1850-1900

1850 - 1900
Matematikens historia
Teodor Gardelli, LTU 2008
Översikt
• Icke-euklidisk geometri (Riemann, Klein,
m.fl.)
• Mängdlära (Cantor)
• Logik (De Morgan, Boole, Frege, m.fl.)
• Matematikens fundament (Frege, Russel,
Peano, m.fl.)
Teodor Gardelli, LTU 2008
Allmänt
• 1846 Barnarbete förbjuds i Sverige
• 1859 Darwin publicerar Origin of species
• 1870-1871 Fransktyska kriget, Frankrike
förlorar
• 1871 Tyskland förbundsstat
• 1876 Bell telefon
Teodor Gardelli, LTU 2008
•
•
•
•
•
1877 KTH
1879 Glödlampan, Edison
1886 Bensinbilen, Benz och Daimler
1895 Röntgenstrålar
1901 Nobelpriset
Teodor Gardelli, LTU 2008
Skolan i Sverige
• 1842 folkskola i Sverige
- ”de fyra räknesätten i hela tal”
• 1878 styrdokument, räkning blev viktigare,
särskilt geometri
• Bönder och adel
Teodor Gardelli, LTU 2008
Matematiska händelser
• Crelles Journal, 1823 och framåt
• 1850 introduceras termen ”matris” av
engelsmannen Sylvester
• 1858 Möbiusband
- en sida
- förblir en kropp om den klipps av
Teodor Gardelli, LTU 2008
•
•
•
•
1873 e är transcendent
1882 ! är transcendent
Mängdläran 1874
Venndiagrammet 1881
A
B
Teodor Gardelli, LTU 2008
A_B
Matematiska samfund
•
•
•
•
•
•
London Mathematical Society, 1864
Moscow Mathematical Society, 1867
Société Mathématique de France, 1872
Edinburgh Mathematical Society, 1883
Circolo Mathematico di Palermo, 1884
Deutsche Mathematiker-Vereinigung,
1890
Teodor Gardelli, LTU 2008
Topologi
• Eulers Königbergs broar
• Möbiusband
• Fyrfärgsproblemet (1852): Francis Guthrie
och De Morgan
Teodor Gardelli, LTU 2008
Fyrfärgsproblemet
• - 1890, 5 färger räcker, visades av P. J.
Heawood som arbetade med problemet i
60 år av sitt liv.
- löstes 1977 med datorhjälp (1200
datortimmar). Första datorbeviset. Hur kan
vi veta att det stämmer?
Teodor Gardelli, LTU 2008
Lejeune Dirichlet (1805-1859)
[Frankrike]
• Dirichlets princip (duvhålsprincipen).
• Definierade funktion:
- ”Till varje värde på x är på något sätt
ordnat ett värde y”
• Efterträdde Gauss vid Göttingens
universitet, Tyskland, 1855
• Medlem i Royal Society of London 1855
Teodor Gardelli, LTU 2008
Augustus De Morgan (1806-1871)
[Indien-England]
• Blind på höger öga
strax efter födseln
• 1828 första
professorn vid
University College
London, avgick 1831
av principskäl, åter
1836, avgick 1866
Teodor Gardelli, LTU 2008
• Nej tack, Royal Society och University of
Edinburgh
• 1838, introducerade matematisk induktion
• Var med och grundade London
Mathematical Society 1866
• LMS:s första president
• De Morgan-medaljen från 1884, bl.a. Klein
och Russel har fått den
Teodor Gardelli, LTU 2008
• De Morgans lagar
- ¬(p v q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
- ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p v ¬q
• x år gammal år x^2 (43 år 1849)
Teodor Gardelli, LTU 2008
George Boole (1815-1864)
[England-Irland]
• Logik,
differentialekvationer
och sannolikhet.
Använde logiken inom
matematiken
• 1854 reducerar Boole
logik till algebra, s.k.
Boolesk algebra
Teodor Gardelli, LTU 2008
• Var en av de första att utreda algebraiska
egenskaper som t.ex. den distributiva
egenskapen hos nummer
- a(b+c) = a*b + a*c
• Dog 49 år gammal av svår förkylning
Teodor Gardelli, LTU 2008
Georg Friedrich Bernhard Riemann
(1826-1866) [Tyskland-Italien]
• Icke-euklidisk
geometri, integraler,
talteori och komplex
analys
• Riemannytor,
Riemannintegral,
Riemannsumma,
Riemanns zetafunktion,
Riemannhypotesen…
Teodor Gardelli, LTU 2008
• Elev till bl.a. Gauss (i Göttingen) och
Dirichlet (i Berlin och Göttingen)
• Efterträdde Dirichlet i Göttingen 1859
• 1862 fick han tuberkulos, flyttade till Italien
• Royal Society 1866
• 10 juni 1854, föreläsning om geometri:
- vilken geometri beskriver den verkliga
rymden?
- ny typ av icke-euklidisk geometri
(hyperboliska fanns redan)
Teodor Gardelli, LTU 2008
Icke-euklidisk geometri
• Elliptisk (sfärisk) geometri
- rummet = sfärens yta
- linje = storcirkel [definieras av två
punkter]
- inga parallella linjer [alla skär varandra]
→ icke-euklidisk.
- influenser på allmänna relativitetsteorins
fyrdimensionella rum (x, y, z, t)
Teodor Gardelli, LTU 2008
Riemannhypotesen
• On the number of
• - alla icke-triviala
primes less than a
rötter har realdelen _.
given magnitude,
Linjen Re(z) = _
Riemannhypotesen
kallas den kritiska
1859
linjen.
- zeta-funktionen: (s)
- Ej löst. 1 miljon
= ∑(1/n^s), n naturliga
dollar i belöning av
tal
Clay Mathematics
institute
Teodor Gardelli, LTU 2008
Riemannintegralen
• Introducerades 1854
- upper Riemann sum
- lower Riemann sum
- Riemannsumma
- Riemannintegralen
Teodor Gardelli, LTU 2008
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
(1815-1897) [Tyskland]
• 1856 professor vid Berlins universitet
• Introduktion till analysen, en kurs som
Weierstrass gav för första gången 1860/61
som har varit grunden för inledande kurser
i analys sedan dess
Teodor Gardelli, LTU 2008
• Under långa tidsperioder svårt sjuk.
• Efter att ha kollapsat 1861 undervisade
han sittande, medan en elev skrev på
svarta tavlan
Teodor Gardelli, LTU 2008
• 1872 fann han en funktion som var
kontinuerlig men saknade derivata i alla
punkter
• 1882 visade han att alla kontinuerliga
funktioner kan approximeras med polynom
till godtycklig exakthet
• Undervisade bl.a. Cantor, Klein och
Mittag-Leffler. Gav privatlektioner åt Sofia
Kovalevskaja, eftersom hon inte tilläts
studera vid universitetet
Teodor Gardelli, LTU 2008
Sofia ”Sonja” Kovalevskaja (18501891) [Ryssland-Sverige]
• Motarbetad p.g.a. kön
• 1874, doktorat från
Göttingen, stödd av
Weierstrass
• 1883 docent i
Stockholm, tack vare
Mittag-Leffler
• 1884 professor
Teodor Gardelli, LTU 2008
Nordiska matematiker
• Sophus Lie (18421899), Norge
- Lie-grupper (t.ex.
grupper av reella
matriser)
- Lie-algebra
- Royal Society 1895
• Gösta Mittag-Leffler
(1846-1927), Sverige
- Elev till Weierstrass
- Funktionsteori
- Acta Mathematica
1882
- Royal Society 1896
Teodor Gardelli, LTU 2008
Georg Cantor (1845-1918)
[Ryssland-Tyskland]
• Talteori
- 1873 rationella talen
är räknebara
- algebraiska talen
också
- reella talen inte
räknebara
- de flesta talen är
transcendenta
Teodor Gardelli, LTU 2008
• Skapade mängdläran 1874
• Första presidenten för Deutsche
Mathematiker-Vereinigung 1890
Teodor Gardelli, LTU 2008
Richard Dedekind (1831-1916)
[Tyskland]
• Doktorat, Göttingen 1852,
Gauss sista elev
• Diskuterade mängdlära
med Cantor
• 1872 Omdefinierade
irrationella talen,
Dedekindsnitt
Teodor Gardelli, LTU 2008
Felix Klein (1849-1925) [Tyskland]
• Född 25/4 1849 (5^2,
2^2, 43^2, primtal i
kvadrat)
• Professor i Erlanger
1872,
Erlangerprogrammet
• 1875 Anne Hegel
• Royal Society 1885
Teodor Gardelli, LTU 2008
•
•
•
•
Professor i Göttingen 1886
1893 kvinnor i Göttingen
LMS De Morgan-medalj 1893
Copley-medaljen 1912
Teodor Gardelli, LTU 2008
Erlangerprogrammet
• 1872. Innefattar både euklidisk och ickeeuklidisk geometri
- invariant = oförändrad
- egenskaper som är invarianta under olika
transformationer
Teodor Gardelli, LTU 2008
- euklidiska geometrin
(kongruensgeometrin): avstånd och vinklar
bevaras
- likformighetsgeometrin: endast en kvadrat
och en cirkel
- affina geometrin
- projektiva geometrin
Teodor Gardelli, LTU 2008
Henri Poincaré (1854-1912)
[Frankrike]
• León Poincaré
professor i medicin
• Närsynt
• Kusin med Frankrikes
premiärminister
• Produktivt geni
• Skapade algebraisk
topologi
Teodor Gardelli, LTU 2008
• Lycée in Nancy (Lycée Henri Poincaré)
- toppstudent i alla ämnen han läste
- vann stor tävling bland de bästa
studenterna i Frankrike
• Medskapare till den speciella
relativitetsteorin (Einstein)
• Royal Society 1894
• Royal Society Sylvester Medal 1901
• Rue Henri Poincaré i Paris
Teodor Gardelli, LTU 2008
Gottlob Frege (1848-1925)
[Tyskland]
• En av grundarna till
modern symbolisk
logik
• 1873 doktorat i
Göttingen
• Professor vid
universitetet i Jena
Teodor Gardelli, LTU 2008
• ”Varje god matematiker är åtminstone
halvt en filosof, och varje god filosof är
åtminstone halvt matematiker”
- Logik, axiom, deduktiva härledningar,
ekvivalens, implikation, mängdlära,
vetenskapsfilosofi…
• Begriffsschrift 1879, introducerade
sanningsvärdestabellen, ⇒, ¬, ∃, ∀
• 1884, Die Grundlagen der Arithmetik
• Logicism: ”Matematik är reducerbart till
logik”
Teodor Gardelli, LTU 2008
Mening och referens
• 1892, Mening och referens, Venus
- "aftonstjärnan" = "morgonstjärnan"
- "aftonstjärnan" = "aftonstjärnan"
- samma referens, olika mening
• The Basic Laws of Arithmetic, axiom och
bevis för aritmetikens grunder
- 2:a tryckningen, brev från Russel (16 juni
1902)
Teodor Gardelli, LTU 2008
Russels paradox
•
•
•
•
Brevet
Definiera tal med mängdlära
Frege förutsatte mängder av mängder
M = Mängden av alla mängder som inte är
medlemmar i sig själva
- M medlem i sig själv? Ja ⇒ Nej.
