Sammanfattning TNE043

Sammanfattning TNE043
Nathalie Ek
11 april 2011
Sammanfattning
1
Experimentiell problemlösning
Uppgift: Att själv plocka fram ett fysikaliskt samband.
Viktiga moment: Ansats, mätningar, dimensionsanalys.
2
2.1
Mekanik
Inledning
Kinematik: Rörelse, ej krafter
Dynamik: Rörelse, krafter
Statik: Vila, krafter
2.2
Kinematik i en dimension
Förflyttning från en position till en annan: ∆x = x2 − x1
Medelhastigheten ges av:
vavg =
∆x
∆t
(1)
Momentanhastighet:
v=
dx
dt
Momentanacceleration:
aavg =
Medelacceleration:
a=
Farten ges av |v|
1
∆v
∆t
dv
dt
(2)
(3)
(4)
På integralform ges förflyttningen mellan två punkter av:
Z t2
Z t2
dx
∆x =
dt =
vdt
t1 dt
t1
Den totala distansen är
Z
(5)
t2
|v|dt
(6)
t1
Utifrån den totala distansen kan vi beräkna medelfarten, vilket är ett annat sätt att beskriva hur snabbt
en partikel rör sig.
R t2
|v|dt
savg = t1
(7)
∆t
2.3
Kinematik i tre dimensioner
Förflyttning då det rör sig om vektorer ∆~r = ~r(t2 ) − ~r(t1 ) och medelhastigheten ges av
~vavg =
∆~r
∆v, ∆y, ∆z
=
∆t
∆t
ss ~v är en tangent till bankurvan i varje punkt. Farten ges av beloppet |~v |.
Momentanhastiheten är:
d~r
~v =
dt
(8)
(9)
Det är viktigt att skilja på hastighet (velocity) som är en vektor och fart (speed) som är en skalär!
Medelacceleration, momentanacceleration beräknas enligt samma ekvationer som i en dimension, nu
handlar det dock om vektorer. Derivatan av en vektor beräknas genom kompenentvis derivering och
integraler av en vektor beräknas genom komponentvis integration.
2.4
Transformation av hastighet och acceleration mellan olika referenssystem
Partiel P kan beskrivas utifrån ett referenssystem A eller B, där B har konstant hastighet relativt A. Efter
derivering av vektorsambandet med avseende på tiden två gånger, kan man dra slutsatsen att observatörer
i olika referenssystem med konstant relativ hastighet, mäter samma acceleration hos partikeln.
dv
d dx
d2 x
a=
=
= 2
(10)
dt
dt dt
dt
3
Dynamik
Fundamentala krafter: Gravitaton - Elektromagnetisk - Stark, svag (atom, atomkärna)
Makroskopiska krafter: Kontaktkrafter (friktion, normalkraft) - Trådkrafter - Elastiska krafter (fjäderkraft)
- Viskösa krafter (luftmotstånd)
Växelverkan mellan partiklar/kroppar.
2
3.1
3.1.1
Newtons lagar
Newtons första lag: Tröghetslagen
Om summan av alla krafter (nettokraften) på en kropp är noll, så är dess acceleration noll. Det innebär
antingen rörelse med konstant hastighet eller vila.
3.1.2
Newtons andra lag: F = ma
Nettokraften (summan av alla krafter) är densamma som produkten mellan kroppens massa och acceleration. 1N = 1kg ∗ m/s2
3.1.3
Newtons tredje lag: Lagen om verkan och motverkan
När två kroppar växelverkar är de krafter som kropparna påverkar varandra med lika stora och motsatt
riktade.
3.2
Några kraftbegrepp
• Inertialsystem
Referenssystem där tröghetslagen gäller. Jorden är ett (approximativt) sådant system. Axelererande bilar, karuseller m.m. är exempel på system som inte är inertialsystem.
• Trådkraft
Lätt (masslös) otänjbar tråd, förmedlar kraft.
• Friktionskraft
fs - statisk friktionskraft (vila). Statisk friktionskoefficient:
µs =
fs,max
FN
(11)
fk - kinetisk friktionskraft (rörelse). Kinetisk friktionskoefficient:
µk =
fk
FN
(12)
Friktionskoefficientens storlek beror av flera parametrar, t ex materialkombination, fukt och temperatur. Friktion uppstår p g a flera komplicerade mekanismer, t ex vidhäftning.
• Viskös kraft, linjär modell
Start från vila innebär V (0) = 0. Hastigheten V(t) kan bestämmas. När t → ∞ får man gränshastigheten.
3.3
Tyngdlöshet
Tyngdlöshet innebär inte ävsaknad av gravitation”.
3
3.4
Att tänka på vid problemlösning inom dynamik
1. Rita tydlig figur, frilägg (ersätt ömgivningenmed krafter) partikeln. Använd vid behov Newtons
tredje lag.
2. Definiera referens(koordinat)system. Välj koordinataxel i rörelseriktningen.
3. Ställ upp kraftekvation på komponentform.
4. Lös ekvationerna, eventuellt behöver kraftekvationerna integreras map. på tiden. Ta hänsyn till
villkor.
5. Ställ upp ett slututtryck för den sökta storheten med bokstavsbetäckningar före insättning av
numeriska värden.
6. Kontrollera trovärdigheten i svaret (dimension, storleksordning, tecken).
3.5
Tröghetskraft
Tröghetskrafter har inte sitt ursprung i växelverkan. De följer inte Newtons tredje lag.
Tröghetskrafter ska inte användas om man beskriver dynamiska förlopp utgående från inertialsystem.
Tröghetskrafter är användbara vid beskrivning av t ex rörelse hos havs- och luftströmmar, samt i andra
fall då man måste ta hänsyn till jordens rotation.
4
4.1
Kinetisk energi, potentiell energi och arbete
Potentiell energi
Ett system har energi när det kan utföra ett arbete. Ett föremål har potentiell energi i tyngkraftfältet.
Om man lyfter föremålet ett styckt h upp från en vald nollnivå, får föremålet en potentiell energi lika
med Ep = mgh. Det enda som betyder något för den potentiella energin är höjdskillnaden mellan startoch slutpunkt. Det spelar alltså ingen roll vilken väg föremålet lyfts eller om man lufter med en konstant
kraft.
När en konservativ kraft påverkar ett föremål, uträttas ett arbete W på föremålet. Förändringen, ∆U , i
potentiell energi är densamma som det utförda arbetet, fast negativt: ∆U = −W
4.1.1
Potentiell energi, gravitation
Den potentiella energin beror endast på vertikala positionen y (eller höjden) hos föremålet relativt mot
y = 0, inte på dess horisontella position.
