Likformighet
Likformighet är ett centralt begrepp i Euklides geometri, som är
den äldsta axiomatiska teori vi har. I sin ”Elementa” från cirka
300 f.Kr. definieras bl a begreppet likformiga trianglar och olika
kriterier för detta analyseras. I denna kurs har vi bara uttrymme
för några få inblickar i teorin, trots att en viss kännedom om
Elementa hör till matematisk (och kulturhistorisk) allmänbildning.
Definition. Trianglarna 4ABC och 4A0 B 0 C 0 är likformiga om
∼ ∠A0 , ∠B =
∼ ∠B 0 , ∠C =
∼ ∠C 0 och
∠A =
|BC|
|CA|
|AB|
=
=
.
|A0 B 0 |
|B 0 C 0 |
|C 0 A0 |
Alla trianglar i figuren ovan är likformiga.
Från Euklides har vi följande likformighetsfall:
I. Två par av sidor proportionella samt
mellanliggande vinklar lika ⇒ likformighet.
II. Sidorna parvis prop. ⇒ likformighet.
III. Vinklarna parvis lika ⇒ likformighet.
Ex 1.Visa att diagonalerna i en regelbundenfemhörning delar varandra
i gyllene
√
1
snittets proportioner (= 2 ( 5 + 1)). (Vi
antar sidan =1).
Detta följer av att
∼ 4ADF =
∼ 4CBF
4ADE =
(Enligt tredje likformighetsfallet). Ty
∼ 4ADF ⇒ |AD| = 1
4ADE =
|AD|
x
⇒ x = 1 och
∼ 4CBF ⇒ |AD| = |DF | ⇒ x + y = x .
4ADF =
|CB|
|BF |
1
y
Om vi sätter in x = 1 och multiplicerar med y får vi andragradsekvationen
1 √
1 √
2
y + y = 1 ⇒ y = ( 5 − 1) och x/y = ( 5 + 1).
2
2
Ex 2. (Pythagoras sats)
∼ 4CBA ⇒ |BD| =
4ABD =
|AB|
∼ 4BCA ⇒ |CD| =
4ACD =
|AC|
|AB|
|BC|
|AC|
|BC|
⇒ |AB|2 = |BD||BC| och |AC|2 = |CD||BC|.
⇒ |AB|2 + |AC|2 = (|BD| + |CD|)|BC| = |BC|2 .
Trigonometri.
Även om vinklar spelar en stor roll i
ovanstående exempel har det inte funnits
något behov av att mäta dem. Trigonometri
handlar till stor del just om att mäta vinklar
och det mått som vi kommer att använda
är radianer. Ett mått på vinkeln i punkten
P i figuren definieras genom att vi slår upp
en cirkelbåge med centrum i P och radie
1. Vinkelns mått i radianer är då lika med
avståndet t mellan vinkelbenen längs cirkelbågen. Vi noterar
att 2π ↔ 360◦ .
Vi kan nu ge de klassiska definitionerna av de grundläggande
trigonometriska funktionerna. Betrakta en
rätvinklig triangel med en vinkel lika med
t.
”vidliggande”
a
cos t =
=
”hypotenusan”
c
b
”motstående”
=
sin t =
”hypotenusan”
c
”motstående”
b
cot t =
=
”vidliggande”
a
a
”vidliggande”
=
cot t =
”motstående”
b
Med hjälp av dessa definitioner och två enkla trianglar kan vi nu
beräkna de trigonometriska funktionerna för vinklarna π6 , π4 och π3 .
Vi får t ex sin
π
3
=
√
3/2 och tan
π
6
=
√
3.
Rent geometriska tillämpningar är följande:
SATS. (Cosinussatsen)
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α.
SATS. (Sinussatsen)
Med beteckningar som i bilden gäller
följande samband:
sin α
sin β
sin γ
=
=
.
a
b
c
Dessa satser kan användas för att hitta
övriga sidor eller vinklar i en triangel när vi
känner tillräckligt många för att den ska vara
entydigt bestämd (triangelsolvering).
Ex 3. Bestäm vinklarna om a = 4, b = 5, c = 6.
Ex 4. Bestäm b, c om a = 1,β = π/4,γ = 3π/8.
Ex 5. Greken Aristarkos från Samos kom
på en metod att uppskatta kvoten mellan
avståndet till månen och till solen genom att
mäta α vid halvmåne. Uppskatta L/a om
α = 89, 8◦ .
För ett godtyckligt reellt tal x definieras cos x
och sin x som x- resp y-koordinaten till den
punkt på enhetscirkeln för vilken ortsvektorn
bildar vinkeln x med den positiva x-axeln
(mätt i positiv led). Vi får följande grafer:
