Delphi

LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 1
Av ANDERS ANDERSSON
Fysik B
Sammanfattning av lärargenomgångar
Kapitlen avser Natur och kulturs bok Fysik för gymnasieskolan (B)
SAMMANFATTNING AV LÄRARGENOMGÅNGAR .................................................................................. 1
ELEKTRISKA FÄLT (KAP 9)............................................................................................................................ 4
ELEKTRISK FÄLTSTYRKA .................................................................................................................................... 4
SPÄNNING OCH FÄLTSTYRKA .............................................................................................................................. 5
ELEMENTARLADDNINGEN ................................................................................................................................... 6
POTENTIAL .......................................................................................................................................................... 6
POTENTIAL I ELEKTRISKA KRETSAR .................................................................................................................... 8
KONDENSATORN ............................................................................................................................................... 10
KAPACITANS ..................................................................................................................................................... 10
KAPACITANS HOS PLATTKONDENSATOR ........................................................................................................... 11
PARALLELL- OCH SERIEKOPPLING AV KONDENSATORER ................................................................................... 11
OSCILLOSKOPET ................................................................................................................................................ 13
RC-KRETSAR..................................................................................................................................................... 13
IN- OCH URKOPPLING AV KONDENSATOR .......................................................................................................... 13
JÄMFÖRELSE MELLAN KONDENSATOR OCH TRYCKTANK ................................................................................... 14
MAGNETFÄLT (KAP 14) ................................................................................................................................. 15
MAGNETER OCH MAGNETFÄLT.......................................................................................................................... 15
DEMONSTRATION .............................................................................................................................................. 15
MAGNETFÄLT KRING STRÖMMAR ...................................................................................................................... 15
KRAFTER PÅ LEDARE I MAGNETFÄLT ................................................................................................................ 16
HUR STOR ÄR KRAFTEN? ................................................................................................................................... 17
FLÖDESTÄTHET KRING RAK LEDARE ................................................................................................................. 18
KRAFTVERKAN MELLAN PARALLELLA LEDARE ................................................................................................. 20
DEFINITIONEN FÖR AMPERE .............................................................................................................................. 20
PERMEABILITET ................................................................................................................................................ 20
FLÖDESTÄTHET I EN SOLENOID ......................................................................................................................... 21
KRAFTER PÅ LADDADE PARTIKLAR I MAGNETFÄLT ........................................................................................... 21
ELEKTRONENS MASSA ....................................................................................................................................... 22
KVOTEN Q/M FÖR ELEKTRONEN MED HELMHOLTZSPOLAR ................................................................................ 23
ELEKTRISK INDUKTION (KAP 20) .............................................................................................................. 24
LEDARE SOM RÖR SIG I MAGNETFÄLT................................................................................................................ 24
LENZ LAG .......................................................................................................................................................... 25
INDUKTIONSLAGEN ........................................................................................................................................... 26
MAGNETISKT FLÖDE ......................................................................................................................................... 27
INDUKTIONSLAGEN OCH MAGNETISKT FLÖDE ................................................................................................... 27
SPOLAR MED OLIKA VARVTAL........................................................................................................................... 29
INDUKTIONSSTRÖMMENS RIKTNING I EN SPOLE ................................................................................................. 29
SJÄLVINDUKTION .............................................................................................................................................. 32
INDUKTANS ....................................................................................................................................................... 33
IN- OCH URKOPPLING AV RL-KRETS .................................................................................................................. 34
RÖRELSEMÄNGD OCH IMPULS (KAP 16)................................................................................................. 38
EXPLOSIONSFÖRLOPP ........................................................................................................................................ 38
RÖRELSEMÄNGD ............................................................................................................................................... 39
RÖRELSEMÄNGDENS KONSTANS ....................................................................................................................... 39
ELASTISK STÖT ................................................................................................................................................. 40
OELASTISK STÖT ............................................................................................................................................... 40
D:\265336659.doc
1
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 1
Av ANDERS ANDERSSON
KROCKSÄKERHET ............................................................................................................................................. 42
IMPULSLAGEN ................................................................................................................................................... 43
BESTÄMNING AV STÖTTID ................................................................................................................................. 43
MÄTNING AV IMPULS MED KRAFTGIVARE ......................................................................................................... 44
RESONEMANG GER LÖSNING ............................................................................................................................. 45
RÖRELSE I HOMOGENA FÄLT (KAP 17) ................................................................................................... 46
KASTRÖRELSE ................................................................................................................................................... 46
RÖRELSEEKVATIONERNA I TVÅ RIKTNINGAR .................................................................................................... 46
LUFTMOTSTÅND ................................................................................................................................................ 49
TESTA SJÄLV ..................................................................................................................................................... 49
LADDADE PARTIKLARS RÖRELSE I HOMOGENA FÄLT ......................................................................................... 50
CIRKULÄR RÖRELSE, GRAVITATION (KAP 18) ..................................................................................... 51
DEMONSTRATION .............................................................................................................................................. 51
LÄGET VID CIRKULÄR RÖRELSE ........................................................................................................................ 51
HASTIGHET VID CIRKULÄR RÖRELSE ................................................................................................................. 52
ACCELERATION VID CIRKULÄR RÖRELSE (CENTRIPETALACCELERATION) ......................................................... 52
CENTRIPETALACCELERATIONEN PÅ OLIKA SÄTT ............................................................................................... 53
VERIFIERING AV HÄRLEDDA SAMBAND ............................................................................................................. 53
MINILABORATION ............................................................................................................................................. 54
GRAVITATIONSLAGEN ....................................................................................................................................... 55
BESTÄMNING AV ELEKTRONMASSAN VID RÖRELSE I MAGNETFÄLT ................................................................... 56
SVÄNGNINGSRÖRELSE (KAP 19) ................................................................................................................ 57
HARMONISK SVÄNGNING .................................................................................................................................. 57
FJÄDERKONSTANTEN ........................................................................................................................................ 58
PERIODTIDEN .................................................................................................................................................... 58
ENERGI I SPÄND FJÄDER .................................................................................................................................... 60
ENERGI I SVÄNGANDE FJÄDER ........................................................................................................................... 60
MATEMATISKA PENDELN .................................................................................................................................. 61
RESONANS ........................................................................................................................................................ 62
MEKANISKA VÅGOR (KAP 22) ..................................................................................................................... 64
TRANSVERSELLA OCH LONGITUDINELLA VÅGOR .............................................................................................. 64
SUPERPOSITION ................................................................................................................................................. 64
REFLEXION OCH TRANSMISSION ........................................................................................................................ 65
PERIODISKA VÅGOR .......................................................................................................................................... 66
INTERFERENS .................................................................................................................................................... 68
STÅENDE VÅGOR I SNÖRE .................................................................................................................................. 68
DEMONSTRATION AV STÅENDE VÅGOR I SÅGBLAD ........................................................................................... 71
STÅENDE VÅGOR I BLADFJÄDER (SÅGBLAD) ..................................................................................................... 71
STÅENDE VÅGOR I LUFT .................................................................................................................................... 72
KUNDTS RÖR… ................................................................................................................................................. 73
SVÄVNINGAR .................................................................................................................................................... 74
VÅGOR I TVÅ DIMENSIONER .............................................................................................................................. 75
BRYTNINGSLAGEN ............................................................................................................................................ 76
INTERFERENS MED LJUDVÅGOR......................................................................................................................... 77
FREKVENSBESTÄMNING MED FFT..................................................................................................................... 78
LJUS (KAP 23) .................................................................................................................................................... 79
BÖJNING I ENKELSPALT ..................................................................................................................................... 79
BÖJNING I DUBBELSPALT................................................................................................................................... 80
TEORI FÖR BÖJNING I DUBBELSPALT ................................................................................................................. 80
LASERLJUS ........................................................................................................................................................ 81
GITTER .............................................................................................................................................................. 81
INTERFERENS I TUNNA SKIKT ............................................................................................................................ 84
ELEKTROMAGNETISK STRÅLNING (KAP 24)......................................................................................... 85
SVARTA KROPPAR OCH PLANCKS STRÅLNINGSKURVA ...................................................................................... 86
D:\265336659.doc
2
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 1
Av ANDERS ANDERSSON
STEFAN-BOLTZMANNS STRÅLNINGSLAG ........................................................................................................... 87
WIENS LAG........................................................................................................................................................ 87
ELEKTRISK SVÄNGNINGSKRETS (RC-KRETS) .................................................................................................... 87
STRÅLNINGENS DUBBELNATUR (KAP 25) ............................................................................................... 90
FOTOEFFEKTEN ................................................................................................................................................. 90
FOTONER........................................................................................................................................................... 92
MATERIEVÅGOR................................................................................................................................................ 92
HEISENBERGS OSÄKERHETSRELATION .............................................................................................................. 93
ATOMFYSIK ...................................................................................................................................................... 94
ELEKTRONVOLT ................................................................................................................................................ 94
EMISSIONSSPEKTRUM ....................................................................................................................................... 94
ABSORPTIONSSPEKTRUM .................................................................................................................................. 95
LASERLJUS ........................................................................................................................................................ 95
RÖNTGENSTRÅLNING ........................................................................................................................................ 95
KVANTTAL OCH PAULIPRINCIPEN ...................................................................................................................... 95
SPECIELLA RELATIVITETSTEORIN ......................................................................................................... 96
RELATIV RÖRELSE ............................................................................................................................................. 96
TIDSDILATION ................................................................................................................................................... 96
LÄNGDKONTRAKTIONEN ................................................................................................................................... 97
MASSA OCH HASTIGHET .................................................................................................................................... 97
MASSA OCH ENERGI .......................................................................................................................................... 97
RÖRELSEENERGI OCH HASTIGHET ..................................................................................................................... 98
D:\265336659.doc
3
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 1
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 1:
Elektriska fält (kap 9)
Fysik B-kursen börjar med elektriska fält, som vi läste om i A-kursen. Inledningsvis
demonstrerar jag några elektriska fält m h a gräsfrön i olja och en bandgenerator. Gräsfröna
lägger sig utefter fältlinjerna.
Exempel:
Varför är det säkert att sitta i en bil när åskan går. Går det bra med t ex en cabroilet (bil utan
tak) och är det säkert att cykla när åskan går?
Lösning:
Jag sätter en Faradays bur över den stora kulan på bandgeneratorn. Det hänger
aluminiumfoliebitar på in- och utsidan av buren. Jag sätter på bandgeneratorn. Vad händer?
Jo, aluminiumbitarna på utsidan repellerar buren, men inte de på insidan. Varför? Jo,
laddningarna (positiva eller negativa) på buren befinner sig i jämvikt, alltså finns inget
elektriskt fält, d v s inga fältlinjer, inne i buren laddningarna kan följa. Därmed blir
aluminiumfolien inne i buren oladdad och opåverkad. Man kan även se det så, att lika
laddaningar repellerar varandra så mycket som möjligt. Alltså lägger sig laddningarna på den
ledande buren där avståndet mellan dem blir störst. Det är alltså inte så lyckat att sitta i en
cabriolet eller att cykla när åskan går, eftersom man helt måste omges av ett ledande föremål.
Exempelvis avskärmas rum innehållande känslig elektronisk utrustning med ledande material
för att de inte skall störas av t ex mobiltelefoner eller en emp (elektromagnetisk puls) orsakad
av kärnvapen.
Elektrisk fältstyrka
Fältstyrkan är ett mått på fältlinjernas täthet. Exempelvis minskar således fältstyrkan med
avståndet från en punktladdning. Vektorstorheten elektrisk fältstyrka E (k i formelsamlingen)
definieras som kvoten mellan den kraft F en laddning q påverkas av i fältet:
E=F/q
Enheten för elektrisk fältstyrka är alltså N/C.
D:\265336659.doc
4
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 1
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
Mellan två laddade parallella plattor är det elektriska fältet homogent, d v s fältstyrkan är
konstant. Vilken fältstyrka krävs för att en pingisboll som väger 5,3 g skall kunna sväva fritt,
om bollen är laddad med Q=-87 nC?
Lösning:
Fe
Vi börjar med att rita en figur. Eftersom jämvikt råder
+
och bollen skall sväva måste bollens tyngdkraft Ft vara
lika stor som kraften Fe från det elektriska fältet E, d v s:
Ft=Fe= EQ  E=Ft/Q = mg/Q = 0,0053x9.82/87x10-9 =
Ft
6,0x105 N/C
Svaret tycks stort och säger oss ännu inte så mycket.
Exempel:
Hur stor är fältstyrkan på avståndet r från den positiva punktladdningen Q?
Lösning:
Fältstyrkan från en punktladdning avtar med avståndet, d v s fältlinjerna glesnar när avståndet
ökar. Vi inför en liten testladdning q på avståndet r från Q och beräknar m h a Coulombs lag
kraften den påverkas av:
Fq=kqQ/r2 = q kQ/r2 = q EQ
Det elektriska fältet på avståndet r från Q är tydligen EQ= kQ/r2
Spänning och fältstyrka
Storheterna spänning och fältstyrka hänger samman,
frågan är hur? Antag att vi vill flytta den positiva
+
laddningen q sträckan d från den positiva till den
d
negativa elektroden i den homogena fältet E i figuren
intill. Vi måste då utföra arbetet W:
F
W=Fd = qEd
(1)
Om spänningen mellan elektroderna är U kan vi även
uttrycka arbetet med tidigare kunskaper:
W=qU
(2)
Sätter vi samman (1) och (2) fås:
qEd=qU  Ed=U  E=U/d
Vilket alltså är sambandet mellan spänning och fältstyrka. Fältstyrkan anger alltså hur stor
spänningen är per meter. Enheten för elektrisk fältstyrka kan således även uttryckas som V/m
(volt/meter).
Exempel:
Vilken spänning krävs för att hålla pingisbollen svävande i det tidigare exemplet, om
avståndet mellan plattorna är:
a. 1 dm?
b. 1 m?
Lösning:
Enligt beräkningarna i exemplet vet vi att den elektriska fältstyrkan är E=6,0x105 V/m.
Erforderlig spänning blir då:
a. U=Ed=6,0x105x0,1 = 60 kV
b. U=Ed=6,0x105x1 = 600 kV
Öva själv: 13.1-13.13
D:\265336659.doc
5
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 2
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 2:
Elementarladdningen
Finns det någon gräns för hur liten en laddning kan
bli? Ja, det finns det faktiskt. Det går inte att
åstadkomma en mindre storlek på en laddning än den
som finns hos elektronen eller hos en enskild proton.
Laddningen kallas för elementarladdningen och har
storleken e= qe= 1.602x10-19 C.
Exempel:
Hur många elektroner finns på den stora bandgeneratorkulan, vars laddning är Q=87 nC?
Lösning:
Antal elektroner: n=Q/e=87x10-9/1.6x10-19=5.4x1011 st
Exempel:
Spänningen mellan den stora och lilla bandgeneratorkulan är 5 kV. Antag att den stora kulan
är negativ och den lilla positiv.
a. Bestäm den elektriska lägesenergin hos en elektron som befinner sig på den stora kulan.
b. Vilken fart har en elektron som lossnar från den stora kulan när den träffar den lilla
positiva kulan?
Lösning:
a. Elektronens elektriska lägesenergi We:
We = qeU=1.6x10-19x5000=8x10-16 J
b. När elektronen träffar den positiva kulan har all elektrisk lägesenergi We hos elektronen
omvandlats till kinetisk Wk:
We = Wk = mev2/2  v=(2Wk/me)1/2 = (2x8x10-16/9.11x10-31)1/2= 4.2x107 m/s
Öva själv: 13.14-13.17
Potential
Begreppet potential och spänning hänger tätt samman. Spänning mäts ju mellan två punkter, t
ex över en glödlampa. I vissa sammanhang är det lämpligt att alltid ange spänningen till en
referenspunkt. Referenspunktens potential sätts då till 0 V. I vägguttaget är det jorden som
utgör referenspunkten 0 V. Storheten potential mäts alltså i enheten volt. Begreppet potential
har även viss koppling till potentiell energi. Potentiell (läges-) energi mäts ju alltid i
förhållande till en nollnivå. I elsammanhang anges den elektriska lägesenergin i förhållande
till jorden. Man brukar dock sällan beräkna den elektriska lägesenergin. I elsammanhang är
det istället potential som gäller. Skillnad i potential är spänning.
Exempel:
Bilden visar två plattor med olika potential V.
Den undre plattan är jordad och har alltså
potentialen 0 V. Vilken elektrisk lägesenergi
har den positiva laddningen q=1.6nC om den
befinner sig på plattan vid:
a. A
b. B
c. Bestäm spänningen mellan plattorna.
D:\265336659.doc
B
VA=5V
q
A
6
VB=0V
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 2
Av ANDERS ANDERSSON
Lösning:
Laddningen elektrisk lägesenergi W=qV, d v s laddningen multiplicerad med potentialen vid
laddningen.
a. WA=qVA=1.6x10-9x0=0 J
b. WB=qVB=1.6x10-9x5=8x10-9 J
c. Spänningen U är skillnaden i potential:
UAB=VA-VB=5-0=5 V
Öva själv: 13.18-13.21
D:\265336659.doc
7
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 3
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 3:
Potential i elektriska kretsar
Begreppet potential har kanske störst tillämpning i elektriska kretsar. I en bils elsystem t ex
ges kaross och motor (som är anslutna till batteriets minuspol) potentialen 0 V, som alltså är
bilens jord. Skall man sen koppla in en lampa t ex räcker det med en ledare från batteriet till
lampan. Återledaren ansluts till närmaste jord, t ex kaross eller motor. Begreppet potential
används även för att förenkla beräkningar i kretsar. Detta återkommer vi till senare.
Demonstration:
E1
E2
Vi kopplar upp intilliggande krets bestående av två
B
C R1
A
batterier och två resistorer. Punkten B jordas i
vägguttagets jordkontakt med en krokodilklämma.
R2
Sedan mäter vi med en voltmeter potentialen i
punkten:
a. A
b. B
c. C
d. Spänningen mellan punkterna A och C.
e. Beräkna spänningen mellan A och C m h a mätvärdena i a) och c). Stämmer med svaret i
d)?
Lösning:
Potentialen bestäms genom att ansluta voltmeterns minusuttag till jord och det andra uttaget
till mätpunkten.
a. VA=2.92 V
b. VB=0 V (detta är jordpunkten)
c. VC=1.48 V
d. UAC=1.44 V
e. Spänningen är potentialskillnaden mellan punkterna A och C:
UAC= VA-VC =2.92-1.48=1.44 V (Stämmer!)
Demonstration:
Vi utgår från kretsen i föregående exempel och mäter upp delspänningarna (med tecken) över
alla fyra komponenterna. R1=500 ohm och R2=300 ohm.
UE1=1.5 V
UR1= -1.875 V
UE2=1.5 V
UR2= -1.125 V
Vi summerar sedan delspänningarna: 1.5-1.875+1.5-1.125 = 0
Vi kan dra två slutsatser av mätningen:
1. Spänningen är negativ över motstånd och positiv över batteriet, d v s potentialen sjunker
efter ett motstånd och ökar över ett batteri (som är vänt som de ovan).
2. Summan av delspänningarna i en krets är noll. Detta kallas Kirchoffs andra lag (Kirchoffs
första lag tillämpade vi i A-kursen. Den säger att summan av strömmarna in mot är lika
med strömmarna ut från en förgreningspunkt).
D:\265336659.doc
8
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 3
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
I ovanstående krets är batterispänningarna E1=6 V och E2=12 V ohm, samt resistanserna
R1=15 ohm och R2=25 ohm. Beräkna:
a. Potentialen i punkten A.
b. Potentialen i punkten C.
c. Spänningen (utan tecken) mellan punkterna C och A.
Lösning:
I den här typen av uppgift är det lämpligt att börja med att bestämma strömmen I i kretsen.
Med Kirchoffs andra lag (summan av delspänningarna medurs i kretsen) får vi:
E1-IR1+E2-IR2=0  I=(E1+E2)/(R1+R2)=(6+12)/(15+25)=18/40=0.45 A
Kirchoffs andra lag leder här till Ohms lag, d v s summan av spänningskällorna dividerat med
summan av resistanserna i kretsen.
När vi nu vet strömmen är det dags att beräkna potentialerna. Vi utgår då från jordpunkten
och summerar delspänningarna fram till den punkt där potentialen V skall beräknas.
a. Här är det enklast att gå mot strömmen Potentialen ökar då över en resistor:
VA=IR2=0.45x25=11.25 V
Går vi med strömmen sjunker potentialen över en resistor:
VA= E1-IR1+E2=6-0.45x15+12=11.25 V
Potentialen blir förstås lika oavsett man går med eller mot strömmen.
b. Här är det enklast att gå med strömmen:
VC=E1=6 V
c. Spänningen U motsvaras av potentialskillnaden mellan punkterna:
UAC= VA-VC=11.25-6=5.25 V
Öva själv: 13.23-13.31
D:\265336659.doc
9
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 4
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 4:
Kondensatorn
Kondensatorn är en komponent som kan lagra laddning. Skillnaden mellan ett batteri och en
kondensator är att i batteriet är laddningarna kemiskt bundna, medan de i kondensatorn endast
är statiskt bundna till en yta. I regel lagrar ett batteri betydligt mer laddning, d v s energi, än
en kondensator. Inledningsvis laddar jag upp en kondensator via en elkub och låter sedan
kondensatorn driva en liten ringklocka. Kondensatorer används i de flesta elektronikprylar, bl
a för att ladda upp kamerablixtar, skapa fördröjningar och filtrera bort störande signaler i
elkretsar. Jag visar även en vridkondensator som finns i radioapparater.
Demonstration
En enkel modell av en kondensator är två parallella
metallplattor. Jag laddar upp plattorna genom att gnida ett
-q +q
plaströr med ett kattskinn. P g a influens får plattorna lika stor
laddning q, men med olika polaritet. Plattorna kopplas till en
kilovoltmeter. Desto mer laddning som tillförs desto större blir
U
spänningen U. Spänningen ökar även om plattornas avstånd
ökar och om plattorna parallellförflyttas, d v s om den
gemensamma plattarean minskar. Placeras t ex glas mellan plattorna minskar spänningen.
Uppenbarligen beror spänningen över plattorna på laddningens storlek, plattavståndet,
materialet mellan plattorna och plattarean. Eller om man så vill: Kondensatorns förmåga att
lagra laddning beror på spänningen, plattavståndet, materialet mellan plattorna och plattarean.
Vi återkommer strax till slutsatserna av demonstrationen.
Kapacitans
En kondensators förmåga att lagra laddning kallas kapacitans (C). Storheten kapacitans mäts i
enheten Farad (F). Desto mer laddning som ’pumpas’ in i kondensatorn desto större blir
spänningen över kondensatorn (ungefär som trycket ökar när gas pumpas in i en gastub).
Demonstration
Frågan är vilket samband som råder mellan laddning och spänning i en kondensator. Spänning
är enkelt att mäta, men inte laddning. Vi tvingas därför göra en kvalitativ bestämning av
sambandet genom att ladda en kondensator med kapacitans och mäta spänningen, halvera
laddningen genom att ansluta kondensatorn till en likadan oladdad kondensator och mäta
spänningen igen o s v. Följande tabell erhålls:
Laddning
Spänning (V)
Q
30
Q/2
15
Q/4
7,5
Q/8
3,75
3Q/4
22,5
Tabellen tyder på ett proportionellt samband mellan laddning och spänning:
Q=CU
(1)
Där alltså proportionalitetsfaktorn är kapacitansen. Kapacitans kan tydligen även uttryckas i
grundenheterna C/V, även om farad i regel används.
D:\265336659.doc
10
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 4
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
Kondensatorn som driver summern ovan har kapacitansen 2500 F. Vilken laddning
innehåller den, om den ansluts till spänningen 6 V?
Lösning:
Använd formel (1):
Q=CU=2500x10-6x6=0.15 C, vilket är en oerhörd laddningsmängd.
Demonstration
Vi kontrollmäter kapacitansen med ett mätinstrument i några kondensatorer, bl a
vridkondensatorn och plattorna i det inledande exemplet.
Öva själv: 13.36-13.37
Kapacitans hos plattkondensator
Vi återknyter nu till den inledande demonstrationen och försöker att hitta ett samband för
plattornas kapacitans. Om spänningen U ökar med laddningen Q, ökar med plattavståndet d,
minskar med ökad plattarea A, samt beror av materialet k mellan plattorna, bör sambandet bli:
U=kdQ/A  Q=AU/kd = AU/d=orAU/d
Plattkondensatorns kapacitans blir alltså:
C=or A/d, där o=8.9x10-12 F/m är kapacitiviteten för vakuum (och torr luft) och r relativa
kapacitiviteten hos materialet mellan plattorna. r finns angivet i formelsamlingen. Det är ju
rimligt att en kondensator med stor area lagrar mycket laddning.
Demonstration
Vi bygger en plattkondensator av två aluminiumplattor och en glasskiva. Plattorna och glaset
har måtten 25x25 cm och glaset är 3 mm tjockt. Relativa kapacitiviteten r=7 hos glaset.
Kapacitansen blir då:
C=or A/d=8.9x10-12x7x0.25x0.25/0.003=1.3 nF
Vi kontrollmäter kapacitansen med ett instrument. Trots att plattkondensatorn tycks stor är
kapacitansen liten. Kondensatorer är i regel tunt rullade som pappersrullar varvade med ett
isolerande material med stort r. Vatten har stort värde på r (81) därför att vattenmolekylen är
en s k dipol.
Öva själv: 13.38-13.40
Parallell- och seriekoppling av kondensatorer
Läs in detta på egen hand (s. 29-30 i boken). Jämför med parallell- och seriekoppling av
resistorer.
D:\265336659.doc
11
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 4
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
Vilka ersättningskapacitanser kan du skapa av två kondensatorer med vardera kapacitansen
5,0 nF och 2,0 nF?
Lösning:
Parallellkoppling
Kondensatorerna kan antingen parallellkopplas eller
C1
seriekopplas.
Vid parallellkoppling är det bara att summera
kapacitanserna, d v s:
Ce= C1+ C2 =5+2=7 nF
Vid seriekoppling av kondensatorer blir det som vid
parallellkoppling av resistorer, d v s:
Ce=(1/C1+1/C2)-1=(1/5+1/7)-1=2,9 nF
C2
Seriekoppling
C1
C2
Öva själv: 13.41-13.43
D:\265336659.doc
12
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 5
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 5:
Oscilloskopet
Jag demonstrerar kort oscilloskopets funktionssätt (se boken s. 24) och visar inledningsvis hur
man kan göra roliga figurer genom att koppla in olika signaler (spänningar) från två
tongeneratorer över oscilloskopets x- respektive y-plattor. Vi kopplar sedan över till
oscilloskopets tidssvep och låter x-axeln visa tiden. Vi kan då studera hur en spänning (signal)
ändras i tiden. Jag visar sedan hur oscilloskopet reagerar för likström från ett batteri,
sinusformad växelström, trekantsvåg och fyrkantsvåg (se figurer nedan). Ett oscilloskop är
alltså egentligen inget annat än en voltmeter som på en skärm visar hur en spänning (signal)
ser ut. Eftersom oscilloskopet har två kanaler kan det mäta och visa två spänningar samtidigt.
Trekantavåg
Fyrkantsvåg
Sinusvåg
1
1
1,2
0,5
0,8
0,5
0
0,4
0
1
2
3
4
5
6
7
-0,5
0
0
0
2
4
6
8
10
0
1
2
3
RC-kretsar
En krets som består av en resistor (R) och en
kondensator (C) kallas RC-krets (se figur intill).
Sluts strömbrytaren stiger strömmen i kretsen
direkt till ett maxvärde, men avtar sedan sakta
mot noll. Strömmen avtar därför att kondensatorn
fylls på med laddning, vilket ökar spänningen
över kondensatorn och batteriet får allt svårare att
orka med att ’trycka’ fram strömmen. Till slut
blir strömmen noll i kretsen. Ungefär som när
man pumpar luft i en cykelslang. I början när
slangen är tom går det lätt att pumpa, men allt
eftersom trycket i slangen ökar går det trögare att
pumpa.
4
5
6
-1
U2
C
E
R
U1
U (V)
In- och urkoppling av kondensator
För att visa hur spänningen
varierar över kondensatorn i
Uppladdning av kondensator
figuren ovan när den laddas upp
6
och laddas ur kopplar vi in en
5
fyrkantsvåg som spänningskälla
4
E, d v s spänningen är
3
omväxlande konstant 5 V (t ex)
2
och 0 V. På oscilloskopets
1
kanal 1 mäts spänningen
0
U1över spänningskällan och på
0
0,001
0,002
0,003
0,004
kanal 2 spänningen U2 över
t (s)
kondensatorn. Vi kan då
D:\265336659.doc
13
U1
U2
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 5
Av ANDERS ANDERSSON
jämföra spänningarnas utseende på oscilloskopet. För att få en bra bild av förloppet på
skärmen väljer vi R=10 kohm, C=0.1 F och frekvensen på fyrkantsvågen till ungefär f=130
Hz. Produkten RC anger ungefär hur lång tid det tar att
UR
ladda ur kondensatorn (visas med differentialekvationer i
C
matte kurs-E). Diagrammet ovan visar hur spänningen (U2)
över kondensatorn ökar över tiden när den konstanta
R
spänningen (U1) läggs på. Inkopplingen kan även göras
med ett batteri (4,5 V) och strömkurvan visas på ett
Uin
minnesoscilloskop. Med en kondensator C=2200 C och
en resistor med R=50 ohm blir stigtiden c:a 100 ms
(RC=0,11 s). Spänningen mäts då över motståndet R,
enligt figuren till höger.
Exempel:
I diagrammet ovan är vid ett tillfälle U1=5.0 V och U2=3.4 V. Bestäm
a. Spänningen över motståndet.
b. Strömmen i kretsen.
c. Laddningen i kondensatorn.
d. Efter någon millisekund är strömmen i kretsen noll. Vad är då laddningen i kondensatorn?
e. Antag att vi lägger in en strömbrytare i serie med kondensatorn i figuren. Strömbrytaren är
inledningsvis öppen och kondensatorn oladdad. Strömbrytaren sluts sedan och
kondensatorn börjar laddas upp. Hur stor är strömmen i kretsen omedelbart i början av
uppladdningen?
Lösning:
a. Summan av delspänningarna i kretsen är noll (Kirchoffs 2:a lag). Spänningen UR över
motståndet blir alltså:
UR = U1-U2=5-3,4=1,6 V
b. Ohms lag för resistorn ger strömmen I i kretsen:
I=UR/R=1,6/10000=0,16 mA
c. Spänningen över kondensatorn är 3,4 V. Använd formeln för laddning Q i kondensator:
Q=CU2=0,110-63,4=3,410-7 C = 0,34 C
d. Spänningskällan förmår höja spänningen över kondensatorn till högst 5 V (när
kondensatorn är fulladdad är ju strömmen i kretsen noll, varför all spänning ligger över
kondensatorn). Laddningen Q i kondensatorn blir då:
Q=CU2=0,110-65=0,510-7 C = 0,5 C
e. Omedelbart efter att strömbrytaren sluts börjar det att gå ström i kretsen. Kondensatorn är
dock ännu oladdad, varför all spänning (5 V) ligger över resistorn. Ohms lag ger
strömmen i kretsen:
I=UR/R=5/10000=0,5 mA
Jämförelse mellan kondensator och trycktank
Lite oegentligt kan man jämföra en kondensator med en
trycktank (hydrofor) i ett vattenledningssystem.
Vattenpumpen pumpar in vatten i tanken så att trycket ökar
där. På samma sätt ’pumpar’ batteriet in laddningar i
kondensatorn så att spänningen där ökar.
Öva själv: 13.44-13.46
D:\265336659.doc
14
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 6
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 6:
Magnetfält (kap 14)
Magneter och magnetfält
Liksom det kring laddningar finns elektriska fält, finns
det kring magneter magnetfält. Laddningens elektriska
fältlinjer motsvaras hos magneten av flödeslinjer,
medan positiv och negativ hos laddningen ersatts av nord- och sydände hos magneten. Ett
magnetiskt föremål har alltid en nord- och en sydände, där flödeslinjerna går från nord till
syd. En liten testmagnet som placeras i magnetfältet kommer att ställa in sig med sin
nordände i flödeslinjernas riktning. Figuren nedan visar flödeslinjerna kring en stavmagnet,
samt en liten testmagnet som ställer in sig i flödeslinjernas riktning.
N
S
Demonstration
Jag illustrerar flödeslinjer på OH med en stavmagnet respektive en hästskomagnet på
järnfilspån och på en matris med små kompassnålar, samt visar hur en kompass pekar. Jag
visar även att lika poler repellerar varandra och olika attraherar varandra.
Exempel:
Var ligger jordens magnetiska nordände?
Lösning:
Eftersom kompassens nordände pekar mot norr måste magnetiska sydände ligga vid
nordpolen. Magnetiska nordänden ligger alltså vid sydpolen.
Magnetfält kring strömmar
Jag placerar tre kompassnål runt en lodrät ledare och drar på ström. Nålarna ställer då in sig i
tangentens riktning runt ledaren. Ändras strömmens riktning i ledaren pekar nålarna åt motsatt
håll. Tydligen finns ett magnetfält (flödeslinjer) runt en strömförande ledare. Att döma av
riktningen på nålarna och strömmen har flödeslinjerna riktningen enligt figuren nedan.
I
I
D:\265336659.doc
15
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 6
Av ANDERS ANDERSSON
Den vänstra bilden ovan visar att flödeslinjen kommer ur papperet på
ovansidan ledaren och in i papperet under ledaren, om strömmen I går åt
höger. Högra bilden visar att flödeslinjerna roterar moturs runt ledaren,
om strömmen kommer ur papperet. Ett kryss (dartpil bakifrån) innebär
alltså att något går från betraktaren och en punkt (dartpil framifrån) att
något kommer mot betraktaren. Fältet har alltså samma riktning som en
skruv skall skruvas åt för att komma åt det håll som strömmen går åt,
enligt skruvregeln. Flödeslinjerna har även den riktning fingrarna pekar i
om högertummen pekar i strömmens riktning, enligt högerhandsregeln.
Exempel:
Rita ut magnetfältet runt ledaren med strömmen I m h a:
a. Skruvregeln
I
b. Högerhandsregeln
Lösning:
Se ovan.
Krafter på ledare i magnetfält
Vi hänger en ledad koppartråd i gapet på en hästskomagnet, enligt figuren nedan. När några
ampere ström leds genom koppartråden rör den sig utåt eller inåt i gapet beroende på åt vilket
håll strömmen går. Frågan är varför ledaren rör sig?
I
F
Om strömmen I går in i papperet som i figuren ovan kommer magnetfältet från ledaren att
samverka med magnetfältet från magneten till höger om ledaren och motverka till vänster.
Eftersom flödeslinjerna är vektorer kommer fältet att bli starkare på insidan och svagare på
utsidan, d v s den magnetiska flödestätheten är olika till höger och vänster om ledaren.
Flödestätheten strävar efter att utjämna sig, alltså påverkas ledaren av en kraft åt höger. Man
kan även se det som att flödeslinjer med samma riktning repellerar varandra och olika riktning
attraherar varandra. Ledaren kommer även då att påverkas av en kraft åt vänster. Tydligen är
kraften, strömmen och magnetfältet alla vinkelräta mot varandra.
Exempel:
Åt vilket håll kommer en strömförande ledare i jordens magnetfält i Åmål att röra sig, om
strömmen I går i:
a. syd-nordlig riktning.
b. öst-västlig riktning.
Lösning:
F
a. Magnetfälten samverkar på östra sidan om ledaren,
väster
I
öster
alltså rör sig ledaren åt väster.
D:\265336659.doc
16
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 6
b. Magnetfälten samverkar på norra sidan om ledaren,
alltså rör sig ledaren åt söder.
Av ANDERS ANDERSSON
söder
norr
F
I
Hur stor är kraften?
När vi nu vet att en strömförande ledare i ett magnetfält
påverkas av en kraft vore det naturligtvis roligt att kunna
beräkna kraftens storlek. Inledningsvis kan man fundera på vilka
variabler som påverkar kraftens (F) storlek:
 Magnetiska flödestätheten (B)
 Strömmens storlek (I)
 Ledarens (vinkelräta) längd i magnetfältet (l)
Vi söker alltså funktionssambandet:
F= f(B, I, l) (1)
För att bestämma sambandet måste vi göra tre mätningar, där vi varierar en av variablerna åt
gången. För mätningarna använder vi en liten ’gaffel’, vars ena ände sticks ned i gapet på en
magnet bestående av mindre magneter. Gaffelns strömförande längd i magneten kan varieras,
liksom strömstyrkan. Magnetfältet kan varieras genom att de mindre magneterna plockas bort.
Gaffeln fästs i ett stativ och magneten står på en känslig våg (0.1 gram). Vi gör följande tre
mätningar, där kraften mäts i gram:
B och l konstanta:
I (A)
0
1
2
3
4
5
6
F (g)
B och I konstanta:
l (cm)
0
1
2
3
4
F (g)
I och l konstanta:
B (antal)
0
1
2
3
4
F (g)
Vi ser direkt att kraften F är linjärt beroende av alla tre variablerna. Sambandet (1) blir då:
F=kBIl
Här har man valt konstanten k till 1 (ett) och låtit detta uttryck
bli definitionen för vektorstorheten magnetisk flödestäthet B:
B=F/Il [N/A/m]
Flödestäthetens SI-enhet är dock Tesla [T].
Exempel:
I en kraftledning går likströmmen 650 A. Avståndet mellan kraftledningsstolparna är 200 m
och flödestätheten i det jordmagnetiska fältets vertikala komposant är 15 T. Bestäm kraftens
storlek i ledningen.
Lösning:
Här är allting vinkelrätt så det bara att använda ’BIL-formeln’:
F=BIL=15x10-6x650x200=1.952 N
Öva själv: 14.1-14.11
D:\265336659.doc
17
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 7
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 7:
Flödestäthet kring rak ledare
Vi kom i förra lektionen fram till att en rak strömförande ledare omges av ett cirkulärt
magnetfält. Fältets riktning vet vi, men det återstår att bestämma flödesintensiteten B. Man
kan därför fråga sig vilka variabler/storheter som påverkar den magnetiska flödetätheten (B)
runt ledaren?
 Strömmen i ledaren (I)
 Avståndet till ledaren (r)
Vi söker alltså funktionssambandet:
B=f(I, r)
(1)
För att bestämma detta monterar vi upp en linjal och en flödesmätare på ett stativ intill en lång
strömförande ledning. Flödesmätaren kalibreras till 0 innan strömmes i ledningen släpps på.
Sedan mäter gör vi två mätserier av B, en där avståndet till ledaren är konstant medan
strömmen ändras, och en där strömmen är konstant medan B mäts på olika avstånd.
Mätresultaten införs i nedanstående tabeller:
Konstant avstånd (r=2 cm)
I (A)
0
1
2
3
4
5
6
Konstant ström (I=6 A)
r (cm)
1
2
3
4
6
8
10
12
B
B
Första tabellen antyder att B är linjärt beroende av strömmen (fördubblas I fördubblas B). Hur
B beror av r är dock inte lika enkelt att inse. Vi knappar därför in tabellens mätvärden på
miniräknaren och använder regressionsmoden. Det visar sig då att B ungefär är omvänt
proportionellt mot r (d v s 1/r). Sambandet (1) ovan blir alltså:
B=kI/r
(2)
där konstanten k=2x10-7 N/A2
Exempel:
Flödestätheten på avståndet r1=1.5 m från en ledare är B1=0.75 mT. Bestäm:
a. Flödestätheten på avståndet r2=0.05 m.
b. Strömmen i ledaren.
Lösning:
Samband (2) ger konstanten k:
k=B1r1/I
(3)
a. Flödestätheten B2 blir då med (3):