∆U = U − Ui = mg(y − yi )
4.1.2
(13)
Elastisk potentiell energi
∆U =
1
1
kxf 2 − kxi 2
2
2
4
(14)
4.2
Kinetisk energi
Kinetisk energi = rörelseenergi, det arbete som krävs för att sätta ett föremål i rörelse. Ju snabbare ett
föremål rör sig, detso större än den kinetiska energi. När ett objekt är stationärt (stillastående), är den
kinetiska energin noll.
1
(15)
K = mv 2
2
4.3
Arbete
När en konstant kraft F verkar på ett föremål som därigenom får en förflyttning s (eller d), utför kraften
ett arbete W på föremålet som är lika med produkten av kraftkomposanten Fx i rörelsens riktning och
förflyttnigen
1
1
W = Fx d = Kf − Ki = mv 2 − mv0 2 = F~ · d~ = F s ∗ cosθ
(16)
2
2
där θ är vinkeln mellan f och s. Detta gäller dock bara då kraften är konstant, alltså ej få kraften varierar
eller när föremålet har en kroklinjig rörelse.
4.3.1
Arbete utfört av gravitationskraft
Wg = mgd ∗ cosθ
(17)
Om förflyttningen är vertikalt uppåt riktad, är θ = 180◦ och W = mgh. Om förförflyttningen är vertikalt
riktad nedår blir arbetet W = −mgh.
Arbete utfört då man lyfter och sänker ett objekt:
∆K = Kf − Ki = Wa + Wg
(18)
En vanlig situation är då objektet är stationärt (stillastående) både före och efter lyftet, tex då man
flyttar en bok från ett bord till en bokhylla. Då är både Kf och Ki noll och vi får ekvationen
Wa + Wg = 0 ⇔ Wa = −Wg
4.3.2
(19)
Arbete utfört av fjäderkraft
(Exempel med en fjäder som sitter fast i ett block)
F~s = −k d~ (Hooke’s lag)
(20)
Fx = −kx (Hooke’s lag)
(21)
Konstanten k kallas för fjäderkonstanted och beskriver fjäderns styvhet. Ju större k, desto styvare fjäder
- stora k drar eller skjuter iväg hårdare för en given förflyttning. Det utförda arbetet av fjädern ges
av
1
1
(22)
Ws = kxi 2 − kxf 2
2
2
Antag att vi förflyttar blocked längs med x-axel undertiden som en kraft F hela tiden påverkar. Under
förflyttningen utför vår applicerade kraft ett arbete Wa på blocket medan fjäderkraften utför ett arbete
Ws .
∆K = Kf − Ki = Wa + Ws
(23)
5
5
Mekaniskt arbete
Mekaniskt arbete = summan av kinetisk och potentiell energi. Mekaniskt arbete betecknas med
W och är en skalär storhet.
Kraft parallell med förflyttning längs rät linje: W = F ∗ s, SI-enhet 1 Nm = 1 J (Joule)
Kraften är konstant och förflyttningen av angreppspunkten sker längs en rät linje: W = F~ · ~a
Om kraft ⊥ förflyttning, så är W = 0.
F~ = (Fx , Fy , Fz )
En allmän definition av W är (linjeintegral):
Z
B
F~ · d~s =
W =
A
5.1
Z
x1
Z
y1
Fx dx +
x0
~ = (dx, dy, dz)
ds
och
Z
z1
Fy dy +
y0
Fz dz
(24)
z0
Samband arbete-energi
F : Nettokraften (förändringen i kinetisk energi) på en partikel (en dimension).
Z
x2
Wnet =
Z
x2
F dx =
x1
Z
t2
madx =
x1
t1
dv dx
m
dt =
dt dt
ty vi vet att kinetisk energi (Ek el. K) är
5.2
Z
v2
mvdv =
v1
mv2 2 − mv1 2
= K2 − K1 = ∆K (25)
2
mv 2
2 .
Fjäderkraft
Fjäderkraften ges av Hooks lag: Fs = −kx, där k är en fjäderkonstant och minustecknet innebär
återförande kraft.
Arbete från x = x1 till x = x2
Z
x2
−kxdx =
Ws =
x1
kx1 2 − kx2 2
k
= (x1 2 − x2 2 )
2
2
(26)
Om partikeln är i vila vid start- och slutläge blir Wa = −Ws , ty ∆K = 0
5.3
Potentiell energi
F : konservativ kraft. Förändringen i potentiell energi U vid förflyttning från A till B definieras enligt:
Z B
∆U = −∆WAB = −
F~ · d~s
(27)
A
Vid integration i x-led kan ∆U även beskrivas med

R XB

 −WAB = − XA F dx
∆U =

 U − U = R B du
B
A
A
I tre dimensioner är F~ = −∇U (gradienten). Enligt definitionen av gradienten, sammanfaller kraftens
riktning alltså med den riktning i vilken U avtar snabbast.
6
5.4
Energisamband
Mekanisk energi Emec = K + U (kinetisk 0 potentiell energi). Allmänt gäller ∆K = W och i specialfallet konservativ kraft dessutom ∆U = −W .
Detta ger ∆(K + U ) = ∆Emec = 0. Emec bevaras om endast konservativa krafter uträttar arbete
(isolerat system).
Så, om inga andra krafter än tyngden och eventuella normalkrafter verkar, får vi satsen om fritt fall:
1
1
mv 2 + mgh = mv0 2 + mgh0
2
2
5.5
(28)
Bevarande av mekanisk energi
När ett system inte påverkas av dragkraft eller friktion, påverkas systemet endast av konservativa
krafter. För en konservativ kraft beror arbetet endast av var start- och slutpunkt finns, inte av vägen
mellan dessa. Exempel är tyngdkraft och fjäderkraft.
Ett isolerat system är ett system som inte påverkas av någon yttre kraft utanför systemet.
När en konservativ kraft utför ett arbete W på ett objekt i systemet, förflyttas energi mellan kinetisk
energi hos objektet och potentiell energi hos systemet: ∆K = W
∆E = ∆K + ∆U = 0
5.6
5.6.1
⇔
Kf − Ki = −(Uf − Ui )
⇔
Kf + Uf = Ki + Ui
Utfört arbete på ett system av en yttre kraft
Ingen friktion involverad
W = ∆Emec = ∆K + ∆U
5.6.2
(29)
(30)
Friktion involverad
Genom att bryta ut a ur
v − v0
2d
kan vi använda Newtons andra lag och ta hänsyn till friktionskraften. Då kan vi skriva lagen som:
v 2 = v02 + 2ad
Fnet = ma
⇔
F − fk = ma
⇔
⇔
a=
Fd =
mv 2
mv02
−
+ fk d = ∆K + fk d
2
2
(31)
(32)
fk d är den värme som uppstår då friktion påverkar ett system och betacknas ∆Eth . F d är det arbete W
utfört av den externa kraften (den överförda energin av kraften). Därmed kan vi nu säga att det arbete
som utförs på ett system som påverkas av friktion kan skrivas som
W = F d = ∆Emec + ∆Eth
5.7
(33)
Bevarande av energi
Den totala energin hos ett system kan endast förändras genom energi som tillkommer eller lämnar
systemet.