Nej ⇒ Ja
Teodor Gardelli, LTU 2008
Motsägelse
• Ur en motsägelse följer vad som helst:
(1) Jorden är rund
(2) Det är inte så att jorden är rund
Teodor Gardelli, LTU 2008
Motsägelse
• Ur en motsägelse följer vad som helst:
(1) Jorden är rund
(2) Det är inte så att jorden är rund
(3) Jorden är rund eller månen är en ost
Teodor Gardelli, LTU 2008
Motsägelse
• Ur en motsägelse följer vad som helst:
(1) Jorden är rund
(2) Det är inte så att jorden är rund
(3) Jorden är rund eller månen är en ost
slutsats: (4) Månen är en ost
Teodor Gardelli, LTU 2008
Motsägelse
• Ur en motsägelse följer vad som helst:
(1) Jorden är rund
(2) Det är inte så att jorden är rund
(3) Jorden är rund eller månen är en ost
slutsats: (4) Månen är en ost
• Appendix: ”En större olycka kan knappast
drabba en vetenskaplig författare än att få
en av grunderna för sitt verk raserad, när
verket självt fullbordats…”
Teodor Gardelli, LTU 2008
Bertrand Russell (1872-1970)
[Wales]
• En av grundarna till
den analytiska
filosofin
• Principia Mathematica
(1910)
• Logicist:
matematik ⊂ logik
Teodor Gardelli, LTU 2008
•
•
•
•
•
•
•
Gödels ofullständighetsteorem
1916 böter för anti-krigsaktiviteter
Royal Society 1908
LMS De Morgan Medal 1932
Royal Society Sylvester Medal 1934
Nobelpriset i litteratur 1950
Anti-krig och anti-kärnkraft på 1950-60talen
• Russel-Einstein Manifesto 1955
Teodor Gardelli, LTU 2008
Giuseppe Peano (1858-1932)
[Italien]
• Logik och
matematikens
fundament
• Peanos axiom 1889
• Odefinierade
grundobjekt:
- naturligt tal
- efterföljare
• Peanos aritmetik
Teodor Gardelli, LTU 2008
De naturliga talens axiom
•
•
•
•
Varje naturligt tal har en efterföljare, som
också är ett naturligt tal
Det finns ett entydigt bestämt tal, ”0”, som inte
är efterföljare till något annat tal
Om två tal x och y har samma efterföljare,
gäller att x = y
Varje mängd som innehåller 0, och innehåller
efterföljaren till x om den innehåller x, är
mängden av de naturliga talen
Teodor Gardelli, LTU 2008
Peanos aritmetik
– Utifrån axiomen härledde Peano talen 1,2,3…
och de vanliga räknereglerna.
Exempel:
– 2 definieras som efterföljaren till 1
– Talet n+1 definieras som efterföljaren till n,
och n+2 är efterföljaren till n+1
– a+b = b+a (kommutativa lagen)
– a+(b+c) = (a+b)+c (associativa lagen)
– a(b+c) = a*b + a*c (distributiva lagen)
Teodor Gardelli, LTU 2008
Huvudkällor
• Karush, W. Matematisk uppslagsbok, W&W
• Tersman, F. Fem filosofiska frågor (2001)
• Selander, S. Kobran, nallen och majjen: tradition
och förnyelse i svensk skola och skolforskning
(2003)
• The MacTutor History of Mathematics archive
• Mathworlds hemsida
• Stanford Encyclopedia of Philosophy
• http://www.claymath.org/millennium/Riemann_H
ypothesis/
• http://www.kth.se
Teodor Gardelli, LTU 2008
Jag tror jag slutar här…
• 
Teodor Gardelli, LTU 2008