B2=kI/r2 = B1r1/I I/r2 =B1r1/r2 =0.00075x1.5/0.05=0.0225 T
b. Lös ut I ur (2):
I=B1r1/k=0.00075x1.5/2x10-7 = 5625 A
D:\265336659.doc
18
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 7
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
Två strömförande ledningar löper parallellt på avståendet 1.0 m från varandra, enligt figuren
nedan. Bestäm totala flödesintensiteten till storlek och riktning i punkten B, om flödestätheten
i punkten A från den vänstra ledaren är 0.20 mT. Strömmen är lika stor i båda ledarna.
Bh
A
1m
1m
1m
B
Bv
Lösning:
Eftersom flödesintensitet är en vektorstorhet är totala flödestätheten Btot i punkten B summan
av flödesintensiteterna från den högra och vänstra ledaren:
Btot=Bv+Bh
Fördubblas avståndet till ledaren halveras flödesintensiteten. Med positiv riktning uppåt blir
alltså:
Bv= -0.10 mT
Bh= 0.20 mT
Btot= -0.10+0.20 = 0.10 mT
Öva själv: 14.12-14.15
D:\265336659.doc
19
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 8
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 8:
Kraftverkan mellan parallella ledare
Jag hänger upp två lodräta ett par meter långa parallella ledare på någon centimeters avstånd från
varandra. När det går några ampere ström i ledningarna rör de sig, olika beroende på om
strömmarna går åt samma eller olika håll. Ledningarna rör sig därför att de påverkas av varandras
magnetfält.
Exempel:
Bestäm kraftens storlek och riktning per meter hos två parallella strömförande ledningar, enligt
figuren nedan, om strömmarna I1=5 A och I2=8 A och avståndet mellan ledningarna är 1,0 cm.
Lösning:
Ledarna påverkas av varandras magnetfält. Fälten samverkar
I1
I2
på insidan, alltså blir kraften riktad utåt. För att bestämma
kraftens storlek kan man tänka sig att den ena ledaren (I1)
F
F
påverkas av den andra ledarens (I2) magnetfält. Kraften F
d
blir alltså:
F=B2I1L
(1)
B2=kI2/d
(2)
Sätt in (2) i (1):
F= kI2 I1L/d = 2x10-7x8x5x1/0,01 = 8x10-4 N
(3)
Observera att formeln (3) för kraften mellan två parallella ledare påminner litet om
Coulombs lag, men här är det produkten av strömmarna, samt inte kvadraten på
avståndet som gäller. Fenomenet kan visas med två långa aluminiumfolieremsor,
enligt bilden till höger.
Definitionen för ampere
När två långa parallella ledare på avståndet 1 m från varandra som genomflyts av
lika stor ström och påverkas av kraften 2x10-7 N/m, då är strömmen 1 A.
Permeabilitet
När vi beräknat flödestätheten runt en ledare har vi använt en konstant k=2x10-7.
Exakt uttryckt är k=o/2, där naturkonstanten o = 4x10-7 N/A2 är permeabiliteten
för vakuum (och nästan luft). Det är alltså riktigare och vanligare att uttrycka
flödestätheten B på avståndet r från en lång rak ledare med följand formel:
B=oI/2r (4)
Finns ledaren och magnetfältet i ett annat material än vakuum, t ex järn som i en
transformator, måste (4) multipliceras med relativa permeabiliteten r, som alltså är
1 för vakuum (och luft) och omkring 250 för järn. Magnetfältet förstärks alltså i
järnet. Det fullständiga uttrycket (4) blir då:
B=orI/2r
Bilden närmast till höger visar en elektromagnet, d v s
magnetfältet skapas av strömmen i spolen. När
strömmen till spolen bryts upphör järnkärnan att vara
magnetisk.
D:\265336659.doc
20
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 8
Av ANDERS ANDERSSON
Flödestäthet i en solenoid
En solenoid är en lång och smal cylinderliknande spole på vars mantelyta en ledare lindats. Leds
det ström genom lindningen uppstår ett magnetfält i och runt spolen. Spolen blir som en
stavmagnet med nord- och sydända. I figuren intill visas schematiskt flödestäthetens och
strömmens riktning i och runt spolen. Man kan nu
B
fråga sig hur stor och på vilka storheter
flödestätheten inne i spolen beror. Följande variabler
är rimliga att anta:
S
B
N
 Strömmen i lindningen (I)
I
 Spolens längd (L)
 Antal lindningsvarv (N)
Vi försöker sedan att resonera oss fram till en
formel. Ökar strömmen bör B öka, ökar spolens
längd utan att antal lindningsvarv ökar bör B minska, samt ökar antal lindningsvarv utan att
spolens längd ökar bör B öka. Vi får då följande formel:
B= oIN/L (1)
Sambandet gäller under förutsättning att spolens radie är mycket mindre än spolens längd.
Jag visar eventuellt med en flödesmätare instoppad i en spiralfjäder som spole att B minskar om
fjädern dras isär.
Exempel:
Jordens magnetfälts vertikalkomposant har flödestätheten B=15 T i Åmål. Vilken ström krävs i
den glesa laborationsspolen med 12 varv och längden 15 cm för att få samma flödestäthet i
spolen?
Lösning:
Vi löser ut I ur (1):
I=BL/oN=15x10-6x0.15/4x10-7/12 = 0.15 A
Öva själv: 14.16-14.22
Krafter på laddade partiklar i magnetfält
Jag visar hur elektronstrålen i ett katodstrålerör böjer av om en magnet närmas den. Varför böjer
strålen av? Vi vet att en strömförande ledare i ett magnetfält påverkas av en kraft.
Eftersom ström är elektroner i rörelse, borde även enskilda elektroner som rör sig påverkas av en
kraft. Vi utgår från BIL-formeln, dvs kraften på en strömförande ledare i ett magnetfält:
F=BIL
(1)
Antag att vi vill beräkna kraften på en ström som består av endast en laddning med laddningen q
och farten v. Antag vidare att laddningen passerar sträckan L på tiden t. Vi vet också att ström är
laddning per tidsenhet. Vi kan då uttrycka den genomsnittliga strömmen I på sträckan L på
följande sätt:
I = q/t = q/(L/v) = vq/L
(2)
Sätt sedan in (2) i (1):
F=B (vq/L) L = Bvq
Kraften på en laddning i ett magnetfält är alltså:
F = Bvq
(3)
D:\265336659.doc
21
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 8
Exempel:
En elektron från ett TV-rör har ungefär hastigheten
5x106 m/s. Tv:n står så att elektronerna färdas från
öster mot väster. Bestäm kraftens riktning och storlek
på elektronen, om horisontalkomposanten av jordens
magnetfält är 15 T.
Av ANDERS ANDERSSON
X
X X X X X (B)
F
V
Ö
TV
v
i
X X X X X X
Lösning:
Figuren intill visar förloppet från söder mot norr. Strömmen går åt öster (motsatt håll mot
elektronerna), alltså samverkar magnetfälten på undersidan. Kraften på elektronen blir då uppåt.
Storleken på kraften blir:
F = Bvq = 1510-6x5106x1,610-19 = 1,210-17 N
Elektronens massa
Elektronens massa me går att bestämma någorlunda väl (under
förutsättning att man vet dess laddning) med ett
elektronböjningsrör (se bild intill) av den typ som används i
gymnasiets fysikundervisning. Elektronerna accelereras till
farten v av spänningen Ua mellan glödtråden och rörets anod
(se figur). I vertikalled i rörets runda del lägger vi på elektriskt
fält E via spänningen U mellan plattorna, samt ett magnetfält B
vinkelrät mot elektronernas rörelseriktning.
anod
FE
+++ +++ U
d X X
Glödtråd
Ua
X X B
E
----------FB
v
Elektronen påverkas av en uppåtriktad elektrisk kraft FE och en nedåtriktad magnetisk kraft FB
(strömmen är motsatt riktad elektronens rörelseriktning). Det gäller alltså att balansera dessa båda
krafter så att elektronen rör sig rakt fram. Vi härleder nu ett samband för elektronens massa i de
variabler vi enkelt kan mäta, d v s Ua, U, d, samt elektronens laddning qe. d är avståndet mellan
plattorna.
Elektrisk kraft FE:
FE=Eqe
(1)
Magnetisk kraft FB:
FB=qevB
(2)
Kraftjämvikt:
FE=FB
(3)
Sätt in (1) och (2) i (3):
Eqe=qevB
E=vB
(4)
E kan uttryckas i U och d:
D:\265336659.doc
22
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 8
Av ANDERS ANDERSSON
E=U/d
Sätt in detta i (4):
U/d=vB
(5)
Elektronens fart v kan uttryckas med energiprincipen:
Uaqe=mev2/2 (6)
Lös ut v ur (5) och sätt in i (6) med omskrivning:
2Uaqe/me=(U/Bd)2
me=2UaqeB2d2/U2
(7)
Magnetfältet B skapas via ett par s k Helmholz-spolar. Flödestätheten B mäts med en
flödesmätare (Hall-sond). Vi justerar sedan spänningen U så att strålen rör sig rakt fram. Det är
dock svårt att justera in en helt rak stråle. Vi får emellertid följande mätvärden:
Ua=3,4 kV
B=0,85 mT
qe=1,6 10-19 C
d=5,5 cm
U=1,85 kV
Mätvärdena insatta i (7) ger följande värde på elektronmassan:
me=6,910-31 kg
Inte så dumt med tanke på att tabellvärdet är 9,1110-31 kg.
Öva själv: 14.23-14.31
Kvoten q/m för elektronen med helmholtzspolar
Helmoltzspolarna ger ett
homogent horisontellt
magnetfält. Elektronstrålen
i den uttunnade gasen i
röret kan därför formas till
en cirkulär bana. Den
magnetiska flödestätheten
för spolarna på bilden till
höger ges av sambandet
B = 710-4 I [T]. Med
utrustningen kan kvoten
q/m för elektronen
beräknas.
D:\265336659.doc
23
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 9
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 9:
Elektrisk induktion (kap 20)
I förra kapitlet om magnetism såg vi hur strömförande ledare i magnetfält påverkas
av krafter som får ledarna att röra sig. Man kan ju då misstänka att omvänt borde
det uppstå strömmar i ledare som rör sig i magnetfält. Fenomenet kallas
elektrisk induktion och utgör den fysikaliska grunden för bl a elgeneratorer
och elmotorer. Vi skall i slutet av kapitlet tillämpa induktionen genom
att bygga en enkel lik- och växelströmsmotor, en lik- och
växelströmsgenerator, samt en punktsvets. I exempelvis en elgitarr
överförs 'ljudet' från den svängande metallsträngen till mikrofonen
under strängen via elektrisk induktion.
Demonstration
Inledningsvis låter jag som tidigare en ström gå igenom
’koppargungan’ i gapet på en hästskomagnet. Gungan rör sig när
strömmen kopplas på. Jag kopplar sedan gungar till en känslig
amperemeter (alternativt en galvanometer) och låter gungan pendla i
magnetgapet. Hur bör amperemetern reagera? Det induceras en ström i
koppartråden. Strömmens riktning beror tydligen på åt vilket håll
gungan rör sig. Frågan är hur stor strömmen blir, dess riktning och
varför det över huvud taget uppstår en ström? Jag roretar även en sladd
kopplad till en känslig amperemeter i jordens magnetfält. Vad händer?
Ledare som rör sig i magnetfält
Vad händer med de fria laddningarna, d v s elektronerna, i en ledare som rör sig i ett magnetfält
B?
X
X
I X
X
X
X
X
X
q
Fq
X
X
X
X
X
X
X
X
v
U
Jo, om ledaren rör sig åt höger i figuren ovan ger varje elektron i ledaren upphov till en ström I åt
vänster. Magnetfältet, som är riktat inåt i figuren, samverkar med magnetfältet runt I och
påverkar således elektronen med en magnetisk kraft Fq nedåt i figuren. Ganska snart uppstår
jämvikt och ledaren nedre del blir negativt laddad och dess övre del positivt laddad.
Uppenbarligen uppstår en spänning U mellan ledares ändar om den skär flödeslinjerna i ett
magnetfält. Man säger att det induceras en ems (elektromotorisk spänning) mellan ledarens
ändar.
D:\265336659.doc
24
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 9
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
En ledare rör sig i ett magnetfält riktat ut ur papperet, enligt figurerna nedan. Ange polariteten på
ledarens ändar och motivera svaret.
v
Lösning:
En elektron i ledaren rör sig uppåt, alltså rör sig strömmen nedåt. Magnetfältet runt strömmen
samverkar med det yttre magnetfältet på vänster sida. Elektronen påverkas således av en kraft åt
vänster. Ledarens vänstra ände blir alltså negativ och dess högra positiv, d v s:
+
Öva själv: 20.1-20.2
Lenz lag
Antag att en ledare glider genom ett begränsat vertikalt magnetfält på två friktionsfria ledande
skenor. Det kommer då enligt vad vi sagt ovan att induceras en spänning mellan ledarens ändar.
Kopplas ett motstånd R mellan skenorna kommer det att gå en ström I i ledaren, enligt figuren
nedan. Antag att vi puttar till ledare så att den får konstant fart. Kommer det då verkligen att gå
en ström i ledaren i all evighet? Nej, knappast, för i så fall har vi ju skapat en evighetsmaskin.
Betrakta figuren nedan.
R
X
F
X
X X
X X
I
X X
v
X X
X
X
X
X
Ledarens rörelse åt höger i figuren påverkar elektronerna med en kraft nedåt i ledaren (enligt vad
vi kom fram till under rubriken Ledare som rör sig i magnetfält ovan. Strömmen kommer alltså
att gå uppåt i ledaren. Eftersom magnetfältet runt ledaren samverkar med det yttre magnetfältet
till höger, påverkas ledaren av en bromsande kraft F åt vänster. Ledaren kommer alltså att stanna.
Detta är resultatet av Lenz lag: Den inducerade strömmen har sådan riktning att den motverkar
orsaken till sin uppkomst.
Exempel:
Ange strömriktningen i förra exemplet, om ledarens ändar ansluts till ett motstånd.
Lösning:
Enligt Lenz lag kommer den inducerade strömmen att bromsa ledarens rörelse i magnetfältet.
Magnetfälten samverkar alltså på ovansidan av ledaren. Strömmen går således åt höger i ledaren.
D:\265336659.doc
25
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 9
Induktionslagen
Vi vill nu veta storleken på den ems U som induceras mellan
ledarens ändar i figuren ovan. Den magnetiska kraften Fq
balanseras vid jämvikt av den elektrostatiska kraften FE, som
orsakas av det elektriska fältet E mellan ledarens ändar. Om
ledarens längd i magnetfältet B (som är riktat in i papperet) är
d, kan vi skriva upp följande samband:
Magnetisk kraft på elektronen:
Fq =qvB
(1)
Elektrostatisk kraft på elektronen:
FE =qE =qU/d
(2)
Vid jämvikt gäller:
Fq = FE
(3)
Vi sätter alltså in (1) och (2) i (3):
qvB=qU/d  U=Bvd
Detta uttryck för induktionsspänningen kallas Induktionslagen.
Av ANDERS ANDERSSON
d
FE
v
U
Fq
Exempel:
Kofångaren (1,7 m lång) till en bil skär de jordmagnetiska fältlinjerna (B=15 T) med farten 25
m/s. Beräkna den inducerade spänningen mellan kofångarens ändar.
Lösning:
Kofångaren skär de jordmagnetiska fältlinjerna. Därmed induceras en ems U mellan kofångarens
ändar. Induktionslagen ger spänningen:
U=Bvd = 1510-6 25  1,7 = 6,410-4 V = 0,64 mV.
Öva själv: 20.3-20.13
D:\265336659.doc
26
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 10
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 10:
Magnetiskt flöde
Betraktas de magnetiska flödeslinjerna som strålar kan de liksom
duschstrålar ses som ett flöde över en yta. Produkten av flödestätheten (B)
och arean (A) flödeslinjerna passerar vinkelrätt igenom kallas magnetiskt
flöde ():
 =BA
Storheten magnetiskt flöde mäts i enheten weber [Wb].
Efter exemplet nedan kommer vi att se nyttan med att införa begreppet
magnetiskt flöde.
Exempel:
Hur stort är det jordmagnetiska flödet (15 T) genom en cirkelyta med radien 0,60m, om:
a. Flödeslinjerna är parallella med cirkelytans normal?
b. Flödeslinjerna bildar vinkeln 30 o med cirkelytans normal?
Lösning:
Magnetiskt flöde :
normal
a.  =BA=1510-60,62 = 17 Wb
b. Här är flödeslinjerna inte parallella med
B
Bv
o
cirkelytans normal. Vi måste därför räkna med
30
flödestäthetens komposant (Bv)som är vinkelrät
mot ytans normal (se figur intill):
ytan
 =BvA=B cos 30o A =1510-6cos 30o0,62 =
= 17 Wb
Öva själv: 20.16-20.17
Induktionslagen och magnetiskt flöde
Eftersom en ström genom lindningen en spole skapar ett magnetfält i spolen, borde väl omvänt
ett magnetfält i en spole inducera en ström i spolens lindning…? Vi testar och lägger en
stavmagnet i en spole kopplad till en amperemeter. Ingen ström går dock genom spolens
lindning, trots att stavmagneten orsakar ett magnetfält genom spolen. När vi drar bort magneten
ur spolen registrerar emellertid amperemetern en ström, liksom när stavmagneten läggs tillbaka i
spolen. Tydligen induceras ström i spollindningen när magnetfältet (flödet) genom spolen ändras.
Hur kan man förklara och förstå detta?
t ds=v dt
t+dt
Om metallstaven med längden L i figuren intill
glider på med farten v på skenor genom ett
X
X
X
BX
magnetfält med flödestätheten B, induceras enligt
V
v
dA
L
v
induktionslagen en spänning U mellan stavens
ändar:
X
X
X
X
U=LvB
(1)
Vi kan emellertid skriva om induktionslagen. Vi
D:\265336659.doc
27
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 10
Av ANDERS ANDERSSON
använder oss av differentialerna dt, ds och dA, som representerar små förändringar (se figuren).
På den korta tiden dt färdas metallstaven sträckan ds och sveper samtidigt över ytan dA, som kan
uttryckas:
dA=ds L =vdt L  dA/dt = vL (2)
Vi ersätter Lv i (1) med (2):
U=B dA/dt = d/dt
(3)
Vad innebär detta? Jo, att en ändring av det magnetiska flödet i en slinga inducerar en spänning.
Det kan även uttryckas som att induktionsspänningen i slingan är detsamma som tidsderivatan av
det magnetiska flödet; ju snabbare ändring desto större inducerad spänning. Detta förklarar varför
det induceras en ström i spolen när magnetfältet ändras.
Demonstration:
Vi visar att induktionsspänningen/-strömmen blir större ju snabbare en stavmagnet dras ur en 600
varvig spole (d v s ju snabbare flödesändringen sker) kopplad till en amperemeter.
Exempel:
Flödestätheten genom en slinga avtar linjärt från 7,8 mT till noll på 2,0 ms. Hur stor spänning
induceras i en ledning, som omsluter ytan 3,5 m2? Antag att ytans normal är parallell med
flödeslinjerna.
Lösning:
Ändring i magnetiskt flöde inducerar en spänning i slingan. Vi börjar därför med att beräkna det
ursprungliga magnetiska flödet genom slingan med arean A:
= BA = 0,00783,5 = 27,3 mWb
Flödet sjunket till noll på 2 ms. Ändringen av flödet per tidsenhet skapar nu
induktionsspänningen U i slingan:
U=d/dt = 0,0273/0,002 = 13,7 V
Exempel:
Induktionslagen är användbar om man vill ’stjäla’ ström från en högspänningsledning utan att
beröra ledningen.
a. Hur skall man gå tillväga?
b. Antag att det går 230 A växelström (frekvensen 20 Hz) i ledningen över järnvägen när ett
RC-lok drar på för fullt från stillastående. Hur stor spänning induceras i en cirkulär slinga
med arean 1 m2 på avståndet 5 m från ledningen?
c. Hur stor spänning induceras en spole med 100 varv och arean 1 m2?
Lösning:
a. Placera en slinga (spole) så att den passeras av magnetfältet från högspänningsledningen.
b. Flödestätheten (B) varierar sinusformigt eftersom det är växelström:
B=oI/2r = oIo sint/2r
Flödet genom slingan med arean A blir då:
= BA = AoIo sint/2r
Derivatan av flödet ger den inducerade spänningen U i slingan:
U= d/dt = AoIocost/2r
Den inducerade spänningen kommer bli en växelspänning. Vi sätter in värden och beräknar
dess toppvärde, d v s vi sätter cost =1:
U= 1 410-72302201/25 =1,16 mV
D:\265336659.doc
28
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 10
Av ANDERS ANDERSSON
c. Spänningen blir 100 gånger större, d v s 0,16 V
Spolar med olika varvtal
Vi drar med en stavmagnet genom spolar med olika varvtal och ser att induktionsströmmen ökar
med varvtalet. Skälet är förstås att det induceras en spänning för varje lindningsvarv i spolen.
Induceras spänningen d/dt i en spole med ett varv, induceras spänningen Nd/dt i en spole med
N varv.
Induktionsströmmens riktning i en spole
Vi kopplar en amperemeter till en 600 varvig spole. Vi noterar hur spolen är lindad och hur den
ansluts till amperemetern. Sedan lägger vi in en stavmagnet i spolen. Amperemetern ger utslag
både när magneten läggs in i och tas ut ur spolen. Strömriktningen tycks bero på både hur
stavmagneten är vänd och om den förs in eller ut ur spolen. Strömriktningen tycks bli som i
figurerna nedan:
A
A
I
I
v
v
Hur kan vi formulera en regel för den inducerade strömmens riktning i spolarna ovan? Jo:
Det magnetfält den inducerade strömmen orsakar vill motverka förändringen av det
magnetfält som från början finns i spolen.
Detta är inget annat än en konsekvens av Lenz lag.
Vi tillämpar regeln på den vänstra spolen ovan. Från början finns inget magnetfält i spolen.
Stavmagneten läggs in i spolen från höger med nordändan först. Därmed ’tvingas’ spolen på ett
magnetfält riktat åt vänster. Spolen vill emellertid inte ändra sitt magnetfält och svarar därför med
en induktionsström som motverkar den påtvingade ökningen av magnetfältet. Man kan säga att
spolar har en konservativ läggning som ogillar förändringar.
Exempel:
Motivera strömriktningen i den högra spolen ovan.
Lösning:
Stavmagneten ligger från början i spolen med nordändan åt vänster. Magnetfältet är
alltså riktad åt vänster i spolen. När stavmagneten dras ur spolen vill den inducerade
strömmen kompensera magnetfältsminskningen. Magnetfältet från den inducerade
strömmen är alltså riktat åt vänster med angiven strömriktning som följd.
Demonstration av ’ring-katapult’
En 600-varvig spole ställs på bordet med öppningen uppåt, enligt bilden till höger.
En järnkärna ställs i spolen och ytterligare en eller ett par järnkärnor ställs ovanpå.
D:\265336659.doc
29
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 10
Av ANDERS ANDERSSON
En metallring träs över metallkärnorna och läggs på spolen. Spolen avsluts till vägguttagets 220
V växelspänning. Förklara vad som händer.
D:\265336659.doc
30
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 10
Av ANDERS ANDERSSON
Demonstration med minnesoscilloskop
Vi låter en stavmagnet falla genom en 1200 varvig spole
kopplad till ett minnesoscilloskop (på bilden
mätprogrammet Datastudios oscilloskop). Förklara
bilden som uppstår på skärmen när magneten passeras
spolen.
Demonstration av glidande magnet i metallrör
Vi låter en magnet respektive en omagnetisk metallbit glida
i ett metallrör. Metallbitarna glider olika fort genom
metallröret, trots att de har ungefär samma tyngd och
storlek. Vad beror detta på?
Demonstration av virvelströmmar
En metallplatta som pendlar i ett magnetflöde bromsas. Skälet är att det
induceras virvelströmmar i metallen med sådan riktning att de bromsar
rörelsen, som en konsekvens av Lenz lag. Byts metallplattan mot en med
uppsågade spår, enligt figuren till höger, minskar dock virvelströmmarna och
rörelsen påverkas knappast alls.
US
Demonstration av kraftig spänningspuls
L
RS
En spole (RS=2,5 ohm, L=70 mH) kopplas parallellt över en
resistans (R=50 ohm) och ett 1,5 V batteri, enligt figuren
R
intill. Vi bryter strömmen till batteriet och ser då en kort
spänningspuls US över spolen och resistorn på
minnesoscilloskopet (se diagrammet nedan). Spänningen är
betydligt högre än 1,5 V (man kan visa att spänningen är av
storleksordningen R/RS). Orsaken är att magnetfältet genom
spolen avtar snabbt och att det därmed
induceras en hög spänning över resistorn och
Spänningspuls över R när
spolen. Fenomenet används i t ex bilens
batteriet (1,5 V) kopplas bort
tändspole för att alstra höga spänningar till
Tid (s)
tändstiften.
0
0,002
0,004
0,006
0
Öva själv: 20.18-20.24
Spänning (V)
-5
-10
-15
-20
-25
-30
D:\265336659.doc
31
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 11
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 11:
UR2
Självinduktion
Spänning över motstånd
R2
R1
I
Vi kopplar upp en krets med två resistorer (R1= 250 ohm
Uin
och R2 = 2,5 ohm) i serie med en spänningskälla, enligt
figuren intill. Spänningskällan ger en fyrkantsspänning
som varierar mellan 0 och 5 V med frekvensen 330 Hz.
Vi mäter sedan spänningen över spänningskällan (Uin)
respektive R2 (UR) med varsin kanal på oscilloskopet. Det visar sig (förstås!) att spänningen över
R2 ändras på sätt som över spänningskällan. UR blir dock lägre eftersom mesta spänningen ligger
över R1 (R1>>R2).
US
Spänning över spole
Vi byter nu ut R2 mot en 600 varvig spole (L=77 mH)
med järnkärna i och med samma resistans som R2, enligt
R1
figuren intill, och mäter nu spänningen Us över spolen.
Spänningen över spolen varierar nu annorlunda. När
Uin
inspänningen ökar till 5 V ökar spänningen över spolen
direkt till 5 V, men avtar sedan mot noll (se diagram
nedan). Detta beror på induktionslagen, som svarar med
en motspänning i spolen när strömmen (d v s det magnetiska flödet) genom spolen ökar.
Strömmen i kretsen ökar dock mot ett konstant värde. Flödet i spolen blir då konstant, varför
induktionsspänningen i spolen avtar mot noll. När strömmen i kretsen bryts svarar avtar ju det
magnetiska flödet genom spolen. Spolen vill dock bevara flödet, varför det induceras en negativ
spänning över spolen. Spolen gör alltså allt för att förhindra att strömmen minskar. Fenomenet
kallas självinduktion och innebär att spolen inducerar en spänning i sig själv när magnetfältet
spolen själv skapar ändras.
6
Spänning över spole vid in- och urkoppling av RL-krets
4
Uin
Us
Spänning (V)
2
0
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
Tid (s)
-2
-4
-6
D:\265336659.doc
32
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 11
Av ANDERS ANDERSSON
Induktans
När vi nu känner till begreppet självinduktans vill vi förstås kunna bestämma spänningen som
spolen inducerar i sig själv. Vi gör därför en liten härledning och börjar med att teckna det
magnetiska flödet genom en lång spole med längden l, arean A och varvtalet N:
=INA/l
Ändras strömmen I genom spolen ändras också flödet och därmed induceras en spänning över
spolen. Flödesändringen inducerar ju en spänning för varje lindningsvarv. Den inducerade
spänningen U blir alltså (tidsderivatan av magnetiska flödet):
U=N d/dt = N2A/l dI/dt = L dI/dt
Storheten L kallas spolens induktans och mäts i enheten Henry [H].
Produkten av induktansen och strömändringen per tidsenhet (tidsderivatan av strömmen) ger
alltså den självinducerade spänningen i spolen.
Exempel:
Bestäm induktansen i en 600 varvig spole med arean 6,6 cm2 och med längden 7 cm.
a. Utan järnkärna.
b. Med järnkärna med relativa permeabiliteten 5,6.
Lösning:
a. Induktansen L=oN2A/l=410-760020,00066/0,07=4,3 mH
b. Induktansen L=orN2A/l=5,6 4,3 = 24 mH
Exempel:
Man vill försöka beräkna hur stor spänningspuls som induceras i en spole när man bryter
strömmen tvärt. Antag att spolen i förra exemplet med järnkärna (L=24 mH och R=2,5 ohm)
ansluts till ett 4,5 V ficklampsbatteri. Hur stor blir den inducerade spänningen i spolen, om
strömmen avtar från maxvärdet till noll på 1 ms?
Lösning:
Maxström i spolen: I=U/R=4,5/2,5=1,8 A
Inducerad spänning i spolen: Us = L dI/dt = 0,0241,8/0,001= 43,2 V
Öva själv: 20.25-20.27
D:\265336659.doc
33
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 12
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 12:
In- och urkoppling av RL-krets
I samband med att vi ovan införde begreppet självinduktans
studerade vi hur spänningen varierade över en spole med
induktansen L i en krets matad med en fyrkantsspänning.
Kretsen innehöll även en resistans R1. En krets innehållande
en induktans och en resistans kallas en RL-krets. Vi skall nu
använda samma RL-krets som tidigare, men istället studera
hur spänningen UR över resistorn R1 varierar på oscilloskopskärmen. Egentligen är det strömmens utseende i kretsen vi
är intresserade av, men den varierar ju på samma sätt som
spänningen över resistorn.
UR
L
R1
Uin
6
Spänning över resistansen R i RL-krets
Spänning (V)
4
Uin
UR1
2
0
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
Tid (s)
Diagrammet ovan visar att spänningen UR, d v s strömmen i kretsen, ökar långsamt mot sitt
toppvärde. Skälet är förstås att spolens (induktansens) tröghet mot förändringar, alltså den
motspänningen som induceras i spolen när strömmen ökar. På motsvarande sätt sjunker
strömmen sakta mot noll när matarspänningen Uin är noll. Skälet är förstås att spolen även här
motarbetar minskningen av sitt magnetflödet och svara med att inducera en spänning som
motarbetar strömminskningen. Induktansens tröghet mot förändringar kan även förklaras med att
det tar en viss tid att transportera bort energin som finns upplagrad i magnetflödet i spolen. På
laborationen såg vi hur en lampan blinkar till när oket tas bort från spolens slutna järnkärna. Det
som händer är att energin i järnkärnans magnetflöde hastigt frigörs när flödet stoppas.
Inkopplingen kan även göras med ett batteri (4,5 V) och kurvan visas på ett minnesoscilloskop.
D:\265336659.doc
34
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 12
Av ANDERS ANDERSSON
Med en 600-varvig spole med järnkärna (L=60 mH) och R=50 ohm blir stigtiden c:a 2 ms
(L/R=1,2 ms).
D:\265336659.doc
35
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 12
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
Ett motstånd med resistansen R=250 ohm kopplas i serie med en spole med induktansen L=72
mH och med ett batteri med polspänningen U=4,5 V. I ett visst ögonblick är strömmen i kretsen
8,0 mA. Bestäm:
a. Spänningen över motståndet R.
b. Spänningen över induktansen L.
c. Strömändringen dI/dt.
Lösning:
a. Ohms lag ger spänningen över motståndet: UR=RI=2500,008=2V
b. Enligt Kirchoffs andra lag är summan av delspänningarna i kretsen noll:
U-UR-UL=0  UL=U-UR=4,5-2=2,5V
c. Inducerad spänning UL i spolen:
UL =L dI/dt  dI/dt =UL/L=2,5/0,072=34,7 A/s
Exempel:
Bestäm spolens induktans i en RL-krets m h a inkopplingskurvan ovan för spänningen över
resistorn R=250 ohm.
Lösning:
 Notera vilken spänning U kretsen matas med (5 V).
 Kirchoffs andra lag gäller: U-RI-LdI/dt = 0
 Välj en punkt på kurvan där det är lätt att dra en bra tangent, t ex för t = 0,5 ms.
 Bestäm spänningen över resistorn (UR = 4 V) för den tidpunkten och beräkna spänningen över
spolen med Kirschoffs lag ovan: US=U-UR=5-4=1 V
 Spänningen över spolen är även: US= L dI/dt
 För att kunna räkna ut induktansen L måste vi först bestämma strömändringen dI/dt. Det gör
vi genom att dra en tangent till kurvan för t = 0,5 ms och bestämma dess lutning. Förslagsvis
bestämmer vi dUR/dt och delar med R för att få dI/dt.
 Sedan är det bara att räkna ut L.
Vi skriver ut oscilloskopbilden på en skrivare och löser uppgiften gruppvis med siffervärden på
en lektion.
Öva själv: 20.28-20.34
Demonstration av elgenerator, elmotor, transformator och stumsvets
Slutligen demonstrerar jag några typiska
tillämpningar av induktionen. En elgenerator och
en elmotor fungerar i princip på samma sätt. När
spolen med järnkärna (bilden intill) roterar mellan
stavmagneternas nord- och sydändar ändrar det
magnetiska flödet hela tiden riktning genom
spolen. Därmed induceras en spänning och ström
i spolen. Likspänningen tas ut över två
metallblad, som ligger an mot den roterande
kommutatorn (släpringar om man vill ha
växelspänning). Detta är principen för en
D:\265336659.doc
36
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 12
Av ANDERS ANDERSSON
elgenerator. Matas anordningen istället med en
likspänning (växelspänning) fungerar anordningen
istället som elmotor. Bilden med batteriet och
hästskomagneten visar en enkel likströmsmotor. För att
den skall fungera måste kopparlindningen isolering i
änden brännas bort. Vid elsvetsning gäller det att
alstra en så pass hög ström att metallen smälter. Detta
kräver i regel höga strömmar på i storleksordningen
200 A. I ett vägguttag finns dock sällan mer än 15 A.
Man kan dock åstadkomma höga strömmar genom att
transformera upp strömmen i en transformator, som
består av två spolar med olika varvtal på en sluten
järnkärna (se bild intill). Matas den ena spolen med
växelspänning, får man via det magnetiska flödet i järnkärnan och induktion även ut
växelspänning i den andra spolen. I spolen med det lägre varvtalet blir dock strömmen högre och
spänninge lägre än i spolen med det högre varvtalet. Vill man som i en svets skapa höga
strömmar kopplas spolen med det högre varvtalet (primärspolen) till nätspänningen. I
stumsvetsen på bilden ovan har primärspolen
1200 varv och sekundärspolen svetsen är
kopplad till 6 varv. Nästan all energi som
primärspolen matar till flödet i järnkärnan tas
upp av sekundärspolen.
Följande samband gäller därför för
magnetflödet  i två geometriskt lika spolar
med varvtalen N1 och N2 och som passeras av
strömmarna I1 och I2:
orI1N1A/L =orI2N2A/L  I1N1 =I2N2
Produkten av spolens ström och varvtal är
alltså konstant. Matas således transformatorns
primärspole (1200 varv) på bilden ovan med
växelspänninge 220 V och strömmen 2 A, kommer det ut 400 A i sekundärspolen (6 varv)
svetsen är ansluten till. Spänningen mellan svetshandtagen blir dock bara 1,1 V eftersom det
utvecklas nästan samma effekt i sekundärspolen som primärspolen matas med.
D:\265336659.doc
37
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 13
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 13:
Rörelsemängd och impuls (kap 16)
Inledningsvis låter jag två vagnar med lika massor kollidera på luftkuddebanan. Kan man säga
något om vagnarnas fart efter kollisionen? Självklart blir vagnarnas farter lika, men med motsatt
riktning. Två vagnar med olika massor får sedan kollidera på samma sätt. Nu är det dock svårare
att säga något om farterna efter kollisionen. I detta kapitlet skall vi dock komma fram till hur
dessa farter kan beräknas.
Explosionsförlopp
Vi studerar inledningsvis ett explosionsförlopp, d v s där två vagnar med massorna m1 och m2
inledningsvis är stillastående och sammankopplade med en spänd fjäder. När fjädern utlöses far
vagnarna iväg åt var sitt håll med olika hastighet. Vi skall nu använda gamla kunskaper från
Fysik A och försöka att komma fram till ett samband mellan vagnarnas hastiget och massor.
Först står alltså vagnarna stilla och påverkar varandra med fjäderkraften F:
v=0
Före:
F
m1
m2
F
Under själva explosionsförloppet åker vagnarna isär. Påverkade av kraften F, som inte är
konstant, ökar vagnarnas hastigheter. Vi kan under den korta tid fjädern sprätter isär ställa upp
kraftekvationen för vagnarna, där a1 och a2 är deras acceleration:
m1a1 = -F
(1)
m2a2 = F
(2)
Eftersom vi valt positiv referensriktning åt höger, blir kraften F på m1 negativ. Vi är emellertid
inte intresserade av krafterna. Adderar vi (1) och (2) eliminerar vi kraften:
m1a1 + m2a2 = 0
(3)
Vi är heller inte intresserade av accelerationen. Om vi därför multiplicerar höger och vänster
ledet i (3) med tiden t får vi hastigheten:
tm1a1 + tm2a2 = m1v1 + m2v2 = 0
(4)
Tydligen är i detta fallet summan av produkten av vagnarnas hastighet och massa noll.
Vi kollar om detta stämmer. Vi binder fast vagnarna i varandra med ett snöre. Mellan vagnarna
på luftkuddebanan finns en spänd fjäder. När vi bränner av snöret med en tändsticka åker
vagnarna isär. Vi mäter vagnarnas hastigheter med två fotoceller. Vi får följande mätvärden:
m1= 0,210 kg
v1= -0,43 m/s (negativ ty positiv referensriktning åt höger)
m2= 0,410 kg
v2= 0,22 m/s
Vi sätter in värdena i (4):
0,210x(-0,43)+0,410x0,22 = -0,0001 kgm/s
Det blev ju bra nära noll. Vår härledning ovan verkar stämma!
D:\265336659.doc
38
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 13
Av ANDERS ANDERSSON
Rörelsemängd
Ett föremål som har massan m och hastigheten v sägs ha rörelsemängden p:
p=mv
Vektorstorheten rörelsemängd mäts i enheten [kgm/s].
Exempel:
Vilken rörelsemängd har en bil med massan 1200 kg och farten 25 m/s?
Lösning:
p=mv=1200x25=30000 kgm/s
Rörelsemängdens konstans
Man är sällan intresserad av rörelsemängdens storlek. Begreppet rörelsemängd används nästan
uteslutande som ett sätt att tänka när man löser stöt- och kollisionsproblem. I uttrycket (4) ovan
kom vi fram till att summan av rörelsemängderna var noll. Skulle vi ha gjort härledningen
matematiskt mer korrekt skulle vi ha integrerat uttrycket (3) istället. D v s vilket uttryck har (3)
som sin derivata? Jo, uttrycket:
m1v1 + m2v2 = k
(5)
Där k är en konstant. Derivatan av hastighet är ju acceleration och derivatan av en konstant är
noll. Uttrycket (5) visar alltså att rörelsemängden är konstant under ett rörelseförloppet,
under förutsättning att det saknas påverkan från yttre krafter (friktion t ex). Om t ex två
vagnar kolliderar är deras totala rörelsemängd lika stor före som efter kollisionen.
Rörelsemängden är bevarad.
Exempel:
Vagnarna i det inledande exemplet är från början stillastående, d v s deras rörelsemängd före
explosionen är noll:
Pföre=0
(1)
Efter explosionen gäller följande:
Efter:
v1
m1
m2
v2
Pefter= m1(-v1) + m2v2
(2)
Rörelsemängden bevarad, d v s:
Pföre= Pefter
(3)
Sätt in (1) och (2) i (3):
0 = m1(-v1) + m2v2
Ur detta uttrycket kan vi t ex beräkna v2 om vi vet v1.
Exempel:
En tågvagn med farten 2.5 m/s och vikten 16 ton kolliderar med en stillastående vagn som väger
28 ton. Efter kollisionen har 16 tons vagnen farten 0.55 m/s åt motsatt håll. Bestäm farten hos 28
tons vagnen.
D:\265336659.doc
39
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 13
Lösning:
Rörelsemängd före kollisionen:
pf = m1v1f
(1)
Av ANDERS ANDERSSON
m1
v1f
m2
v2f=0
Rörelsemängd efter kollisionen:
pe= -m1v1e+m2v2e
(2)
v2f
m1
m2
v2e
Rörelsemängden bevaras under kollision:
pf = pe
(3)
Sätt in (1) och (2) i (3) och lös ut v2e:
m1v1f = -m1v1e+m2v2e  v2e = (m1v1f + m1v1e)/m2 = m1(v1f + v1e)/m2 = 16(2.5+0.55)/28 = 1.7 m/s
Elastisk stöt
Vi skall nu undersöka vad som händer med
rörelseenergin när två vagnar med massorna m1 och m2
frontalkolliderar på luftkuddebanan. Kollisionen tas
upp av ett spänt gummiband på den ena vagnen. Vi
mäter vagnarnas farter före och efter kollisionen genom
att mäta tiden en flagga på varje vagn bryter ljuset till
en fotocell kopplad till en klocka. Flaggan har bredden
2.5 cm. Varje fotocell tar alltså två tider, som lagras i
klockans minne. Vi fyller i mätvärdena i följande
tabell.
m1=………….g
Kollision
m2=…………g
tid (s)
t1
t2
Hastighet (m/s)
v1
v2
p1
Rörelsemängd
p2
ptot
W k1
Rörelseenergi (J)
W k2
W tot
Före
Efter
Som väntat är rörelsemängden före och efter kollisionen lika stor. Även rörelse energin tycks
bevarad före och efter kollisionen. Eftersom ett gummiband tar upp stöten blir kollisionen
fullständigt elastisk och praktiskt taget ingen rörelseenergi förloras, d v s Wföre = Wefter .
Oelastisk stöt
Vi gör en ny mätning och låter nu en vagn (m1) kollidera med en stillastående vagn (m2). En nål i
den ena vagnen tränger in lera i den andra vagnen. Efter kollisionen fastnar vagnarna i varandra
och fortsätter alltså med samma hastighet. Observera att massan efter kollisionen är m1+m2. Vi
fyller i mätvärdena i följande tabell.
Kollision
tid (s)
t1
t2
Hastighet (m/s)
v1
v2
p1
Rörelsemängd
p2
ptot
W k1
Rörelseenergi (J)
W k2
W tot
Före
Efter
D:\265336659.doc
40
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 13
Av ANDERS ANDERSSON
Även i denna kollision är rörelsemängden bevarad, men däremot inte rörelseenergin. Energi
förbrukas förstås när nålen tränger in i och deformerar leran. Stöten kallas oelastisk när systemet
förlorar energi i samband med kollisionen, d v s Wföre > Wefter .
D:\265336659.doc
41
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 13
Av ANDERS ANDERSSON
Krocksäkerhet
När man bygger bilar måste man tänka på ett konstruktionen tar upp så
mycket som möjligt av bilens rörelseenergi vid en kollision. Man bygger
därför in deformationszoner i bilen så att en kollision blir så oelastisk som
möjligt.
Exempel:
Är kollisionen mellan vagnarna i föregående exempel fullständigt elastisk?
Lösning:
Vi jämför alltså rörelseenergin före och efter kollisionen:
Wföre = m1v1f2/2 = 16000x2.52/2 = 50000 J
Wefter = m1v1e2/2+ m2v2e2/2 = 16000x0.552/2 + 28000x1.72/2 = 42880 J
Här är Wföre > Wefter, alltså är kollisionen oelastisk.
Öva själv: 16.14-16.19
D:\265336659.doc
42
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 14
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 14:
Impulslagen
När man missar spikhuvudet med hammaren och istället träffar pekfingernageln så gör det ju
ganska ont. Tydligen påverkas nageln av en rätt så stor kraft. Frågan är hur stor? Likaså när en
boll träffar en vägg så ändrar ju bollens hastighet riktning nästan omedelbart. Det måste innebära
att bollen (och väggen) påverkas av en stor kraf. För att hitta en metod för att beräkna krafternas
storlek vid korta stötförlopp gör vi en liten härledning. Vi börjar med två välkända formler från
Fysik A-kursen.
ma = F
(1)
v = v0+at
(2)
Vi är nu inte intresserade av accelerationen a, utan löser ut a ur (2):
a = (v-v0)/t
och sätter in detta i (1):
m(v-v0)/t =F  mv-mv0=Ft  pe–pf =Ft 
dp=Ft
Vänterledet är inget annat än ändringen av rörelsemängden, d v s om kraften F verkar tiden t på
ett föremål så ändras dess rörelsemängd med dp. Ändring av rörelsemängd kallas även impuls (I),
som mäts i enheten Ns.
Exempel:
Antag att hammaren träffar pekfingernageln med farten v=2.5 m/s och lämnar nageln med samma
motriktade fart. Kontakttiden mellan hammare och nagel uppskattas till 1 ms. Vilken kraft
påverkas nageln av, om hammaren väger m=0.75 kg?
Lösning:
pf
ref.rikt
Hammarens rörelsemängd före nagelträff:
pe
pf=-mv
…efter nagelträff:
pe=mv
Impulsen, d v s ändringen av rörelsemängden, blir då:
dp=pe-pf=mv-(-mv)=2mv (1)
Impulsen I är även:
I=Ft
(2)
Sätts (1) och (2) samman fås:
2mv=Ft 
F=2mv/t=2x0.75x2.5/0.001=3750 N
Nageln påverkas alltså av en relativt stor kraft under en kort tid. Förmodligen är dock
kontakttiden längre än 1 ms.
Bestämning av stöttid
Stöttider kan vara svåra att uppskatta. Vi vill emellertid bestämma vilken
kraft en stålkula, upphängd i en ledande tråd, påverkar ett metallstycke
med, om kulan får studsa mot metallstycket, enligt figuren intill. Stöttiden
mäts genom att koppla en klocka till tråden och metallstycket. Tiden tas så
länge kulan och metallstycket är i kontakt med varandra. Från förra
exemplet vet vi att impulsen blir (elastisk stöt):
D:\265336659.doc
43
h
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 14
Av ANDERS ANDERSSON
I=2mv
Stöttiden mäts till t=70 s om h är 12 cm och kulans massa m=45 g.
Kulans hastighet bestäms med energiprincipen:
mgh=mv2/2  v=(2gh)1/2
Vi får alltså sambandet:
2mv=Ft  F=2mv/t = 2m(2gh)1/2/t = 2x0.045(2x9.82x0.12)1/2/70x10-6= 1974 N
I
t
F (N)
Mätning av impuls med kraftgivare
Om den konstanta kraften F verkar tiden
t, kan impulsen I illustreras grafiskt som
arean under grafen (jämför med en v-tgraf, där arean under grafen motsvaras
av sträckan). Oftast är kraftens
tidsberoende inte konstant. Arean under
grafen motsvaras dock fortfarande av
impulsen (se de två schematiska
kurvorna till höger). Vi skall nu göra en
mätning som visar kraftens beroende av
tiden. Vi låter sålunda en vagn (m= 185
g) på luftkuddebanan kollidera med en
bladfläder i form av ett bågfilsblad
fastskruvad i en krafgivare och ansluten
till mätprogrammet Datastudio. Kraften
F
F
registreras var femhundradels sekund.
Arean under grafen representerar alltså
impulsen som tillförs vagnen från
bladfjädern. Arean bestäms med
Datastudios verktyg Area under sigmaI
knappen. Datastudio ger arean 0.18 Ns.Vi
t
kan även beräkna impulsen som ändring av
rörelsemängden (tf och te är fotocellens
brytningstider) före och efter
F (N)
kollisionen.
5
Rörelsemängd före kollision:
4
pf=mvf=msflagga/tf=0.185x0.025/0.0427=
0.1083 kgm/s
3
Rörelsemängd efter kollision:
2
pe=mve=msflagga/te=0.185x0.025/0.0492=
1
0.0940 kgm/s
Ändring av rörelsemängd, d v s
0
impulsen:
0
0,02
0,04
dp= pe- pf =0.0940-(-0.1083)=0.202
t (s)
kgm/s
Vi har alltså beräknat impulsen på två
helt olika sätt och fått nästan samma resultat (0.18 respektive 0.20 Ns).
D:\265336659.doc
44
0,06
0,08
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 14
Av ANDERS ANDERSSON
Resonemang ger lösning
Ibland är det betydligt enklare att resonera sig fram till en lösning än att räkna sig fram via t ex
rörelsemängd och impuls. Vi skall se tre exempel på detta. Vi antar att stötarna är fullständigt
elastiska.
Exempel:
En boll som kastas med farten 18 m/s rakt in i en vägg studsar tillbaks med ungefär samma
hastighet. Hur stor är bollens hastighetsändring efter jämfört med före studsen i väggen?
Lösning:
Först minskar bollen farten från 18 till 0 m/s. Sen ökar den farten från 0 till 18 m/s åt andra hållet.
Alltså är bollens hastighetsändring 18+18=36 m/s.
Exempel:
En golfklubba träffar bollen med farten 25 m/s. Klubbans fart ändras
obetydligt efter träffen. Bestäm golfbollens hastighet.
Lösning:
Antag istället att bollen träffar den stillastående klubban med farten 25 m/s. Det är i princip
samma sak så länge bollens och klubbans relativa hastigheter är oförändrade. Bollen studsar då
tillbaks med hastigheten 25 m/s och har alltså ändrat sin hastighet med 50 m/s. Den stillastående
bollen ändrar sin hastighet lika mycket, d v s den får farten 50 m/s.
Exempel:
En fysikelev kastar en boll med farten 15 m/s mot fronten på
ett i 25 m/s framrusande lok. Bestäm bollens fart efter
kollisionen med loket. Man kan anta att lokets fart inte
påverkas av bollen.
Lösning:
Ur lokförarens perspektiv träffar bollen loket med farten 15+25=40 m/s och studsar tillbaks med
samma fart. Loket rör sig emellertid med farten 25 m/s, vilket innebär att bollens fart relativt
marken är 40+25=65 m/s.
Öva själv: 16.20-16.30
D:\265336659.doc
45
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 15
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 15:
Rörelse i homogena fält (kap 17)
Exempel på homogena fält är tyngdkraftsfältet på jordytan och det
elektriska fältet mellan två parallella kondensatorplattor. Vi skall i detta
kapitel beräkna hur föremål rör sig i sådana fält. Vi börjar med kast
rörelse i tyngdkraftsfältet.
Fallrörelse i två riktningar
filmad med en
digitalkamera med 30
bilder/sekund. Filmen kan
sedan spelas upp i
Windows MoviMaker bild
för bild (Alt-pil).
Kaströrelse
Man kan inledningsvis fråga sig vilken kula som når golvet snabbast: En
som släpps lodrätt rakt ner eller en som skjuts ut horisontellt från samma
höjd? Vi demonstrerar förloppet på lektionen med en liten
utskjutningsanordning där vi dels hör att kulorna träffar golvet ganska
samtidigt, dels filmar förloppet med en videokamera och ser att de faller neråt
lika snabbt. Tydligen verkar den lodräta rörelsen vara oberoende av den
vågräta rörelsen. För att kunna beskriva rörelsen mer i detalj skall vi ställa
upp rörelseekvationerna för ett föremål som rör sig i ett homogent fält.
Rörelseekvationerna i två riktningar
När vi i Fysik A-kursen behandlade rörelse var det alltid i en dimension (x- eller y-riktning). I
tyngdkraftsfältet måste emellertid en rörelse beskrivas i två dimensionen (x- och y-riktning).
Exempelvis rör sig ju den högra kulan i figuren ovan både neråt och åt höger. Specialfallet är den
vänstra kulan i figuren, som bara rör sig i en riktning. Antag nu att vi vill
y
beskriva rörelsen hos ett föremål som skjuts iväg med farten vo och
elevationsvinkeln  (se figur). Att beskriva rörelsen innebär att visa hur
vyo vo
hastigheten respektive läget beror av tiden. Vi börjar med att bestämma
föremålets hastighet och utgår då ifrån formeln för hastighet i en