W = ∆E = ∆Emec + ∆Eth + ∆Eint
(34)
Då det rör sig om ett isolerat system
7
6
Gravitation
Newtons gravitationslag gäller exakt för partiklar och kroppar med sfäriskt symmetrisk massfördelning.
F =G
m1 m2
r2
(Newtons gravitationslag)
(35)
En kraft som verkar på en partikel med massa m på avståndet R från jordens masscentrum där M är
jordmassan, får resultatet F = mg nära jordytan.
6.1
Potentiell energi
Sambandet mellan potentiell energi och arbete är ∆U = −W , (känt sedan tidigare). Arbetet som gravitationen uträttar från R till ∞ kan skrivas som
Z ∞
Z ∞
W =
F~ (r) · d~r =
F (r)dr ∗ cosθ
(36)
R
R
där θ är vinkeln mellan riktningen av F~ (r) och d~r
Gravitationskraften är en konservativ kraft, därmed är arbetet som utförs av gravitationen på en partikel
oberoende av vilken väg partikeln förflyttas från start- till slutpunkt: ∆U = Uf − Ui = −W
7
Masscentrum
Masscentrum för en grupp av punktmassor är det viktade medelvärdet av punkternas position.
7.1
Partikelsystem
Beskrivet med koordinater:
xcom =
n
1 X
mi xi ,
M i=1
ycom =
Beskrivet med vektorer:
~rcom
n
1 X
mi yi ,
M i=1
zcom =
n
1 X
mi zi
M i=1
n
1 X
Mi~ri
=
M i=1
(37)
(38)
där ~ri = xi î + yi ĵ + zi k̂ och ~rcom = xcom î + ycom ĵ + zcom k̂
7.2
Solida kroppar
Exempel på solida kroppar kan t.ex. vara ett basebollträ, vilken består av så pass många partiklar
(atomer) att vi gör bäst i att beskriva det som en kontinuerligt fördelad massa.
Z
Z
Z
1
1
1
xdm, ycom =
ydm, zcom =
zdm
(39)
xcom =
M
M
M
M
För att bekräkna en kropps dencitet utnyttjar vi att ρ = dm
dV = V
Z
Z
Z
1
1
1
xcom =
xdV, ycom =
ydV, zcom =
zdV
V
V
V
8
(40)
7.3
Newtons andra lag för partikelsystem
dP~
,
F~net = M~acom =
dt
M=
n
X
mi
(41)
i=1
F~net är mettokraften av alla externa krafter som verkar på systemet. M är systemets totala massa. Vi gör
antagandet att ingen massa tillkommer eller försvinner, massan är alltså konstant. ~acom är masscentrums
acceleration.
En kropps masscentrum rör sig, som en partikel med samma massa skulle göra, under inverkan av samma
nettokraft. Tidigare partikeldynamik kan användas!
7.4
Rörelsemängd
Rörelsemängd definieras som produkten av ett objekts massa och hastighet. Rörelsemängden är en vektor
eftersom den har både en storlek och en riktning.
ρ
~ = m~v ,
7.5
d~
p
F~net =
dt
(42)
Stöt
En stöt karaktäriseras av kortvarighet (kan i regel approximeras som momentan”), deformation av kroppar (partiklar), värme, ljud samt stora krafter (stötkrafter). Vid elastisk stöt bevaras den kinetiska
energin. Vid inelastisk stöt bevaras inte den kinetiska energin. Ibland används begreppet helt inelastisk
stöt, då fastnar kropparna i varandra.
Använd Newtons andra lag:
d
dP~
F~net = F~12 + F~21 + F~ext = (~
p1 + p~2 ) =
dt
dt
(43)
Använd Newtons tredje lag (ger bevaringslag vid stöt):
F~12 + F~21 = 0
(44)
dvs P~ bevaras om F~ext = ~0
7.5.1
Impuls
Impulsen, J~ definieras som ändringen i rörelsemängd:
J~ = ∆~
p = p~f − p~i =
Z
tf
ti
d~
p
dt
dt
(45)
Eftersom tidintervallet (stöttiden) ∆t är litet, kommer det dominerande bidraget till J~ att komma från
stötkrafterna.
En medelkraft F~avg kan definieras enligt
J~
F~avg =
∆t
9
(46)
8
Rotation
Rotationshastighet eller vinkelhastighet är ett mått på hur snabbt ett föremål vrider sig. Varvtal anges
ofta per minut (RPM, rotations per minute). I klassisk mekanik används rotationshastigheten i följande
exempel:
• En satellit eller en planet som roterar i en cirkulär bana runt sitt centrum. Satelliten rör sig då
med konstant rotationshastighet.
• En kropp roterar kring en fast axel utan påverkan av andra yttre krafter. Varje punkt roterar då
med konstant rotationshastighet relativt axeln.
• Om rotationsaxeln inte är fast, kan rörelserna bli komplicerade, med precession och nutation
av rotationsaxeln. För ett fritt föremål går rotationsaxlar alltid genom kroppens tyngdpunkt.
Rörelseekvationerna är lösbara om föremålet är en stel kropp.
Viktiga begrepp - stel kropp och fix rotationsaxel. En stel kropp ändrar ej form. En fix rotationsaxel
vrids ej, kan dock flyttas t.ex. vid rullning.
Vinkelhastigheten ges av:
wavg =
∆θ
θ2 − θ1
=
,
t2 − t1
∆t
ω=
dθ
,
dt
θ=
s
r
(47)
Vinkelaccelerationen ges av:
αavg =
8.1
ω2 − ω1
∆ω
,
=
t2 − t1
∆t
α=
dω
dt
(48)
Kinetisk energi vid rotationsrörelse, tröghetsmoment
• Partikelsystem: N st partiklar där samtliga roterar kring en fix axel.
• Partikel i har massa mi , fart vi och rör sig en i cirkelbana med radien ri
Partikelsystemets totala kinetiska energi ges av
Ktot =
N
X
mi v 2
i
i=1
2
=
N
X
mi r2 ω 2
i
i=1
2
(49)
Tröghetsmomentet (moment of inertia), I, definieras av
I=
N
X
mi ri2
(50)
Iω 2
2
(51)
i=1
och den kinetiska energin blir
Ktot =
Kontinuerlig massfördelning - summan övergår till en integral:
Z
I = r2 dm
(52)
I formelsamlingar med tröghetsmoment ges i regel Icom , med avseende på axel genom masscentrum. Om
axeln inte går genom masscentrum - använd parallell-axis (Steiner’s theorem):
I = Icom + M h2
(53)
där M är kroppens massa, h är avståndet mellan den givna axeln och en axel genom com parallell med
den givna.
