Promenad i matematikens idévärld

stig-arne ekhall
Promenad i matematikens idévärld
Hur ser vi på matematik? Är den säkert abstrakt och svårbegriplig?
Eller är det en myt och värt att ifrågasätta? Här beskriver en
matematiker som är klassmorfar hur han förhåller sig till
dessa frågor och ger åskådliga exempel i
en, två och tre dimensioner.
U
nder mitt arbete som klassmorfar i
Närlundaskolan, en FK – 5-skola i
Ekerö kommun, fick jag en dag för
ett par år sedan en riktig tankeställare. På
en matematiklektion diskuterade jag klockan med en elev. Problemet var så här: ”En
dag kommer Oskar hem från skolan klockan 14.50. Han ger sig iväg till fotbollsträning
klockan 16.15. Hur lång tid har han då varit hemma?” Eleven såg bekymrad ut. Jag
försökte på alla vis att inrikta eleven på ett
lämpligt tänke- eller räknesätt men det gick
inte. Nästan uppgiven sa jag då till eleven
att låtsas att det inte var en mattelektion.
”Jaha”, sade han och lyste upp och efter några sekunder kom svaret: ”En timme och 25
minuter.”
Senare har jag från olika håll hört liknande berättelser. Problem som bemästras
i en annan situation kan ge oöverstigliga
svårigheter på matematiklektioner. Uppenbarligen ger matematiken, dess symboler,
begrepp och språk hämmande känslor hos
många. Kan det finnas ”matematikfobi” på
samma sätt som man talar om spindelfobi,
flygrädsla och liknande? Spindelfobi kan
man bota med lämplig terapi. Då borde man
även kunna ”bota” eller åtminstone rejält
lindra symtomen på ”matematikfobi”.
För att visa att matematiskt tänkesätt
och dess formler har konkret motsvarighet i vårt dagliga liv och därför inte behö-
44
Nämnaren nr 2 • 2006
ver skrämma någon, hade jag en halv studiedag hösten 2004 med personalen i den skola
där jag arbetar. Rubriken var Pythagoras och
Hypotenusan eller En promenad i matematikens idévärld. Syftet var alltså inte primärt
att lära ut någon intressant del av matematiken. I seminariet deltog all personal: rektor,
förskolepersonal, slöjd- och bildlärare, skolmåltidspersonal, vaktmästare, klass- och
speciallärare, ca 25 personer. En del av seminariet har jag genomfört med deltagarna i
en matematikverkstadskurs. Fotografierna i
artikeln är tagna vid detta tillfälle.
Platons idélära –
konkret och abstrakt
Jag började seminariet med att ta ett exempel med rötter i Platons idélära (Platon levde
427 – 347 f Kr). De stolar vi har runt omkring oss motsvarar idén ’stol’, här betecknad med ordet ”stol”:
Stol
Liknande relationer mellan fysiska föremål
och abstrakta matematiska objekt har vi alla
tillägnat oss utan att tänka på dess djupa
innebörd. Tänk bara på de naturliga talen:
ner ett litet tal, en miljondel, 1 / 1 000 000,
så är det lätt att hitta många mindre tal,
t ex 1 / 10 000 000 eller det som är hälften
så stort. Hur litet intervall vi än pekar ut på
tallinjen finns det minst ett bråktal i det intervallet.
3
3
och enkel sifferräkning:
Ett körsbär + Två körsbär = Tre körsbär
1+2=3
Nu går vi vidare och jämför en fysisk linje,
ritad på tavlan, med en matematisk tallinje:
Pythagoras sats
och kvadratroten ur två
Men kan det finnas andra tal än bråktalen?
För att ta reda på det närmar vi oss nu Pytha­
goras sats. (Pythagoras dog ca 500 f Kr). Deltagarna fick, indelade i grupper om 2 – 5 personer, rita en kvadrat med sidan 1 dm och
mäta diagonalen så noggrant som möjligt.
Vi kom fram till att diagonalens längd ligger
mellan 1,41 och 1,42. (Vi fick då ett närmevärde till kvadratroten ur 2, även om vi inte
”visste” det på detta stadium.)
Nu skall vi försöka beräkna exakt hur
stort det tal är som mäter denna diagonals
längd, sa jag. Då behöver vi Pythagoras sats.