x
dimension som finns i formelsamlingen:
v
xo
v=vo+at
(1)
Eftersom ingen kraft påverkar föremålet i x-led finns heller ingen
acceleration. Hastigheten i x-led blir alltså konstant:
vx=vxo=vocos
(2)
I y-led påverkas föremålet av tyngdkraften, som är motriktad referensriktningen. Utgående från
(1) blir hastigheten i y-led:
vy=vyo-gt =vosin-gt
(3)
Läget bestämmer vi nu m h a formeln i formelsamlingen för läget i en dimension:
s=vot+at2/2
(4)
Läget i x-led blir då:
x=vxot=votcos
(5)
Läget i y-led blir på motsvarande sätt:
y= vyot-at2/2=votsin-gt2/2 (6)
Rörelseekvationerna (2), (3), (5) och (6) finns inte med i formelsamlingen. De måste därför
härledas när de skall användas. Mycket av övningarna i detta kapitel går dock ut på att lära sig
detta.
D:\265336659.doc
46
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 15
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
Kulan i den inledande figuren skjuts iväg horisontellt med farten 12 m/s höjden 1.5 m över
golvet.
y
a. När når kulan golvet?
h
b. Var på golvet landar kulan?
c. Med vilken fart slår kulan i golvet?
d. Under vilken vinkel slår kulan i golvet?
Lösning:

a. Det tar samma tid för kulan att nå golvet
s x
som om den hade fallit rakt ner. Vi kan
använda formeln:
h=gt2/2  t = (2s/g)1/2=(2x1.5/9.82)1/2= 0.55 s
b. Farten i x-led är konstant:
s = vxt =12x0.55=6.6 m
c. Kulan har fart i både x- och y-led när den landar:
vx =12 m/s
vy = -gt = -9.82x0.55= -5.4 m/s
Kulans fart är beloppet av hastigheten:
v = (vx2+vy2)1/2 = (122+5.42)1/2 = 13.2 m/s
d. tan  = vy/vx = 5.4/12   = 24.2 o
Öva själv: 17.1-17.4
D:\265336659.doc
47
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 16
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 16:
 Hur skall man sikta för att nå maximal längd?
 Viken form har bankurvan?
 Hur skall man sikta för att nå en viss längd?
Vi räknar ytterligare några exempel på rörelser i tyngdkraftfältet som bl a besvarar ovanstående
tre frågor.
Exempel:
En spjutkastare kastar iväg spjutet med farten 22 m/s under elevationsvinkeln 35 o.
a. När landar spjutet?
b. Hur långt bort landar spjutet?
c. Bestäm spjutets högsta höjd över marken?
d. Vilken form har bankurvan?
e. Vid vilken elevationsvinkel kommer spjutet längst?
Lösning:
a. Spjutets hastighet i y-led är noll i banans
y
högsta punkt. Om tiden är t då, landar kulan
vid tiden 2t:
vy = vosin-gt = 0 
h
t
t = vosin/g =22sin35o/9.82=1.28 s
Spjutet landar alltså efter 2.56 s.
b. Farten i x-led är konstant:

2t
x
s=votcos = 22x2.56cos35o = 46 m
s
c. Läget i y-led:
h=votsin-gt2/2 =
= 22x1.28xsin35-9.82x1.282/2= 8.11 m
d. Spjutets läge ges av följande två uttryck:
x=votcos
(1)
2
y=votsin-gt /2
(2)
Vi är emellertid endast intresserade av hur y beror av x. Vi löser därför ut t ut (1):
t = x/vocos
och sätter in detta i (2):
y=vosin x/vocos-g/2 (x/vocos)2 = x sin/cos - g x2/2/(vocos)2 (3)
Bankurvan beskrivs tydligen av en funktion på formen y=ax-bx2, d v s av en andragradsfunktion.
En sådan kurva kallas också för en parabel (kastparabel).
e. Spjutet landar då y=0. Samband (3) ovan ger då:
0=x sin/cos - g x2/2/(vocos)2
Vi kan förkorta bort ett x och cos:
0= cossin - g x/2/vo2
x= vo2/g2cossin= vo2/g sin(2)
x är störst då sin(2) är störst, d v s då:
sin(2) = 1
Detta gäller då 2 = 90o, d v s då  = 45o
Spjutet kommer alltså längst då elevationsvinkeln är 45o.
D:\265336659.doc
48
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 16
Av ANDERS ANDERSSON
y (meter)
Exempel:
En kanon skjuter iväg granater med hastigheten 550 m/s. Vid ett tillfälle skall granaterna träffa
mål på det horisontella avståndet 25 km från kanonen. Bestäm kanonens elevationsvinkel.
Lösning:
Vi kan direkt använda sambandet
8000
(3) ovan:
2
2
6000
y = x sin/cos - g x /2/(vocos)
4000
där x=25 000 m, vo=550 m/s och
2000
y=0. Vi kan sätta in dessa värden i
0
sambandet och lösa ut
10
20
30
40
50
60
70
-2000 0
elevationsvinkeln . Vi skall
-4000
emellertid lösa ekvationen grafiskt
-6000
genom att rita sambandet och kolla
-8000
för vilken vinkel y=0.
Elevationsvinkel (grader)
Diagrammet visar att två
o
elevationsvinklar, c a 27
respektive 63o, ger skottvidden 25 km. Väljer vi t ex
y
elevationsvinkeln 50o befinner sig granaten 6000 m över
målet på markavståndet 25 km från kanonen. Vi kan alltså
antingen välja en flack projektilbana eller en brantare (om
de t ex är ett berg i vägen). Se figuren till höger.
x
Luftmotstånd
I alla våra exempel har vi har vi bortsett ifrån luftmotståndet. I praktiken har luftmotståndet stor
inverkan på rörelsen vid relativt höga farter. Både spjutets och i synnerhet granatens rörelse
skulle ha sett annorlunda ut om vi tagit hänsyn till luftmotståndet. Däremot kulan i det första
exemplet skulle ha påverkats lite av luftmotståndet.
Testa själv
I programmet h:/tbas/kurvritare.exe kan du själv prova hur kulhastighet och elevationsvinkel
påverkar kulbanans utseende.
Öva själv: 17.5-17.10
D:\265336659.doc
49
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 17
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 17:
Laddade partiklars rörelse i homogena fält
Elektronernas rörelse i ett elektronböjningsrör (se s. 19) är exempel på rörelse i ett homogent fält,
d v s ett elektriskt fält mellan två parallella kondensatorplattor. Genom att ändra elektronernas
accelerationsspänning respektive spänningen över kondensatorplattorna kan man få
elektronstrålen att böja av (avlänkas). Vi skall göra ett försök med elektronböjningsröret och
jämföra den beräknade avlänkningen värdet med den uppmätta.
Exempel:
Bestäm elektronstrålens avlänkningen d i ett
elektronböjningsrör, om elektronernas
+
accelerationsspänningen Ua=3,0 kV och
Fq
spänningen mellan plattorna är U=1,25 kV.
v
qe
d
Plattavståndet D=5,2 cm. Avlänkningen skall
D
bestämmas i änden på den rutade plattan, d v s
x=0
x=8 cm
när elektronerna rört sig 8 cm i det elektriska
fältet (se figuren intill).
Lösning:
Vi börjar med att ställa upp rörelseekvationerna
för en elektron i x- och y-led. I x-led mellan plattorna saknas acceleration. Om elektronen har
farten v när den kommer in mellan plattorna, får blir läget vid tiden t:
x=tv
(1)
I y-led accelereras elektronen av det elektriska fältet. Begynnelsefarten i y-led är dock noll. Läget
blir då:
y=ayt2/2
(2)
Där accelerationen ay bestäms m h a kraftekvationen:
meay = Fq=qeE=qeU/D  ay=qeU/D/me (3)
där me är elektronmassan. Sätt in (3) i (2):
y=qeU/D/me t2/2
(4)
Vi är intresserade av vad d är när x=8 cm. Vi skulle då t ex kunna bestämma v och t i (1) och
sedan sätta in värdet på t i (4). Vi löser emellertid först ut t ur (1) och sätter in detta i (4):
y=qeU/D/me (x/v)2/2
(5)
Slutligen bestämmer vi elektronens begynnelsefart v i x-led m h a energibetraktelse:
mev2/2= qeUa  v2=2qeUa/me (6)
Vi ersätter v2 i (5) med (6) och bestämmer avlänkningen y vid x=8 cm:
y=qeU/D/me x2me/(2qeUa) /2 =Ux2/(4DUa) = 12500,082/4/0,052/3000 = 0,013 m =1,3 cm
I sista sambandet ser vi att avlänkningen är oberoende av både elektronens massa och laddning.
Öva själv: 17.14-17.15
D:\265336659.doc
50
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 18
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 18:
Cirkulär rörelse, gravitation (kap 18)
Hittills har vi studerat föremål som rör sig fritt på det ena eller andra sättet. Nu skall vi studera
föremål som roterar runt en fixerad punkt, t ex vilka krafter som påverkar en släggkastare eller en
bil som passerar ett gupp i vägen. Vi kommer t ex att ganska exakt med dessa kunskaper kunna
beräkna tiden det tar för rymdfärjan (som rör sig 40 mil över markytan) att avverka ett varv runt
jorden.
Demonstration
Jag roterar en boll fästad i ett snöre. Alla vet att kraften i snöret blir större ju snabbare bollen
roterar. Frågan är hur man kan bestämma kraftens storlek? Kraften, som kallas centripetalkraft,
kan härledas både experimentellt och analytiskt. Vi väljer här den matematiskt analytiska vägen.
Läget vid cirkulär rörelse
Vi börjar med att beskriva rörelsen hos ett
y
föremål som roterar runt en fix punkt med
v vy
konstant fart. I ett visst ögonblick befinner sig
föremålet i det läge figuren visar. Det är lämpligt
ax vx
m
att börja med att beskriva föremålets läge i x- och
R
y-koordinater i det ögonblicket:
ac
ay
x=R cos() (1)

x
y=R sin() (2)
där R är rörelsens radie, m föremålets massa och
 den momentana vinkeln mot x-axeln (se
figuren intill).
Föremålet rör sig emellertid med konstant fart v.
Vi ersätter därför vinkeln  med:
=t
(3)
där  är storheten vinkelhastighet, som mäts i enheten radianer/sekund [rad/s].
Vi definierar även storheterna periodtid (T) och frekvens (f).
Periodtiden anger tiden det tar föremålet att rotera ett varv. Periodtiden mäts i enheten [s].
Frekvensen anger hur många varv föremålet roterar per sekund. Frekvensen mäts i enheten Hertz
[Hz].
Exempel:
En boll i ett snöre roterar ett 5 varv på 3,7 sekunder. Bestäm rörelsens:
a) Periodtid (T).
b) Frekvens (f)
c) Vinkelhastighet ().
Lösning:
a) T=3,7/5=0,74 s
b) f=1/T=1/0,74=1,35 Hz
c) =2/T=2/0,74=8,5 rad/s {2 är antalet radianer på ett varv}
D:\265336659.doc
51
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 18
Av ANDERS ANDERSSON
Vi fortsätter härledningen av rörelsen och sätter in (3) i (1) och (2):
x=R cos(t) (4)
y=R sin(t) (5)
Detta är de slutliga uttrycken för läget. Vi fortsätter med föremålets hastighet.
Hastighet vid cirkulär rörelse
Liksom tidigare deriverar vi läget m a p tiden för att få hastigheterna i x- och y-led:
vx= -R sin(t)
(6)
vy=R cos(t)
(7)
Att hastighetskomposanten i x-led är negativ kan man förstå av att läget i x i figuren ovan avtar.
M h a sambanden (6) och (7) kan vi även uttrycka föremålets fart, d v s hastighetens resultant.
pythagoras sats ger farten:
v=(vx2+vy2)1/2=((R sin(t))2+ (R cos(t))2)1/2 =R (8)
Observera att farten har tangentens riktning i banan.
Exempel:
Bestäm bollens fart i förra exemplet, om snöret har radien 74 cm.
Lösning:
v=R=0,748,5=6,3 m/s
Acceleration vid cirkulär rörelse (centripetalacceleration)
Vi fortsätter med att derivera hastighetskomposanterna m a p tiden för att få fram massans
acceleration:
ax= -R2 cos(t)
(9)
ay= -R2 sin(t)
(10)
Båda accelerationskomposanterna är negativa, därför att hastigheten avtar i både x- och y-led i
figuren ovan. Accelerationes resultant ac kallas centripetalaccelerationen och ges även här av
pythagoras sats:
ac=(ax2+ay2)1/2= … =R2
(11)
Centripetalaccelerationen är ritktad mot origo. Detta inses matematiskt av att tan()=ay/ax.
Intuitivt kan man även inse detta av att rörelsen i figuren ovan hela tiden svänger åt vänsten,
medan farten i banan är konstant. Skulle centripetalaccelerationen inte vara vinkelrät mot
hastigheten skulle ju farten i banan öka.
Exempel:
Bestäm:
a) centripetalaccelerationen ac,
b) centripetalkraften Fc, d v s kraften i snöret,
i föregående exempel, om föremålets massa är 130 g.
Lösning:
a) ac= R2 =0,748,52 = 53,4 m/s2
b) Kraftekvationen ger: Fc = mac = 0,1353,4 = 6,9 N
D:\265336659.doc
52
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 18
Av ANDERS ANDERSSON
Centripetalaccelerationen på olika sätt
Centripetalaccelerationen kan uttryckas i vinkelhastighet, periodtid, frekvens eller rotationsfart
(v), beroende på vad som är lämpligast i sammanhanget:
ac= R2 = R(2/T)2 = R(2f)2 = R(2R/T)2/R2 = v2/R
Exempel:
Bollen i föregående exempel ges farten 25 m/s. Bestäm kraften i snöret.
Lösning:
Kraftekvationen ger: Fc = mac = mv2/R = 0,13252/0,74 = 110 N
Verifiering av härledda samband
Vi verifierar våran härledning av centripetalaccelerationen (-kraften) genom att ett experiment
med en roterande anordning där vi kan mäta centripetalkraften. Vi varierar de roterande massorna
respektive periodtiderna och radierna och får via en dynamometer några värden på
centripetalkraften. Vi jämför dessa med vad formeln för centripetalkraften ger och konstaterar att
de överensstämmer ganska bra.
Demonstration av impulsmomentlagen
Jag roterar en liten gummikork fästad i en nylonlina, som löper ganska friktionsfritt genom ett
glasrör. I andra änden av nylonlinan är lodrät en tyngre gummikork fästad. När den mindre
gummikorken roterar håller den m h a centripetalkraften emot den tyngden från den större
korken. Jag visar även hur periodtiden kraftigt minskar om radien minskar medan den mindre
korken roterar. Detta beror på impulsmomentlagen (ingår ej i gymnasiekursen) och kan förstås av
att periodtiden bör minska om hastigheten är oförändrad medan radien minskar. Prova själva
konsekvenserna av impulsmomentlagen på en karusell i en lekpark. Sätt fart på karusellen så att
ni (gärna fyra stycken i varsin kupé för maximal effekt) står så långt ifrån centrum ni kan
komma. Vad händer när ni sedan går in mot centrum? Den höga rotationsfrekvensen vid en
piruett bygger på impulsmomentlagen.
Exempel:
En bil som väger 1200 kg passerar med farten 25 m/s ett ’gupp’ i vägen med radien 4,5 m.
Bestäm kraften bilen påverkar vägen med.
Lösning:
När bilen passerar det cirkulärformade guppet påverkas
den av en sin egen tyngdkraft (Ft) och av en normalkraft
R
(FN) från vägen, som även är den kraft bilen påverkar
FN
vägen med. Resultanten till dessa båda krafter blir
m
centripetalkraften, som ju får bilen att röra sig i en
v
cirkelformad bana. Kraftekvationen för bilen blir alltså,
med positiv referensriktning mot rörelsens centrum:
Ft
mac = FN - Ft  FN = mac + Ft = mv2/R + mg = m(v2/R
+g) = 1200(252/4,5+9,82) = 178 kN
Exempel:
En berg-och-dalbana innehåller ofta en loop, där alltså vagnen är upp och ner i loppens övre del.
Hur högt (h) över marken (se figur nedan) måste vagnen minst börja rulla ifrån för att vagnen
D:\265336659.doc
53
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 18
Av ANDERS ANDERSSON
skall klara sig runt loopen och hur stor måste farten i högsta punkter i loopen? Räkna på den
gamla loppen på Liseberg, vars diameter var 17 m. Antag att allt är friktionsfritt.
Lösning:
I loopens övre del påverkas vagnen av två krafter, tyngdkraften (Ft) och normalkraften från banan
(FN). Vi ställer upp kraftekvationen för vagnen i detta ögonblick:
ma c= Ft+ FN
(1)
Ft = mg
(2)
vagn
Där m är vagnens massa och ac
centripetalaccelerationen:
2
ac= v /R
h
FN
Ft
(3)
2R
där R är loopens radie och v farten i loopens övre
del.
Villkoret för att vagnen inte skall lämna banan är att normalkraften FN0, d v s att
centripetalkraften är minst lika stor som tyngdkraften i loopens övre del. Vi sätter alltså FN=0 och
sätter in (2) och (3) i (1):
mv2/R = mg

v2 = Rg
(4)
Frågan var från vilken höjd vagnen skall släppas. Vi använder energisamband för att få ett uttryck
för v:
mv2/2 = mg(h-2R) 
v2 = 2g(h-2R)
(5)
Vi sätter samman (4) och (5):
Rg = 2g(h-2R)
 h=5R/2
Vagnen måste alltså släppas på höjden R/2 över loopens övre del. Med siffror blir det 21,25 m
över marken. Farten i loopens övre del blir med (4) 9,1 m/s.
Minilaboration
Vi hänger upp ett litet batteri- och propellerdrivet leksaksflygplan i en nylonlina i taket. Vi startar
planet och låter det flyga runt i en cirkelbana i fysiksalen. Flygplanets rörelse kan betraktas som
en konisk pendel. Ni skall nu lösa några uppgifter:
 Bestäm kraften i nylonlinan.
 Ange ett samband för hur rörelsens
 L
periodtid T beror av vinkeln  mellan
nylonlinan och lodlinjen och linans
m
längd L (se figur).
 Gör lämpliga mätningar och beräkna m
h a det härledda sambandet periodtiden
för flygplanets rörelse.
 Mät periodtiden och jämför den med det beräknade värdet. Blir de lika?
Öva själv: 18.1-18.12
D:\265336659.doc
54
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 19
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 19:
Gravitationslagen
Liksom två laddningar påverkar varandra med en kraft, enligt Coulombs lag, påverkar även två
massor varandra med en attraherande kraft. Kraften är i vardagliga situationer praktiskt taget
omärkbar, men av fundamentalbetydelse i universum. Det är gravitationskraften mellan månen
och jorden som håller månen på plats runt jorden, gravitationskrafterna mellan solen och
planeterna som styr planetrörelserna. Praktiskt taget all rörelse i kosmos styrs av
gravitationslagen, som Isac Newton formulerade på 1600-talet:
F=Gm1m2/r2
(1)
F är alltså gravitationskraften mellan massorna m1 och m2 som befinner sig på avståndet r ifrån
varandra. Gravitationskonstanten G = 6,6710-11 Nm2/kg2. Observera att gravitationslagen
påminner mycket om Coulombs lag.
Exempel:
Hur stor är gravitationskraften mellan två
fysikelever som befinner sig på avståndet 0,58 m
ifrån varandra? Antag att eleverna väger 61
respektive 72 kg.
Lösning:
Gravitationskraften ges av:
F=Gm1m2/r2 = 6,6710-116172/0,582 = 0,87 N
Eleverna attraherar alltså varandra med den ytterst
lilla kraften 0,87 N.
F
F
Exempel:
Den amerikanska rymdfärjan kretsar runt jorden på 38 mils höjd över ekvatorn. Hur lång tid tar
det rymdfärjan att avverka ett varv runt jorden? Rymdfärjans bana runt jorden är praktiskt taget
cirkulär och farten är konstant. Använd formelsamlingen för att lösa uppgiften.
Lösning:
Rymdfärjan påverkas av en gravitationskraft FG från jorden.
Samtidigt rör den sig i en cirkulär bana runt jorden, d v s
rymdfärjan utsätts för en centripetalacceleration ac. Vi kan
m
således ställa upp kraftekvationen för rymdfärjan:
rymdfärjan
r
FG
ma = F
(1)
c
G
Gravitationskraften:
2
FG = GmM/(r+h)
M
jorden
(2)
Där r är jordradien, h höjden över marken, m rymdfärjans massa
och M jordens massa.
Centripetalaccelerationen uttrycker vi med periodtiden T:
ac = (r+h)(2/T)2
D:\265336659.doc
h
(3)
55
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 19
Av ANDERS ANDERSSON
Sätt sedan in (3) och (2) i (1):
m(r+h)(2/T)2 = GmM/(r+h)2  T = 2((r+h)3/GM)1/2
Använd tabellen och sätt in värden:
T = 2((6 378 500380 000)3/6,67210-11 5,9771024)1/2 = 5528 s = 1 h 32 min
Öva själv: 18.13-18.19
Bestämning av elektronmassan vid rörelse i magnetfält
I kapitlet om magnetfält (kap 14) böjde vi av en elektronstråle med ett
magnetfält och ett elektriskt fält i ett elektronböjningsrör när vi
bestämde massan hos en elektron (se s. 19). Vi skall åter bestämma
elektronmassan me, men nu skall vi endast använda oss av ett
magnetfält och böja av elektronerna så att de går i en cirkulär bana. En
elektron qe som rör sig med farten v i ett magnetfält riktat in i
papperet, enligt figuren intill, påverkas av en magnetisk kraft FB
(magnetfältet runt strömmen, som är motsatt riktad elektronrörelsen,
samverkar med det yttre magnetfältet B på utsidan av elektronbanan):
FB = qevB
X (magnetfältet B)
X
qe
I
FB
R
v
X
X
X
(1)
Eftersom kraften FB är riktad vinkelrätt mot elektronens rörelseriktning, måste (enligt vad vi nu
vet om cirkulärrörelse) elektronen röra sig i en cirkulär bana. Därmed är påverkas elektronen av
en centripetalacceleration ac och vi kan ställa upp kraftekvationen för elektronen:
meac = FB
(2)
Vi uttrycker centripetalaccelerationen med elektronens banhastighet v och banradie R:
ac = v2/R
(3)
Nu sätter vi in (1) och (3) i (2):
mev2/R = qevB

mev/R = qeB
(4)
För bestämningen av elektronmassan använder vi ett speciellt elektronrör. Magnetfältet B skapas
med ett par s k Helmholz-spolar, där vi enkelt kan mäta strömmen i spolarna och sedan beräkna
magnetfältet med en given formel. Banradien R mäter vi och elektronfarten v bestämmer vi med
ledning av elektronernas accelerationsspänning Ua och energisamband:
mev2/2 = qeUa
(5)
Vi löser ut farten v ur (4) och sätter in den i (5):
me(qeBR/me)2/2 = qeB
 ….  me = qeB2R2/2Ua
(6)
Nu återstår bara att göra mätningen på elektronröret. Vi erhöll följande mätvärden:
B=
R=
Ua=
Vi sätter in värdena i (6) och beräknar elektronmassan me.
Öva själv: 18.20-18.23
D:\265336659.doc
56
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 20
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 20:
Svängningsrörelse (kap 19)
Inom fysiken handlar det som vi sett ofta om att beskriva en rörelse. Hittills har det mest handlat
om rörelse i en viss riktning, t ex kastbanor och cirkulär rörelse. En oscillerande spiralfjäder eller
en pendel utför dock en s k svängningsrörelse kring ett jämviktsläge. Naturen är full av
svängningsrörelser, exempelvis vatten- och ljudvågor, ljus och spänningen i vägguttaget. I detta
kapitlet skall vi begränsa oss till fjädrar och pendlar.
Harmonisk svängning
Inledningsvis hänger jag upp en vikt i en spiralfjäder. Fjädern
förlängs och vikten hänger stilla i sitt jämviktsläge. Sedan drar jag
ner vikten något och låten den svänga fritt i fjädern. Frågan är hur
y
vi kan beskriv svängnings form, d v s hur viktens läge beror av
(elongationen) R
tiden. Vi belyser samtidigt den svängande vikten och en tapp vid