10
8.2
Kraftmoment (torque)
Kraftmoment, τ , är ett mått på en krafts förmåga att vrida ett objekt kring en viss axel. Vridmomentet
beror av kraften som verkar på hävarmen och hävarmens längd. Hävarmen är lägesvektorn |r|
τ = Ft r = (F sinθ)r,
F r⊥ = F rsinθ
(54)
I båda fallen gäller ”kraft gånger hävarm”.
τnet = Iα
8.3
(Newtons andra lag)
(55)
Arbete och roterande kinetisk energi
∆K = Kf − Ki =
Iωf2
Iω 2
− i =W =
2
2
Z
θf
τ dθ
(56)
θi
När τ är konstant, kan ekvationen förenklas till
W = τ (θf − θi )
P =
9
dW
= τω
dt
(arbete, konstant kraftmoment)
(57)
(power, rotation kring fixa axler)
(58)
Rullning, vridmoment och rörelsemänfsmoment
Hur långt ett hjul rullar ges av:
s = θR
(59)
där s är sträckan/bågens längd och R är hjulets radie.
Vid rullning utan glidning (ren rullning) är kontaktpunkten P : s hastighet noll. Kontaktpunkten P är
momentant i vila och rörelsen kan även ses som en ren rotation kring P , ~v0 = ~vcom .
9.1
Kinetisk energi vid rullning
Kinetisk energi vid rotation kring P ges av
K=
Ip ω 2
,
2
Ip = Icom + M R2
(Steiners teorem)
(60)
Ett rullande objekt har två typer av kinetisk energi - en roterande kinetisk ty rotation runt masscentrum
och en translationell kinetisk energi ty translation runt masscentrum.
K = Krotation + Ktranslation =
Ip ω 2
M R2 ω 2
+
2
2
(Königs teorem)
(61)
Exempel - rullning: En homogen cirkulär cylinder med massan m och radien R rullar utan att glida
nedför ett lutande plan med lutningsvinkeln β. Bestäm masscentrums acceleration!
1. Ställ upp krafteckation i x-led.
2. Ställ upp motsvarighet till Newtons andra lag vid rotation, map. axel genom masscentrum.
3. Ställ upp samband mellan vinkelaxxeleration och linjär acceleration vid rullning utan glidning.
4. Lös ut masscentrums axxeleration.
11
9.2
Vridmoment (kraftmoment) på vektorform
Moment map. fix punkt, inte axel:
9.3
~τ = ~r × F~
(62)
|~r × F~ | = rF sinθ
(63)
Rörelsemängdsmoment (angular momentum)
Rörelsemängsmomentet (impulsmomentet) är för ett objekt som roterar kring någon referenspunkt, ett
mått på i vilken utsträckning objektet kommer att fortsätta att rotera kring denna punkt när det påverkas
av ett yttre vridmoment.
Om ett objekt roterar kring en axel är objektets rörelsemängdsmoment med avseende på en punkt på
axeln relaterad till objektets massa, dess hastighet och dess tyngdpunkts avstånd till axeln.
~l = ~r × p~ = m(~r × ~v )
(64)
där l är rörelsemängsmomentet för en partikel kring något centrum, r är partikelns positionsvektor
relativt centrum och p är partikelns rörelsemängd.
9.4
l = rmvsinθ = rp⊥ = r⊥ p = rmv⊥ = r⊥ mv
(65)
d~l
~τnet = ~r × F~net =
dt
(66)
Rörelsemängdsmoment för partikelsystem
P = M v motsvaras av L = Iω
~ =
L
n
X
~li
(67)
i=1
~τnet =
~
dL
dt
9.5
Eulers dynamiska ekvationer
10
Svängningar
(kraftmoment)
(68)
Exempel på svängningar är bl.a. pendlar, musikinstrument (luftspelare, strängar), balkar, roterande maskiner, byggnader, fordon, elektriska svängningskretsar, atomer och molekyler i gaser och fasta material,
ljud, ljus etc...
En svängning är en periodisk rörelse mellan två ytterlägen. Ett speciellt läge mellan ytterlägena är
jämnviktsläget och om svängningssystemet placeras i jämnviktsläget, förblir det i vila.
10.1
Enkel harmonisk svängning
Den enklaste och mest regelbundna av alla periodiska rörelser. När svängningarna är snabba ärperioden,
T , liten och frekvensen, f , stor. En hög frekvens motsvarar en kort period. Amplituden betecknas med
xm . Fasförskjutningen, φ, är en konstant.
x(t) = xm cos(ωt + φ)
Vinkelfrekvensen ω =
2π
T
= 2πf
, där f är frekvensen. Perioden ges av T =
12
(69)
1
f
Genom att derivera x(t) med avseende på tiden, ges hastigheten hos en partikel i enkel harmonisk
svängning av:
dx(t)
= −ωxm sin(ωt + φ)
(70)
v(t) =
dt
Utifrån den givna hastigheten kan vi nu finna partikelns acceleration genom att ännu en gång derivera
map. tiden:
dv(t)
a(t) =
= −ω 2 xm cos(ωt + φ)
(71)
dt
Genom att kombinera (69) och (71) får vi
a(t) = −ω 2 x(t)
10.2
(72)
Pendelrörelse
• Matematisk pendel: Använd F = ma för att formulera en differentialekvation med s = Lθ som
funktion av tiden.
• Fysisk pendel: Använd τ = Iα för att formulera en differentialekvation med θ som funktion av
tiden.
10.3
Dämpning (svag)
Dämpkraften är en linjär funktion av hastigheten: Fd = −bv. Fjäderkraft enligt hookes lag ger kraftekvad2 x
tionen −bv − kx = ma. Sätt sedan in v = dx
dt och a = dt2 . Detta ger andra ordningens differentialekvation
d2 x
b dx
k
=
+ x=0
(73)
dt2
m dt
m
Lösningen till ekvationen är:
r
−bt
k
b2
0
0
x(t) = xm e 2m cos(ω t + φ), ω =
−
(74)
m 4m2
11
Vågrörelselära
En våg är en svängning som breder ut sig från ett ställe till ett annat i rummet. Exempel på vågor är
bl.a. vågor i strängar, ljudvågor, vattenvågor, seismiska vågor.
• Mekansika vågor: Vågor som bara kan breda ut sig genom ett änme kallar vi mekaniska vågor.
Ljudvågor är ett exemper på det. Utan ett ämne uppstår inget ljud. En pistol som avfyras i vakuum
är helt ljudlös!
• Elektromagnetiska vågor: Elektriska och megnetiska svängningar som utbreder sig i rummet.
Sådana vågor kan också gå genom tomrum. Ljus är ett exempel på det. Vi kan ju se solen och
stjärnorna. Radiovågor är ett annat exempel.
