2
polynom.nb
Polynom över !
Till varje polynom hör en funktion
Under baskursen bekantade du dig med polynomen över de komplexa talen.
Nedanstående material är till stora delar en repetition av detta stoff.
Notera att ett polynom är inte en funktion, det är “bara” ett syntaktiskt
objekt, ett uttryck | en teckensträng. Men till varje ! œ !@zD hör en
funktion, närmare bestämt funktionen
DEFINITION
!
Grafen till en polynomfunktion
Æ
koefficient
där de s.k. koefficienterna a0 , a1 , …, an œ !.
Det största k:et sådant att ak är nollskild kallas för polynomets grad.
Motsvarande koefficient kallas ledande koefficient. Våra exempelpolynom
har ofta (men inte alltid) ledande koefficient lika med 1.
EXEMPEL 1
Först specialfallet där ! Œ !@xD och x Œ !
Input-output-paren Hx, !HxLL blir i detta fall en delmängd av "2 . Ty
!HxL = an x n + … + a1 x + a0 är reellt då x och koefficienterna är reella.
EXEMPEL 2
-1
Mängden av alla polynom över ! betecknas !@zD.
"@zD, #@zD, $@zD avser motsvarande polynommängder då polynomens
koefficienter tillhör ", # resp. $.
Exempel på polynom
$@zD
#@zD
"@zD
!@zD
5 z3 + z2 + 2 z + 3
!
!
!
!
!
!
!
!
!
z3 +
3
+ 3z +1
5
z3 + p z2 +
z3 + Â
2 z+7
2 z 2 + IÂ +
2 Mz+Â
!
Vår vanligaste kortbeteckning på ett godtyckligt element i !@zD är ! eller
!HzL. Även bokstäverna " , # , $, %, & kommer att användas.
2
x3 - x - x + 1
x2 - 1
5 z 3 + z 2 - Â z + 3 Â är ett polynom över ! av grad 3.
Polynommängderna !@z D, "@z D, #@z D, $@z D
z2
!
Funktionen är en s.k. polynomfunktion. Trots den potentiella förvirringsrisken används samma beteckning för polynomet som för dess funktion.
Ett polynom över ! är ett uttryck av typ
an z n
+…+
ak z k
+ … + a1 z + a0
Æ
ledande
koefficient
z # !HzL
1
2
2
x
-1
1
x
Nu det allmänna fallet där ! Œ "@zD och z Œ "
Här blir polynomfunktions graf en delmängd av ! µ ! = !2 som inte ryms i
det tredimensionella rummet. Därför finns det uppenbara problem att visualisera en sådan funktionsgraf. En modern visualiseringsmodell går ut på att
måla varje komplex punkt med en unik färg. Se nedanför …
Färgkodning av "
Vid s.k. färgkodning av ! tillordnas varje z œ ! en unik kulör och ljushet.
Kulören | dvs. vilken blandning av rött, gult, grönt och blått som skall
användas | bestäms av arg z.
Argumenten 0,
p 2p
, 3 ,
3
p,
4p 5p
, 3
3
tilldelas tex rent röda, gula, gröna, turkos,
blå respektive violetta kulörer. Vad beträffar ljusheten | dvs. hur mycket
vitt eller svart som skall tillsättas | så är det †z§ som avgör. Ju mindre †z§, ju
mer svärta tillsättes. Och z med stort †z§ ljusas upp med vitt.
3
polynom.nb
Argumenten 0,
p 2p
, 3 ,
3
p,
4p 5p
, 3
3
polynom.nb
tilldelas tex rent röda, gula, gröna, turkos,
blå respektive violetta kulörer. Vad beträffar ljusheten | dvs. hur mycket
vitt eller svart som skall tillsättas | så är det †z§ som avgör. Ju mindre †z§, ju
mer svärta tillsättes. Och z med stort †z§ ljusas upp med vitt.
Plan färgkodning av komplexa funktionsgrafer
Den s.k. färggrafen till !HzL fås genom att man målar varje punkt z med
!HzL:s färg. Se exemplen nedanför ….
EXEMPEL 3 Färggraferna till !HzL = z 2 respektive z 3 .
Polynom och delbarhet
Polynom och naturliga tal
Decimalrepresentationen av ett naturligt tal bygger på att naturliga tal kan
skrivas som polynom i $10 @zD där $10 = 80, 1, …, 9< och z = 10:
heltal
103 + 7 ÿ 102 + 5 ÿ 10 + 2
polynom över $10
z3 + 7 z2 + 5 z + 2
Därför är det inte konstigt att många heltalsbegrepp har motsvarigheter för
polynom | något som kommer att visa sig strax …
T.ex. visar de turkosfärgade punkterna på imaginära axeln i den vänstra
grafen att kvadraten på imaginära tal blir negativa. På motsvarande sätt
visar de turkosfärgade strålarna i högra figuren att kuber av tal med argumenten ! 2 p och p blir negativa.
