[Anteckningar Lektion 1] 2011‐03‐23 En rätvinklig triangel har en vinkel som är 90°, se figur nedan. Till följd av detta kommer
de båda andravinklarna att vara mindre än 90°. De trigonometriska definitioner och satser som
vi börjar med gäller alltså för vinklar som är mindre än eller lika med 90°.
Den längsta sidan i en rätvinklig triangel kallas hypotenusa. De sidor som bildar den räta
vinkeln kallas kateter.
I en rätvinklig triangel med sidorna a,b och c ( c är hypotenusan) gäller Pythagoras sats, som
används för att beräkna en av sidorna när de två andra sidorna är kända.
Pythagoras sats: a2 + b2 = c2 Beroende på vilka sidor man känner kan 2 fall uppstå:
a 2 + b2
1.
a, b kända c beräknas: c =
2.
b, c kända, a beräknas a = c 2 − b 2
Lär dig använda Pythagoras sats. Det är förmodligen en av de mest använda
geometriska satser vi känner. Väldigt viktig!!
Liten minnesregel: När man beräknar c (= längsta sidan) är det + tecken mellan talen under
rottecknet- När man beräknar någon av de andra(kateten alltid kortare än hypotenusan) är det
ett – tecken under rottecknet.
a
c
Definition : tan v =
Per Edblom Sandstensvägen 1 187 34 Täby motstående katet b
=
närliggande katet a
v
b
e‐mail: [email protected] tel: 08‐7681217, 0707‐30 30 92 Sida 1 [Anteckningar Lektion 1] 2011‐03‐23 sin v =
motstående katet b
=
hypotenusan
c
Detta medför att tan v =
cos v =
närliggande katet a
=
hypotenusan
c
sin v
cos v
Observera att bokstäverna a, b och c är de som visas i figuren ovan! Beroende på vilka kateter
i förhållande till vinkeln v man kallar a resp. b kan definitionen skrivas på 2 sätt.
Om du betraktar din miniräknare ( gäller även enklare räknare typ Casio fx-82) så finns
funktionsknapparna sin, cos och tan. När man ger funktionerna en vinkel, ta tex v = 25° och
trycker sin, 25 ger räknaren värdet 0,4226. ( På den enklare räknaren trycker man omvänt,
man slår in värdet 25 och trycker sedan på sin)
Det betyder alltså att sin 25 = 0,4226 ; vad säger detta? Jo att den motstående kateten har en
längd, som är 42,3% av längden av hypotenusan. Alla de trigonometriska funktionerna jämför
storleken av sidorna med varandra.
Om du tittar ovanför rep sin, cos och tan-knapp, hittar du den inversa funktionen till resp
funktion ( sin-1, cos-1 och tan-1) De används för att beräkna vinklar. Om t.ex
sin v = 5/ 8 så löser man ut v genom att sätta v = sin-1(5/8) som ger v ≈ 38,7°
Observera att du måste ha räknaren inställd på Degree ( deg) . Om ställning görs i Mode. På
tredje raden växlar du mellan Degree och Radian. På den enklare räknaren växlar man med en
knapp som brukar heta DRG. Upprepade tryck på den växlar mellan Deg, Rad och Gra.
Observera att Gra inte är samma sak som grader. Grader = Degree (Deg)
Enhetscirkeln
Cirkeln nedanför är ritad i ett koordinatsystem med cirkelns centrum i origo, radien på cirkeln
är 1 längdenhet och cirkeln kallas för enhetscirkeln. Definitionen av sin t resp cos t framgår av
den andra funktionen. Gäller för alla vinklar, även vinklar > 90°, gäller även för negativa
vinklar, som uppfattas som att man vrider vinkeln åt andra hållet. än vad som visas i figuren.
Kolla gärna på den här länken på Youtube,. Finns flera lektoner där som är nyttiga att titta på:
http://www.youtube.com/watch?v=YYsQUmvvzgg
Per Edblom Sandstensvägen 1 187 34 Täby e‐mail: [email protected] tel: 08‐7681217, 0707‐30 30 92 Sida 2 [Anteckningar Lektion 1] 2011‐03‐23 x och y koordinaten för varje punkt längst cirkeln får man genom att läsa av värdet på x- och
y-axeln. Om man tänker sig en rätvinklig triangel med ena katetern längs med x-axeln:
så blir cosinus för vinkeln x-koordinaten och sinus för vinkeln y-koordinaten.
Exempel:
Lös ekvationen sin v = 0,5 med enhetscirkeln.
Per Edblom Sandstensvägen 1 187 34 Täby e‐mail: [email protected] tel: 08‐7681217, 0707‐30 30 92 Sida 3 [Anteckningar Lektion 1] 2011‐03‐23 Om vi kollar på figuren nedan så framgår det att det finns två lösningar på problemet:
Första lösningen får vi genom att slå på miniräknaren:
Eftersom ett halvt varv är 180 grader så får vi den andra vinkeln genom att ta:
Per Edblom Sandstensvägen 1 187 34 Täby e‐mail: [email protected] tel: 08‐7681217, 0707‐30 30 92 Sida 4