• Transversell puls/våg: mediet svänger vinkelrätt mot utbredningsriktningen. (En våg där punkterna i vågmediet svänger vinkelrätt mot vågens hastighetsriktning.)
• Longitudinell våg (ljudvåg): mediet svänger i utbredningsriktningen. (En våg där punkterna i
vågmediet svänger längs vågens hastighetsriktning.)
13
11.1
11.1.1
Harmonisk våg
Grundläggande begrepp och samband
• Våglängd (avståndet mellan en punkt i en våg och nästa punkt som svänger i samma fas): λ = v · T
• Utbredningshastighet (våghastighet): v =
λ
T
= fλ
• Frekvens: f
• Amplitud: ym
• Vinkelfrekvens: ω = 2πf =
• Vågtal: k =
2π
T
2π
λ
Formeln för våghastigheten är den mest grundläggande inom vågfysiken. Formeln gäller för både longitudinella och transversella vågor.
Harmonisk våg matematiskt:
y(x, t) = ym sin(kx − ωt + φ),
(φ : faskonstant)
(75)
ωt
)) = ym sin(k(x − vt))
k
(76)
Om φ = 0 fås
y(x, t) = ym sin(kx − ωt) = ym sin(k(x −
λ
λ
ω
= 2πf ·
=
=v
k
2π
T
Vågen kan alltså skrivas på formen f (x − vt). Derivera två gånger map. x respektive t.
∂2y
= −k 2 ym sin(kx − ωt) ,
∂x2
∂2y
= −ω 2 ym sin(kx − ωt)
∂t2
(77)
Detta ger
∂2y
k2 ∂ 2 y
=
·
∂x2
ω 2 ∂t2
,
∂2y
1 ∂2y
=
·
∂x2
v 2 ∂t2
(vågekvationen)
(78)
Ekvationen gäller för fortskridande vågor/pulser (ändrar ej form) med konstant utbredningshastighet.
Allmänna lösningen till vågekvationen kan skrivas enligt nedan, där f och g är två gånger deriverbara
funktioner.
y(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt)
(79)
11.2
Stående våg
Ett klassiskt exempel är då man binder fast ett ganska långt rep i en stolpe och vevar. Dessa vågor
som uppstår kallas stående vågor eftersom de ser ut att stå stilla. Detta är ett interferensfenomen som
inträffar när en våg interfererar med sin egen reflekterande våg. Stolpen som repet är fastsatt i är alldeles
för fast för att börja vibrera. Därför reflekteras vågen tillbaka genom repet. Punkterna som står stilla
kallas noder och vågtopparna som rör sig mest kallas bukar.
Matematiskt (två fortskridande vågor):
ytot = ym sin(kx − ωt) + ym sin(kx + ωt) = (trigonometri) = 2ym cos(ωt)sin(kx)
14
(80)
11.2.1
Vågutbredning i sträng
Hastigheten bör bero av:
1. Mediets tröghet”, massa/längdenhet µ
2. Mediets ”elasticitet”, spännkraften τ
x ML y
3. Hastighetens dimension LT −1 måste vara lika med dimensionen för µx τ y som är ( M
L) ( T )
q
τ
Detta ger y = 21 , x = −1
2 och v = C
µ
En härledning som bygger på Newtons andra lag ger att den dimensionslösa konstanten, C = 1.
OBS: Skilj på utbredningshastigheten, v, och den transversella hastigheten, u.
v=
11.3
dx
dt
,
u=
∂y
∂t
(81)
Energi- och effekttransport
• Kinetiska energin bestäms av transversella hastigheten u =
∂y
∂t
• Potentiella energin bestäms av hur varje dx ändrar längd vid transversell rörelse.
Kinetisk energi för del med massa dm
u2
2
∂y
u=
= −ωym cos(kx − ωt)
∂t
dK = dm ·
(82)
=⇒
(83)
y = ym sin(kx − ωt)
Massan per längdenhet: µ ger dm = µdx och
(ωym )2 cos2 (kx − ωt)
2
(84)
dK
(ωym )2 cos2 (kx − ωt)
= µv ·
dt
2
(85)
dK = µdx ·
Energi/tidsenhet (effekten):
Medelvärde över en period:
T
Z
cos2 (kx − ωt)dt =
0
Medelvärdet av effekten är:
1
2
dK
(ωym )2
= µv ·
dt avg
4
(86)
(87)
Man kan visa att medeleffekten som svarar mot potentiell energi är lika stor genom att jämföra pendel
eller massa-fjädersystem, samma medelvärde av K och U
(ωym )2
dU
= µv ·
dt avg
4
(88)
Som resultat finner man den genomsnittliga effekt som transporteras av vågen:
Pavg = 2
dK
(ωym )2
= µv ·
dt avg
2
15
(89)
12
Ljud
FÖRELÄSNING 9
12.1
Intensitet
Intensiteten I definieras som effekt per area och har medelvärdet Iavg .
I=
P
A
,
Iavg =
Pavg
(∆pm )2
=
A
2vρ
(90)
Viktigt specialfall: Punktformig ljudkälla som sänder ut ljud isotropt (lika mycket i alla riktningar).
Här är intenssiteten
P
(91)
I(r) =
4πr2
där P är utsänd effekt och r är avståndet från ljuskällan.
Ljudintensitetsnivån β mäts i decibel (dB)
β = 10log
I
I0
(92)
där I är ljudintensiteten och I0 är ett referensvärde = 10−12 W/m2
12.2
Fourieranalys av periodiska funktioner
Harmonisk ljudvåg:
• En enda frekvens.
• Ingen bra modell av t.ex. musik eller tal.
• Viktig byggsten”vid modellering av mer realistiska funktioner.
• Fouriers teorem: En periodisk funktion kan skrivas som en Fourierserie (sinus- eller cosinusfunktioner):
∞
f (t) =
12.3
a0 X
+
(an cos(nΩt) + bn sin(nΩt)),
2
n=1
Ω=
2π
T
(93)
Interferens
Två vågor kan befinna sig på samma ställe vid samma tidpunkt. Vågorna interfererar när de samverkar
och bildar en enda våg.
• Två punktformiga sändare, S1 och S2 , sänder ut vågor i fas och med samma våglängd λ.
• Amplituden (intensiteten, maximalt utslag) i en punkt O beror på vägskillnaden δ = r2 − r1 , där
rn är avståndet från Sn till O.
• δ motsvarar en fasskillnad φ enligt φ = δ ·
2π
λ
= δ · k, där k är vågtalet.
