Olikheter
Triangelolikheten: |x + y| ≤ |x| + |y|.
Namnet kommer från vektorgeometrin; motsvarande olikhet för vektorer |u + v| ≤ |u| +
|v| kan nämligen tolkas som att summan av
längderna av två sidor i en triangel alltid är
minst lika med längden av den tredje:
Bevis av triangelolikheten: (i) x, y är reella tal.
x ≤ |x| och y ≤ |y| ⇒ x + y ≤ |x| + |y|,
p s s:
−x ≤ |x| och − y ≤ |y| ⇒ −(x + y) ≤ |x| + |y|.
|x + y| är antingen lika med x + y eller med
−(x + y). I båda fallen har vi visat satsen.
(ii) x, y är komplexa tal: Vi har redan sett ett
geometriskt bevis. Här är ett rent algebraiskt
bevis.
|x + y|2 = (x + y)(x + y) = (x + y)(x̄ + ȳ) =
=xx̄ + 2Re (xȳ) + yȳ ≤ |x|2 + 2|x||y| + |y|2 =
=(|x| + |y|)2
Omvända triangelolikheten: ||x| − |y|| ≤ |x − y|
följer av observationerna
|x| = |(x − y) + y| ≤ |x − y| + |y|
⇒ |x| − |y| ≤ |x − y|
|y| = |x + (y − x)| ≤ |x| + |x − y|
⇒ |y| − |x| ≤ |x − y|.
En annan olikhet av intresse är olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde:
Låt a och b vara positiva tal. Vi definierar A =
√
a+b
2 , (aritmetiskt medelvärde) G = ab , (geometriskt medelvärde).
SATS. A ≥ G (likhet inträffar precis då a = b).
√
a+b √
1
A−G=
− ab = (a + b − 2 ab) =
2
2
Bevis:
√ 2
1 √
= ( a − b) ≥ 0, VSB.
2
(Motsvarande olikhet gäller även för flera tal:
Försök t ex själv visa att (a, b, c, d > 0)
√
√
a+b+c+d
a+b+c
4
3
≥ abcd och
≥ abc.
4
3
De flesta olikheter som vi kommer att behandla
i fortsättningen kommer inte att vara generellt
sanna som i ovanstående exempel. Problemet
blir i stället just att avgöra för vilka värden på
de ingående variablerna som olikheten är sann
(jrf ekvationslösning).
Ex 1. För vilka x gäller x + 3 ≤
x+3≤
2x
?
x−2
2x
2x
⇔0≤
− (x + 3)
x−2
x−2
⇔0≤
2x − (x + 3)(x − 2)
x−2
−x2 + x + 6
(x + 2)(3 − x)
⇔0≤
⇔0≤
.
x−2
x−2
Den givna olikheten är alltså ekvivalent med
att den sista kvoten är positiv. För att undersöka när detta inträffar kan vi göra en teckentabell:
Från den sista raden ser vi att olikheten är sann
precis då x ≤ −2 eller 2 < x ≤ 3. Lägg märke
till tekniken att flytta över termer till en sida
och faktorisera. Hade det inte varit enklare att
först multiplicera med x − 2?
Ex 2. För vilka x gäller (x + 3)(x − 2) ≤ 2x?
(x + 3)(x − 2) ≤ 2x ⇔ x2 + x − 6 ≤ 2x ⇔
1 2
25
1
5
2
x − x − 6 ≤ 0 ⇔ (x − ) ≤
⇔ |x − | ≤ .
2
4
2
2
Den sista olikheten kan tolkas som att av5 vilket är
är
mindre
än
ståndet från x till 1
2
2
ekvivalent med att −2 ≤ x ≤ 3.
Även om olikheten i Ex 2 formellt uppstår genom att multiplicera olikheten i Ex 1 med x − 2
är lösningsmängderna helt olika! Anledningen
är att olikheter byter riktning då man multiplicera med negativa tal (faktorn x − 2 kan ju
vara både positiv och negativ).
Några blandade exempel på olikheter:
2x + 1
Ex 3.
<4
3x − 1
Ex 5.
x−1
x+1
Ex 4.
<
.
x−2
x+2
1
1
1
1
>
.
Ex
6.
>
.
2
2
2
2
4x + 1 x + 4
4x − 1 x − 4
Naturligtvis kan det även förekomma olikheter
som innehåller absolutbelopp. Tekniken består
då i att först dela upp i fall så att beloppstecknen kan tas bort.
Ex 7. ||x − 1| − 2| < |x2 − 1|.