3
2
EXEMPEL 4 !HzL = Hz - 1L2 respektive z 3 - z - z + 1
2
2
DEFINITION
Man skriver " \ ! (uttalas "" delar !")
om det finns något % sådant att " ÿ % = !.
Man säger även att " är en delare i ! eller att ! är delbart med " .
EXEMPEL 5
Hz - 1L \ Iz 3 - 1M, ty Hz - 1L Iz 2 + z + 1M = Iz 3 - 1M
lemma 1 Om " \ # och " \ $
så " \ H!1 ÿ # + !2 ÿ $L för alla !1 , !2
Divisionsalgoritmen
Den tredimensionella färggrafen
Här avbildas funktionen z # †!HzL§ som en yta i det tredimensionella rummet
! µ " och målas med färger (utan tillsatser av vitt eller svart) som bestäms
av arg !HzL på samma sätt som i de plana färggraferna ovanför.
Att dividera ett polynom ! med ett polynom " som är skild från nollpolynomet innebär att hitta ett polynom % (kallas kvoten) sådan att skillnaden
& mellan ! och % ÿ " (denna skillnad kallas resten) endera blir nollpolynomet eller åtminstone ett polynom av lägre grad än " . Dvs. så att
! = " ÿ% + &
där & = 0 eller
& " 0 och av lägre grad än " .
EXEMPEL 6 Vi dividerar z 5 + 2 z 4 - 2 z 3 - 4 z 2 + z + 2 med
z 3 + 4 z 2 + z - 6:
Polynom och delbarhet
4
Om polynomet är z 2 + a1 z + a0 så följer av faktorsatsen att
5
z 2 + a1 z + a0 " Hz - z1 L ÿ Hz - z2 L
polynom.nb
z 5 + 2 z 4 - 2 z 3 - 4 z 2 + z + 2 : z 3 + 4 z 2 + z - 6 = z2 -2 z +5 ô %
z5 + 4 z4 + z3 - 6 z2
-2 z 4 - 3 z 3 + 2 z 2 + z + 2
-2 z4 - 8 z3 - 2 z2 + 12 z
5 z 3 + 4 z 2 - 11 z + 2
5 z3 + 20 z2 + 5 z - 30
För tredjegradspolynomet z 3 + a2 z 2 + a1 z + a0 med nollställen z1 , z2 , z3
erhålles på motsvarande sätt följande samband
Det följer att z 5 + 2 z 4 - 2 z 3 - 4 z 2 + z + 2 =
Iz 3 + 4 z 2 + z - 6M Hz 2 - 2 z + 5 L + H-16 z 2 - 16 z + 32 L
&
Fyra satser
Till varje ! œ !@zD hör ekvationen !HzL ! 0. Ekvationens lösningar benämnes
rötter till !HzL ! 0 eller nollställen till !HzL. Satserna nedanför visar att och
hur rötterna är relaterade till polynomets förstagradsfaktorer.
1. Faktorsatsen
!Hz1 L = 0 omm Hz - z1 L \ !
2. Algebrans fundamentalsats
Om grad ! > 0 så är !Hz1 L = 0 för något z1 œ !.
3. Satsen om fullständig faktorisering Om ! är av grad n ¥ 1 och
har ledande koefficient 1, så kan ! (på entydigt sätt) faktoriseras som
!HzL = Hz - zn L ÿ … ÿ Hz - z2 L ÿ Hz - z1 L, där z1 , …, zn œ !.
4. Satsen om antalet nollställen Varje polynom vars grad är lika
med n har exakt n nollställen i ! om de räknas med multiplicitet.
Sambanden mellan nollställen och koefficienter
Betrakta ett godtyckligt andragradspolynom med ledande koefficient 1 och
nollställen z1 , z2 .
Om polynomet är z 2 + a1 z + a0 så följer av faktorsatsen att
z 2 + a1 z + a0 " Hz - z1 L ÿ Hz - z2 L
Efter expansion av högerledet får man ekvationen
z 2 + a1 z + a0 " z 2 - Hz1 + z2 L z + z1 z2
Härav följer sambanden
z1 + z2 " -a1
;
Härav följer sambanden
z1 + z2 " -a1
;
z1 z2 " a0
Dvs. summan av nollställena är lika med den linjära termens koefficient
med omvänt tecken, och produkten av nollställena är lika med den
konstanta termen.