Man betraktar ofta de två extremfallen:
1. När vågorna förstärker varandra maximalt har man konstruktiv interferens.
δ = mλ
eller
φ = 2nπ
16
,
(n, m = heltal)
(94)
2. När vågorna släcker ut varandra helt har man destruktiv interferens.
1
δ = (m + ) = λ
2
12.4
eller
φ = (2n + 1)π
,
(n, m = heltal)
(95)
Dopplereffekt
Frekvensen hos en våg förändras då sändare och mottagare rör sig relativt varandra jämfört med när
de är i vila. Det är alltså en förändring av frekvensen (svängningstalet) hos en signal, beroende på om
källan närmar sig eller avlägsnar sig i förhållande till observatören.
Beteckningar (samtliga storheter är definierade relativt ett fixt system) är v - ljudets fart, vs - sändarens
fart och vD(0) - detektorn (observatörens) fart.
Om vi antar att luften är i vila relativt marken, kan vi se på fem fall:
1. S och D i vila:
v = f0 λ 0
2. S i vila, D rör sig mot S:
v 0 = v + vD
v
λ0 =
f0
v0
v + vD
v + vd
=
=
· f0 > f0
f0 =
λ0
λ0
v
(Ljudets fart relativt D)
(Våglängd)
(Frekvens)
3. S i vila, D rör sig bort från S. Samma resonemang som i (2) ger:
f0 =
v + vd
· f0 < f0
v
(Frekvens)
4. S rör sig mot D som är i vila. Detta är inte samma situation som i (2)!
Vågorna sänds ut med våglängden λ0 = fv0 = vT0 , då hinner S röra sig sträckan vs T0 innan nästa
vågskickas ut. Den våglängd som D uppfattar blir inte λo , utan
λ0 = vT0 − vs T0 =
v − vs
f0
Vågornas far relativt D är v. Då blir den frekvens som D uppfattar
v
v
f 0 = 0 = ... =
· f0 > f0
λ
v − vs
5. S rör sig bort från D som är i vila. Samma resonemang som i (4) ger:
f0 =
v
· f0 < f0
v − vs
De fem olika fallen kan alla sammanfattas med formeln nedan, den däller även då sändare och mottagare
rör sig samtidigt.
v ± vD
0
f =
· f0
(96)
v ± vs
Specialfallet då både sändare och mottagare rör sig åt samma håll ges av:
c − v0
ν0 =
·ν
c − vs
där ν och ν 0 är frekvenser (grekisk bokstav ny”), och c är ljudfarten
17
(97)
13
13.1
Optik
Inledning
1. Geometrisk optik (strålningsoptik): Behandlar egenskaper hos ljus i form av raka strålar.
Inom geometrisk optik ignorerar man det faktum att ljuset vanligtvis inte färdas i form av raka
strålar, det är dock en rimlig approximation när ljuset passerar genom stora öppningar (öppnings
storlek är mycket större än våglängden).
2. Vågoptik: Inom vågoptik är ljusets vågegenskaper avgörande för att förklara fenomen som diffraktion, interferens och polarisation (ljusvågorna svänger vinkelrätt mot utbredningsriktningen).
3. Kvantoptik: Gren av fysiken, särskilt olika former av laserfysik, som utnyttjar kvantmekanik för
undersökningar av ljus och av ljusets växelverkan med materia. (Behandlas ej i denna kurs.)
4. Synligt ljus: Våglängd ca 400-700 nm, 1nm = 10−9 m
13.1.1
Några begrepp
Låt oss anta att vågkällan är punktformig.
• Vågfront: Sammanhängande linje eller yta där alla punkterna svänger i samma fas (vinkelargument).
• Stråle: Vinkelrät mot vågfronterna, anger utbredningsriktningen.
• Plan våg: Våg vars vågfronter är plana ytor. Det är alltså en modell för vågen när den är såpass
långt från källan att vågfronterna kan approximeras med plan.
13.2
Brytningslagen (Snells lag)
Snells lag är den enkla formeln som används för att beräkna vinklarna vid refraktion (ljusbrytning) då
ljus färdas mellan två medier med olika brytningsindex.
n1 sinθ1 = n2 sinθ2
(98)
• Brytningsindex: Är en materialegenskap som beskriver utbredningen av elektromagnetiska vågrörelser
i ett ämne. När en våg går snett från ett medium till ett annat med olika brytningsindex medför
hastighetsändringen en ändring av utbredningsriktningen, där vinkeln bestäms av skillnaden mellan
brytningsindex i medierna.
c
(99)
n=
v
där n är brytningsindex, c är ljushastigheten i vakuum och v är ljushastighet (utbredningshastigheten) i det aktuella ämnet.
• Kromatisk dispersion: Brytningsindex beror av våglängden.
• Fermats princip: Ljusets strålgång mellan två punkter följer den snabbaste vägen.
13.3
Hägring
Hägring är ett optiskt fenomen som uppträder då atmosfärens brytningsindex varierar med höjden.
Hägring kan observeras på grund av att varm luft nära markytan har lägre n än luften högre upp.
Vid stora temperaturskillnader mellan olika höjder kan ljusstrålar böjas av, och därigenom kan föremål
bortom horisonten dyka upp ovanför den.
Ljuset följer en krökt bana om brytningsindex n i ett medium varierar kontinuerligt.
18
13.4
Totalreflektion
Totalreflektion är ett fenomen då ljusstrålar reflekteras i en gränsyta mellan två medier med olika optisk
täthet. Om ljuset kommer från det optiskt tätare materialet, finns vid tillräckligt stor infallsvinkel inget
utrymme för en bruten stråle i det optiskt tunnare mediet, och allt ljus reflekteras tillbaka in i det optiskt
tätare mediet.
Dessa kriterier måste uppfyllas för att totalreflexion skall inträffa:
1. Ljusstrålen får från ett optiskt tätare till ett optiskt tunnare ämne.
2. Infallsvinkeln är större än gränsvinkeln för totalreflektion.
Vid den kritiska vinkeln θc gäller (enligt Snells lag):
n1 sinθc = n2 sin90◦
⇔
θc = arcsin
n2
n1
(100)
För gränsytan mellan luft och vatten betyder det att gränsvinkeln är arcsin(0, 75) = 49◦ . För glas och
luft är gränsvinkeln 45◦ .
13.5
Optisk fiber
Fiberoptik är ett optiskt system för dataöverföring där ljus leds genom så kallade optiska fibrer vars
kärnor är gjorda av mycket rent glas eller plast från flera millimeters diameter ned till mindre än ett
hårstrås diameter. Dessa glas- eller plastkärnor är omslutna av ett mantelhölje och vanligtvis också av
ett skyddande skal.
Fiberoptiken fungerar genom att ljusstrålen inuti kärnan totalreflekteras mot gränsytan till manteln.
Således kan ljuset färdas mycket långa sträckor, förutsatt att kärnan är optiskt tätare än manteln och
att infallsvinkeln mot mantelytan överstiger gränsvinkeln för totalreflexion.
De förluster som sker i ett fiberoptiskt system beror huvudsakligen på små orenheter som absorberar en
del av ljuset. Förluster beror även på ojämnheter i ytan där totalreflexionen sker.