kanten på en roterande skiva och betraktar skuggorna på vita
tavlan. Vi försöker att ställa in motorns varvtal så att tappen rör sig
i takt med vikten. Även om vi inte lyckas få rörelserna i takt ser vi
ändå att det är samma typ av rörelser. Problemet att beskriva
viktens rörelse reduceras därmed till att beskriva tappens läge i yled, vilket vi även gjorde när vi härledde centripetalaccelerationen (kapitel 18 på sidan 45). Med
figurens beteckningar blir tappens läge i y-led:
y=R sin()
Om tappen roterar med vinkelhastigheten  blir y tidberoende:
y=R sin(t) (1)
Sambandet (1) anger att det är en harmonisk svängning (sinus-beroende). Läget y kallas
elongationen och anger det momentana avståndet till jämviktsläget och R svängningens amplitud.
Vi testar med olika vikter och fjädrar och upptäcker att vinkelhastigheten varierar.
Exempel:
En fjäder svänger med periodtiden T=0,5 s och amplituden 17 cm.
a. Ange hur elongationen (viktens läge) beror av tiden.
b. Ange svängningens största hastighet och var inträffar den?
c. Massan väger 100 g. Ange den största kraften massan påverkas av under svängningen och var
är kraften störst?
Lösning:
a. Elongationen y =Asin(t) = 0,17sin(2/0,5) = 0,17sin(4) [m]
b. Farten vy = dy/dt = 0,174 cos(4) = 2,1 cos(4) [m/s]. Högsta farten är alltså 2,1 m/s när
vikten passerar jämviktsläget.
c. Accelerationen ay = dvy/dt = - 0,17(4)2sin(4) = 26,8 sin(4) [m/s2]. Största accelerationen
är alltså 26,8 m/s2 i vändlägena. Enligt kraftekvationen blir då kraften:
F=may=0,126,8 = 2,68 N
D:\265336659.doc
57
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 20
Av ANDERS ANDERSSON
Fjäderkonstanten
Vi böjar med att kolla hur fjäderns förlängning beror av
belastningen (F), d v s vi hänger i vikter och mäter förlängningen
(dx) och för in värdena i en tabell. Vi ritar sedan ett diagram och
försöker hitta ett samband mellan kraften och förlängningen.
Diagrammet antyder att sambandet är linjärt, d v s:
F=kdx
m (kg) F=mg (N) dx (m)
0,100
0,98
0,200
1,96
0,300
2,95
0,400
3,93
0,500
4,91
F
där k är fjäderkonstanten, som mäts i enheten [N/m].
dx
Periodtiden
Vi är nu redo att härleda ett uttryck för periodtiden, d
v s tiden det tar vikten att röra sig från t ex övre
vändläget till nedre vändläget och åter till övre
vändläget. I figuren intill har vi först hängt upp en
obelastad fjäder med fjäderkonstanten k. Vi hänger
sedan i massan m så att fjädern förlängs sträckan s.
Massan påverkas då av tyngdkraften mg och
fjäderkraften F1:
F1
F2
s
mg
F1 = ks
mg
Eftersom massan hänger stilla i jämviktsläget är
tyngd- och fjäderkraften lika stora:
mg = ks
y
(1)
Vi för sedan vikten uppåt sträckan y. Fjäderkraften minskar då eftersom förlängningen s minskar.
Den nya fjäderkraften F2 blir då:
F2 = k(s-y)
(2)
Tyngdkraften är dock oförändrad, varför massan inte befinner sig jämvikt längre. Vi ställer upp
kraftekvationen för massan, med positiv referensriktning uppåt:
ma = F2-mg
(3)
Vi sätter in (1) och (2) i (3) och förenklar:
ma = k(s-y) – mg = ks-ky-mg = mg-ky-mg = -ky
(4)
Massan kommer alltså att utföra harmoniska svängningar runt jämviktsläget. Vi ansätter följande
funktion för elongationen y:
y =A sin(t)
(5)
där A är svängningens amplitud. Vi bestämmer accelerationen a genom att derivera (5) m a p
tiden två gånger…
a = -A2 sin(t)
(6)
… och sätter sedan in (5) och (6) i (4):
-mA2 sin(t) = -kAsin(t)  2 = k/m
D:\265336659.doc
58
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 20
Av ANDERS ANDERSSON
Eller uttryckt i periodtiden T:
(2/T)2 = k/m  T = 4(m/k)1/2
Exempel:
Beräkna periodtiden för fjädern vi bestämde fjäderkonstanten för (k=10 N/m), om vi hänger i
vikten 100 g. Kontrollera sedan att det stämmer (mät på tio svängningar).
Lösning:
Periodtiden T = 4(m/k)1/2 = 4(0,1/10)1/2 = 1,3 s
Exempel:
Elongationen i meter hos en fjädersvängning ges av y=0,25 sin(3t). Bestäm svängningens:
a. Amplitud A.
b. Periodtid T.
Lösning:
a. Amplituden A=0,25 m
b. Vinkelhastigheten  = 3 rad/s, d v s  = 2/T  T = 2/ = 2/3 = 2,1 s
Öva själv: 19.1-19.14
D:\265336659.doc
59
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 21
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 21:
Energi i spänd fjäder
När vi spänner fjädern drar vi i den med en kraft F så att den förlängs
sträckan dx, d v s vi uträttar ett arbete. Frågan är hur stort? Arbetet A en
konstant kraft uträttar kan illustreras i ett kraft-sträcka diagram, där ytan
mellan kraften och sträckan är arbetet (jämför sträckan i en v-t-graf):
A=Fa
F1
A
F
Hos en fjäder beror kraften på fjäderns förlängning a:
F=ka
x
ka
a
A
Även här blir arbetet A ytan mellan grafen och xaxeln:
A= ka a/2 = ka2/2
F
x
a
(1)
Män kan även säga att denna energin finns upplagrad som lägesenergi i den spända fjädern
(jämför med fjädern i en klocka).
Exempel:
Fjädern i det tidigare exemplet med fjäderkonstanten 10 N/m förlängs 35 cm. Hur mycket energi
finns upplagrad i fjädern?
Lösning:
Samband (1) ovan ger energin: A= ka2/2 = 100,352/2 = 0,61 J
Energi i svängande fjäder
Hos massan m i en svängande fjäder är den upplagrade energin i ett visst ögonblick summan av
läges- och rörelseenergin. Rörelseenergin fås förstås med följande samband:
Wk = mv2/2
(1)
där farten v hos massan fås genom att derivera läget y hos den harmoniska svängningen:
y =Asin(t)
d v s:
v = Acos(t)
(2)
Sätt in (2) i (1):
Wk = m A22cos2(t)/2
(3)
Den upplagrade energin i svängningen (den energi man teoretiskt skulle kunna utvinna om man
stoppade svängningen) är ren rörelseenergi när jämviktsläget passeras, d v s då farten är störst:
Wk = m A22/2
D:\265336659.doc
60
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 21
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
Massan m svänger med amplituden a i en fjäder med fjäderkonstanten k. Uttryck den maximala
rörelseenergin Wk i svängningen.
Lösning:
Wk = m A22/2 = m a2(k/m)/2 = a2k/2
Maximala rörelseenergin är lika stor som lägesenergin när fjädern förlängs till amplituden.
Öva själv: 19.15-19.18
Matematiska pendeln
En massa m som svänger fritt i en tråd eller arm med längden L
kallas pendel. Här i gymnasiefysiken antar vi att all massa är
lokaliserad till en punkt. En sådan pendel kallas för en matematisk
pendel. Med beteckningarna i figuren intill skall vi härleda ett
uttryck för pendelns periodtid. På massan m verkar två krafter,
tyngdkraften mg och snörkraften. Snörkraften bidrar dock inte till
pendlingen, eftersom den är vinkelrät mot snöret. Vi betraktar nu
endast pendelns rörelse i x-led och ställer upp kraftekvationen för
massan, med positiv referensriktning åt höger:
max = -Fx
v
L
Fx
m
x
v
F1
v
(1)
mg
Kraften Fx får vi genom att först ta tyngdkraftens komposant F1
vinkelrät emot snöret. Fx är ju F1:s komposant i x-led.
F1 = mg sin v
Fx = F1 cos v = mg sin v cos v
(2)
Vi sätter in (2) i (1):
max = - mg sin v cos v
 ax = - g sin v cos v
(3)
Vi vill även ha med pendelns läge x i x-led i (3):
sin v = x/L
(4)
Vi sätter in (4) i (3):
ax = - g x/L cos v
(5)
Vi nöjer oss nu med att enbart betrakta ’små’ utslagsvinklar v. Vi kan då sätta cos v = 1
(ty cos 0 = 1):
ax = - g x/L
(6)
Detta samband påminner mycket om det vi erhöll när vi härledde periodtiden för fjädersvängning
(4). Därmed kan vi utgå ifrån att även pendelsvängningen är harmonisk. Vi ansätter därför en
sinusfunktion för massans läge i x-led:
x =A sin(t)
(7)
som deriverar två gånger för att få accelerationen:
ax = -A2 sin(t)
(8)
Sätt nu in (7) och (8) i (6):
D:\265336659.doc
61
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
-A2 sin(t) = - gA sin(t)/L
Lektion 21

2 = g/L
Av ANDERS ANDERSSON
(9)
Pendelsvängningen är alltså oberoende av massan.
Exempel:
Hur lång skall en matematisk pendel vara för att svänga med periodtiden 1 s?
Lösning:
g/L = 2  L = g/2 = g/(2/T)2 = 9,82/(2/1)2 = 0,249 m
Öva själv: 19.19-19.23
Resonans
En spiralfjäder och en pendel som får svänga fritt svänger med sin
egenfrekvens. Genom att stöta till massan som hänger i fjädern
med en annan frekvens får man den att utföra tvungna
svängningar. Stöter man till massan med samma frekvens som
egenfrekvensen uppstår resonans. man kan också uttrycka det som
att man tillför systemet energi i samma takt som dess
egenfrekvens. Resultatet blir i värsta fall en svängning med
ökande amplitud tills något brister. I regel finns dock dämpning i
systemet som motverkar att amplituden ökar okontrollerat. Jämför
med bilens stötdämpare.
Demonstration av resonans i bladfjäder
Bilden ovan visar hur en bladfjäder kommer i resonans i ett oscillerande magnetfält från en 600
varvig spole med järnkärna.
Demonstration av resonans i stämgafflar
Bilden till höger visar två likadana stämgafflar med egenfrekvensen
frekvensen 435 Hz. Svänger den ena stämgaffeln med resonanslådans
öpnning framför den andras kommer även den i svängning via resonans.
Sänks däremot den ena stämgaffelns egenfrekvens några hertz med en
påmonterad skruv uppkommer dock ingen resonans i den andra stämgaffeln.
Exempel:
Man trycker till på karossen på en gammal amerikanare och ser att den svänger med periodtiden
2 Hz. Vilken hastighet bör bilen undvika att hålla på en ’tvättbrädsväg’ med avståndet 4,5 m
mellan groparna?
Lösning:
Guppar det med samma frekvens som bilens egenfrekvens, d v s f = 2 Hz, uppstår resonans. Och
det gör det om bilen passerar
mellan två vågdalar eller
s = 4,5 m
vågtoppar på samma tid som
egenfrekvensens periodtid T:
T = 1/f = 1/2 = 0,5 s.
Det inträffar om farten är: v = s/T = 4,5/ 0,5 = 9 m/s = 32,4 km/h
D:\265336659.doc
62
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 21
Av ANDERS ANDERSSON
63
17-07-14
Öva själv: 19.24
D:\265336659.doc
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 23
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 22:
Mekaniska vågor (kap 22)
Inom fysiken studeras ofta olika typer av mekaniska vågor, t ex vatten-, ljud- och
jordbävningsvågor. Flertalet av dessa har periodisk karaktär. En ljudsmäll från en explosion är
däremot inte periodisk, utan kan mer beskrivas som en pulsvåg. En mekanisk våg uppkommer av
att många små partiklars rörelse svänger med samma frekvens, men aningen i ofas med sin
närmaste granne.
Transversella och longitudinella vågor
Vid vågutbredning sker
energiöverföring, men
däremot ingen transport av
materia. Det finns två typer
av vågutbredning:
Transversella och
longitudinella vågor. Vid
transversell vågutbredning,
som t ex vattenvågor, rör sig
de enskilda
vattenmolekylerna i vertikalt
vinkelrätt mot vågen
utbredningsriktning, medan
vågen fortplantar sig i horisontell led. Vid longitudinell vågutbredning, som t ex ljudvågor, rör
sig (svänger) de enskilda ’luftmolekylerna’ i samma riktning (parallellt) som vågutbredningen.
De olika vågtyperna illustreras med en vevad ’vågmaskin’ (se bild ovan).
Exempel:
En transversell puls utbreder sig med hastigheten 2
2 dm/s
dm/s, enligt figuren.
a. Rita pulsen 3 s senare.
b. Med vilken fart rör sig en partikel på pulsens flank,
om pulshöjden är 1 dm?
1 dm
Lösning:
a. Pulsen har rört sig sträckan s=vxt=23=6 dm framåt.
b. När pulsen rört sig 0,5 dm har en partiken rört sig från basen till toppen på pulsen. Detta tar
tiden t = s/vx = 0,5/2=0,25 s. På den tiden har alltså partiken rört sig sträckan 1 dm med
farten: vy =1/0,25 = 4 m/s.
Superposition
Amplituden hos vågor som möts adderas momentant, men fortsätter sedan opåverkade av
varandra. Detta är superpositionsprincipen och addition av vågor kallas superposition.
D:\265336659.doc
64
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 23
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
Två pulser rör sig åt var sitt håll på en sträng. Rita strängens utseende när pulserna är mitt för
varandra i de två figurerna nedan. Pulshöjderna är 1 respektive 2 dm.
Lösning:
De superponerade pulserna har amplituderna 3 respektive 1 dm, enligt figuren nedan.
Reflexion och transmission
I tomma rum ekar det. Eko är exempel på reflexion av ljudvågor. En del av ljudvågen fortsätter
emellertid in i väggen, man säger att transmitteras. Vi skiljer på två typer av reflexion: Mot tätare
respektive tunnare medium. Vi exemplifierar med typfallen då en puls som infaller från vänster
reflekteras mot ett tyngre (tätare medium) respektive lättare (tunnare medium) snöre.
Reflexion mot tätare medium:
Före:
Efter:
Vid reflexion mot ett tätare medium reflekteras den infallande vågen omvänt.
Reflexion mot tunnare medium:
Före:
Efter:
Vid reflexion mot ett tunnare medium reflekteras den infallande vågen på samma sida.
D:\265336659.doc
65
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 23
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
En vågpuls med basen 1 dm infaller med farten 2
dm/s från vänster på ett snöre fastsatt i en vägg. Före
reflexionen mot väggen befinner sig pulsens högra
nederkant 2 dm från väggen. Rita snörets utseende 3 s
senare.
Lösning:
På 3 s rör sig pulsen 6 dm. Pulsens framkant rör sig
alltså först 2 dm fram till väggen och sedan
reflekterad 4 dm åt vänster. Bakkanten rör sig 3 dm
på varje sida.
Periodiska vågor
Hittills har vi enbart behandlat pulsartade vågor.
Vanligtvis är dock vågor periodiska och
harmoniska, d v s partiklarna som bygger upp
vågen rör sig som en svängande fjäder. En enskild
partikels läge i y-led i en transversell våg kan
alltså uttryckas med:
y
Partikelns läge i y-led
A
t
-A
T
y
Vågens läge i x- och y-led
y =A sin(t)
där A är vågens amplitud. Tillsammans skapar
partiklarna en periodisk transversell våg som
utbreder sig i x-led med våglängden  (grakiska
lambda), som är kortaste avståendet mellan två
partiklar som svänger i fas. När partikeln har rört
sig en period på tiden T har alltså vågen rört sig
en våglängd. Sambandet mellan periodtid T och
våglängd  är alltså:
A
v
x
-A

v = /T = f
där v är vågens utbredningshastighet [m/s] och f svängningens frekvens [Hz].
Mätning av ljudhastighet och våglängd
Vi bestämmer ljudhastigheten med två mikrofoner
kopplade till mätprogrammet Datastudios oscilloskop.
När en ljudpuls (klappa med handen!) når den första
mikrofonen startas (triggas) ett svep på oscilloskopet och
en röd kurva ritas. När pulsen når den andra mikrofonen
ritas en grön kurva. Tidsskillnaden mäts på
oscilloskopet. Vet vi avståndet mellan mikrofonerna är
det lätt att bestämma ljudhastigheten. Ljudvåglängden
från t ex en stämgaffel kan bestämmas genom att flytta
den ena mikrofonen en våglängd på oscilloskopet och
mäta avståndet på bänken.
D:\265336659.doc
66
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 23
Av ANDERS ANDERSSON
67
17-07-14
Öva själv: 22.1-22.13
D:\265336659.doc
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 23
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 23:
Interferens
När vågor med samma frekvens och utbredningshastighet möts eller samverkar de med varandra
på ett periodiskt och harmoniskt sätt. De kan både förstärka och försvaga varandra. Fenomenet
kallas interferens och vågorna sägs interferera med varandra.
Datorsimulering av interferens
Med delphi-programmet Kurvritare kan vi kolla vad som händer när vågor med både lika och
olika frekvenser möts. Är frekvenserna olika vandrar den resulterande vågen i horisontell led. När
vågorna har samma frekvens kommer den resulterande vågen att ligga still och utföra
svängningar (bukar) mellan nodpunkter utan utslag i vertikalled. Fenomenet med skenbart
stillastående vågor kallas stående vågor. Datorprogrammet simulerar även interferens mellan
vågor som rör sig i samma riktning med olika hastigheter. Simulera själv! Programmet finns på
http://hem.passagen.se/anderskristerandersson/fysik.html.
Demonstration av stående vågor i snöre
Vi binder fast ena ändarna på
ett horisontellt snöre i en
vibrator och i en vikt som
håller det spänt. Vibratorn
kopplas till en tongenerator.
Vid vissa frekvenser (som vi
läser av på en frekvensräknare)
uppkommer stående
transversella vågor i snöret som
ett resultat av interferens
mellan infallande och
reflekterade vågor i snörets ändar. Vi belyser den stående vågen med stroboskopljus med samma
frekvens som tongeneratorns och ser då att snöret svänger upp och ner som en våg, vars våglängd
minskar med ökande frekvens. Vi ser också att det i detta fallet får plats ett helt antal halva
våglängder på snöret.
Demonstration av stående vågor i fjäder
Vi tittar på stående longitudinella vågor i en vertikal spiralfjäder.
Uppkopplingen är i övrigt lika som den i förra demonstrationen.
Stående vågor i snöre
Stående vågor är alltså ett fenomen som uppkommer när en infallande våg
interfererar med sin reflekterade våg, t ex i ett snöre, i en orgelpipa eller i en
fjäder. Det är lite svårt att inse hur en stående våg uppkommer genom
interferens med en reflekterad våg. Det är heller inte så viktigt att förstå
detta för fortsättningen. Vi måste emellertid kunna beräkna för vilka
frekvenser stående vågor uppkommer, om vi exempelvis vet lägsta
frekvensen som alstrar en stående våg. Vår utgångspunkt är, som
D:\265336659.doc
68
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 23
Av ANDERS ANDERSSON
demonstrationen ovan visade, att det får plats ett helt antal halva våglängder på snöret.
D:\265336659.doc
69
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 23
Av ANDERS ANDERSSON
Första stående vågen (grundtonen) med frekvensen f1 har en halv våglängd (1) på snöret (L):
1/2 =L  1=2L
L
Även följande samband gäller:
v=f11= f12L
(1)
där v är vågornas utbredningshastighet i snöret.
Utbredningshastigheten är oberoende av
frekvensen och beror bara av hur hårt spänt snöret
är.
Andra stående vågen (första övertonen) med
frekvensen f2 har en våglängd (2) på snöret (L):
f1
1/2
f2
2
f3
33/2
2 =L  2=L
v=f22= f2L
(2)
Vi sätter samman (1) och (2):
f2L=f12L
 f2 =2f1
(3)
Tredje stående vågen (andra övertonen) med frekvensen f3 har tre halva våglängder (3) på
snöret (L):
33/2 =L  3=2L/3
v=f33= f32L/3
(4)
Vi sätter samman (1) och (4):
f32L/3=f12L  f3 =3f1
(5)
o s v.
Sambanden (3) och (5) antyder att stående vågor uppkommer för följande frekvenser, om f 1 är
grundfrekvensen: f1, 2f1, 3f1, 4f1, 5f1, … .
Exempel:
Vi ställer in snörlängden så att vi får en stående våg på snöret för grundfrekvensen 10 Hz.
a) Beräkna frekvensen för de tre nästkommande stående vågorna.
b) Kontrollera med tongeneratorn att det stämmer.
Lösning:
a) Enligt härledningen ovan blir frekvenserna 20, 30, 40 Hz.
b) Det stämmer bra!
Exempel:
En sträng svänger med stående vågor för frekvensen 189 Hz,
enligt figuren intill. Bestäm grundtonens frekvens.
Lösning:
Strängen har två noder förutom de i ändarna. Alltså svänger den med frekvensen för andra
övertonen, d v s: 3f1 = 189  f1 = 63 Hz
D:\265336659.doc
70
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 23
Av ANDERS ANDERSSON
Demonstration av stående vågor i sågblad
Vi spänner fast ett sågblad i ena ändan och sätter det i svängning med en elektromagnet på
samma sätt som när vi tittade på resonans. Även här uppkommer stående vågor. I den fria ända
uppkommer en buk och i den fria ändan en nod.
Stående vågor i bladfjäder (sågblad)
I ett snöre som svänger är det alltid noder i ändarna. En bladfjäder inspänd i ena ändan och fri i
den andra har (som vi såg i demonstrationen ovan) däremot en buk i den fria ändan. Frågan är nu
för vilka frekvenser stående vågor uppkommer, om grundfrekvensen är f1.
Första stående vågen (grundtonen) med frekvensen f1 har 1/4 våglängd (1) på sågbladet (L):
1/4 =L  1=4L
Även följande samband gäller:
v=f11= f14L
(1)
där v är vågornas utbredningshastighet i bladet.
Utbredningshastigheten är oberoende av
frekvensen och beror bara av materialet.
Andra stående vågen (första övertonen) med
frekvensen f2 har 3/4 våglängd (2) på bladet (L):
32/4 =L  2=4L/3
v=f22= f24L/3
L
f1
1/4
f2
32/4
f3
53/4
(2)
Vi sätter samman (1) och (2):
f24L/3=f14L  f2 =3f1
(3)
Tredje stående vågen (andra övertonen) med frekvensen f3 har 5/4 våglängd (3) på bladet (L):
53/4 =L  3=4L/5
v=f33= f34L/5
(4)
Vi sätter samman (1) och (4):
f34L/5=f14L  f3 =5f1
(5)
o s v.
Sambanden (3) och (5) antyder att stående vågor uppkommer för följande frekvenser, om f 1 är
grundfrekvensen: f1, 3f1, 5f1, 7f1, 9f1, … .
Exempel:
Ställ in frekvenserna för första, andra och tredje och eventuellt fjärde stående vågen i bladfjädern.
Anteckna frekvenserna och kolla om det stämmer med teorin.
D:\265336659.doc
71
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 23
Av ANDERS ANDERSSON
Stående vågor i luft
Ljudet i ett rör, en näverlur, en orgelpipa eller i en flaska
uppkommer p g a stående vågor. Principen är den samma
som för snöret eller sågbladet. I rörets slutna ända har den
stående vågen en nod och i den öppna ändan en buk. I röret i figuren intill visas den andra
stående vågen (första övertonen) som kan uppkomma i ett rör som är slutet i den ena ändan och
öppet i den andra.
Demonstration:
Vi tittar på några olika ljudvågor på ett oscilloskop kopplat till en mikrofon, t ex med
mätprogrammet Datastudio. Vi tittar på ljud från en stämgaffel, flöjt, munspel, vissling, vokaler
och pysljud.
Exempel:
En stämgaffel hålls över ett glasrör som är nedsänkt i vatten. Vid vissa lägen hörs ljudet från
luftpelaren särskilt bra. Bestäm ljudhastigheten, om stämgaffeln har frekvensen 435 Hz och
luftpelaren i röret har höjden 19 cm.
Lösning:
Ljudet hörs först för den första stående vågen i röret, d v s när luftpelaren har längden /4.
Ljudets våglängd är alltså 194=76 cm. Ljudhastigheten blir alltså:
v=f=4350,76=330 m/s
Exempel:
En i båda ändar öppen gummislang som roterar i luften ger ifrån sig ett visslande ljud (detta
demonstreras på lektionen). Ljudet låter med olika frekvens beroende hur fort slangen roteras.
Vid vilka frekvenser kan man förvänta sig att slangen låter, om den är 76 cm lång. Antag att
ljudhastigheten i luft är 335 m/s.
Lösning:
Ett rör öppet i båda ändar har bukar i ändarna vid stående vågor.
Figuren intill visar de två första stående vågornas utseende. Här
liksom i en sträng uppkommer stående vågor tydligen när ett helt
antal halv våglängder får plats i röret. Detta villkor gäller om det är
symmetri i det stående vågorna, d v s om det noder eller bukar i
båda ändarna. Här uppkommer alltså stående vågor för frekvenserna f1, 2f1, 3f1, 4f1, 5f1, …, där
alltså f1 är den lägsta frekvensen stående vågor uppkommer för. Om L=0,76 m är rörets längd
gäller följande samband:
1/2=L  1= 2L
f1=v/1= v/2L= 335/2/0,76 = 220 Hz
Övertonerna har alltså frekvenserna 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz o s v.
D:\265336659.doc
72
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 23
Av ANDERS ANDERSSON
Kundts rör…
…är ett meterlångt liggande glasrör
med en högtalare i ena änden och nikt
(korkspån) utefter långsidan. Vid vissa
frekvenser uppkommer stående vågor i
röret. Vågorna får nikten att vibrera i
bukarna och skapa ett karakteristiskt
vågmönster, varur bl a våglängden kan
bestämmas.
Demonstration
Vi bestämmer ljudhastigheten m h a
Kundts rör.
Exempel:
Vi kopplar en högtalare till Kundts rör och hör att ljudet
förstärks för vissa våglängder när framändan är öppen, d v s ljudet har en nod vid högtalaren och
en buk vid öppningen. Vi beräknar vid vilka frekvenser vi bör få förstärkning av ljudet. Använd
ljudhastighet vi beräknade i förra demonstrationen.
Lösning:
Här gäller samma förhållande som vid sågbladet, d v s vi får
stående vågor för frekvenserna f1, 3f1, 5f1, 7f1, 9f1, …, där f1
är grundfrekvensen. Om röret har längden L har den första stående vågen våglängden:
1/4=L  1= 4L
f1=v/1= v/4L = …
D:\265336659.doc
73
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Av ANDERS ANDERSSON
Svävningar
2
1,5
1
Amplituden
Svävningar
Vi lyssnar på svävningar från två
stämgafflar som svänger med nästan
samma frekvens (435 Hz) och
registrerar ljudet med en mikrofon
kopplad till mätprogrammet
Datastudios oscilloskop, enligt bilden
intill. Den ena stämgaffeln har gjorts
’ostämd’ med en liten skruv så att
den svänger med frekvensen 434 Hz
(kolla med frekvensmätaren!). När
stämgafflarna ljuder samtidigt
varierar ljudnivån märkbart. Detta
kallas svävningar och är ett
interferensfenomen som uppkommer
om två ljudkällor svänger med
aningen olika frekvenser.
Svävningen har samma frekvens
som ljudkällornas frekvensskillnad.
Svävningar används bl a vid
stämning av musikinstrument.
Diagrammet intill (ritat i Excel)
visar svävningarna för två fiktiva
toner med frekvenserna 9 respektive
10 Hz, vilket alltså innebär att
svävningens frekvens är 1 Hz
(T=1s). Kurvan fås helt enkelt
genom superposition (d v s
addition) av tonerna:
Lektion 23
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-0,5
-1
-1,5
-2
y = sin(2f1t) + sin(2f2t) =
sin(29t) + sin(210t)
tid (s)
Prova själv att rita kurvan på miniräknaren!
Öva själv: 22.14-22.21
D:\265336659.doc
74
17-07-14
3
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 24
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 24:
Vågor i två dimensioner
Vågor i strängar och fjädrar är exempel på vågutbredning i
en dimension. Vattenvågor, ljudvågor och ljusvågor utbreder
sig i regel i två och tre dimensioner. Vattenvågor, som
utbreder sig på en yta, är tvådimensionella. Vi skall nu m h a
skolans ’vågmaskin’ visa några vågfenomen med
vattenvågor som gäller för all typ av vågutbredning.
Frekvens- och våglängdsberoende, våghastighet
Vi alstrar plana vattenvågor. När frekvensen ökar minskar
förstås våglängden, eftersom vågorna alstras oftare. Vi ser
också att våghastigheten är oberoende av frekvensen. Detta
gäller dock inte för all vågutbredning. Vattenvågornas
hastighet beror t ex på våghöjden. Det kallas dispersion om
våghastigheten är frekvensberoende. Vi återkommer till detta
senare.
Diffraktion – böjning
Vi låter den plana vågen träffa ett långt hinder med en liten öppning.
Efter öppningen fortsätter vågutbredningen med cirkulära vågor.
Även om den plana vågen träffar kanten på ett hinder förändras
vågutbredningen. Fenomenet kallas diffraktion eller böjning och blir
särskilt påtagligt om öppningen (eller hindret) har samma
storleksordning som våglängden.
Refraktion – brytning
Vattenvågor sköljer ju alltid in mot stranden oavsett hur det
blåser (utom möjligen när det är frånlandsvind). Skälet är att
vattenvågor rör sig långsammare på grundare avsnitt än på
djupare. Således blir vågorna närmast stranden ’omkörda’ av
de längre ut och till slut tycks vågorna skölja in mot stranden.
Vi illustrerar detta med våran vågmaskin och lägger en
glasbit på botten. De plana vågorna kommer nu att gå lite
långsammare på det grunda avsnittet och tycks brytas vi
gränslinjen mellan den grundare och djupare delen.
Fenomenet kallas refraktion eller brytning och uppstår i
gränsskikten mellan medier med olika
vågutbredningshastighet. I Fysik A kursen så vi exempel på brytning när ljus gick från luft till
glas.
D:\265336659.doc
75
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 24
Av ANDERS ANDERSSON
Interferens och nodlinjer
Vi byter nu ’våggenerator’ och gör cirkulära vågor med
en punktkälla som doppar i vattnet. Vi ändrar
frekvensen och ser här liksom vid plana vågor att
våglängden blir kortare om frekvensen ökar, samt att
våghastigheten är oberoende av frekvensen. Vi byter
åter våggenerator till två punktkällor. Det uppträder då
regelbundna linjer där vågorna möts. Detta beror på att
vågorna interfererar med varandra, d v s en vågtopp
möter en vågdal utefter dessa linjer så att vågorna tar ut
varandra via superposition. Linjerna kallas nodlinjer.
Brytningslagen
I optiken i A-kursen härledde vi brytningslagen
(n1sin i = n2 sin b) experimentellt genom att mäta
infallsvikel och brytningsvinkel hos en ljusstråle
som går från luft till glas. Vi gav inte då någon
teoretisk förklaring till brytningslagen.
Förklaringen är helt enkelt att våghastigheten är
olika i olika medier. Om vågor med
utbredningshastigheten v1 och infallsvinkeln i
faller in mot gränsytan till ett medium med
vågutbredningshastigheten v2, blir
brytningsvinkeln b. Brytningslagen blir då (se
härledning i läroboken):
vågor
normal
v1
i
gränsyta
b
v2
sin i / sin b = v1/v2
Exempel:
En våg med hastigheten 0,5 m/s och våglängden 1,5 m kommer in i ett medium där
våghastigheten är 0,35 m/s. Bestäm:
a) Våglängden i det andra mediet.
b) Brytningsvinkeln, om infallsvinkeln är 19 o.
Lösning:
a) Frekvensen är lika i de båda medierna, d v s:
v1/1 = v2/2

2 = 1v2/ v1 = 1,50,35/0,5 = 1,05 m
b) Vi använder brytningslagen:
sin b = v2 sin i / v1 = 0,35sin 19 o / 0,5  b = 13 o
Öva själv: 22.22-22.28
D:\265336659.doc
76
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 24
Av ANDERS ANDERSSON
Interferens med ljudvågor
Vi byter nu ut våra två punktkällor i
vågmaskinen mot två högtalare och en
tongenerator. Vi ställer upp högtalarna på
katedern en halv meter ifrån varandra
riktade ut mot klassrummet och matar
dem med en frekvens runt 500 Hz. Sedan
ställer vi oss 3-4 meter mitt framför
högtalarna och går sedan sakta utåt ena
kanten. Lyssnar vi noga försvinner
plötsligt ljudet nästa helt. Går vi vidare
återkommer ljudet och blir plötsligt ännu
starkare. Vi fortsätter att gå sakta och
plötsligt försvinner ljudet igen, för att
strax återkomma. Och så där håller det
på. Prova först med en högtalare så blir
effekten med två mer markant. Förklaringen till att ljudnivån varierar är förstås att ljudvågorna
från de båda högtalarna interfererar med varandra; precis som vattenvågorna i vågmaskinen. I
punkterna där ljudnivån minskar är det destruktiv interferens och i punkter där ljudnivån ökar är
det konstruktiv interferens. Frågan är var i rummet
Konstruktiv interferens
vi får konstruktiv respektive destruktiv
interferens?
Eftersom högtalarna sänder ut ljudet i fas
(högtalarmembranen svänger i takt) måste vi få
ljudmax i punkter där avståndsskillnaden (ds) till
högtalarna är ett helt antal våglängder, d v s:
ds = n, n=0, 1, 2, 3, …
I dessa punkter är ljudet i fas (se bild).
O andra sidan måste vi få ljudmin i punkter
där avståndsskillnaden till högtalarna är ett
udda antal halva våglängder, alltså i punkter
där ljudet är helt i motfas (se bild):
Destruktiv interferens
ds = n/2, n=1, 3, 5, 7, …
Exempel:
Några elever får i uppgift att bestämma frekvensen hos en ljudton. De ställer då upp två högtalare
enligt figuren på avståndet 80 cm från varandra och upptäcker att första ljudmin uppkommer 1,2
m från symmetrilinjen på det vinkelräta avståndet 2,3 m från högtalarna. Bestäm frekvensen på
tonen, om ljudhastigheten är 335 m/s.
D:\265336659.doc
77
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 24
Lösning:
För att få ett ljudmin i punkten P måste ljudet från
högtalarna vara i motfas där, d v s vägskillnaden
(ds) till högtalarna måste vara ett udda antal halva
våglängder. Eftersom det är första min är
vägskillnaden en halv våglängd:
ds = s2 – s1 = /2
2
2 1/2
s1 = ((x-d/2) +a )
Av ANDERS ANDERSSON
P
Högtalare
s1
x
s2
d
(1)
a
2
1/2
= ((1,2-0,4) +2,3)
= 2,43 m
s2 = ((x+d/2)2+a2)1/2 = ((1,2+0,4)2+2,3)1/2 =
= 2,80 m
Vi löser ut våglängden  ur (1):
 = 2(s2 – s1) = 2(2,80-2,43) = 0,74 m
Ljudets frekvens blir då:
f = v/ = 335/0,74 = 453 Hz
Demonstration av ultraljud
Det är ju lite jobbigt för öronen att arbeta med hörbart ljud. Vi övergår därför till att
experimentera med ultraljud vid frekvensen 40 kHz. Med två ultraljudsändare och ett oscilloskop
kopplat till en ultraljudsmikrofon kan vi t ex studera hur avståndet mellan mikrofonerna påverkar
avståndet mellan noderna. Vi bestämmer även ljudhastigheten med utrustningen.
Frekvensbestämning med FFT
Rena toner bestående av en enda
frekvens är ganska ovanliga. Även en
stämgaffel och en sträng svänger med
övertoner, även om grundtonen är
dominerande. Ett instrument får sin
klangfärg (att det t ex låter piano) från
just blandningen av sina övertoners
olika intensitet. Med den numeriska
matematiska metoden Fast Fourier
Transform (FFT) erhålls alla
frekvenser som ingår i en signal, samt
frekvensernas olika intensitet. Med en
mikrofon ansluten till mätprogrammet
Datastudios FFT-verktyg kan sådana
analyser enkelt göras. Bilden till höger
visar en sådan analys av ljudet från två
stämgafflar.
Öva själv: 22.28-22.36
D:\265336659.doc
78
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 25
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 25:
Ljus (kap 23)
Böjning i enkelspalt
Belyses en tinondels milimeter smal
öppning med laserljus uppkommer ett
svagt punktmönster på en skärm några
meter framför spalten. Öppningen kallas
spalt och punkterna blir tydligare ju
smalare spalten är. Punkterna, som är ett
s k diffraktionsmönster och bl a visar att
ljus är en vågrörelse, uppkommer av att
ljusvågorna som passerar spalten
interfererar med varandra. Vi förklarar
här inte hur interferensmönst i detalj
uppkommer, utan nöjer oss med att
konstatera fenomenet och demonstrera
det.
Demostration av böjning i enkelspalt
Vi belyser en enkelspalt med
variabel bredd med rött
laserljus och studerar
interferensmönstret på tavlan
5-6 meter framför spalten.
Mönstret breddas när spalten
blir smalare. Bilderna visar
interferenspunkter från en
enkelspalt med
spaltöppningen 0,04
respektive 0,16 mm.
Observera att maxfunkterna
breddas när spaltbredden
minskas. Det runda
vågmönstrer härör från en
cirkulär öppning med
diametern 0,5 mm.
D:\265336659.doc
79
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 25
Av ANDERS ANDERSSON
Böjning i dubbelspalt
En dubbelspalt består av två tätt sittande spalter. Belyses de med laserljus uppkommer även då ett
interferensmönster på några meters avstånd. Nedan går vi igenom teorin för detta, men först
demonstreras några interferensmönster.
Demostration av böjning i enkelspalt
Bilderna visar interferensmönstret 5-6 m från två
laserbelysta dubbelspalter. I första bilden är
spaltavståndet 0,5 mm och i den andra 0,25 mm.
Observera att maxpunkterna blir bredare när
spaltavståndet minskar (liksom i enkelspalten).
Teori för böjning i dubbelspalt
Liksom två vattenvågor
eller två ljudvågor
A
s
s 
interfererar med varandra,
gör även två ljusvågor det. I
figuren till höger svänger
d

ljuskällorna A och B (två
spalter belysta med
B
laserljus) i fas med varandra
och åstadkommer ett
interferensmönster i
p
punkten p på skärmen på
avståndet s framför
ljuskällorna. De två
ljuskällorna är i praktiken
Skärm
en dubbelspalt som belyses
med laserljus (se nedan). Figuren påminner mycket om den på s. 71 om ljudvågor, med
skillnaden att spaltavståndet d här är bråkdelar av en milimeter och s är minst några meter.
Avståndsskillnaden s mellan sträckorna Ap och Bp kan därför förenklas till:
s  d sin  (1)
Villkoret för konstruktiv interferens (max) i punkten p är att avståndsskillnaden är ett helt antal
våglängder:
(2)
s  n
Där n är ett heltal: n=0, 1, 2, 3,…
Sätts (1) och (2) samman fås villkoret för interferensmax:
d sin   n
Demonstration och bestämning av spaltavstånd
Jag visar klassen en dubbelspalt med ett litet avstånd mellan spaltöppningarna. Frågan är hur
spaltavståndet kan bestämmas? Jo, vi sätter dubbelspalten och ett millimeterrutat papper i en
diaprojektor och mäter avståndet mellan spalterna respektive millimetergraderingarna på tavlan.
Likformighet ger sedan spaltavståndet 0,4 mm.
D:\265336659.doc
80
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 25
Av ANDERS ANDERSSON
Laserljus
Vanligt ljus
Vanligt ljus från t ex lampor och
lysrör utgörs av alla våglängder, d v s
alla färger. Lika våglängder är
dessutom inte i fas med varandra och
varje våg innehåller endast ett fåtal
perioder (korta vågpaket), enligt
Laserljus
figuren till höger. Detta beror på att
ljuset utsänds slumpartat från
atomerna i glådtråden eller gasen i
lysröret. Laserljus däremot har två
unika egenskaper:
 Ljuset består av endast en våglängd, d v s en färg.
 Det utsända ljuset är i fas.
Ljus med dessa egenskaper kallas koherent ljus. Dessutom innehåller ljusvågorna många perioder
(långa vågpaket), enligt figuren ovan. Dessa egenskaper gör att det är relativt enkelt att
åstadkomma interferens med laserljus.
Exempel:
Vi belyser ett vitt papper med rött laserljus på avståndet 5,3 m. Vi sätter sedan dubbelspalten
framför lasern och ser då att den röda punkten på papperet delas upp i ett antal ljussvaga och
suddiga interferenspunkter, d v s vi ser ett diffraktionsmönster. Eleverna får gruppvis i uppgift att
mäta avståndet från centralmax till första, andra, tredje o s v max och sedan beräkna laserljusets
våglängd. En grupp mätte avståndet till tredje max till 2,5 cm. Vilket värde fick gruppen på
laserljusets våglängd?
Lösning:
Vi har följande samband:
d sin  = n (1)
D:\265336659.doc
81
17-07-14
Gitter
Dubbelspalt
Gitter
Ett gitter fungerar som en dubbelspalt, men antalet spaltöppningar är
oerhört många, ofta 600 st/mm. Vanligtvis består gittret av en glasplatta vari
det ristats spalter. Avståndet d mellan två spaltöppningar i gittret kallas
gitterkonstanten. Vi gör ingen härledning av villkoret för interferensmax i
ett gitter, men teorin är likartad och formeln densamma som för
dubbelspalten:
Enkelspalt
där spaltavståndet d = 0,4 mm
x=2,5 cm
tan  = x/s = 0,025/5,3   = 0,270 o

