UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Lars-Åke Lindahl
tel 4713206
PROV I MATEMATIK
Talteori MN1
2001–03–08
Please turn over for an English version of the paper.
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare. En lösning som endast består av prövning
med hjälp av miniräknare ger ej full poäng. Alla lösningar skall motiveras!
Skrivtid: 09.00 – 14.00
1. a) Det största kända primtalet är Mersenneprimtalet p = 26 972 593 −1. Bestäm
samtliga lösningar till kongruensen x2 ≡ 1 (mod p).
b) Kan Mersenneprimtalet p skrivas som en summa av två heltalskvadrater?
c) Beräkna φ(500).
d) Är kongruensen x2 ≡ −1 (mod 1997) lösbar? (1997 är ett primtal.)
e) Beräkna 350 (mod 101).
(2+2+2+2+2 p)
2. Bestäm samtliga lösningar till systemet
x ≡ 1 (mod 4)
2x ≡ 3 (mod 5)
4x ≡ 5 (mod 7)
(4 p)
3. Lös kongruensen x17 + x2 + 15 ≡ 0 (mod 172 ) fullständigt.
(5 p)
4. Avgör om kongruensen 18x2 − 74x + 37 ≡ 0 (mod 311) är lösbar. (311 är ett
primtal.)
(5 p)
5. a) Låt p vara ett udda primtal. Visa att kongruensen
x4 ≡ −1 (mod p)
är lösbar om och endast om p ≡ 1 (mod 8).
(3 p)
b) Visa att det finns oändligt många primtal på formen 8k + 1 genom att
betrakta ett lämpligt tal av typen (2p1 p2 · · · pn )4 + 1, där pj är primtal på
formen 8k + 1.
(Resultatet i a) får användas även om du inte löst den delen.)
(3 p)
√
3
6. Bestäm de sex första termerna i kedjebråksutvecklingen av talet
50, samt
√
3
bestäm det rationella
√ tal a/b med b ≤ 400 som approximerar 50 bäst.√Uppskatta sedan felet | 3 50 − a/b| utan att använda något närmevärde på 3 50,
samt jämför därefter din uppskattning med det värde du får på felet genom
att använda miniräknarens närmevärde för roten.
(5 p)
7. Definiera talföljden an rekursivt genom
(
an+1 = a2n − an + 1,
a0 = 2.
n≥0
Visa att talen am and an är relativt primiska om m 6= n.
(5 p)
[Anm. Uppgift 7 ger ett alternativt bevis för att det finns oändligt många
primtal!]
Obs! Svensk text på andra sidan.
Permitted aid: Pocket calculator. A solution which only consists of calculator
computations will not give full credit. All solutions should be motivated.
Allotted time: 09.00 – 14.00
1. a) Presently, the largest known prime number is the Mersenne prime p =
26 972 593 − 1. Find all solutions of the congruence x2 ≡ 1 (mod p).
b) Can the Mersenne prime p be written as the sum of two squares?
c) Calculate φ(500).
d) Is the congruence x2 ≡ −1 (mod 1997) solvable? (1997 is a prime.)
e) Calculate 350 (mod 101).
(2+2+2+2+2 p)
2. Find all solutions of the system
x ≡ 1 (mod 4)
2x ≡ 3 (mod 5)
4x ≡ 5 (mod 7)
(4 p)
3. Find all solutions of the congruence x17 + x2 + 15 ≡ 0 (mod 172 ).
(5 p)
4. Determine if the congruence 18x2 − 74x + 37 ≡ 0 (mod 311) is solvable.
(311 is a prime.)
(5 p)
5. a) Let p be an odd prime. Prove that the congruence
x4 ≡ −1 (mod p)
is solvable if and only if p ≡ 1 (mod 8).
(3 p)
b) Prove that there are infinitely many primes of the form 8k+1 by considering
a suitable number of the type (2p1 p2 · · · pn )4 + 1, where each pj is a prime of
the form 8k + 1.
(If you did not succeed in proving a) you may still use that part in the proof
of b).)
(3 p)
6. √
Find the first six numbers in the continued fraction expansion
√ of the number
3
50, and determine the best rational√
approximation a/b to 3 50 with b ≤ 400.
Then give an estimate
of the error | 3 50 − a/b| without using any numerical
√
3
approximation of 50. Finally, compare your estimate with the value that
you obtain by calculating the error using your pocket calculator.
(5 p)
7. The sequence an is recursively defined as follows
(
an+1 = a2n − an + 1,
n≥0
a0 = 2.
Show that if m 6= n, then am and an are relatively prime.
(5 p)
[Remark. Incidentally, this gives another proof that there are infinitely many
primes!]