13.6
Avbildning
13.6.1
Plan spegel
Objektet, O, är en liten ljuskälla eller ett litet föremål. Strålarna som utgår från O träffar en plan spegel
och varje stråle reflekteras enligt reflexionslagen. (BILD)
Ett öga som träffas av det reflekterade ljusknippet får intrycket av att det kommer från I (en virtuell bild
bakomspegeln). Punkten I är alltså spegelbilden av punkten O. Eftersom ljusstrålarna endast skenbart
kommer från I kallas en sådan här spegelbild för en skenbild eller virtuell bild
Objektets avstånd till spegelytan betecknas med p, och bildavståndet med i. Traditionellt låter man
objektets avstånd till spegeln vara positiv. För en plan spegel gäller då sambandet p = −i.
13.6.2
Sfäriska speglar
En enkel ekvation, linsformeln relaterar objektavståndet p, bildavståndet i och brännvidden f :
1 1
1
+ =
p
i
f
19
(101)
Storleken hos en bild och objekt även kallad för linjär förstoring definieras som kvoten mellan bildhöjd
och objekthöjd. Den kan uttryckas i objekt- och bildavstånd enligt nedan. (Storheten blir negativ om
bilden är inverterad.)
i
(102)
m=−
p
Hjälpstrålar vid bildkonstruktion:
1. En stråle genom brännpunkten reflekteras parallellt med axeln.
2. En stråle parallell med axeln reflekteras genom brännpunkten.
3. En stråle genom krökningscentrum reflekteras tillbaka samma väg
• Konvex - buktar ut mot betraktaren och vidgar synfältet:
Ett parallellt strålknippe som infaller mot en konvex spegel ser ut att divergera från en punkt
bakom spegeln – brännpunkten, F .
Den punkt strålarna ser ut att divergera ifrån är den konvexa spegelns brännpunkt. En konvex
spegel har med andra ord en virtuell brännpunkt.
• Konkav - motsatsen till konvex:
Ljusstrålar som utgår från ett objekt och som ligger nära huvudaxeln bryts till en gemensam punkt.
Denna punkt kallas bildpunkt. När ljusstrålarna når ögat tycks de komma från bildpunkten och
hjärnan tolkar det som om objektet fanns i bildpunkten.
Eftersom ljusstrålarna verkligen kommer från bildpunkten kallas bilden för reell.
Ljusstrålar som är parallella med huvudaxeln och som träffar spegeln nära huvudaxeln, bryts mot
en gemensam punkt. Denna punkt kallas för brännpunkt, F .
Avståndet mellan spegel och brännpunkt, kallas för brännvid (även kallad fokus eller fokallängd)
och betecknas f . För en konkav spegel gäller att f = 2r , r = krökningsradie.
Parallella strålar som träffar spegeln långt från huvudaxeln bryts ej mot brännpunkten. Detta ger
upphov till en suddig bild och kallas för sfärisk aberration. Felet kan minimeras genom att låta
spegelns höjd vara liten i jämförelse med krökningsradien.
13.7
Polarisation
Fenomenet polarisation hänger ihop med det faktum att den elektriska fältvektorn i den elektromagnetiska vågen svänger i ett visst plan. Ljuset säges vara polariserat när det svänger i ett plan endast.
Transversella vågor kan polariseras, inte longitudinella.
Ljusvågor svänger alltid i ett visst plan och motsvarigheten till longitudinella vågor (t.ex. kompressionsvågor i luft) existerar inte för ljus.
Polaroid: Långa molekyler inbäddade i plast, släpper igenom elektromagnetisk strålning i en viss riktning, absorberar i vinkelrät riktning. Intensiteten hos ljus efter passage av polaroid bestäms av Malus
lag:
I = I0 cos2 θ
(103)
där θ är vinkeln mellan infallande ljusets polarisationsriktning och polaroidens genomsläppsriktning.
20
14
14.1
Vågoptik
Interferens
Samma grundbegrepp som för ljud.
• Konstruktiv/Destruktiv interferens: Maximal förstärkning eller maximal utsläckning.
• Vägskillnad, δ, och fasskillnad, φ, ger sambandet
φ=δ·
2π
=δ·k
λ
,
(k är vågtalet)
(104)
(m,n = heltal)
(105)
• Villkor för konstruktiv interferens:
δ = mλ
,
φ = 2nπ
,
φ = (2n + 1)π
• Villkor för destruktiv interferens:
1
δ = (m + )λ
2
(m,n = heltal)
(106)
En viktig skillnad jämfört med ljud: Endast ljusvågor med samma svängningsriktning (polarisation)
interfererar.
Vid reflektion mot optiskt tätare medium (högre brytningsindex) sker en fasändring med π.
14.1.1
Antireflexbehandling
• Ska förhindra att reflektioner uppstår (fönster, glasögon, kameralinser).
• Skikttjocklek och brytningsindex väljs så att reflekterade strålar uppfyller villkoret för destruktiv
interferens.
• Flera skikt för att flera reflekterade våglängder ska släckas ut.
14.1.2
Dielektriska speglar
Flera skikt med varierande brytningsindex, nH > nglas och nL < nglas
14.2
Diffraktion (böjning)
• Huyghensprincip, bestämmer vågfronternas utseende.
• Böjningen av vågfronterna blir mer markant när öppningens storlek närmar sig våglängden λ.
Öppningen liknar”en punktformig vågkälla.
Ovanstående förutsätter plana vågfronter före öppningen, detta specialdfall kallas Fraunhoferdiffraktion.
Bra approximation om vågkällan är långt ifrån öppningen.
Exempel på diffraktion:
Om man belyser ett objekt med cirkulärt tvärsnitt kommer punkten mitt på ”skuggan” att bli ljus! Detta
kallas för Fresnel Bright spot. Punkterna på objektets periferi fungerar som ”sändare” (Huyghens), lika
långt till mittpunkten från alla.
21
14.2.1
Youngs experiment - Dubbelspaltsexperiment
Dubbeltspaltexperimentet är ett experiment inom kvantfysik som visar på våg-partikel-dualitet. Experimentuppställningen består av en koherent källa för ljus (eller kvantmekaniska partiklar), en skärm med
två (eller fler) smala spalter sida vid sida, samt någon form av detektor (använder man synligt ljus duger
en vit skärm). När ljuset kan passera genom båda spalterna uppstår ett tydligt interferensmönster. Går
man över till att bara sända ut en foton i taget kvarstår fenomenet, vilket visar på självinterferens.
Försöker man via olika uppställningar undersöka vilken av de två spalterna ljuset passerar förstörs interferensmönstret: ljuset kan uppvisa våg- eller partikelegenskaper, men inte båda samtidigt.
