PROBLEM I TALTEORI
1. Visa formlerna
an − 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 + ... + a + 1),
a2n+1 + 1 = (a + 1)(a2n − a2n−1 + ... − a + 1).
2. Visa att om talet an − 1 är ett primtal så måste a = 2 och n vara ett primtal. (Primtal på
denna form kallas Mersenne’ska primtal och av tradition har de flesta stora primtalen haft
denna form. Så t.ex. det hittills största 224.036.583 − 1 (upptäckt i juni 2004). Man vet ej om
det finns oändligt många primtal på denna form.)
n
3. Visa att om 2n + 1 är ett primtal så måste n vara en potens av 2. (Tal på formen 22 + 1
kallas Fermat-tal (betecknas Fn ) efter Pierre Fermat, som kan sägas ha återupplivat talteorin i
modern tid. Han uppställde år 1640 hypotesen att de alla var primtal, men 1732 visade Euler
att F5 är delbart med 641. Övning!)
4. Bestäm alla primtal p sådana att 17p + 1 är en kvadrat.
5. Visa att varje udda tal kan skrivas som en skillnad mellan två kvadrater.
6. Visa genom att betrakta talen n! + 2, n! + 3, ...n! + n, att det finns godtyckligt långa avsnitt
av talaxeln utan primtal.
7. Ett tal som är summan av alla sina äkta delare (dvs. med undantag av talet självt) säges vara
perfekt. Så är 6 = 1 + 2 + 3 ett sådant tal - vilket är nästa? Visa (Euklides) att om 2n − 1 är
ett primtal, så är talet 2n−1 (2n − 1)(∗) ett perfekt tal. (Jämför f.ö. problem 2. Man vet ej om
det finns några udda perfekta tal, men om det gör det så måste det ha mer än 300 siffror.)
8. Mycket senare (ca 1740) visade Euler att alla jämna perfekta tal har formen (*), vi skall nu i
några steg ge ett bevis. Definiera en aritmetisk funktion S(n) som summan av alla delare till
n. Då är n perfekt om och endast om S(n) = 2n.
k+1
a) Visa att om n = pk , där k är ett primtal, så är S(n) = p p−1−1 .
b) Visa att ett perfekt tal måste innehålla minst två olika primfaktorer.
c) Visa att om n = pk11 p2k2 ...pkmm så är
S(n) =
m
Y
pki +1 − 1
i
i=1
pi − 1
=
pk11 +1 − 1 pk22 +1 − 1
pkm +1 − 1
·
· ... · m
.
p1 − 1
p2 − 1
pm − 1
d) Låt nu a = 2n−1 u, med n > 1, u udda, vara ett jämnt, perfekt tal. Visa först att
S(a) = (2n − 1)S(u) samt att detta medför att S(u) = u + 2nu−1 .
e) Visa nu att då S(u) är summan av u och en äkta delare till u måste u vara primtal. Vi
har nu bevisat Eulers resultat. Eller hur...?
9. Hur kan Euklides bevis för existensen av oändligt många primtal modifieras för att visa att
det finns oändligt många primtal på formen 4n − 1?
n
10. Euklides bevis kan användas för att visa att den n:te primtalet pn uppfyller pn < 22 . Hur går
det till?
11. Visa att SGD(a, b, c) = SGD(a, SGD(b, c)).
12. Låt p vara ett primtal större än tre sådant att även p + 2 är ett primtal. (De säges då vara
primtalstvillingar. Man vet ej om det finns oändligt många sådana.) Visa att summan 2p + 2
är delbar med 12. Visa också att det bara finns en uppsättning primtalstrillingar!
13. Visa att om SGD(a, b) = 1 så gäller SGD(a + b, a − b) = 1 eller 2.
14. Visa att om p är ett primtal så gäller 24 | p2 − 1.
15. När gäller att produkten av 4 konsekutiva naturliga tal är en kvadrat? (Ledning: använd
likheten x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x(x + 3) + 1)2 .)
16. Visa att för varje primtal p > 3 gäller att p har formen 6n ± 1.
17. Finns något fyrsiffrigt kvadrattal vars två första och två sista siffror är lika?
18. Undersök vilka heltal n som kan skrivas på formen n = a2 − b2 , där även a och b är heltal.
19. Visa att talet n4 + 4 är sammansatt om n > 1.
20. Visa att talet
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ... +
1
n
inte är ett heltal om n > 1.
21. Bestäm ett tal sådant att om man sätter dess sista siffra först så blir det dubbelt så stort.
Gunnar B.