s=5,3 m
Samband (1) ger nu våglängden:
o
 = d sin  /n = 0,0004 sin 0,270 /3 =
= 6,2810-7 m = 628 nm.
Laserljusets rätta våglängd är 632 nm.
Förenkling: Eftersom böjningsvinkeln  alltid blir väldigt liten i en dubbelspalt kan följande
förenkling göras vid beräkningen: sin  ≈ tan  = x/s
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 25
Av ANDERS ANDERSSON
d sin   n där n är ett heltal: n=0, 1, 2, 3,…
Demostration av böjning i gitter
Bilden visar interferensmönstret från
ett laserbelyst transmissionsgitter med
570 ritsar/mm. På bilden syns fem
interferensmax - första (n=1) och
andra (n=2) ordningens max på ömse
sidor om centralmax (n=0). Eftersom
gitterkonstanten d (spaltavståndet) är
avsevärt mindre än i en dubbelspalt,
blir böjningsvinkeln  stor i ett gitter.
Exempel:
Vi sätter nu ett gitter med okänd gitterkonstant framför vår laser och ser nu ett fåtal starka röda
interferenspunkter på väggen. Avståndet mellan centralmax och första interferenspunkten mäts
till 1,92 m. Avståndet från lasern till väggen är fortfarande 5,3 m. Bestäm:
a. Gitterkonstanten.
b. Antal ritsor/mm
c. Totala antalet interferensmax.
Lösning:
a. Figuren i förra exemplet ger vinkeln :
tan  = x/s = 1,92/5,3   = 19,91 o
Gitterformeln ger gitterkonstanten d:
d = n/ sin  =163210-9/sin 19,91 o = 1,85610-6 m = 1,85610-3 mm
b. Antal ritsor/mm = 1/d =1/1,85610-3 = 539 st.
På gittret står angivet att det är 538 ritsar/mm.
c. Vi bestämmer n för  = 90 o, d v s den största vinkel vi kan få max för.
n = d/ = 10-3/538/63210-9 = 2,9  n = 2. Vi kan alltså totalt se maximalt 5 röda
interferenspunkter.
Exempel:
Uppgiften är att bestämma hur många byte
(MB) en CD-skiva innehåller. Förutsättningen
är att den innehåller cirkulära spår som på en
traditionell grammofonskiva, samt att varje bit
(etta och nolla) kräver minst en våglängds
lagringsutrymme (1 byte = 8 bitar). Avståndet
mellan två spår motsvarar gitterkonstanten och
bestäms genom att belysa skivan som ett
reflexionsgitter med en laser, enligt bilden till
höger. Beräkna sedan antal spår genom att
mäta lagringsutrymmets bredd på skivan, samt
skivans totala spårlängd genom att mäta
medelradien. Dividera spårlängden med
våglängden och med 8 för att få enheten Byte. Görs mätningen med laservåglängden 632 nm blir
D:\265336659.doc
82
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 25
Av ANDERS ANDERSSON
lagringsutrymmet c:a 1300 MB, d v s ungefär dubbelt så mycket som det verkliga värdet. Vilket
av våra antaganden är sannolikt största felkällan?
D:\265336659.doc
83
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 25
Av ANDERS ANDERSSON
Interferens i tunna skikt
I exempelvis tunna oljehinnor på vatten och i såpbubblor syns ofta regnbågens alla färger.
Fenomenen beror på ljusets interferens i den tunna oljehinnan respektive i såphinnan. Vi räknar
något exempel nedan.
Exempel:
Gult ljus från en natriumlampa har våglängden  = 589 nm. För vilken minsta tjocklek på
luftskiktet mellan två plana glasbitar fås utsläckning av det gula ljuset, om man tittar rakt
ovanifrån?
Lösning:
Den infallande strålen (1) reflekteras delvis i
gränsytan mellan glas och luft (2) och delvis i
gränsytan mellan luft och glas (3). Vi reflexionen mot
ett tätare medium blir det dessutom ett fasskift på en
halv våglängd. Villkoret för att strålarna (2) och (3)
skall släcka ut varandra, d v s vara i motfas, är alltså:
(1)
(2)
(3)
Glas
Luft
d
Glas
2d = n, där n =1, 2, 3, …
Minsta tjocklek på luftskiktet d fås då för n=1:
d= n/2 = 158910-9/2 = 295 nm
D v s då skikttjockleken är halva våglängden.
Exempel:
Glasbitarna i förra exemplet belyses nu med vitt ljus, alltså ljus som består av alla färger
(våglängder). Vilken synlig våglängd (400-750 nm) förstärks, om luktskiktet har tjockleken 350
nm?
Lösning:
Vi använder samma figur som i förra exemplet. Villkoret är nu att strålarna (2) och (3) skall
förstärkas, d v s interferera konstruktivt. Eftersom det även här blir ett fasskift vid gränsytan
mellan luft och glas, blir villkoret för förstärkning:
2d = n+/2, där n =0, 1, 2, 3, …
Villkoret kan även skrivas på följande sätt:
4d = (2n+1), där n =0, 1, 2, 3, …
Vi löser ut våglängden och kollar för vilket värde på n vi får en synlig
våglängd.
n
0
1
2
3
4
(nm)
1400
467
280
200
156
=4d/(2n+1)
Enligt tabellen intill förstärks den synliga våglängden 467 nm för n=1. Detta motsvara blått ljus.
D:\265336659.doc
84
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 26
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 26:
Elektromagnetisk strålning (kap 24)
Teorin för detta kapitel finns delvis i webbdokumentet
http://web.kristinehamn.se/skola/anders/fysik/fotonen.htm.
I detta kapitel kommer vi att se att värmestrålning och ljus är samma typ av strålning som radiooch mikrovågor, d v s elektromagnetisk strålning. Vi kommer i senare kapitel att se att även
röntgen och gammastrålning är elektromagnetisk strålning. Vi börjar med värmestrålningen.
Demonstration av ljusets dispersion i prisma
Vi belyser en vit skärm med intensivt vitt ljus från den kraftfulla kolbågslampan. För att få en bra
bild fokuserar vi en spalt på skärmen. Vi låter sedan ljuset passera ett trekantigt prisma framför
linsen och får efter lite justeringar ett vackert spektrum på skärmen vid sidan av kolbågslampan.
Detta visar att vitt ljus består av alla färger, d v s olika våglängder. Tydligen bryter prismat olika
våglängder olika mycket, d v s olika våglängder har olika brytningsindex. Detta kallas för
dispersion.
Demonstration av energi i olika våglängder
Vi byter nu ut det trekantiga prismat mot ett rakskiktsprisma som ger ett spektrum rakt framför
kolbågslampas. Vi sätter nu en spalt framför en bolimeter kopplad till en förstärkare och mäter
energiinnehållet för de olika våglängderna (färgerna) i spektrat. Det visar sig att energiinnehållet
(spänningen) ökar från blått till rött ljus, för att nå maximum strax bortom det röda där det är
svart, d v s osynligt infrarött ljus. Kolbågslampan strålar alltså mest med värmestrålning, till
skillnad mot ett lysrör som strålar mer på kortare våglängder (det blir ju inte så varmt).
Demonstration av strålning från svart och blank yta
Jag värmer med gasolbrännaren en metallskiva som är svart på den ena sida och blank på den
andra. Vilken sida strålar mest värme? Eleverna håller den varma metallbiten en bit från kinden
och kollar.
D:\265336659.doc
85
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 26
Av ANDERS ANDERSSON
Svarta kroppar och Plancks strålningskurva
Alla ’varma’ föremål avger enligt Plancks strålningskurva elektromagnetisk strålning med alla
våglängder.
I=2hc2/5/(ehc/kT-1)
[W//m2]
(Plancks strålningslag, c:a år 1900)
-34
h=6,6261*10 Js
(Plancks konstant)
k=1,3807*10-23 J/K
(Boltzmanns konstant)
Temperaturen T anges i enheten Kelvin (0 oC =-273 K)
Vid temperaturer runt 600-700 oC börjar föremål att glöda avge en del av strålningen i form av
synligt rött ljus och mycket osynligt infrarött ljus, d v s värmestrålning. Solen, vars yttemperatur
är runt 6000 oC, strålar med mycket gulvitt ljus. Solljuset innehåller alltså åtminstone alla synliga
våglängder. Läs mer om detta i boken. Dubbelklicka på diagrammet nedan och ändra
temperaturen med rullningslisten.
Temperatur: 1788 K
Plancks strålningskurva
Synligt ljus
4E+03
3E+03
Energifördelning
3E+03
2E+03
2E+03
1E+03
5E+02
0E+00
0
0,000001
0,000002
0,000003
0,000004
0,000005
Våglängd  (m)
D:\265336659.doc
86
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 26
Av ANDERS ANDERSSON
Stefan-Boltzmanns strålningslag
Emittansen M är utsänd effekt per ytenhet från en svartkroppsstrålare för en viss temperatur T:
M=T4
[W/m2]
(Stefan-Boltzmanns strålningslag)
-8
2 -4
=5,67*10 W/m /K
(grekisk bokstaven sigma)
Temperaturen T anges i enheten Kelvin
Stefan-Boltzmanns strålningslag erhålls genom att integrera Plancks strålningskurva för alla
våglängder, d v s bestämma arean under kurvan.
Utstrålad effekt från arean A blir då:
E=T4
[W]
Wiens lag
Wiens (förskjutnings-) lag anger vid vilken våglängd max strålningen är intensivast för en viss
temperatur T:
Tmax =konst
konst=2,8978*10-3 Km
Temperaturen T anges i enheten Kelvin
Exempel:
En spisplatta har stått påslagen så att den är lätt rödfärgad, d v s dess temperatur är c:a 800 oC.
a. Bestäm emittansen från plattan.
b. Bestäm totalt utstrålad effekt från plattan, om plattan har radien 9 cm.
c. Vid vilken våglängd är emittansen störst?
Lösning:
a. Emittansen M ges av Stefan-Boltzmanns lag (med temperaturen i Kelvin):
M=T4 = 5,6710-810734 = 75159 W/m2 = 80 kW/m2
b. P=MA=751590,092 = 1913 W = 1,9 kW
c. Wiens förskjutningslag ger våglängden där strålningen är intensivast:
=2,9010-3/T = 2,9010-3/1073 = 2700 nm. Plattan strålar tydligen intensivast på den osynliga
våglängden 2700 nm, d v s med värmestrålning i det infraröda området.
Elektrisk svängningskrets (RC-krets)
På lektionen härleder vi egenfrekvensen f för en elektrisk svängningskrets:
f =1/(2(LC)1/2 )
Demonstration av dämpad svängning
Vi seriekopplar en 300-varvig spole (L=3,4 mH), en kondensator (C=0,6F), ett dekadmotstånd
(R=0) och en spänningskälla som alstrar fyrkantssignal (f = 84 Hz). Vi studerar
kondensatorspänningen på oscilloskopet och ser en svängning som dämpas ut. Ökar vi
resistansen ökas även dämpningen. Studera gärna dämpad svängning i en RCL-krets i delphiprogrammet h:/tbas_fysik/kurvritare.
D:\265336659.doc
87
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 26
Av ANDERS ANDERSSON
Exempel:
Bestäm RC-kretsens egenfrekvens i förra demonstrationen.
Lösning:
f =1/(2(LC)1/2 ) = 1/(2(0,00340,610-6)1/2 ) = 3524 Hz
Vi kollar även frekvensen på oscilloskopskärmen och det stämmer bra!
Demonstration av resonans i RCL-krets
Vi behåller kopplingen från förra demonstrationen, men matar istället kretsen med en
sinusspänning och studerar spänningen över resistorn (R=10-20 ohm) på oscilloskopet. Vi ser då
att spänningen över R (d v s strömmen i kretsen) är störst runt kretsens egenfrekvens f = 3524
Hz. Matas kretsen med samma frekvens som egenfrekvensen uppstår resonans. Studera gärna
resonans i en RCL-krets i delphi-programmet h:/tbas_fysik/kurvritare.
Demonstration av enkel radiomottagare
Vi vill bygga enklast möjliga krets för mottagning av radiovågor.
Radiovågorna alstras med en tongenerator som ’sänder’ ut en
sinussignal via en sladd som antenn ansluten till utgången (se bild
nedan). Antennen fungerar bättre om den fästs med en
krokodilklämma i takets lysrörsarmatur. Som mottagare kopplar vi in
en svängningskrets i form av en 600-varvig spole (L=12 mH) och en
kondensator (C=4nF), enligt figuren intill och bild nedan. Prova med
att koppla in mottagarantennen på olika ställen. Faktum är att det blir
bra mottagning utan separat mottagarantenn, eftersom
kopplingssladdarna är långa och därmed fungerar som antenner.
Mottagarsignalen studerar vi på oscilloskopet. Mottagaren är nu
avstämd för frekvensen:
U
C
L
Antenn
f =1/(2(LC)1/2 ) = 1/(2(0,0034110-9)1/2 ) = 22 972 Hz
Vi vrider på tongeneratorn för
frekvenser runt 20-50 kHz och
ser att spänningen på
oscilloskopet blir störst vid drygt
30 kHz (borde vara störst vid
resonansfrekvensen 23 kHz).
Länken berättat mer om hur man
bygger en kristallmottagare, d v s
en enkel amplitudmodulerad
AM-radio. Dagens
frekvensmodulerade FM-radio är mer avancerade och sänder på betydligt högre frekvenser runt
100 MHz, medan 3G-mobiltelefoni sänder på frekvenser runt 2000 MHz.
Exempel:
Bestäm våglängden hos radiovågorna i förra demonstrationen.
Lösning:
Ljushastigheten i vakuum är c=3,0108 m/s. Våglängden  blir alltså:
D:\265336659.doc
88
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Lektion 26
Av ANDERS ANDERSSON
89
17-07-14
 = c/f = 3,0108/22972 = 13059 m
D:\265336659.doc
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Av ANDERS ANDERSSON
Lektion 27:
Strålningens dubbelnatur (kap 25)
Teorin för detta kapitel finns i webbdokumentet
http://web.kristinehamn.se/skola/anders/fysik/fotonen.htm. I detta kapitel finns främst exempel
och lösningar.
Vi börjar nu närma oss den moderna fysiken, d v s upptäckter som gjorts under slutet av 1800talet och under 1900-talet. Plancks strålningslag är den första upptäckten som bygger på moderna
tankegångar. För att få sin strålningslag att fungera med verkligheten antog Max Planck att ljus (d
v s elektromagnetisk strålning) sänds ut i bestämda energiknippen, s k energikvanta. Detta utgör
grunden för den moderna atom- och kvantfysiken. Vi skall börja med att i detta kapitlet övergå
ifrån att betrakta ljus som en vågrörelse (klassisk fysik) till att se ljus som partiklar (modern
fysik).
Fotoeffekten
Demonstration av fotoelektrisk effekt
Vi laddar upp en polerad zinkplatta med ett PVCplaströr och ett kattskinn. Om laddningen är
positiv eller negativ vet vi inte. Plattan är kopplad
till en voltmeter för högspänning. Vi belyser
sedan plattan med en 60 W lampa. Inget händer.
Vi belyser sedan plattan ultraviolett ljus (UVljus). Zink-plattan laddar nu snabbt ur. Vi laddar
upp plattan igen och belyser den åter med UVljus, men håller nu en glasskiva framför lampan.
Inget händer med plattans laddning. Vi vet att det
inte går att sola sig och bli brun (som man ju blir
av UV-ljus) genom ett fönster, alltså bör det vara
UV-ljuset som laddar ur zinkplattan. Vi laddar
åter upp zinkplattan, men nu med en annan typ av
plaststav. Vi belyser åter plattan med UV-ljuset,
men nu behåller plattan laddningen! Vi vet
fortfarande inte vilken laddning plattan har. För att ta reda på detta kopplar vi plattan till den
positiva polen på ett högspänningsaggregat. Ni vet vi att plattan har underskott på elektroner. Vi
belyser åter plattan med UV-ljuset, utan att plattan laddar ur. Uppenbarligen laddar UV-ljuset
bara ur den negativt laddade zinkplattan, d v s den med överskott på elektroner. UV-ljuset får
alltså elektronerna att ges sig av från plattan. Detta kallas den fotoelektriska effekten.
D:\265336659.doc
90
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Av ANDERS ANDERSSON
Bestämning av Plancks konstant
Vi gör en demonstration/laboration där
vi bestämmer Plancks konstant (h)
genom att för olika synliga våglängder
(vitt ljus passerar olika filter)
bestämma elektronernas rörelseenergi.
Energin bestäms genom att lägga på en
bromsspänning U över en fotocell så
att strömmen i en kretsen blir precis
noll. Vi kan sedan använda Einsteins
fotoelektriska ekvation för att
bestämma h:
hf  E0  Ek
där E0 är utträdesenergin som krävs
för att frigöra elektronen från
fotocellens yta, och Ek är
elektronens eventuella
rörelseenergi. Rörelse energin kan
beräknas, om vi vet
bromsspänningen U precis då
strömmen (nA) blir noll:
E k  Uqe
där elementarladdningen
qe=1,60210-19 C. Med detta uttryck
insatt i förra formeln kan h
beräknas:
U
hf  E0  Uqe
Våglängd
Bromsspänning Ljusets frekvens
Elektronenergi
U (V)
f (Hz)
Eq = Uqe (J)
 (nm)
415 (violett)
E0 hf
461 (blått)
U

495 (blågrön)
qe qe
550 (gulgrön)
593 (orange)
Lägg nu på olika
620 (röd)
färgfilter på
fotocellen och mät och skriv in bromsspänningarna i tabellen. Beräkna även våglängdernas
frekvenser. Rita sedan hur U beror av av f i ett diagram. Eftersom sambandet är linjärt motsvara
kvoten h/f linjen k-värde. Bestäm även E0 ur grafen. En variant är att knappa in mätvärdena på
miniräknaren och bestämma k-värdet med linjär regression.
Lös ut U:
D:\265336659.doc
91
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Av ANDERS ANDERSSON
Fotoner
Exempel:
En HeNe-laser med den röda våglängden 632,8 nm. Effekten är 3 mW.
a) Bestäm energin hos en foton.
b) Bestäm fotonens rörelsemängd.
c) Hur många fotoner utsänds per sekund?
d) Bestäm avståndet mellan två fotoner.
Lösning:
hc 6,63  10 34  3  108
a) Fotonenergin E  hf 

 3,14  10 19 J
9

632,8  10
b) Rörelsemängden p 
h

c) Antal per sekund: N 

6,63  10 34
 1,04  10 27 kgm/s
9
632,8  10
P
0,003

 9,55  1015 st
19
E f 3,14  10
d) Avstånd mella två fotoner (sträckan ljuset går på en sekund delat med N):
d
c 1
3  108

 3,14  10 8 m d v s betydligt mindre än en våglängd.
N
9,55  1015
Materievågor
Exempel:
En boll med massan 0,2 kg kastas iväg med hastigheten 12 m/s. Bestäm bollens de Broglievåglängd.
Lösning:
h
h
6,63  10 34
Våglängden   

 2,8  10 34 m
p mv
0,2  12
Bollens våglängd är oerhört kort och har ingen betydelse i den ”makroskopiska” världen.
Exempel:
En elektron accelereras med spänningen 500 V. Bestäm dess:
a) Hastighet
b) De Broglievåglängd
Lösning:
a) Energisamband: Uqe 
D:\265336659.doc
me v 2
=> v 
2
2U qe

me
92
2  500  1,6  10 19
 13,3 Mm/s
9,11  10 31
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Av ANDERS ANDERSSON
h
h
6,63  10 34


 5,5  10 11 m
31
6
p mv 9,11  10  13,3  10
Elektronens våglängd har samma storleksordning som en atom och därför betydelse på
atomär nivå.
b) Våglängden  
Heisenbergs osäkerhetsrelation
Exempel:
En boll med massan 50 g och en elektron ligger instängda i en kubisk låda med sidan 2 dm.
Bestäm osäkerheten i deras hastigheter.
Lösning:
I båda fallen x=0,2 m. är Lös ut v i Heisenbergs osäkerhetsrelation:
x  m  v 
h
h
=> v 
4
x  m  4
Bollens v 
6,63  1034
 5,3  1033 m/s.
0,2  0,05  4
Elektronens v 
6,63  1034
 0,001 m/s = 1,1 mm/s
0,2  9,11  1031  4
I bollens fall är ju osäkerheten i hastigheten försumbar. Elektronens osäkerhet på 1,1 mm/s är
klart märkbar och i synnethet på atomär nivå.
D:\265336659.doc
93
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Av ANDERS ANDERSSON
Atomfysik
Teorin för detta kapitel finns i webbdokumentet
http://web.kristinehamn.se/skola/anders/fysik/atomfysik.htm. Nedan redovisas endast de exempel
som räknas gemensamt på lektionerna. I fortsättningen betecknas ljushastigheten c=300 000
km/s.
Elektronvolt
Exempel:
En fri elektron accelereras av spänningen 45 V. Bestäm elektronens rörelse energi i enheten:
a) Joule (J)
b) Elektronvolt (eV)
Lösning:
a) Elektronens energi E  Uqe  45  1,6  10 19  7,2  10 18 J
b) Energin i enheten elektronvolt: (dividera med elementarladdningen), d v s E=45 eV
Emissionsspektrum
Exempel:
Till höger visas
energinivådiagrammet för väte.
a) Ange totala antalet
övergångar för en elektron
som befinner sig på den
exciterade nivån 5.
b) Vilken energi skall en foton
ha som kan excitera en
elektron i grundtillståndet
till nivå 2?
c) Vilken våglängd har
fotonen som utsänds vid en
övergång från nivå 4 till nivå 2? Är ljuset synligt?
Lösning:
a) Antal övergångar: 4+3+2+1=10 st
b) E=-3,39-(-13,6)=10,21 eV
c) Fotonens energi E=-1,51-(-3,39)=1,88 eV
hc
hc 6,63  10 34  3  108
Fotonens våglängd: E  hf 
=>  

 661 nm

E
1,88  1,6  10 19
D:\265336659.doc
94
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Av ANDERS ANDERSSON
Absorptionsspektrum
Exempel:
En väteatom i grundtillståndet träffas av en…
a) …foton
b) …elektron
…med energin 11 eV. Till vilken energinivå kan väteatomen exciteras? Använd
energinivådiagrammet i föregående uppgift.
Lösning:
Atomen kan maximalt exicteras till energinivån -13,6+11 = -2,6 eV. Första tillåtna energinivån är
– 3,39 eV.
a) Fotonens energi måste passa energinivåerna exakt och kan därför inte excitera atomen.
b) Till nivån – 3,39 eV.
Laserljus
Se exempel i avsnitter Fotoner på s. 84.
Röntgenstrålning
Exempel:
Elektroner i ett röntgenrör accelereras med spänningen 40 kV. Bestäm röntgenstrålningens
våglängd.
Lösning:
hc
hc 6,63  10 34  3  108
Röntgenstrålningens våglängd: E  hf 
=>  

 0,031 nm

E
40000  1,6  10 19
Kvanttal och pauliprincipen
Ange värdet för samtliga kvanttal för huvudkvanttalet n=2 (L-skalet).
Lösning:
Villkor för kvanttal:
l = 0, 1, 2, 3, …n-1
ml =0, ±1, ±2, ±3, …l
n=2:
l=0
ml=0
ms=-1/2
l=0
ml=0
ms=1/2
l=1
ml=0
ms=-1/2
l=1
ml=0
ms=1/2
l=1
ml=1
ms=-1/2
l=1
ml=1
ms=1/2
l=1
ml=-1
ms=-1/2
l=1
ml=-1
ms=1/2
D:\265336659.doc
95
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Av ANDERS ANDERSSON
Speciella relativitetsteorin
Teorin för detta kapitel finns i webbdokumentet
http://web.kristinehamn.se/skola/anders/fysik/relativitetsteori.htm. Nedan redovisas endast de
exempel som räknas gemensamt på lektionerna. I fortsättningen betecknas ljushastigheten
c=300 000 km/s.
Relativ rörelse
Exempel:
I en buss med farten v1=25 m/s är en passagerare på väg bakåt i bussen till toaletten med farten
v2=1,5 m/s relativt bussen. Vilken fart har passageraren relativt vägen?
Lösning:
Passagerarens fart v relativt vägen: v=v1-v2=25-1,5=23 m/s
Tidsdilation
Exempel:
Bo bor på planeten jorden. Hans kompis Åke färdas i ett rymdskepp med farten 0,95 c.
a) Hur lång tid tå har det gått för Åke, när det gått två timmar enligt Bo:s klocka?
b) Hur lång tid har det gått för Bo, när det gått två timmar för Åke?
Lösning:
a) Tiden går långsammare vid högre farter. Tiden går alltså långsammare i rymdskeppet:
2
 0,95c 
2
t å  tb 1  
  2 1  0,95  0,62h  37 min
 c 
b) Tiden går fortare hos stillastående Bo:
tå
2
tb 

 6,41h  6h25 min
2
2
1

0
,
95
0
,
95
c


1 

 c 
Nu kan man hävda att det är Bo som rör sig relativt Åke, så att det är Bo:s tid som går
långsammare (tvillingparadoxen). Åke har emellertid accelererat (allmänna relativitetsteorin)
under sin resa, så när Bo och Åke återses upplever båda att Åkes klocka verkligen gått
långsammare. Det är alltså (teoretiskt) möjligt att resa bort en längre tid med närapå
ljushastigheten och vid återkomsten vara jämngammal med sina barn.
D:\265336659.doc
96
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Av ANDERS ANDERSSON
Längdkontraktionen
Exempel:
Åke passerar Bo:s stillastående 8,0 m långa och 2,0 m breda husbil med sitt 8,0 m långa och 2,0
m breda rymdskepp med farten 0,95 c.
a) Hur långt och brett upplever Bo att rymdskeppet är?
b) Hur lång och bred upplever Åke att husbilen är?
Lösning:
Föremål med höga hastigheter upplevs förkortade i sin färdriktning, däremot påverkas inte
utsträckningen vinkelrätt mot färdriktningen. Eftersom Åke rör sig relativt Bo och Bo relativt
Åke, uppfattar Bo att rymdskeppet blir lika mycket kortare som Åke uppfattar att husbilen blir:
2
 0,95c 
2
l  l0 1  
  8 1  0,95  2,50m
 c 
Massa och hastighet
Exempel:
Hur mycket upplever Bo att åke väger i föregående exempel, om Åkes vikt är 75 kg när han
väger sig i rymdskeppet?
Lösning:
Åke har vilomassan m0=75 kg. Den relativistiska massan m enligt Bo blir då:
m0
75
m

 240kg
2
2
1

0
,
95
 0,95c 
1 

 c 
Massa och energi
Exempel:
Ett veddträ som man eldar med i spisen väger ungefär 400 gram. Hur många TWh motsvarar den
massan?
Lösning:
E  mc 2  0,4  (3  108 ) 2  3,6  1016 J  10TWh
Detta motsvara årsproduktionen elenergi från två kärnreaktorer.
D:\265336659.doc
97
17-07-14
LÄRARGENOMGÅNGAR I FYSIK B
Av ANDERS ANDERSSON
Rörelseenergi och hastighet
Exempel:
En proton färdas med hastigheten 0,95c. Beräkna protonens rörelseenergi med:
a) Klassisk fysik.
b) Relativistisk fysik
Lösning:
Protonens vilomassa är m0  1,673  10 27 kg
a) Klassisk rörelseenergi:

m0 v 2 1,673  10 27  0,95  3  108

2
2
b) Relativistisk rörelseenergi:
Ek 

2
 6,8  10 11 J












m
1
0
E k  mc 2  m0 c 2  c 2 m  m0   c 2 
 m0   m0 c 2 
 1 
2
2




v
v
 1  

 1  

c
c





2 
1
 1,673  10  27  3  10 8   
 1  3,3  10 10 J
 1  0,95 2



D:\265336659.doc
98
17-07-14