Vägskillnaden ∆L
∆L = r2 − r1 ≈ dsinθ
(107)
Villkor för interferensmaxima och minima:
dsinθ = mλ
,
1
dsinθ = (m + )λ
2
(108)
Krav för interferens: koherenta vågkällor (samma frekvens, konstant fasskillnad)
I Youngs experiment fungerar spalterna som vågkällor. Här betraktas spalterna som punktformiga,ennoggrannare
behandling där hänsyn tas till spaltbredden kommer senare.
14.2.2
Intensitet från dubbelspalt
I en punkt P uppkommer en fasskillnad på grund av en vägskillnad δ. Fasskillnaden blir φ
δ = r2 − r1
,
φ=δ
2π
λ
(109)
och för det elektromagnetiska fältet från spalt 1 respektive 2 gäller i punkten P att
E1 = E0 sinωt
och
E2 = E0 sin(ωt + φ) ,
(E0 = amplituden)
(110)
Om vi adderar dessa genom att utnyttja superposition, får vi:
φ
φ
E = E1 + E2 = E0 (sinωt + sin(ωt + φ)) = E0 · 2cos( ) · sin(ωt + )
2
2
14.2.3
(111)
Diffraktion i enkelspalt
Ju större spalt desto smalare är den centrala delen och desto närmare ligger minima intill varandra.
Med andra ord ger en smal spalt brett centralmaximun... (Fraunhofer-)Diffraktion är i själva verket en
Fouriertransformation av spaltens ”transmissionsfunktion”!
Villkor för första intensitetsmininum är att vägskillnaden = en halv våglängd:
a
λ
sinθ =
2
2
eller
asinθ = 1 · λ
(112)
Man kan göra motsvarande resonemang för andra minimum, tredje osv. Allmänt kan man för en enkelspalt
med spaltbredd a uttrycka villkoret för intensitetsminima som:
22
14.2.4
Elektromagnetiska vågor
Elektromagnetiska vågor, utbredning av elektriska och magnetiska fält som varierar med samma frekvens
och vinkelrätt mot varandra och mot utbredningsriktningen (transversell våg). Elektromagnetiska vågor
utbreder sig med ljushastigheten.
För elektromagnetiska vågor gäller precis som för ljud att intensiteten är proportionell mot amplituden
i kvadrat.
• Diffraktion förekommer även för andra typer av vågor, tex. ljudvågor.
• Lätt att observera diffraktion av ljudvågor (tex. runt hörn).
• Enkelspalt: konstant spaltbredd a innebär att bredden av ventralmaximum minskar då λ minskar.
• Lättare att fokusera för mindre λ, dvs. högre frekvens.
• Exempel: laserljus, ljud (diskant sprids mindre än bas)...
14.3
Gitter
Ett gitter är ett optiskt element som består av många parallella ristade linjer. Genom diffraktion utbreder sig ljuset efter gittret i olika vinklar, beroende på våglängd, m.a.o. vitt ljus (eller bredbandigt
ljus) delas upp till att forma ett spektrum av regnbågsfärger ungefär som ett prisma gör. Allmänt så
ökar diffraktionsvinkeln med våglängden för ett givet gitter (tvärtemot till hur prismor gör). Det existerar dock s.k. gitterordningar, vilket betyder att en given våglängd har samtidigt multipla diskreta
diffraktionsvinklar.
Ett gitter består alltså av många spalter. Ger smalare och mer väldefinierade maxima än för enkel-och
dubbelspalt. Kan användas för t ex noggrann bestämning av våglängd.
Interferensmaxima (principalmaximaa )inträffar då vägskillnaden dsinθ = mλ, m = 0, 1, 2, ...
14.4
Koherens
Koherens är en egenskap hos vågor som beskriver hur väl en vågs fas korrelerar över hela vågen (autokorrelation) eller med en annan vågs fas. Vill man alltså diskutera detta kvantitativt så pratar man
om en vågs koherensgrad. Man skiljer mellan tidskoherens (longitudinell koherens) och rumslig (spatiell)
koherens, alltså koherensgraden längs utbredningsriktningen respektive vinkelrätt därtill.
Koherent ljuskälla: Ljusvågorna har konstant fasskillnad och samma frekvens.
Ljus sänds ut vid energiövergångar i atomer/molekyler. Utsändningen av ljus genom energiövergångar i
atomer/molekyler sker under ca 10−8 sedkunder (motsvarar mot ca 106 hela svängningar om frekvensen
är ca 1014 Hz.
Vitt ljus: slumpmässighet, många atomer sändersamtidigt. Ingen konstant fasrelation, ljuset är inkoherent.
• Rumskoherens: vågorna i fas.
• Tidskoherens: långa vågtåg.
14.5
Laser
Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
(ljusförstärkning genom stimulerad emission av strålning”)
23
Det är en teknik som genom stimulerad emission skapar ljusstrålar som är enfärgade (monokroma), koherenta (ljusvågorna är i fas), har en riktning och har stark intensitet. Med en laser är det även möjligt
att skapa ljuspulser som är mycket korta (ner till i storleksordningen femtosekunder). En maser bygger
på samma princip som en laser, men använder mikrovågor istället för synligt ljus.
• Laserljus erhålles genom stimulerad emission, vilket innebär att de fotoner som sänds ut vid energiövergångar är sådana att inkommande och utsänd foton har samma riktning, fas och polarisation.
• Ljuset är koherent och monokromatiskt (liten ”bredd” i våglängd eller frekvens jämfört med andra
ljuskällor). Liten stråldivergens.
• Kan ge mycket hög momentan effekt. Rekordet är runt 1015 W (1 Petawatt); har bla använts för
att hetta upp materia till ca 106 K. En sådan laser som ger kortvariga pulser kallas pulsad. Den
laser som används vid laborationen ger ca 1mW i uteffekt och är i stället kontinuerlig.
• Flera olika typer finns, t ex gaslaser (He-Ne,CO2), halvledarlaser, färgämneslaser, frielektronlaser.
• Problem vid korta våglängder: Den spontana emissionen (ej koherent) ökar med minskande våglängd.
14.5.1
Halvledarlaser
• Många tillämpningar: materialteknik, medicin, informationsteknik, mätteknik etc.
• Olika frekvenser/våglängder kan vara användbara beroende på tillämpningar.
• Laserljus med frekvens i THz-området(våglängd cirka 0.1-1 mm) kan användas för att se genom
dimma, moln, kläder.
14.5.2
Atomlaser
• Atomer (partiklar) kan uppvisa vågegenskaper! Mycket mindre våglängd än synligt ljus.
• Aktivt medium: molnäv ultrakalla atomer, Bose-Einstein-kondensat.
• Precisionsmätningar.
• Atomlitografi, nanoteknologi.
24

Sammanfattning TNE043

Related documents

Products

Support

Sammanfattning TNE043

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib