiden trodde att jorden var platt.
a) Vi skall se hur man kan beräkna massan av inhomogena kroppar.
b) Vi skall se hur man med Derive kan beräkna volymerna av 4 - och 5 – dimensionella
sfärer exakt. Det gäller dock att lägga ihop volymelementen i en lämplig ordning. Att
beräkna volymen av dylika sfärer är egentligen inte svårare än att addera talen i en matris,
man adderar lämpligen först radvis (eller kolumnvis) varefter man adderar de erhållna
summorna. Se nedanstående tabell.
Summor

a i b
ck d
Integraler




aik     aik      aik 
i  a  k c
 k c  i  a 
b
d
d
b



Vn  r   aijk    aijk 


a i b
i a  c j d
c j d
ek  f


e k  f
b

a i b
c j d
e k  f
g l  h




    aijkl 

i a  c j d
 egkl hf



b
aijkl

D
 2 ( x )

f ( x, y )dxdy     f ( x, y )dy  dx


  1 ( x )


D



f ( x, y, z )dxdydz     f ( x, y, z )dxdy  dz


  Dz


  f ( x, y, z, u)dxdydzdu =
D


f
(
x
,
y
,
z
,
u
)
dxdydz

 du
  

  Du


Vi skall också se hur man verifierar att resultaten är korrekta genom att uttnyttja Excel för
att beräkna närmevärden till volymerna med Monte - Carlo-metoden.
Låt Vn(r ) vara volymen av ett n-dimensionellt klot med radien r. Exempelvis är en endimensionell sfär med radien r en sträcka med längden 2r,en 2-dimensionell sfär är en
cirkel med radien r.
Beräkningarna ovan görs lätt med Derive.
Avslutning
Dagens ungdom står inför enorma utmaningar. Matematiken och matematikundervisningen
kommer att spela en allt större roll. Vår utmaning som matematiklärare är att inspirera våra
elever att nå längre när det gäller kunskap i och förståelse av matematik.
165
Cellulära automater
Cellular automata – a project task for Matematik Diskret on the Swedish Natural Science program
A cellular automation is a collection of ”colored” cells on a grid of specified shape that
evolves through a number of discrete time steps according to a set of rules based on the
states of neighbouring cells. The rules are then applied iteratively for as many time steps as
desired.
We will see that investigation of cellular automata using for example Derive, Excel, the TI
Voyage 200, Mathematica and Wolfram Research’s A New Kind of Science Explorer
would be a very nice task in the course Matematik Diskret on the Swedish Natural Science
program.
Josef Böhm är ordförande i Derive User Group och har i många år verkat som
gymnasielärare i Österrike.
David Sjöstrand, lektor i matematik vid Elof Lindälvs gymnasium, Kungsbacka.
Workshop
En cellulär automat är en samling “färgade” celler i ett rutnät. Färgerna uppdateras enligt en
speciell regel.
Vi tänker oss en rad, med obegränsad utsträckning åt såväl vänster som höger, med rutor
eller celler, som är fyllda med antingen svart eller vit färg.
Vi tänker oss även att varje cell i raden ändrar färg enligt en regel beroende på dess och de
närmaste grannarnas färg. Färgändringen sker samtidigt i alla celler. Regler för färgändring
kan anges på en del olika sätt. På detta sätt ger regeln upphov det olika generationer.
Vi kommer att visa att en undersökning av några cellulära automater med t.ex. Derive,
Excel, Voyage 200, Mathematica and Wolfram Research´s A New Kind of Science
Explorer utgör ett intressant projektarbete inom ramen för kursen Matematik Diskret vad
gäller bl.a. binära tal och satslogik.
En känd och intressant regel är rule 30, som kan definieras så här:
Övning. Det finns 256 regler av denna typ. Visa detta.
På http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html finns alla de 256
elementära endimensionella cellulära automaterna åskådliggjorda.
Övning. Bestm antalet funktioner f : A  B , där antalet element i A är a och antalet
element i B är b.
Om man identifierar vitt med 0 och svart med 1 kan man formulera en regel av denna typ
med en funktion f :{0,1}  {0,1} {0,1}  {0,1} på följande sätt:
Färgen på en cell bestäms av f ( p, q, r ) där p, q, och r färgen på den vänstra grannen, cellen
själv respektive den högra grannen. För rule 30 gäller således att
f (1,1,1)  0, f (1,1,0)  0, f (1,0,1)  0, f (1,0,0)  1, f (0,1,1)  1, f (0,1,0)  1, f (0,0,1)  1, f (0,0,0)  0
Vi ser att (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), ... (0,0,1), (0, 0, 0) svarar mot talen 7, 6, 5, ... 1, 0 i
binär form. Vi ser även att högerleden bildar talet 00011110, vilket är 30 i binär form,
därav namnet rule 30.
Man kan lyckligtvis bestämma ett polynom i p, q och r, som ger värdena av f.
A. Ansätt ett polynom
Ett sätt att göra detta är att ansätta
f ( p, q, r )  apqr  bpq  cqr  drp  ep  fq  gr  h
samt att sedan bestämma de 8 koefficienterna , a, b, ..., h genom att lösa det
ekvationssystem som består av de 8 likheterna ovan. Man kan med fördel använda Derive.





Vi ser att f ( p, q, r )  2 pqr  2 pq  qr  2rp  p  q  r .
B. Logik
Om vi identifierar svart med SANT och vitt med FALSKT ser vi att vi kan uttrycka rule 30
på detta sätt
 p  q  r    p  q  r   p  q  r   p  q  r  .
Om vi gör följande definitioner i Derive, kan vi bestämma ett polynom, som ger rule 30.























Denna formel är onödigt stor. Man göra ersätta den med en mycket enklare genom att
utnyttja att p n  p, q n  q, r n  r , n  1 .
Övning. Enligt S. Wolfram, A New Kind of Science sid 884 ges rule 30 av p  q  r  .
 står för XOR (exlusive or).
a) Visa att
 p  q  r    p  q  r    p  q  r   p  q  r   p  q  r  geno
m att använda funktionen TRUTH_TABLE i Derive.
b) Använd uttrycket p  q  r  för att skapa ett polynom för rule 30. Använd Derive
eller räkna för hand.
Rule 30 med Excel
Vi kan nu åskådliggöra ett antal generationer av Rule 30 i ett
kalkylblad i Excel. I den första generationen finns endast en
svart cell eller en cell innehållande värdet 1.
Anvisningar
1. Skapa en egendefinierad funktion
rule30( p, q, r )  2 pqr  2 pq  qr  2rp  p  q  r .
a) Öppna Visual Basic Editor genom att välja Verktyg Makro Visual Basic Editor.
b) Välj sedan Infoga Modul.
c) Skriv in följande
Function rule30(p, q, r)
rule30 = p + q + r - q * r - 2 * p * q - 2 * p * r + 2 * p * q * r
End Function
Funktionen Rule30 kan nu användas i ett kalkylblad.
2. Skriv in 1 i cell DG1 samt =Rule30(DF1;DG1;DH1) i cell DG2. Kopiera sedan formler
så att du får ett kalkylblad av den typ som fins i figuren ovan.
3. Du kan sedan modifiera cellernas storlek
med Format Kolumn Bredd, Format Rad
Höjd.
Man kan lätt man göra de celler, som innehåller
1:or svarta.
I figuren här bredvid har vi åskådliggjort 78 generationer av Rule 30.
Övning. Åskådligör ett antal generationer av rule 90 och rule 110 med Excel.
Med hjälp
Derive kan
av
man
exempelvis åstadkomma dessa figurer. Den
ursprungliga generationen består av flera 1:or och 0:or.
Rule 30
Rule
110
A New Kind of Science Explorer
A New Kind of Science Explorer är en programvara från Wolfram Research med vilken
man kan göra alla de experiment med cellulära automater vilka beskrivs i [1.] Man kan
“zooma” var som helst i en cellulär automat.
Med programmet kan man även
undersöka cellulära automater av
högre dimension och med mer
komplicerade uppdateringsregler
än vad vi beskrivit ovan samt
sådana som är uppbyggda av fler
färger.
Litteratur:
[1.] S. Wolfram, A New Kind of Science
Länkar:
http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html
http://www.math.usf.edu/~eclark/ANKOS_reviews.html
174
Att konkretisera eller manipulera
Hur kan matematikundervisningen göras begriplig för alla elever? Det gäller att som lärare
se undervisningen ur elevens perspektiv och därigenom möjliggöra för den enskilde eleven
att få förståelse och kontinuitet i undervisningen. Under föreläsningen kommer
begreppet konkretisering att problematiseras utgående från exempel tagna såväl från den
grundläggande matematikinlärningen som från arbete med cirkelns area och
ekvationslösning
Madeleine Löwing är universitetslektor i matematikämnets didaktik vid Göteborgs
universitet
Föreläsning
Skolans matematikundervisning har ett antal övergripande mål när det gäller innehållet.
Enligt kursplanen i matematik (Skolverket, 2000) gäller att
Eleverna skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna
beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och
samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning. (s. 26)
Olika elever har olika möjligheter att nå dessa mål. Speciellt för yngre elever är en hel
del av matematikämnets innehåll abstrakt och därmed svårt att förstå. För att komma till
rätt med det problemet är det viktigt att deras lärare konkretiserar undervisningen.
För att en konkretisering skall komma till stånd krävs det först och främst att man har
något som skall konkretiseras, alltså något som eleverna har problem med att uppfatta.
Om en elev har problem med uppgifter som 3 + 6, så kan man konkretisera detta med till
exempel gem. Frågan är emellertid vad det är som skall konkretiseras. En elev som kan
räkna 9 föremål, kan givetvis addera 3 gem och 6 gem genom en uppräkning av 9
föremål. För att avgöra om det som då skett är en konkretisering eller en ren
manipulation, gäller det att avgöra vad det är man har konkretiserat. Om den aktivitet
som utförts innebär att eleven bara har räknat upp antalet föremål, så har detta ett
mycket begränsat värde. Den tekniken kan för stunden ge rätt svar med håller inte när
man kommer till uppgifter som 3 + 46. Om den teknik man använt istället gått ut att
räkna vidare från det största talet, alltså att räkna uppåt i tre steg från 6, så hade den
strategi som konkretiserades kunnat användas även för att beräkna 3 + 46 genom
uppåträkning i 3 steg från 46. Man har i det fallet konkretiserat en additionsstrategi som
är utvecklingsbar. Under min föreläsning kommer jag att ge fler exempel som visar på
skillnaden mellan att konkretisera och att manipulera.
Ett vanligt misstag vid konkretisering är att eleverna tillåts använda materialet en längre
tid även sedan de förstått den idé/strategi man velat lyfta fram. Istället för att använda
sig av det nya tänkandet, som är målet, så hindrar man dem från att använda och
konsolidera detta tänkande. Mot detta kan man invända att eleverna kanske ännu inte har
förstått och därmed fortfarande behöver materialet som stöd. Det troliga i ett sådant fall
är att man inte konkretiserat, man har inte lyckats synliggöra strategin för den eleven.
En vanlig uppfattning är att konkretisering sker med hjälp av material. Men materialets
roll är ju bara att belysa något då språket inte räcker till för att förklara. Ofta är det
emellertid så att eleverna redan har en erfarenhet av något som kan bidra till en
förståelse. Om till exempel elever har problem med en uppgift som 13 - 9, så brukar en
rimlig konkretisering kunna knyta till pengar. Eleven brukar kunna tänka sig att hon har
13 kronor, en tia och tre enkronor, och skall köpa något för 9 kronor. De flesta elever
känner säkert igen situationen och vet att man kan betala med tian och då får 1 krona
tillbaka. Man har i så fall kunnat konkretisera räkneoperationen utan hjälp av material.
Självklart kan man komplettera detta med att eleven får simulera köpet med hjälp av
pengar. Observera emellertid att det i så fall inte är pengarna som konkretiserar, det är
idén med köpet som är konkretiserande. Pengarna är bara ett hjälpmedel som används
för att beskriva operationen.
För att utveckla detta ett steg till så är det viktigt att all konkretisering knyts till en teori
för det som skall läras. Om man med hjälp av ett material eller en metafor skall
konkretisera något, så är det viktigt att detta ingår i en plan för hur kunskapen i fråga
skall utvecklas. Som exempel passar en pizza eller tårta bra när det gäller att beskriva tal
som 1/3 eller 2/5. Det är emellertid inte lika lätt att använda pizzan för att förklara
additionen 1/3 + 2/5. Genom att istället börja förklara bråks storleksordning med hjälp
av en chokladkaka kan man på sikt använda samma förklaringsmodell för att uppfatta
begreppet bråk som för att addera eller subtrahera tal i bråkform.
Man kan sammanfatta detta så att konkretiseringen ofta saknar värde på sikt om man
inte knyter konkretiseringen till en didaktisk ämnesteori. Utan en teori/struktur för det
innehåll man vill konkretisera blir konkretiseringen lätt en manipulation för stunden.
Ett annat problem är kopplingen mellan konkretisering och aktivitet. Elever lär sig inte
matematik genom att vara fysiskt aktiva. De lär sig matematik genom att tänka och
arbeta med matematik. Man måste skilja mellan elevernas behov av aktivitet och
kunskap. Ibland kan dessa behov förenas men att detta bör inte tas för givet.
Som lärare deltar man i arbetslag som under olika perioder har ansvar för olika grupper
av elever. Detta kräver en planering. En förutsättning för en god planering är att man har
gemensamma referensramar och ett gemensamt språk. Om lärare till exempel lägger
olika betydelser i ord som konkretisera, så kan det leda till bekymmer för eleverna. Av
det skälet kommer jag också under min föreläsning att fördjupa mig i följande ord och
begrepp.
Konkret material. Ett material kan aldrig vara konkret. Materialet är dött och bär därför
inte något budskap i sig. Det är läraren som ger materialet ett budskap, använder det för
att konkretisera något.
Artefakt. Med detta menas något av människan tillverkat. Tiobasmaterialet eller
Cuisenaires räknestavar och dylikt är artefakter. De är tillverkade för att underlätta
elevers förståelse för tal och aritmetik. Även dessa material bär inget budskap i sig utan
tilldelas en betydelse.
Metafor. Med detta menas bildöverförelse såsom när man kallar kamelen för öknens
skepp. En metafor ger för det mesta bara en av många betydelser. Kamelen är inte ett
skepp. Att använda en metafor kan därför ge problem. Att t.ex. använda metaforen
temperaturskillnad för subtraktion av negativa tal kan ge en aha-upplevelse till en viss
gräns men kan samtidigt hindra eleven från att verkligen förstå de negativa talens
egenskaper.
1. Att arbeta med hjälp av metaforer: Man använder t.ex. termometern för att lyfta fram
en viss egenskap hos negativa tal. Målet är då att ge eleven ett praktiskt exempel eller en
tankeform som belyser hur strukturen för negativa tal ser ut. Arbetet sker därefter
formellt men vid behov med tankestöd från metaforen.
2. Att arbeta i metaforen: För att undvika teoretiska problem låter man eleverna hela
tiden använda metaforen vid lösning av problem. Man har i så fall inte använt metaforen
för att förklara ett begrepp eller en modell utan låst fast eleven i en metod som inte kan
vidareutvecklas. Detta fungera för stunder men blir på sikt ett allvarligt hinder för
djupare förståelse.
Konkretisera. Att konkretisera innebär att man tar en artefakt eller en metafor till hjälp
för att förklara något. Det är då viktigt att man använder artefakten eller metaforen för
att göra en struktur eller modell synlig. Man använder den alltså som ett förklarande
komplement till språket när detta inte räcker till. Det betyder att metaforen måsta ha och
att artefakten måste ges samma struktur som det som skall förklaras.
Manipulera. När man konkretiserar ett begrepp t.ex. men hjälp av ett laborativt material
(artefakt) så är det viktigt att det är begreppet som förklaras. Man lär sig inte begrepp
genom manipulation. Att låta eleverna räkna på fingrarna kan ibland vara en bra metod
för att bygga upp ett talbegrepp för talen mellan 0 och 10. Men om man låter eleverna
räkna alla uppgifter på fingrarna, så bygger man inte upp ett talbegrepp som kan
utvecklas. Begreppet kan inte generaliseras från 9 - 5 till 49 - 45.
175
Elevers intresse som urvalsinstrument
Föredraget handlar om mitt arbete med elever som kommer av matematikintresse och
därmed inte nödvändigtvis behöver vara de mest begåvade. Jag skapar broar mellan
”traditionell” grundskolematematik och ett djupare matematiskt tänkande. Viktiga
beståndsdelar i arbetssättet är problemlösning och lustfyllda aktiviteter som förädlar
elevernas tankestrukturer.
Sören Karlsson, högskoleadjunkt i matematikämnets didaktik vid Lärarhögskolan i
Stockholm. Arbetar också med en år-8 grupp med matematikintresserade elever i
Hemmesta 6-9-skola i Värmdö kommun. Gudrun Malmerstipendiat. Läromedelsförfattare.
Föreläsning
Bakgrund
I kursplan 2000 i matematik står bland annat under rubriken ”Ämnets karaktär och
uppbyggnad”:
För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa,
problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och
uttrycksformer. Detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever
i behov av särskilda utmaningar.
Ovanstående citat var en viktig utgångspunkt när vi ht-01 startade en grupp i fördjupad
matematik Hemmestaskolans 6 – 9 – avdelning. Elever i år 6 med särskilt intresse för
matematik gavs möjlighet att välja en grupp med fördjupade matematiska studier. I år 6
förändrades inte timplanen men från och med år 7 utökades undervisningstiden med 40
minuter. Detta medför att eleverna har 200 min matematik per vecka under hela senare
delen av grundskolan. Eleverna och deras föräldrar fick skriva på en bindande anmälan för
de 4 åren.
Det krav på matematisk kunskap vi ställde var att de skulle ha uppnått godkändnivån på år
5-diagnoserna, i övrigt skulle intresset för matematik vara det som avgjorde.
För att kartlägga elevernas intressesfär i övrigt fick de besvara några frågor av allmän
karaktär. De fick också närmare motivera varför de valde att gå i mattegrupp och också
beskriva hur de tyckte man skulle arbeta på matematiklektionerna.
I en gruppen av intresserade elever finns många olika typer av elever. Här finns till
exempel…

eleven som snabbt tar till sig ett nytt begrepp och som snabbt lär sig vissa
färdigheter. Den eleven behöver bara höra en sak en gång för att förstå.

eller eleven som behöver längre tid för ovanstående och som ofta inte får denna tid
och därför riskeras att klassas som svagpresterande. Eleven är en god tänkare.

eller eleven som gillar det som är klurigt och som har förmågan att fråga om nästa
steg i en matematisk framställning av ren nyfikenhet.

eller eleven som jobbar bäst ensam när det är tyst och som alltid har gjort det som
planerats men som tycker det är mycket jobbigt att arbeta i grupp. Att prata inför
hela gruppen är nästan omöjligt.
Att finna en arbetsmodell
Det gäller alltså att finna en arbetsmodell som möjliggör att elevernas intresse kvarstår och
som ger möjligheter till utveckling av elevernas svaga och starka sidor.
Efter diskussioner i mattegruppen och provkörningar av några olika varianter växte
nedanstående planeringsstruktur fram.
MATTEGRUPPEN ÅR 7
PLANERING VECKA ________
Mattevärdar: Två stycken varje vecka. En tvåveckors varaktighet med överlappande
byten. Värdarnas huvudsakliga uppgifter:
Hjälpa till med praktiska göromål.
Bidra med små pedagogiska uppgifter som t ex att presentera ett
problem, hålla i en färdighetstränande övning och
liknande.
Vara gruppens representanter utåt.
Arbetsgång:
Uppföljning av föregående veckas läxa. Diskussion av lösningar. Här
Måndag 60 min
finns uppgifter som utgör grunden för matematisk utvidgning.
Onsdag 80 min
Eventuell genomgång.
Arbete med uppgifter.
Huvudräknings/överslagsträning mm
Veckoläxa
Motsvarar två
vanliga
dagsläxor
Fredag 60 min
Del A: Inlämningsboken (I-boken) lämnas in med gjorda uppgifter
senast fredag. Utgör grunden för måndagens lektion.
Del B: Färdighetstränande del, ofta huvudräkningsträning. Denna del
bör tränas vid flera tillfällen under veckan. Den motsvarar det moment
man för tillfället arbetar med och behöver inte vara lika för alla.
Kontinuerlig huvudräkningsuppföljning sker oftast genom små
veckotest där eleven efterhand arbetar med allt svårare uppgifter.
I-böckerna inlämnas.
Tid disponerad av värdarna.
Arbete med uppgifter och eventuella uppkomna frågor.
Nästa veckas planering – plats för elevsynpunkter.
Uppgifter:
Godkändnivå
Dessa uppgifter är minimikravet
för veckan.
Man ska sträva efter att förstå
uppgifterna så att man vid behov
kan förklara dem för en kamrat.
Mot mera matte
Här finns svårare övningar inom delvis samma
område. Sådana uppgifter kan delvis ersätta lättare
uppgifter om man redan inhämtat grunderna.
Individuellt anpassade uppgifter eller program efter
rådfrågning av lärare.
Kommentarer till planeringsschemat
En orsak till stress är att man ska försöka hinna med lärobokens tänkta planering. I det av
PRIM-gruppen utarbetade analysschemat för grundskolan finnes en huvudstruktur som
framgår av nedanstående schema:
Statistik och sannolikhet
Mätningar, rumsuppfattning och
geometriska samband
Taluppfattning
Mönster och samband
Genom att begränsa antalet områden till fyra under ett läsår får man utrymme till ett
kvalitativt arbete i stället för ett kvantitativt. Genom ett målstyrt tänkande kan man
tillsammans med eleverna komma överens om vilket område som man behöver arbeta med.
För att få en överblick över elevernas kunskaper kan man i början av varje läsår gå igenom
ett tänkt innehåll och genom exemplifiering av uppgifter kartlägga hur långt eleverna
kommit inom varje område. Självutvärdering är här viktig.
Genom att eleverna varje vecka får en veckoplanering blir det den som styr arbetet och på
så sätt möjliggörs att ett läromedel kan användas på ett friare sätt. Det möjliggör också
alternativa vägar för att uppnå ställda mål.
Naturligtvis utgör färdighetsträning av olika slag en viktig del av undervisningen. Speciellt
viktig är huvudräkning. Att öronmärka en viss tid varje vecka för färdighetstränande
övningar med små regelbundet återkommande test med anpassade svårighetsgrader är
viktigt. Att på så sätt se hur resultatet förbättras och att så småningom klara ”ribban” och få
arbeta med nästa nivå utgör en sporre för de flesta eleverna.
Inlämningsboken
En viktig del av hemuppgifterna utgöres av problem som ska ligga till grund för
matematiska samtal kommande lektionstillfälle. De görs i en speciell inlämningsbok. I
denna bok tar jag del av lösningarna och kommenterar skriftligt vid behov. Problemen ska
vara av typen ”rika problem” dvs vara av sådan art att de går att lösa med olika metoder och
utgör grund för fördjupade matematiska resonemang. De ska också helst vara sådana
problem som man kan arbeta vidare med genom stegvis utvidgning. På så vis blir
problemlösningen en process där alla efterhand kan tränga in i problemet även om man inte
från början funnit någon ingång. En viktig del i mitt arbete som lärare är att hitta sådana
lämpliga problem.
Inlämningsboken med lösningsförslag eller försök till lösningar blir en av de viktigaste
delarna i arbetet. Den utgör avstampet för den ”förädling av tankestrukturerna” som jag
eftersträvar som lärare.
Områden som är tacksamma för ovanstående arbetssätt är mönsteruppgifter av olika slag
som utmynnar i generaliserande formler, kombinatoriska övningar där en mångfald av
bilder eller siffermässiga kombinationer kan förenklas till numeriskt enklare uttryckssätt.
Inom geometrin kan man studera olika figurers strukturer och försöka hitta mer
generaliserande egenskaper för olika formler. Inom aritmetiken finns många bra exempel.
Några erfarenheter
Om intresset för matematik ska fortleva är det viktigt att man tar hänsyn till elevers olika
styrkor. Det är därför viktigt med varierade arbetsformer men också med de fasta ramar för
arbetet som planeringsschemat ger. Genom ett probleminriktat arbetssätt kan eleverna
upptäcka behovet av, och därigenom få motivation till, att arbeta med vissa begrepps och
färdighetstränande övningar.
Laborativa moment och ämnesintegration utgående från matematiska begrepp är värdefulla
inslag i matematikundervisningen.
Låt läroboken bli ett hjälpmedel bland andra för att uppnå målen.
Ska man arbeta på ett sätt som kursplanen när det gäller elever i behov av särskilda
utmaningar får inte elevgrupperna bli för stora om man vill uppnå ett bra resultat. Duktiga
elever är också i behov av individuella planer och kräver tid för handledning på en för dem
relevant nivå. För att göra detta möjligt får inte gruppstorlekarna bli för stora med
motiveringen att duktiga elever är självgående.
Till slut
Vad jag kommer att ta upp ytterligare på föreläsningen är modeller för hur man kan variera
sin undervisning.
Exempel på lyckade problem med utvecklingsmöjligheter som jag arbetat med. Något hur
eleverna tänker. Exempel på matematiska resonemang.
Något om erfarenheterna från utvärderingen av 8 skolor med ma/no-profil i Storstockholm i
jämförelse med mina egna erfarenheter.
I rapporten ”Det lustfyllda lärandet” (Skolverket rapport 221 jan 03) framhålls lärarens
betydelse som en av de avgörande faktorerna för lusten att lära sig. Det är viktigt att
”Läraren deltar i lärandeprocessen och talar med istället för till eleven”
Om man som lärare själv tycker att det är roligt ökar man chansen att eleverna också
tycker det är roligt.
Litteratur:
LHS, PRIM-gruppen, Analysschema i matematik – för skolår 6 – 9 (Skolverket, 2003)
Trygg, m fl (Red) (2003). NÄMNAREN-TEMA Uppslagsboken (NCM, Göteborgs
universitet)
Lusten att lära – med fokus på matematik (Skolverkets rapport nr 221)
Kjellman (2003). Profilklasser i matematik och naturvetenskap (Forskningsrapport nr 14,
IOL, LHS)
Kjellman (2003) Jämförelse av betyg i ma/no-klasser år 8, vt 2002
(Utbildningsförvaltningens rapportserie 2003:11)
Alvin m fl MEGA-matematik, Ekelunds förlag AB
177
Minoritetselever och matematikutbildning
Från monokulturell till interkulturell matematikundervisning
Vilka kan orsakerna vara till att elever med ett annat modersmål och/eller en annan
kulturell bakgrund är överrepresenterade bland de elever som inte når målen i skolans
matematikundervisning? Utifrån den genomgång av internationell forskning och olika
utvecklingsprojekt som gjorts av föredragshållarna för NCM:s rapport till Skolverket,
Minoritetselever och matematikutbildning - en litteraturöversikt, beskrivs förändringar av
undervisningen som kan ge ett bättre resultat.
Irene Rönnberg och Lennart Rönnberg undervisar i bl. a matematik och svenska som
andraspråk på Grindtorpsskolan i Botkyrka.
Föreläsning
En genomgång av forskning och utvecklingsarbeten visar att det finns många faktorer i
undervisningssituationen som har betydelse för minoritetselevers möjligheter att lära
matematik. Av faktorer som har med undervisningens uppläggning och organisation att
göra har undervisningsspråket en avgörande betydelse. Undervisningen i matematik ställer
stora krav på språkbehärskning. Att lösa textuppgifter i matematik, sk ”benämnda
uppgifter”, utan illustrationer, vilket är vanligt i en traditionell läroboksbaserad
undervisning, innebär att man måste använda språket i en kognitivt krävande,
situationsoberoende och oftast kontextreducerad kommunikation (Chamot & O´Malley,
1987). Detta kräver dekontextualiserade, skolrelaterade, språkfärdigheter (Obondo, 1999;
Säljö, 2000). Matematikundervisningen ställer också krav på att man behärskar och kan
formulera sig med hjälp av ett symbolspråk och det matematiska ”registret”. Detta kan,
förutom svårigheten med själva symbolspråket och ”registret”, också innebära att det ställs
höga krav på språklig korrekthet. Faktorer som har med innehållet i undervisningen att göra
har också betydelse.
Av litteraturen framgår att alla barn, oavsett kulturell och språklig bakgrund, utvecklar
grundläggande, informella, matematiska begrepp innan de börjar skolan. Detta kunnande är
knutet till det egna språket och till erfarenheter från närmiljön. Många lärare som
undervisar elever med annan språklig bakgrund, uppfattar det däremot ofta som att eleverna
inte har nödvändiga begrepp och erfarenheter för att kunna tillgodogöra sig undervisningen.
Detta kan bero på att begreppen är förankrade i andra språk och erfarenheter än vad
undervisningen bygger på och att eleverna därför har svårt att använda dem i en
undervisning på majoritetsspråket. För att eleverna inte ska stanna upp i sin
kunskapsutveckling när de börjar skolan, måste matematikundervisningen knyta an till de
kunskaper och erfarenheter som de har utvecklat före skolstarten. En undervisning på
svenska kan bli svår att följa, inte bara för att den sker på ett andraspråk, utan också för att
den ofta förutsätter kunskaper och erfarenheter som eleverna inte har. Om undervisningen
utgår från ett västerländskt medelklassperspektiv, kan det innebära att kontexten i
matematikuppgifterna uppfattas som främmande av eleven.
Den förändring av matematikundervisningen som krävs för ett förbättrat resultat innebär en
förskjutning från en undervisning med fokus på procedurer som ska läras in, till en
undervisning som fokuserar förståelse av begrepp, där aktiviteter som reflektion och
kommunikation är nödvändiga. Det krävs också att undervisningen förändras från att se
olikheter i elevernas färdigheter och erfarenheter som hinder i undervisningen, till att
istället se dem som en tillgång. Alla elever har en fördel av att den mångfald och variation
av olika erfarenheter av matematik som finns i flerkulturella klasser synliggörs.
Litteratur:
Chamot, A. U. & O´Malley, J. M. (1987). The Cognitive Academic Language Learning
Approach: A Bridge to the Mainstream. TESOL Quarterly . 21( 2). 227-249.
Obondo, M. (1999). Olika kulturer, olika språksocialisation - konsekvenser för utbildning
och social integrering av invandrarbarn. I M. Axelsson (Red.), Tvåspråkiga barn
och skolframgång - mångafalden som resurs. Stockholm: Rinkeby
språkforskningsinstitut.
Rönnberg, I. & Rönnberg, L. (2001). Minoritetselever och matematikundervisning. En litteraturöversikt. Stockholm: Skolverket.
Rönnberg, I. & Rönnberg, L. (2002). On Guiding Second Language Learners in their Numeracy Development- the importance of Beliefs and Attitudes. In Banno Gomes,
N.et al, Reflections on Diversity and Change in Modern Society. Botkyrka: The Multicultural Center.
Secada,W.G., Fennema, E. & Byrd Adajian, L. (Eds.).(1995). New directions for Equity
in Mathematics Education. Cambridge: Cambridge University Press
Säljö, R.(2000). Lärande i praktiken. Ett sociokulturellt perspektiv. Stockholm: Prisma.
Trentacosta, J. & Kenney M. (1997). Multicultural and Gender Equity in the Mathematics Classroom, The Gift of Diversity. 1997 Yearbook NCTM. Reston: NCTM.
179
Matematik på distans: erfarenhetsutbyte och nätverksskapande för både nyfikna och redan
aktiva distanslärare
Vårt uppdrag som statlig myndighet utgörs bl a av kontakter med och stöd till landets
kommunala vuxenutbildning.
Vi erbjuder kommunerna olika former av hjälp i form av lärarfortbildning som skall
leda till att de kan anordna egna kurser i flexibelt lärande och distansutbildning.Vi
har under ett flertal år utvecklat kurser i bl.a. matematik på gymnasienivå på
webben.
Då vi tror att många av våra kommunkontakter kommer att besöka biennalen ser vi det som
ett bra tillfälle att få träffa de lärare som vi haft kontakt med tidigare samt att de får
möjlighet att träffa andra lärare som använder vårt utvecklade distansmaterial och utbyta
erfarenheter, (att bygga broar över kommungränserna).
De som har intresse av flexibelt lärande kan träffas och få information och kanske
inspiration.
Per-Gunnar Olofsson och Eva Lindström, Nationellt centrum för flexibelt lärande, CFL
Föreläsning