-16 z 2 - 16 z + 32 ô &
%
6
polynom.nb
Efter expansion av högerledet får man ekvationen
z 2 + a1 z + a0 " z 2 - Hz1 + z2 L z + z1 z2
z1 + z2 + z3 " -a2
z1 z2 + z3 z2 + z1 z3 " a1
z1 z2 z3 " -a0
Multipla nollställen
Två eller flera av nollställena zk kan överensstämma. Man talar då om nollställen av multiplicitet ¥2. Ett nollställe som bara förekommer en gång i faktoriseringen av ! kallas enkelt nollställe.
T.ex. har Hz - 5L3 Hz - 2 ÂL nollstället 5 av multiplicitet 3.
Sats Om a är nollställe av multiplicitet m ¥ 2 till !
så är a nollställe av multiplicitet m - 1 till !:s derivata „ !HzL.
„z
EXEMPEL 7 Bestäm l œ ! så att z 3 + 12 z + l får ett multipelt nollställe.
Bestäm också samtliga nollställen för nämnda l-värden.
LÖSNING Sätt !HzL = z 3 + 12 z + l. Då är „ !HzL = 3 z 2 + 12, och
„z
„ !HzL = 0 omm z = ! 2 Â.
„z
Enligt satsen är 2 Â eller -2 Â ett dubbelt nollställe till !. För att bestämma
l löser vi !H2 ÂL = 0 respektive !H-2 ÂL = 0, dvs
!H2 ÂL = H2 ÂL3 + 12 µ 2 Â + l = l + 16 Â = 0 respektive
!H-2 ÂL = H-2 ÂL3 + 12 H-2 ÂL + l = l - 16 Â = 0.
Det följer att ! har det dubbla nollstället 2 Â då l = -16 Â och det dubbla
nollstället -2 Â då l = 16 Â.
Det resterande nollstället till ! beräknas enklast genom att utnyttja sambandet z1 z2 z3 " -a0 = -l mellan nollställen och koefficienter. Det
resterande nollstället visar sig därmed i det första fallet bli lika med -4 Â,
och 4 Â i det andra.
7
!H-2 ÂL = H-2 ÂL + 12 H-2 ÂL + l = l - 16 Â = 0.
Det följer att ! har det dubbla nollstället 2 Â då l = -16 Â och det dubbla
nollstället -2 Â då l = 16 Â.
polynom.nb
Det resterande nollstället till ! beräknas enklast genom att utnyttja sambandet z1 z2 z3 " -a0 = -l mellan nollställen och koefficienter. Det
resterande nollstället visar sig därmed i det första fallet bli lika med -4 Â,
och 4 Â i det andra.
2 Â dubbelt
l = -16 Â
-4 Â
4Â
l = 16 Â
-2 Â dubbelt
SGD och Euklides' algoritm
Begreppet största gemensamma delare från heltalens värld har en
motsvarighet för polynom. Euklides' algoritm likaså.
DEFINITION
Med SGDH!, %L avses ett polynom ' sådant att
(1) ' \ ! och ' \ %,
(2) ' har maximal grad av alla ' som uppfyller (1).
EUKLIDES algoritm
Av z 2 + z - 2 = Hz + 2L Hz - 1L följer att -2 och 1 är de gemensamma
polynom.nb
nollställena.
De olika stegen i SGD-kalkylen baseras på följande två divisioner:
z5 + 2 z4 - 2 z3 - 4 z2 + z + 2 "
Iz 2 - 2 z + 5M Iz 3 + 4 z 2 + z - 6M + -16 Iz 2 + z - 2M
z 3 + 4 z 2 + z - 6 " Hz + 3L Iz 2 + z - 2M + 0
Polynom i !@zD
Notera följande intressanta resultat
Hz - Ha + b ÂLL Hz - Ha - b ÂLL = z 2 - 2 a z + a2 + b2
(¤)
¤ säger oss att andragradspolynom med ledande koefficient 1 och
konjugerade nollställen har reella koefficienter.
Även det omvända gäller:
Andragradspolynom med ledande koefficient 1 och reella koefficienter har
konjugerade nollställen.
BEVIS Betrakta !HzL = z 2 + a1 z + a0 œ "@zD.
Vi visar att om !HaL = 0 så följer att !HaL = 0:
a1 ,a0 œ!
!HaL = a2 + a1 a + a0 = a a + a1 a + a0
SGDH!, 0L = !