Nästa uppgift blev alltså att visa den. Vi använde den så kallade pusselmetoden. Varje
grupp fick klippa: en rätvinklig triangel i
åtta exemplar, två kvadrater med lika långa
sidor som triangelns kateter, en kvadrat med
lika lång sida som hypotenusan. Med dessa
bitar la vi sedan pussel som skulle bli två
lika stora kvadrater.
Om vi förstorar strecket på tavlan blir det
längre men även bredare. Efter ytterligare
förstoring ser vi kritklumpar/bläckdroppar,
a
härefter molekyler osv. Tallinjen däremot
ändras inte alls hur många gånger vi än för b c
storar den.
Vidare egenskaper hos tallinjen är att det
varken finns något minsta eller största positiva tal och att det finns ett obegränsat antal
heltal. Tar jag ett stort tal, 1 000 000 000 000
kan du direkt nämna det som kommer därnäst 1 000 000 000 001. Överallt kryllar det
av rationella tal, bråk, dvs tal av formen p/q,
där p och q är heltal, t ex 3 / 14. Om jag näm-
b
a
b
När vi sedan tar bort de åtta trianglarna, fyra
från vardera kvadraten, är återstoden från
de båda pusselkvadraterna fortfarande lika
stora. Då ser man att kvadraten på hypote­
nusan är lika med summan av kvadrat­erna
på kateterna, eller med symboler:
a · a + b · b = c · c eller a2 + b2 = c2.
Nämnaren nr 2 • 2006
45
Låt oss nu gå tillbaka till diagonalen i kvadraten med sidan 1 (dm):
1
1
x
Pythagoras sats ger:
1·1+1·1=x·x
2=x·x
Diagonalen i kvadraten med sidan ett är alltså ett tal som, multiplicerat med sig självt,
blir lika med två. Deltagarna blev snart
överens med mig om att ett kortare uttryck
än ”ett tal som multiplicerat med sig självt
blir två” är lämpligt och vi införde √2 .
Tidigare har vi sett att √2 ligger mellan 1,41 och 1,42. Genom att multiplicera
1,410, 1,411, 1,412, 1,413, 1,414 och 1,415 i tur
och ordning med sig själva får vi ett bättre
närme­värde.
√2 ligger mellan 1,414 och 1,415. (Talen från 1,416 och uppåt behöver vi inte behandla.) Sedan kan vi bestämma fler och fler
decimaler på samma sätt, decimalföljden tar
aldrig slut. Vi kan bevisa eller åtminstone
göra troligt att ”roten ur två” inte är ett bråktal, se rutan.
Pythagoras blev mycket förvånad när han
kom på att det finns sådana tal. Han var tidigare övertygad om att varje tal kunde skrivas som kvoten mellan två heltal.
√2 är inte ett rationellt tal
Antag att √2 = p/q, där p och q är posi­
tiva heltal och att bråket är förkortat
så långt det går. Då är p2 = 2q2. Högerledet är jämnt, alltså är även vänsterledet det.
p måste då vara jämnt, varför vänsterledet är delbart med 4. Då måste
även q2 och därmed även q vara delbart med 2. Alltså kan man förkorta
p/q. Vi har kommit till en motsägelse. Det finns alltså inget bråktal som
är lika med roten ur två.
Sedan fick deltagarna räkna ut x + y med
de värden på x respektive y som var och en
hade på sitt papper. De som hade x + y = 6
fick stå kvar på sina positioner medan övriga
fick sätta sig ner. Det visade sig att de stående befann sig på en rät linje.
Alltså har vi motsvarigheten
Fler dimensioner
För att ge exempel på åskådliga gestaltningar
i matematik gick vi så över från tallinjen till
att arbeta i ett plan, alltså i två dimensioner.
Vi gick till ett rum med fri golvyta något
större än fem gånger fem meter. Två långa
måttband, lånade i gymnastiksalen, utgjorde x- respektive y-axel i ett konkret koordinatsystem. Deltagarna ställde sig på platser med heltalskoordinater (mellan ett och
fem). Var och en antecknade på ett medhavt
papper sina x- och y-koordinater. x-koordinaten är avståndet till y-axeln i meter. y-koordinaten är avståndet till x-axeln i meter.
46
Nämnaren nr 2 • 2006
x+y=6
en rät linje
Sedan utvidgade vi våra gemensamma erfarenheter till tre dimensioner. Var och en av
deltagarna beräknade z så att x + y + 2z = 7.
x + y hade de redan räknat ut så resten var
inte så svårt. Deltagarna kunde givetvis
hjälpa varandra om det behövdes. Det gällde sedan att hålla papperslappen så högt
ovan marken så att det motsvarade z-värdet
i meter. Den som hade z = 2,5 ställde sig på
en stol. De med z = 2 höll sina papper över
huvudet, de med z = 1,5 stod vanligt, de med
z = 1 stod på knä och de med z = 0,5 satt ner
på marken. De som hade z = 0 lämnade sitt
Seminariedeltagare, gestaltande x + y + 2z = 7. Artikelförfattaren längst till vänster.
papper på marken på sin position. De som
hade negativa värden på z fick tillfälligt vara
åskådare. Vi såg då att papperslapparna låg i
ett plan som bildade en yta, ett snedtak.
ett snedtak
Vi fick alltså x + y + 2z = 7
(ett snett plan i rummet)
Ja, det var linje och plan, men hur är det
med en krokig linje, en cirkel till exempel?
Vad har den för matematisk motsvarighet?
Då gick vi tillbaka till klassrummet och jag
arbetade vid tavlan. Cirkeln har radien 5.
(x, y)
5
y
x
Användning av Pythagoras sats på triangeln
med kateterna x respektive y längdenheter
och hypotenusan 5 ger:
x2 + y2 = 25
För varje punkt (x, y) på cirkeln kan vi
sätta upp detta samband och vi säger då att
x2 + y2 = 25 är en cirkel med radien 5. I tre
dimensioner är x2 + y2 + z2 = 25 en boll, en
sfär.
Matematiska formler har alltså ofta konkreta motsvarigheter, vilket gör matematiken
mindre mystisk.
Descartes
Den förste som behandlade geometri
med räknemetoder som vi gjort ovan
var den franske filosofen och matematikern René Descartes (1596 – 1650).
För sitt djärva sätt att resonera blev
han beskylld för att förföra ungdomen och förvisades till Holland där
han arbetade i flera år. Vår drottning
Kristina inbjöd honom till Sverige dit
han kom hösten 1649. Den ständigt
kunskaps­törstande drottningen såg
till att han blev väckt i ottan för djupa
samtal om höga ting. I den iskalla miljön fick han lunginflammation och
dog redan i början av 1650. Descartes
är även känd för devisen: Jag tänker,
alltså finns jag till.
Nämnaren nr 2 • 2006
47
Oändligheten
Tårtan som räcker för alla
I mitt seminarium ”tämjde jag också oändligheten” genom att berätta om Hilberts hotell med oändligt många rum, rita det i perspektiv på tavlan, dela en tårta i ett oändligt
antal bitar, räkna upp de positiva bråktalen
samt täcka dem med bitar av ett godtyckligt
litet intervall.
Om varje gäst tar hälften (eller mindre än
hälften) av vad som återstår efter dem som
tagit sina bitar innan, räcker tårtan till ett
obegränsat antal gäster.
2
1
Hilberts hotell
3
Detta märkliga hotell har oändligt många
rum och har fått sitt namn efter den tyske
matematikern David Hilbert (1862 – 1943).
5
4
Gäst nummer ett (en hungrig tonåring?) får
hälften, nästa får en fjärdedel, så en åttondel till den tredje osv. I den fysiska världen
blir det snart svårt. Bitarnas storlek kommer
efter ett tag ner till atomnivå och då blir nog
gästerna besvikna. Men i matematikens idévärld är 1/1024 lika aptitligt som 1/8, eller
hur?
Tänk om det är fullbelagt och det kommer
ännu fler gäster, säg fem stycken! Inga problem. Man låter bara de som redan har installerat sig i hotellet flytta fem rum bort.
Den som bott i t ex rum nr 8 flyttar till rum
nummer 13. Då blir rum nummer 1, 2, 3, 4
och 5 lediga och de nya gästerna kan få de
rummen.
Inte nog med det. Till och med i ett fullbelagt hotell kan man efter en lämplig omflyttning bereda plats för ett obegränsat
antal nya gäster. Låt de gamla hotellgästerna flytta till rum som har jämna nummer:
1 –> 2, 2 –> 4, 3 –> 6, 4 –> 8 osv. Då blir alla
rum med udda nummer, 1, 3, 5, 7, 9 ... osv
lediga för hur många nya gäster som helst.
På samma sätt kan man frigöra halva hotellet för renovering utan att behöva förlora en
enda gäst.
Hilberts hotell har paradoxala och märkliga egenskaper. Men tankeleken visar att
även oändligheten kan hanteras med konkreta motsvarigheter i vår vanliga fysiska
värld. Oändligheten låter sig tämjas!
48
Nämnaren nr 2 • 2006
Bråktalen –hur många är de och
hur stor plats tar de?
Ett bråktal är ju ett heltal dividerat med ett
annat. De är många, men vi kan räkna upp
dem:
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6 ...
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 4/6 ...
5/1 5/2..................................
Skriv först upp dem så här
1/1 1/2 2/1 1/3 2/2 3/1 1/4
2/3 3/2 4/1 2/4 3/3 4/2 5/1 ...
och stryk dem som redan förekommit. Då
får vi nedanstående talföljd, som vi kan
räkna upp
1/1 1/2 2/1 1/3 3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 5/1...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
0,000002
0,000001
nr
1
2
Trots att bråktalen är så många fler än heltalen kan vi åstadkomma en motsvarighet
mellan dem; vi kan räkna upp dem. Vi säger
att bråktalen har samma mäktighet som heltalen. Hela tiden avses de positiva bråktalen
och de positiva heltalen. Efter den inledande övningen med Hilberts hotell är vi kanske inte så förvånade.
Hur stor plats tar bråktalen på tallinjen?
Vi använder tekniken från tårtdelningen.
Deltagarna i seminariet fick ange längden
på ett mycket litet stycke av tallinjen och så
delade vi upp det, först i två lika stora delar.
Den högra av dem delade vi i två och så vidare. Sedan numrerade vi de ännu mindre
bitarna, se bilden ovan.
Med den första biten täckte vi bråktal
nummer 1 i vår uppräkning, med den andra
täckte vi nr 2 och så vidare. Trots att bråktalen är så många och att de finns i vilket
intervall som helst på tallinjen, kan man
täcka allihop med bitarna från ett mycket
litet stycke av linjen, ja egentligen hur litet
som helst.
Vi har nu kommit ännu något högre i
abstrak­tionsnivå. Bråktalen är många fler än
heltalen men ändå på något sätt lika många
(lika mäktighet). De finns ”överallt”, godtyckligt nära varandra men de tar hur liten
plats som helst. Trots det kan de behandlas
med tankeverktyg som ligger nära vår dagliga värld.
3
4
5 6 ...
Sammanfattande reflektioner
Jag försökte att så långt möjligt undvika att
införa nya ord för nya begrepp. Jag kallade
t ex rationella tal för bråktal. Huvud­syftet
med den beskrivna dagen var ju att visa att
matematiska symboler och formler (om
de inte är alltför avancerade) har konkreta
motsvarigheter i vår vanliga vardag. Som
verktyg för problemlösning är de egentligen inte mer märkvärdiga än en borrmaskin
eller en symaskin. Stämningen blev ganska
uppsluppen så det blev dessutom en demonstration av att matematik kan vara ganska
rolig. Det visade också den enkla utvärdering som vi gjorde under seminariets fem
sista minuter.
Jag menar att mina erfarenheter och mitt
försök visar att vi kan förmedla att mate­
matiken inte är så märkvärdig som många
tror. Men det krävs nog att den som leder
seminariet har så pass mycket kunskaper i
ämnet att han/hon känner sig trygg i matematikens värld med dess språk, symboler
och formler. Och att man har en positiv och
lyssnande inställning till dem som tar emot
budskapet, förstås!
Vad är en klassmorfar?
Klassmorfar för barnen är en ideell förening och ett socialt stödprojekt i grund­
skolan. Syftet är att främja barnens utveckling och berika deras liv under val­språket
”Alla barn är våra barn”. Klassmorfar är antingen pensionär eller tidigare långtidsarbetslös man över 50 år. Han är inte lärare och konkurrerar heller inte med andra
yrkeskategorier i skolan. Nyligen har man även öppnat för kvinnor. Läs mer på
www.klassmorfar.nu
Nämnaren nr 2 • 2006
49