SGDH!, %L = SGDH%, RestH!, %LL
EXEMPEL 8 Bestäm SGD till z 5 + 2 z 4 - 2 z 3 - 4 z 2 + z + 2 och
z 3 + 4 z 2 + z - 6, samt alla eventuella gemensamma nollställen.
LÖSNING
SGDIz 5 + 2 z 4 - 2 z 3 - 4 z 2 + z + 2, z 3 + 4 z 2 + z - 6M =
SGDIz 3 + 4 z 2 + z - 6, z 2 + z - 2M =
SGDIz 2 + z - 2, 0M = Iz 2 + z - 2M
Av z 2 + z - 2 = Hz + 2L Hz - 1L följer att -2 och 1 är de gemensamma
nollställena.
De olika stegen i SGD-kalkylen baseras på följande två divisioner:
a ÿ a + a 1 a + a0
a +b=a +b
!
=
!
=
a ÿ a + a1 a + a 0
a ÿ a + a1 a + a0 = !HaL
!HaL=0
!
=
a ÿb=a ÿb
!
=
0=0
Anmärkning 2 Bevisa själv de två konjugeringsreglerna
a ÿb=a ÿb
och
a+ b = a+ b
Resultatet om konjugerade nollställen kan härledas för polynom i "@zD av
godtycklig grad. Därav nedanstående sats.
8
9
polynom.nb
Satsen om konjugerade par av nollställen Ickereella nollställen till
ett polynom med reella koefficienter kommer alltid i konjugerade par.
Alltså är z = -1 - Â och z = -1 + Â rötter till den givna ekvationen.
Ekvationens fjärdegradspolynom är därmed delbart med
polynom.nb
Hz + 1 + ÂL Hz + 1 - ÂL = z 2 + 2 z + 2. Efter faktorisering fås
z 4 - 6 z 2 - 12 z - 8 = Iz 2 + 2 z + 2M Iz 2 - 2 z - 4M
De resterande rötterna finns således som nollställen till z 2 - 2 z - 4.
z 2 - 2 z - 4 = Hz - 1L2 - I 5 M2 = Iz - 1 - 5 M Iz - 1 + 5 M
Sammantaget har vi nu visat att ekvationens rötter är
-1 - Â, -1 + Â, 1 +
EXEMPEL 9 Lös ekvationenen z 3 + a z 2 + b z + 90 = 0 under
förutsättning att a, b œ " och att ekvationen har en rot m œ $ samt en
komplex rot n +  n där n œ $.
LÖSNING Av informationen i texten följer att z 3 + a z 2 + b z + 90 =
Hz - n - Â nL Hz - n + Â nL Hz - mL = z 3 + H-m - 2 nL z 2 + I2 n2 + 2 m nM z - 2 m n2 .
Därvid fås bl.a. -2 m n2 " 90, dvs. m n2 " -45 vilket är en enkel
diofantisk ekvation med rötterna m = -45, n = ! 1 eller m = -5, n = ! 3.
Således är rötterna lika med -45, 1 + Â, 1 - Â eller -5, 3 + 3 Â, 3 - 3 Â.
EXEMPEL 10 Lös ekvationenen z 4 - 6 z 2 - 12 z - 8 = 0, givet följande
information: Ekvationen har en rot vars realdel är lika med dess imaginärdel.
LÖSNING En rot är z = a + Â a. Därmed är även a - Â a en rot. Låt oss
sätta in första roten i den givna ekvationen:
Ha + Â aL4 - 6 Ha + Â aL2 - 12 Ha + Â aL - 8 =
-4 a4 - 6 2 Â a2 - 12 Ha + Â aL - 8 = -4 a4 - 12 a - 8 - Â 12 a Ha + 1L = 0
Härav,
;
-4 a4 - 12 a - 8 " 0
12 a Ha + 1L " 0
Den undre ekvationen säger oss att a måste vara lika med 0 eller -1.
Av dessa två a-värden satisfierar endast -1 den övre ekvationen.
Alltså är z = -1 - Â och z = -1 + Â rötter till den givna ekvationen.
Ekvationens fjärdegradspolynom är därmed delbart med
Hz + 1 + ÂL Hz + 1 - ÂL = z 2 + 2 z + 2. Efter faktorisering fås
z 4 - 6 z 2 - 12 z - 8 = Iz 2 + 2 z + 2M Iz 2 - 2 z - 4M
De resterande rötterna finns således som nollställen till z 2 - 2 z - 4.
z 2 - 2 z - 4 = Hz - 1L2 - I 5 M2 = Iz - 1 - 5 M Iz - 1 + 5 M
5, 1 -
5.
EXEMPEL 11 Polynomet z 4 - 2 z 3 + 17 z 2 + 20 z + 100 har två ickereella
nollställen vars kvot är lika med -2. Bestäm samtliga nollställen.
LÖSNING Om de två nollställena vars kvot är -2 är lika med a + Â b,
-2 a - 2 Â b måste de övriga två nollställena vara a - Â b, -2 a + 2 Â b (Eller
hur!).
Hz - a - Â bL Hz - a + Â bL Hz - 2 a - 2 Â bL Hz - 2 a + 2 Â bL blir lika med
z 4 + 2 a z 3 + I-3 a2 + 5 b2 M z 2 + I-4 a3 - 4 a b2 M z + 4 Ia2 + b2 M2
och kan identifieras med det givna polynomet. Därvid uppstår bl.a. de två
ekvationerna
2 a = -2 och 4 Ia2 + b2 M2 = 100,
dvs. a = -1 och I1 + b2 M2 = 25
,
,
Härav, a = -1 och b œ 92, -2,  6, - 6=.
De ickereella b-lösningarna förkastas givetvis eftersom b skall vara reell.
b = 2 ger (precis som b = -2) att det givna polynomets nollställen blir
-1 + 2 Â, -1 - 2 Â, 2 - 4 Â, 2 + 4 Â. Kontroll:
Hz + 1 - 2 ÂL Hz + 1 + 2 ÂL Hz - 2 + 4 ÂL Hz - 2 - 4 ÂL " z 4 - 2 z 3 + 17 z 2 + 20 z + 100.
EXEMPEL 12 Om polynomet z 4 - 4 z 3 + a z 2 + b z + c vet man att
10
11
polynom.nb
12
polynom.nb
det har reella koefficienter, att dess nollställen bildar en kvadrat i det
komplexa planet samt att två av dem ligger på imaginära exeln. Bestäm
samtliga nollställen.
LÖSNING Nollställena på imaginära axeln måste vara konjugerade. Säg
att de är  b och - b. Om de fyra nollställena utgör hörn i en kvadrat,
måste de övriga två ligga som i en av de två figurerna nedanför.
Polynom i "@zD
Vi tar bara upp en sats i detta avsnitt.
Satsen om rationellt nollställe Om ! œ $@zD och ! J m N = 0, där
n
SGDHm, nL = 1, så är !:s ledande koefficient delbar med n och !:s
konstantterm delbar med m.
bÂ
-b
bÂ
2b + b Â
n
b
-b Â
-b Â
2b - b Â
Av faktorsatsen följer därmed att
z 4 - 4 z 3 + a z 2 + b z + c = Hz - Â bL Hz + Â bL Hz - bL Hz + bL
eller
z 4 - 4 z 3 + a z 2 + b z + c = Hz - Â bL Hz + Â bL Hz - H2 b + Â bLL Hz - H2 b - Â bLL
I första fallet får vi
z 4 - 4 z 3 + a z 2 + b z + c = z 4 - b4 vilket är omöjligt.
I andra fallet får vi
z 4 - 4 z 3 + a z 2 + b z + c = z 4 - 4 b z 3 + 6 b2 z 2 - 4 b3 z + 5 b4 .
Identifikation av koefficienterna ger att b " 1, a " 6, b = -4, c " 5.
Alltså,
z 4 - 4 z 3 + a z 2 + b z + c = Hz - ÂL Hz + ÂL Hz - H2 + ÂLL Hz - H2 - Â LL.
Härav,
Anmärkning 3 Följande två exempel behandlar specialfallet att nollstället är lika
med ett helt tal (dvs. att m = m = m).
z " -Â fi z " Â fi z " 2 - Â fi z " 2 + Â
1
EXEMPEL 13 Visa att 5 inte är en rot till z 211 - 3205 z 73 - 12 z + 13 = 0.
LÖSNING Följer direkt av satsen ovanför, eftersom konstantermen inte är
delbar med 5.
EXEMPEL 14 Visa att inget heltal är en rot till ! = 0, om ! œ $@zD och
! H-1L = ! H0L = ! H1L = 1.
LÖSNING (Motsägelsebevis) Antag att m är en heltalsrot. Då följer av
satsen ovanför att konstanttermen är delbar med m. Å andra sidan är
konstanttermen lika med ! H0L som var lika med 1. Och 1 är delbar endast
med två tal, nämligen 1 och -1. Det följer att m œ 8-1, 1<. Dvs. att
! H-1L = 0 eller ! H1L = 0. Men detta strider mot villkoren i
uppgiftstexten.
